 Je suis en train d'étudier ce processus des groupes discrets de SL4R ou plus généralement des groupes semi-simples. Et ce dernier talk est ce qu'est-ce qu'il y a sur le SL3R. Pourquoi n'est-ce pas que vous commencez votre cours par expliquer le SL3R avant d'expliquer le SL4R ? Peut-être que ça serait plus simple. On verra que le SL3R n'est pas si simple. Et mon sentiment est que pour mettre tout en contexte vous aide à vous donner une picture du tout, des groupes arithmétiques, des dynamiques homogéneuses. La théorie géométrique, c'est là-bas. Focussant sur le SL4R était l'un des premiers exemples où vous voyez l'argument en travaillant. Vous voyez que c'est une mélange de calculations. Peut-être que vous avez du temps de suivre la lecture 2. Et des bonnes argumentations, par rapport à Hamour, Margulis, Ragnata, etc. Et donc, c'est pour le SL4R. Mais vous pouvez avoir pour le SL3R. On verra que pour le SL3R, tous ces arguments sont nécessaires. Peut-être que vous pouvez le présenter dans une façon assez simple. C'est ce que je veux vous expliquer. Je veux vous expliquer ce SL3R, avec en tête le cas général. Je ne vais pas essayer de faire le SL3R comme simple, mais juste de le mettre dans cette picture générale. Donc, pour le SL3R, il y a deux possibilités pour vous. Donc, le set-up est maintenant, peut-être... Donc, le G sera dans ce stock, le G sera dans le SL3R. Mais la première partie sera avec le maximum parabolique. Je ne vais pas définir ce parabolique. Je n'ai pas besoin de ça. C'est juste un titre. Cela signifie que je vais dealer avec le suivant de vous. U est le set de matrices 1, x, y, y, y, 0, 0, 0, 0, 0. Donc, c'est un groupe isomorphique à R2. Vous pouvez voir que c'est un exercice que c'est le subgroupement horospériciel de SL3R. Si vous pensez que c'est normaliste, que c'est de cette forme, c'est le groupe qui fixe une vector, une ligne. Donc, ce groupe qui fixe une ligne est appelé le maximum parabolique subgroupement. Donc, dans cette partie, c'est le thérème. C'est-à-dire que c'est un cas spécial du thérème général. Mais je le prie complètement ici. Le thérème est que, si le subgroupement est discret, comme ça, c'est toujours le thérème dans ces quatre lectures, comme que la new intersection gamma est compacte en new. Ensuite, gamma est commensurable pour un GZ. Mais pour ce cas spécial, le GZ sera SL3Z. Vous n'avez pas d'autres options. Ensuite, gamma est commensurable pour quelque chose. Peut-être que ce n'est pas exactement SL3Z, parce que c'est peut-être un conjugate. Donc, un conjugate de SL3Z. G, SL3Z, G-1. Donc, ici, le GZ est simple. Donc, la première partie sera d'essayer avec ce groupe unipotent et la deuxième partie, qui est un groupe unipotent commutatif. Donc, c'est plus facile. Et la deuxième partie de cette dernière lecture sera d'essayer avec un minimum parabolique. C'est-à-dire que le U sera un groupe unipotent commutatif. Donc, ce thérème est beaucoup plus simple, avec un maximum parabolique. Et je n'ai oublié de le dire. En ce cas, c'est au lieu de l'EO. Et la preuve que je donnerai est de l'EO. Mais comme vous le verrez, c'est-à-dire que tout l'argument que nous avons pour le cas général. Mais nous allons le voir. Donc, nous le faisons comme avant. Nous utilisons la densité d'arrestation pour trouver des éléments G0 qui vous conjuguent dans un groupe en position générale. Donc, nous commençons comme ça. Nous commençons avec... Je vous donne la preuve. Donc, comment ça va. La idée est que, quand je vous conjugue par éléments de gamma, je ne serai pas capable de obtenir l'unipotent opposé. Il ne sera jamais l'unipotent opposé. Il sera unipotent unipotent. Ici, ce unipotent est associé à un groupe qui fixe un vector. Le vector E1. La ligne E1. Donc, quand je conjugue, il fixe une autre ligne. Donc, je vais utiliser ces trois lignes. Donc, je vais avoir beaucoup de groupes unipotent que vous intersectez en compagnie. Et je vais jouer un jeu avec cela appliquant un résultat à l'austrôme que vous partez dans l'exercice. Donc, ce que je fais. Je commence avec le G0. C'est-à-dire le G'0. Dans le gamma comme ça G'0. Je prends deux éléments. G'0 et G'0. Dans le gamma, deux éléments comme ça. E1. G'0, E1. G'0, E1 est la base. E1 est