 Bonjour à tous, merci aux organisateurs de me permettre de parler aujourd'hui. Alors je suis l'élève en thèse de Florian Beneil-George et là je vais vous montrer un travail qui a été aussi fait en collaboration avec Nathan Allen Riquez, professeur à Nanterre. Alors avant toute chose, on va parler de matrice aléatoire. Donc je vais rappeler rapidement qu'est-ce qu'on étudie comme objet. Une matrice Sennfoyenne dont les coefficients sont aléatoires et habituellement ce qu'on s'intéresse, ce à quoi on s'intéresse dans ce domaine, ce sont les valeurs propres de ces matrices qu'on n tend vers l'infini. Ici on va, ou les vecteurs propres évidemment, mais ici on va s'intéresser spécifiquement aux valeurs propres, qu'on note l'ambe d'un, l'ambe d'un. Et on s'intéresse à ces valeurs propres grâce à une mesure qu'on appelle la mesure spectrale qui correspond donc à un surn de la somme des Dirac et on étudie donc cette mesure spectrale quand elle tendra vers l'infini. Autant dire que par exemple dans le cas d'une matrice hermitcienne où les valeurs propres se placent sur la ligne réelle, regardez la mesure spectrale en quelconque sous ensemble de R nous donne en fait la proportion de valeurs propres comprises là-dedans. Alors évidemment on est au, ici on est aux probabilités de demain mais j'ai quand même choisi de présenter un théorème très ancien 1958 qui en réalité est une feuille de route pour les probabilités de demain peut-être dans le sens où il a ouvert énormément de nouvelles recherches qui sont toujours d'actualité. Alors Wigner, le prix Nobel de physique dans les années 50 il me semble qu'il a reçu son prix Nobel aussi avait donné un théorème qui était que quand on prend une matrice symétrique réelle qui a quelques conditions sur les moments de ses entrées alors la mesure spectrale de XN de cette matrice renormalisée tend vers la mesure du demi-cercle. Et à partir de là on voit que la condition c'était que les valeurs ici soient juste illidées. Donc en fait à partir de là on comprend qu'il y a un phénomène d'universalité un peu comme l'avait rappelé déjà à la place au 19e il a ouvert un nouveau domaine où on a commencé à se poser systématiquement ce genre de questions de à quel point est-ce qu'on peut étendre des propriétés universelles pour toutes les matrices. Alors on peut illustrer ça rapidement avant de passer au sujet même. On voit que dans le cas d'une matrice gaussienne dans mon cas à n fois n pour n égale 20 on commence à tendre vers cette loi du semi-cercle petit à petit puis on voit que plus on avance plus rapidement on tend vers exactement la loi du demi-cercle. Alors maintenant qu'on a dit ça qu'on a parlé d'universalité même si c'est un peu indépendant de ce que je vais vous montrer je pensais que c'était important parce qu'effectivement on a une réelle feuille de route à partir de là pour les probabilités à venir. Alors dans mon cas ce qu'on a étudié c'est un problème de perturbation c'est-à-dire on prend l'opérateur on le perturbe par un autre et on se pose la question de à quel point est-ce que ces propriétés spectrales ont été perturbées à quel point ces propriétés spectrales sont sensibles à une perturbation. Alors plus explicitement prenant une matrice HN hermicienne déterministe qu'on connaît additionnons lui une matrice H prime hermicienne mais cette fois aléatoire et dont la norme opérateur est d'ordre 1 et rajoutons en plus un petit coefficient epsilon n qui lui tend vers zéro et en fonction de la vitesse à laquelle il tendra vers zéro on aura différents régimes de perturbation d'accord précisons que si epsilon n ne tend pas très vite vers zéro en réalité il ne s'agit pas forcément d'une perturbation en sens où ça ressemble déjà à une addition donc on va voir que différents régimes vont apparaître en fonction des vitesses alors on peut illustrer ça par exemple ici si je prends H comme matrice hermicienne disons que j'ai pris juste une matrice hermicienne dont les valeurs propres sont 1 sur n 2 sur n jusqu'à n sur n donc de 0 à 1 on est tout à fait bien réparti son spectre si je le représente avec un histogramme devrait être de ressemble à ça et en plus là en fait les deux graves sont superposés donc c'est normal si vous ne en voyez qu'un de plus je mets H plus epsilon n H prime ou H prime ça sera un bruit gaussien par exemple bah vous voyez que finalement quand epsilon n tend à une vitesse 1 sur n vers zéro les deux spectres sont tout à fait confondus si je commence à faire tendre epsilon n un peu moins rapidement vers zéro à une vitesse 1 sur acine de n soudainement vous voyez qu'une petite différenciation commence à se faire ressentir faisons tendre