 Voilà donc j'ai écrit au tableau à la fois le plan du général du cours, le plan d'aujourd'hui et donc la dernière fois on a énoncé un certain nombre de choses, en particulier ces deux théorèmes dont on avait laissé les démonstrations en suspens, donc le cours d'aujourd'hui pour objet de donner les démonstrations de ces deux théorèmes, donc la dernière fois on avait vu dans le paragraphe 3 que ces deux théorèmes avaient évidemment des conséquences pour les motifs mais ce sont des théorèmes de théories des catégories et aujourd'hui on sera entièrement dans le contexte de la théorie des catégories et plus précisément de la logique catégorique avec des notions associées qu'on va voir que je vais introduire parce que en général elles ne sont pas connues des géomètres agévristes et puis j'annonce tout de suite que la semaine prochaine qui sera le dernier cours donc je présenterai quelques questions qui se posent à la suite de ce travail donc pour ces questions on va revenir vers la géométrie algebraique. Voilà donc d'abord le premier paragraphe ou donc je veux préciser des notions de logique dont on a besoin qu'on a déjà introduit en partie la dernière fois et en particulier la distinction fondamentale entre syntaxe et sémantique. Alors on va commencer par la syntaxe c'est à dire la notion de théorie, une théorie consiste toujours en un langage alors les logiciens disaient une signature et des actions. Donc on va d'abord introduire la notion de signature donc une signature donc ça signifie langage du premier ordre tout ce qu'on considère ici et du premier ordre. Alors donc un tel langage consiste en trois types possibles d'objets donc d'abord ce qu'on appelle des sortes alors il faut comprendre que ce sont des noms d'objets par exemple si vous voulez introduire la théorie des groupes vous allez dire soit g en groupe donc c'est un nom d'objets ensuite des symboles de fonction il faut comprendre que ça signifie des noms des noms de flèches des noms de morphisme plus précisément enfin on va le voir un peu plus tard quand on va interpréter ces choses mais les les symboles de fonction portent toujours d'une famille finie de sorte donc 1 a n vers une autre sorte b et il peut se produire qu'au départ il n'y ait aucune sorte donc dans ce cas là on parle de symbole de constante par exemple si on veut définir l'élément neutre dans un groupe donc ça ça va être donné par un symbole de constante donc ceci va devenir plus clair quand ensuite on va parler de la sémantique mais il faut commencer par la syntaxe et enfin le troisième type d'objet dont on n'avait pas eu besoin la dernière fois quand on avait introduit la théorie régulière d'une représentation t c'est la notion de symbole de relation donc c'est il faut comprendre que ce sont des noms de sous objets dans des produits quand je dis produit c'est toujours produit fini dans des produits finis d'objets nommés par par des sortes par exemple si vous voulez définir la notion de relation d'ordre de relation d'équivalence voilà c'est des cas particuliers de relation voilà donc maintenant voilà les signatures souvent on les dénotera comme ça par un sigma majuscule et alors quand on a une signature c'est à dire un langage on peut définir à partir de lui on peut commencer à former dans ce langage des mots des phrases oui donc d'accord mais donc ceci est donc en face à quelque sorte un métal langage qu'on va utiliser pour former à partir de ce langage donc les différentes formules que je vais introduire ici les quantificateurs vont apparaître ici alors donc on est dans une signature donnée et alors d'abord il y a ce qu'on appelle les termes de la signature sigma donc qu'est ce que c'est ce sont des familles finis de variable alors qu'on vous note comme ça x avec une flèche au dessus flèche pour dire qu'il y en a plusieurs et chaque variable étant associé à une sorte et bien sûr on peut avoir plusieurs variables associées à la même sorte voilà donc famille finie de variable associé chacune à une sorte et de symboles de fonction donc des choses comme ça ou de composés de telles symboles parce qu'on a le droit de substituer portant sur ces variables donc si par exemple vous avez un symbole de fonctions comme ça puis des variables x x1 xn avec les sortes associées à un n vous pouvez former le terme f de x1 xn et puis par exemple vous pouvez remplacer l'un des xy par une fonction à valeur dans la sorte associée à la variable xy voilà donc ce sont les termes ensuite après les termes il y a les formules atomiques donc elles sont constituées à partir des termes constituées à partir des termes en s'autorisant à substituer ceci dans des symboles de relation vous voyez que dans les termes les symboles de relation n'apparaissaient pas uniquement les symboles de fonction dans les formules atomiques vous vous autorisez vous considérez les symboles de relation et vous vous autorisez à substituer dedans des symboles de fonction voilà donc dans des symboles de relation de sigma donc ceux qui ont été introduits là ou dans la relation d'égalité entre termes entre variables par exemple si vous avez deux fonctions f et f prime qui vont vers la même sorte et bien f égale f prime et une formule atomique dans le langage sigma oui oui l'important évidemment si on a une relation d'égalité il faut qu'on aille vers la même sorte mais en revanche au départ on peut avoir des choses différentes oui donc ça on va le voir mais un peu plus tard disons le pour le moment vous voyez donc ici j'ai un stock en quelque sorte un stock infinie de variable dans lesquels je peux puiser pour écrire mes formules mais ensuite on va voir ce qu'on appelle un contexte dans lequel on peut écrire une formule alors voilà donc ensuite il y a la notion de formule régulière donc ça on l'avait vu la dernière fois donc toujours dans le le langage sigma donc elles sont déduites des formules atomiques des formules atomiques en ajoutant d'abord on s'autorise à on ajoute ça qui est le symbole du vrai qu'on voit pour le moment sans variables libres on s'autorise aussi à former des conjonctions finitaires et on s'autorise à former à utiliser le quantificateur existentiel en une partie des variables voilà donc à partir des formules atomiques on peut former comme ça des choses plus complexes en utilisant bon le symbole du vrai les conjonctions et le quantificateur existentiel portant sur une partie des variables ensuite quand on va interpréter bien sûr ça correspondra à une projection alors ensuite il y a la notion de formule géométrique alors déduite des formules régulière en ajoutant en autorisant des combinaisons avec d'abord la formule du faux on introduit ici la formule du faux et ici on autorise aussi des déjonctions infinitaires donc c'est souvenir que ici dans la notion de formule régulière on a le droit qu'il y a des conjonctions finitaires alors que là dans la notion de formule géométrique on a le droit à des déjonctions infinitaires qui peuvent elles-mêmes vous voyez vous avez des déjonctions infinitaires portant sur des formules géométriques ce pardon sur des formules régulières donc dans les formules régulières elles-mêmes vous avez déjà vous pouvez déjà avoir des conjonctions finitaires bon puis le enfin la dernière notion que je voudrais introduire c'est celle de formule du premier ordre c'est vraiment dans cet ordre là c'est à dire vous avez le droit de former des déjonctions infinitaires deux conjonctions finitaires mais vous n'avez pas le droit de former des conjonctions de déjonctions ok et dans la définition de formule régulière est-ce qu'on a le droit de répéter comment on veut les deux donc oui oui on peut répéter autant de fois qu'on veut voilà simplement il ya un ordre c'est à dire que l'ordre il est dans la distinction elle est là c'est à dire on forme d'abord les conjonctions et ensuite les déjonctions mais en revanche les conjonctions et le quantificateur existentiel par exemple on peut les répéter l'une ou l'autre opération autant de fois qu'on veut dans l'ordre qu'on veut pour vu que ça soit fini je pense que ça oui pour le moment mais ensuite donc je veux introduire la notion de oui donc on n'a pas le formule vrai pour ensemble non v de variable si parce que donc il y a également ensuite on va introduire la notion de contexte donc un contexte et disons que ensuite quand on introduit la notion de séquence donc ce que je vais faire après donc un séquence a consiste toujours en des donc une implication entre formule et les formules sont vues dans un certain contexte donc ce contexte consistant à un nombre fini de variable et les formules sont en un certain nombre de variables libres contenus dans le contexte il peut y avoir plus de variables dans le contexte que qu'il n'en apparaît dans les formules autrement dit implicitement on s'autorise à faire des projections à composer des projections donc en particulier bon là ici la la la la formule du vrai ou du faux on les voit comme en 100 variables libres mais on peut ensuite on va pouvoir les considérer dans un contexte plus large alors voilà donc les formules du premier ordre et ici je vais dire je vais même prendre en fait du premier ordre infinitaire alors elles sont déduites des formules atomiques par combinaison arbitraire avec la formule du vrai la formule du faux les conjonctions finitaires ou infinitaires les disjonctions finitaires ou infinitaires le quantificateur existentiel l'implication l'implication l'implication le quantificateur universelle on s'autorise à l'utiliser on s'autorise à l'utiliser aussi et enfin le passage aux négations c'est à dire si j'ai une formule la remplacé par la négation de cette formule donc ça c'est la négation de la formule fi voilà donc c'est toutes les opérations qu'on s'autorise à faire à partir des formules atomiques à ici bon je choisis de même de prendre des conjonctions et de s'autoriser des conjonctions et des disjonctions infinitaires donc voyez que c'est beaucoup plus large que les notions précédentes de formules régulières ou de formules géométriques voilà et puis enfin il y a la notion de contexte pour de telles formules donc qu'est ce que c'est qu'un contexte ce sont des familles finies de variables donc x qui comprennent les variables libres des formules considérées non donc si on a d'accord donc c'est toujours dans le contexte d'un nombre fini de variable voyez ici quand j'écris contexte contexte de telle formule c'est des familles finies de variables qui comprennent les variables libres des formules considérées donc effectivement donc ceci est autorisé ceci est autorisé ceci est autorisé ce qui doit être fini c'est les variables libres oui oui oui oui oui oui on peut y avoir une infinité de sortes d'ailleurs en fait pour l'application enfin qu'on avait donné la dernière fois la théorie régulière d'un foncteur homologique il y a une infinité de sortes alors pardon non mais ce qui existe c'est des on peut former le le quantificateur existentiel portant sur des variables supplémentaires qu'on ajoute qui voilà voilà oui oui c'est fine c'est-à-dire qu'on ne peut pas faire ça avec des choses en train d'établir les séances des variables de l'Union et l'infini ce n'est pas allowed c'est-à-dire qu'il n'a pas besoin de faire sens parce que c'est une propre thé d'une séquence infinie mais peut-être je ne sais là je ne vous suis plus mais bon je voilà enfin j'écrive cette définition alors ensuite donc on peut introduire la notion de théorie donc on est toujours dans la syntaxe donc ces définitions non d'abord définition 3 donc on est toujours dans le contexte d'une signature du premier ordre alors ce qu'on appelle ck c'est une implication qu'on a de comme ça entre 2 formules dans un certain contexte donc on le note toujours comme ceci donc ici vous avez phi et psi 2 formules du premier ordre au sens qu'on a dit dans le contexte d'un homophilie de variable x donc on va le voir c'est que le signe d'implication qu'on a écrit avant c'est quelque chose qui est qui est interne au langage et que donc on va pouvoir interpréter dans les catégories donc ça va apparaître on va voir que la différence d'interprétation entre les deux est très grande c'est deux choses qui s'interprètent pas du tout de la même façon mais c'est important c'est la c'est la voilà donc donc ceci c'est du métal langage trop en dit c'est en un sens c'est extérieur à sigma alors que là le signe d'implication qu'on autorise