 Durant l'été 1900, l'extraordinaire David Hilberth propose à la communauté mathématique une liste de 23 problèmes dans le but de diriger la recherche sur le siècle à venir. Entre des problèmes très profonds sur le calcul variationnel ou sur la consistance des axiomes de la rythmétique, on retrouve un semble-t-il innocent problème sur la géométrie des puzzles, le troisième problème de Hilberth. Ça tombe bien, j'ai 2 minutes pour en parler. Que l'on fasse des mathématiques en CM1 ou en Master 2, tout calcul d'air ou de superficie s'appuie sur la même formule de référence, la formule de l'air d'un rectangle longueur fois largeur. A partir de cette simple formule et d'un peu de découpage, on peut retrouver les formules classiques de tous les autres polygones, triangles, parallélogrammes, trappaises, etc. Par exemple, l'air d'un triangle est la longueur B de sa base, multiplié par sa hauteur H, et le tout divisé par 2. Dit autrement, l'air de 2 triangles, c'est l'air d'un rectangle de longueur B et de hauteur H, ce qu'un habile jeu de puzzle permet de confirmer. De même, l'air d'un parallélogramme est égal à sa base B, multiplié par sa hauteur H. Un découpage particulièrement malin permet de le démontrer aussi. On peut faire le même raisonnement puzzle pour montrer que l'air d'un trappais est égal à la somme des longueurs A et B des côtés parallèles, multiplié par la hauteur H et divisé par 2. En effet, en découpant deux trappaises identiques, on peut parfaitement placer les morceaux dans un rectangle de longueur A plus B et de largeur H. Bref, le découpage semble une méthode particulièrement efficace pour retrouver l'air d'un polygone. Mais on peut se poser la question contraire. Peut-on toujours, par ce jeu de tangramme, transformer n'importe quel polygone en rectangle ou encore mieux en carré ? Transformer un objet mathématique en un carré de mémaire, cela porte un nom. C'est ce que l'on appelle une quadrature. La question qui se pose donc ici est de savoir s'il est possible de réaliser la quadrature de n'importe quel polygone par simple découpage. Par exemple, un triangle écoulatéral de côté 2 cm a pour air racine de 3 cm². Il a donc la mémaire qu'un carré de côté racine de racine de 3. La question que l'on est en droit de se poser, c'est de savoir s'il y a un moyen de découper le triangle de façon à obtenir le carré. Et bien sûr, il y a moyen et en seulement 4 pièces. On attribue ce découpage à Henri Dudenet que j'avais évoqué dans la vidéo sur l'énigme des 3 maisons. Fort de ce succès, posons-nous une autre question. Peut-on découper un hexagone régulier de façon à former un carré ? Pour cela, on peut partir d'un hexagone régulier de côté 2 et chercher à former donc un carré de côté racine de 6 racines de 3. Encore une fois, c'est possible et on peut le faire en seulement 5 morceaux, bien que le découpage ait loin d'être évident. On peut renouveler l'expérience avec un hexagone régulier à cette côté. En seulement 7 pièces, il est aussi possible de le découper de façon à former un carré. Des quadratures comme celle-ci, Gavin Theobalt s'en effectue sur son site sa spécialité. On peut y trouver par exemple le découpage d'un polygone régulier à 54 côtés en un carré et en seulement 24 pièces. Mais tout ça, ce ne sont que des exemples. Est-il possible de le faire de manière générale sur n'importe quel polygone ? Eh bien oui, la question a été posée par Farkas Boliaï à la fin du XVIIIe siècle et William Wallace l'a démontré au début du XIXe. Ignorant la démonstration de Wallace, Paul Gerwayne l'a redémontré dans les années 1830. Dans tout ça, Boliaï finit par trouver tout seul une réponse à sa question dans les mêmes années 1830, ignorant que 2 autres mathématiciens l'avaient fait avant lui. C'est ainsi que le théorème sera finalement baptisé théorème de Wallace Boliaï Gerwayne. Pour transformer un polygone en carré, la méthode est la suivante. On commence par trianguler le polygone, c'est-à-dire le découper en plusieurs triangles. Ensuite, on découpe chaque triangle de manière à former