epsilon n encore plus lentement nous obtenons donc à une vitesse 1 sur n puissance 4 à 1 sur n puissance 5 arp nous obtenons donc soudainement une différenciation entre la matrice non perturbée et la matrice perturbée et si on continue on finalement on voit que la matrice perturbée son spectre est déjà très différent de la matrice non perturbée donc en fait la question peut être assez naturelle de se poser voilà à quel point est ce que les valeurs propres vont être sensibles à cette perturbation alors le problème que je viens de vous présenter avec hn et h prime n on peut le reformuler de manière beaucoup plus simple on peut le réécrire on sait qu'une matrice hermitienne est diagonalisable dans une base unitaire disons que cette base unitaire c'est u étoile hop hn je peux la transformer en la matrice diagonale évidemment j'applique la même la même multiplication à h prime n qui ont refait une matrice hermitienne et est ce que ça pose problème au niveau de du fait que h prime n était une matrice aléatoire en réalité ça peut changer la loi dans certains cas mais dans le cas gaussien on sait en matrice aléatoire qu'une matrice appartenant au groupe gaussien orto-genal ou gaussien unitaire c'est à dire une matrice hermitienne avec des veilles gaussiennes ou réelles symétriques avec des gaussiennes la loi est reste un changé par des multiplications contre des matrices unitaire donc en fait le problème peut être reformulé de cette manière de manière sans sans aucun souci donc voilà notre problème se résume maintenant à une matrice diagonale sommée avec epsilon n une matrice hermitienne qui est aléatoire donc comment est-ce qu'on va étudier le spectre de la matrice dn epsilon qui va être la matrice perturbée par rapport à la matrice dn qui était ma matrice diagonale initiale tout simplement on va étudier le spectre de mn epsilon qui est donc la mesure empirique de dn epsilon et on va réussir à l'exprimer en fonction de mn qui était la mesure empirique spectrale de dn alors voilà le résultat d'un point de vue clairement heuristique en fonction de la vitesse à laquelle epsilon n tend vers 0 nous avons différents régimes qui apparaissent le premier par exemple quand epsilon n tend vers 0 à une vitesse plus rapide que 1 sur n alors mn epsilon la mesure perturbée le spectre perturbé ressemble au spectre non perturbé plus epsilon n sur n ou des aides est une forme gaussienne qu'on va expliciter bientôt quand soudainement epsilon n tend vers tend à une vitesse environ de c sur n alors apparaît quelque chose de nouveau dans ce développement une constante déterministe enfin un terme déterministe et ensuite on peut passer à un autre régime quand epsilon n tend plus lentement vers 0 à une vitesse plus lente que 1 sur n en tout cas alors on peut faire apparaître bon ici vous remarquerez que la renormalisation n'est pas la même je vais expliciter dans quelques secondes le fait qu'on peut le régime perturbatif en contient plein d'autres à l'intérieur alors ici voilà des aides c'est un terme aléatoire que l'on va expliciter et donc df lui est un terme déterministe qui n'est dépendre que des paramètres limites de notre système alors le cas du régime semi perturbatif pourquoi semi perturbatif parce qu'on est presque déjà en train d'additionner plus en train de perturbé il peut être précisé de manière plus élégante on peut dire que si on tendait à une vitesse entre n moins 1 et n moins 1 tiers alors muen epsilon est égal à la mesure spectrale non perturbée plus en terme déterministe plus en truc plus en terme gaussien et si on continue ainsi on peut se rendre compte que le régime semi perturbatif peut être décomposé en une infinité de d'autres régimes de la manière suivante c'est à dire que à un moment on aura toujours p termes déterministes tous de plus en plus petits là on avait epsilon n carré puis epsilon n puissance 4 après ça sera plus epsilon n6 plus epsilon 8 etc etc alors comment prend forme ce théorème de cette manière en fait on impacte la mesure contre des fonctions test on va dire fi qui ici sont c6 et ça nous donne les trois régimes par exemple les trois régimes ici je me suis arrêté à le moins un tiers j'ai pas explicité le reste vous voyez que donc on obtient donc contre des fonctions qui ont une régularité suffisante mes mesures spectrale voilà qu'on verra ma mesure spectrale perturbée qu'on verra mesure spectrale non perturbée plus le terme aléatoire gaussien qu'est ce que je voulais dire aussi si je continuais si je faisais le régime semi perturbatif suivant entre n moins un tiers et n moins un cinquième il me faudrait une fonction plus continue encore d'accord donc après on va à ses 8 