le premier vector. Donc, maintenant, je vais écrire tout dans cette base. Au lieu de prendre la base, E1, E2, E3, je prends cette base. Vous avez toujours la même forme dans cette base. Vous êtes la même. Et si je regarde U' qui est G0, U G0-1 ce sera la même base que la deuxième vector. Ce sera la base X1, Y 1, 0, 0, 0, 0, 1 pour X, Y et R. C'est mon groupe U' et il contient Delta Prime qui est G0 Delta G0-1 Delta J'ai oublié de donner un nom à ma intersection. C'est Delta. Donc, il contient Delta Prime qui est la laitiste. C'est pareil pour U' Donc, il y a un prime ici. C'est pareil pour U' Dans cette base, mon groupe U' peut être rétenu de cette façon. Donc, il contient Delta Prime qui est G0' G0'-1 une laitiste compacte. Donc, dans mon groupe gamma, j'ai beaucoup de éléments parce que j'ai une laitiste en U, une laitiste en U' une laitiste en U' Donc, cela fait beaucoup et pour être prêt à conclure mais ce que j'aimerais prouver est que mon groupe gamma interse compactement le groupe Uij Donc, je introduis Uij c'est pour le groupe 1, correspondant à la laitiste Eij Vous voyez, Eij c'est juste cette laitiste où il y a un I il y a un juste à un endroit et tout autre est 0 donc pour I, c'est différent de J I et J entre 1 et 3 donc, il y a 6 un groupe unipotent et ce que j'aimerais prouver je veux que la laitiste gamma Uij est compactement en Uij donc depuis que le groupe 1 est différent de l'E donc c'est la main étape pour prouver que cette laitiste je sais que la laitiste gamma interse ce sont deux laitistes comment ils décomposent avec respect à ces deux laitistes quand vous faites X equals 0 ou Y equals 0, ce n'est pas clair et ce que je veux dire c'est que, en fait, il interse parce qu'il interse chaque de ces laitistes la question c'est qu'est-ce qui est l'argument et l'argument est juste un théorème de laitiste donc, je me introduis la laitiste gamma 1 c'est un groupe span d'un delta et d'un delta prime donc, vous ne faites pas les trois vous ne faites pas le tout vous avez un subgroup de gamma juste le groupe span d'un delta et d'un delta prime donc, qu'est-ce que la laitiste zariski de donc, qu'est-ce que la laitiste zariski de gamma 1 dans un groupe G1 donc, qu'est-ce que ce groupe la laitiste zariski de delta est la laitiste zariski de delta et delta prime est la laitiste zariski de nu prime donc, vous devez trouver le plus petit groupe d'algebraie entre la laitiste nu et le nu prime donc, mais vous voyez vous avez tous les spots qui seraient remplis tous les spots qui seraient remplis parce que de l'arrière et là, ces deux unipotentes ils tenteront d'exprimer la delta prime en pixel 2 et le producteur semi direct de W. Ok, donc Gamma 1 est discret, Gamma 1 est toujours discret. Donc vous avez un groupe discret dans un groupe qui n'est pas semi simple, qui est, il a une partie semi simple, le SEL2R, et il a un groupe normal, un groupe habélien normal, qui est R2, je le appelle W. Ok. Et qu'est-ce qu'est le sénat de la house standard ? Je vais vous dire quelque chose de ce genre, et le point principal de la house standard, le SEL2R, c'est le sénat de la maison, vous avez dans votre exercice. Et qu'est-ce que ça vous dit ? Ça vous dit que si, je ne vais pas mettre l'assumption générale, je vais rester ici pour cette assumption, mais si Gamma 1 est discret, Zarisky Dance subgroup, un groupe G1 est S, semi direct W, S est semi simple, avec peut-être aucun facteur, et W doit être un groupe habélien, mais c'est ok, je l'applique à ça, et le statement est que, puis, la projection P of Gamma 1 est discrète en S, où P de G1 à S est la projection. C'est un résultat qui vous explique quelque chose du groupe Zarisky Dance, qui est un product semi direct, il vous explique que quand vous projectez, sur la partie semi simple, il reste encore discret. Ce n'est pas toujours le cas que ça se passe, parce que si vous prenez, pour exemple, je vais vous montrer une picture. Si vous avez une laitisse en position générale, qui est spanée par deux vecteurs en R2, quelle est ma picture ? J'ai deux vecteurs, et je veux projecter tout, peut-être que ma projection sera sur cette ligne, ce sera ma projection. Si vous avez une laitisse en R2, et si vous projectez votre laitisse