 OK, bueno, estamos hoy en nuestro tercer día de la Escuela Agrar. Quería aprovechar para agradecer a todos por sus tres días de presencia. Ha sido muy interesante y es un gusto para mí a presentar en la tercera clase del curso Superfícies Racionales sobre un Cuerpo a Damiano Testa. Es por ahí Damiano. Si, está aquí, perfecto. Muchísimas gracias por la introducción. Y bueno, pues hoy quiero. Quiero seguir con con el producto de intersección que empezamos a ver ayer. Producto de intersección. Y os recuerdo que estamos en el caso de una una superficie. Tuanes suave, proyectiva y geométricamente reducible. Y construimos o definimos. Y definimos un espacio editorial muy grande. He dicho de X, que son simplemente las combinaciones lineales finitas a coeficientes en herve. Son combinaciones lineales. Finitas a coeficientes en los números reales. Herve de estamos en una superficie escritutiva porque está pensando en divisores, pero divisores y curvas son la misma cosa porque estamos en una superficie. Entonces de curvas o divisores. Entonces, esto es el espacio editorial sobre que queremos definir nuestro producto. En caso general de una variedad de dimensión cualquiera, estaríamos intentando intersegar divisores con curvas, o sea, variedades sub variedades de X de dimensión complementaria. Y como estamos en una superficie, la dimensión complementaria es la misma dimensión igualada. Y como solo vamos a ver, y como solo vamos a considerar superficies, solo voy a considerar el caso en que es lo mismo. Y lo que dijimos ayer, es que vamos a tener una definición teorema porque voy a hacerir que lo que voy a decir luego existe y da un producto de intersección en una superficie X. Entonces existe un emparejamiento, bueno, un producto de intersección que voy a denotar con simplemente un punto en el medio de dos símbolos de div X por div X a valores en R. Y explícitamente si tengo un D y un C, lo voy a mandar en D.C. Y voy a dar ahora algunas propiedades de este producto que resulta que lo caracterizan normalmente. Tal que. Y las propiedades son las de que hemos hablado ayer. El primero es que si D y C son curvas íntegras distintas, ser distinta implica en particular que no son la misma. Puedo intersegarla y obtener algo de dimensión cero. Entonces cuando esto pasa, el producto de intersección entre D y C va a ser simplemente el grado de la intersección de D y C. Esto es la razón porque se llama producto de intersección. Porque cuando tiene sentido en la mayoría de los casos, simplemente cojo el grado de la intersección. Hemos visto ayer que esto no permite de definirlo sobre todo todo el producto porque a veces puedo, por ejemplo, estar interesado en intersegar una curva con sí misma o una combinación lineal de curvas con otra combinación lineal de curvas y algunas de estas curvas pueden coincidir. Entonces necesito una manera de deshacerme de esta situación. Entonces la segunda propiedad que voy a decir es que claramente este producto tiene que ser bilineal, claramente es una propiedad que voy a imponer. Quiero que este producto sea bilineal, lo que me permite reconducirme a productos individuales de curvas íntegras entre ellas. Y por finir, esta era la propiedad de formación que decíamos ayer, que si D y de Primo son linealmente equivalentes, pues entonces el producto D por C es igual al producto de Primo, de primero por C por cualquier curva C, por toda C en BX. Entonces ayer dije algo sobre el hecho que el grado es invariante por deformaciones y esta propiedad aquí abstrae lo que decíamos ayer y resulta ser que con estas propiedades existe una única manera de extender la intersección, el grado de la intersección a un producto definido sobre todo los pares de divisor y curva, divisor y divisor en su precisión. Antes de que siga hay alguna pregunta sobre lo que estoy diciendo. Vale, pues voy a ver entonces, vamos a ver entonces otra vez un ejemplo de calcular. Visto como está definido, el solo caso en que el producto realmente será difícil de calcular es cuando voy a estar calculando el producto de una curva como sí misma, porque en todos los otros casos la bilinealidad me permite reducirme a productos curva por curva y la equivalencia lineal va a ser el solo caso en que tengo que encontrar si tengo un producto de por sé que no me gusta buscar un de primero que pueda así intersecar con sé. Entonces lo que sí quiero hacer