dans les formules du premier ordre est quelque chose d'intérieur c'est le langage interne voilà mais ça va devenir plus clair quand on fait la sémantique de ça voilà donc un séquence et donc une telle implication entre formules du premier ordre et puis évidemment on dispose des notions de particulière de séquence régulier donc qu'est ce que ça veut dire qu'un séquence est régulier et ben ça veut dire que les deux formules impliquées sont régulières donc la dernière fois c'est la notion qu'on avait utilisé puis on a aussi la notion de séquence géométrique donc ça veut dire que les deux formules considérées sont géométriques au sens ci dessus donc voilà et alors une fois qu'on a la notion de séquence on peut définir la notion de théorie du premier ordre donc une théorie du premier ordre consiste en deux choses donc une signature un langage plus un ensemble de séquence appelée les actions de la théorie c'est à dire qu'on demande un certain nombre d'implication entre formules sachant que dans les implications entre formules vous avez aussi le cas particulier c'est de déclarer qu'une forme qu'une formule est vrai ou fausse quand vous dites le vrai implique fi ça veut dire que fi est vrai oui ben si on met le tout à sans le faux implique n'importe quoi donc ça mais voilà exactement voilà on impose que la formule soit vérifié voilà donc là voilà donc ça c'est la notion de théorie du premier ordre et puis bien sûr il y a les sous-notions de théorie régulière ou de théorie géométrique donc qu'est ce que c'est qu'une théorie régulière c'est une c'est une théorie dans tous les actions sont des séquents réguliers qu'est ce que c'est qu'une théorie géométrique c'est une théorie dans tous les actions sont des séquents géométriques donc ici on demande que les séquents soient réguliers et ici qu'ils soient géométriques donc c'est des formes plus particulières de théorie on demande que les axiomes de la théorie est une certaine forme voilà donc là en fait on a on a on a terminé avec avec la syntaxe et maintenant on peut passer à la à la sémantique c'est à dire à l'interprétation oui est-ce que est-ce que tu pourrais donner deux trois exemples où on voit des choses qui sont régulières qui sont géométriques qui ne le sont pas je veux dire est-ce qu'est-ce qu'il y a des exemples par exemple simple de théorie qui soit pas du premier ordre qui soit pas du premier ordre donc le bon du premier ordre ça veut dire que les actions portent uniquement sur des éléments des objets on n'a pas d'action qui portent sur des sous-en sur les des collections de sous-ensemble d'un ensemble donné pardon la théorie des espaces de hiberre non elle n'est pas du premier ordre parce que ce qu'ils ont complet bah oui voilà voilà donc typiquement les théories les théories algébriques sont du premier ordre de même les bon les théories de structures ordonnées sont du premier ordre et parmi ces théories là parmi les théories du premier ordre est-ce qu'on peut voir des exemples qui soient qui soient pas géométriques par exemple c'est-à-dire par lequel en fait que l'intersection est finie il y a un résultat qui est tout théorie du premier ordre une théorie géométrique qu'elle est même modèle c'est ce qu'on appelle la moralisation la moralisation d'une théorie quand on a une théorie du premier ordre il y a une manière canonique de lui associer une théorie géométrique qui a les mêmes modèles ensemble d'accord donc de l'arrêt du premier ordre il faut qu'il soit géométrique oui d'accord donc alors donc bon ayant introduit la syntaxe je veux maintenant passer à la sémantique donc d'abord faut introduire la notion de sigma structure donc on est dans une certaine signature sigma et on considère maintenant on va interpréter les choses dans une certaine catégorie c'est qui possède des produits finis c'est la seule hypothèse pour le moment qu'on fait sur cette catégorie qu'elle admet des produits finis en particulier elle admet un objet final alors qu'est ce que c'est qu'une sigma structure dans c et bien c'est une une manière d'interpréter les symboles qui définissent la signature sigma c'est à dire la signature sigma consiste en des noms et justement ces noms vont nous permettre de nommer des objets dans la catégorie c alors donc formalement ça consiste d'abord en une font enfin en plusieurs fonctions la première fonction c'est ça consiste à associer à toutes sortes à de sigma un objet donc ceci c'est un objet de la catégorie c un voyez que le on nomme des objets de la catégorie au moyen de notre collection de noms d'objets ensuite il ya une deuxième fonction qui consiste à associer à tout symbole de fonction quand j'ai un symbole de fonction comme ça et ben je lui associe je lui associe une flèche alors c'est le fait qu'est ce que je fais je considère les objets qui ont été nommés au moyen des sortes à un n et l'objet qui a été nommé au moyen de la sorte b et ce que ce que je forme c'est une flèche de la catégorie qui va du produit de ces objets dans cet objet là donc une sigma structure ça va être donc une collection d'objets arbitraires nommé par les sortes avec une collection de flèches comme ça allant des produits de ces objets vers les objets et nommé par les noms de flèches qu'on a choisi et puis enfin il ya les symboles de relation donc c'est une troisième fonction quand j'ai un symbole de relation donc connaîté comme ça voyez c'est à dire un nom de sous-objet dans une collection à un de sorte et ben qu'est ce que c'est c'est donc une fonction qui a toute telle relation associe un sous-objet mr du produit des objets nommé par un à deux et à n qu'est ce que ça veut dire sous-objet dans une catégorie ah oui donc là effectivement j'ai oublié une chose c'est que non mais ça a un sens parce que il ya une notion de monomorphisme ça veut dire simplement un monomorphisme c'est tout arrive à ce stade là il n'y a pas autre chose que ça hein pour le moment voilà c'est si les relations ça intervient des les formules atomiques oui par exemple mais on peut également substituer on peut d'abord les formules les relations elles-mêmes les sont des formules atomiques et en plus on s'autorise à substituer dans les relations des symboles de fonction éventuellement composées entre tout ceci forme ce qu'on appelle les formules atomiques c'est pas sur le fait qu'il y a des primes non non c'est aussi il ya les relations d'égalité et puis il ya également les relations qu'on a qui font partie de disons les symboles de relation de la signature sigma voilà donc ça c'est la notion de sigma structure hein donc voilà c'est simplement la possibilité de nommer donc par exemple si on a la théorie des groupes bah ça a un sens de parler d'objets en groupe dans je sais pas la catégorie des espaces topologiques enfin n'importe quelle catégorie dans laquelle il ya une notion de produit quand on a un symbole de constante c'est à dire que ici n égale 0 ce qui remplace ici ce produit c'est l'objet final de la catégorie c'est posé en particulier qu'un objet final dans la catégorie alors maintenant quand vous avez une catégorie c vous pouvez vous pouvez considérer toutes les sigma structure de c et ça ça vous définit une catégorie toutes les sigma structure de c pour un sigma donné forme une catégorie et puis vous pouvez aussi remarquer que si vous avez deux catégories reliées par un foncteur qui commute à la à la formation des produits et bien ceci définit un foncteur qui va de la catégorie des sigma structure de c vers la catégorie des sigma structure de d voilà alors la flèche dans cette catégorie de sigmar structure sur c donc je me donne une structure oui ça va être donc une ça va consister en une collection de flèches entre les objets nommés par les symboles par les sortes et par les symboles de relations donc une collection de flèches et je veux que tous les diagrammes soient commutatifs c'est plus tendant semble c'est ça l'air d'une transformation naturelle plutôt qu'une catégorie non faut faire attention parce que le sigma les sortes les symboles de fonctions les symboles de relations tout ça forme un ensemble veut dire qu'il n'y a pas de c'est une catégorie c'est une vraie catégorie mais c'est une catégorie discrète ça veut dire que il n'y a pas de il n'y a pas de flèches qui sont par isomorphismes entre le corps bon je pense que voilà ok alors bon voyez que déjà la la avec la notion de sigma structure donc on a une interprétation pour les sortes c'est-à-dire pour les noms d'objets pour les noms de fonctions pour les symboles de relations et bien sûr on a également une interprétation quand on compose les symboles de fonctions les uns avec les autres on peut composer donc ça veut dire que les termes au sens qu'on a dit tout à l'heure s'interprète également dans une sigma structure simplement par par composition alors maintenant bien sûr on veut pouvoir interpréter les différents les différents types de formule qu'on a introduit on veut interpréter dans une sigma structure les différents types de formule qu'on a introduit alors pour que ça soit possible il va falloir demander aux catégories qu'on considère de vérifier des propriétés supplémentaires donc donc ça va être la définition suivante voilà donc on considère les sigma structure voilà donc à valeur dans une catégorie c et puis maintenant on veut interpréter les divers procédés de construction de formule qu'on a introduit et vous allez voir immédiatement qu'est ce qu'il faut demander à ces catégories c'est pour que ça y a un sens alors d'abord il ya les substitutions de termes dans des relations donc ça c'est ce qui permet de former les formules atomiques et ça commence à s'interpréter ça s'interprète comme des images réciproques de sous-objet voilà je supposais que ça existe ensuite il ya la formule du vrai dans un contexte dans le contexte d'un encore une fois on s'autorise des contextes qui peuvent être beaucoup plus grandes dans la formule du vrai n'a pas de variable libre mais on peut la considérer dans un contexte arbitraire donc on a un contexte ici avec donc une famille finie de variable associé à des sortes à un à n bon bah comment interpréter ça et bien il faut l'interpréter dans le produit des objets associés et le vrai bah c'est le sous-objet total d'accord alors maintenant il ya la formule du faux bah là c'est le contraire c'est le sous-objet initial que vous pouvez appeler le vide si vous voulez alors bien sûr il faut qu'il faut qu'il y a un sous-objet initial mais est ce que l'image inverse réciproque de ça est de faux et faux donc l'objet initial il n'y a il n'a pas qu'une une surprise de l'objet initial d'abord qu'est l'objet non initial dans le comme sous-objet donc je pense donc ici ici on pense non parce que l'on demande pas que l'image réciproque d'un objet initial soit l'objet du sous-objet initial soit le sous-objet initial on demande pas ça non on n'a pas les règles on n'a pas dans notre d'analogique en question ou dans les règles des logiques et l'effort intuitivement l'effort donc si vous n'avez pas d'institutions dans un topos effectivement ça se passe pas comme ça mais pas dans une catégorie quelconque non non bien sûr dans un topos bon ensuite donc il ya les les conjonctions donc les coges finitaires ou infinitaires bon ben on va les interpréter comme des intersections sous-objets intersection de sous-objets ensuite il ya les disjonctions finitaires ou infinitaires ben on les interprète comme des réunions de sous-objets absolument chaque fois on voit de quelle hypothèse on a besoin sur les catégories pour que ceci a un sens ensuite on va définir des types plus particuliers de théorique dans lesquels on peut interpréter les formules régulières ou les formules géométriques ou les formules du premier ordre de manière générale alors ensuite il ya le quantificateur existentiel donc son interprétation c'est l'image par projection sur un sous-produit c'est à dire vous avez quelque chose qui définit sur un produit un sous-objet d'un produit d'un certain nombre de facteurs et vous considérez la projection sur un sous-produit vous prenez son image alors bien sûr il faut que les images existent dans la catégorie alors ensuite il ya le quantificateur universel donc là celui-ci en fait il est un peu plus compliqué on peut quand même l'interpréter je vais le dire ce que c'est donc c'est l'image par le foncteur adjoint à droite du foncteur d'image réciproque sur les sous-objets