et etc etc alors le terme gaussien à quoi est-ce qu'il ressemble en fait il s'agit d'un champ gaussien indexé donc c'est un champ indexé sur les fonctions c6 et il on pourrait le réécrire de cette manière on pourrait le représenter comme l'intégrale contre un mouvement groenien en sachant que sigma en fait ce sont les variances des éléments diagonaux de la matrice Hermitian xn et que ft ce sont juste des limites reliées aux valeurs propres lambda n de la matrice diagonale donc en fait le système ne dépend que des éléments diagonaux limites et vous allez voir que les termes déterministes dépendent des termes non diagonaux de la matrice xn alors comment est ce qu'on prouve ce type de résultats pour vous donner une idée on le prouve d'abord pour des fonctions test du type 1 sur z-x ce qui nous permet en réalité de décrire d'étudier en fait la trace des résolvantes de ces matrices ensuite une fois qu'on a fait l'étude pour ces fonctions test spécifiques on peut passer à une extension par densité aux fonctions test qui sont c6 alors en quelques en quelques mots les deux étapes premièrement étudier la mesure spectrale empirique contre une fonction fz revient à étudier en fait la résolvante de la matrice une fois qu'on a ça on peut en fait faire un développement qui est un développement de la résolvante qu'on aurait pu continuer plus loin ou à n bn cn sont des termes calculés rn epsilon est un reste d'accord donc à n vous pouvez voir que voilà le développement j'aurais pu le continuer ici pourquoi rn epsilon parce que c'est le seul qui contient la matrice perturbée en lui ce développement j'aurais pu le continuer très loin encore simplement je m'arrête là pour des raisons déjà de présentation ici mais surtout que par la suite il y a d'autres problèmes de régularité qui apparaissent alors le but c'est tout simple c'est à nz je montre qu'il tend vers le changotien pris en fi z en une fonction test 1z moins x bnz je montre qui va tendre vers les termes le terme des terministes étudiés précédemment cnz vers 0 et rn epsilon qui est négligeable une fois que j'ai montré ça vous voyez que bon j'aurais pu mettre en distribution en fait enfin j'aurais dû mettre en distribution en fait on peut utiliser un lame de slotski et conclure rapidement que le théorème est vrai dans le cas des fonctions test fi z par la suite qu'est ce que je peux faire pour faire cette extension je peux utiliser un lame qu'ont écrit cher bina et tirosi qui dit que je peux étendre mon tcl effectué pour fi z a des fonctions fi qui sont dans hs dans l'espace de ce bolet fractionnaire hs en fait comment je fais cette extension tout simplement parce que les fonctions 1 sur z moins x sont dans dans cet espace par la suite mais le problème c'est que ce théorème je ne peux l'appliquer ici que pour mn epsilon qui est centrée or moi j'étudie pas mn epsilon sans ressentré j'étudie mn epsilon moins mn pour faire ça en fait je montre grâce à un autre théorème qui est une formule assez récente je crois qu'il y a de 2010 prouvez pareil faire et je se tendre je prouve que ce processus là est très proche du processus que je suis en train d'étudier le processus entré et il est très proche pour quel type de fonctions pour les fonctions c6 sur r bon heureusement que je sais que que les fonctions c6 sont dans h5 rappelons que l'espace de ce bolet fractionnaire en fait qu'est ce qu'un espace au bolet fractionnaire juste en deux mots en fait quand j'écris hs c'est quoi ce sont les ans ce sont les fonctions qui sont dérivables qui admettent une s une dérivée s qui aime si on peut le dire comme ça s est en réel mais ça peut prendre un qui est qui est dans l2 bon en fait ça a un sens évidemment quand on étudie ça au travers d'une transformée de fourrier ou la dérivée se retransuit comme une multiplication donc comme c6 est dans h5 on réunissant les des résultats on peut enfin dire que mon résultat est vrai pour les fonctions c6 donc pour conclure je vous montre deux simulations où epsilon n va vers 0 de plus en plus lentement alors ici par exemple j'ai utilisé une matrice dn qui simule la parabolique pulse donc donc voyez la densité en rouge et la courbe noire c'est la courbe directement simulée c'est le spectre directement simulée de dn epsilon et la courbe bleue c'est le quand je rentre les données théoriques de ce développement et on peut faire la comparaison on peut voir que les les quand on dirait il y a une coïncidence plutôt plutôt très bonne et on peut voir aussi que le modèle non perturbé par rapport au modèle perturbé on peut voir cette différence c'est quoi c'est que le spectre en fait on peut dire qui s'étale un peu plus sur les bords