sustancialmente es por cada curva puedo encontrar una curva linealmente equivalente a la curva de que he empezado que no tenga la curva de partencia como componente. Si puedo hacer esto, entonces cualquier curva se quiera intersecar con dé puedo ir a mirar cada componente de dé moverla si pasa que coincide con sé y si no directamente calculo el grado. Si la he movido no contiene sé luego y puedo volver a calcular los grados. Entonces el procedimiento es esto. Lo voy a hacer es por un ejemplo de cálculo de autointersección de una curva en una superficie. Y el ejemplo va a ser a la misma superficie que ya hemos visto es la cuadrica x y igual a wz en p3. Y como hemos visto esta cuadrica contiene rectas en particular contiene la recta de ecuación x igual w igual a 0. Y voy a hacer nuestro dibujo de siempre para acordarnos. Esta es la recta L. Y esta recta L está contenida en el plano x igual a 0. También claramente en el plano w igual a 0 pero voy a elegir uno de los dos. Esta contiene el plano x igual a 0. Y esta va a ser mi L primero que es la otra recta contenida en el plano x igual a 0. Cuando x es igual a 0 w o z tienen que ser 0 w me da L y z me va a dar L primero. Y tenemos estas dos rectas que forman la intersección con el plano x igual a 0 de q y son las dos componentes irreducibles de esta intersección. Y ahora por ejemplo calculamos L4. En caso de L4 no puedo usar directamente la definición con el grado de la intersección porque el grado de la intersección no tiene dimensión 0 y entonces el grado de la intersección no es definida definido. Tengo que encontrar una manera de encontrar un divisor linealmente equivalente a L que sea que no tenga L dentro de las componentes que aparecen y que pero al ser linealmente equivalente con sí mismo va a ser igual producto de este divisor linealmente equivalente a L con L. Y la manera por hacer esto va a ser muy sencilla porque simplemente lo que voy a hacer va a ser de usar que L y L primero son las dos, la intersección de q con un plano. Y voy a usar que sé que todos los planos de P3 me van a dar divisores linealmente equivalentes sobre mi cuadrica. Entonces por ejemplo puedo decir que si considero la función X dividido por Z más V doble esto me va a definir una función racional de mi cuadrica a P1. Es una función racional porque está definida por cómo la he hecho está definida más y seguramente está definida donde fuera del plano Z más V doble igual a cero está definida en todos los puntos de q que verifican esta propiedad de hecho está definida en todos los puntos de q que verifican simultáneamente X más V doble o sea que verifican por lo menos una de las desigualdades Z más V doble igual a cero o no igual es igual a cero o X no es igual a cero pero de todas formas esto no importa la función racional es que su divisor de los ceros es el lugar geométrico dividido por X entonces se llama esta F sé que el divisor asociado F es el divisor asociado X menos el divisor asociado a Z más V doble y el divisor asociado a X es L más L primero porque hemos visto que en el plano es igual a cero L y L primero son los dos componentes y aparecen como teplicidad 1 pues este divisor es lo que tengo aquí y tengo que subtractar el divisor asociado a X más V doble y realmente X más V doble es un plano en P3 entonces la intersección de un plano con mi cuadrica va a ser una sección plana y lo quiero dejar así un poco ambigo porque lo importante no es cuál sección plana es es que es una sección plana las secciones planas la puedo mover y si quiero evitar de contener por ejemplo L en el suporto de esta sección plana puedo porque simplemente he dicho un plano diferente de lo que tenía antes de la misma manera en que hubiera podido elegir aquí cualquier función lineal y me hubiera dado si elijo múltiplo de X me hubiera dado otra función perfectamente perfectamente válida que usar por mi argumento vale pues entonces este divisor es el divisor asociado a una función racional y por lo tanto este divisor que he escrito aquí está linealmente equivalente a cero lo que me dice que L más V de primero es finalmente equivalente a una sección plana y que en particular me permite de decir que L es linealmente equivalente a una sección plana menos L primero entonces aquí está exactamente la equivalencia lineal que estaba buscando si quiero intersecar L con sí misma pues puedo intersecar L con lo que