 Seguimos con los espacios vectoriales y vamos a definir los conceptos de independencia lineal y de conjuntos generadores. Primero un poco de notación. Hasta ahora los elementos de los productos cartesianos los hemos notados como filas, los hemos notado como filas. Por ejemplo un elemento de R2 es un par escrito como fila. De ahora en adelante lo notaremos como columna y haremos lo mismo con R3 y de manera más general los elementos de Kn las n tuplas. Estas las notaremos como columnas. Definición. Se a v, un espacio vectorial sobre K y consideramos los vectores v1 hasta vk. Se dice que estos vectores son linealmente dependientes si existen escalares alfa 1 hasta alfa K tal que la suma siguiente es igual al elemento neutro del espacio vectorial. En el caso contrario es decir si esta condición no se cumple se dice que los vectores son linealmente independientes. En el caso de R2 del plano real dos vectores arbitrarios son linealmente independientes si la implicación siguiente se satisface. Que dice que los únicos escalares que pueden dar un elemento neutro corresponden al número cero. Ejemplos. Supongamos que esta ecuación se satisface y concluimos que debe ser que ambos escalares son iguales a cero. Entonces los vectores son linealmente independientes. Hacemos la misma suposición con los tres vectores en R3. Esto nos da un sistema lineal con tres variables desconocidas y una vez que hemos resuelto el sistema deducimos que los tres vectores son linealmente independientes. Para el último ejemplo notamos que la suma de los tres vectores da el elemento neutro del espacio vectorial. Entonces existen escalares no todos nulos tal que la suma ponderada de los tres vectores es igual al elemento neutro y así concluimos que los vectores son linealmente dependientes. Seguimos con más ejemplos. Aquí tenemos la interpretación geométrica de R3 y sean u y v dos vectores cuyas coordenadas las notamos así. Entonces asumimos que existe en alfabeta reales tal que la suma ponderada da el elemento neutro y la cuestión que surge es de determinar si alfabeta deben ser iguales a cero. Vemos que la primera coordenada de v es igual a cero lo que implica que alfa debe ser igual a cero pero en este caso deducimos que beta también es igual a cero y que los vectores u y v entonces son linealmente independientes. Continuación vamos a introducir el segundo concepto de este vídeo los conjuntos generadores. Se a v un espacio vectorial sobre k y consideramos los vectores v1 hasta vn. Se dice que estos vectores forman un conjunto generador o que generan v si para cualquier vector v existen escalares alfa 1 hasta alfa n tal que la igualdad siguiente se satisface. En particular se dice que v es una combinación lineal de los vectores v1 hasta vn. En r2 dos vectores forman un conjunto generador si cualquier elemento de r2 es una combinación lineal de u y v es decir que existen escalares muy lambda tal que cualquier alfa beta en r2 es igual a mu u más lambda v. Seguimos con ejemplos. Notamos que cualquier vector de r2 es una combinación lineal de 1, 0 y 0, 1 y entonces estos dos vectores forman un conjunto generador. En r3 supongamos que v es una combinación lineal de los dos vectores en cuestión y deducimos que v pertenece al conjunto siguiente. Pero el vector 0, 1, 1 no pertenece a este conjunto y entonces podemos deducir que los dos vectores en cuestión no generan r3. Para él y entonces no es un conjunto generador. Para el último ejemplo supongamos de nuevo que v es una combinación lineal de los vectores en cuestión. Luego definimos alfa igual a lambda más mu y beta igual a lambda más epsilon y deducimos que v pertenece al conjunto siguiente. Pero notamos que el vector 1, 1, 1 no pertenece a este conjunto y entonces los tres vectores en cuestión no generan el espacio vectorial. Os recordamos que en el último ejemplo trabajamos con el cuerpo finito de dos elementos y que en este cuerpo 2 es igual a 0. En r2 en el plano real consideramos los tres vectores u, v y u, w y nos preguntamos si estos vectores forman un conjunto generador. Para ilustrar tenemos aquí un vector z y nos preguntamos si existen escalares alfa, beta, gama tal que z es una combinación lineal de los tres vectores en cuestión. De hecho y en este caso sólo hay que sumar u, v, w y u para hallar z. Se puede mostrar que para cualquier vector del plano existen escalares tal que este vector es una combinación lineal de los tres vectores u, v y u, w y entonces podemos concluir que los tres vectores forman un conjunto generador. Una pregunta, sean dos vectores del plano que satisfacen la igualdad u igual a raíz de 19v y tenéis que determinar la dependencia lineal de estos vectores. Os damos un momento. Espero que hayáis visto que aplicando la definición estos vectores son en efecto linealmente dependientes. Acabamos el vídeo con un ejercicio. Tenéis que mostrar que los vectores siguientes son linealmente dependientes y que forman un conjunto generador. Para ello tenéis que mostrar dos cosas por un lado que la multiplicación, que la implicación de la dependencia lineal se cumple y por otro lado que cualquier elemento de plano es una combinación lineal de los dos vectores.