 Les organisateurs de ces journées galvoires ont décidé qu'il y aurait eu une journée spéciale, celle d'aujourd'hui, qui serait consacrée à un développement des idées des galvoires, particulièrement intéressants, à savoir la théorie des extensions galvoisiennes, des corps de nombre et les représentations linéaires de ces groupes, par exemple la théorie des motifs. Alors les deux premiers exposés, celui de Bost et le mien, seront plutôt historiques, en ce sens que nous parlerons pas mal du 19e siècle, mais aussi du 20e, et je crois que les trois autres exposés seront plus récents, celui de Fontaine sur les motifs et les deux autres sur la théorie de l'anglante. Donc je vais démarrer en essayant de vous donner des dates clés, en mon avis, du développement de la théorie des extensions habilières. Alors j'utiliserai le langage de maintenant, je ne laisserai pas d'employer celui des auteurs que je citerai, ce qui fait que je parlerai de groupes de galvoires avant même que galvoires ne les aient définis. Parce que la première date que j'ai envie d'écrire au tableau, c'est Gauss, un disquisitionnais arithmétique. C'est un livre absolument fondateur pour différentes raisons, tout d'abord par le modèle qu'il a donné, parce que la précision des démonstrations de Gauss est telle que la servie de modèle, ce qui fait que la théorie des nombres a eu la chance d'avoir un texte fondateur parfaitement bien rédigé, ce qui fait qu'on a plus osé après Gauss. Bon, on a fait des démonstrations fausses, bien sûr, nous en faisons toujours, mais tout de même, pas avec la même liberté, c'est dans certains sujets. Vers les années 1850 ou 60, 50 ans après, le Salle étudiait la théorie des coniques et démontrait des théorèmes basés sur des principes, c'était des principes au sens de la physique, c'est-à-dire une chose qu'il ne fallait pas mettre en doute. Alors, il y a donc ce rôle de modèle de Gauss. C'est du point de vue galoisien. Qu'est-ce qui nous intéresse particulièrement ? Deux choses. La loi de reciprocité quadratique et la psychotomie. Toutes les deux, ces deux choses, vous les voyant, d'un point de vue galoisien, d'une façon suivante, la première, il s'agit des extensions du corcus qui sont galoisiennes avec le plus petit groupe de galois non trivial possible. Galois a deux éléments. Ça, ça ne vaut pas de problème en soi. Mais ce qui est intéressant, c'est la façon dont les normes au premier se comportent dans l'extension en question. Donc, qu'a égale plus de racine de D, disons. Comment est-ce que P se comporte ? Visiblement, est-ce qu'on porte de façon très différente ? Supposons que P ne divise pas de D, par exemple. Suivant que D est un carré ou pas, votre P ou non. Et la loi de reciprocité vous dit que ça dépend de propriété de congruences de P, équivalent à P qu'on voulait quelque chose. Modulo, disons, quatre D, par exemple. Par exemple, si P qu'on voulait un, non, bah, je ne vais pas. Fuis détailler que ça. Alors ça, nous allons retrouver ça puisque c'est le modèle même des théorèmes du corps de classe, qui vont nous dire que la décomposition ou les propriétés, les frobénieuses, l'idéal premier dans une extension abélienne, dépend simplement d'une certaine classe dans d'un groupe de classe d'idéo. Et la cyclotomie en particulier, la fameuse construction du polygone à 17 côtés, dans lequel on voit Gauss étudier les propriétés, disons, depuis 17, en observant, si je veux dire, que le groupe de Galois, c'est Z sur 17, Z étoile. Et que c'est un groupe cyclique d'ordre de puissance 4. Et ce qui fait que, toujours au point de vue, en prenant le point de vue maintenant, nous décrit bien en éclairé. Ceci, comme une tour, avec toute une série de corps, chaque fois de degré 2 les uns sur les autres, le premier étant bien sûr plus de racine de 17. Et l'exposé quand dans le Gauss est absolument un modèle d'application de la théorie de Galois. Et d'ailleurs, on le trouve en général reproduit dans les textes sur la théorie de Galois parce qu'on ne veut pas faire mieux. Donc de ce point de vue-là, il fallait commencer par citer Gauss. J'ai envie aussi de citer une phrase de veille assez discutable, mais elle nous donnera quand même l'opinion de veille sur ces choses-là. En 47, pour ample que ce soit de nos généralisations des résultats de Gauss, on ne peut dire que nous ayons vraiment dépassé. Ça, c'est en 47. Ça signifie que Gauss n'aurait pas été surpris par les résultats du corps de classe. Veille n'aurait sans doute pas écrit cette phrase plus tard parce que visiblement, l'introduction de ce qu'on appelle la philosophie de l'anglance est quelque chose qui va au-delà de ce que Gauss avait vu. Bon, probablement. En