en R, il n'y a pas de raison de rester, la projection n'a pas de raison d'être discrète. Si c'est discrète, ça signifie que la ligne verticale intersecte la laitisse comme la laitisse. C'est ce que ça signifie. Dans cet exemple, si je prends ma laitisse, lambda, inclusée en R2, p de lambda discrète signifie donc c'est la laitisse, signifie que lambda intersecte la laitisse en P, c'est la laitisse dans la laitisse en P. Ça dépend de la position de la laitisse respectée à la laitisse de la laitisse pour être sûr que c'est discrète. Oui ? Est-ce que la laitisse est vraiment nécessaire ? Oui, parce que vous voyez que la laitisse contient une copie de R et la laitisse contient une copie de R qui peut communiquer avec cette R. Donc ensuite, dans la laitisse G1, vous avez R cross R. Donc ensuite, vous faites exactement cette picture. Donc oui, c'est très important. Ok. Nous prenons ce facte pour garantir. Ok, donc nous allons les montrer dans les notes. Et nous allons voir comment nous pouvons l'utiliser. Nous savons ici que la projection P de G1 est discrète. Donc P de delta est discrète. Je me souviens que la information de delta est discrète. Mais delta était la laitisse de U. U est ce spécifiant de 2 dimensions. Et cette projection est juste projettant cette delta sur la ligne correspondant à la coordinate X. Et la perte est quand la perte est 0. La perte est quand la perte est 0. Donc, ça implique que nous avons vu que la perte de delta, la perte de P n'est pas trilée. Ce qui signifie exactement ce que nous voulons. Cette perte de delta est U13. Et vous faites le même avec l'autre UIG. Et comment vous mangez maintenant ? Le point est que si vous savez que vous avez 3x3 metriques, vous savez que vous intersectez cette subgroupe unipotente en laitisse. Vous savez que vous intersectez cette subgroupe unipotente en laitisse. Et vous savez aussi que vous intersectez cette subgroupe unipotente en laitisse. Mais vous pouvez obtenir cet élément comme commutateur. Donc, il y a une relation entre les bases. Donc, en fait cette intersection correspond à une matrice avec une coefficient rationnelle. Changer les bases diagonallement. Je le remercie par multiples. E1, G' est 0, E1 par multiples. Cette intersection UIG Gamma qui sont laitisses sont en fait incluses en SL3Q. Et maintenant vous appliquez Ragu Natan. Appliquez ce que j'ai appelé fact 4 de la lecture précédente. Vous avez réduit au cas où vous avez une subgroupe de SL3Z qui intersecte toutes ces pieces comme subgroupe et vous devez travailler pour savoir en fait ce que vous avez c'est la fin de l'application en SL3Z. Donc, ici encore dans cette stratégie de prouve j'ai toujours Venkataramana Ragu Natan Terrain mais peut-être ce cas c'est juste un simple cas juste un par les deux Tits et Wetterstein et j'ai besoin de ce résultat qui est plus facile que le fact 1, 2, 3, 4 j'explique à vous. Fact 5, je peux l'expliquer dans 5 minutes mais je ne suis pas si sûr que j'en ai. Donc je pense que j'ai terminé avec le maximum parabolique. Est-ce quelles sont les questions pour le maximum parabolique? Oui Quelle est la fin de l'application que c'est en fait? Où l'a-t-il l'intention de l'intersection gamma et que vous avez concocté? Où l'a-t-elle un fact que la intersection gamma est concoctée je l'utilise juste par le fact que delta est la résoudance dans vous Ici, je dis que la groupe qui est spanée par delta et delta prime est la résoudance dans le groupe spanned by U and U prime. Ok? Comment sais-je que le groupe spanned by delta and delta prime est l'arrestedance dans ce groupe? C'est parce que delta est l'arrestedance dans U. Ok? Mais en fait, dans un groupe unipotent, comme vous, être laitiste ou l'arrestedance est la même. C'est exactement où j'ai utilisé. D'autres questions? Ok, donc je vais changer pour minimal parabolique. Donc maintenant, je vais changer. U est le set de matrices. 