tengo de este lado estos dos son linealmente equivalentes y de este lado voy a elegir mi sección plana de forma que no contenga L primo no contiene L porque es la otra recta entonces puedo venir a calcular las dos intersecciones utilizando la fórmula nada por mi caso entonces si quiero calcular L por L C de la propiedad 3 de aquí este producto va a ser igual a L por sección plana menos L primero y ahora uso la linealidad para distribuir este producto L con la sección plana y L con L primero voy a hacer L por sección plana menos L por L primero y ahora si quiero calcular estos dos productos pues sé exactamente lo que hacer la intersección de una recta con un plano en P3 va a tener un único punto de intersección como propiedad 1 entonces este producto lo puedo calcular como el grado de la intersección que es 1 L y L primero son esta recta y esta recta y otra vez puedo usar la definición de grado para calcular que estas dos rectas se intersegan en un punto como propiedad 1 entonces voy a subtraer uno de este producto y por concluir deduzco que el producto de L con sí misma ok está claro hay dudas preguntas un comentario sobre qué pasa como hemos encontrado esta F pues en general si os acordéis, dije que nuestros divisores o mejor dicho nuestros divisores están localmente definidos por una sola ecuación entonces la sola ecuación que utilizo es lo que ya me va a decir como mover a T por eso mi curva L está localmente alrededor de puntos que no son este aquí en todos los otros puntos es definida por la función X que es homogénea entonces X dividido por una forma linear cualquier entonces X dividido por Z más sub doble o cualquier forma linearia que era aquí va a ser una ecuación local de mi divisor casi todos los puntos y si es en casi todos los puntos significa que excepto lo mejor como voy a volver a pasar por este punto puedo utilizar esta función racional para sustituir el numerador que es el divisor que yo tengo por el denominador y a lo mejor voy a tener una componente más con mi numerador porque puede que mielen no fuera el solo 0 del numerador pero me da igual porque esto también lo puedo mover del otro lado también a absorber o sacar fuera productos con o sea de sustracciones no solo adicción entonces esto es como pues entonces no voy a decir mucho más sobre productos así que si hay alguna pregunta sobre cálculo duda ahora puede ser un momento por si una duda como el cuadrado es 0 puede existir un divisor este linealmente equivalente a L que no intersecte a L pensando como entopología que si el producto intersione 0 como que los puede separar esto aquí no se cumple o si se puede es una buena pregunta intuitivamente esto tendría que pasar esto es lo que la intuición está intentando sugerir sin embargo no tiene por qué pasar literalmente así como está dicho en este caso en particular sípas en este caso particular la cuadrica es realmente isomorfa a p1 por p1 y estas rectas que están aquí son simplemente los factores factores por un punto de este producto entonces esta recta L es p1 por un punto de p1 y puedo cambiar como cada punto de p1 es linealmente equivalente a cualquier otro punto de p1 puedo reemplazar esta recta L por otra recta que es la misma p1 pero por un punto diferente de p1 entonces en este caso si puedo mover mi recta y obtener otra recta rectiva linealmente equivalente a la recta dada que no tiene ningún punto en común por la recta dada sin embargo justamente este ejemplo nos hace ver utilizando lo que vimos ayer que si por ejemplo en lugar de p1 por p1 hubiese sido una curva elíptica por p1 ya no es cierto que cada dos puntos de hecho ningún par de puntos distintos de E es linealmente equivalente o sea formado por puntos linealmente equivalentes entonces el mismo argumento que he dado aquí sigue todavía por demostrar que el producto un punto de E por p1 por si mismo es cero porque intuitivamente puedo mover el punto, lo puedo deformar pero la deformación que voy a hacer no es una lía equivalente a lineal entonces no lo puedo deformar pero topologicamente si podría y entonces el producto me da cero pero algebraicamente esto no va a pasar y hay también situaciones más complicadas de que a lo mejor no voy a hablar pero en este caso no puede decir vale topologicamente no puede deformar, hay situaciones más complicadas que ni siquiera esto puede pasar pero el linea general es una buena inclusión