des rectangles. On découpe ensuite chacun de ces rectangles de façon à obtenir des carrés. Et enfin, on découpe deux à deux ces petits carrés de façon à recomposer un carré plus gros. Toutes ces opérations peuvent être faites, quelle que soit la forme des triangles initiaux. Si bien qu'en suivant pas à pas cette méthode, on peut transformer n'importe quel polygone, aussi tordu soit-il en un carré de même air. CQFD. Le principal désavantage de cette méthode, c'est qu'elle produit des découpages avec un nombre de pièces qui puissent être très grands. Mais la méthode fonctionne tout le temps et c'est quand même la seule chose qu'on lui demande. Dans toute cette histoire, il y a une quadrature dont je n'ai pas encore parlé, celle du cercle. Est-il possible de découper un disque de façon à obtenir un carré de même air ? Contrairement à une rumeur particulièrement tenace, cette quadrature du cercle est parfaitement possible. Le premier souci, c'est que le découpage découvert par Tarski demande environ 10 puissance 50 morceaux. Le deuxième souci, c'est que ces morceaux ont des formes qui n'existent que dans le monde mathématique et qui ne peuvent pas être réellement découpés avec des simples ciseaux. Une sombre affaire d'action du choix que j'évoquerai probablement dans une autre vidéo. De toute façon, un disque n'est pas un polygône donc cette quadrature borderline ne remet pas du tout en cause le théorème de Wallace Boliaid-Jarowe. Attention cependant à ne pas confondre cette quadrature du cercle par découpage, qui est possible sous certaines hypothèses, avec la quadrature du cercle classique à la règle et aux compas qui elle, effectivement, a été démontrée comme étant impossible. Bref, tout polygône peut être ramené par découpage à un carré. Autrement dit, toutes les formules de calcul d'air des polygônes peuvent être démontrées par de simples découpages. Bon, tout ça c'était pour les polygônes, figure de dimension 2, mais retrouvent-on la même chose avec les polyèdres, c'est-à-dire des formes géométriques en 3 dimensions. Revenons un peu sur les formules de volume. Les polyèdres de base ce sont le cube, dont le volume est égal à son côté élevé au cube, et le pavé droit, dont le volume est le produit de ces 3 côtés. Il y a aussi les prismes, dont le volume est égal à l'air de leur base, multiplié par leur hauteur. Et puis, il y a les pyramides. Le volume d'une pyramide est donné par l'air de sa base, multiplié par sa hauteur, le tout divisé par 3. Cette formule fonctionne sur tous les types de pyramides, qu'elles soient à base triangulaire, carré, polygonale, qu'elles soient droites ou qu'elles soient oblites. Ce que nous dit donc cette formule, c'est que le volume de 3 pyramides est égal au volume d'un prisme droit, de même base et de même hauteur. Prenons par exemple 3 pyramides, dont la base est un carré, et telle que 2 de ces faces latérales soient des triangles rectangles isocèles. D'après la formule, chaque pyramide a pour volume le tiers du volume d'un cube de même base. Avec 3 pyramides, on a donc le même volume que dans ce cube. Et bien, cette propriété se retrouve par le découpage puisque, en assemblant ces 3 pyramides de la bonne façon, on se retrouve avec notre cube. Prenons maintenant une pyramide droite, dont la base est une nouvelle fois un carré, et dont la hauteur est égal à son côté. D'après la formule, cette pyramide a exactement le même volume que la pyramide oblique de l'exemple précédent. Rien empêcherait donc à priori que l'on puisse découper la première pyramide de façon à obtenir la deuxième. Et pourtant, après de bien nombreux découpages s'infructueux, Gauss a fini par conjecturer, dans la première moitié du XIXe siècle, que ce découpage-là était impossible, sans réussir à le démontrer. La question donc que pose Hilbert en 1900 et la suivante, existe-t-il des poulièdres non congruents ? Quand Hilbert parle de poulièdres congruents, il entend que l'un peut être découpé en petits poulièdres de façon à reformer l'autre. Par exemple, un prismabase hexagonale et un cube