 Et bien, on va faire un cours, commençant aujourd'hui, qui parlera de théories synthétiques de la courbure de Ricci. Et je vais dire, pour donner des éléments de contexte, que la théorie que je vais exposer a commencé à être développée systématiquement il y a 10 ans à peu près, vers 2004, 2005. Une étape importante pour moi, pour la théorie et pour moi, ça a été le livre que voici. Donc en 2009, mon livre Optimal Transport All the New, que j'appellerais All the New, chaque fois qu'il y aura besoin. Et 2015, la résolution de l'un des problèmes ouverts présentés dans le livre qui me tenait particulièrement à coeur par deux chercheurs italiens, donc Cavalletti Mondino, résolve un des problèmes ouverts majeurs du livre, et c'est le moment de faire le bilan de la théorie, du bilan. Et vous expliquez la preuve aussi. En l'occurrence, c'est très bien adapté à l'IHS, puisqu'il s'agira de donner une preuve synthétique plus générale, plus simple, de l'inégalité dite de Lévi Gromov. Et je mentionnerai aussi qu'il y a une autre théorie, à peu près en même moment, qui a été développée par Yann Olivier. Les deux ont des intersections, des points communs, Yann Olivier et autres, qui s'applique particulièrement bien dans un cadre discret, avec des points communs. Et pour elle aussi, il y a un résultat majeur qui a été prouvé l'an dernier, un résultat important en 2014. Sur une question de temps de mélange de marche aléatoire définie sur un groupe de permutation, et ça a été fait par Bérestiki, Nathael Bérestiki, et le collaborateur de Bérestiki qui s'appelle, qui doit s'appeler... Il y a un nom turc que j'ai oublié. Il y a quelqu'un dans l'audience qui a vu passer cet article. Ça ne se fait pas de ne pas dire les noms des côteurs entiers. Il s'agit de singoules. Donc dans les deux théories, après un moment, arrivent les bons résultats et c'est le moment d'en parler. Et on va développer ça en une dizaine d'heures. Alors on va commencer par un prélude. Analytique et synthétique. Qu'est-ce qu'on appelle analytique ? Qu'est-ce qu'on appelle synthétique ? Il n'y a pas de définition précise, mais on va dire que quand on a des calculs, on appellera ça analytique. Quand on a des propriétés, on appellera ça synthétique. Et on va donner quelques exemples. Analytique et synthétique. Alors on commence avec l'exemple qui est peut-être à garder en tête toujours pour ce dont je parlerai, la convexité. Comment on définit qu'une fonction est convexe ? Les deux, ma façon est plus populaire, c'est de dire qu'une fonction est convexe si ça dérive ses secondes et positives et l'autre dire que la fonction est convexe si le grave de la fonction est toujours en dessous de la tangente, en dessous de l'application tangente, pardon de la corde, au-dessus de la tangente et en dessous de la corde. Et ici ça va être donc phi le 1-tx plus t y, inférieure au égale à 1-t phi de x plus t phi de y. Et c'est pour tout x, pour tout y, pour tout t appartenant à 01. Alors on va appeler ça analytique parce que, comme vous le voyez bien ici, on est en train de faire un calcul qui est celui de la dérivée seconde et un test après qui est assez facile, savoir si c'est positif. Ici, c'est pas un calcul, c'est un paquet, un paquet de calcul, il faut le faire pour tout x pour tout y. En particulier, cette définition-ci est non locale. Celle-ci, on va dire qu'elle est effective. En pratique, on arrive à la vérifier, à l'établir. Si je donne une fonction inconnue, vous dérivez deux fois, vous regardez le signe, souvent ça se traite. Celle-ci en pratique, elle est intractable. Si vous essayez de la vérifier directement sur une expression, d'habitude vous n'en sortez pas. Ça veut pas dire qu'elle est inutile, au contraire, on s'en sert sans arrêt. C'est propriété de position respective du graphe et de la corde. Donc c'est très utile, mais c'est très difficile à vérifier. Et puis elle a d'autres avantages, c'est qu'elle est plus générale, cette définition. A priori, pour écrire ça, il faut que la dérivée seconde existe, tandis que là je me fiche complètement de l'existence de quelques dérivées que ce soit. Et évidemment, si je regarde une fonction comme la valeur absolue, elle vérifiera la deuxième définition, mais pas la première, à moins de travailler au sens des distributions ou quelque chose un petit peu sophistiqué. Elle est plus générale et puis aussi elle est plus stable. Et l'exemple à garder en tête, c'est si vous savez que FICAT envers FIC et vous vous demandez quand est-ce que je vais pouvoir passer à la limite dans la définition. Si vous voulez passer à la limite dans ce critère, il vous faudra une convergence C2 par exemple. Une forme ou quelque chose de à peine plus faible. En revanche, si vous voulez passer à la limite dans cette définition, il vous suffira d'avoir la convergence simple pointwise. Et donc c'est stable pour une topologie beaucoup plus faible. Après, les deux sont équivalentes quand la fonction est lisse. Mais supposez que vous avez une famille de fonctions convexes, lisse, qui convergent simplement vers une fonction lisse. Il n'y a pas d'autre moyen de prouver la convexité que de passer par cette définition en intermédiaire on va dire. Vous utilisez l'équivalence, vous convergez ici et puis vous faites l'équivalence dans l'autre sens. Et c'est une stratégie qu'on applique tout le temps. Et c'est bien parce qu'il y a l'équivalence entre ces deux définitions qu'on arrive que la notion de convexité est si utile. Une dernière chose qu'on va remarquer c'est que cette définition aussi est facile à quantifier. Facile à quantifier au sens où la dérivée seconde c'est quelque chose. En fonction de ce quelque chose, vous pouvez dire que ça vous donne des informations sur la convexité. Si quelque chose est strictement positive, vous direz que la convexité est uniforme par exemple. Ici aussi, on peut quantifier mais c'est plus délicat. Il faut rajouter des termes mais ça se fait aussi. On peut se quantifier. Bon, alors point de vue analytique, point de vue synthétique. Ce qu'on a vu ici, le fait que le point de vue synthétique est plus général, plus stable et utile, aussi on a l'impression de mieux comprendre dans beaucoup d'arguments, c'est général. C'est vrai pour beaucoup de choses qui sont... pour beaucoup de choses dans cette dichotomie analytique et synthétique. Alors maintenant, un autre domaine dans lequel on va faire la distinction entre analytique et synthétique c'est la géométrie euclidienne. Jeumétrie dans le plan tel qu'on la prend à l'école. Et ce qu'on apprend c'est d'abord à faire la façon des grecs anciens avec des triangles, des cercles, des droites et une axiomatique et des propriétés. Et puis un jour on apprend que c'est équivalent aussi au point de vue synthétique ou par exemple l'équation d'un cercle ça pourra être x2 plus y2 equal r2 ou l'équation d'une droite ça pourra être x plus b y plus c equal 0 et ainsi de suite. Donc d'un côté des calculs avec des équations, d'autre côté des figures avec des propriétés sur lesquelles on résonne. Et évidemment, quand on sait que la géométrie euclidienne c'est tellement puissant et les remarques ici s'appliquent aussi, c'est plus effectif de faire les calculs, de faire les intersections souvent mais on comprend mieux quand c'est annoncé en forme synthétique. On va passer à la géométrie non euclidienne. Par exemple la géométrie des surfaces. Alors le principal objet en géométrie non euclidienne, on va revenir plus tard, c'est la courbure de Gauss. Appelons la capa. Et il y a une formule pour vous dire ce que c'est que la courbure de Gauss et comment vous la calculer. Et puis il y a aussi une façon de traduire de manière synthétique les estimations sur la courbure de Gauss en regardant la forme des triangles. Par exemple, si le triangle est comme ça, c'est que ça correspond à une courbure positive. Si le triangle est comme ça, c'est que ça correspond à une courbure négative. Et ainsi de suite. Et on va quantifier ça par exemple par le fait que la somme des angles est strictement plus grande que Pi. Ça sera la marque d'une géométrie de courbure positive et ça apporte sur une propriété des figures. Et pareil, il y a des équivalences entre un point de vue et l'autre point de vue. Et on va revenir sur cet exemple plus en détail plus tard. Et puis maintenant, si vous faites de la géométrie non euclideaine courbure en plus grande dimension, courbure plus surface, on va dire, il y a un objet qui est important. C'est la courbure de Ritchie qui remplit des multiples rôles. Et pendant longtemps, la question c'était qu'est-ce qu'on met ici ? C'est une question que vous trouvez posée par exemple dans le joli petit ouvrage de Gromov sur le signe et le sens de la courbure. Et c'était pas clair pendant longtemps qu'est-ce qu'il fallait faire pour ça. Et donc ce que je vais vous présenter ici, c'est une théorie qui remplit cette case et qui est basée sur le transport optimal. Et on parlera pas de transport optimal aujourd'hui. On réservera ça, on commencera ça pour la prochaine séance. Aujourd'hui, on va parler beaucoup de la courbure de Ritchie, poser le problème plus précisément. Et je vous parlais de la théorie tout à l'heure de Yann-Olivier avec des points communs. Elle est aussi basée sur le transport optimal et il y a, comme je disais, une grosse intersection. Elles sont équivalentes dans le régime continu, on va dire. Voilà, alors deux remarques avant de continuer. Première remarque, donc deux remarques. Premièrement, quelque chose qui est