 En 1917, Henry du Denais public a recueil comprenant 430 énigmes mathématiques et logiques de son cru. L'énigme numéro 251, appelé Haut-Gaz et Electricité, n'a pas été inventé par du Denais lui-même. Il situe plutôt ses origines bien avant l'invention du chauffage au gaz. Il semble cependant que c'est la première fois que cet énigme est publié. Ce problème, on le rencontre dès que l'on s'intéresse un peu à la théorie des graves planères. C'est l'énigme des trois maisons, ou l'énigme des trois services publics, ou l'énigme de l'eau, de l'électricité et du gaz, ou le problème des trois voisins, ou le problème des trois villas et trois usines, ou le problème de la vente. Trois familles qui se détestent cordialement depuis plusieurs générations s'installent dans la même ville dont vous êtes le maire. Pour vivre décemment, ces familles ont besoin d'eau, d'électricité et de gaz et devront se connecter directement aux trois usines de la ville. Mais ces familles sont d'accord sur un point, à aucun moment les raccordements aux usines ne devront se croiser ou se chevaucher. Votre devoir est d'aider ces familles en trouvant des raccordements qui pourront les satisfaire. Vous le sentez arriver, le problème insoluble ? Vous pouvez continuer de chercher, aucune réponse n'est possible. Ce n'est pas moi qui le dis mais la théorie des graffes. Le graffe complet et bipartie 4-3-3 n'est pas un graffe planaire. Ce n'est pas tout de dire que le problème est impossible, mais il faut quand même le prouver. Il existe de nombreuses façons de démontrer l'infaisibilité du problème, mais l'une de mes préférées est celle qui s'appuie sur la formule de l'air. La théorie des graffes domaine à mi-chemin entre les maths et l'informatique et la théorie qui étudie les graffes. Un graffe c'est grossièrement un ensemble de sommets reliés par des arrêtes. Quand les arrêtes ne se croisent pas, on dit que le graffe est planaire. Cet outil est donc parfait pour modéliser le problème des trois maisons. On a trois sommets d'un côté, trois sommets de l'autre et il faut trouver un graffe où chaque sommet d'un côté est relié à chaque sommet de l'autre, mais il faut que ce graffe soit planaire. Ce qui est bien avec les graffes planaires connex, c'est qu'une formule y est toujours vérifiée, la formule de l'air. Elle énonce que le nombre de sommets S plus le nombre de régions R délimité par le graffe est égal au nombre d'arrêtes A plus 2. Le graffe en exemple compte 8 sommets, 9 arrêtes et des limites 3 régions. On a bien 8 plus 3 égale 9 plus 2, le compte est bon. On peut le vérifier sur plein d'autres exemples, ça marche toujours tant que les arrêtes du graffe ne se coupent pas et que le graffe est en un seul morceau. Cette formule n'est pas particulièrement difficile à prouver, il suffit de vérifier qu'elle reste un changé à toutes les étapes de construction d'un graffe. Déjà, si le graffe est composé d'un unique sommet, on compte une région, un sommet et zéro arrêtes. La formule fonctionne déjà. Si on rajoute un nouveau sommet à un graffe, on doit obligatoirement ajouter une nouvelle arrête en même temps. Cela ajoute 1 à S et 1 à A et la formule reste donc équilibrée. Enfin, si on ajoute une nouvelle arrête sans ajouter de nouveau sommet, cela va créer une nouvelle région. Cela rajoute 1 à R et 1 à A et la formule reste une nouvelle fois équilibrée. Bref, dans un graffe planaire connex, S plus R égale à plus 2. Bien sûr, cette formule rappelle la formule de l'air sur les polièdres. Sur un cube, un tetraèdre, une couple-rotons décagonal gyroalongée, ou n'importe quel autre polièdre convexe, le nombre de sommets S plus le nombre de face F est égal au nombre d'arrêtes A plus 2. Il s'agit en fait de la même formule que pour les graffes, mais vu d'un point de vue différent. On peut maintenant revenir au problème des trois maisons. Une solution qui mettraient d'accord les trois familles serait donc un graffe planaire. Il doit posséder 6 sommets et 9 arrêtes. D'après la formule de l'air, ces arrêtes doivent donc délimiter 5 régions. Puisque chaque arrête intervient dans la délimitation de deux régions, on aura nécessairement une moyenne de 3,6 arrêtes par région. Certaines régions doivent donc être délimité par 3 arrêtes ou moins. Mais c'est inenvisageable sinon deux usines ou deux maisons seraient reliées entre elles. On aboutit finalement à une contradiction. La solution n'existe pas, c'est QFD. En fait, on peut quand même trouver des moyens pour contenter ces trois familles. Mais pour trouver cette solution, il va falloir quitter la Terre. Puisque notre planète est sphérique, on pourrait envisager de faire passer les raccordements de l'autre côté de la Terre. Malheureusement, la formule de l'air s'applique toujours rendant une nouvelle fois l'attache impossible. Mais si notre planète n'est pas sphérique mais torique, c'est-à-dire ayant la forme d'un donuts, le problème devient possible. Moralité, pour régler les problèmes de voisinage, oublier Julien Courbet ou le grand frère et déménager au plus vite de la planète Terre pour la planète Torre.