sont congruents, dès lors qu'ils ont le même volume. La réponse à la question d'Hilbert ne se fera pas attendre très longtemps, puisque c'est l'un de ses étudiants, Max Den, qui donnera la réponse en 1900. Il existe bien des poulièdres non congruents, et les deux pyramides en sont un exemple. Pour le prouver, Den a construit sur les poulièdres ce que l'on appelle un invariant. En mathématiques, un invariant est une quantité qui ne change pas malgré des transformations. Ainsi, si deux objets n'ont pas le même invariant, c'est que l'un ne peut pas être transformé en l'autre. Reprenons l'exemple des polygones, et la transformation qui consiste à découper puis recomposer un autre polygone. On peut imaginer plusieurs quantités qui peuvent prétendre au statut d'un invariant, comme par exemple à somme des angles ou la somme des longueurs. Le problème, c'est que ces quantités sont modifiées lors d'un découpage. Ce ne sont donc pas des invariants pour cette transformation. Au contraire, l'air du polygone est une quantité qui ne change pas quel que soit le découpage que l'on fait. L'air est bien un invariant. On a même montré plus, avec le theorem de Wallace Bollinger-Wain, cet invariant est caractéristique de la congruence des polygones. Si deux polygones ont la même air, alors ils sont congruents et réciproquement. En trois dimensions, le problème est un peu plus compliqué. La mesure du volume est bien un invariant, puisque après un découpage recollage, un polyèdre garde bien entendu le même volume. Cependant, cet invariant n'est pas caractéristique. Il est nécessaire, mais pas suffisant. Rien ne prouve que si deux polyèdres ont le même volume, alors ils sont congruents. Il faut donc trouver quelque chose de plus spécifique au découpage 3D. Et c'est ce que Den a découvert, ce sont les angles. Alors il est hors de question que je rentre dans les détails de la construction de Den, puisqu'elle utilise des structures algébriques qui sont très loin d'être triviales. On peut quand même dire dans les très grandes lignes que l'invariant caractéristique de la congruence, c'est la famille d'angles qui apparaît dans le polyèdre. On ne parle pas ici des angles des faces, mais des angles d'yèdres. C'est-à-dire les angles formés entre les différentes phases du polyèdre. Par exemple, tous les angles d'yèdres du cube sont des angles droits. Dans un prisme régulier à basse triangulaire, les angles d'yèdres qui apparaissent mesure temps radiant pi sur 2 et pi sur 3. Dans la première pyramide oblique à basse carré, les angles d'yèdres qui apparaissent mesure temps radiant pi sur 2, 2 pi sur 3 et pi sur 4. Dans tous ces cas, les angles d'yèdres appartiennent à la même famille, celles des angles qui sont en radiant une fraction rationnelle de l'angle pi. D'après le théorème de Den, tous ces polyèdres ont le même invariant caractéristique et sont donc congruents. Par contre, les angles d'yèdres de la pyramide droite valent arc-tangentes de 2 et arc-tangentes de 4 tiers, des angles qui ne peuvent pas être écrits en radiant comme une fraction de pi. Il s'agit donc ici d'une tout autre famille d'angle. Cette deuxième pyramide n'a donc pas le même invariant de Den que le cube ou que la première pyramide. Il est donc rigoureusement impossible de former par puzzle un cube à partir de morceaux découpés dans cette pyramide. Bref, quand Euclid a démontré pour la première fois les formules d'air et de volume dans les années 300 avant Jésus-Christ, il a utilisé essentiellement des méthodes découpage pour déterminer les airs polygones. Pour ce qui est du calcul des volumes, des cônes, pyramides et autres cylindres, Euclid n'est pas parvenu à procéder par découpage et a dû donc utiliser la méthode d'exhaustion qui, sans rentrer dans les détails, est un ancêtre du calcul intégral que l'on utilise aujourd'hui pour faire les calculs de volume. Ce n'est donc que 2200 ans plus tard que l'on a enfin pu démontrer une bonne fois pour toutes que si Euclid a dû procéder ainsi, c'est simplement parce qu'il n'avait pas eu d'autre choix.