 اسلام علیکم لیکچر نمبر 20 کالپلس سے ساتھ حاضر اس میں ابھی تک ابھی 20ت لیکچر ہے تو ابیس لیکچر بیس لیکچر ہوگا ایک طرح کی دو دیکیڈs پوری ہو چکی ہیں تو اپنی یہاں پوچھنے والا سوال پیدا ہوتا ہے کہ کیا سب کچھ ٹھیک ٹھاک جا رہا ہے کہ نہیں، اپنی سب کچھ ٹھیک جا رہا ہے ابھی تک اس میں یہ ہے کہ کافی کچھ ہم ڈیڈیس ڈوالب کر چکے ہیں کالپلس کے بیسک ڈیڈیس سکلر ہو چکے ہیں جو ریل نمبر کی بات کی تھی ہم نے شروع کے 5 لیکچرز میں اور اب ہم دیکھ چکے ہیں ڈیڈیس کیا چیز ہوتی ہے تو ایک طرح سے ابھی تک ہم نے جو کالپلس کا ایک حصہ ہوتا ہے ڈیڈیس والا یعنی دیفنشل کالپلس جیسے کہتے ہیں تو وہ ہم اس کے بارے میں کافی ڈیڈیس نے بات کر چکے ہیں اور ابھی مزید کریں گے بھی بلکے اس کے بعد آگے چلکے دیکھیں کہ ڈیگریشن یا ڈیڈیرل کالپلس بھی جیسے کہتے ہیں وہ کیا ہوتا ہے اور اس میں کیا ڈیڈیس ہوتی ہیں اور کیسے اس کے بارے میں اس کو کیسے ڈیڈیس ہنڈل کرتے ہیں لیکن یہاں پہلے بات میں پھر سے کہتا چلوں پوچھ لوں آپ سے کہ I hope everything is going okay کوئی مسئل ہو تو ابھی تک آپ لوگ کافی بلکے سوالات بھیج بھی چکے ہیں پوچھ بھی چکے ہیں تو keep doing that اور جو homework problems ہیں وہ بھی کرتے رہے ہیں it's all very good تو آئیے اب یہاں سے اب شروع کرتے ہیں لیکچر ڈیڈیس کے بارے میں اچھا جیت تو آج ڈیڈیس لیکچر میں کیا ہم کس چیز کے بارے میں بات کریں گے اس کا تھوڑا سا پریو لے لیتے ہیں مدھلت کیا ہے جو مین ڈوپکس ہیں تو ان کو سکین پہلے دیتا ہوں as usual آئیے دیکھتے ہیں کہ کیا ہیں ڈوپکس ڈوپکس ہیں جناب سب سے پہلے تک یہ جو مین ڈوپک ہے اچھ کا وہ ہے ڈریویٹیوز of law ڈیڈیس میک an exponential functions and inverse functions and their ڈریویٹیوز تو اس میں یہاں پہ جو ہے لگ رید میک functions or exponential functions کی بات کی اس میں تھوڑا سام پریویو لے لیں گے میری ازمشن یہ ہے کہ آپ کو معلوم ہے already کہ یہ کیا ہوتے ہیں لوگ لوگ ایک اگر ریل نمبر آپ کو دوں تو اس کا لوگ کیا ہوتا ہے وہ آپ کو معلوم ہونا چاہئے پریویو بطور پہ آپ اس کو کسی بھی بیسک ڈوپکس ڈوپکس ڈوپکس ڈوپکس میں آپ کو مل جائے گا اور ابھی تھوڑا سام دیکھ بھی لیں گے تھوڑا سی اس کی انٹردکشن یہ کیا ہوتی ہے سیمیلرلی exponential functions کیا ہوتے ہیں وہ بھی ہم تھوڑا سا بات چیٹ کر لیں گے لیکن details کی لیے again you can look it up in any algebra book اور اس کے لیوہا inverse functions کیا ہوتے ہیں اس کی ملہاں سے تھوڑی سی ہم نے شہت شروع میں بہت پہلے جو functions کی بات کی تھی تھوڑا سا شہت ذکر کیا ہوتے ہیں لیکن پھر سے دیکھ لیں گے of course will look at very basic idea کہ ہوتے کہ what exactly is an inverse function اور of course inverse function کا اصل مقصر دیکھنے کے یہ ہے کہ ہم اس کو دیکھنا چاہتے ہیں from the point of view of calculus کہ inverse functions کا derivative کیسے معلوم کرتے ہیں that would be the last topic of this lecture اس کو بھی ہم دیکھیں گے detail میں تھوڑی دیر میں تو اس میں اس کو تھوڑا سا formalize کر لیتے ہیں سکین پی دیکھتے ہیں کہ اور سارے topics ہیں کیا اچھ کہ جو major topics ہیں topics ہیں جناب آپ کے derivative of logarithmic function اور وہ function کنسا ہے وہ ہے f of x equals log base b of x اس کی بات کریں گے تھوڑی دیر میں کیا ہوتا ہے derivative of natural log function f of x equals l n of x تو یہ دو functions ابھی آپ کے سامنے میں نے لکھے log base b of x اور ساتھ میں l n of x تو یہ دونوں کہلاتے ہیں log functions یا logarithmic functions تھوڑا سن میں فرق ہوتا ہے وہ ابھی ہم دیتل میں دیکھیں گے کیا ہوتا ہے یہ پھر سے دیکھیں گے سکین پہ باقی چیزیں کیا ہے اچھ کی اس کے لیوہ ہم ایک topic دیکھیں گے لاغرithmic differentiation کا کیا what is that ساتھ میں ہم دیکھیں گے derivatives یعنی اچھا یہ جو چیز ہے derivatives of irrational powers of x یہ ہم اس کو دیکھیں گے لاغرithmic point of use اور اس میں finally ہم power rule کو totally generalize کر دیں گے اس میں سارے مخصدی ہوگا کہ کوئی بھی اگر میرے پاس power of x کی کوئی بھی real number تو میں اس کا derivative معلوم کر سکوں گا اس کے بعد ہم دیکھیں گے derivatives of exponential functions یہ ہوتے ہیں جو جنکہ ہم لکھ سکتے ہیں as f of x equals a to the power x جہاں a جو ہے وہ ایک real number ہے اس کے لابا ہم دیکھیں گے inverse functions کے بارے میں بات کریں گے اور اس کے بعد آخر میں derivatives of inverse functions تو جناب یہ ہوگا ہے اچھ کے topics تو ان کے بارے میں باری باری بات چیز شروع کرتے ہیں تو اس میں وہی بات ہے کہ جہاں لاغرithmic اور exponential functions ہیں ان کی اور inverse functions سب کی بات آتی ہے inverse functions شاید آپ نے پہلے نہ دیکھیں گے go کے hopefully دیکھے ہونے چاہیں گے لیکن اس کے تو ہم پرپرلی دیکھیں گے ہوتا کہ لاغرithmic اور exponential functions جہاں ان کا ہم تھوڑا سا preview کریں گے جلدی جلدی اور میں ازمشن یہ رکھوں گا کہ اس کے ان کے جو graphs ہوتے ہیں ان functions کے لاغرithmic اور exponentials کے ان کی detail آپ کو معلوم ہے اور اس کے لابعہ یہ بھی ازمشن ہوگی کہ اس کی جو functional understanding ہے وہ بھی آپ کو تھوڑی بہت اچھی آنی چاہیے تو اس میں وہ ہے کہ آپ کی جو book ہے اس کے text book اس کے اندر جو 7th chapter ہے اس کا پہلے section جو اس چیز کے بارے میں بات چیت کرتا