tout cas, il fallait commencer par citer ce texte. Alors, si on continue. Bon, bon début pour ce siècle. Si on continue. Alors bien sûr, vers 1830, on vous a abondamment parlé de Galois, et puis il y a aussi Abel et Chacobie. Mais du point de vue qui m'intéresse ici, je n'ai pas besoin d'en dire plus. Si ce n'est quand même que les idées de Galois ont mis pas mal de temps à être comprises, d'abord à être publiées, puisque la première publication, c'est par Liouville en 1846, on va sûrement raconter ça déjà ici. Et l'assimilation par les contemporains a été assez lente. Il n'y a certainement rien avant dix-dix-cent-cinq ans, autant que je puisse se voir. En 1953, oui, je voulais en parler. Et c'est surtout la publication par Jordan de son traité des substitutions en 1970, qui a mieux fait connaître Galois. Donc la date principale que je veux mettre maintenant, elle est capitale aussi. Dès 1837 au fur et à mesure, j'ai fait un petit papier pour retenir des dates diriclées. Diriclées à cause, bien sûr, du terrain de la progression arithmétique encore un autre exemple de terrain de densité, et l'introduction de méthodes analytiques. Et dans mon exposé, je parlerai assez souvent des méthodes analytiques. C'est absurde, à mon avis, de vouloir séparer les méthodes purement algébriques qui sont souvent pas très efficaces, des méthodes analytiques. Et en particulier, c'est une des choses que démontent les diriclées. Pour la progression arithmétique, vous savez ce que c'est. Et une des applications que Diriclet donne est quelque chose d'un petit peu moins connu, peut-être l'application. Vous prenez le nombre premier P dans la congrès à 3 modulo 4. Pour éviter un cas particulier, je vais supposer moins qu'à la 3. Alors vous regardez les résils du quadratique. Donc les carrés modulo P. Les carrés non nuls modulo P. Alors il y en a P-1 sur 2. Et vous les représentez comme souvent on le fait comme des entiers compris entre 0 et P-1. Et puis, P sur 2 qui a la la bonne vertu de ne pas être l'entier, ce qui fait que vous divisez l'intervalle en 2. Et disons que vous avez appelé, disons, je vais prendre des notations V et N, le nombre des carrés qui sont dans cet intervalle. Autrement dit, dans l'intervalle 1 à P-1 sur 2. Et vous appelez N, les autres. Alors bien sûr, la somme des deux, c'est ça. Mais comment se répartissent-ils, et bien Diriclet démontre, c'est pas la peine que je réécrive son nom, tout d'abord que J est plus grand que N. Il y a plus de petits résidus quadratiques que de grands résidus quadratiques. Et en plus, V-N P congrue à 7 modulo 8 P congrue à 3 modulo 8 ou H de moins P est ce que Gaënt appelait le nombre de classes de formes quadratiques bilaires de discriminants moins P. C'est un nombre de classes d'idéo. Et ça, c'est trois fois. Par exemple, si vous prenez P-11, vous avez l'intervalle 1, 5. Et combien contient-il de carrés, dont il contient 1, il contient 4 certainement. D'autre part, 25 est un carré. Donc 3 est un carré. Il faut encore 1. 5 est un carré parce que 16 est un carré. Donc il contient déjà 4 carrés tandis que l'autre, évidemment, il contient celui qui manque. La différence est 3. Mais P congrue à 3 modulo 8. Donc le nombre de classes est 1. Et c'est le nombre de classes de discriminants moins 11. Bien, cette formule-là diricule l'obtient en passant la démise, en regardant la fonction zeta du corps quadratique pour Ségala. Effectivement, c'est aussi des choses qu'il faut dire, c'est qu'il introduit la fonction zeta au moins usuelle et surtout les fonctions L pour le corps de rationnel. En réalité, il fait un petit peu mieux parce qu'il regarde aussi des cérées du type Somme de 1 sur AX2, CY2, puissance S, cérées pour une forme quadratique définie positive. Et ça, ça revient. Ça vaut maintenant à regarder les extensions abéliennes non pas de cul, mais du cœur cul de racine de moindée. Donc nous sommes quand même dans le sujet en question. Mais l'introduction des méthodes analytiques, c'est une chose effectivement d'une telle importance. Il fallait la mettre en évidence. Dans les grandes dates, excusez-moi, un grand date qui vient ensuite. Bon, moins importante peut-être mais intéressant aussi. En 1844, Eisenstein, la loi de reciprocité cubique est démontrée de façon essentiellement très simple. Alors que l'analogue pour quartique, Gauss en avait fait un petit peu une montagne, mais Eisenstein fait ça très rapidement. Il faut mentionner aussi Coumeur, bien sûr, la théorie des idées au commence. Mais la date, bon, il faut quand même c'était aussi 1843 qu'on écaire, parce que c'est la première fois, à mon avis, que l'on voit réellement des hypothèses galoisiennes. Qu'on