et moins au centre des leurs compères turmes bon ici il s'agit d'une comparaison de mn epsilon théorique et non théorique dans le cas des fonctions de répartition et aussi on peut avoir la même pour la triangulaire pulse le problème c'est que quand moi je vous parle de fonctions de répartition en fait je fais une indicatrice en fait j'étudie mn et mn epsilon contre une indicatrice ce qui est en fait pas c6 on est d'accord c'était juste pour montrer que dans le cas dans ce cas là on pouvait enfin nous on s'est limité au cas c6 il se peut qu'on puisse avoir des résultats même meilleur simplement quand on l'étudie la différence dans le cadre de fonctions c6 vous voyez que la différence est clairement minime quelle que soient les ordres de vitesse de convergence et donc on peut on peut être plutôt satisfait de ce développement qui pourra par la suite être amené plus loin voilà je vous remercie est ce qu'il y a des questions comment s'exprime les fonctions déterministes qui apparaissent à la limite par exemple la fonction f s'exprime comment en fonction des données alors en une phrase par exemple le terme déterministe enfin j'avais mis df dans les dans les slides en fait c'est que c'est c'est l'intégrale contre fi enfin dans le développement je devrais me retrouver avec des termes de ce type donc linéaire en fi ou en fi prime ou en fi second etc tous les termes déterministes sont donc peut être représenté comme des sortes de distribution est-ce que ça va grandf à quoi il ressemble alors dans le premier terme déterministe qui apparaît en fait il correspond à une transformée de hilberts de relier en fait aux éléments non diagonaux de la première matrice c'est-à-dire on se grandf lui-même est une intégrale qui doit être égal à je prends les six les éléments diagonaux de la matrice sur sur quelque chose d'autre etc donc enfin en tout cas il est tout à fait relié aux éléments non diagonaux etc etc par la suite je chaque élément chaque élément déterministe qui apparaît est une fonction donc de fi et des éléments diagonaux non diagonaux de xn le seul problème c'est que par la suite on perd la linearité en fi assez rapidement et c'est là que le problème se pose pour pour l'extension du tsl parce qu'on a besoin d'une expression linéaire de tous les termes en fi alors moi j'ai une question plutôt par rapport j'ai l'impression qu'il n'y avait pas de conditions sur sur les termes de la matrice diagonale déterministe alors ça m'a l'air un peu il ya des conditions justement ce que c'est bien séparé par exemple de ce que c'est de l'ordre de quelque chose parce que sinon je pense que c'est les résultats devraient dépendre quand même de l'ordre de grandeur des éléments de cette matrice voyez si la matrice est très grande au petit enfin alors en fait plus plus on étend ce alors plus on étend le développement loin plus on a besoin que les moments soient réguliers c'est à dire que quand on se limite au premier cas au cas élément intérieur quand on va faire tendre epsilon jusqu'à une vitesse élément intérieur on a besoin par exemple de moments dans la matrice qui soit d'ordre 8 que les moments d'ordre 8 pardon soit soit fini c'est la condition de régularité qu'on aura posé au moment de la matrice xn si on commence à faire tendre epsilon n plus lentement encore on va voir des on va demander à ce que les moments d'ordre 10 12 puis plus loin soit tous finis je sais pas du coup pour toi le fait que les mues n soient proches de 0 ou loin de 0 ça change rien par rapport à les mues n ouais les termes diagonaux de ta matrice déterministe oui à laquelle tu rajoutes un bruit aléatoire est-ce que ça change rien du coup pour toi qui soit grand petit justement pour dn donc pour la matrice déterministe ouais non pour le moment est-ce que ça change quelque chose ouais justement parce que le fait de la perturbation va se voir plus dans un cas ou l'autre j'ai l'impression qu'ici ça dépend pas de l'ordre de grandeur je demande juste que les éléments l'ambdn donc que les valeurs propres soient bornés affairement les deux voilà juste à ce que ça n'explose pas que la matrice déterministe n'explose pas au niveau des valeurs contenues à l'intérieur tous les lampes dn peuvent être contenus par exemple dans voilà dans moins m m il ya une condition du type de manière à ne pas enfin j'étudie un système voilà mais ça représente la plus je sais pas c'est exactement la question on pourra en rediscuter pour d'accord pour pour éclaircer ça est-ce qu'il y a d'autres questions alors si non bah je propose qu'on passe au déjeuner donc un excellent buffet qui vous attend et on reprend à mille et quarante oui on remercie encore une fois à kéos