1, 1, 1, x, y, z, 0, 0, 1, 4, x, y, z, r. Et peut-être que je dois changer les deux. C'est parce que, oui, c'est... Je veux rewrite le SRM. Vous voyez que c'est ce SRM que je veux rewrite. C'est moins expansif de le faire ici. Et ici, je vais avoir des groupes unitariens, comme en SL4. Il y a des groupes unitariens qui s'occupe. Donc je peux juste dire que c'est un GZ. Ok? Et je veux prouver ce... Non, je veux prouver ce SRM. Donc peut-être que les prouves sont les mêmes. Vous commencez par un élément. Vous utilisez un élément de gamma, comme ça, G0 u G0-1 est l'opposite de vous. Donc le flag correspond à vous, il y a ce flag, par la ligne E1, les deux planes E1 et E2, devient en position générale, avec elle-même, quand vous appliquez le G0. Peut-être que le G0 de ce flag est en position générale. Donc ça veut dire que si je introduis un U- qui sera un G0 u G0-1, dans une base suitable, il sera un groupe unitariens unitariens. C'est ça. Donc cette situation est très similaire à la situation pour le SL4. Parce que ce qui n'était pas bien avec le maximum parabolique, c'est que le U n'était pas consacré à l'opposite. Mais ici, ce U est consacré à l'opposite. Depuis que la gamma est en position générale, je peux trouver un élément de G0 qui envoie un U à l'opposite unitariens unitariens. Et je l'appelle U- pas U-1, je vais utiliser la même notation comme pour le SL4. Et ce U- contient une cocompactation qui est en gamma, qui est juste delta-minus, qui est G0 delta G0-1. Donc c'est comme le SL4. Et donc c'est très naturel d'introduire un G0 qui est l'intersection d'un normaliser de U et d'un normaliser de U-1. On le appelle L, qui est un set de matrices A, B, C. Avec A, B, C c'est 1. Et cela contient L0, ce qui acte sur U par préserver le volume déterminant 1 sur U. Donc quand vous regardez la conjugation sur U, si vous préservez le volume vous avez ces matrices, les matrices de la forme A, A-2, A. Donc c'est mon groupe L0. Et je veux appliquer la même méthode que avant. On utilise la même argument pour le SL4R. Qu'est-ce que nous avons? Quelles sont les différences entre ces cas et le cas précédent? Il y a deux principales différences. L'un est que U n'est plus un abélien. Mais on va pouvoir l'aider. Je vais vous montrer comment vous l'aider. Et l'autre différence est que L0 n'est pas semi-simple. C'est un abélien. Donc on verra que ça nous donnera et je vais expliquer comment vous l'aider. Mais n'oubliez pas d'abord, essayer de combattre le fait que U n'est pas un abélien mais c'est un groupe Isenberg. Donc je considère l'algebra U Je peux l'aider comme V plus Z. Qu'est-ce que c'est V? V sera un set de matrices 0, x, y, 0. Donc ce n'est pas l'algebra E, c'est un espace vector et Z sera la matrices 0, 0, Z 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0. Donc vous voyez qu'il correspond à une gradation de vous. Et Z est le centre de vous. Et vous avez similarly U minus V minus plus Z minus. Vous voyez qu'ils sont des choses similaires. Et vous avez une décomposition de l'algebra E. Il n'y a pas 3 pièces mais 5 pièces. Donc vous avez Z minus vous avez V minus vous avez L vous avez V vous avez Z. Et Z est une dimension. Et ce que j'ai fait la dernière fois est que j'ai introduit pi de G à U qui était la projection. Et vous voyez cette matrixe M of G qui était le bloc de l'algebra G. Et ici je dois faire la même avec le centre. Donc c'est juste la projection sur la ligne. C'est la projection. Et pour G et G M of G C'est une action adjointe de G. Mais juste prendre ce bloc à la fois que j'ai coupé 5 pièces à la fois que 3 et j'ai juste fait ce bloc. Cette matrixe. C'est un par un matrixe. En fait, c'est juste un numéro. En fait, la détermination est elle-même. Donc je peux définir. Si j'ai gardé la notation la dernière fois, c'est un polynomial de G. C'est un polynomial de G. Ce qui me donne cette coopération de cette grande matrixe. Cette matrixe est 8 x 8. Vous voyez que vous êtes dans l'escalier, 8 x 8. Ici, c'est 1, 2. Qu'est-ce que c'est la dimension de L ? 