écaire démontre, bon, avec quelques petits trous, il démontre que toute extension abélienne, abélienne, donc un gougou de galois abélien, ça rendement de sujet, est contenu dans un corps cyclotomique, dans un corps de racine d'habilité. Bon, alors comme je vous l'ai disais, sa démonstration des trous, elle a été reprise par Weber plus tard, et sa démonstration est également connue pour avoir des trous. Mais le théorème s'appelle Kronecker Weber, mais Hilbert en a donné, alors je ne sais pas la date est-ce que je l'ai là, quand même 1896, a donné une démonstration correcte, et c'est un théorème qui a beaucoup frappé les arithméticiens et beaucoup au XXe siècle, se sont amusés, pour se faire la main, à donner des démonstrations plus ou moins élémentaires de ce résultat. Par exemple, Schaffariewicz a commencé comme ça, pratiquement son premier travail a été une démonstration du théorème de Kronecker Weber. Alors j'arrive à une autre date, essentielle, bien qu'elle n'ait pas énormément de rapport avec les groupes de Galois-Béyan, mais on ne peut pas la citer maintenant. C'est 1859, avec son texte, soit nom ou premier. Alors, il y a là-dedans plusieurs idées complètement nouvelles. La première de ces idées est de regarder la fonction habituelle, cette accue de S, qui était connue, que par exemple Euler connaissait bien, mais de la regarder sérieusement dans le plan complexe, appliquer la théorie de Cauchy, au lieu de se borner, parce que je voudrais peut-être du le dire, quand Dirichlet introduit sa fonction L dans une variable complexe. Du moins, il ne s'en sert pas. Dirichlet regarde toujours S de la forme, je crois que c'est un plus ron, sa notation favorite, avec Rho positif, de façon que ça converge, et ensuite il fait tendre Rho vers 0. C'est ça la façon de voir le comportement au point 1. Tandis que dans Iman, vous voyez la fonction Zeta dans tout le plan complexe en particulier la découverte des 0 complexes. Ça, c'est quelque chose que personne n'avait vu du tout. Et comme conséquence de ces 0 complexes, ils montrent au cible, si vous appelez comme d'habitude P2x, des nombres au premier plus P2x, ils montrent que P2x se décompose en un terme principal. C'est celui qui va vous donner à peu près x sur log x. Un peu mieux que ça, enfin. Et puis, un train d'eau dans quelque sorte. Une infinité de termes dépendant qui aussi, périodiquement, et dont les fréquences ou je sais quoi, comme on dit en physique, sont données par les 0 complexes. Et ça, ce côté oscillatoire, ce côté ondulatoire de la fonction qui compte les nombres au premier ça aussi, c'est quelque chose de complètement nouveau à l'époque. Il y a un niveau de vulgarisation récemment qui a vraiment très bien expliqué ça. Il s'appelle Prime Obsession qui était traduit en français d'ailleurs mais avec un titre moins joli que celui-là par John Derbichard ou le Conseil parce qu'il y a des calculs numériques dans ce livre, ce qui n'est pas comprend dans un livre de populaire. Il y a des calculs montrent les calculs. Et développement avec comment on calcule les morceaux de ce train d'eau. Donc ça, c'est complètement une espèce de bombe qui arrive. C'est uniquement pour la fonction Zeta. Alors, je continue la liste Ah. Oui. J'ai dit que Dead Kids ne regardait que les valeurs de S qui sont réelles. En fait, dans le cours qu'il a publié ensuite, il y a ces fameuses leçons pour les liriclais avec la collaboration de Dead Kids. Ça va un petit peu plus loin en particulier le résidu en S égale 1 est calculé. Alors les leçons de liricler Dead Kids comme date, elles se sont échelonnées disons que ça commence en 1863 mais qu'il y a eu plusieurs éditions. Il y a le fameux 11ème supplément un très long supplément par Dead Kids tout seul et qui, pratiquement, a servi aux exposés de la théorie des nombres pendant une centaine d'années à peu près. Bon, je souviens le mathématien français avait publié un livre niveau troisième psychique sur les corps de nombre. Il s'était essentiellement basé sur le 11ème supplément. Sur le 11ème supplément. On n'a pas changé grand-chose. Alors, oui. Là, j'ai aussi une autre date dans cette période-là en 1880. En 1880, qu'est-ce que vous voulez citer ? Ah ben oui, c'est la suite. C'est de nouveaux chronécaires. Et c'est presque la même chose que tout à l'heure. Tout à l'heure, c'était le théorème chronécaire Weber qui dit que les corps abéliens sur cul sont contenus dans un corps psychotomique et son rêve de jeunesse c'est comme ça qu'il l'appelle You Got Round dit la même chose si j'ose dire plutôt analogues pour les corps quadratiques imaginaires. Mais à ce moment-là, bien sûr, la psychotomie ne suffit pas. Il faut utiliser