si de o que un producto es cero en mi mente por lo menos voy a estar pensando probablemente lo puedo mover luego sé también que probablemente no va a pasar en la linea general tengo que tener más argumentos para poder decir que se mueve lo que sí es importante es que aquí he podido calcular el producto del cuadrado sin necesariamente saber que se movía no he demostrado que le se movía simplemente dicho vale generalmente equivalente a algo que en mi mente nunca realmente consideraría una sección plana menos el primero pero aun así es algo que puedo usar y puedo aprovechar para calcular las pistas más preguntas pues va a haber otro ingrediente por lo que quiero decir que es algo que vimos ayer también cuando hablamos del teorema de Riemann-Roch que es el divisor canónico pues no voy a decir mucho sobre el divisor canónico lo que sí voy a decir que Kx es un divisor canónico y que por su nombre canónico nos debería hacer pensar que da igual lo que hacemos vamos de una forma u otra a chocarnos con él y esto es realmente lo que pasa es enviar geometría algebraica un poco detenidamente y nunca ver que hay algo que pasa con un divisor muy especial en nuestra variedad y este divisor muy especial es el divisor canónico voy simplemente a decir porque a jugar un papel en lo que voy a decir hoy que normalmente hay muchas técnicas para calcular el divisor canónico y por ejemplo voy a volver al ejemplo de la cuadrica que tenemos aquí pues hemos hecho que la cuadrica que nuestra cuadrica aquí es xw igual a xy igual a zw en p3 pues maneras en que podemos calcular el divisor canónico de Q o lo podemos calcular de muchas formas una manera que probablemente la más sencilla una vez que sabemos esto es que la cuadrica es efectivamente a p1 por p1 y el divisor canónico al ser canónico si tengo una variedad que es un producto el divisor canónico del producto va a ser relacionado muy fácilmente con el producto del divisor canónico y en este caso efectivamente el divisor canónico de p1 es menos 2 veces un punto esto espero que que que sea algo que más o menos sabéis el divisor el divisor canónico de p2 tiene grado menos 2 en general el divisor canónico de una curva suave proyectiva, efectivamente integra es menos es 2 veces el género de la curva menos 2 en caso de p1 al género 0 entonces el divisor canónico menos 2 veces un punto y por lo tanto el divisor canónico de Q es mineralmente equivalente a entonces en menos 2 veces un punto por p1 cuando lo intento escribir por esto lo que voy a hacer va a ser coger 2 puntos por todo el p1 más todo el p1 por 200 entonces 2 veces un punto por p1 o sea esto es simplemente el divisor canónico de este factor multiplicado por todo el otro factor más p1 por el punto del otro lado por si meter y ya hemos visto que un punto por p1 más un p1 pero un punto son exactamente nuestras 2 rectas que antes llamábamos L y L primero entonces esta suma es una sección plana y la estamos cogiendo como siempre me he equivocado he omitido el pino entonces esto es menos esto entonces esto es menos 2 veces una sección plana entonces esta es una manera de ver este es el divisor canónico de este esta es una manera de ver el divisor canónico de en general de un producto Q también es una hiper superficie o una intersección completa y también por intersecciones completas hay una fórmula muy sencilla por calcular el divisor canónico de la intersección completa en este caso de una sola hiper superficie en función del divisor canónico del espacio ambiente entonces no voy a decir mucho más sobre cálculo de divisor canónicos porque lo que vamos a ver nunca realmente lo calcularemos ya sabremos propiedades de divisor canónico y utilizaremos las propiedades que ya tenemos pero en línea general el cálculo de divisor canónico tiene que ser algo que si en línea general sabemos calcular el divisor canónico por una variedad va a ser difícil saber calcular más cosas y la utilización que vamos a hacer del divisor canónico es que el divisor canónico nos va a inducir por una superficie X cualquiera va a definir un mapa de los divisores de X a valor en R que va a ser simplemente que cojo un divisor primero y lo interseco con mi divisor y veremos que esta función lineal va a tener una importancia muy grande por la clasificación que estamos intentando dar pues ahora creo que tengo todos los ingredientes para definir la equivalencia