ہے detail میں تو وہ آپ دیکھ سکتے ہیں میں ہم لوگ اس section کو نہیں کنسیٹر کریں گے but we will look at the following sections of that from that book تا یہ continue کرتے ہیں next topic پہ شروع کرتے ہیں آج شروع پہلے topic ہے لاغرithmic functions اچھا جی تو لاغرithmic functions سے پہلے تو یہ سوال ہوتا ہے پیدا کی لاغرithm کیا چیز ہوتی ہے what is a لاغرithm تو اس میں اس کو پہلے اندرسٹین کرنا چاہیے اچھی طرح سے کہ what exactly is a لاغرithm of a real number یہنےگر میں آپ کو کچھ real number دیتا ہوں اور آپ کو پوچھتے ہیں اس کا لاغرithm کیا ہے تو اس میں کچھ سوال کچھ کچھ ایک طرح کی details پیدا ہوتی ہیں وہ پیدا ہوتی ہیں ان کو ہمیں انڈرٹین کرنا چاہیے تو screen پہ کچھ چیزیں لکھتے ہیں ان کو دیکھتے ہیں کیا ہے details ہیں یہاں پہ دیکھیں کہ اگر ہم کیا ہے let's say that x b are real number and let's take an unknown real number y so we have basically three real numbers two of them which we know what they are x and b we just know what they are or جو y ہے وہ ایک unknown real number ہے تو یہاں پی ایک question یہ ہے what should y b so that if you raise y to the power b and b is a number that we know you get the result x x again is another number that we know so basically what I am saying is in terms of equations I'm asking you what happens if you write down y to the power b equals x so the question is I know what b and x are what should y be such that the equation becomes true تو یہ بیسک concept ہے of a logarithm of a real number that's what it means when I say the logarithm of y your logarithm of x basically تو وہ کہنے کا مقصد یہ ہوگا تو اس کو تھوڑا سا ڈیٹل میں اور دیکھتے ہیں ابھی سرین پر تھوڑے دے پہلے ہم نے لکھا تھا کہ ایکویشن بنتی ہے y to the power b equals x تو y جو ہے وہ انوان کونٹی ہم یہ جاننا ہے کہ y کیا ہوگا such that this equality this equation becomes true تو یہ سرین پر کچھ ہار چیزے دیکھتے ہیں یہاں پر دیکھیں جی کہ اب ہم نے تھوڑے دے پہلے لکھا تھا y to the power b equals x تو اس کو میں function notation میں بھی لکھ سکتا ہوں لیکن اس سے پہلے یہ پہلے کہ سوال یہ پیدا ہوتا ہے کہ لوگ ردم کیا چیزے یہاں پر جب میں نے ایکویشن لکھی y to the power b equals x تو what is the لوگ ردم تو یہاں پر ہم اس کو ایسپ کہ سکتے ہیں کہ یہ جو ہے سب سے پہلے تو اس کو ایسا کرتے ہیں کہ ایکویشن لکھ لیتے ہیں نوٹ کیجئے کہ let me write down y equals f of x equals log l o g اور اس کے سپسکٹ میں ایک نمبر لکھتے ہیں b جس کو بیس پڑھیں گے ام of x تو یہ کچھ نئی نوٹیشن ہے اس کو تھوڑے دیر میں بات کرتے ہیں یہاں پہلے یہاں درکھیں گے b is called the base and the equation that we just wrote down above is read as log base b of x is y اچھا جی تو یہ جو ایکویشن ابھی دیکھی ہی ہم نے سکین پر لکھی ہی تھوڑے پہلے y equals f of x equals log base b of x اس کو اگن ہم کیسے پڑھتے ہیں اس کو we read it as log base b of x is y تو کوشن ہی ہوتا ہے کہ y کنسا ہے ایسا نمبر ہے جس کو اگر میں b کی power پر ریس کروں تو result x آئے مثال کے طور پر اگر میں آپ سے کہتا ہوں کہ بھی what is the log base 3 of 8 تو اور ظاہرہ دوسی سائٹ پر ہم لکھ دیں گے equals y which is the unknown quantity تو کوشن ہی ہے کہ what is y تو اس کو اس طرح سے لوگ کو ایک طرح سے unravel کیا جا سکتا ہے سمجھنے میں آسانی ہو جائے گی اس کو اس طرح سے آپ سوچیں کہ اگر میں آپ سے پوچھا ہے y is equal to log base 3 of 8 تو اس میں y معلوم کرنا ہے تو ایسا کیجی کہ جو بیس تھی نیچے وہ 3 تھی right تو اس کو آپ لے جائے یہ y کے اوپر as a power so you get y to the power 3 equals 8 لوگ ہٹ چو گیبس یہاں سے ایکویژن میں سے اور آپ کوشن یہ کونسا ہے اس نمبر ہے y جس کو اگر میں power 3 لوں تو result 8 ہے تو وہ میرے حال سے صرف سمبل سے جواب ہے کہ that's the number 2 any 2 to the power 3 equals 8 right so y would equal 2 in this case تو ہم یہ کہہ سکتے ہیں کہ لوگ بیس 3 of 8 equals 2 تو یہ صحیح طریقہ ہے ہے میرے حال سے this is a logical way of understanding what logs or logarithms are basically تو this is how we should look at this یہ جو میں نے کہا کہ اس کو unravel کرنے یہ میں تھوڑا انفارمالی سکا ہے it's not exactly اس میں کوئی prove اگر انوالب نہیں ہے it's just a way of remembering things یعنی کہ لوگ کا سال میں مخصد کیا ہوتا ہے اور بیسے انفارمالی سی میں نے بات کی تھی لیکن essentially جو ہورا ہوتا ہے in the background جب لوگ کی بات ہوتی تو ہوتا یہ ہی ہے ایک بات میں یہاں پر بھی کہتا چلوں کہ logarithmic functions and exponential functions which we'll see لیتر are actually inverse functions یہاں پر ایک طرح کی relationship ڈیفائن ہو گئی ہے already لیکن ابھی ہم نے exponentials کی بات نہیں کیا نہ ہی inverse functions کی بات کیے but we'll keep it in mind for later reference تو یہ آپ کے logs ہو گئے اب ان کے بارے میں مزید بات کرتے ہیں کالکلس کے حوالے سے تو ایک دو چیزیں ہیں جو میں یہاں لکھ دیتا ہوں سکین پے جن کو basically we'll take these things for granted یہ آپ کے تکس بک میں دیوی میں ڈیٹل میں ان کا prove سیکشن 7.1 میں ان کے prove دیے میں ہم ان کو آپ ان کو دیکھ سکتے