les cornes elliptiques si vous voulez parer un langage géométrique plutôt les cornes elliptiques. Et si vous voulez parler un langage analytique avec des valeurs de fonctions de verges traces chose comme ça. Plus précisément ce que vous pouvez faire c'est de commencer par adjoindre à votre corps les valeurs des invariants modulaires les G des cours de multiplication complexe et puis ensuite, si vous ajoutez certaines fonctions des cours donnés des points tendres finis sur ces cours. L'élan c'est précis n'est pas si facile à faire et il y a d'ailleurs ici quelqu'un qui a fait un livre qui a fait non pas un livre, mais un article dessus, c'est Champs-Arsère Normand Champs-Arsère Le titre se termine par alors est-ce que c'est en anglais ou en français ? Non, c'est en anglais comédie aux erreurs c'est pas le titre complet, mais c'est à partie la plus intéressante du titre. Parce que ce rêve de jeunesse de Chronéker a été en quelque sorte popularisé par Hilbert et sous une forme explique Champs-Arsère un peu incorrect. Et les démonstrations ensuite je vais pas résumer ce que Champs-Arsère raconte très bien dans son texte là, mais enfin vous verrez qu'il y a effectivement une petite comédie mais finalement il y a un terrain le rêve de jeunesse est parfaitement correct et c'est malheureusement alors actuel tout ce que nous avons dans cette direction, si on prenait un corps qui n'est pas qui n'est pas qu'une petite imaginaire nous n'avons pas une description aussi jolie d'extensions habillées donc ce n'en avons pas mais n'avons pas de candidats et je vous truie que nous ne savons même pas si c'est une question raisonnable elle n'est peut-être pas Alors continuons sur ces dates là là maintenant j'arrive à Weber mais je préfère parce que Weber a introduit des groupes de classe d'idées où mais je préfère garder Weber pour la suite et passer tout de suite un résultat analytique Adamard de la Valais-Boussin c'est jamais si incroyable il n'y a pas pardon autrement dit le terrain est dans nos premiers donc le développement asymptotique de Phineux ou du moins un début de développement asymptotique alors pour Adamard c'était visiblement un sous-produit de sa thèse dans sa thèse il avait étudié les fonctions entières et il avait démontré un théorème de décomposition des fonctions entières quand vous connaissez leurs zéro et quand vous savez quels sont d'ordre disons 1 par exemple eh bien vous pouvez écrire un produit infinit qui explique ces fonctions et ils se rendent compte que la fonction des états de S est presque une fonction entière alors un pôle simple en S égale 1 bon alors la multiplie paraît c'est point 1 à ce point là ça devient une fonction entière et du coup on peut l'exprimer comme un produit et du coup les zéro complexes que Riemann avait mis en évidence interviennent et en appliquant sa théorie il arrive à pi de x il a besoin au passage de prouver qu'il n'y avait pas le simple en S égale 1 il faut montrer que les états de S sont différents de zéro en ces points là mais c'est pas dur c'est pas réellement difficile la méthode consistant à comparer ce qui se passe pour 1 plus it et 1 plus 2 it et quand on s'intéresse au courbe sur les corps finis cela rappelle un argument de Iara qui expliquait pourquoi on ne peut pas avoir pour un courbe de grand genre de oui on ne peut pas avoir autant de points que ce que la bande devait permettre parce que dans ce cas-là ça donnera un frobenus dans une direction mais en prenant le corps à q2 élément le frobenus irait dans l'autre direction et on trouvait une courbe avec un nombre négatif de points et ça n'existe pas et c'est pratiquement le même genre de la marse si c'était zéro ici ou bien là je ne me souviens plus il se passerait une horaire c'est ça c'est ça, c'est l'argument de Iara donc comme un dollar à les poussins il utilise aussi le théorème de Adamard mais il pousse les calculs beaucoup plus loin que lui son article est vraiment un modèle de ce point de vue-là il vous donne les constantes qu'il peut calculer avec dix décimales c'est pas la morale de l'époque et on ressort avec quoi ? on ressort avec un terme principal le LIDX qui d'ailleurs était déjà dans Riemann il était dans les formules de Riemann et je vous rappelle la définition utilisée par le barryman et la suivante c'est som de zéro AX de DT sur log T alors c'est une intégrale qui est un petit peu inquiétante parce qu'on on a des ennuis en zéro mais l'intégrale converge on a des ennuis intégrales et l'intégrale ne converge pas ce qui fait que par définition ceci est la limite pour epsilon positif epsilon tendant à faire zéro de som de zéro à 1 moins epsilon plus som de 1 plus epsilon AX