numérica y para seguir dando alguna propiedad preguntas antes de que siga yo tengo una curiosidad hasta que punto el divisor canónico determina X eso tiene sentido preguntarse eso a ver en línea general un divisor es es un para poder hablar de un divisor ya tengo que saber es un divisor en que los divisores no existen en abstracto no hay un divisor el divisor es siempre un divisor que es una combinación lineal de sus variedades de co-dimension 1 de una variedad dada entonces de esta de esta manera es difícil de hablar de divisores sin ya saber que es un divisor sobre qué va a quedar lo que sí es posible es de dar propiedades de que el divisor canónico tiene que automáticamente identifican algunas clases de variedades por ejemplo una variedad hay una clase de variedad bueno de hecho voy a decir la superficie de del pezzo superficie del pezzo es una clase de variedades de superficie de hecho que está definida por propiedad que tiene su divisor canónico una superficie del pezzo es una superficie juanis con divisor menos kx este es el menos que estaba aquí que siempre se me olvidaba porque el divisor ya estaba metido de otra parte entonces el divisor anti canónico tiene una propiedad muy especial por superficie del pezzo que es de ser amplio con divisor menos k amplio entonces la propiedad del divisor anti canónico de ser amplio es la definición de una clase de superficies es muy importante más en general por variedad juanis con divisor anti canónico amplio se llaman variedades de fano entonces no es el divisor literalmente que las identificas porque el divisor ya es un divisor de la variedad que yo tengo no puedo conocer el divisor sin conocer la variedad pero puedo conocer casi la variedad conociendo propiedades de su divisor anti canónico o otras cosas entonces espero haber contestado a la pregunta esto también me viene bien porque quería hablar de superficie del pezzo y así está hecho pues entonces ahora vamos a hablar de equivalencia numérica la equivalencia numérica es simplemente la equivalencia más obvia que podemos definir una vez que tengamos un producto de intersección veremos que dos divisores de y de primo en X son numericamente equivalentes si por cada curva se que todavía es un divisor porque estamos en una superficie entonces divisores y curvas son las mismas cosas intento a palabras mantener la distinción aunque los símbolos no lo van a hacer en línea general sería por cada divisor por cada dos divisores y cada curva vale que el producto de D por C es igual al producto de D de primo por C entonces esta es la propiedad de equivalencia numérica os acuerdo que divisores que son linealmente equivalentes tienen esta propiedad por definición si os acordáis en la definición de forma de intersección la propiedad es que si dos divisores son linealmente equivalentes entonces todos los productos son iguales aquí estoy de una manera invertiendo esto estoy diciendo que dos divisores son numericamente equivalentes si vale esta igualdad por cada curva C entonces seguramente dos divisores que son linealmente equivalentes serán automáticamente numericamente equivalentes lo que falta lo que no es necesariamente cierto es que dos divisores que son numericamente equivalentes pueden o no ser linealmente equivalentes entonces esta una equivalencia que no sé si se llama más fuerte o más floja que la otra linealmente equivalente implica numéricamente equivalente pero numéricamente equivalente puede no implicar linealmente equivalente entonces estamos dividiendo por algo de más grande pero linealmente equivalente son quizás un poco más pues entonces ahora que tenemos la equivalencia numérica podemos formar el consciente del espacio de los divisores por esta equivalencia formamos el consciente por esta equivalencia y lo que obtenemos son los grupos de equivalencia numérica entonces obtenemos lo que normalmente se llama n1x r estos serían los divisores escribo los dos porque sé que son iguales pero a veces me resulta más sencillo de mantener la distinción en mi mente escribo los dos esto sería el consciente de los divisores por la equivalencia numérica y este sería el consciente de las curvas por equivalencia numérica como estamos en una superficie son lo mismo pero tienen su nombre distinto con el 1 arriba o el abajo porque esto 1 arriba son son divisores están relacionados con la cumulogía entonces normalmente la cumulogía