essentiel dès qu'on parle de convexité, dès qu'on parle de courbure, c'est qu'il y a un principe de propagation du local vers le global et vice-versa. Convexité, c'est une propriété infinitésimale et puis vous arrivez à la grandir, à la grandir. Et en général, quand vous regardez des relations différentielles, elles ont peut-être des propriétés localement, mais quand vous essayez de les démontrer globalement, ça ne marchera pas. Mais pour la convexité, c'est un petit miracle que ce qui est vrai localement devient vrai globalement et réciproquement, vous pouvez toujours revenir au local. Et en courbure, c'est pareil. Il y a beaucoup de propriétés qui sont vraies localement et qui peuvent se propager jusqu'à être vraies globalement. Par exemple, courbure positive, sous des hypothèses simples, vous arrivez à montrer, pour le coup, ce n'est pas très facile à montrer, que si tous les petits triangles vérifient somme des angles plus grandes que pie, alors tous les grands triangles vérifient aussi somme des angles plus grandes que pie. Et une propagation depuis le local vers le global. Et c'est une question importante aussi pour le problème qui nous occupe. Et puis l'autre remarque, c'est que parfois, la notion synthétique implique automatiquement une régularité. Une régularité qui peut être presque celle dont vous auriez besoin pour la notion analytique. Et là encore, l'archétype, c'est la convexité. Si vous regardez une fonction convexe, soit fille de Rn dans R, une fonction convexe. Je ne suppose rien d'autre que la convexité. Alors automatiquement, au sens fille de 1 moins Tx plus Ty, inférieur ou égal. Alors automatiquement, fille est deux fois dérivable presque partout. C'est le théorème de différenciabilité seconde d'Alexandroph. Et ça vous montre, on n'est pas deux fois différenciable, mais pas loin, presque. Et donc il y a une rigidité si on veut une régularité automatique qui est impliquée par la notion synthétique. Alors dans les cas qui nous intéressent, on pourrait dire que ici, il y a aussi, quand on définit un cercle, il est forcément, je mettrai Euclidean, il est forcément dans cette équation-là et tout est régulier. Quand on regarde la courbure positive, automatiquement, le simple fait de décider que les triangles seront gras, ça implique qu'il y ait une certaine régularité sur l'espace. Pas loin de deux dérivés. En revanche, si vous décidez que les triangles sont maigres, ça n'implique rien du tout. Et votre espace peut être aussi pathologique, aussi irrégulier que vous voulez. Donc ça dépend des cas. Dans ce qu'on traitera, on verra qu'il y a un début de régularité et ça fait partie des points qui sont encore ouverts dans la théorie, quelque chose qui n'est pas aussi fort que ce qu'on a là, mais quand même assez contraignant. Et puis je vais donner tout de suite les noms des contributeurs pour surdublier personne. Et puis contributeurs, alors contributeurs plein de monde. Au début, les articles fondateurs, on va dire, pour la théorie que j'exposerai, il y a Auto et moi-même, c'est un article qui date de 2000, l'Otte et moi-même, je tourne des articles qui arrivent quelques années plus tard. Et puis par ordre alphabétique, beaucoup, beaucoup de gens qui développent la théorie, beaucoup, beaucoup, j'exagère un peu, mais parmi les plus notables, Ambrosio, Bachar, Bianchini, Cavalletti, Cordero et Rosquin, Gilly, Keterer, Kouada, Lotte, Macan, Mondino, Rayala, Savare, et voici le parti difficile Schmuckenschläger, Sturm et moi-même, et puis d'autres encore. Et puis sur la théorie que je ne développerai pas avec Olivier, il faut citer en particulier Erbar et Mahas, parmi les contributeurs. Ok, eh bien Losi, ça c'est le prélude, distinction entre analytique et scientifique. Et voici le plan du cours. Voilà, il y a beaucoup de brosses. Théorie classique, analytique si on veut, classique de la courbure de Ricci. Qu'est-ce que c'est la courbure de Ricci ? On va voir et revoir ça. Deux, transport optimal. Trois, anthropie de Boltzmann. Et information au pluriel. Quatre, rencontre la façon dont il est différent, en plus précisément la façon dont les trois différents premiers chapitres se rencontrent. Et qu'est-ce qui sort de l'interaction ? Cinq, les espaces CDKN généralisés. CDKN, c'est pour courbure dimension. Six, analyse des espaces CDKN. Analyse et géométrie des espaces CDKN. Voilà, courbure dimension. Parmi les références. Alors, il y a le gros bouquin. Et puis je donnerai aussi comme référence un texte que vous trouvez sur ma page web. Et qui est une note de synthèse et qui s'appelle précisément Synthetic theory of Ricci curvature bounds. Ce sont les notes d'un cours, dans une conférence. Synthetic theory of Ricci curvature bounds. Sur ma page web. Et puis le préprime de Cavalletti-Mondino. Charpanille de périmétrie qui n'est qu'on l'utilise. Ok. Et on commence aujourd'hui avec la théorie classique de la courbure de Ricci. Et on va supposer qu'on sait presque rien, donc on va repartir du départ. Bon, classique et donc en particulier, on s'occupe, on définira ça sur des variétés rimaniennes assez lisses. Si on sort du cadre rimanien tout en restant lisse, il y a par exemple le cadre finselérien dans lequel c'est pas des produits scalaires, mais c'est quand même des normes qui donnent infinitésimalement la géométrie. Dans ce cas-là, il y a plusieurs notions possibles de courbure, plusieurs notions possibles de courbure de Ricci. On verra plus tard qu'il y en a une qui est naturellement associée à la théorie que je présenterai. Et pour l'instant, on va rester rimanien tout du long. Et on va commencer à rappeler la courbure sectionnelle. Dans la courbure de Gauss, évidemment, on a S, une surface, ou un morceau de surface, X, un point dans S, et on envoie ça dans l'espace, on envoie ça dans la sphère S2 par l'application normale. Ici, une surface plongée dans R3. Et on donne dans E3 l'espace credien. N, l'application normale. Et on pose qu'à pas égal le déterminant Jacobien de la normale. OK ? Ça c'est N. Et ça dépend pas de l'orientation qu'on a choisi. Et ce qu'on va noter, c'est que, évidemment, non seulement c'est indépendant de l'orientation, mais aussi du plongement, comme nous l'a pris Gauss. Et donc, ça ne dépend que de la métrique, ou première forme fondamentale. Et il y a des formules, si on veut, expliciter la courbure en fonction de la métrique. Les formules en elles-mêmes sont compliquées et ne servent pas à grand-chose, donc on ne va pas les rappeler. Évidemment, la courbure pour la sphère, avec cette définition-là, c'est 1 pour le plan C0 et pour l'espace hyperbolic, le plus standard, c'est moins 1. Ça, c'est la définition telle qu'on peut la voir dans le fameux article de 1827. Alors, il y a un autre point de vue pour la courbure qui sera beaucoup plus parlant pour nous. C'est celui qui consiste à l'exprimer en termes d'écartement des géodésiques. Formulation équivalente, contrôle de l'écartement des géodésiques, de la divergence simulée. Alors, je prends un point X sur ma surface et deux vecteurs tangents U et V, U orthogonal à V, norme de U égale, norme de V égale 1. UV appartenant à TXS, ma surface. Et je lance une géodésique avec vitesse U, une géodésique avec vitesse V. Ici, gamma U de T, ici, gamma V de T, avec, par exemple, gamma U de T égale exponentielle XTU. Autrement dit, je suis la géodésique de vitesse constante qui démarre de X avec vitesse U. Et quand je dirais géodésique, sans arrêt, ça voudra dire géodésique à vitesse constante. Et on se demande quelle est la distance entre les deux ? Distance entre gamma U de T et gamma V de T. Alors ici, c'est la distance géodésique. Distance géodésique de XY étant l'info des intégrales de 0 à 1, de... On va l'écrire comme ça. C'est une des définitions possibles. Gamma point de T, carré de T, racine carré, sur tous les chemins telles que gamma de 0 égale X, gamma de 1 égale Y. Donc distance géodésique entre le point ici et le point là. Et si on regarde comment ça se comporte, alors, au premier ordre, c'est racine carré de 2 fois T, puisqu'ici, il y a orthogonalité. Ça, c'est le théorème de Pythagore. Après, il va y avoir une correction et le premier terme, il s'annule. Le deuxième terme, ici, c'est lui qui porte la correction. Donc c'est un terme d'ordre 3 en T et il y a un coefficient qui est égal à 12. Et puis après, il y a des termes d'ordre plus petits. Quand T est envers 0. Et ce qui est important, c'est qu'ici, le nombre qu'a pas, c'est le même que celui qu'on a vu précédemment. Autrement dit, en temps petit, ça contrôle la divergence, ça vous dit, la diagonale dans le triangle rectum, qui est les plus petites ou plus grandes qu'en géométrie euclidean. Courbure positive, la diagonale sera plus petite. Ça va se rapprocher. Courbure négative, la diagonale sera plus grande. Ça aura tendance à s'écarter. Cette forme, cette forme montre aussi, directement, une fois qu'on a établi cette forme, elle montre directement que c'est un invariant parisométrique. Parce que la distance geodésique est invariant parisométrique. Donc le coefficient capa, il ne va pas bouger selon qu'on change le plongement. Qu'est-ce qu'on va dire d'autre ? Il y a une autre formule qu'on trouve plus classiquement, qui est moins utile et qui concerne le circonférence d'un cercle. C de R égale de pierre fois un moins capa R2 sur 2. Ça, c'est la circonférence du cercle de rayon R. J'ai un doute là sur le 2. Peut-être que je me suis planté en recopiant. Je suis plus sûr du 2 qui est là. Le 12, là, j'en