ہیں خود ہم یہاں بھی نہیں دیکھیں گے سیکشن میں we'll just use them basically تو آئی سکین پے میں لکھ دیتا ہوں سب سے پہلے تو یہ کہ کچھ فرملاز ہیں basically اور کچھ بیسکet properties of log functions تو یہاں پر یہ سیکشن 7.1 میں ہے یہاں پر میں لکھ دیتا ہوں this is basically from theorem 7.1.1 اور یہ آپ کے سامنے ہیں یہاں یہاں پر لکھا ہوا اس کے اندر کچھ پروپٹیز ہے بیسکل لاغردمک فنکشن کی تو I will let you look at this یہ ٹیکس بک میں بھی ہے اور یہاں پر بھی آپ کے سامنے so let's look at it for a while تو ان کے پروپٹیز کے لیوہا of course یہاں پروف تو کوئی نہیں ہے میں نے کیا لیکن یہاں کہ you should remember this or again proof کے لیے آپ پرفر کر سکتے ہیں section 7.1 of your textbook اچھا جی تو ایک چیز اور یہاں پر اس کے ساتھ فارمال لکھ دیتے ہیں یہ ہے کہ the number E is basically approximately 2.71 تو یہ جو نمبر E ہے یہ کیا چیز ہے اس کے بارے میں جسے ہم نے ایک نمبر دیکھتا Pi اور اس کی خاص value تھی it's approximately equal to 3.14 لیکن it's an irrational number سمجھلرلی E جو ہے وہ بھی ایک irrational number ہے اور اس کی importance بہت ہے خاص طور پر financial دنیا میں جب ہم financing کی بات کرتے ہیں اور interest rates کی compounding کی بات ہوتی ہے تو یہ جو نمبر E ہے جس کو ہم E کے طور پر لکھتے چھوٹے ایک mathematician تھے Leonard Euler جنگی میں پہلے بھی بات کر چکے ہوں میرے خال سے کسی لیکچر میں it's basically E جو ہے انہوں نے introduce کیا تھا یہ notation اور اس کو ہم standard طور پر لکھتے ہیں so we get E as the notation for the number which is approximately 2.71 اس کی exact value کیا ہے یہ تو ہم کبھی معلوم نہیں کر سکتے کیونکہ یہ rational number ہے لیکن ہم اس کو approximately 2.71 کے طور پر لکھتے ہیں اور اس کے حوالے سے ایک formula ہے جو بھی screen پر آپ کے سامنے آرہا ہے یہ جناب یہ formula ہے کہ E is equal to یعنی E جو number ہے approximately 2.71 اس کام exactly we equation کی formے بھی لکھ سکتے ہیں as a limit basically and E is equal to the limit as X goes to 0 of the quantity 1 plus X raised to the power 1 over X تو یہ جناب ایک formula ہے اس میں E کی exact value آرہی ہے in terms of a limit of a certain function تو اس کا again proof کوئی نہیں کریں گے ہم we will take it for granted and let's we'll basically use these things to find some derivatives and certain things that we want to talk about in this lecture تو یہ let's continue with this اچھا جی تو اب یہ formula تو ہم نے لکھ دیے property سکتی اب ان کام کیا کریں گے ان کا basically ہم اس کو استعمال کریں گے to find the derivative of the logarithmic functions I write this was one of the topics we want to talk about تو ہم گی پر ت señora جتے ہیں کہ اللاظ گریدم جو ہے اس کا formula کیا تھا وہ function کوان ساتا function تھا f of X equals L'ogue base B of X یہ جنڈل فارماس function کی بی جو ہے کوئی بھی نمبر ہو سکتے ایک سامنے ایک سامپل میں بھی 3 لیا تھا 2 ہو سکتے word10 ہو سکتے E ہو سکتے ہم دیکھیں گے بیس کو E بھی لےک سکتے ہیں اور in that case it becomes the log natural function a natural log function لیکن یہاں پر ہم اس کو بی کے طور پیلیں گے جنرل نمبر ہے کوئی اور اس کوستمال کرتے ہیں اس کا ایک فارمالہ نکالتے ہیں تو یہ سکین پر کیالکوشنز دیکھتے ہیں ہمیں d y by dx معلوم کرنا ہے تو let's apply d over dx operator on both sides of y equals log base b of x this gives us d y dx equals d over dx of log b base b of x دیفنیشن کیا ہے؟ دریبیٹف کی وہ استعمال کر لےتے ہیں در you get limit as h goes to 0 of log base b x plus h minus log base b of x divided by h یہاں پہ کچھ کلیورسی ٹکس ہم کریں گے بھی فلحال تو سمبل سی بات ہے کہ h کو میں فکٹر آوٹ کر لیتا ہوں جا درنامنیٹر میں ہے اور پروڈٹ کی فارم میں لکھتا ہوں اس کو as limit as h goes to 0 of 1 over h times is the log base b of x plus h divided by x یہ کہاں سے آئے identity پیسیکلی کہ جو originل تھا log base b of x plus h minus log base b of x اس کی جگہ میں لکھ دیا لکھ دیا log base b of x plus h over x یہ میں ایک property سمال کی تھی جو ثیرم 7.1 میں دیکھی تھی ہم نے یاد کی جیس کو if you have your textbook you can look at right now also if you have an identity آئے کالکلیشن کنتینو کرتے ہیں اب یہاں پہ دیکھئے کہ this last equality equation can be rewritten as limit as h goes to 0 of 1 over h times log base b of 1 plus h over x x جو تھا common denominator would distribute کر دیا میں نے کچھ cancelations کی اور پھر اس کو فردر یہاں پر میں ایک trick سیچ کروں گا بھی میں آئے ہیں کہ this has limit as v goes to 0 of 1 over vx times log base b of 1 plus v یہاں پہ کیسے ہوا یہ وی کنس آیا اس میں دیکھئے کہ last step comes from letting v equals h over x and note that as جا رہے تو نیموریٹر میں h ہے اس فرملے کے تو v جو ہے will equal 0 over x in the limit تو زیرے v جو ہوگا وہ بھی 0 کو اپروچ کرے گا تو لہذا that's how we actually got that step یہ صرف ایک substitution ڈی تھی v کی تاکہ ہمارے پس h over x simplify ہو جائے any fraction ختم ہو جائے اور کوئے ایک variable آ جائے