tiene exponentes y estas son curvas que están más relacionados con la cumulogía y los funtores covariantes normalmente se habitan con índices bueno esto es simplemente un amnemónico y estas son curvas en nuestro caso estas son los mismos en el mismo espacio vectorial y esto es div x dividido por la equivalencia numérica y div dividido por la equivalencia numérica si os acordéis ayer hice que el espacio vectorial div es un espacio virtual en la dirección infinita sobre los números reales pues lo bueno es que este espacio es mucho alguna cosa, alguna prueba buena de espacio vectorial que ahora es un espacio virtual de dirección finita esto es sustancialmente una consecuencia del teorema de la base si alguien lo ha escuchado pero es un resultado bastante profundo y que es muy importante por lo que vamos a ver porque de esta manera asociado a una cualquier superficie tuanis de hecho una cualquier variedad tuanis obtenemos un espacio vectorial de dirección finita y no solo y es de la estructura fundamental que vamos a estudiar ahora este espacio vectorial está creado por clases de equivalencia numérica de combinaciones lineales a coeficientes reales de curvas integras entonces si simplemente buscamos o miramos aquí dentro a las combinaciones lineales no negativa de curvas integras las que realmente se parecen más a curvas porque no tienen coeficientes negativos pues obtenemos aquí dentro un cono hay un cono el cono de las curvas las curvas se denota normalmente por ne de x es contenido en este n1x r y es por definición las clases de la combinaciones lineales a coeficientes no negativos de curvas en x es un cono porque puedo multiplicarlo por un número real no negativo y sigue siendo una combinación lineal y porque la suma de todas las cosas es un cono por razones totalmente formales pero resulta que este cono va a tener propiedades muy muy importantes es un cono en un espacio vectorial de diversidad hay alguna alguna pregunta el espacio vectorial en general es más grande que la homología no tiene por qué coincidir bueno este espacio vectorial hay hay resultados de este espacio vectorial se puede relacionar de hecho con la homología y con la homología y ahora espero decir algo de tonto pero sí creo que de hecho o sea esto tiene que ver con el el teorema de las 1-1 formas de left sheets este espacio vectorial tiene como dimensión en el caso de un superficie de una variedad compleja tiene la dimensión del h1-1 de la variedad entonces está contenido en el h2 pero en línea general puede ser estritamente menor que el h2 a lo mejor no voy a decir nada más ahora pero si tienes más preguntas sobre el respecto esto se puede identificar como estamos considerando solamente divisores o curvas que son duales hay dentro un resultado bastante fuerte que me dice cómo identificar dentro de la homología este espacio vectorial más en general hay cuestiones parecidas a la cutura del hodge pero como estamos por la cutura de hodge por divisores es nota en este caso también se sabe pero en línea general es muy complicado de poder decir por verdad este espacio vectorial hay más preguntas ok pues casi tenemos todos los los ingredientes para poder hablar del terembro del cono el terembro del cono nos va a dar una estructura sobre a casi este cono pues lo que pasa es que el cono de las curvas no tiene por qué ser un cono cerrado en este espacio vectorial real entonces esto es fácil de remediar cogemos la clausura la clausura topológica esta es la clausura de nx n1x oops y por fin por terminar la sola cosa que no he usado todavía es el divisor canónico el divisor canónico me define una forma lineal sobre el n1 xr o sea este hemos dicho en el espacio vectorial de dimensión finita que representado por curvas el divisor canónico me permite de intersecar el divisor canónico con las curvas que veo aquí y ver por ejemplo donde esta intersección es cero donde es positiva y donde es negativa entonces tendremos una en mi espacio no sé cómo se escribe esto en español en mi espacio de donde kx por c es positivo un hiperplano donde kx por c es negativo en mi espacio donde kx por c es negativo y el teorema del cono da una estructura a esta parte aquí de la intersección de n bar de x con este lugar voy a ver cuánto tiempo me entiendo para ver si me da tiempo voy a anunciar entonces el teorema del cono antes de hacerlo hay alguna pregunta si si solo quería