suis sûr. Mais ce qui est sûr, c'est que cette formule elle est beaucoup plus intuitive que celle-ci. Celle-ci, vous donnez une information moyennée sur toutes les distances. Quand vous avez deux géodésiques, qu'est-ce qu'il se passe ? Vous pouvez aussi faire des variantes de la formule dans laquelle l'angle entre les deux géodésiques va être égal à theta plutôt qu'à pi sur 2. Ça, c'est la courbure de Gauss. De la courbure de Gauss, on déduit facilement la courbure sectionnelle. La courbure sectionnelle, plusieurs façons de le faire. On va dire comme ça. La courbure sectionnelle en X. Dans TXM. Et on va dire que ce plan est engendré par UIV qui sont pareilles, orthogonaux, tout ce que vous voulez. Par définition, on va dire que c'est la courbure de Gauss de la surface qui est obtenue en regardant l'image par application exponentielle du plan P. Autrement dit, partant de X. Vous envoyez toutes les géodésiques que vous voulez. Dans la direction du plan P, ça vous définit une surface à l'intérieur de votre variété et vous prenez sa courbure de Gauss. Donc ça, c'est pour X appartenant à M une variété dimension N. Et ici P, un plan, donc juste dimension 2. Donc ça, c'est une possibilité. Et l'autre possibilité, c'est de reprendre la formule qui est là-haut exactement la même. On peut aussi se définir par la formule sur l'écartement des géodésiques. Ça sera la même formule ici que la distance, c'est égal à la racine de 2t fois 1-1 capa sur 12 t². Et le même capa, vous l'utilisez comme définition de votre courbure sectionnelle dans le plan qui est engendré par u et v. Et sigma X et ça ne dépend que du plan, pas du choix de u et v. Que du plan P pas du choix de u et v. Bon, comme on a vu ici on a cette formule de la distance on sent bien que ça intervient la courbure sectionnelle dans des opérations différentielles faisant intervenir à distance et de fait, ça intervient tout le temps chaque fois que vous regardez la fonction seconde de la distance. La hécienne de la distance en fonction du point d'arrivée sont des formules qui font intervenir la courbure de manière explicite ou de manière implicite. Et la courbure sectionnelle, on peut aussi dire ça c'est qu'elle est liée aux variations secondes de la distance. Genre, vous regardez la fonction distance de X à Y vous dérivez deux fois par rapport à Y c'est le genre de quantité qui s'exprime qui se contrôle à partir de la courbure. Qu'est-ce qu'on va dire aussi on va rappeler que les espaces à courbure constante sont classifiées et que localement ce sont des RN ou SN ou HN selon que la courbure est nulle positive ou négative. C'est ok si j'ai fait ici ils sont plus larges ces tableaux-là Bon et maintenant on va dire que les inégalités sigma superior ou égal à kappa courbure sectionnelle minorée et sigma inférieur ou égal à kappa donnent lieu à des théories très riches et très différentes ça dépend après des 10 valeurs de kappa qu'on met là mais il y a un esprit extrêmement différent selon qu'on travaille en courbure minorée ou en courbure majorée deux exemples parmi d'état d'état d'état on sait que si sigma si la courbure sectionnelle est toujours minorée par un nombre kappa strictement positif alors le diamètre de la variété est inférieur ou égal là pis sur racine de kappa qui exprime on a l'habitude mais il est remarquable parce que ça c'est quelque chose de purement local et ça c'est une conséquence globale sur la taille de la variété et puis autre exemple si sigma est négatif si la courbure sectionnelle est toujours négative alors on sait qu'il n'y a jamais de focalisation quand on regarde le déterminant Jacobien de la dérivée de l'exponentiel en X il est toujours différent de zéro quel que soit V ce qui veut dire que quand vous lancez une géodésique à certaines distances dans votre espace en variant la vitesse de départ vous arrivez toujours à faire varier continuement le point d'arrivée c'est une propriété qui est fausse sur la sphère par exemple parce que si vous partez du pôle sud et que vous lancez le rayon qui va jusqu'au pôle nord même en le faisant bouger bien au point de départ vous aurez une toute petite variation au point d'arrivée mais c'est vraiment courbure négative et là aussi ça c'est une propriété qui est globale sur des temps qui sont longs si vous voulez et ça c'est une propriété qui est locale donc dans les deux cas il y a du local vers global on va maintenant dire qu'il y a une théorie synthétique associée à ces deux espaces théorie synthétique je mets au pluriel parce qu'il y en a une pour la courbure minorer et une pour la courbure majorer elles se font par comparaison avec les espaces de référence et le nom qui est associé c'est C-A-T pour carton Alexandrof Toponogoff alors on va juste donner un exemple définissons C-A-T plus de 0 alors je mets le plus ici ça veut dire que c'est sigma supérieur ou égal à quelque chose et le quelque chose ici va être 0 donc comment définir C-A-T plus de 0 et la propriété suivante je prends un triangle géodésique ça c'est un triangle géodésique dans ma géométrie et donc il a 3 sommets j'en prends un en particulier et je voudrais de la crème couleur et je trace la médiane qui va ici de ce point au milieu du côté opposé bon et maintenant je compare avec l'espace euclidean e2 donc ici c'est l'espace de courbure nul et pour comparer je vais prendre le triangle qui est isométrique à celui-ci celui-ci il va être isométrique et je vais regarder la médiane je ne savais pas tout le temps d'une médiane ça ici la médiane bon si la longueur ici est plus grande que la longueur ici si la longueur à gauche est plus grande si la longueur de la médiane à gauche est plus grande que la longueur de la médiane à droite on dit que le triangle ici est plus gras et on dit que la propriété de comparaison est vérifiée longueur de la médiane supérieure ou égale à la longueur de la médiane dans l'espace de référence ok comme on sait quand vous portez des cravates ce qui n'est pas mon cas on va toujours aller du col au milieu de la ceinture si ça c'est le triangle avec la pointe ici ça c'est la longueur de la cravate et un espace 4 plus 0 c'est un espace dans lequel les triangles ont des longues cravates parce qu'ils sont gras et donc ils ont besoin d'avoir une cravate assez longue pour aller jusqu'au milieu de la ceinture donc vous retenez ça en espace 4 plus 0 c'est un espace dans lequel les cravates sont grandes et inversement en espace 4 moins 0 c'est un espace dans lequel les cravates sont plus courtes qu'elles ne le seraient dans un espace euclidean bon il y a une autre façon ça c'est une autre possibilité et il y en a plein autre possibilité la somme des angles c'est-à-dire que la somme des angles est toujours supérieure ou égale à pied ça a l'air plus simple d'intervenir que des distances c'est très facile à définir tandis que pour définir ça il faut définir ce que c'est que des angles et ça vous demande déjà un peu plus de complications alors ça c'est un exemple et il y a une théorie très développée des espaces 4 dans un contexte métrique et plus précisément métrique géodésique c'est-à-dire un espace métrique l'existence de géodésique un espace métrique où l'on a toujours où l'on peut toujours relier les points par des géodésiques et il y a une référence il y a une très belle référence pour ça c'est l'ouvrage de Burago Burago Ivanov que je vous recommande chaudement de manière intéressante l'ouvrage tout du long est plein de propriétés magnifiques dans la partie lisse il y a une liste comme ça des ratas pour la partie lisse et tout ce qui est non lisse, tout marche bien ce qui montre que c'est quand il y a des calculs qu'on se plante pas quand on manipule des propriétés topologie quelle est la topologie qui va naturellement avec la courbure alors deux réponses possibles très différentes d'abord évidemment topologie C2 sur la métrique naturelle pour avoir la conservation de la courbure le théorème de Gauss remarque en passant il est possible que C1α pour alpha assez proche de 1 suffisent il y a des résultats de rigidité liés à la courbure positive qui sont associés à une topologie C1α avec alpha assez proche de 1 mais c'est pas démontré que ça vienne avec une conservation de la courbure parce qu'il y a des phénomènes de compensation compliqués dans la courbure qui font que c'est pas clair que ces deux soient une condition nécessaire mais en revanche il y a une autre réponse qui est beaucoup plus molle et générale c'est pour la théorie synthétique la topologie de Grumhoff Hausdorf on appellera GH alors qu'est ce qu'on va dire sur la topologie de Grumhoff Hausdorf parce qu'elle va jouer un rôle important dans la suite ouais faisons on gardera les définitions pour plus tard on reviendra dessus qui en gros impose juste la convergence des distances la convergence simple des distances bon et par exemple si vous êtes dans une courbure sectionnelle positive au sens cartant Alexandrov Toponogov et que vous convergez au sens de Grumhoff Hausdorf vers un truc limite alors vous savez que aussi vous avez Sigma positive à la limite donc il y a stabilité des espaces 4 par topologie de Grumhoff Hausdorf eh ben là on a frappé tout ce qu'il fallait sur la courbure sectionnelle est-ce qu'il y a des questions alors on va passer à la courbure de Ritchie 1, 2, courbure de Ritchie bon d'abord on va voir les définitions et les deux calculs fondamentaux les deux calculs qui reviennent toujours quand on travaille avec Ritchie bon définitions là encore il y en a plusieurs mais partant de la