d'un sous-produit c'est à dire ce que vous considérez c'est une projection d'un produit sur un sous-produit donc vous avez un foncteur qui va des sous-objets de ce sous-produit vers les sous-objets du gros produit et alors ce que vous demandez c'est que ce foncteur là est un foncteur adjoint à droite et quand il existe c'est comme ça qu'on interprète le quantificateur universel pourtant sur donc une partie des variables ensuite il ya l'implication alors qu'est ce que c'est que l'implication vous avez deux sous-objets un et à deux deux sous-objets d'un objet A donc vous allez leur associer un autre sous-objet que vous notez comme ça donc c'est quoi c'est le plus grand sous-objet de A tel que son intersection avec A1 est contenue dans A2 alors bien sûr il faut qu'il existe un tel vous voyez le plus on demande que parmi tous les sous-objets qui vérifient cette propriété il y en est un plus grand et on l'appelle A1 implique A2 c'est à isomorphisme près ou c'est à isomorphisme près mais la catégorie quelles fondements sont des classes avec sur les classes d'isomorphisme de sous-objets vous avez une relation d'ordre naturel donc c'est à ça qu'on fait référence c'est pas légal quand on a toujours des questions débiles donc pourquoi c'est pas la même chose que l'intersection de A1 et A2 non non non parce que tu vois si par exemple t'es dans la catégorie des ensembles donc A1 implique A2 c'est donc ça veut dire son intersection avec A1 c'est A1 inter à 2 mais compléter auquel tu ajoutes le complémentaire de A1 voilà et enfin la dernière chose qui reste à interpréter c'est la négation donc on considère un sous-objet A d'un objet B et qu'est ce que c'est que la négation qu'on va noter comme ça c'est le plus grand sous-objet de B dont l'intersection avec A est égal au sous-objet initial est égal au vide donc vous voyez qu'ici on demande pas du tout la loi du tiers exclu mais voilà donc oui mais le en revanche la double négation n'est pas l'objet de départ quand on dit le plus grand est-ce que c'est toujours possible à vérifier que si vous avez un nombre fini de telles soeurs alors le soupe vérifie aussi la propriété donc je me simplement donner une idée de la manière dont on interprète ces choses bien sûr que pour que tout cela ait un sens il faut demander aux catégories de vérifier des propriétés donc ça demanderait du temps d'écrire de quelle propriété on a besoin exactement à chaque fois pour que ces choses aient un sens simplement j'ai voulu donner une idée de l'interprétation oui voilà alors bon maintenant on a voilà donc ici j'ai indiqué j'ai indiqué les différentes manières d'interpréter les choses alors maintenant je vais me restreindre à des théories un peu plus un peu plus particulière donc ce qui m'intéresse les théories régulières les théories géométriques et puis bon quand même en général les théories du premier ordre alors donc ici on donne quand même un énoncé qui justement on va spécifier au moins dans certains cas quels sont les bonnes catégories alors premièrement donc les formules régulières de sigma s'interprètent dans les sigma structure m dans les sigma structure m d'une catégorie c si c est une catégorie régulière au sens suivant alors il y a deux propriétés premièrement on demande que c est cartesienne c'est à dire à des limites finie arbitraire quand je dis limites je veux dire limites projectives limites projectives finie arbitraire et puis il y a une deuxième condition c'est que tout morphisme de c possède une image c'est à dire un plus petit sous-objet à travers lequel le morphisme factorise et on demande que la formation des images commute au changement de base voilà donc c'est les deux propriétés bah ça veut dire on a une flèche d'accord ici un morphisme de changement de base donc comme il y a des produits finis je peux former ce carré cartesien et ce que j'ai c'est que l'image de cette flèche ici et l'image réciproque de cette image voilà ensuite ensuite il y a ben la même chose oui est ce qu'est ce qu'on sait que l'image de quelque chose qui est non vide et que cette image est non vide c'est quoi c'est quoi chose non vite à la catégorie alors donc ensuite il ya les formules géométriques donc s'interprète dans les catégories qu'on appelle géométrique donc qu'est ce que c'est qu'une catégorie géométrique ça veut dire d'abord que la catégorie est régulière au sens précédent et que il y a des réunions arbitraires de sous-objet dans n'importe quel objet dont la formation commute au changement de base oui parce qu'on peut prendre la réunion la réunion sur le vide donc donc il ya le sous-objet vide et est-ce qu'on sait déjà justement que l'image de non vide et non vide je pense que l'image au ray mais je pense qu'on sait d'après ça l'image réciproque de vide et vide parce que les réunions donc si vous avez un sous-objet non vide si vous avez un sous-objet non vide parfaite ensuite donc les formules du premier ordre en général on pourrait dresser une longue liste de toutes les propriétés dont on a besoin mais en fait ici je vais pas donner quelque chose de nécessaire simplement quelque chose de suffisant les formules du premier ordre donc les plus générales s'interprètent dans l'éto-poste je rappelle qu'un topos par définition c'est une catégorie équivalente à la catégorie des faisceaux sur un site au sens de rotandique oui topos de rotandique et pas dans l'éto-poste plus... non non mais je dis bien que la condition que je mets là n'est pas nécessaire elle est suffisante et bon de toute façon pour fabriquer des catégories qui vérifient toutes les propriétés dont on a besoin et qui soit pas d'éto-poste non non il est facile de fabriquer en prenant dans l'éto-poste de condition bah voilà donc en prenant dans l'éto-poste d'accord on prend une sous-catégorie stable par toutes les opérations dont on a besoin voilà donc maintenant une fois qu'on a fait ça une fois qu'on a interprété les formules oui je comprends pas ce que ça veut dire une formule s'interprète bah elle s'interprète toujours comme un sous-objet dans un produit à une formule c'est toujours dans un certain contexte c'est à dire qu'on a un nombre fini de variable associé chacune à une sorte donc ces sortes appelons les 1 à 2 à n et l'interprétation c'est un sous-objet de m à 1 fois m à 2 fois m à n donc toute formule s'interprète comme un sous-objet du produit d'objet qui correspond au contexte choisi pour la formule c'est la formation d'un sous-objet c'est voilà c'est des règles de formation de sous-objet alors maintenant on a la définition suivante qui donc on arrive enfin à la fin de la de la cémantique c'est à dire la notion de modèle d'une théorie donc au considère t une théorie donc on va prendre régulière respectivement géométrique respectivement du premier ordre c'est les trois théories qui nous intéressent et puis on considère c une catégorie qui est régulière respectivement géométrique respectivement à topos alors maintenant on a la notion de modèle m de la théorie t dans la catégorie qu'on considère donc qu'est ce que c'est ben par définition c'est une sigmar structure m dans la catégorie c donc la notion de sigmar structure ne fait appel k la signature de la théorie mais donc c'est une sigmar structure m de c tel que pour toute axiom de la théorité donc je rappelle que les actions ce sont des séquents alors qu'ils peuvent être des séquents réguliers dans le cas régulier des séquents géométriques dans le cas géométrique des séquents du premier ordre dans le cas le plus général donc pour toute axiom qui a cette formule là donc dans un certain contexte ça veut dire quoi ça veut dire que vous pouvez interpréter dans votre sigmar structure m la formule phi et la formule psy comme deux sous-objet d'un même produit d'objet vous avez l'interprétation qu'on peut noter comme ça ici psy m donc ce sont deux sous-objet d'un même produit d'objet et donc ce que vous demandez c'est d'avoir une relation d'inclusion donc si cette condition là est vérifiée pour tous les actions vous dites que vous avez un modèle de la théorie alors évidemment quand vous avez exactement comme on avait considéré la catégorie des sigmar structures dans une catégorie c on peut aussi considérer les modèles de la théorité dans la catégorie c qu'on considère dans la catégorie c qu'on considère et ceci bien sûr les modèles forme une catégorie c'est même c'est simplement c'est une sous-catégorie pleine de la catégorie des sigmar structures bon ensuite bien sûr on s'intéresse aux propriétés de functorialité donc on va prendre alors ici donc on va prendre t une théorie qui est régulière ou géométrique et on considère un functeur entre deux catégories régulière ou respectivement géométrique qui est régulier respectivement géométrique bon le sens est évident donc régulier ça veut dire que ça commute à la formation des produits fibrés finis des limites finis ainsi qu'à la formation des images et géométrique ça veut dire que ça commute à la formation des réunions de sous-objets en plus d'être régulier bon ben si on a un tel functeur et ben évidemment il introduit il il définit un functeur de la catégorie des modèles de thé dans c vers la catégorie des modèles de thé dans ces primes par simple restriction du du functeur par simple restriction du functeur au niveau des sigmas structure alors ici vous voyez qu'il y a ce mot géométrique qui apparaît et en fait là ici faut tout de suite faire une remarque importante c'est que en depuis coténdique on dispose en particulier de la notion de morphe géométrique de topos si on a deux topos donc un morphisme géométrique qu'est ce que c'est c'est une paire de functeur qu'on appelle l'image directe et l'image réciproque donc f étoile en bas f étoile en haut on demande que le functeur d'image réciproque soit joint à gauche du functeur d'image directe donc la définition d'un morphisme géométrique c'est une paire de tels functeurs adjoint absolument donc c'est ce que j'allais dire il y a une condition supplémentaire c'est que ce functeur là le functeur d'image réciproque commute au limite fini et bien sûr il commute au co-limit arbitraire parce que c'est un adjoint à gauche et le functeur d'image direct commute au limite arbitraire parce que c'est un adjoint à droite je pense que chez grotte d'il n'y a pas géométrique il a seulement morphe un peu de poste est-ce que ici il y a des morphe qui ne sont pas géométrique aussi dans le cadre c'est-à-dire morphe en sens une transformation naturelle entre le topos c'est pas forcément un morphisme géométrique disons pour nous disons cette définition là elle vient de elle vient de quoi elle vient de ce que disons quand on est dans une situation géométrique donc de la géométrale gébrique de la topologie en fait toutes les situations classiques donc chaque fois qu'on a par exemple un morphisme de variété un morphisme de schéma etc ça induit un morphisme de topos en ce sens là on a toujours donc c'est pour ça qu'on peut employer ce terme de morphisme géométrique d'accord et alors là donc la remarque importante c'est que si vous avez une morphisme géométrique de topos en ce sens là et bien en particulier la partie image réciproque qui donc va de e prime vers e donc c'est un foncteur attention du topos d'arrivée vers l'autopos de départ donc ceci est un morphisme je est un foncteur géométrique non c'est un foncteur géométrique au sens qui est là non mais en même temps je pense que la notion de théorie géométrique catégorie géométrique c'est vraiment venu de là je pense que c'est venu de là donc ceci est un foncteur géométrique en particulier si t est une théorie géométrique et bien il y a un foncteur des modèles associés qui va donc des modèles de thé dans l'autopos d'arrivée vers les modèles de thé dans l'autopos de départ autrement dit si vous vous placez sur la deux catégories des topos où les flèches sont les morphismes géométriques d'autopos en ce sens là donc si vous vous placez sur la deux catégories d'autopos et bien une théorie géométrique définit un deux foncteur contra variant la dessus voilà et donc ça c'est le donc c'est le le le paragraphe suivant mais avant de passer au paragraphe suivant je voudrais quand même faire tout de suite une remarque c'est que si vous prenez pour thé non plus une théorie géométrique mais une théorie du premier ordre et bien bien sûr on a dit que les théories du preuve quand on a une théorie du premier ordre on peut