that was the substitution are you continue کرتے ہیں کالکلیشن کو اب دیکھئے کیا کہ this is basically equal to 1 over x times the limit as v goes to 0 of 1 over v times log base b of 1 plus v یہاں پہے 1 over x کمانے فکٹ روٹ کلیہ لیے لیمٹ میں سیک because x جو ہے will limit میں کوئی contribution نہیں کر رہا تو that comes out simplifies further to limit as x goes to the limit I'm sorry 1 over x times limit as v goes to 0 of log base b time of 1 plus 3 to the power 1 over v this is basically using theorem 7 point 1 point 1 part e and then I can simplify this as 1 over x times log base b of the quantity limit as v goes to 0 of 1 plus 3 to the power 1 over v and what what why was I able to use the limit distribute the limit into the log function because log is a continuous function اس کے بارے ہم نے کافی پہلے ایک دفعہ بات کی تھی کہ جب continuous functions ہوتے ہیں تو limit جو ہوتا ہے وہ argument کے اندر جا سکتا ہے آپ کے function کے تو لوگ جو ہے وہ بھی continuous function it's a fact which you should already know but now we're saying it that log is a logarithm logarithmic function or the log function is a continuous function so I can move the limit into the argument of the function and that's what I've done here I complete کرتے ہیں کلکلیشن کو and basically یہ last after آپ کے بعد آپ دیکھیں کہ یہ بھی میں تھوڑے دیر پہلے ایک ڈینٹی لکھی تھی کہ جو argument میں ہے limit as v goes to 0 of 1 plus v to the power 1 over v that's just equal to the number e and therefore I get the result 1 over x times log base b of e so تو یہاں پہ ہماری یہ کالکشن ختم ہوتی ہے اس کو ہم a formula لگ دیتے ہیں کہ derivative ہمارا ہے کیا log base b of x کا سکین پہ لگ دیتے ہیں d over dx of log base b of x equals 1 over x times log base b of e where x is greater than 0 اچھا جی تو یہ formula آگیا آپ کے پاس لیکن اس کو مزید سیمپلیفائے کر سکتے ہیں تاکہ ہم اس کو implement کر سکیں کالکلویشن بے آسانی سے تو اس کے لیے آپ ایک چیز رکول کرنی ہوگی آپ کو لگ ریدمس کے حالے سے کہ ایک چیز ہوتی ہے the change of base formula تو وہ ہم اس کے بارے میں ذاتا بات نہیں کریں گے I'll just apply it here I welcome you to look it up in your textbook it must be in there somewhere لیکن algebra کی کوئی بھی کتاب اٹھا ہے تو اس میں آپ کو مل جائے گا مخصدی ہوتا خالی کہ اگر آپ کے پاس ایک log function ہے کسی given base b میں تو اس کو آپ ایک اور بیس میں convert کر سکتے ہیں تو اس کو استعمال کرتے ہوئے formula کو ہم یہاں پر تھوڑے چینجز کر سکتے ہیں formula جو بھی derivative کا آئے تھا ہمارے پاس وہ در آسان ہو جائے گا کالکلویشن کے حوالے سے so I will write it on the screen for you یہاں پہ دیکھئے کہ d over dx of log base b of x جو ہے اس کو اگر میں change of base formula apply کروں یہاں پہ تو میرے پاس رزالت آتا ہے this is equal to 1 over x times ln of b where x is bigger than than 0 or you can refer to section 7.1 for this further information about the change of base formula جناب یہ change of base ہو گیا یہاں پہ بات یہ کہ change of base کیوں کرتے ہیں یہ سوال اٹھا ہے اور اس کا جواب یہ ہے کہ جو آم طور پہ کالکلیٹرز ہوتے ہیں آپ کے پاس modern جو ہین کالکلیٹرز ہیں اس میں دو بٹن ہوتے کیز ہوتی ہیں ایک ہوتی ہے لگ اور ایک ہوتا ہے لن تو ابھی ہم نے تھوڑے دیر پہلے دیکھا کہ ہمارا derivative کا formula ln کیترمز میں آگیا تو اس کی بھی بات کرتے ہیں کہ کیا ہے یہاں ہے what is this ln this is basically this ln stands for لگ نیچرل لگ نیچرل کا بہت کیا مطلب ہوتا ہے اس بیسکلی سیم لگ فنکشن بہت تو پرٹکلور بیس اور اس پرٹکلور بیس اس the number e جی کے جی تو اگر میں لکھوں لگ بیس e of x it's it's more convenient to write that with a special notation as ln of x تو اس میں بیس ہٹا دیتے ہیں ای کی اور اس کا لگ نیچرل لکھ دیتے ہیں تو آپ کالکلیٹرز پر دیکھیں گے تو you'll see this button ln and that's what that stands for اور ایک اور جو لگ فنکشن ہوتا ہے خالی بٹن ہوتا ہے آپ کی کالکلیٹر میں that stands for the function جہاں پہ آپ کی بیس جہاں وہ 10 ہے یعنی that's another commonly used base تو لگ x ہوگا اگر without any base written will be equal to لگ بیس 10 of x یہ آپ کی تھوڑیسی information ہوگی اس کے بارے میں اب ہم آگے شلتے ہیں اور اس کی مزید دیتے ہیں اچھا جی تو اب یہاں پر ہم فرماین شن کے لگا سے zweiten؟ اب ہم دیکھیں بھی جی سال dön التہک نیچرل دیکھنا ہے لیکن مقصد کہہنے کہ یہ کہ وہ ایک پتکلور فنکشن تھا لوگ بیس بی اف ایکس یعنی اب اس میں اگر کومپوزیشن اف فنکشنز انوردو تو کیا ہوگا تو ظاہر ہے ہمیں چین رول استعمال کرنا ہوگا تو وہ کیسے یہاں بھی استعمال ہوگا اس کو ہم تھوڑا سا ان کوپریٹ کر لیتے ہیں یہاں بھی idea کو تو before we talk about لوگ نیچل بلکہ اسی کے حوالے سے پھر ہم بات کریں گے لوگ نیچل کی بھی تو اگی ایک چیز لکھتے ہیں سکین پے which will basically look at a more general form of the derivative of لوگ فنکشن incorporating the idea of composition of functions نوٹ کیجھے کہ say for example that we have the function لوگ بیس بی of u where u represents a function u of x which is greater than 0 and that function is differentiable at the point x ایک چیز لکھتے ہیں لیکن نوٹ کیجھے u جو ہے یہاں پہ جو آرگیمنٹ ہے لوگ کی this is actually a function of x this is not x itself تو obviously its function کا بھی derivative مجھے لینہ پڑے گا with respect to x using the chain رول and therefore I will have to multiply my result with du over dx ٹیکہ جی تو this was basically the application of the chain rule u of x was a function of x and that's why I am multiplied by du over dx ابھی اسی کو استعمال کرتے ہیں ہم الین فنکشن کی بات کرتے ہیں دیکھئے کہ basically now I want to find du over dx of الین of u یہاں پہ میں درکلی الین x کا derivative بعلوم کرنے کی بجائے I am going to find the derivative of الین of u and from that we can derive the derivative of الین x ظاہر سی بات ہے کہ اگر جنرل بات کر دون تو سپسفک بات کرنا جاتا سان ہو جائے گی therefore I get what I want to find out is the دی over dx of الین of u well here's the formula this is equal to you here but use a function of x I have to multiply by d over du over dx جناب یہ ہو گیا آپ کا derivative of the function الین you اس میں اگر آپ x ڈالنے تو obviously just get d over dx of الین x equals 1 over x کیونکہ you will equal x and dx over dx is 1 so therefore you have that formula also already taken care of in this particular case تو یہ ہمارا case ہو گیا جاں پہ ہم نے derivative معلوم کر لیا of the log natural function تو آئے ایک اگزامپل کر لیتے ہیں اب اس سب جو دیٹیل سامنے معلوم کییں بھی جو سارے formulas ڈرائف کییں ان کی اگزامپل کرتے ہیں so let's write that down on the screen اگزامپل ہے جناب find d over dx of the function الین of the quantity x square plus 1 اچھا جناب یہاں آپ آبیوسی نوٹ کر رہے ہیں کہ this is a composition of functions یعنی ایک function and log natural ڈرائف کیا الین x اور دوسرہ function ہے x square plus 1 ان کو کمپوز کریں گے تو یہ آپ کے پاس function آجائے گا الین x square plus 1 آپ فگر out کر سکتے ہیں کون سا function کون سا ہے کون سا والا کسی ساتھ کمپوز ہوگا تو یہ رزلتا ہے گا I'll leave that up to you اس کو مزید سولف کرتے ہیں اور کمپوزیشنہ فنکشن بھی اور چینرولوگہرہ سب کچھ یہاں پر کھٹس سمال کیا تو I think this is getting things are falling into place now آئیے آگے چلتے ہیں اچھا جی تو اب next topic شروع کرتے ہیں جس میں بات کریں گے لاغردمک ڈیفنسی ایشن کی یعنی بیسکلی ڈیفنسی آئیے کہ کچھ فنکشنز اتنے میسی سے ہوتے ہیں یعنی اتنے کمپٹکیرٹ لکنگ ہوتے ہیں کہ ان کو درکلی اگر کہا جائے کہ بہت ڈیفنشیٹ کریں ایہاں ان کا ڈیفنسی آئے تو وہ کافی مشکل کام ہوجاتا ہے کرتو سکتے ہیں لیکن کالکلیشن کافی انوازی ہوگی تو اس میں یہ کہ لاغردمک ڈیفنسی ایشن کی ایک ڈیئے ایسا ہے جو ہم جس میں ہم لاغ فنکشن اور اس کا ڈیفنسی کی ڈیفنسی کی پروپٹیز کو استعمال کر کے اپنی کالکلیشنز جو ڈیفنیس سان کر سکتے ہیں تو اس ڈیئے کو یہاں ہم اس بھی استعمال کریں گے اور آپ دیکھیں گے کہ ایسا ہے جو بہت سکتے ہیں لیکن دریوٹیفوں کے حالی میں ڈیفنسی کرتے ہیں اگر، اکسیمپل کرلیتے ہیں اس سے سارا ڈیئے کلیر ہو جائے گا سنیا کنی کاری کیا ہے ایک سامپل ہے جناب ٹھرام کانا ہی دریوٹیٹ've کے سامنے مگردات ہے اف او فکس ایک وائی ایک سامنے مگردات ہورکل یا سامنے مگردات ہے ایک سامنے ٹھرام کانا ہورکل یا سامنے مگردات ہے یہ اگر سامنے مگردات ہے اس کا دریفٹ اگر آپ معلوم کریں گے تو اس میں کوشنٹرول اپلائے ہوگا پہلے سب سے پہلے تو کیونکہ یہ ریشو ہے فرکشن ہے پھر اس کے اندر کوشنٹرول کے اندر پروڈرٹرول ہوگا پھر اس میں پاوررول ہوگا ڈسٹر ڈسٹر کیونکہ پاورز بھی ہیں بہت ساری تو آپ دیکھ سکتے ہیں کہ کافی کامپلکیٹرٹ اور میسی سی کالکلیشن ہو جائے گی بیسکلی ہمارے پاس رزیلٹ آئے گا ڈلن ڈیگلز ڈیگ، ڈیگ ڈیگ جس میں پھر سکتے ہیںillen of that big quantity جس ساو اس کو اما پھر سے نہیں پڑھوں گا کیوںکہ تورہ مشکل ہے لنبا چڑا کام ہے لیکن یہ دیکھئے کہ جو پروپریٹیز تھیروم 7.1.1 میں ہم نے دیکھی تھی ان کو استعمال کرتے ہوئے ہم اس کو سمپلیفائ کر سکتے ہیں when we apply log to this function and we get when we do that we will get 2 times ln x plus 1 third times ln of 7x minus 14 minus 4 times ln of 1 plus x square اسک پروپریٹیز تھیروم 7.1 میں ہم نے دیکھی تھی آپ بھی اپنے سکشن کو کھولکے دیکھ سکتے ہیں ٹیکس بک میں وہ یہاں پہلے بھی کتنا سان ہوگئے ان جو تنا مشکل دیفکل لکنگ جو آپ کا وہ تھا function its become very simple looking تو اب اس کو ہم دیفنشیٹ کر سکتے ہیں تو اس میں لیکن دیفنشیٹ کریں گے تو اب یہ ہمیں پرائیس پے کرنی پڑے گی دونوں سائٹوں پے ln لگا ہوا ہے اب ہم نے ln function اپلائے کر دیئے تو ہم اس کا پہلے لوگردمک حوالے سے ہم اس کا derivative معلوم کریں گے پھر فردہ سمپلیفائ کریں گے اور y function جو تھا خالی f of x اس کا معلوم کریں گے دیفنشیٹنگ بو سائٹس with respect to x gives 1 over y چونکہ ln y تھا تو اس کا derivative ظاہر ہے 1 over y ہو جائے گا لیکن یاد رکھیں y is a function of x therefore I have to multiply 1 over y with dy over dx by chain rule جو اب ہم نے تھوڑے دیر پہلے دیکھی تھی کونٹرٹی اس سے ہمیں پاس result آتا ہے 2 over