 Aunque ahora ya conocéis un poco más de los números primos y también el concepto de relativamente primo o coprimo, todavía hay muchas preguntas relacionadas con estos números que nos podríamos plantear. Una de ellas es, dado un número natural, ¿cuántos números naturales menores que él son relativamente primos con él? Daremos respuesta a esta pregunta en este vídeo y aunque ahora aparezca un poco inconexa, es una pieza clave en el puzzle que permite comunicarnos de manera segura a través de internet hoy día. Veamos un ejemplo. Consideremos el número 18 y veamos cuáles son los números naturales menores que 18 que son coprimos con 18. Pues lo que se trata de un número pequeño, podemos listarlos. Consideremos los 17 primeros números naturales. Si buscamos aquellos enteros de este conjunto que son coprimos con 18, observemos que el 1 lo es, se trata de calcular el máximo común divisor de ellos con 18 y ver para los que el máximo común divisor es 1. Tenemos el 1, tendríamos 5, 7, el 11, el 13 y el 17. Hacemos lo mismo con 16, pues esto que también se trata de un número pequeño, podemos listar todos los números naturales menores que 15 y ver cuáles de ellos cumplen que son coprimos con 16. Los que son relativamente primos en este caso será el 1, el 3, el 5, el 7, 9, 11, 13 y 15. Recuerdo que simplemente se trata de ir calculando el máximo común divisor y ver para cuáles el máximo común divisor con 16 o con 18 es 1 o no. Veamos el caso de 3041. Supongo que a vosotros también os parece imposible listar aquí todos los números naturales menores que 3041. Bien, efectivamente será imposible y no será la aproximación que seguiremos. 3041 se trata de un número primo. Los números primos tienen en este caso un comportamiento especial, puesto que sabemos que todos los naturales menores que él son primos relativos con él. Así que todos los números desde el 1 a 3040 son coprimos con él. Pero recordad que estábamos interesados en calcular el cardinal de estos conjuntos. En el caso del 18, el cardinal que hemos obtenido es 6, en el caso de 16 ha sido 8 y en el caso de 3041, el número primo, este cardinal era 3040. Para cualquier número natural n definimos la función phi de Euler de la siguiente manera, como el cardinal del conjunto de los números naturales menores que n que son relativamente primos con él. Hemos visto ya algún ejemplo, puesto que vimos que phi de 18 era 6, que phi de 16 era 8 y que phi de un número primo P es P-1. Ahora, ¿cómo calcularíamos phi de 143? 143 no es un número primo puesto que es el producto de 11 por 13 y parece poco eficiente listar los 142 primeros números primos, perdón, números naturales y ver si son relativamente primos con 143. Veamos una manera más eficiente. La siguiente proposición nos permitirá calcular la función phi de cualquier número natural n. El primer punto nos muestra el comportamiento de la función phi cuando su argumento son potencias de números primos. Así recuperaríamos el 8 que vimos al calcular la función phi de 16, puesto que 16 es 2 a la cuarta y aplicando directamente esta proposición veríamos que esto es 2 a la cuarta por 2 menos 2 al cubo, esto es 16 menos 8, con lo cual recuperamos el 8 que ya habíamos calculado si mirábamos la lista directamente. La segunda, el segundo punto, nos muestra que la función es multiplicativa. Esto es que la imagen de un producto de números naturales es el producto de las imágenes de los naturales. Así, por ejemplo, phi de 143 que nos planteábamos como calcular utilizando esta propiedad sabemos que será phi de 11 por phi de 13 puesto que 143, como ya he comentado antes, es el producto de 11 por 13. Así, puesto que 11 y 13 son números primos, phi de 11 sería 10 y phi de 13 sería 12. Substituyendo, obtenemos el 120 que es el valor de la phi de Euler de 143. Y finalmente, una combinación de las dos nos permite calcular la función phi de cualquier número entero n. Así, si conocemos la descomposición de n en factores primos, aplicando la segunda propiedad, la función phi será el producto de la función phi para cada uno de los factores primos de la descomposición, que podemos calcular fácilmente utilizando la primera propiedad. Esto se resume en la siguiente fórmula o en otras muchas que encontraréis y que son equivalentes, dependiendo de cómo sacamos el factor común en cada uno de ellos o encontraremos un formato o bien otro. Eso sí, debemos notar que un paso fundamental para que realmente sea eficiente el cálculo de esta función es que debemos conocer la descomposición en factores primos del número natural. Así pues, la complejidad computacional del cálculo de esta función se basa principalmente en hallar tal descomposición. Si se conoce es sencilla de calcular, mientras que los casos en los que no resulta poco eficiente. Recuperamos de nuevo el ejemplo de 143, donde, como habíamos comentado, es 11 por 13, con lo cual aplicando directamente la última de las propiedades, phi de 143 será 10 por 12, esto es 120. Calcularemos a continuación la función phi de Euler de 1920. Para ello, lo primero que haremos será factorizar 1920 y una vez encontrada su factorización, aplicaremos la fórmula anterior, por lo que obtendremos que la función phi de Euler de 1920 será 2 a la 6 por 1 por 2 al cubo, esto es 2 a la 9. Y veamos finalmente cuál es la función phi de Euler de este número entero, que factoriza en estos dos números primos. De nuevo, por las propiedades que hemos visto anteriormente, será el producto de estos dos números, esto es este número entero de aquí. Y os preguntamos cuál de las siguientes afirmaciones son ciertas, puede haber más de una. Toma los unos segundos para intentar ver cuáles son ciertas y cuáles no. Y espero que ha pasado este tiempo, todos seáis capaces de ver que la primera es correcta, puesto que estamos aplicando directamente la propiedad multiplicativa de la función phi. La segunda no lo es, puesto que 25 no es un número primo, esto sería cierto, si 25 fuese un número primo, estaríamos aplicando directamente la propiedad 1 a este primer apartado que vimos. El que sí que es cierto es la tercera, puesto que 25 es 5 al cuadrado, con lo cual lo que estamos aplicando directamente es en este factor de aquí, la propiedad 1, esto es que vale 5 por 4, y aquí directamente que phi de 3 es un número primo, 3 con lo cual es 2. Y finalmente, phi de 75 no es cierto que sea este valor de aquí. Y para finalizar os proponemos que calculéis la función phi de estos dos valores, donde en el segundo ya os damos la descomposición en factores primos. Recordad que tendréis una solución de este ejercicio en un vídeo anexo.