courbure sectionnelle le plus simple si je prends X et je me donne un victoire U de norme égal à 1 alors Ritchie en X dans la direction U sera égal à la somme pour J allant de 2 a n des courbures sectionnelles entre U et EJ ou U égale E1 E2 etc EN est une base orthonormée TXM autrement dit je somme les courbures sectionnelles dans toutes les directions à J Paris ma direction U à n'importe quel autre victoire et je somme toutes les courbures sectionnelles ainsi obtenues ici c'est pour sectionnelle en gros si on veut et on peut l'exprimer comme ça aussi je fixe ma direction U je fais la moyenne de tous les plans qui passent par U et je fais la moyenne toutes les courbures sectionnelles qui sont associées ou l'intégrale alors cela cette définition s'étend en une forme quadratique sur TXM et c'est cette forme quadratique qu'on appelle la courbure de Ritchie ou le tenseur de Ritchie on peut aussi écrire sous la forme je vais l'écrire en composante Rij somme sur K Rik ou ceci sont les composantes du tenseur de Riemann en contractant par rapport à deux indices ça c'est une définition ça c'est une définition et moralement qu'est-ce qu'elle veut dire la courbure de Ritchie on va la comparer aux propriétés qu'on a rappelées sur la courbure sectionnelle moralement ça c'est pour la courbure sectionnelle ça c'est la courbure de Ritchie la courbure sectionnelle elle nous dit des choses sur les variations secondes des distances la courbure de Ritchie elle nous dit quelque chose sur les variations secondes des volumes la courbure sectionnelle elle est liée à la haïtienne de la fonction distance la courbure de Ritchie elle sera liée au laplacien de la fonction distance et puis de manière plus précise la courbure sectionnelle elle contrôle l'écartement que deux géodésiques peuvent avoir autanté si on connaît leur écartement autant 1 ça c'est une façon un peu bizarre mais qu'il se quantifie bien une propriété de type convexité je vais vous tracer des géodésiques typiques de courbure positive si vous savez quel est l'écartement autanté alors vous savez que l'écartement autant intermédiaire disons t sur 2 il peut pas être trop petit il est au moins d'une certaine quantité un truc comme ça par exemple ça serait impossible ça c'est une estimation de courbure positive au contraire si vous êtes en courbure négative ça vous dira que l'écartement peut pas être plus grand en tout cas ça contrôle ici c'est par au dessus ou par en dessous selon les cas selon ces estimations minorées au majorais par au dessus ou en dessous cet écartement et puis ici ça va contrôler la distorsion des volumes de l'application géodésique de l'application exponentielle l'application géodésique autanté sachant la distorsion au temps 1 ça c'est un peu le tableau à garder en tête et on va donner des théorèmes précis par rapport à ça il y a un truc qu'il faut garder tout le temps en tête c'est que sigma minorais ça marche bien il y a toute une théorie sigma majorais il y a toute une théorie Ricci minorais il y a toute une théorie et tout mais Ricci majorais on sait on sait ça ne marche pas en tout cas aucune conséquence aucune théorie géométrique on va dire raisonnable il y a des conséquences analytiques mais il n'y a rien qui marche et en particulier rien qui marche le conduit synthétique ça correspond aussi à ce que disait local vers global si vous avez une propriété typique de courbure positive petit en localement ça s'étend quelque chose de global ici pareil mais ici ça s'étend pas et on verra très précisément à quel endroit ça ne marche pas alors quelques formules liées à Ricci telle qu'on peut les trouver deux formules qui illustrent ce qu'on vient de dire la première liée au laplacien de la métrique dans un jeu de coordonnées géodésiques centrés en X Ricci en X s'écrit en composantes Rij égale moins 3 demi de laplacien Gij juste au point X et donc à l'ordre dominant ça correspond effectivement à prendre le laplacien de la métrique et puis une autre formule au voisinage de X volume de DX est à peu près alors au voisinage de volume de DX au voisinage de X0 on va dire est égal à moins un sixième de Ricci appliqué à X moins X0 on voit ça comme un vecteur infinitésimalement plus grand tout de X moins X0 cube tout ça multiplié par DX donc au voisinage de X0 si vous voulez qu'est ce qu'on va dire la densité de la formule de la forme volume par rapport à la mesure de Lebesgue dans les cartes ici c'est le premier ordre qui change ça c'est quadratique en X moins X0 et c'est Ricci qui le donne alors ça c'est des formules maintenant en pratique Ricci intervient dans deux calculs l'un c'est les déterminants Jacobiens de l'exponentiel de l'application exponentielle et le deuxième c'est la formule de Borneur et ce qu'il faut savoir aussi avec ces deux calculs c'est qu'ils sont équivalents vous pouvez passer de l'un à l'autre et réciproquement donc en fait c'est le même calcul et on va détailler le premier et déduire le second du premier alors oui on va pour Borneur pour les informes et même je me limiterai à des gradients mais oui tout à fait parce qu'après effectivement il y a toute une famille de Borneur qui sont toutes des communes voilà c'est ça alors on y va sur le déterminant Jacobien alors je me donne si un champ de vecteur au voisinage de X appartenant à M t'indice t de X égal exponentiel X t'xy de X donc là ça c'est X et là c'est Xie de X et hop je me déplace le long de la géodésie qui part avec la vitesse initiale Xie et puis un peu après la GX prime la GXie de X prime et je me déplace le long de cette géodésie et j'arrive ailleurs question comment est-ce que ceci comment est-ce que ceci va déformer les volumes distorsion de volumes associé à ça évidemment ça dépend de Xie mais ça dépend aussi de la géométrie selon la selon la géodésie qu'on tendance à s'écarter ou à se rapprocher et donc notre problème c'est de calculer déterminant X pardon déterminant de dx tt de X calculer ou de l'estimer bon alors pour résoudre ce problème il est très commode de se placer dans un repère mobile donc ça c'est ma géodésique et je vais mettre dessus une petite base ordonormée je vais l'appeler E ici c'est la base E égal E1 etc en et le premier vecteur de la base correspondra à la direction donc E1 sera égal à Xie de 0, Xie de X normalisé par Xie de X et je la transporte par transport parallèle tout le long de la géodésique gamma transport parallèle de l'évitivité donc je vous rappelle c'est un transport qui préserve tous les produits scalaires de sorte que la base ordonormée reste une base ordonormée elle reste posée sur la géodésique et ainsi de suite et on va maintenant regarder ben ici j'ai X le point qui est ici je vais l'appeler X plus delta E2 ici mettons qu'il y aura X plus delta E3 et ainsi de suite les petites variations dans la direction E2, E3 et ainsi de suite et je vais regarder comment sont les images et le parallèle épipède qui est là au départ qui est une base ordonormée quand je vais le regarder à l'arrivée il sera déformé au premier ordre ce sera encore un parallèle épipède mais il aura pris une ampleur différente à cause de la courbure donc ici infinitésimalement de Tt si on veut de X plus delta E1 etc. X plus delta EL bon et ce qui m'intéresse c'est de faire le rapport entre le volume de ce nouveau parallèle épipède et le volume de la base ordonormée qui lui n'a pas changé alors je vais noter J i les variations dans la direction E i d'abord je vais dire que au début le côté est delta E i disons dans la direction I ici et à l'arrivée le côté ça va être DX delta x Tt de X appliqué à E i par définition l'application différentielle on note J i de X soit J i de Tx la dérivée en delta égal 0 de Tt de X plus delta E i donc ce qui nous intéresse là ce sont des variations de géodésique et donc ils obéissent comme toutes les variations de géodésique à l'équation de Jacobi qui vous dit que si on écrit J i dans la base mobile E i de T obtenu donc par transport parallèle avec donc des coordonnées J i J la matrice J ainsi obtenue J égal J i J qui pour le coup est une brave matrice N croix N avec des coefficients qui dépendent de T vérifiez J point point de T plus R de T J de T égal 0 ou R de T est une certaine matrice qui contient la géométrie et R i J de T est égal la tenseur de Riemann appliqué à gamma point et à E i appliqué à gamma point contracté avec E J voilà alors ici il n'y a que la géométrie qui intervient évidemment là-dedans les propriétés de XI n'ont aucune importance XI il va se réinviter uniquement par les conditions initiales parce que on va devoir donner des valeurs initiales à J i A sa dérivé et c'est là que XI va revenir alors avant de continuer il faut savoir que R i J est égal R J i et que la trace de R est égal la courbure de Ricci dans la direction gamma point on continue et on se demande maintenant quelles sont les conditions initiales là on a une équation du second ordre pour la résoudonniquement il nous faut les conditions initiales donc J de 0 et puis J point de 0 alors on se souvient que T T de X est égal à exponentiel X TXI de X en particulier T 0 de X est égal à X ce qui nous montre bien que J de 0 est égal à identité et puis maintenant si on regarde J point de 0 ça revient à faire juste un coup pour T petit on va juste regarder X plus TXI de X si on va noter ça X plus TXI de X et si on regarde la variation de ça la dérivée de ça par rapport à T c'est XI la variation de la dérivée de ça par rapport à T ça va être la différentielle de XI ou le gradient de XI selon le formelier