decir que tienes 9 minutos 10 minutos yo tenía una pregunta pero realmente imbécil que hice en el chat la clausura quiere decir la clausura qué cosa, la clausura en qué topología ah vale esto es un espacio vectorial real entonces realmente como la topología real entonces cualquier norma yo elija sobre este espacio vectorial como que en dimensión finita son todas equivalentes y una cualquiera de esta topología o sea la topología usual de r a n esto lo mejor imagino que la pregunta surja de cómo puede ser este espacio no cerrado automáticamente por esto lo mejor voy a dar un ejemplo pero igual voy a enunciar el teorema del cono y luego voy a hablar de un ejemplo donde a lo mejor puedo hacer ver que este espacio vectorial este cono no tiene por qué ser cerrado he contestado más o menos tu pregunta harald o todavía sí, sí de una forma este es un espacio vectorial real y utilizo la topología standard de un espacio vectorial real utilizo la teoría de en que los abertos de r son generados por intervalos abiertos y luego utilizo la topología por todo imagino que la duda salga más de por qué este no es cerrado puede ser no cerrado y esto lo voy a decir luego vale pues voy a enunciar el teorema del cono porque le había prometido a Tony que iba a llegar a enunciar el teorema del cono entonces voy a cumplir con mi profesa y luego voy a intentar contestarlo un poco mejor a esta pregunta de Aram vale el teorema del cono nos dice nos da como he dicho antes nos va a dar un teorema de estructura por este como aquí y más precisamente por la parte kx negativa del cono y la estructura es vale depende de algo que todavía no he dicho que son rayos extremales voy a hacer una definición rayo extremado de un cono entonces tenemos un cono c en decimos en un espacio vectorial r a la n y un rayo extremado es un sub cono r con la propiedad siguiente tal que si yo tengo dos elementos cualquiera del cono c y d son elementos de mi cono con c más d que pertenece al cono al rayo extremado los elementos que están dentro del cono cuya suma es el rayo extremado entonces deduzco que c y d tenían que estar ya dentro del cono de rayo extremado c y d pertenecen al rayo extremado ok intuitivamente es bastante claro cuando yo tengo mi mente un cono por ejemplo este los rayos extremales son todo lo que está en la frontera porque si puedo sumar dos elementos que están dentro del cono no voy a llegar en la frontera entonces los rayos extremales son estos estos vetores aquí como va a ser bastante relevante por lo que estamos con lo que vamos a decir si mi cono es por ejemplo una pirámide que puede pasar este es el vertex y la pirámide la dibujada muy mal pero espero que en nuestra mente sabemos todo lo que es una pirámide puedo coger dos vectores en una cara de esta pirámide y lo puedo sumar y voy a quedarme en esta cara pero no voy a poder llegar a los aretes de esta cara si no sumando dos elementos que son ya entonces los rayos extremales son realmente los rayos generados por los vértices de mi sección y todo lo que está en el medio no son rayos extremales estos son muy importantes de hecho un resultado que creo que se llama Klein Milgram es que los conos realmente son combinaciones lineales no negativas de vectores que generan rayos extremales son como pases por el espacio vectorial pero ok pues dicho esto voy a encerrar el tema del cono el tema del cono dice que x es de hecho vale por una variedad tuanes cualquiera x es una variedad tuanes cualquiera y lo que nos dice es que existe una familia numerable de curvas integras segoní y es un índice y es un índice y es un índice que varian un conjunto numerable potencialmente infinito y tales que una familia tal que vale el cono n barra de x la clausura de n es la parte del cono donde el canónico tiene intersección no negativa mitad del cono por así por decirlo más la suma por cada índice del rayo generado por la curva segoní entonces no estamos aprendiendo mucho sobre el cono no negativo y no estamos diciendo casi nada pero estamos diciendo cosas sobre todo lo que es negativo todo lo que es negativo está generado por esta familia numerable y además podemos decir algo más sobre esta curva segi entonces por cada índice son verificadas dos propiedades segoní genera un rayo extremado del cono n barra de x y segunda propiedad la segoní son íntegras sobre el cuerpo de definición de x entonces puede que se