X plus grand qu'un alors ce n'est pas très différent de la fonction X sur log X mais c'est quand même un peu plus un peu plus joli je suis en développement asymptotique on sait bien sûr ça commence par X sur log X mais ça continue par 1 plus par exemple 1 sur log X plus 2 sur log X au carré plus etc et vous pourrez deviner le etc si au lieu d'écrire 1 et 2 j'écris factoriel 1 et factoriel 2 comme ça vous devinerez alors plus termes d'erreurs et en termes d'erreurs de de la valet-poussin pour le démontrer il doit fabriquer des régions sans zéro ça devrait être la première fois que l'on fait ça pour ce genre de fonctions et il ressort avec un grand taux de X et puissance moins cracile de log X c'est d'un instant taux ponétif sauf férorine la calcul je ne me souviens plus exactement il faut te réfléchir un tout petit peu pour voir que ça c'est bien meilleur que que les termes qui sont là ce que l'on en retient en général c'est que pi de X est équivalent à X sur log X ça revient à négliger tous les termes qui sont là si vous voulez une approximation un peu meilleure eh bien vous pouvez faire X sur log X moins 1 parce que comme ça vous récupérez le terme qui est là plus d'un petit peu mieux si vous voulez faire un peu de Z sans féror vous pouvez vous amuser à faire et vous pouvez continuer mais vous voyez si vous prenez par exemple X lors de 1 million ce serait dommage quand même de pas tenir compte log de X c'est pas très gros c'est une dizaine à peu près ce serait dommage de pas tenir compte du 1 mais déjà celui-là c'est pas très important alors il y avait dans la littérature 18e siècle je crois des dates exactes une suggestion que ce serait mieux sur log X moins 1 et puis des petites décimales mais en réalité le développement qui est là montre que c'est 1 et il n'ont pas autre chose alors la méthode d'Adamard de la Valais-Poussin s'applique absolument sans changement aux fonctions L sur Q les fonctions L usuelles ça veut dire éclair mais à l'époque ne s'appliquait pas du tout aux fonctions ETA d'un corps de nombre tout simplement parce que même avec le d'Edkin diriclet on ne savait pas prolonger analytiquement la fonction ETA d'un corps de nombre ça a été connu que pour les corps quadratiques je pense que c'est tout alors peut-être que je pourrais sauter oui puisque je le mentionne autant sauter ça me fait perdre quelques années mais tant pis 117 il fait le prolongement analytique et aussi des fonctions L je ne suis pas sûr non si il doit faire aussi des fonctions L alors ça c'est important bien sûr mais ce qu'il fait aussi c'est qu'il introduit de nouvelles fonctions celles qu'il appelle avec grosson caractère alors maintenant nous les appelons avec caractère de rec parce que c'était trop désagréable de décliner grosson caractère quand on écrit en anglais ou en français c'était affreux donc donc on préfère les appeler caractère de rec alors ces caractères grosson tienne compte de l'ordre de grandeur du côté archimédien le côté archimédien joue un rôle pour vous donner un exemple de ce qu'on obtient par ces grosson caractère prenez de Q de I et regardez les idéaux premiers de Q de I alors le cas intéressant c'est le cas où P congrue à un modulo 4 ça qui fait qu'il s'écrit comme A2 plus B2 et vous avez un idéal premier qui est engendré par A plus I B autrement dit dans le plan vous avez un certain point qui correspond il y a le premier et il n'est pas tout à fait bien défini parce qu'on peut changer les signes de A et B on peut changer si on peut les permuter mais vous pouvez normaliser les choses par exemple vous mettez dans un angle comme ça si vous normalisez vous voyez que chaque P va vous donner un point là dedans la longueur de ce vecteur je vais l'écrire comment on écrit comme j'ai appris au lycée à créer les vecteurs avec une flèche comme ça la longueur du vecteur c'est évidemment racine de P vous la connaissez donc ce que vous ne connaissez pas c'est ça c'est l'angle et bien le terrain de R vous démontre que les angles Phi P sont équilibrées dans le bon ici j'ai pris entre 0 Pi sur 2 dans 0 Pi sur 2 c'est Pi sur 2 ou Pi sur 4 et théorème analog pour un corps de nombre quelconque le cas d'un corps quadratique réel est un peu un peu plus amusant parce que ici le fait de connaître un demi fait que vous promenez sur un cercle et ce qui vous manque c'est un angle la position sur le cercle dans le cas quadratique réel la figure analog serait la donnée de Pi un demi vous détermine une hyperbole et alors vous avez les unités du corps qui agissent sur l'hyperbole par des espèces de translation et vous devez prendre un domaine fondamental pour calculer le mot du résuméité et c'est là dedans qu'il