que vous choisissez donc on va dire J point de XI est égal là gradient de XI en tout cas l'opérateur qui quand on lui applique EI vous renvoie la variation de XI dans la direction EI et gradient d'opérateur vu en tant qu'opérateur TXM dans TXM et nous y voilà nous y voilà nous y voilà on a presque fini de résoudre notre petit problème donc on récapitule on récapitule celui-ci on le exprimer pour aller au bout de la logique on l'exprimera dans la base d'EI donc on a notre équation différentielle du second ordre on a la condition initiale on a la condition initiale pour la dérivée et bien c'est bien en principe à partir de ça on peut calculer grand J de T de X et ce qui nous intéresse de grand J de T de X on va le noter J calligraphier de T de X c'est ce déterminant qui nous intéresse et on va dériver un déterminant ça on sait faire D sur des T J de T X est égal à J de T X fois trace de J de T X J moins 1 de T X J point de T X J moins 1 de T X ok donc notre boulot c'est d'estimer ça ça on va lui donner un nom on va l'appeler grandu de T X et puis on va appeler de on va sous-entendre les X on verra la dépense par rapport à T donc ce qui nous intéresse c'est d'avoir accès à la trace de U alors on dérive U U est égal à J point J moins 1 U point est égal à J point point J moins 1 moins J point J moins 1 J point J moins 1 et ça ce n'est autre que U carré et puis J point point J moins 1 si on se reporte à l'équation qui est là ce n'est autre que moins R d'où l'équation U point plus U carré plus R égal 0 équation première ordre de T pricati une ordre matricielle tout est dans cette équation tout ce qu'on fait après tout ce qu'on fait sur la courbure de Richie à la fin ça se ramène à cette équation là alors ce qui nous intéresse ce n'est pas tant U point que sa trace et donc on va prendre la trace de ça alors la trace de U point ça va être pareil que la dérivé de la trace ici la trace de U carré c'est la chose que le laissait comme ça et ici la trace de R on se souvient que c'est égal à Richie Richie dans quelle direction dans la direction du mouvement gamma point je note ici gamma de T égal exponentiel X taxis de X et donc tout ça est égal à 0 et on se souvient que des surdétés de traces de U c'est le calcul qu'on avait fait c'est pareil que J point sur J du carétimique du déterminant Jacobien bon et bien voilà ce à quand on est arrivé J point sur J des surdétés de c'est ça, je dis pour de bêtises J point sur J, égal trace de U, voilà c'est ça voilà ça c'est des surdétés de J point sur J alors question que faire de ça supposons que le champ de vecteur prend la forme d'un gradient alors le gradient de X n'est autre que l'opérateur essien associé à Psi et c'est un opérateur symétrique J de 0 et J point de 0 sont symétriques et quand vous rajoutez à ça l'équation J point point plus R J égal de 0 et le fait que R soit symétrique ça implique que J de T ça implique que J de T ah oui non je suis en train de vous raconter des salades c'est pas J de T, c'est U de T qu'il faut montrer qui est symétrique alors ici J point point, J point point de 0 symétrique donc U de 0 est symétrique et comme U vérifie l'équation U point plus U carré plus R égal de 0 ici il y a un terme source qui est symétrique ici ça reste symétrique tant que U est symétrique ça c'est une équation qui préserve la symétrie et donc U de T reste symétrique pour tout le temps voilà alors quel est l'intérêt de savoir que U est symétrique ça vous donne accès à une égalité alors vous avez trace de U carré supérieur ou égal la trace de U carré divisé par N et c'est exactement ici qu'on perd l'égalité dans tous les calculs liés à Richie et qu'on n'arrivera jamais à récupérer ça pour avoir une bonne théorie de Richie majorée une fois qu'on est arrivé là tout va bien la trace de U on peut la réécrire comme J point sur J et on va se retrouver avec une inégalité fermée sur les variations de J D sur D T de J point sur J plus 1 sur N J point sur J carré plus Richie est inférieur ou égal à 0 alors un peu compliqué on voit qu'on a quelque chose qui est du second ordre par rapport au déterminant Jacobien quelque chose qui a une non-linéarité qui nous fait penser à Riccati et avec une courbure de Richie qui est en termes sources et ça c'est une égalité fondamentale pour l'interprétation de Richie alors il y a plusieurs façons de reformuler ça et elles sont toutes utiles je peux reformuler cela de trois façons utiles l'une en termes de J comme précédemment J point point sur J moins 1 moins 1 sur N J point carré J point sur J carré est inférieur ou égal à moins Richie qui L fait intervenir ce qu'on notera D égal J, puissance 1 sur N si vous voulez c'est une distorsion moyenne et ça sera D point point sur D est inférieur ou égal à moins Richie divisé par N et puis la troisième qui elle fera intervenir L égal moins logarithm de J si vous voulez c'est ce qui correspondrait à une taux de compression exponentielle associé à J et cette fois-ci la formule ça sera L point point supérieur ou égal à L point carré sur N plus Richie alors exemple supposons que si et si on veut infinitésimalement orthogonal à une petite hyper surface qu'on a quelque chose comme ça tac, tac, tac, tac ici, ici et supposons que si soit constant et que si infinitésimalement constant juste au voisinage du point X parce que j'obtiens mettons que ici j'ai mon point X et puis les autres j'y obtiens par transport parallèle de sorte que j'ai ici des géodésiques qui viennent traverser la surface orthogonalement et au bout d'un petit temps T j'obtiens une nouvelle hyper surface qui est obtenue par déformation et si je regarde si je prolonge un peu cette hyper surface dans la direction du transport un petit hyper cube qui est là un petit cube qui est là va être transporté dans un petit cube qui est là et on se demande comment est-ce que le volume correspondant est déformé et la réponse c'est que dans ce cas là J de T sera égal à la J de 0 x 1 moins Richie dans la direction X T² sur 2 plus grand tôt de T³ parce que le premier terme J point à ce moment-là il sera égal à 0 J point de 0 sera égal à 0 si vous reprenez les définitions qu'on vient de donner ça imposera ça s'est pris parfois comme une définition de la courbure de Richie soit comme ici avec le terme jacobien soit juste avec l'hypersurface parce que en fait ce qui se passe dans la direction du transport ne compte pas on pourrait regarder juste la surface de l'hypersurface et la façon dont elle est déformée par Richie alors voilà ça c'est pour les termes jacobien de l'exponentiel et maintenant on va faire le deuxième calcul c'est la formule de Bocchner alors on peut l'établir indépendamment et on va réduire du calcul précédent et c'est ça qu'on va faire et on va dire qu'on obtient à partir du calcul précédent par dualité de l'air l'agrange par dualité de l'air on va dire l'agrange de l'air alors quand on dit l'agrange de l'air je fais allusion à la mécanique des fluides point de vue l'agrangien on suit les particules et le long de leur trajectoire point de vue les rien on s'intéresse au champ de vitesse des particules dans un fluide donc ici j'ai un gamma de Tx qui correspond à la position autant t de la particule qui était initialement au point x alors que dans e l'air on s'intéresse qu'un champ de vitesse qui dépend de t et qui dépend de x donc ça c'est un champ de vitesse en x et ça c'est une position en t partant de x et la façon de faire le lien entre les deux c'est que si de t gamma de t est égal à d sur d t de gamma de t x comme on apprend dans les cours d'équation différentielle ça c'est le flow associé au champ de vecteur x alors nous on est parti avec juste un champ de vecteur x indépendant, il n'y avait pas de notion de temps mais on peut se dire au fur et à mesure que les trajectoires avancent en fonction du temps est-ce qu'on ne pourrait pas modifier notre champ de vecteur x le faire évoluer de façon que à chaque instant t ça soit comme si on était à l'instant initial et ça correspondrait à prendre le champ de vitesse des géodésiques évoluant avec le temps t alors d'où la question de base de de géométrie différentielle vous avez un champ de géodésique vous connaissez le champ de vecteur initial quel est le champ de vecteur au temps t et la réponse que vous obtenez en dérivant ça par rapport au temps comme gamma point point est égal à z ça c'est l'équation des géodésiques vous trouvez que la dérivé de ça par rapport au temps on dérive ça par rapport à zéro ça nous fait quoi ? dérompté xi plus la dérivé de xi dans la direction gamma qu'on note souvent dérivé de xi dans la direction xi ou encore xi scalaire gradient xi ça c'est comme dans et c'est comme dans l'équation de l'air la dérivé convective de u le long de u donc ce sont les équations correspondantes pour le champ de vecteur xi et l'idée c'est qu'on va faire évoluer le champ de vecteur xi et qu'on va voir ce qui sort on va en retirer une formule valable pour tous les temps alors écrivant ce qui l'en sort alors si on souvient de la définition g point zéro x est égal à gradient xi g de zéro x c'est ça qu'on avait tout à l'heure ou encore gradient xi est égal à g point g moins 1 c'est égal à u en t égal 0 et bien si on impose dérompté xi plus xi scalaire gradient xi égal 0 cette identité va se propager au fur et à mesure du temps et on trouvera gradient xi de tx et t'égale à u de tx ici attention j'ai bien mis la dépendance en temps du xi alors maintenant traduisons les différentes formules qu'on avait tout à l'heure vous souvenez de