2, 1. C'est 8. Donc de cette 8 x 8 matrixe, j'extracte cette coopération. Donc ça vous fait un map polynomial. Et... Ok. Je veux... Donc je vais avoir la même lemma que la dernière fois. La même lemma que dans ma lecture 2. Donc la histoire est la même. Donc la dernière fois, j'ai introduit un polynomial F of x est equal à 5 of e to the x g0. This was for x in U. This polynomial on G, I can restrict it as a polynomial in X in U. And I can compute it. I switched by g0 like before so that I'm sure it's not a constant polynomial. And the calculation gives you for x is a matrix 0, 0, 0 x yz. You get that this polynomial F of x is something like x squared, y squared minus maybe 1 over 4 z squared. So it's a simple polynomial. No... Everything is explicit. OK? I'm writing it that way because all the proof goes without change to know that I had a lemma 1 but the lemma 1 here is the same as the lemma 2 because there are no matrices. And matrices are just they're determinant. Which tells you that if I'm computing phi of gamma and I evaluate this polynomial on gamma is a discrete is a closed discrete subset and I add this corollary trivial corollary that I apply this polynomial only to the element of this shape g0 is in gamma so I want e to the x to be in gamma so which is F of lambda what is I recall that notation I use but lambda was exactly the latest delta of u but seen in the Lie algebra. lambda was a log of delta so the corollary was this polynomial the values taken by this polynomial on this lattice is closed subset ok so this is what this is what the argument of last time give you and also the argument of last time give you that the orbit is closed you have the key proposition from that exactly like in lecture 2 so the key proposition the L0 orbit L0 apply to the couple lambda lambda minus lambda lambda minus so I did not say what lambda minus is so this is included in u lambda minus is log of delta minus included in u minus and the L0 orbit of the couple lambda lambda minus is closed in this space x u cross x u minus of finite volume as before so it looks that everything will go the same so we have been able to deal with the fact that u was not abelian just replace the same proof just replace the projection on u by the projection on the center you get different kind of polynomials and you get that your orbit is closed so what is the difficulty the difficulty is that what we have done in lecture 3 which we have just done is that how if you want to apply margouli's construction of q-form you need to have element of gamma or of the normalizer of gamma in L0 but I just know that this orbit is closed and I have shown you last time that when L0 is not semi simple it might happen that the orbit is closed but as trivial stabilizer so I'm not able to deduce that it has non trivial stabilizer so what do I do ok what do I do so that's the new proposition I have to add to this key proposition is that in fact if we are not in case 1 meaning if here you see case 2 was when I was studying minimal parabolic case 1 is when I am studying maximal parabolic not being in case 1 meaning if it happens that you never intersect cocompactly a unipotent like in the maximal parabolic I had in the first part of this talk ok so if you are not in the first part of this talk then it's ok then the orbit L0 lambda lambda minus is more than closed is compact so it's ok then it will have then one can apply Margulis construction of two forms ok so I just have to check this new proposition so what's the proof I know it's closed I want to prove it's compact so I just have to prove that it's relatively compact and I just have to check that each of them is relatively compact because then it will be relatively compact to check so one of them that L0 lambda is relatively compact so lambda is the lattice almost lattice not in the Abelian case so the logarithm of a lattice is not exactly in a lattice it's a sandwich between two lattices so up to and x2 is a lattice so but do we manage as if it is a lattice so you are dealing with a lattice here you have a lattice and all the image of this lattice by this L0 has disappeared so you have a family of lattice how do you know that a family of lattice is relatively compact my Malheur criterion here L0 preserve the volume so all these lattices have same volume Malheur criterion it tells you that since they have all same volume I need to check only let me write what is Malheur criterion check small vectors if you have a family of lattices say here we are in R3 if you have a family of lattices in R3 if you want to say that this family of lattices is relatively compact you know all the lattices of covolume 1 the only thing you have to check is that there exist some epsilon such that the ball of radius