considérer ces modèles dans un topos donc dans dans la situation où nous sommes on dispose des catégories de des catégories de modèles dans les deux topos qu'on considère mais en général il n'y a pas de foncteur pour avoir un foncteur assuré il faut que la théorie soit géométrique et donc là je peux peut-être faire tout de suite un commentaire c'est que ça peut être embêtant parce que par exemple imaginez que vous vouliez formuler la notion de dimension puisque notre objectif c'est de comparer les théories comologiques en particulier on s'attend à ce que les espaces de comologie et tous la même dimension sur leur corps de base respectif des dimensions d'espaces de comologie de schéma x à coefficient dans ql qp etc et donc on s'attend à ce que les dimensions soient les mêmes et même les dimensions des espaces propres voilà donc ça ça veut dire qu'on s'attend à ce que ces propriétés de dimension soient stables par des des foncteurs naturels bon donc ça j'en parlerai la prochaine fois mais ici la remarque que je vais faire c'est que pour formuler cette notion de dimension et ben on a besoin de la logique du premier ordre tout entière la logique géométrique suffit pas ça apparaît parce que vous avez des des quantificateurs universelles qui apparaissent dedans d'abord vous avez bon de toute façon j'expliquerai ça la prochaine fois mais le mais voyez les espaces alors ça dépend comment on formule les choses ça dépend c'est à dire on d'accord on peut retrouver la notion de dimension si on a des morphismes trace mais pour ça donc il faut avoir intégré dans la théorie la dualité donc c'est un choix qu'on peut faire et puis bon ça va peut-être poser problème quand on s'intéresse à des espaces propres ou des choses comme ça et puis bon donc disons que jusqu'à présent j'en parlerai la prochaine fois mais disons la bonne formulation des choses n'est pas du tout clair a priori il y a un très grand nombre de choix possible et donc si on ne prend si on ne met pas la dualité dans la théorie on a besoin pour formuler la dimension de la logique du premier ordre la logique géométrique ne suffit pas et donc ici on aimerait bien que dans que que pour les théories qu'on va regarder les topos qu'on veut regarder il y est de tel foncteur et en fait donc c'est l'une des justifications pour le quelque chose que je dirais la prochaine fois c'est à dire que le donc olivia s'attend à ce que le le le le topos classifiant des théories homologiques un ce que barbière il y allait proposer de nommer le topos motivique donc il s'attend à ce que ce topos est une propriété très particulière d'être atomique à deux valeurs j'expliquerai ce que ça veut dire et ça c'est la conséquence suivante c'est que qu'on se considère un point d'un tel topos c'est à dire un foncteur géométrique amorphie géométrique qui va du topos des ensembles vers un tel topos et bien le foncteur induit lui respecte toutes les formules du premier ordre pas seulement les formules géométriques voilà donc bon mais je reviendrai là dessus donc là je pense qu'on va faire une pause de 5 minutes là tout de suite alors bon bah je vais donc là aussi je reprends des choses que je crois que c'est les définitions 10 je reprends des choses que j'avais déjà dite la dernière fois donc dans le contexte des dans le contexte des théories régulière donc là on va considérer donc t c'est une théorie donc t théorie géométrique ou régulière c'est dans ce contexte là qu'on a une notion de de catégorie syntactique alors donc est ce que la catégorie syntactique et alors ici je mets tout de suite respectivement syntactique régulière donc la première on la note ct la deuxième on la note ct rég alors il faut faire attention que si t est une théorie régulière c'est en particulier une théorie géométrique donc dans ce cas là il va y avoir deux catégories syntactiques associées la catégorie syntactique tout court et la catégorie syntactique régulière donc on va les définir tout de suite alors évidemment une catégorie ça consiste d'abord à des objets alors qu'est ce que c'est que les objets ben c'est les formules les objets sont les formules alors formule géométrique dans le premier cas et dans le deuxième cas on prend simplement les formules régulière alors voyez que les objets de cette catégorie ne dépendent que de la signature ils dépendent pas de la théorité ils dépendent pas des actions non non parce que le on s'autorise des non le disons si on limite les variables ça va former un ensemble on n'est pas obligé de le faire voilà donc les objets sont là et ensuite il y a l'émorphisme donc supposant que j'ai deux ah oui alors ici non non quand même une chose qu'il faut que je dise ici c'est que toute formule est donnée dans un certain contexte c'est à dire dans le contexte d'un nombre fini de variable et quand je dis que ce sont les formules géométriques c'est modulo éventuelle substitution de variable c'est à dire j'ai le droit de remplacer un nombre fini de variable si vous voulez j'ai le droit de changer le nombre des variables voilà simplement de renommer les variables non leurs sortes certainement pas mais voilà donc j'ai le droit de renommer les variables alors maintenant si j'ai deux formules écrite dans deux contextes différents x et y je veux savoir ce que c'est qu'amorphisme entre les deux alors quitte à renommer justement je peux supposer que les deux ensembles de variable sont dix joints je peux toujours supposer ça alors qu'est ce que c'est que amorphisme et ben c'est également une formule mais une formule dans le contexte formé par la réunion des deux contexte alors dans le premier cas ça va être une formule géométrique et dans le deuxième cas une formule régulière j'impose le type de formule que je regarde oui parce que les variables sont fixées donc les variables ne sont pas pris sur un suite donné x1 x2 x3 mais sur quelle est la collection de variables que vous autorisez des collections des familles vide variable vous êtes donné au départ donc une collection de variables donc il y a ces grandes et dans laquelle vous pouvez aller puiser les variables qui vont vous servir à écrire les formules c'est bien pour oui oui en fait non non mais c'est oui oui c'est vrai effectivement les objets forment un ensemble parce que on a au départ une collection donc un ensemble de variables qui est très grand mais qui quand même est un ensemble et qui est fixé oui il lui suffit d'être à fini parce que parce que faut faire attention parce que oui c'est à dire on peut former des réunions disjointes infinies de choses dans laquelle il y a des variables avec des quantificateurs existentiels donc les morphismes donc ça va être des formules géométriques respectivement des formules régulières suivant qu'on qu'on est en train de définir la catégorie syntactique ou la catégorie syntactique régulière mais évidemment on exige quelque chose ici et qui là dépend de la théorie on demande que cette formule là soit ce qu'on appelle démontrablement fonctionnel qu'est-ce que ça veut dire ça veut dire que quand on va interpréter cette formule ça va automatiquement définir un graphe et le fait que ça soit un graphe est démontrable dans la théorie donc qu'est ce que ça veut dire concrètement ça veut dire d'abord qu'on demande que quand on se place dans le contexte des deux familles de variable réunie et bien teta implique la conjonction de fille et de psy autrement dit la projection de teta évidemment ça s'envoie dans le sous-objet des filles par fille que multiplie le sous-objet des filles par psy non c'est la première condition la deuxième condition bah c'est donc le fait que quand la formule fille est vérifiée et bien il existe quelque chose au-dessus qui vérifie teta et puis la troisième condition c'est que si je me donne deux choses qui vérifie teta avec deux paquets de variables y et y prix mais au-dessus du même x et bien je veux que ceci en les trois paquets de variables x y y primes implique y égale y primes et donc ce qu'on veut c'est que ces trois choses soient démontrables dans t c'est à dire que ces trois implications puissent déduire des axiomes de thé par les règles d'inférence habituels entre implications là on est dans le métal langage qui règle les relations entre elles des des des des des des implications des syllogies donc voilà la définition des flèches alors là il y a un exercice c'est que ah oui oui oui non il faut quand même que je dise quelque chose c'est que quand je dis ce sont les formules on va prendre les formules à équivalence près c'est à dire qu'on considère deux formules comme équivalent quand chacune implique l'autre c'est à dire quand le séquence teta implique teta prime donc c'est en x et y quand ceci est démontrables dans la théorie de même que l'application sans s'inverse donc quand on a deux théories de deux formules qui sont équivalentes en ce sens là elles définissent un même morphisme et donc exercice vérifier que c'est une catégorie oui bah là donc on voit bien que donc ici il y a deux définitions la catégorie satactique la catégorie satactique régulière et donc pour la catégorie satactique régulière bah on ne regarde que les formules régulière oui oui c'est oui oui parce que dans tout à ça les règles d'inférence entre implications sont les mêmes simplement dans un cas on s'est donné beaucoup on s'est autorisé beaucoup moins de formules mais les règles d'implication entre formules sont les mêmes alors ça dépend pour ça dépend du type de théorie que vous allez regarder donc en général c'est pas vrai mais il y a des types de théorie pour lequel c'est vrai donc je pense est ce qu'on appelle la logique cohérente si vous regardez dans le texte de background d'olivia vous voyez qu'il y a toute une typologie de différents types de théorie ici je regarde simplement du premier ordre géométrique régulière mais en fait il y en a beaucoup d'autres et il y a certains types de théorie qui impliquent exactement ce que vous venez de dire en général c'est pas vérifié mais là aussi les propriétés de complétude c'est des choses qui nous intéressent parce que vous voyez qu'on s'attend à ce que les différents foncteurs comologiques et tous exactement les mêmes propriétés et alors ça c'est en quelque sorte typique des modèles d'une théorie complète alors la propriété que j'ai dit tout à l'heure que j'ai mentionné tout à l'heure c'est-à-dire le fait qu'un topos soit atomique à de valeur donc si disons si une théorie un topos classifiant qui est atomique à de valeur on va voir tout de suite la notion de topos classifiant et bien ça implique en particulier que cette théorie est automatiquement complète donc que tous ces modèles vérifient les mêmes propriétés et de quelle propriété s'agit-il toutes les propriétés formulables dans la logique du premier ordre donc c'est l'une des raisons pour lesquelles disons un titre de conjecture de travail olivia a commencé à travailler sur cette hypothèse là alors voilà alors ça c'est la notion de catégorie mais tant qu'on va faire on va tout de suite définir la topologie sur cette catégorie sa tactique topologie au sens de gros techniques donc vous avez deux cas de figure vous avez la catégorie sa tactique ou catégorie sa tactique régulière et là vous allez compléter ça par une topologie que la topologie géométrique et là pour une pour une autre topologie que vous appelez la topologie régulière toutes les deux sont des sont des topologies au sens de gros techniques alors comment fait-on pour définir ce que c'est qu'une une topologie au sens de gros techniques il faut dire quels sont les familles couvrantes quels sont les tribles couvrants autrement oui tout à fait on pourrait mais donc là on va même dire quant à ce qu'on se donne vraiment une famille de flèches arbitraires j'ai un objet qui est un but et puis j'ai une famille de flèches d'objets phi en des variables xy donc t taillis xy rec voilà et je veux savoir quand est-ce qu'une telle famille est couvrante alors il ya deux cas il ya le cas géométrique et le cas régulier alors dans le cas géométrique et bien dire que c'est couvrant ce crib les couvrants si est seulement si le le séquence suivant donc c'est si implique dans le contexte y la réunion alors voyez ici l'ensemble d'indexation c'était grandit donc on fait la disjonction sur tous les éléments de grandit de il existe xy tel que la formule t taillis soit vérifié autrement dit on veut simplement que ici en quelque sorte ceci