descompongan después de una extensión de x si voy a ver las componentes geométricamente íntegras de mis curvas segoní C en segoní es una componente un componente en italiana femenina geométricamente íntegras entonces tengo cotas para la intersección de esta curva con el canónico entonces sé que esta curva está contenida en el lado kx negativo entonces la intersección con el canónico será negativa y esta es la primera parte de la cota pero también sé que puedo encontrar una cota superior por esta intersección que depende solamente de la dimensión de x entonces de este lado será la dimensión de x más 1 ok pues esto es el enunciado del teorema del cono espero de haber terminado a tiempo voy a parar por preguntas y luego si si queréis diga un poco algo más sobre la posibilidad de tener familias infinitas de curvas hay dudas preguntas vamos a agradecerle a Damiano preguntas, dudas, comentarios para la variedad con la que estamos trabajando se puede dar un poco más explícito este teorema cuál es este cono vale pues imagino que lo que Toni va a hacer este era mi última clase aquí la siguiente dos va a ser Toni que las va a dar entonces él va a enseñar cómo utilizar el teorema del cono para la clasificación de superficies racionales en línea general si x sea una variedad completamente arbitraria el cono puede ser muy complicado vale entonces en línea general tampoco tiene por qué ser infinitamente descrito o sea puede ser muy complicado entonces sin hacer más más hipótesis sobre x es difícil de poder decir más lo que sí se puede especificar un poco mejor es ver cómo están hechos los rayos extremales en particular estos rayos extremales van a ser rayos que si os acordéis en la primera clase yo dije que por una superficie pública podemos contraer estas rectas y obtener otras superficies pues las curvas que podemos contraer resulta que son estos rayos extremales aquí entonces el teorema del cono nos da una manera inductiva para intentar comprender cómo está hecha la variedad x nosotros no vamos a comprender todo el cono necesariamente pero vamos a encontrarnos a lo mejor con una curva extremada con un rayo extremado de esta forma entonces este rayo extremado lo vamos a contraer otra variedad x primero donde sustancialmente es chafado una de esta curva a un punto esto tiene otras implicaciones a lo mejor no voy a poder chafar solo una curva pero bueno voy a chafar lo que puedo en particular esta curva si tengo suerte la variedad que obtengo después de haber hecho esta operación es suave si es suave puedo volver a utilizar el teorema del cono para seguir contraiendo y como este cono está contenido en este espacio vectorial aquí que tiene dimensión finita cada vez que hago una de estas contracciones disminuye la dimensión de este espacio vectorial y entonces tendré conos más y más sencillo si tengo suerte contraigo contraigo contraigo hasta que no llego a un espacio vectorial de dimensión 1 o 2 lo bueno de espacio vectorial de dimensión 1 o 2 es que los conos en un espacio vectorial de dimensión 1 o 2 no puede ser infinitamente generado un cono cerrado en un espacio vectorial de dimensión 1 o 2 he generado por 1 o 2 sectores porque o es un sector o es un solo rayo entonces allí se acabaría mi programa allí tengo un espacio vectorial de dimensión 1 o 2 y voy a encontrar otra manera por estudiar mi variedad es más sencilla porque he comido todo lo que era complicado el fallo principal de este programa o problema de esta estrategia que he dicho es que estoy asumiendo que cuando contraigo una curva o tengo una superficie una variedad suave en el caso de superficie esto sigue siendo cierto pero en el caso de variedad de dimensión más alta al contraer estas curvas normalmente obtengo variedades que son simulares pero es tan mala que no me permiten de seguir con este programa y entonces tienen que encontrar otras maneras para poder intentar utilizar esta estrategia pero la idea general es esta estas curvas aquí están aquí porque nos están intentando decir cómo simplificar nuestra variedad de x pero realmente calcular estos conos es difícil que lo podamos hacer de manera explícita por ejemplos que nos sean sencillos hay algunos más que sí se pueden hacer pero en general son muy complicados yo creo que podemos dejarse más preguntas para la sesión de ejercicios y problemas hoy entonces agradecemos de nuevo por la miana muchas gracias