 A estas alturas todos deberíais saber que es el máximo común divisor de dos números enteros, e incluso como calcularlo. Pero no será el procedimiento que hemos visto el que seguiremos a partir de este momento, donde utilizaremos el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor. El método es mucho más eficiente que el que comporta encontrar todos los divisores de los números. Imagineros, con el otro procedimiento, los tediosos cálculos que pueden resultar si queremos calcular. Por ejemplo, el máximo común divisor de 12.345 y 67.890. Euclides fue un matemático griego que vivió alrededor del año 300 a.C. Se le considera el padre de la geometría, puesto que su obra, los elementos, se ha utilizado como libro de texto durante siglos e incluso se puede considerar la base de los libros de texto de geometría plana de hoy en día. Euclides presentó el algoritmo que describiremos a continuación para resolver un problema geométrico. Encontrar la medida más grande que puede utilizarse para medir, sin resto, dos segmentos de recta. Ariméticamente hablando, Euclides se planteaba cómo calcular el máximo común divisor de 2 números. Por ejemplo, supongamos que 54 y 60. El algoritmo de Euclides se aplica a los valores absolutos de los enteros dados y se realiza del siguiente modo. Para calcular el máximo común divisor de 60 y 54, utilizando el algoritmo de Euclides, comenzaremos dividiendo el mayor de los dos números dados, considerando la división entera, en este caso 60 entre 54. Uno será el cociente y seis será el resto. A continuación, hay que dividir el segundo número dado, esto es 54, entre el resto obtenido, esto es seis. Calculando la división entera, obtendremos un cociente y un resto. Si lo hacemos, observaremos que nueve es el cociente y cero es el resto. Una vez hemos obtenido cero como resto, ya sabemos cuál será el máximo común divisor. En particular será el número, el resto, el último resto obtenido, esto es seis. Veamos aquí otro ejemplo de cómo utilizar el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de 210 y 99. Recordad que el primer paso era dividir el mayor de los dos números dados por el otro, así pues calcularemos la división entera de 210 entre 99, el cociente será dos y el resto, doce. El siguiente paso será dividir el más pequeño de los dos números dados, esto es 99, entre el resto obtenido, esto es entre doce. Si calculamos la división entera de 99 entre doce, obtendremos un cociente de ocho y el resto tres. Puesto que el resto es diferente de cero, debemos realizar otro paso más del algoritmo de Euclides. Con lo que dividiríamos doce, que es el primero de los restos obtenidos, entre tres. Si calculamos la división entera de doce entre tres, el resultado será el cociente cuatro y aquí un resto cero, con lo cual tres será del máximo común divisor que estábamos buscando. Veamos un último ejemplo antes de explicar el procedimiento general. Si calculamos el máximo común divisor de 63 y 5, utilizando el algoritmo de Euclides, comenzamos realizando la división entera de 65 entre cinco, un cociente que obtendremos de doce y un resto de tres. Al ser tres diferente de cero, continuamos con el proceso y dividiremos cinco entre tres. La división entera, obtendremos cociente uno y resto dos. Esto hará que tengamos que dividir ahora tres entre dos, obteniendo así uno de cociente y uno de resto. Y finalmente dividiremos dos entre uno, el cociente será dos y el resto será cero. Puesto que el resto es cero, diremos que el resto anterior, do nulo, será el máximo común divisor. Esto es el máximo común divisor de 63 y 5 es uno. En estos casos, diremos que 63 y 5 son números coprimos. Observar que no necesariamente estamos diciendo que sean primeros, los números que sean números primos, cinco, no es un número primo, pero 63 y uno es. Pero en cambio, cuando el máximo común divisor de ellos dos es uno, diremos que esos dos números son coprimos. Así pues podríamos decir que el algoritmo de Euclides nos permite, dados un par de enteros A y B, hallar el máximo común divisor entre ellos. Vimos no sólo que existía un máximo común divisor, sino que además ese máximo común divisor era único. Y lo notaremos de esa manera matemáticamente. Vimos también que bastaba probar el resultado para A y B positivos. Supongamos además que A es mayor que B por dar algún orden entre dichos valores. Si recordáis de los ejemplos anteriores, el primer paso será calcular la división entera de A entre B. Si calculamos la división entera, obtendremos un cociente q1 y un resto r1. Sabemos además que el resto es mayor o igual que cero. Si el resto es cero, ya hemos acabado, tenemos el máximo común divisor. Y ese máximo común divisor será exactamente B, puesto que B es un divisor de B. Y además si el resto es cero, B es un múltiplo de A. ¿Qué pasa si el resto es mayor que cero? Pues todavía no tenemos cuál es el máximo común divisor y tenemos que realizar un paso más del algoritmo de Euclides. Lo que haríamos sería considerar r1 y considerar B. Y calcularíamos la división entera de B entre r1, obteniendo así un cociente y un resto. El resto sabemos que es mayor o igual que cero. Si el resto es cero, automáticamente de nuevo tenemos cuál es el máximo común divisor. Y en este caso será el último resto no nulo. Si r2 es nulo, el último resto no nulo es r1, con lo cual r1 sería el máximo común divisor. Y si no lo es, esto es, si el resto es mayor que cero, debemos realizar otro paso del algoritmo de Euclides. Notad que r1 es mayor que r2, puesto que estamos dividiendo, haciendo la división entera, de B entre r1, con lo cual r2 por definición será menor que r1. Realicemos pues el siguiente paso y calculamos la división entera de r2 entre r1, con lo que tenemos un cociente y un nuevo resto. De nuevo el resto será mayor o igual que cero. Y si el resto es cero, ya tenemos el máximo común divisor, será el último resto no nulo, en este caso r2. Pero si el resto es mayor que cero, notad también que de nuevo será menor que r2, debemos realizar un nuevo paso del algoritmo de Euclides. Y así continuaríamos el algoritmo hasta llegar un momento en el que, después de n pasos, obtuviésemos que el resto fuese cero. En ese momento diríamos que el máximo común divisor sería el último resto obtenido en el proceso no nulo, puesto que rn más 1, estamos suponiendo que es cero, el último será rn. Este sería nuestro máximo común divisor. No daremos una prueba formal, pero intuitivamente el proceso termina, ya que los restos se convierten en divisores en el siguiente paso y van disminuyendo. Y si son cero, ya hemos encontrado el máximo común divisor. Y si no lo son, hacemos un paso más, pero el resto va decreciendo sucesivamente. Así como mucho llegaremos a un resto cero y ya hemos encontrado el máximo común divisor, puesto que será el último no nulo, o bien uno. Y en tal caso, al hacer el siguiente paso del algoritmo de Euclides, lo que encontraremos es que el resto será cero, puesto que al dividir por uno el resto fortesamente será nulo. En general, encontraremos el máximo común divisor. Para finalizaros, proponemos utilizar el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de 12.345 y 67.890, números de suficiente magnitud como para intentar evitar el razonamiento buscando divisores. Como siempre, encontraréis la solución en un vídeo a continuación, pero recordad que es importante que lo apliquéis vosotros y que podéis resolverlo para comprobar si habéis comprendido bien o no el proceso del algoritmo de Euclides. En el caso de que no, recordad que podéis volver a mirar el vídeo.