 Empezamos la parte de teoría de este módulo con una presentación del plano real, que sirve como ejemplo de espacio vectorial. Primero, os recordamos los números reales y la estructura de cuerpo. Es decir que los números reales con las operaciones de suma y multiplicación admiten varias propiedades. La conmutatividad, la asociatividad, la existencia de elementos neutros para ambas operaciones, la existencia de inversos, y la propiedad distributiva. Además os recordamos el producto cartesiano de R con su mismo. Es decir que R2 es el conjunto de pares alfabeta tal que alfa y beta son números reales. De ahora en adelante este conjunto lo llamaremos el plano real. El plano real es interesante porque admite una interpretación geométrica. En otras palabras, cada elemento del conjunto se puede representar geométricamente, sea alfabeta un elemento de R2 y vamos a ver cómo lo representamos de manera geométrica. Primero dibujamos a dos líneas perpendiculares. La intersección de estas líneas, el origen, representa el punto 00. Y ahora para representar alfabeta, lo que hacemos es que fijamos la primera coordenada sobre la línea horizontal tal que su distancia al origen es igual al valor absoluto de alfa y fijamos la segunda coordenada sobre la línea vertical tal que su distancia al origen es igual al valor absoluto de beta. La orientación de los puntos depende del signo de las coordenadas. Es decir, los números positivos se encuentran por arriba y por la derecha y los números negativos por abajo y por la izquierda. Y así representamos a nuestro elemento del plano real, este elemento alfa beta. De ahora, en adelante, los elementos de R2 del plano real los llamaremos vectores. Y a continuación, vamos a ver unos aspectos que caracterizan estos vectores. Cada elemento de R2, cada vector, admite una dirección, la línea sobre la cual se encuentra, admite una orientación, si va por un lado o el otro, y una longitud, la distancia desde el origen, desde el punto cero cero. Definimos a una operación en el plano real la suma vectorial, sea nu y v dos vectores, y definimos una función que toma dos vectores, dos elementos de R2, y que da un nuevo elemento de R2. Las coordenadas del nuevo vector son iguales a la suma de las coordenadas de los vectores anteriores. Ejemplo, vamos a sumar los vectores siguientes, aplicamos la definición, y obtenemos un nuevo vector a partir de los vectores anteriores. De manera geométrica, si tenemos los dos vectores u y v aquí, para sumarlos, lo que hacemos es que añadimos el uno después del otro y así obtenemos un nuevo vector que corresponde a la suma de u y v. Una otra operación es la de la multiplicación escalar, sea lambda un número real y u un vector. La multiplicación escalar es una función que toma un número real y un vector y que da un nuevo vector. Cuidado que esta vez la operación está definida para un número real y un vector y no para dos vectores como la suma. En particular, las coordenadas del nuevo vector son iguales a las coordenadas del vector anterior multiplicadas por el número real. Ejemplo, con sea lambda write 2 más 1 y sea u el vector write 2 menos 1 write 3, aplicamos la definición y obtenemos un nuevo vector. De manera geométrica, si tenemos un vector u y queremos multiplicarlo por un número real lambda, si lambda es positivo, el vector lambda veces u tendrá la misma dirección que u, la misma orientación y su longitud será igual a la longitud de u multiplicada por lambda. Si lambda es negativo, la dirección sigue la misma, pero la orientación cambia y la longitud es igual a la longitud de u multiplicada por el valor absoluto de lambda. A partir de ahora y en este contexto, los números reales los llamaremos escalares y esta es la razón que la multiplicación se llama multiplicación escalares. Acabamos este vídeo con un ejemplo que combina ambas operaciones. Queremos calcular el vector menos u más v sobre 2. Primero, multiplicamos u por menos 1. Después, multiplicamos v por 1 sobre 2 y así añadimos el 1 después del otro para obtener el nuevo vector que corresponde a menos u más v sobre 2. En el próximo vídeo, vamos a ver más propiedades del plano real que también caracterizan los espacios vectoriales en general.