soit la réunion des images de ces flèches non c'est t taillis t taillis implique phi mais c'est vraiment ce qui définit la flèche je rappelle que t taillis et tant xy et y alors si vous mettez le quantificateur existentiel il vous reste plus que le y donc ça c'est dans le cas géométrique et ça définit bien une topologie contente donc là aussi le vérifier et puis dans le cas dans le cas régulier c'est si est seulement si alors voyez ici ça a un sens dans le cas géométrique parce que pour on peut former des réunions arbitraires et dans le cas régulier on peut pas faire ça donc ce qu'on va dire c'est si est seulement si il existe un nid appartenant à grandit tel que le séquence si implique il existe si tel que t taillis soit démontrant dans la théorie autrement dit couvrance ça veut dire qu'il ya une flèche parmi toutes dans toute cette famille dont l'image est égal à tout et alors c'est deux choses définissent une topologie au sens de grottendick est ce qu'il a de produit ce qu'il vrai c'est ce que je vais dire tout de suite oui vous voulez c'est alors c'est le théorème 11 donc il ya plusieurs parties dans ce théorème premièrement si vous vous donnez pour t une théorie géométrique donc vous lui associez sa catégorie syntactique et bah ceci est une catégorie géométrique si vous prenez pour t une théorie régulière vous lui associez sa catégorie syntactique régulière associé et ceci est une catégorie régulière donc en particulier dans l'une comme dans l'autre il ya des produits fibrés finis arbitraires et ces catégories en plus représentent le foncteur des modèles sur la deux catégories des catégories géométriques respectivement régulière hein c'est à dire que si vous vous donnez donc vous avez que les morphismes d'une catégorie géométrique arbitraire attendez le foncteur de non c'est le contraire parce que le le foncteur des modèles il est co-variant à ce niveau là non pour le moment non non non mais on est effectivement on va venir ensuite à la topologie mais il ya avec la la définition et la propriété universelle des topos classifiants mais cette propriété universelle des topos classifiants est déduite d'une propriété universelle des catégories syntactiques hein et en fait pour démontrer les théorèmes qui sont là c'est ça qu'on va utiliser alors je rappelle qu'on avait défini le foncteur des modèles donc ici c'est une catégorie si t est une catégorie géométrique ici on prend une catégorie géométrique arbitraire et on dispose du foncteur des modèles qui est un foncteur co-variant sur la deux catégories des catégories géométriques respectivement la même chose avec les catégories régulière et donc ce qu'on a c'est que ce foncteur est équivalent à celui des morphismes ou disons des foncteurs de ct dans ces respectivement alors ici bien sûr c'est les foncteurs géométriques et là c'est les foncteurs réguliers de la catégorie ct dans ces ces covariants à ce niveau là alors donc ça c'était la première partie du théorème maintenant il ya une deuxième donc vous vous avez c'est la catégorie syntactique munie de cette topologie et bien sûr vous pouvez lui associer le topos des faisceaux sur cette catégorie bon de même pour la catégorie syntactique régulière munie de la topologie régulière vous appelez ça e t r e g donc attention c'est deux topos différents des finis sur deux catégories différentes avec deux topologies différentes oui c'est une équivalent oui oui bien sûr on est sur une deux catégorie et alors là donc l'assertion c'est que évidemment si on a un topos e on peut lui associer la catégorie des modèles de t dans e donc ceci a un sens aussi bien dans le cas où t est une théorie géométrique que dans le cas où t est une théorie régulière et donc l'assertion c'est que ce foncteur des modèles est équivalent au foncteur des de ce que on appelait les morphismes géométriques morphisme géométrique de eux alors l'attention c'est contravariant de e dans e t respectivement de e dans e t r e g alors en partie vous avez vous avez tout de suite un corollaire c'est que si vous avez une théorie régulière ben vous pouvez lui associer à la fois sa catégorie syntactique sa catégorie syntactique régulière donc deux topos différents et en fait ce que vous dit en portugais le théorème c'est que les les les foncteurs des morphismes géométriques de e vers e t et vers e t r e g sont équivalents autrement dit les topos associés à ces deux catégories munis ces deux topologies sont équivalents que si on a une théorie régulière on peut lui associer à la fois sa catégorie syntactique régulière et sa catégorie syntactique avec les deux topologies qu'on a des filles et donc il y a deux topos associés et ils sont les mêmes à équivalence près ils sont les mêmes à équivalence près et ceci en fait c'est pas très compliqué mais c'est pas triviale non plus donc dans les non c 1 on est on regarde le foncteur des modèles sur la deux catégories des catégories géométriques ou bien sur la deux catégories des catégories régulière avec donc donc on a défini une notion de catégorie géométrique ou de catégorie régulière et on a défini une notion de morphe géométrique ou de morphe régulière voilà donc ce qu'on dit c'est que ces fauteurs des modèles sur ces deux catégories sont représentables par la catégorie syntactique respectivement par la catégorie syntactique régulière voilà oui oui enfin c'est tout ça est autologique maintenant quand on l'écrit c'est non non c'est d'ailleurs c'est pas enfin non non mais même même cette partie en fait c'est pas il y a quand même des résultats qui interviennent là bon là il va me manquer du temps donc je vais peut-être pas tout dire mais ça sera dans les notes écrites donc il y aura vraiment la démonstration complète et par exemple en fait disons le l'aim essentiel pour démontrer ça que je vais pas avoir le temps d'écrire c'est quand on est dans une catégorie syntactique qu'on a un objet de cette catégorie syntactique de caractériser les sous-objets qu'est-ce que c'est qu'un sous-objet vraiment dit qu'est-ce que c'est qu'un monomorphisme et donc là il y a quelque chose qui va nous dire que un sous-objet c'est exactement disons un objet donné par une formule phi et se donner un sous-objet c'est exactement se donner une formule psi en les mêmes variables tel que psy implique phi bah oui mais donc c'est bien mais ça demande une émonstration non parce que là une fois qu'on a des formules c'est simplement l'équivalence entre formules au sens que les implications dans les deux sens est démontrable dans la théorie oui oui et c'est important en face alors attention non pour dans le cas géométrique c'est pas vrai en général dans le cas régulier c'est vrai en général mais donc ça c'est en point que d'en fait on va devoir se servir un peu après donc là bon j'ai pas le temps de donner la démonstration d'abord de la donc vous voyez il y a deux parties donc d'abord il y a la partie 1 la vérification du fait que ces catégories sont universelles et bon et donc l'ingrédient essentiel je l'ai dit ça consiste à caractériser les sous-objets d'un objet donné dans la catégorie sa tactique c'est à dire à partir du moment où on sait qu'un sous-objet c'est une formule ça veut dire que les intersections de sous-objets ça va correspondre à des conjonctions les réunions de sous-objets ça va correspondre à des réunions voilà et donc autrement dit on a un dictionnaire entre le catégorie et la logique et c'est exactement ce dont on a besoin pour démontrer les propriétés qu'on veut alors oui il y a aussi par exemple disons bon un autre ingrédient dont vous avez besoin c'est le suivant quand vous avez une flèche vous avez besoin de la factoriser à travers l'objet image donc vous avez une flèche phi de x donc la flèche c'est theta de x y et ici vous allez vers psi de y et qu'est-ce que c'est que le sous-objet le sous-objet c'est il existe x tel que theta de x y voyez il est écrit en les mêmes variables là du fait qu'il y a contaminé un quantificateur existentiel sur le x il n'y a plus que la variable libre y donc au défilé voilà ceci est dans le même contexte que ça et donc ça c'est la factorisation donc on a quelque sorte un dictionnaire entre la logique et le langage des catégories qui permet de démontrer ses propriétés alors donc ça c'est pour la première partie du théorème pour la deuxième partie c'est pas un foncteur c'est simplement je ne sais pas comment dire voilà fait saut de ceci égal ça fait saut de ceci et ça voilà par définition c'est vraiment une définition voilà mais donc avec la propriétaire importante encore une fois que si t est régulière et t est régulier sur d'autopost équivalent pas égaux mais équivalent alors la démonstration de la partie 2 donc là aussi je vais pas avoir le temps de de l'affaire il y aura tous les détails dans le texte écrit mais vous voyez donc vous prenez un topos et un topos arbitraire et vous regardez la catégorie des modèles de par exemple vous supposait que t est une théorie géométrique alors bah vous connaissez déjà vous connaissez déjà un donc vous savez que cette catégorie là la catégorie des modèles de t dans e elle est équivalente à la catégorie des foncteurs géométrique qui vont de la catégorie syntactique dans e voilà vous connaissez déjà cette équivalence et alors maintenant vous avez ct et puis ct bien sûr s'envoie dans et par donc c'est le composé du foncteur de yoneda et du foncteur de fessotisation et donc ici voyez que si vous êtes partie d'un modèle vous lui avez associé un foncteur qui va de ct dans e et vous voulez savoir si ceci peut être complété en un foncteur qui va de et dans e et qui est la partie image réciproque d'un morphe géométrique de topos on veut que ceci soit le f étoile en haut pour un f étoile en haut f étoile en bas qui va de e verreté alors on sait déjà que le le le le foncteur qui nous est donné ici et que ce soit dans le cas géométrique ou dans quel régulier déjà c'est un foncteur cartésien donc le fait pour un foncteur cartésien de pouvoir être complété et de manière unique de cette manière là c'est le fait d'être continu pour la topologie donc ça c'est un théorème qui se trouve déjà dans dans les sga et continue pour la topologie ça veut dire qu'il envoie tout recouvrement bah voire qu'il envoie et continue pour la topologie ça veut dire qu'il transforme tout recouvrement au départ en un recouvrement à l'arrivée voilà et c'est comme ça donc quand vous écrivez les choses bah vous tombez exactement sur la bonne topologie sur ct ou ct régulier qui bonne parce que vous à l'arrivée vous c'est à dire qu'est ce que ça veut au niveau des modèles vous savez ce que c'est car recouvrement hein parce que les épimorphismes c'est donné justement la voyez les images à s'interpréter de cette manière là voilà donc mais en quelque sorte on n'a même pas besoin de le poser a priori c'est à dire on applique ce théorème comme quoi le le le foncteur se prolonge si et seulement si il transforme les recouvrements en recouvrements et ça ça donne l'unique topologie qui fait marcher la propriété non l'ingrédient c'est vraiment ce théorème qui se trouve déjà dans les sga le point central c'est ça c'est à dire la caractérisation le fait de pouvoir dire que le morphisme qui m'est donné par la partie 1 du théorème va se prolonger je sais je sais qu'il commute au limite je sais non non il est déjà cartésien il est déjà cartésien et donc pour un foncteur cartésien le fait de pouvoir se prolonger au niveau des topos c'est exactement la continuité en général pour le site sans produit fibrer sans limites finie il y a quoi monsieur en transformant les recouvrements en recouvrements et très continue continue ça veut dire après déjà que les fessaux vont faire de fessaux après mon fésum de site ça se factorise ouais donc la définition générale ça va être je crois que c'est plat plat et plat et continue mais là comme le foncteur et cartésien plat c'est automatique non mais si les plats et si les cartésiens et continue il va être plat et continue plat je sais même plus que la définition mais là oui oui c'est le c'est techniquement c'est compliqué mais ici on a des foncteurs cartésiens et donc les choses sont faciles le foncteur qui nous est donné ici là de ct vers le ct vers eux il est cartésien il commute au limite au limite finie arbitraire donc il est voilà et donc ça suffit pour que le critère de prolongement ça soit le fait que le foncteur soit continue autrement