l'équation qu'on avait on avait une D sur Dt de la trace de u et on avait un trace de u carré donc trace de u carré va devenir trace de gradient xi carré et puis D sur Dt de la trace de u va être égal à quoi c'est ici que trace de u trace de u c'est donc la trace du gradient de xi c'est pareil que la divergence de xi quand j'écris ça c'est le long du mouvement donc j'écris de manière explicite D sur Dt de divergence xi de t gamma de t et quand je vais faire la dérivée, la dérivée en temps va intervenir deux fois, une fois ici et une fois là donc je vais avoir une divergence de déron tx plus un gamma point scalar gradient divergence de xi et gamma point c'est pareil que xi donc ça ça va être pareil que xi scalar gradient divergence de xi et déron tx on a vu que c'est témoin xi scalar gradient xi alors on réécrit tout ce qu'on a obtenu moins divergence de xi scalar gradient xi plus xi scalar gradient divergence de xi plus trace de gradient xi carré plus rixi dans la direction xi est égale à zéro alors ça peut-être qu'elle aura l'air un peu horrible aux yeux de certains comme ça mais c'est la formule de Böckner alors ici elle est écrite pour un xi qui est un champ de vecteur ou si vous voulez une forme qui est conque elle va simplifier si on prend xi qui est sous la forme d'un gradient si xi égale gradient xi alors qu'est-ce qu'on va dire en particulier oui ça ça va devenir pareil que le gradient de norme de xi carré sur 2 et ici la trace du carré de la hécienne ça va se transformer en une norme Hilbert-Schmidt et vous trouvez que cela devient moins la placien de gradient xi carré sur 2 plus gradient xi ce qui a l'air gradient la placien xi plus norme de hécienne de xi au carré plus rixi de gradient xi est égale à zéro alors est-ce qu'on comprend bien tout ça c'est la placien qui est associée à la structure rémanienne de la variété l'opérateur de la place bel tramis qui est aussi la divergence du gradient covariant ici on a le brave produscalaire quand on met produscalaire ici c'est la métrique du gradient avec le gradient de la placien xi ça c'est la norme de Hilbert-Schmidt au carré autrement dit la trace je dis juste norme de m au carré égale trace de transposé de m x m et puis là c'est la forme quadratique associée au rixi on peut interpréter ça donc comme une relation de commutation entre des dérivés d'ordre 2 et 3 de la fonction xi une formule de commutation quadratique un peu bizarre nous sort un terme de rixi qui est dû à la courbure et évidemment à travers le fait que derrière les opérateurs de la place et tout ça la structure rémanienne est sous-jacente qu'est ce qu'on va dire d'autre ici on est cette formule sur le plan logique donc vous avez vu elle est sur le même plan que des surdités de trace de u plus trace de u carré plus rixi égale 0 et c'est pas une formule tout à l'heure on avait dit c'est embêtant qu'on n'avait pas une formule fermée sur la placien sur des termes d'enjacobien ici ce qu'on aimerait bien avoir c'est une formule fermée faisant intervenir les trucs qu'on aime bien comme le gradient et la placien l'homme de Hilbert-Schmidt on sait pas trop qu'on va en faire et donc c'est ça qu'on va maintenant qu'on va maintenant faire quelle inégalité on peut en sortir d'abord je vais faire un petit schéma pour résumer pour résumer on a vu tout à l'heure on s'est intéressé à J de t égal déterminant Jacques de dx exponentiel x t grave psi de x on avait J égale et on avait J point sur J est égal à trace de u et on avait une équation qui était d sur d t de trace de u plus trace de u carré plus rixi égale 0 et donc ce qu'on a vu c'est que cette équation est équivalente à Böckner on a la place de grad psi carré sur 2 plus grad psi ce qui a l'air gradiant la place cnpsi plus norme de cnpsi au carré plus rixi égale 0 et ce qui fait lien entre les deux c'est l'équation qu'on avait tout à l'heure alors ce qu'on avait tout à l'heure comme équation c'est dérompte xi plus xi ce qui a l'air gradiant xi égale 0 maintenant si vous cherchez xi sous la forme gradie en psi dépendant de t dépendant de x vous trouvez que c'est satisfait pour l'équation d'un Milton Jacobi dérompte psi plus gradiant psi carré sur 2 égale 0 donc c'est ça qui vous permet de faire le pont entre les deux l'évolution de psi selon l'équation dérompte psi plus grad psi carré sur 2 égale 0 et qui rend les deux évolés équivalents alors on y est presque on y est presque on peut déduire une inégalité de Buchner et là on avait une inégalité je vais vous donner plusieurs par exemple l point point supérieur ou égal à l point carré sur n plus xi etc ici on peut sortir une inégalité qui sera moins la placien grad psi carré sur 2 plus grad psi gradiant la placien psi plus la placien psi carré sur n correspond à appliquer Cauchy-Schwarz dans ce terme plus Ritchie est inférieur ou égal à 0 et là on a quelque chose qui fait plus intervenir la etienne mais qui fait intervenir le laplacien et le gradient ok so far second grande de trois variations et raffinement premier raffinement possible on peut enlever la direction du transport car la courbure ne se fait pas sentir dans la direction du transport du déplacement géodésique bon ça veut dire quoi peut-être je suis sur ma variété rimanienne là je regarde la distance entre 2 points peut-être qu'elle va augmenter en fonction de la courbure mais si je regarde 2 points qui sont sur une géodésique si je transporte le long de cette géodésique la distance entre les 2 points ne variera jamais les effets du transport ne sont pas sentis dans la direction dans laquelle on se déplace et on peut à partir de là enlever cette direction du transport avec une petite gymnastique alors si vous écrivez la matrice U de T sous la forme disons il y aura un premier coefficient correspondré au transport dans la direction parallèle ici des trucs ici un truc qui serait U dans la direction orthogonal les coefficients ici a priori ne sont pas nulles mais on va écrire J parallel de T égal exponentiel intégral de 0 à T de U parallel de S dS et J de T égal J parallel de T J orthogonal de T la distorsion tel qu'elle est sentie orthogonalment à la direction des placements bon et bien vous refaites les calculs il y a une petite gymnastique vous en déduisez pareil L L orthogonal qui sera moins log J orthogonal ou encore D orthogonal qui sera la distorsion typique J orthogonal attention cette fois puissance 1 sur N et pas un sur N et vous trouvez des inégalités qui ressemblent beaucoup à celles qu'on a eues par exemple L point point orthogonal supérieur au égal à L point orthogonal carré sur N moins 1 plus Richie ou encore D orthogonal point point sur D orthogonal inférieur au égal à moins Richie sur N moins 1 donc ça c'était un premier raffinement possible quand vous regardez cette inégalité là vous avez l'impression qu'elle est strictement meilleure que la précédente mais en fait les deux sont équivalentes quand vous voulez re rajouter la direction du transport vous retrouvez l'inégalité précédente vous allez me dire est-ce que c'est intéressant et la réponse est oui c'est intéressant et alors c'est associé souvent à des raffinements de constante exemple où la nuance est importante regardons l'équation L point point supérieur au égal à L point carré sur N plus K avec K strictement positif bon ça c'est une équation de Riccati oublier le K vous avez un truc du genre L point point supérieur au égal à L point carré ça c'est un truc qui est tendance à exploser c'est la même forme que X point égal X carré sauf que ici X ça serait L point si ça explose on peut définir sur tous les temps si ici on rajoute un truc qui est strictement positif on a envie de dire que c'est encore pire et de fait en éficiant cette équation vous pouvez en déduire on peut montrer que les solutions ne sont pas définies sur un intervalle de temps plus long que Pi racine de N sur K bon et ça ça nous fait penser quelque chose et le quelque chose c'est le theorem de Bonnet Myers sauf que c'est pas la bonne constante la bonne constante ça serait Pi racine de N moins 1 sur K ceci nous montre que le diamètre de M est inférieur au égal à Pi racine de N sur K mais la bonne constante Bonnet Myers est Pi racine de N moins 1 sur K et cette bonne constante vous l'obtenez en regardant juste la direction orthogonal on la trouve effectivement en étudiant l'équation vérifiée par L orthogonal bon ça c'est le premier raffinement deuxième raffinement possible qui serait si on veut une variante on peut changer la mesure de référence et la dimension de référence changer la mesure de référence pourquoi déterminant Jacobien c'est une comparaison de volume déterminant Jacobien d'une application T c'est égal à la limite du volume de T de BR sur le volume de BR quand R tend vers 0 donc il y a le volume qui intervient là-dedans mais peut-être que je suis dans un problème ou c'est pas le volume qui est intéressant mais c'est une autre mesure de référence vous voudrez avoir une notion plus générale pour un autre volume pour une mesure alors on va pas la prendre quand même n'importe comment on va dire qu'elle est gentille par rapport à la mesure volume et donc on va même supposer qu'elle a une densité exponentielle moins V par rapport au volume et donc ça va tordre tous les trucs mais on aimerait bien en tenir compte et puis si le volume est remplacé par exponentielle moins V de X on aimerait aussi remplacer l'opérateur Laplacien par Laplacien moins grad V scalaire gradiant qui est l'opérateur naturel dans ceci est la mesure invariante