epsilon intersect non of these lattices so no small vector which is we want the infimum for maybe L in L0 of the infimum for V in a lambda of the norm of the vector add V lambda non 0 which has to be strictly positive this is what no small vector means there is a uniform lower bound for the norm of the vector in all the lattices of your family if you check that it's relatively compact you will be a and since it's closed it will be compact so how do you check that you remember f of x so we will do very similar argument as we have done before we know that this polynomial the value of this polynomial on lambda is closed and discreet subset of R so and what I want to be sure is that f it's very interesting this polynomial because it's invariant under L0 what L0 this is like f is L0 invariant because what does L0 it was a minus square wow L0 was a matrix a minus square a so it multiplies x by a cube it multiplies y by a minus cube it does not change z so it does not change this polynomial so this polynomial is L0 invariant and I would like this polynomial to be non 0 on the non 0 vector but yet I do not achieve this because maybe what may happen I for sure there is some difficulty which force you to introduce h of x h of x is just maybe something like f of x square plus f of 2x square ok so and h is also L0 invariant and h is non 0 on lambda because if this polynomial h is 0 on lambda minus 0 if this polynomial is 0 this mean f is 0 at the point x and at the point 2x and if f is 0 at the point x and the point 2x this means that z is 0 and the product xy is 0 meaning either x or y is 0 so this means that in your lattice you have points which are which are in the unipotent of case 1 h is non 0 on lambda because we are not in case 1 therefore and if I compute this infimum for L in L0 of the infimum for v in v minus 0 of h of v it's a larger that the infimum of h of of it's larger that the infimum of h of v for v in lambda minus 0 but then I use that f of lambda is a closed discrete subset of r so 0 is isolated and this is strictly positive so this polynomial there is a lower bound for the value of this polynomial on all the lattices of the orbit but then you will deduce the lower bound for the norm because if the norm is small the polynomial will be small it's homogeneous polynomial so this ends the proof what have we done we have checked that it is relatively compact so it's compact so there is a stabiliser and we can apply the argument at the end of lecture 3 Margolis construction of Q-forms yes can you repeat why if h of x is 0 then we are in Q1 thank you for asking this color is not nice if there exist lambda x in lambda so that h of x is 0 then we are in Q1 ok, this is the question ok and why the proof is that this implies that x is a matrix 0 0 0 x y z you write I was a little bit quick there there is an argument thanks for asking so x is this matrix ok so we know this matrix is in lambda and it satisfies h of x is 0 so with meaning f of x is 0 f of 2x is 0 ok, so you agree that xy is 0 and z is 0 ok, because it's quadratic and quartic here ok, so you get that for instance let's say with y equals 0 either x or y is 0 let's write xy is 0 and z is 0 for instance x equals 0 z equals 0 y is equal to 0 z is equal to 0 and x is different from 0 so you have been able to find in your lattice a guy which has this shape sorry lambda contains an element of the form 0 0 0 0 x 0 0 0 0 but case 1 means you have a lattice in R2, and here I just have one element ok, so but this is the Heisenberg group and there is an exercise the sheet of exercise that if you have a lattice in a nilpotent group this lambda comes from it's a lattice in in in R3 but it comes, it's a logarithm of a lattice in Heisenberg group so if you have a lattice in Heisenberg group the commutator is a lattice in the commutator group so you already know that delta delta is a lattice in the group uu which is the center of center of uu so lambda contains one element so your x is different from 0 contains one element 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 with z so then I have two elements and I have a lattice there and I am in case 1 sorry I forgot to mention this argument are there other questions