dit qu'il transforme les recouvrements en recouvrement mais aussi ça ce n'est pas vrai dans un général dans les sens d'agéat continue c'est pas qui va là à transformer recouvrement non mais ici c'est équivalent donc s'il y a de si ça préserve de limite finie oui voilà donc bon donc quand les notes écrite seront disponibles vous aurez les détails là je veux passer tout de suite à la partie 3 c'est à dire revenir donc aux deux énoncés que j'avais dit la dernière fois donc c'est deux théorèmes d'abord la construction de la catégorie ct et ses propriétés c'est automatique l'unicité l'unicité de quoi voilà ouais c'est à dire ici on part on a déjà l'équivalence les modèles c'est l'émorphie géométrique de verre t et puis ensuite il faut que la topologie enfin que t soit défili par une topologie qui assure attendez excusez moi c'était l'émorphie géométrique de ct vers e et ensuite il faut savoir que se donner un morphie géométrique de ct vers e c'est la même chose que de se donner un morphie géométrique du topos e vers le topos t donc il y a deux équivalences qui se suivent et pour ça il y a une topologie qui marche et une seule qui est celle qu'on a écrite à la fois dans le cas géométrique et dans le cas régulier alors donc donc ensuite faut reprendre la construction que j'avais expliqué la fois précédente donc je rappelle que d c'est simplement un carquois carquois arbitraire demande pas que ce soit une catégorie et t c'est une représentation de ce carquois dans les r modules où r est un anneau arbitraire la dernière fois j'avais dit commutatif mais en fait c'est c'est même pas nécessaire on a un anneau arbitraire voilà et puis donc il n'y a aucune hypothèse sur la taille des modules ben oui mais bon on va voir c'est à dire dans une donc malgré la première chose qu'on fait quand on a ce t là c'est qu'on lui lui associe une théorie et pour ça on a vraiment besoin que ça soit à valeur dans les r modules non mais on veut non on pourrait généraliser mais disons que ça va apparaître dans la démonstration il y a quelque chose qui va apparaître et vous avez des catégories dans votre exposition ah oui alors dans ce cas là d'accord donc on maintient l'hypothèse commutatif d'accord cela dit d'accord donc sinon on enlève le mot disons que c'est commutatif alors voilà donc le point de départ c'est ça et donc à partir de ça là donc je rappelle que la première étape ça consiste à associer à t ce qu'on appelle la théorie de t la théorie régulière de t alors donc d'abord il y a le choix d'une signature avec donc des symboles des sortes donc le sortes ben ce sont les objets du carquois on met autant de sortes qu'il y a d'objets dans le carquois et puis ensuite il y a des symboles de fonction alors quel sable de fonction on va mettre donc d'abord on met un sable de fonction pour chaque flèche de dé on met un sable de fonction ensuite on met un sable de fonction binaire pour chaque objet de dé qui va perdre donc ce sable de fonction servira bien sûr à formaliser l'addition dans l'objet indexé par dé il y a également un symbole de fonction un sable de constante associé à chaque objet de dé qui va servir à formaliser l'élément 0 et puis enfin il y a un symbole de fonction qui va de dé dans dé pour chaque objet de dé et chaque scalaire donc ça va servir à formaliser la multiplication par ce scalaire l'homomorphise de multiplication par ce scalaire donc voilà le langage et vous remarquez je l'avais déjà dit la dernière fois mais qu'il n'y a pas de symbole de relation donc il y a uniquement des sortes et des symboles de fonction il n'y a pas de symbole de relation et donc ensuite vous avez la théorité donc les axiomes ce sont les séquents réguliers les séquents réguliers vérifiés par thé donc qu'est ce que c'est donc un séquent régulier c'est quoi c'est une implication entre deux formules dans un certain contexte ce contexte ça consiste en un nombre fini de sorte c'est à dire enfin un nombre fini de variable associé à des sortes c'est à dire à des objets du diagramme donc quand vous prenez la représentation thé vous associez à chaque objet du diagramme un r module donc quand vous avez une finie finie de sorte de variable associé à des sortes vous pouvez former leurs produits et quand vous avez un séquent régulier et bien vous pouvez interpréter chacune des deux formules comme un sous objet de ce r module produit est ce qu'il y a des trucs à finir éventuellement dans le disque donc ici il s'agit des formules régulières donc dans les formules régulières il y a uniquement il y a des conjonctions finitaires il n'y a pas de disjonction il n'y a pas de quantificateur universel mais il y a les quantificateurs existentiels c'est à dire vous avez le droit de projeter d'un produit sur un sous produit tout est fini et puis vous pouvez composer les les les symboles de fonction entre eux donc qu'est ce que ça veut dire ça veut dire vous pouvez composer des flèches vous pouvez aussi prendre des combinaisons linéaires donc vous regardez vos flèches vous prenez des combinaisons linéaires bon et puis ensuite vous mettez des relations mais la seule relation autorisée comme il n'y en a pas dans le langage c'est la relation d'égalité d'égalité entre deux formules qui sont des combinaisons linéaires donc ça veut dire simplement qu'une certaine combinaison linéaire de composé est égal à zéro donc vous décidissez un sous module d'un certain module produit et vous vous autorisez à projeter ce sous module sur un un sous produit du produit dans lequel vous êtes donc tout ce que vous pouvez vous pouvez définir de cette manière là c'est ce que vous pouvez appeler les sous modules définissables et donc maintenant il y a chaque fois que vous avez un séquence vous avez donc deux formules qui vous définissent deux sous modules d'un même module produit et vous décidez que ceci est un axiom de la théorie si et seulement si via l'interprétation par t vous avez l'un qui est contenu dans l'autre c'est la théorie de t vous regardez toutes les propriétés qui sont vérifiées dans t donc ça c'est la première étape qui en fait est la plus importante parce qu'à partir de là la machine se déroule presque enfin ce presque automatiquement donc l'étape 2 c'est voilà vous étiez parti de t et vous lui avez associé sa théorie et donc là la deuxième étape ça consiste à associer à cette théorie sa catégorie syntactique régulière alors d'après ce qu'on a dit on sait déjà que cette catégorie est régulière mais par ailleurs vous voyez que dans cette catégorie les les symboles de fonction qui sont là définissent une addition un élément zéro et des multiplications par les scalaires simplement faut vérifier que les les actions habituelles des structures linéaires sont vérifiées la commutéativité la sociativité la distributivité etc et tout ça est vérifié pourquoi pourquoi est-ce que toutes les formules qui définissent la sociativité la commutéativité sont vérifiées ben elles sont vérifiées parce que elles sont vérifiées dans la catégorie des haires modules et que vous voyez que vous avez mis que tout ce qui est vérifié par t est un action de la théorie donc ça vous donne exactement ce qu'il faut pour des pour que tous les actions que doit vérifier les morphismes d'addition de multiplication par les scalaires soient vérifiées donc ça veut dire que sur cette catégorie régulière en plus vous avez une structure additive et R linéaire alors pour le moment c'est pas une catégorie abélienne parce que il lui manque les quotients en revanche les régulières c'est à dire qu'elle a des produits fibrés finis elle a aussi des images donc vous avez tout ça et on sait que ceci c'est donc d'après le théorème qu'on a écrit tout à l'heure ceci représente représente le foncteur des modèles de thé et vous pouvez vous demander bien sûr quel est le modèle universel dans cette catégorie il est complètement tautologique donc si vous avez d'abord vous devez associer à chaque à chaque sorte c'est à dire à chaque objet de dé vous devez associer à un objet de la catégorie et un objet de la catégorie syntactique je rappelle que c'est simplement une formule donc ici qu'est ce que vous faites vous prenez la formule xd donc là vous avez une seule variable de sorte dé que vous voyez comme une formule et puis maintenant vous devez aussi interpréter les symboles de fonction bon si vous avez un symbole de fonction comme ça vous lui associer là aussi vous devez aller de l'objet xd vers l'objet y des primes et ceci doit être défini par une formule qu'est ce que vous prenez vous prenez la formule le symbole de fonction f en la variable xd xd c'est une vari... ici ce que je veux dire c'est que xd est une variable de sorte dé un objet de la catégorie syntactique et je rappelle que les objets de la catégorie syntactique sont déformés non mais les termes sont des formules à partir des termes vous avez formé donc d'abord les formules atomiques puis les... non les termes sont des formules c'est vraiment par définition bon autrement dit on peut dire ça aussi d'accord la formule vrai dans le contexte à une seule variable ok voilà donc voilà donc vous avez donc à chaque flèche comme ça vous associer la flèche là et puis les autres flèches ben sont défili simplement par la par la structure linéaire alors maintenant la propriété qu'on a donc ceci bon c'est une proposition en fait pour moi c'est proposition 15 je le note parce que comme ça vous aurez là dans les notes écrite vous retrouverez ça donc la deuxième partie de la proposition c'est que donc si on se donne donc ça c'était 1 et maintenant on a la partie 2 donc on se donne une catégorie régulière à arbitraire et on se donne un modèle donc un modèle de t dans cette catégorie donc ici on va prendre oui catégorie régulière donc additive et air linéaire et quand on a un tel modèle et bien il existe un foncteur canonique qui va de la catégorie satactique régulière vers cette catégorie et qui transforme le modèle universel donc m universel en le modèle m donc c'est simplement donc c'est le non sec tout à l'heure simplement on a précisé ce qu'elle était le modèle universel oui alors d'ici une remarque importante c'est que la représentation elle-même t de d dans air mode vous pouvez l'avoir comme un modèle de la théorité dans la catégorie des air modules donc ça veut dire que si vous appliquez la partie 2 vous obtenez que ce modèle cette représentation vu comme un modèle se factorise vous avez le t qui va de d vers air mode il se factorise à travers un morphisme donc qui est régulier air linéaire additif qui va de ct règle vers les air modules et ce morphisme là envoie le modèle universel de ct règle sur le modèle d'en air mode qui correspond à la représentation qui met qui m'était donné au départ voilà ensuite l'étape suivante c'est l'effectivisation l'étape 3 on a ct règle et on lui associe son effectivisation que l'on note ct c'est la catégorie qu'on veut alors ceci c'est une construction générale à partir d'une théorie régulière donc j'avais déjà donné la définition la dernière fois mais on peut la répéter donc on se donne c une catégorie régulière et on lui associe son effectivisation donc les objets de cf c les pairs donc que je donc xe avec x qui est un objet de c et e qui est une relation d'équivalence dans x c'est à dire un sous-objet donc e est plongé dans x yx et vérifie un certain nombre d'actions donc ça c'est les objets et ensuite les morphices si on a un objet xe et un objet y yf les objets consistent en des relations c'est à dire des sous-objets de x y qui vérifie un certain nombre d'actions que j'avais donné la dernière fois bon et là vous avez une proposition générale comme quoi si c est régulière alors son effectivisation est régulière plus effective elle a gagné une propriété donc effectivement ça signifie toute relation d'équivalence à un quotient donc c'est une construction complètement générale de théorie des catégories c'est à dire qu'il y a des sanctions entre le quotient et le quotient effectif je pense que c'est quotient effectif c'est une conséquence d'être jamais d'être régulier oui oui c'est une conséquence d'être régulier si le c'est la relation d'équivalence d'entreprise oui bon je garantis pas le meilleur absolu mais il me semble que c'est le cas c'est à dire que le quotient est effectif à partir du moment où on est parti d'une catégorie régulière bon on vérifiera moi je pense que c'est vrai mais en tout cas voilà