x plus 7 thirds divided by 7x minus 14 minus 8x divided by 1 plus x square تو یہاں پہ سب سے بڑی بات تو یہ اس کالکلیشن میں کہ یہ dy by dx تھا اس میں یاد رکھئے کہ y function of x ہے اس کا اگر ہم نے ln y لے لیا تھا y کا log natural لے لیا تھا اس کو دیفنشیٹ کریں گے تو 1 over y تو آئے تو آئے گئی by the formula لیکن dy dx سے بھی ملپلائے کریں گے اور پھر پاکی کالکلیشن بڑی اسان تھی اب اس کو ہم اب کوشن یہاں کہ یہ تو آگیا ہمارے پاس 1 over y times dy dx on the left hand side what we want to know is what is dy dx تو اس کا ظاہر ہے left hand side پر ایک expression تو ہے dy dx لیکن ساتھ میں اس کی ایک ملپل ہے 1 over y کا if we take that y on the other side or in other words multiply both sides by y we will be able to isolate dy over dx on one side and everything else will come out to be on the right hand side and we will get a dy dx تو آئے دیکھتے ہیں کیسے کرتے ہیں اسے simple سی بات ہے multiply both sides by y to get dy dx equals 2 over x plus 7 thirds over 7x minus 14 minus 8x over 1 plus x square times y or y کیا چیز ہے وہ ہے جناب x square times cube root of 7x minus 14 divided by 1 plus x square to the power 4 کیا اگر اس کو آپ درکلی کرتے دفنشیئر اس فنکشن کو تو کافی لمبا کام ہوتا اس کے ساتھ فرمیہ ہے اور یہ ساکتا ہے اور میں ایک چیز دیکھتے ہیں کہ یہ آپ میں بہت سوٹی ہوتا ہے جو ساتھ ہم بہت سوٹی ہوتے ہیں اب ہم یہ کرتے ہیں کہ بسکلی جو لاغرمیتنک دفنشیئین دیکھیا بھی ہم نے پشلے عوال میں اس کو استعمال کر کے ہم جو پاور رول ہے دفنشیئین کا جس میں ہوتی ہے بات کیاگر x to the power n دیا ہوتا ہے تو اس کا درفیٹف کیا ہوتا ہے ہم نے سب سے پہلے پوزر بینٹیجر لیا تھا ان کو اس کا ایک رول آیا تھا n times x to the power n minus 1 ایک سمپل فرملہ تھا پھر ہم نے اس کو دیکھا کہ اس کو ہم اکسپینٹ کر سکتے ہیں اکسپینٹ کر سکتے ہیں اس فرملے کو to include negative numbers also پھر ہم نے دیکھا کہ اس کو ہم راشنل نمبرز کے اوپر بھی اپلائے کر سکتے ہیں اب یہ ہے کہ صرف اراشنل نمبرز راگ ہیں اگر ان کے اوپر بھی یہ فرملہ اپلائے ہو سکتے ہیں تو پھر ہمارے پاس اور خوشی کی بات ہے کیونکہ ہم اس فرملہ کو کسی بھی real power of x پر اپلائے کر سکتے ہیں and life will be wonderful تو آئیے دیکھتے ہیں کیسے کرتے ہیں اس کو مخصد کہنے کے یہ کہ یہاں پہ آپ کے پاس x ہے اور power rule سب سے پہلے تو یاد رکھیں was d over dx of x to the power r was equal to r times x to the power r minus 1 یہاں پہاں r جو تھا وہ راشنل نمبر کے طور پہ ہم نے ابھی دیکھ بات کی تھی اب ہم چاہتے ہیں r جو ہے وہ کوئی بھی real number ہو جائے تو real number سے مراد ہوگی کہ یہ راشنل نمبر بھی ہو سکتے ہیں تو آئیے اس کو پروف کرتے ہیں let y equals x to the r where r is any real number اب ہمیں کیا کرنا ہے یہ y equals x to the power r آگیا r is a real number ہمیں یہ دیکھانا ہے کہ اس کے اوپر یہ جو rule تھا ہم نے تھوڑی دے پہلے دیکھا یہ اس فرمیل پر اپلائے ہو سکتے ہیں where r is any real number could be rational تو اسکلی لوگ ریدمک ڈیفنسیشن سمال کریں گے or یہ کالکلیشن دیکھتے ہیں proceed by differentiating this function using لوگ ریدمک ڈیفنسیشن and for that we first have to apply ln to both sides of this equation and we get ln y equals ln x to the power r but that is just equal to r times ln x by using the properties of log and now I am applying the d over dx operator on both sides I get d over dx of ln y equals d over dx of r times ln x تو اب یہ کافی سیمپلیفائی ہو گئی equation اس کا ڈیفنسیشن معلوم کرنا کافی اسان ہے ہم تھوڑی دے پہلے ڈیفنسیشن میں دیکھ چکے کیا کیا تھا اس کو دیکھتے ہیں کیسے کرتے ہیں سیمپلسی بات ہے ڈیفنسیشن ڈیفنسیشن سمال کرتے ہیں تو رسلت آتا ہے 1 over y but remember y is a function of x so it must be multiplied by dy by dx on the right-hand side we just get r is any real number it's a constant basically so it comes out of the derivative and you're just taking the derivative of ln x وہ ابھی ہم نے دیکھا کہ وہ تھا رزلت 1 over x so basically you get r times 1 over x which is the same as r over x اس کافت basically ڈیفنسیشن ڈیفنسیشن ڈیفنسیشن چاہیے تو ملتپلائے کرتے ہیں than ڈونو سائٹ پے y سے so you get dy over dx equals r over x times y لیکن y کیا ہے y کی ویلیو ہے x to the power r that's how we started this whole calculation with and we basically see that we get r over x times x to the power r اس میں اگر x کو میں جو بھٹم پے ہے x اس کو اگر میں اوپر لے جاؤں ریسیپرکیٹ کر دوں تو اس کی power جاتی ہے minus 1 تو basically with that in mind we get r times x to the power r minus 1 and that exactly was the desired result and we have proved finally that power rule for differentiation works for all real numbers be they rational numbers, irrational numbers, whatever real numbers ہیں تو they are all included in that یہ ایک طرح کی کافی powerful ٹیکنیک تھی logarithmic differentiation سے ہم نے power rule کو پوری طرح جنرلائس کر دی ہے اور اب ہم اس کے اور بات چیٹ کرتے ہیں اس کے بارے میں دیکھتے ہیں اور کیا ہے ہم ازید آگے اچھا جی next topic