y a une distribution mais c'est plus simple dans le cas de Curus alors comme je vois que le temps avant c'est qu'on m'a dit qu'il fallait que je ne parle que 50 minutes on va sauter on va abandonner ce cercle carrément et on repasser au suivant et même on va aller jusqu'en 1920 mais cela fait suite quand même à des choses importantes d'une part Weber qui a mis en évidence ce que c'était que des groupes de classe d'idéo avec un conducteur classe conducteur je ne me souviens plus s'il l'appelait déjà fureur ou pas et puis Hilbert lui même qui avait essentiellement formulé conjecturalement les théorèmes du corps de classe mais ces théorèmes vous décrivent les extensions abéliennes d'un corps quelconque corps de nom et vous décrivez en termes donc de classe d'idéo modulo un conducteur donc il faut se donner un conducteur c'est essentiellement une famille de nombres premiers d'idéo premiers avec sortages exposants et puis il y a aussi les places à l'infini que l'on met ou que l'on n'en met pas et on définit ce que c'est pour un alpha que d'être congrue à un multiplicativement modulo m ça veut dire que alpha doit être premier m et que la valuation PI de alpha moins 1 est au moins PI alpha moins 1 et un tel alpha vous définit un idéal et ces idéaux là vous décidez de les négliger autrement dit vous définissez le groupe des classes d'idéo de conducteur m ou de conducteur dividant m comme les idéaux premiers à m idéofractionnaires divisé par ceux qui sont de la forme alpha ou alpha est comme ça si vous pensez au corps usuel des rationnels et prenez pour m un antiordinaire c'est tout simplement le z sur mz étoile mais vous pourriez aussi ne pas prendre m égale 1 m trivial à ce moment là vous trouverez le groupe des classes idéaux usuel qui montre les théorèmes du corps de classes c'est que quand vous avez une extension l sur k un groupe de galois améliens il existe un m le meilleur possible il y a un plus petit m pour lequel le groupe de galois apparaît comme isomorph à classes idéaux par un certain ce groupe que l'on peut caractériser de façon simple il correspond aux idéaux premiers qui se décomposent complètement en extension mais un point et on a une réciproque si on se donne un sub groupe quelconque H de CLM il existe une extension unique qui lui correspond donc on a un dictionnaire à peu près sauf que isomorph à alors dans les textes récents ou moins pas récents quand quelqu'un vous dit tel homme est isomorph à sa en général c'est pas ça qui veut dire qu'il a un isomorphisme et que la démonstration donnera un isomorphisme c'est simplement qu'il rédige mal mais ce qui veut dire c'est ça parce que si vous lui dites ah vous voulez dire l'ensemble des isomorphismes de l'un sur l'autre et non vide ah il dit non c'est pas ça du tout que je veux dire eh bien là malheureusement c'était ça la démonstration de Takagi et la formulation d'ailleurs de Hilbert ne dit pas du tout qu'il y a un isomorphisme canonique elle dit que c'est des homophes et vous le démontrez en découpant chacun en morceaux en produit du groupe cyclique et en content vos morceaux alors c'est pour ça que la date suivante et si importante c'est Arthine en fait plusieurs plusieurs histoires d'Arthine pour la peine d'être expliqué un petit peu plus alors Arthine il y a plusieurs dates Arthine je vais commencer en 23 mais avant ça peut-être même peut-être en 22 Arthine s'épose un problème très concret il regarde des extensions disons de Q un groupe de Galois le groupe de Nikosa Heidre le groupe alterné de 5 lettres il le choisit parce que visiblement c'est le plus petit groupe simple et donc vous ne pouvez pas attraper l'extension par une succession d'extensions cycliques et il voulait savoir comment se décompose la fonction de zeta, non seulement du corps mais de tous les petits sous-cords qu'il y a il y a un petit diagramme assez compliqué qui vous donne les différents sous-cords de ça le corps lui-même est de degré 60 alors il établit des relations et il s'aperçoit que pour exprimer les résultats il a besoin d'introduire des fonctions elles d'un type nouveau parce que je n'ai pas été assez précis vous n'avez pas raconté c'est que c'est des caractères qui interviennent et bien ce sont des caractères de ce groupe non mais Arthine s'aperçoit qu'il a besoin des caractères de G plus précisément il a besoin de regarder G unis de ces éléments de Frobenius des substitutions de Frobenius alors ça Frobenius j'aurais peut-être dû le dire en 1896 sauf Eric d'ailleurs vous avez eu un exposé hier dessus oui c'est ça dessus alors il est abonné à faire deux choses à la fois toutes les deux importantes un définir des fonctions elles non abéliennes non nécessairement abéliennes deux regarder les fonctions abéliennes sous un angle différent parce qu'on les regardait comme caractère de G et là le fait que je sois isomorphiste ne sert plus à rien si l'isomorphisme n'était pas précis et donc il est amené à préciser l'isomorphisme le on te partage l'exagère il n'y a pas l'isomorphisme de Takagi de la façon suivante la façon dont ces deux choses vont se correspondre vous prenez une idée à le premier P qui ne divise pas M alors il définit quelque chose là-dedans mais il définit aussi un aimant de Frobenius là-dedans et bien vous demandez que l'isomorphisme est maintenant sur l'autre c'est pas plus compliqué que ça c'était même si simple que parait-il certains contemporains ont douté de l'énoncer parce qu'il n'arrive pas à le démontrer donc c'est il conjectue c'était un jeune homme il avait beaucoup de culottes alors il appelle ça Zatz bon Zatz veut dire une phrase si l'on veut mais en général en mathématiques c'est plutôt un théorème il appelle Zatz le fait qu'on peut choisir l'isomorphisme de Takagi comme ça et ensuite il il ne le démontre pas mais il démontre des cas particuliers des quantités parce qu'il peut réinterpréter tous les gens que j'ai cités avant et bien d'autres et croire que dans chaque cas ça marche c'est bien ça et il fait un commentaire un peu bizarre en disant il est naturel de ne pas pouvoir démontrer le cas général c'est naturel et ensuite il se détruit de ce Zatz le théorème pas plus démontré que l'autre dès qu'une distribution des Frobenius pour les groupes d'Abenia faut que j'aie quelque part Abenia ou pas dans les classes bien entendu du groupe G c'était un élancé que Frobenius avait conjecturé il avait démontré une variante plus faible que je n'ai pas eu le temps de vous expliquer alors très bonne situation sauf que rien n'était démontré mais ça n'a pas tardé n'est pas tardé en 25 c'est beau ta rêve démontre directement 3 l'équipe distribution alors là ça m'amuse d'essayer de reconstituer ce que Arthine a pensé on n'a pas de détails il y a une lettre de lui qui dit est-ce que vous avez vérifié la démontration c'est pas ça Arthine avait certainement une grande confiance dans sa vision des choses et pour lui on ne pouvait pas démontrer le terrain de densité on ne pouvait pas faire 3 sans avoir 2 c'était pas possible parce que 3 vraiment se déduit naturellement de 2 c'est ça l'aventure et cependant c'est beau ta rêve ça avait fait quelle conclusion quand vous êtes optimiste c'est que c'est beau ta rêve il avait dû démontrer 2 il a pas démontré 2 alors on a su ensuite qu'il avait essayé mais il avait introduit un lèm et Arthine dégage ce lèm et ça perçoit que avec ce lèm il démontre enfin son âge et donc la loi de reciprocité est démontrée mais c'est très curieux de voir le rôle que l'attirée non-nabélienne a joué dans toute cette histoire j'ai l'impression qu'il me reste plus de temps alors je vais simplement dire que ce sont les choses que j'aurais aimé citer il y avait une introduction par Chevalier des Idées 1936 au fond je me suis arrêté là en 26 c'est ma naissance je pourrais peut-être prendre ça comme argument pour m'arrêter ici mais c'est vous voulez et peut-être je répondrai à des questions sur ce que j'aurais pu raconter il y a-t-il des questions dans 7 salles oui pourquoi ça ? pardon il y a-t-il des questions dans 7 salles comment ? non mais je crois que c'était plusieurs questions il y avait les idées mais il nous a pas dit ce qu'il fallait poser comme question après je vous lis les petites notes que j'ai prises 1936 Chevalier idées avec topologie de longs séparés j'avais mis un point d'exclamation en 1936 veille les idées avec leur vraie topologie et la relation avec les caractères de Hecke ça c'était important en 1940 Chevalier la théorie du corps de classe en ayant éliminé toutes les méthodes analytiques il considérait ça comme un succès j'ai ajouté sur mon papier elle se vengeront en 1950 la thèse de tête en 1951 veille la théorie du corps de classe où on voit les groupes des classes idées qui apparaissent comme des espèces de groupes de galois mais c'est le début de la co-boulogie ensuite 1955-1950 Doiering et qu'on faisait les petites modifications complexes dictionnaires avec les grossones caractères ensuite la multiplication complexe mais je pense qu'on va en entendre parler peut-être la multiplication complexe alors un côté péadique que je n'ai pas mentionné Iwasawa en 1958 qui introduit des choses comme les fonctions d'État péadique et on continue avec des fonctions d'État et elle puis enfin on arrive à 1967 et là ça change les choses de change de style il y a des gros tandis qui introduit les motifs