donc ça c'est la première propriété puis la deuxième propriété c'est que bien sûr le procédé d'effectivisation est universel c'est à dire que si vous avez un morphisme de c ver c'est prime donc ça c'est vous supposez que c'est une catégorie effective régulière alors vous allez pouvoir factoriser de manière canonique de cette manière là encore la définition de la catégorie effective parce que j'ai il y a plusieurs choses de façon de formuler les choses et par exemple si il y a une relation d'équivalence à l sur x on veut qu'il y a un quotient catégorique après on peut demander si l'image de x dans le quotient y est donc oui je pense que tout ça est vrai donc c'est donc tout ça c'est un parti de l'effectif où on demande ici on le prend ce sens là c'est à dire le théorème c'est que si on part d'une catégorie régulière qu'on définit sa catégorie effective de cette manière là alors elle vérifie toutes ces toutes ces propriétés et le morphisme c'est universel pour le flèche oui entre dans la catégorie de catégorie effective oui quels sont les flèches le flèche sont le flèche régulière qui préserve l'éco-science oui donc là bon là vous vous donnez ce foncteur là c'est simplement un foncteur régulier et donc ici vous avez le le foncteur canonique et là vous demandez à ce foncteur d'être régulier et de préserver aussi l'éco-science donc c'est pas automatique qu'un foncteur régulier à l'intérieur des catégories effective préservent les images donc ça préserve les images bon donc ça c'est le le résultat général et puis ici ce que quand vous appliquez ça à la catégorie cette tactique régulière de notre théorie particulière donc cette théorie cette tactique régulière elle était déjà additive et air linéaire donc son effectivisation hein donc ça a encore l'air de faire un flèche qui est encore ce paquet si vous avez un flèche un flèche qui est subjective sans qu'il imagine est-ce que c'est est-ce que l'éco-science de x par les relations de prevalence x par x sur y bien je pense et ça c'est un conséquence d'effective encore ça en des actions de conséquence dans le conséquence de régulier encore une fois dans la définition de catégorie effective on met que c'est régulier catégorie effective donc il s'agit de catégorie régulière effective écoutez bon on en parlera après où j'ai envoyé un mot à olivia mais moi je suis pas ouais je pense qu'ils vont regarder le texte de l'article je pense que ça devrait être écrits écrits clairement moi je pense que encore une fois si on part du catégorie régulière je pense que tout est tout ce à quoi on s'attend est vérifié voilà donc ici le corollaire qu'on a c'est que donc on était parti de notre catégorie c'était règles et on l'effectif donc on obtient cette catégorie ct qui est automatiquement et abélienne et r linéaire et qui en plus vérifie la propriété universelle qu'on a qu'on a dit donc rappelez-vous que tout à l'heure on avait déjà construit un morphisme qui allait de ct régulier dans air mode simplement à travers la représentation t bon et donc là vous pouvez factoriser à travers l'effectivisation et vous savez déjà que ce foncteur là est régulier exact r linéaire additif bien sûr voilà vous avez cette factorisation final et pour démontrer la première assertion du théorème la seule chose qui vous manque c'est la fidélité du foncteur et donc ça en fait pourquoi est ce que ce foncteur est fidèle et bien parce que alors disons ici bon d'abord la première chose c'est que pour démontrer qu'il est fidèle il suffit qu'il soit conservatif au sens suivant ça veut dire que si on a un monomorphisme ici dans cette catégorie tel que son image est un isomorphisme alors ce monomorphisme est un isomorphisme il nous suffit de démontrer ça pour avoir la fidélité d'accord le fait que ce foncteur est conservatif au sens que je viens de dire alors pour démontrer ça la première chose c'est que vous avez une proposition générale de théorique des catégories supposé que vous ayez donc le triangle comme ça donc ça c'est une catégorie régulière et celle-là est régulière effective et donc vous vous demandez si ce foncteur là est conservatif au sens que j'ai dit c'est à dire est-ce qu'est-ce qu'il est vrai que chaque fois que l'image d'un monomorphisme est un isomorphisme alors c'est un isomorphisme et donc le l'aime générale qu'on a c'est que pour que ceci soit conservatif il faut il suffit que ceci soit conservatif donc c'est voilà l'aime générale de théorie des catégories mais alors maintenant notre c c'est quoi c'est la catégorie sa tactique régulière conservatif au sens que je veux que chaque fois qu'un monomorphisme pour image un isomorphisme alors c'est un isomorphisme est-ce que c'est un plus conservatif au sens que oui parce que là on est avec des théories des catégories régulière donc oui oui donc il nous reste à démontrer que le foncteur qui va de cet éreig dans hermade qui est simplement défini par t pour la représentation t de départ il nous reste à démontrer que ce foncteur est conservatif comment dit c'est les donc alors ici les monomorphismes c'est quoi c'est des des des on a deux sous-objets emboîté l'un en l'autre et on s'interrole sur les relations sur les conditions d'égalité entre deux sous-objets bon mais ici on est avec la centaine la catégorie sa tactique régulière et donc les sous-objets c'est simplement des formules donc l'égalité des sous-objets c'est le fait que les que les formules soient soient équivalentes et donc là ce qu'on utilise c'est le fait que la théorie t est la théorie de la représentation t le fait d'avoir défini la théorie t comme la théorie régulière de la représentation t c'est ça qui nous dit que ce foncteur est conservatif et donc celui par lequel ici on a factorisé est non seulement régulier exacte air linéaire mais qu'en plus il est fidèle non parce que là c'est simplement le le fait que ce foncteur et à la fois régulier est effectif il préserve les à la fois les produits fibrés et l'éco-scient oui sauf que le voyez donc le point c'est de voyez c'est à dire vous voulez votre foncteur de départ vous voulez c'est à dire votre représentation de départ il faut pouvoir l'interpréter comme un modèle voilà mais sinon ça n'utilise pas le fait que ce n'est pas non mais attention quand même parce que le voyez la structure de air module elle est donnée simplement par l'addition la multiplication par les scalaires et ça on l'a mis dans la signature disons si on prend non plus la catégorie des air modules mais une autre catégorie plus compliqué le problème ça va être la définition de la bonne signature à partir de cette catégorie d'arrivée voilà je dis pas que c'est un fausseur là simplement faut réfléchir un peu voilà donc bon donc ici on a la factorisation et maintenant il y a le fait que cette catégorie est universelle pour cette factorisation donc c'est le pour cette propriété de factorisation donc c'est le point de bon là évidemment là ce à quoi vous allez vous ramener c'est le fait que la catégorie satactique régulière représente le foncteur des modèles c'est à dire si vous vous donnez une autre factorisation donc d à travers une autre catégorie c puis ici air module donc ici vous vous supposez que vous avez un foncteur qui est air linéaire exact et fidèle on a besoin de fidèle absolument et pourquoi parce que fidèle ça nous permet de dire que ce foncteur là vous pouvez l'interpréter comme un modèle de la théorité dans la catégorie c et c'est à cause de la fidélité du foncteur c'est à dire ce foncteur là ce foncteur ci définit un modèle de la catégorie tt dans c donc un modèle c'est simplement d'abord une sigma structure donc là il n'y a pas de problème pour définir la sigma structure parce que à chaque objet de grandeur vous associer un objet de c à chaque flèche de grandeur vous associer une flèche de c vous a aussi des flèches qui correspondent à l'addition la multiplication par les scalaires donc il n'y a pas de problème pour définir une sigma structure le problème c'est de vérifier que que cette sigma structure est un modèle de la théorie autrement dit que les actions de la théorie sont vérifiées les actions de la théorie c'est les séquents tel que les sous-objets associés vérifient les bonnes relations d'inclusion mais là donc ces relations d'inclusion entre sous-objets il faut les vérifier dans c mais comme le foncteur ici est exact et fidèle fidèle pour vérifier les relations d'inclusion dans c il suffit de les vérifier par composition avec ce foncteur et là par composition vous vous retrouvez avec t donc c'est en un sens c'est complètement autologique donc à partir du moment où vous savez que c'est que disons ce foncteur vous le réinterpréter comme un modèle de la catégorie tt dans c et bien la d'après l'universalité de la catégorie satactique vous avez un foncteur cadodique de la catégorie satactique dans c et ensuite donc à partir du moment où vous avez un foncteur qui donc va être exact régulier de l'exact pardon un foncteur qui va être régulier de la catégorie satactique régulière dans c vous avez un foncteur induit de l'effectivisation c'est à dire de ct dans c et en fait qui transforme le modèle universel de la catégorie régulière en votre foncteur réinterprété comme un modèle donc en fait je retire ce que j'ai fait d'ailleurs sur la catégorie régulière parce qu'en fait c'est un truc beaucoup plus général il suffit d'avoir une théorie qui est présentée de manière convenable pourquoi marche par exemple moi je pense à des catégories sont pas des catégories modules sur un ados mais les catégories modules sur un semi-adod oui oui oui non mais là on voit bien sur la construction qu'elle a une généralité plus oui oui encore plus grand oui oui oui oui tout à fait tu sens la la la gradient principal on le voit c'est à dire il faut définir d'abord une théorie et puis ensuite une fois qu'on a la théorie il y a cette construction d'une généralité extraordinaire qu'elle a la construction des catégories satactiques régulière et tout se déroule donc le point c'est vraiment de pouvoir interpréter les foncteurs comme des modèles d'une théorie pour préciser la même question donc si tu parles d'environ deux catégories une font tu penses comme dès et l'autre pense à la source le but la source n'est pas de la structure mais le but c'est une catégorie habillée tu dois être un foncteur est-ce qu'en 7 généralités tu dois te montrer le même le même problème parce que je me semble que tu n'as rien en fait il y a un de spécial sur les moi je pense encore une fois je dis quand même c'est à dire ce qui définit la structure de R module donc c'est simplement l'addition la multiplication par l'escalaire et ceci est mis dans la signature de la théorie donc si on veut des théories plus générales que la catégorie des R modules il faut quand même que tout ce qui définit cette cette catégorie rentre dans la définition de la théorie via la signature on peut le faire mais donc c'est complètement général je pense que c'est oui oui voilà donc le dernier point sur lequel je veux dire donc très rapidement c'est la linéa 4 autrement dit la démonstration du théorème 11 alors d'abord la première remarque c'est que la dernière fois j'avais énoncé la première partie de ce théorème d'une manière ambiguë offert avait réagi et en fait il avait raison et j'avais mal répondu à sa question donc donc en fait pour lever toute ambiguïté on prend deux représentations de deux carquois différents à valeur dans les R modules et les R prime modules avec R et R prime pas nécessairement égaux donc après la construction précédente on a deux catégories associées c'était et c'était prime ça c'est une catégorie à béliène R linéaire ça c'est une catégorie à béliène R prime linéaire et évidemment comme R et R prime sont différents ça n'a pas de sens de préserver la structure linéaire en revanche donc ça a un sens de préserver la structure de catégorie et si on préserve la structure de catégorie on préserve automatiquement la structure de catégorie à béliène ça c'est une remarque qui en fait est bonne à savoir c'est que le fait pour une catégorie d'être à béliène n'est pas une structure supplémentaire c'est une propriété de la catégorie donc si deux catégories à béliène sont équivalentes en tant que catégorie automatiquement elles sont équivalentes en tant que catégorie à béliène donc là l'énoncé c'est que ces deux catégories sont équivalentes en tant que catégorie à béliène si