dans ceci est la mesure invariante dans la formule de Borner par exemple et puis aussi la dimension peut-être qu'on la connaît pas a priori quand on résonne en termes de volume on n'a pas donné la dimension la page de rôle particulier peut-être qu'on est en train de comparer des variétés qui ont une dimension différente peut-être aussi comme ça arrive souvent quand on fait de la convergence d'espace vous avez des espaces d'une certaine dimension qui converge vers un espace dimension plus petite ou plus grande en ce cas ce sera plus petite mais dans ce cas-là vos inégalités vous aimeriez bien dire qu'un espace va venir comme limite d'une suite d'espace de grande dimension il va faire quelque chose avec ça exemple typique la Gaussian c'est la projection d'une sphère de très grande dimension donc vous aurez envie tout naturellement de faire des comparaisons avec des dimensions qui sont pas la dimension de l'espace limite d'autre exemple il y a un mat Dx égal exponentiel minus x2 sur 2 sur racine de 2pi Dx et projection de sphère de très grande dimension et on aimerait bien faire des comparaisons entre cet espace-là et celle-ci avec lequel on voudrait comparer alors vous vous dites je veux garder ma belle algèbre qui marche bien avec Bocner et tout ça toutes les jolies inégalités mais en changeant éventuellement la mesure de référence et la dimension le problème qui se pose à vous et le suivant comment faire pour garder les bonnes formules les bonnes formules ça veut dire quoi L point point supérieur ou égal à L point carré sur grandaine ou le grandaine ici c'est un machin arbitraire et le L point point ici il incorpore la mesure nu la mesure nu dans la définition du volume jacobien et puis même chose je voudrais avoir L grade psi carré sur 2 moins grade psi squalère gradient L psi supérieur ou égal à L psi carré sur n plus quelque chose où L est l'opérateur plus ou moins grade v squalère gradient alors cette combinaison là qui intervient tout le temps on lui donne un nom on l'appelle gamma2 de psi on va le prendre comme définition il faut lui penser comme une sorte de commutation entre l'opération prendre le gradient au carré et d'appliquer L si L était une dérivation ça se serait égal à 0 il n'y a pas une dérivation il y a un reste et ce reste on l'appelle gamma2 alors la solution c'est de remplacer richi par richi n nu qui dépend de n qui dépend de nu une façon simple c'est richi plus la sn2v moins grade v temps soeur grade v divisé par grand n moins petit n et ça ça marche on peut disons n est strictement supérieur à n ou n égale n et v égale 0 et alors vous avez tout ce que vous voulez alors on a L point point supérieur au égal à L point carré sur n je mets un petit nu ici pour rappeler que la définition du L c'est le déterminant Jacobien ou on tient compte du mesure du volume nu plus richi nu on a moins et on a gamma2 de psi supérieur au égal à L psi carré sur n plus richi n nu et puis les autres formules que j'ai donné aussi etc elles s'adaptent et puis on peut aussi enlever une dimension si on veut on peut enlever une direction ça c'est le deuxième raffinement de 4 la condition cd de kn c'est celle qu'on vient d'écrire moralement ça dit richi supérieur au égal à k dimension inférieur au égal à grande n mais on cherche pas à séparer la bande sur la dimension de la bande sur richi elles viennent toutes les deux ensemble et par définition mg nu vérifie cd de kn alors ici mg c'est une variété riemannienne lisse nu c'est exponentiel moins v v lisse tout est lisse ici si elle vérifie l'une des conditions équivalentes suivantes alors on peut faire une longue liste je vais donner les principales la première c'est gama2 de psi supérieur au égal à k grad psi carré plus L psi carré sur n la deuxième c'est L point point supérieur au égal à L point carré sur n plus k gamma point carré avec les mêmes notations que dans le calcul sur le déterminant Jacobien la troisième c'est richi nu supérieur au égal à k fois g la maitrie crimanienne la quatrième c'est des points points je vais l'écrire ici pour des inférieurs au égal à moins k sur n gamma point carré ça c'est si n est fini la quatrième la dernière ça serait L point point orthogonal supérieur au égal à L point orthogonal carré divisé par grand en moins 1 plus k gamma point carré bon et pour en écrire d'autres et ainsi de suite toutes ces propriétés sont équivalentes qui réduisent le fait qu'il y a une borne inférieure sur richi une borne supérieure sur la dimension ici k c'est n'importe quoi dans r n'importe quel nombre et grand n est supérieur au égal à la petite n bon beaucoup de définitions est arrivé le moment de donner des exemples et on va ici donner les exemples les plus importants qui sont les espaces de référence et l'idée que cd de kn pour énormément de choses permet de comparer l'espace qui vous intéresse à l'espace de référence donc la philosophie si m vérifie cd de kn alors ces propriétés analytiques géométriques disons pour beaucoup de pour beaucoup de phénomènes seront au moins aussi bonnes que celle de l'espace de référence l'espace de référence que je vais noter skn l'espace auquel on va le comparer tout à l'heure courbure sectionnelle je vous ai dit pour le définir on compare la forme des triangles la forme des triangles dans le plan ici on va comparer systématiquement à un espace de référence kn qui va bien quel est cet espace de référence ce sont les espaces skn de sigma égale constante donc les espaces de référence les plus naturels vont être la sphère de dimension n de rayon racine de n-1 sur k si k est positif et n appartient à grand n ou l'espace qui dient dimension n si k égale 0 et n appartient à grand n ou l'espace hyperbolique de rayon hyperbolique racine de n-1 sur k si k est strictement négatif et n est fini ça ça vous donne des espaces modèles pour toutes les valeurs entières de n mais il y a aussi des espaces modèles correspondant à n infinie et correspondant à n fractionnaires et en fait il y a une famille naturelle d'espaces de dimension 1 qu'on obtient en projetant les espaces modèles sur une droite il y a aussi les espaces monodimensionnels on va les appeler skn1 défini par alors par quoi en courbure positive sur l'intervalle moins racine de n-1 sur k p sur 2 fois p sur 2 plus racine de n-1 sur k p sur 2 ça n'a pas d'importance que vous fermiez ou que vous ouvriez les crochets ici avec la mesure nu de dx est égale à cosine n-1 puissance n-1 de racine de k sur n-1 x dx j'ai pas précisé ici mais pour tous ces espaces c'est la mesure de référence volume qu'on prend ici en revanche c'est pas du tout la mesure volume qu'on prend c'est une mesure qui a une densité et donc ça ça marche si k est strictement positive et n appartient à 1 plus l'infini maintenant k nul on va prendre r on va le munir d'abord k négatif on va le munir de cosine hyperbolique racine de valeur absolue de k sur n-1 x dx ça c'est pour k négatif je vais prendre r plus muni de x puissance n-1 dx pour k égale 0 et puis je vais prendre pour finir r muni de exponentiel k x2 sur 2 dx pour n égale infinity ça c'est infinity ça c'est infinity et n infinity k n'importe comment voilà donc là vous avez encore des espaces dans ces espaces ça va être très facile par exemple d'étudier des propriétés spectra les propriétés isopérimétriques et l'idée c'est que cd de k n va se comparer à ces espaces de référence va permettre de comparer la variété à ces espaces de référence alors je vais prendre 5 minutes pas plus pour donner 2 exemples et 2 propriétés alors 2 propriétés qui font le lien avec d'autres géométries premièrement 4 plus k pas implique cd de n enfin ici juste sigma supérieure gale k pas implique cd de n n moins 1 k pas c'est normal Ritchie est obtenue en ajoutant des courbures sectionnelles donc si vous faites une hypothèse de minoration sur chaque courbure sectionnelle c'est d'imposer une hypothèse de minoration sur chaque courbure de Ritchie si c'est lisse on verra à la fin du cours que c'est vrai aussi si c'est non lisse ce sera autrement plus du sport et puis l'autre propriété c'est que dire que m et cd de n moins 1 n est équivalent à dire que le cone métrique construit sur m et cd 0 n plus 1 et bien sûr on peut toujours s'y ramener à partir de cd nk cd k n si k est positif par un changement par un changement d'échelle juste en dilatant ou en contractant les distances bon alors ici il y a quand même je triche un peu quand j'écris ça parce que le cone construit sur m en général il est pas lisse et cependant 1 k dans lequel le cone est évidemment lisse et c'est le quart kétipal c'est quand je prends m qui est la sphère le cone construit sur la sphère c'est l'espace ocudien et l'espace ocudien il est évidemment ces 0 n plus 1 donc exemple la sphère sn à sa courbure de Ritchie qui est comme n moins 1 et le cone c'est rn ou l'espace ocudien e n plus 1 tout entier qui n'a pas de courbure bon et alors avant de donner une liste la prochaine fois plus longue de propriété qui se prêtent à cet exercice je vais bien donner juste 2 qui sont liés au contrôle du volume et qui se ramènent à à l'iso périmétrie donc exemple où la philosophie s'applique le premier qui est peut-être capture le mieux ce que veut dire la courbure de Ritchie en termes de volume mais qui est une invention récente c'est Minkowski courbet ça date des années 2000 corps d'Héroskin et d'autres et collaborateur puis ça a été généralisé et re-généralisé et ainsi de suite mais ça dit quoi si m vérifie alors je donne dans la version la plus simple cd 0 