et les groupes motifs et vous avez le début du programme de Langlands mais ça je pense que ça va on va en parler bon mais je m'arrête là cette fois-ci moi j'aurais une question sans ce que vous venez de dire que vous allez faire la thèse de veille là-dedans la thèse de veille non j'ai entendu la thèse de veille thèse de veille qui n'introduit pas vraiment de résultats nouveaux mais qui introduit un point de vue qui s'est réveillé exactement le bon pour la suite c'est tout aussi important bon allez on va s'arrêter là si vous voulez faire alors là je suis supposé prononcer une phrase magique qui est en fi d'arbre ce qui déclenche quelque chose là-haut mais est-ce que dans l'enfi d'arbre il y a des questions pour le professeur serre non à première vue normalement l'enfi d'arbre devrait apparaître sur cet écran ah ça c'est pas c'est pas l'enfi d'arbre non mais c'est pas un problème ça ressemble facilement à conduire à moi je peux parler bonjour dans votre espèce vous avez dit que le programme L'Anglance représente quelque part un point de vue complètement nouveau sur la TV de Galois pouvez-vous expliquer un peu pourquoi non non non c'est pas possible ce serait ridicule de parler même une minute là-dessus il y aura des exposés par la suite qui en parleront bon disons quand même une chose c'est que je n'ai pas parlé du corps de classe locale non plus mais dans toutes ces choses là vous avez le groupe multiplicatif du corps qui joue un grand rôle eh bien il faut le voir comme GLM2K et du coup vous vous demandez ce que vous pouvez faire avec GLM2K ça c'est le début du programme L'Anglance vous pouvez pas dire que je ne suis plus profond que ça il y a d'autres et sur le fait que les démonstrations du corps de classe dans le cas des corps de nombre finalement ils utilisent tout un tas d'astuces et de réduction au corps cyclotomique oui quelque chose que je ne sais pas j'ai jamais vu l'article de Chevalet là-dessus est-ce que Chevalet avait dégagé ça non pas plus que les autres il y a un côté cuisine dans les démonstrations du corps de classe globale qui est assez pénible sur les corps de fonction ça a été bien arrangé on comprend très bien mais sur les corps de nombre on a le sentiment qu'on vérifie quelque chose et donc pas qu'on le démontre question et le micro pour moi ça va ça arrive assez souvent que les élancers sont bons les démonstrations sont moches c'est ce parti du métier vous n'avez pas non plus mentionné le rôle des algebras de division comment ? vous n'avez pas non plus mentionné le rôle des algebras de division est-ce que vous pourriez en dire eh bien c'est c'est rentré dans ce que je comptais je comptais parler un tout petit peu de cohomologie qui on l'a utilisé à partir de 1950 à peu près et les algebras de division sont une façon de faire de la cohomologie mais qui est antérieure mais c'est quand même bon c'est important mais j'avais pas le temps d'en parler et en tout cas je veux dire que ce n'est pas comme algebras de division qu'il faut en parler, c'est plutôt avec le langage de la cohomologie parce que si je peux dire quelques mots là-dessus il y a des textes qui se ventent souvent de ne pas utiliser ceci ou cela en mathématiques c'est toujours mauvais pratiquement et en particulier ils disent oh oui je sais faire la théorie du corps de classe sans cohomologie bien sûr Takagi et Arty ne savaient aussi mais quel est intérêt de la cohomologie à faire le théorème à la question c'est que ça donne l'information qui se transporte à d'autres questions en particulier si vous vous intéressez au monde semi simple sur un corps de nombre pour transporter l'information ce n'est pas uniquement le théorème du corps de classe que vous utiliserez, c'est la détermination de certains groupes d'écohomologie bon il ne faut pas repasser le système bon écoutez s'il n'y a plus de questions oui je voudrais poser une question vous avez donc dit le rêve de jeunesse de de chroniqueur on pouvait généraliser ça au cas des corps quadratiques imaginaires non il était directement c'est pas ça, il était sur un corps quadratique imaginaire non mais on peut c'est le même qu'il a fait mais dans le cas d'un corps quadratique réel on peut rien dire si vous avez raison de poser la question sur un corps quadratique réel on ne sait vraiment pas d'écrire les corps de classe d'une façon systématique J.Mourin avait donné des méthodes pour en construire certains avec des formes modulaires mais même ça ça ne donnait pas tout donc on n'a pas du tout un aussi joli dictionnaire que dans le cas on n'a pas de dictionnaire du tout que dans le cas quadratique imaginaire bon écoutez c'est la pause nous nous retrouvons à la prochaine