et seulement si leur topos classif les topos classifiants des deux théories sont équivalents on dit que les deux théories sont équivalentes au sens de Borita et donc le deuxième énoncé c'est cette fois on prend le même anneau R égale R prime le même carquois d'égale D prime donc on a deux représentations différentes avec les deux catégories différentes associées donc c'était cet éprime avec deux représentations d et on se demande quand est ce que ces deux structures sont équivalentes donc il faut on cherche une équivalence de ct vers cet éprime qui échange qui transforme cette représentation en celle là et qui préserve les structures air linéaires et donc l'énoncé c'est que l'existence d'une telle équivalence c'est équivalent à l'identité des deux théories oui oui oui on va voir ça tout de suite donc je vais le dire très rapidement donc il y a deux énoncés à démontrer alors donc d'abord vous vous supposez que ct est équivalent à cet éprime alors ct ct prime c'est des des effectivisations de théories des catégories régulière au particulier c'est des catégories régulière et dans une catégorie régulière il y a toujours une topologie de grottadie cathodique qui consiste à dire qu'une fabille est couverante si elle seulement si l'une des flèches est couvrante et dire qu'une flèche est couvrante c'est dire que son image est égal à tout je rappelle que dans les catégories régulière toute flèche a une image donc par définition on dit qu'une flèche est couvrante quand son image est tout bon et maintenant je dis qu'un crible est couvrant quand l'une au moins des flèches qui composent ce flèche ce crible est couvrante tout ça c'est des définitions ça définit une topologie au sens de bretendique qu'on appelle la topologie régulière de la catégorie alors maintenant rappelez-vous que ces deux catégories elles ont été formées à partir des catégories satactiques régulière alors la topologie sur la catégorie satactique régulière bah c'est celle qu'on a qu'on a défini tout à l'heure puis à côté de ça il y a la catégorie ct qui est son effectivisation munie de sa topologie régulière cathodique et alors ici vous avez un théorème qui est un théorème général de théorie des catégories si c'est une catégorie régulière munie de sa topologie régulière girag et puis ici vous avez son effectivisation munie de la même topologie alors les deux topoises associées sont équivalents donc si vous appliquez ça à ce qui précède vous avez que les deux topoises ici associées à ces deux catégories munies de ces deux topologies sont équivalents donc supposez maintenant que vous ayez ct équivalent à cet épreuve vous remarquez que la définition de la topologie régulière sur ct elle est purement catégorique donc nécessairement non seulement ct est équivalent à cet épreuve mais ils sont équivalents avec leur topologie donc les catégories de faisceau sont associées et c'est les mêmes que les catégories de faisceau sur la catégorie de sa tactique régulière et ça par définition c'est le le topoise classifiant dont on a dit que c'est le même que le topoise classifiant tout court donc ça démonte les choses dans un sens si ct et ct primes sont équivalents alors les topoises classifiant associées sont équivalents alors réciproquement réciproquement vous avez la chose suivante vous avez ct qui bien sûr s'envoie dans et règle via le foncteur de yoneda composé avec le foncteur de faisceautisation tout à l'heure il ya une question qui m'a été posée la laquelle j'ai répondu mais je rappelle la réponse c'est que ce foncteur en fait identifie ct à une sous catégorie pleine autrement dit on dit que la topologie est sous canonique donc on a voilà ceci est une sous catégorie pleine de ça et puis on a l'effectivisation avec une factorisation puisque ceci est une catégorie effective c'est un topo c'est une catégorie effective oui exactement c'est équivalent oui oui c'est équivalent à dire qu'il n'y a pas besoin de faisseautiser autrement dit que le préfet saut est déjà un faisceau pour cette topologie qui est la topologie régulière donc on a cette effectivisation et là aussi en fait la catégorie effectivisée elle aussi est une sous catégorie pleine de ça et ici donc il y a un théorème général qui dit que ceci c'est équivalent à la sous catégorie pleine de du topos constitué des objets super cohérents alors je sais pas si j'ai le temps d'expliquer ce que c'est qu'un objet super cohérent ça sera dans les notes écrites et toute façon peu importe l'important c'est que la catégorie effective l'effectivisation on peut la retrouver dans le topos associé comme on peut la retrouver dans le topos associé comme sous catégorie sur des formées des objets qui vérifie une certaine propriété et qui en fait est évidemment c'est une propriété d'objets du topos donc c'est une propriété défilé en terme catégorique donc si maintenant vous avez e t équivalent e t prime bah cette équivalence nécessairement préserve les objets super cohérents donc elle induit une équivalence entre les catégories entre les sous catégorie pleine sur ses sous objets et donc il y a une équivalence induite qui va de avec les bas de c t dans c t prime puisque c t c t prime sont définis comme les effectivisation des catégories donc avant c t c tag voilà c'était comme ça donc c'est l'équivalence dans l'autre sens donc ici on a acheté de démontrer un pour deux bon bien sûr que si les deux théories sont les mêmes si les deux théories sont les mêmes évidemment que les catégories c t c t prime associé sont les mêmes puisqu'elles sont associées elles sont construites à partir de ces théories donc ça c'est évident maintenant supposer que les catégories soient les mêmes donc ça veut dire que vous avez des c t et puis les deux foncteurs ici vous avez été là vous avez t prime et ici les deux foncteurs dans les armes modules donc vous suivez et ces deux foncteurs là celui ici et celui là sont tous les deux exactes et fidèles et vous voulez en déduire que les deux théories sont les mêmes alors les théories c'est deux théories régulières dans le même langage donc il faut regarder les séquents réguliers considérés deux deux formules régulières et vous voulez savoir si l'une implique l'autre bon mais ces deux formules définissent ici via t et t prime et définissent des pairs de sous-objet ici et là et donc ce qu'on veut savoir c'est que le premier sous-objet est inclus ici dans le deuxième si elle seulement si le premier sous-objet ici est inclus ici dans le deuxième c'est ça qu'on veut vérifier mais ici on a des foncteurs exacts et fidèles à partir de la même catégorie donc la condition d'inclusion entre sous-objet on la lit là pour l'un et pour l'autre et c'est terminé donc encore une fois c'est on utilise le fait que cette condition exacte et fidèle elle est retraduite en termes de modèle de la théorie et avec le modèle qu'on considère ici c'est pas un modèle quelconque c'est parce que la théorie est définie comme la théorie du modèle la théorie par définition c'est tous les actions vérifiées par le modèle voilà donc voyez que la démonstration de ces deux théorèmes en fait quand on connaît la théorie des topos classifiants donc elle se déroule vraiment de manière presque automatique une remarque qu'on peut faire c'est que j'ai dit quand on connaît la théorie des topos classifiants mais en fait il suffit pas seulement de connaître la théorie c'est à dire faut savoir ici on voit vraiment que le plus important c'est finalement c'est même pas la notion de topos classifiants c'est la manière dont on s'est construit voyez ce dont on s'est le plus servi c'est c'est la notion de catégorie syntactique est ce qu'on utilise ici afin les les conjuctions des actions pour les travailleurs infinitaires ou pas est ce qu'il y a de ici non parce que le ici on est entièrement avec des théories régulières donc il n'y a aucune disjonction en revanche on autorise des conjonctions finitaires qui consiste à prendre des intersections disons pour tout ça non ensuite donc la prochaine fois donc j'essaierai d'expliquer bon disons au moins d'introduire à la l'article programmatique d'olivia que s'appelle topos motivique et là c'est important de considérer aussi enfin de s'intéresser aussi à des disjonctions même possiblement infinitaires donc voilà donc la prochaine donc ici voilà donc j'ai terrible résultat et la prochaine fois ce que je veux faire c'est donc comme j'ai indiqué ici présenter quelques questions donc plus exactement deux séries de questions c'est à dire d'abord je voudrais revenir sur quelque chose dont j'ai parlé la dernière fois c'est à dire la disons la question que ça pose pour les pour la comologie motivique et la catégorie triorgulée de vojgodzki c'est à dire les foncteurs de comologie motivique au sens des groupes de choses supérieures de blocs d'après ce résultat extrêmement général définissent une catégorie abélienne de manière canonique et par ailleurs vous savez que le vojgodzki et d'autres au construit n'ont pas une catégorie des motifs mix une catégorie triangulée des motifs mix dont on voudrait montrer en disons en tout cas c'est une conjecture de travail que cette catégorie peut s'écrire comme la catégorie dérivée d'une certaine catégorie abélienne et donc ce travail en fait permet de enfin de manière purement formelle on va avoir un foncteur qui va de la donc un foncteur de catégorie triangulée qui va de la catégorie triangulée de vojgodzki vers la catégorie dérivée d'une certaine catégorie abélienne et donc la question est posée de savoir si c'est une équivalence donc ça c'est la première question et puis la deuxième question c'est donc d'essayer d'aller dans la direction d'un toposmotique parce que voyez finalement ici ce qui est démontré c'est que le disons les motifs mix au sens habituel c'est à dire une catégorie qui justement permet de factoriser tous les foncteurs comologiques existe si et seulement si tous les foncteurs habituel auxquels on pense elle est dic pédic etc tous ont la même théorie régulière associée c'est équivalent et donc la question qui est posée c'est est ce qu'ils ont la même théorie régulière associée comment est ce qu'on pourrait rêver de démontrer ça et donc olivia posé un cadre qui disons et un cadre pour essayer de penser cette question donc donc j'expliquerai ça la prochaine fois mais c'est des choses qui sont enfin beaucoup plus sophistiquées et puis actuellement c'est vraiment un travail en cours dont on ne sait pas s'il s'il aboutira ou non voilà je voudrais expliquer en tout cas comment c'est à dire pour cette partie là donc là la notion de topos deviendra vienment vraiment centrale et j'expliquerai comment justement la considération des topos conduit à des questions à particulier sur les foncteurs comologiques c'est à dire bon par exemple de ces considérations là disons il y a une certaine question qui est une question générale sur les foncteurs comologiques qui se retrouve posée par en quelque sorte la philosophie des topos et je voudrais expliquer cette question qui est une question dans laquelle les topos n'apparaissent pas c'est cette question c'est est ce que les foncteurs comologiques auxquels on est habitué vérifie une certaine propriété qui en fait est un renforcement un renforcement des propriétés d'exactitudes habituelles vous savez qu'on est habillé les foncteurs comologiques vérifie les fameux suites exacts longs etc il y en a plein bon mais disons là le cadre de topos qu'on met là dedans amène à un moment à se poser cette question donc pour le moment olivia sait pas répondre mais en tout cas la question est posée peut-être que gabard dira non non ça peut pas être vrai parce que dans ce cas là est-ce qu'il y a des conditions de finitude comme des groupes de rivets bornes et donc on prend les motes avec les conditions de finition ouais là ouais ouais ouais j'expliquerai là la fois prochain le cas de précis et les nains au moins enfin on peut vraiment des là disons la première partie ça sera vraiment très très très précis la deuxième partie j'introduirai un certain nombre de notions et il s'agira de les en quelque sorte de les situer les unes par rapport aux autres c'est-à-dire de dessiner un cas général de finir le propriétaire d'exactitudes le général que vous voulez pour le temps comologique oui plus fort et quelque chose qui ne peut absolument pas être deviné intuitivement c'est vraiment un calcul sur les topos qui donne ça voilà