n ça vous dit penser Ritchie positive dimension majorée par n alors il vérifie une inégalité similaire à Broud Minkowski dans Rn bon Broud Minkowski dans Rn on le connaît ça dit que si je prends deux ensembles x et y alors la somme de Minkowski x plus y puissance 1 sur n ça c'est la mesure de le Begg et supérieur au égale la x1 sur n plus y1 sur n bon en termes géométriques ça c'est pas terrible parce que la somme comment transporter la notion de somme dans un contexte géométrique quelconque mais ça devient beaucoup plus facile si on interprète x plus y non pas comme x plus y donc deux fois x plus y sur 2 x plus y sur 2 c'est un milieu ça a un sens géométrique et le volume de deux fois un ensemble pris la puissance 1 sur n c'est pareil que deux fois le volume de cette ensemble pris la puissance 1 sur n parce que la mesure de le Begg est homogène donc ça on peut le réécrire sous la forme x plus y sur 2 puissance 1 sur n supérieur au égale à 1 demi de x puissance 1 sur n plus y puissance 1 sur n et sous cette forme là c'est très engageant et c'est effectivement ça qu'on démontre si m vérifie cd0n alors quel que soit xxy2 en spas compact dans m eh bien l'ensemble des milieux midpoints entre x et y on va écrire comme ça l'ensemble des milieux de l'xy alors je prends le volume et je l'élave à la puissance 1 sur n c'est supérieur au égale à 1 demi du volume de x à la puissance 1 sur n plus le volume de y à la puissance 1 sur n et vous allez me dire c'est quoi un point milieu bah si j'ai un point dans y c'est un point dans y je dirais que leur milieu c'est le point milieu de n'importe quel géodésique qu'il est relié et donc elle me traduit exactement ça c'est n'importe qui que sous une condition cd0n il y a beaucoup de points milieux beaucoup de points intermédiaires c'est exactement l'esprit de ce que c'est qu'au bur de Ritchie l'interpolation est autant intermédiaire il y a beaucoup de points donc ça c'est un exemple emblématique sur le contrôle du volume et si vous voulez donc qu'on trace l'ensemble tous les milieux il y a un volume qui est assez conséquent qui est jamais trop petit et vous voyez c'est exactement la même inégalité que dans l'espace secrédien le deuxième exemple que je vais juste mentionner qui est celui qui est l'un des au fait d'armes de Michat Gromov c'est l'inégalité dite de Lévi Gromov autre exemple donc deux, autre exemple Lévi Gromov vous prenez dans m alors je vous donne la version avec un volume mgnu qui vérifie cd2n et vous prenez un ensemble et vous prenez un ensemble A et puis vous voulez vous intéresser au rapport vous voulez montrer que le périmètre de A est assez gros par rapport à A et ce que ça dit c'est que ça fait la comparaison avec la sphère avec l'espace Sn de rayon racine de n-1 sur k l'espace de référence et étant donné A ici et la sphère ici qui a la bonne courbure et la bonne dimension je définis une calotte sphérique je définis une calotte sphérique B tel que volume de A sur M égal volume de B sur le volume de la sphère tel que le volume relatif est le même alors le volume de du périmètre de A mesuré dans M avec une dimension n-1 sera supérieur ou égal au volume du périmètre de B ici mesuré dans la dimension n-1 donc l'inégalité isopérimétrique si on veut le profil isopérimétrique de M s'il vérifie CDKN est au moins aussi bon que celui de la sphère model ça c'est l'autre exemple à partir de la prochaine fois je ferai une liste de propriétés pour lesquelles ce principe s'applique des inégalités spectrales des inégalités de Sobolev des inégalités isopérimétriques des contrôles de la chaleur beaucoup de choses comme ça et de manière générale tout ce qui fait intervenir des volumes et des distances et on trouve des principes de comparaison basés sur CDKN donc ça c'est l'Evy Gromov et l'un début du cours donc c'est de vous expliquer comment démontrer ça dans un cadre non lisse et généralisé à d'autres cadres tels que par exemple des espaces d'Alexandrov ou des espaces finislériens alors pourquoi c'était emblématique et pourquoi j'avais cité ça dans mon bouquin comme l'un des problèmes plus excitants dans l'affaire de l'Evy Gromov c'est une preuve analytique dure il y a un moment où il faut appliquer des résultats théorégémétriques de la mesure qui demandent beaucoup de régularité résultats tels qu'on les faisait dans les années 70 avec Almgren et tout ça sur la régularité des surfaces en fonction de courbures moyennes constantes et donc c'est une preuve qui est très gourmand en régularité qui se porte très mal et en même temps c'est une inégalité fondamentale on a envie de dire que l'iso périmétrie c'est ce qui a de plus fondamentale comme inégalité géométrique et celle-ci porte avec juste la courbure de Ritchie donc on a envie qu'elle soit vraie dans la plus grande généralité possible et jusqu'à il y a quelques mois ça restait encore vrai que dans un cadre extrêmement lisse et d'un coup la situation s'est débloquée maintenant on sait faire sans supposer aucune régularité autre que juste dire que les géodésiques vérifient une propriété de déterminisme et qu'il y a donc la bande de courbures voilà donc le programme question chers amis tu as fait l'allusion disons à des caliniques en somme Rimalien c'est une colline depuis que tu as une suite d'événements climatiques, d'événements géologiques qui transforment une montagne avec beaucoup d'aspérité ou tu as des convexités des concavités en chaque point etc. Est-ce que dans ce que tu as évoqué tout à l'heure comme calimite ce genre de situation est abandonné ? oui alors qu'on en parlera dans une certaine mesure oui parce que typiquement si tu mets une borne d'un côté ou de l'autre ça va te faire que les uns ou les autres tu pourras avoir par exemple des singularités de type conique des choses comme ça oui on parlera de ça mais on remarque toute cette théorie c'est disons sur ces deux en somme des dérivés secondes ou tu as des produits scalaires est-ce que est-ce qu'on peut aller un peu plus loin c'est-à-dire que tu considères des sections produits scalaires au sens que tu veux dire c'est L2 c'est genre quelque chose qui est L2 tu considères des sections glanes en somme disons mais est-ce que tu peux alors dans la vie il y a les espaces métriques bon dans la géométrie on va dire que l'espace métrique c'est le plus fondamental même si évidemment on peut aussi les espaces topologiques après si on veut faire plus précis que les espaces métriques si on veut faire plus général les espaces métriques plus réguliers il y a les espaces métriques géodésiques dans lesquels les géodésiques sont bien définis bon ensuite plus particuliers il y a les espaces métriques géodésiques non branchants non branchants ça veut dire que les géodésiques ont une sorte de propriété de déterminisme et que vous n'avez jamais quelque chose comme ça de géodésiques qui peuvent se séparer revenir vous n'avez jamais de bifurcation de géodésique ça s'est plus régulier ensuite espaces métriques géodésiques non branchants vous avez les espaces de type alors par rapport à ce que j'ai donné il y a va y avoir les espaces et là on va mettre deux branchements les espaces de type carton d'Alexandropht Ponegov avec une borne inférieure sur la courbure sectionnelle et puis ici les espaces lisse ici c'est du genre lisse mais avec une métrique qui est donnée globalement par une norme a priori pas un produscalaire ici c'est genre produscalaire mais non lisse et tous les deux admettent comme cas particulier les variétés rimaniennes ça c'est un peu ce qu'on peut garder en tête et évidemment les variétés rimaniennes eux qui diens comme les plus gentils les plus sympathiques des espaces si on veut il y a une bifurcation ici on peut regarder aussi espaces de Finzler non lisse mais c'est un peu plus difficulté c'est pas spécialement à la mode mais cette dichotomie elle est vraie et il y a ces deux grandes classes d'espace les Finzler lisse d'une part les quatre plus d'autre part qui ont été très étudiés ici nous on va se situer en fonction en fonction des sous-hypothèses qu'on regardera on sera dans ce cas ou ce cas on sera on sera à dire quelques trucs pour ça mais l'essentiel se passera là là là et on verra qu'il y a un moyen de faire un levee Gromov qui s'applique ici à ce niveau là et qui donc englobe aussi bien des espaces 4 plus que des espaces Finzler lisse alors qu'avant ils étaient connus seulement ici voilà une autre question tu vois bien c'est la mise en jambes en première génération pour les génètes du non lisse c'est des espaces plus gentils en dimension assez les arbres qui n'ont pas d'approprié le poids que tu as fait ils sont ils sont là ils sont là ouais je suis d'accord ça c'est pas une théorie qui Richard marche très mal les arbres Richard marche très mal on revient à ce que je disais courbure sectionnelle majorée ça marche bien courbure de Richard majorée ça marche pas alors je parlais de Yann Olivier et les autres c'est pour un cas qui va se brancher à partir de là qui serait typiquement ils vont regarder des chaînes de Markov dans des espaces discrets là c'est encore autre chose mais disons on peut regarder de quelle on peut dire peut-être qu'ils se rapprochent des uns ou des autres en par approximation et c'est encore autre chose mais les arbres c'est clair non ça marche pas enfin je dis je dis c'est clair ça marche pas peut-être qu'un jour quelqu'un trouvera une façon de le faire marcher en modifiant quelque chose fondamentalement mais avec ce que j'ai dit là ça marche pas eh ben c'est bien merci