ہے ہمارا derivatives of exponential functions are the things that look like y equals a to the power x a is just any number تو اس میں یہ بیسیکلی ایک طرح کا علتہ ہے of the powers of x x to the power a جو ہم دیکھ چکے ہیں پہلے ہم a کو n کہتے تھے یہاں پہاں علت ہے a to the power x ہم دیکھ رہے ہیں function کو اور اس کا derivative کیا سے معلوم کریں گے سب سے پہلے یہ میں پہلے بھی کہت چکوں کہ جو exponential function ہوتا ہے اس کی ہم بات تو نہیں کریں گے زیادہ detail لیکن this is the inverse function of the logarithmic function for appropriate basis basically انورس function کیا ہیں یہ بھی دیکھیں تھوڑی دیر میں لیکن پہلے اس کا derivative معلوم کر لیتے ہیں تاکہ ہم ہر پاس ٹیکنیکس آ جائیں تو یہ دیکھتے ہیں اس کو کیسے کرتے ہیں differentiate یہاں پہاں ہم بیسیکلی کنسلر کریں گے y equals b to the x یہاں پہاں ایک ہی بجائے میں b لکھ رہوں for the real number just for the sake of consistency with the log function یہاں پہاں یہاں پہاں کہ y equals b to the x اگر ہے تو اس کا derivative کیسے معلوم کریں گے سیمپل سی بات ہے کہ میرے پاس ایک ٹیکنیک ہے لوگردمیک دیفنشیشن کی تو let's use that and I will apply log natural to both sides and get ln y equals ln of b to the x but that's just equal to x times ln of b یہaں پیسک پورپٹیز of لوگ استعمال کی ہیں اور اب میں لوگردمیک دیفنشیشن استعمال کر کے اس کو دیفنشیٹ کر دوں گا تو آئی دیکھیں d over dx of ln y equals d over dx of x times ln b لیفنشیٹ پریزال تاتا ہے 1 over y times d y dx کیوں کی y is a function of x on the right-hand side notice that ln b is just a constant number b was a number if you take the log of that it's just still a number and you taking the derivative of x basically with respect to x which is 1 so you just get ln b and there if you simplify this further you get d y over dx equals y times ln b we know what y is it's equal to b to the power x so basically I get d y dx equals b to the power x times ln b یہ جناب آپ کا ہوگی a derivative of exponential function یہ فوملہ ہاں پاس ایک اور آگیا ہے اب اس کو مستمال کر سکیں گے آگے چل کے اب ہمہاں پاس کافی ایک آرسنل سے جمع ہوگے of formulas for finding derivatives and they will of course help us in finding more and more derivatives of different more and more difficult functions تو آگے چلتے لیکچر میں دیکھیں آگی کیا اچھا سیرسی بات ہے کہ جیسے سب سے پہلے جیسے آپ کوئی derivative دیکھتے ہیں کسی بھی function کا نئے function کو اس کو generalize کرنا چاہئے for the keeping in mind that the function could be a composition of functions تو chain rule یہاں پہ استمال یا نہیں کرنا پڑے گا اس کا فرنزہن میں آنا چاہئے آپ کے تو جیسے ہم نے log کے function میں کیا تھا اس کو اندر ہم نے x کی جگہ u of x ڈال دیا تھا function of x to incorporate the idea of composition of functions وہ ہم یہاں بھی کر لیتے ہیں تو یہاں پہ آگر b to the x تھا یہاں پہاں ہم کہلیں گے b to the power u where u is representing a function of x تو اس کو کیسے differentiate کریں گے آئی دیکھتے دیکھئے کہ d over dx of b to the power u will of course just equal to b to the power u times lnb this just follows from the derivative for the derivative of the exponential function but u is a function of x therefore I must multiply the result d u over dx اس طرح سے ہم نے اس کو بھی جنلائس کر دی ہے good اور کوئی مزید کام کرنے کی ضرورت نہیں ہے سب کچھ کلیر فائی ہوتا جا رہا ہے ایک چیز اور دیکھ لیتے ہیں کہ اگر بیس جو تھی ہماری b اگر یہ e ہو تو کیا ہوتا یعنی اگر ہم اپس function of y equals e to the power x یا e to the power u کہلیتے ہیں x کو ہم بعد سپیشل کی اس کے طور پر کبی بھی دیکھ سکتے ہیں دیکھ لیتے ہیں کالکلیشن مقصد یہ کہ اگر بی e کی برابر ہے e was that special number then I get d over dx of e to the power x I'm sorry let's talk about e to the power u so we get d over dx times of the function e to the power u will equal e to the power u times ln of e ln جو لگ ہے with base d which is just equal to 1 so they'll go away to 1 or u جو ہے وہ function of x لہذا we multiply e to the u with d over dx so the result is e to the u times du over dx جناب یہ ہوگا آپ کے exponential functions اور ان کے derivatives تو that's basically it for that اور آپ ہم آگے چلتے ہیں اور مزید بات کرتے ہیں جو ہم جو ہم نے ایک چیز ان پٹ کی اور اس کی ایک اوٹپٹ ویلیو ہے کیا کوئی ایسا پروسیس اور ہے جو اس کو اندو کردے یعنی جو ہم نے پروسیس کیا ہے اس کو اس کا کردے اور واپس وہی ویلیو آجے جو ہم آئے پس ہم نے پہلے اس میں دالی تھی تو وہ اگر اس طرح کوئی پروسیس exist کرتا ہے تو اس پروسیس کو ہم کہتے ہیں انورس function یعنی انورس function جو ایک جو اس کی جو اف کی جو اوٹپٹ آئی تھی وائی اس کو از انپٹ لے کے واپس آپ کو اوٹپٹ کی ویلی دے دے دے گا یعنی ایک طرح کی وہی بات ہے کہ سائر سی بات ہے کہ کمیس پہننا ایک پروسیس ہوگی ایک فنکشن ہے پھر اس کو تار دیں تو جو کمیس اوٹپٹاننے کا پروسیس ہے there'll be the انورس function تو یہ بیسیکس ایک concept ہے اس کا بات کرتے سکین پہ چلتے یہاں پہ ایک دیفنیشن لکھ لیتے جو بیسیکلی ہمیں بتائے گی کہ how to determine if two given functions یعنی اگر ہم اپس دو فنکشن دیے ویہاں ہمیں f and g تو سوالی پیادہ ہوسکتا ہے کہ کیا یہ دونوں فنکشن ایک دوسرے کے انورس ہے کہ نہیں ہے تو اس کو ہم دیترمین کرنے کے لیک دیفنیشن یا لکھ لیتے ہیں دیفنیشن اچھا جی تو یہ دیفنیشن تھی آپ کے سامنے آگئی اس میں یہ آپ کے ٹیکس بک میں بھی of course you can look at that اس میں یہ ہے کہ وہ بات ہے کہ it basically tells you if two given functions are inverses of each other or not تو یہ دیفنیشن جو ہے تھوڑی کلیر ہو جائے گی if you do an example یہ ایک سامبل کر لیتے ہیں regarding this definition we just saw ایک سامبل ہے جناب دو فنکشن ہے f of x equals 2x and the other فنکشن is g of x equals 1 over 2 of x لہذا 1 over 2 times x傾کسٹن ہے کہ these inverses functions کیوں کہ do they basically undo each other تو دیفنیشن کو استمال کر دے ہم اس کو معلوم کر سکتے ہیں دیفنیشن میں ہماری پاستہ ہم ایک کامپوزیشن دیکھنی تھی بیسیکل کہ اگر همارے دونوں کمپوزیشن ہم کریں f کمپوز کریں g کے ساتھ g کو کمپوز کریں f کے ساتھ تو دونوں کیسیسم result x آنا چاہی ہے تو وہ دیفنیشن لہذا f of g of x جو ہوگا وہ ہوگا two multiplied by one over two times x جہاں پہ بھی x تھا ہے اف میں وہاں پہ g of x کی value ڈال دیں اور نورٹ کریں کہ رزالت آتا ہے x سیملرلی if you find g of f of x we get one over two times two x which is again x تو obviously these two functions are inverses of each other تو this is basically what it means for basically what a way this was actually a way to find if two given functions are inverses or not of each other اچھا جی تو یہ ہم نے دیکھ لیا اب اس میں بات یہ ہمیں کرنی ہے کہ ڈرویٹف کیسے معلوم کرتے ہیں انورس فنکشن کی ایک سوال تو یہ بھی پیدا ہوتا ہے کہ انورس کیا کسی بھی فنکشن کے exist کرتے ہیں کہ نہیں کرتے اس کو میں اس topic کو تچھنی کروں گا اس لیکچر میں لیکن کرنا دو تھا لیکن تھوڑا کچھ اور باتے کر لیتے ہیں اس کی بجائے آپ کی ٹیکس بوک میں آپ اس کو دیکھ سکتے ہیں کہ which will in the section 7.4 جہاں پہ آپ کو اس کے بارے میں سوال کو ڈرس کیا گئے کہ انورس فنکشن کیسے کندشن میں exist کرتے ہیں for a given function and in which conditions they do not لیکن ہم ایسا کریں گے ہم اسم کرتے ہیں کہ they do for some particular function اور ہمیں اب اس کا انورس exist کرتا ہے اف انورس اور ہمیں اس کا ڈرویٹف معلوم کرنا ہے اس کے لیے ایک ٹیرم ہے آپ کو سکرین پر لکھ دیتے ہیں آپ کے سامنے آئے گا بھی ڈرویٹف آف انورس فنکشن یہ ہے جناب ٹیرم 7.4.7 یہ ہے ڈی سپوز ڈرس فنکشن ڈرس فنکشن has an inverse and that the value of that inverse function جس کو ہم لکھیں گے as f to the power minus 1 of x یہ بیسکلی it's not the same thing as f to the power minus 1 it's just notation ڈرس فنکشن ڈرس فنکشن ڈرس فنکشن I'm not saying that this is a function ڈرس فنکشن ڈرس فنکشن ڈرس فنکشن I'm actually saying this is a notation for the inverse function so f inverse of x varies over an interval on which f has a non zero derivative as x varies over an interval i then f inverse is differentiable on i and the derivative of f inverse is given by the formula f inverse prime x equals 1 divided by f prime of f inverse of x اچھا جی تو یہ تو آپ کہو گئے تھیورم ٹیکہ تھوڑا سا کنفیوزنگ ہے لیکن اصل point test تھیورم کا وہ فورملہ جو بھی ہم نے دیکھا یہ فورملہ تھوڑا سا مشکل استعمال کرنے کے لیے for calculation's sake اس کو تھوڑا سا سمپلیفائیکل لیتے ہیں تو کچھ سبسٹوشنز ہے جو میں سکرین پر لکھ رہا ہوں آپ کے لیے آئی ان کو دیکھتے نوٹ کیجے کہ f inverse x کو اگر میں y لکھنو یعنی y equals f inverse x that will imply x equals f of y چیکہ جی then I can say that dy over dx equals f inverse prime of x will imply that dx over dy equals f prime of y which is also the same thing as f prime of f inverse of x ان جو سبسٹوشنز میں نے کیا ان کو اگر آپ فورملے میں ڈالنے تو آپ کے پاس سبسٹوشنز آیا تھا اس فورملے کا for finding derivatives of inverse functions which is dy over dx equals one over dx over dy اچھا جی تو یہ آپ کے پاس آگیا سمپلیفائیڈ برشنن of finding of the formula for finding the inverse derivative of the inverse function اور یہ آپ کا آج کا آخری طوپک ہمارا اس کو تھوڑا سامنے جلدلی اس کے بارے میں بات کی لیکن of course we can talk further on email یا جب آپ ہمارک کریں گے آسائنمنٹس اپنی تو you will get a better idea of what this is all about and we can always talk about it also on email as I have said already لیکن بات وہ یہ کہ پریکٹس کیجے and read the text also تیکس پوک میں جو بات کی کیوی ان لوگ نے اس کو بھی دیکھیا تو آئیے اس کو یہاں پر ہم ختم کرتے ہیں اس لیکچر کو تو اس میں ہم نے basically derivatives کی بات کی of exponential functions اپنے انورس فنکشن سے تھوڑی سی بات کی and then we talked about how to find the derivative of the inverse function تو اس کو یاد رکھیں of course this will help a lot later on تو اب ہم اس کو ختم کرتے ہیں لیکچر کو next time پھر ملاقات ہو گیا آپ سے thank you so much Allah Hafiz