 Bueno, valientes gracias por sobrevivir a la tercera charla con el calor que hace y la fecha que es 22 de diciembre. Bueno, como les dije en las otras dos charlas la idea de la última charla ya es salirnos un poco de cómo veníamos que era estudiar las cosas básicas de algebras del día. Ahora lo que vamos a hacer en la charla de hoy que es básicamente divulgativa, no vamos a profundizar en nada, pues si nos ponemos a profundizar en cada una de las cosas que vamos a decir, no les cuento nada. En particular porque vamos a usar conceptos de economía que lo que pretendo es al principio de la charla dar un pantallazo de qué quiere decir cada una de las palabras y ustedes pueden su imaginación para tratar de entender a qué se refiere y después lo que quiero es usando un artículo que básicamente es de ecuaciones diferenciales y algebras de ley, mostrar cómo se adaptó ese resultado a un modelo que suelen usar en economía para responder una pregunta que la voy a mostrar ahora, usando justamente ese trabajo que es cómo se resuelve una ecuación diferencial en derivadas parciales de operadores, no es una ecuación diferencial sencilla, cómo se resuelve usando algebras de ley y cómo transformar ese problema al contexto en el cual aparece que es en economía. Y ese es el objetivo de la charla de hoy que obviamente no pretendo que sepan de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales donde los objetos son operadores ni nada que se parezca, solo que tratemos de entender cómo es la lógica con la cual se usa esa herramienta para resolver el problema en economía. Entonces lo primero que quiero contarles al menos es en qué contexto aparece el problema que vamos a resolver. Hay una cantidad de trabajos en realidad que usan algebras de ley para resolver problemas de economía y finanzas, hay una serie de trabajos que son de LO y HUI que uno de esos es el que vamos a tratar de desarrollar, ahí los enumero están en el 2001 y el 2006, una serie de tres artículos donde lo que ellos tratan es de resolver ese problema que está ahí, estudios de la valoración de derivados multiactivos introduciendo diversas técnicas basadas en algebras de ley, terminos que no entendemos ninguno, pero bueno la idea es que les quiero definir ahora en un ratito qué son los derivados estos que aparecen y la parte de algebras de ley en teoría es la que deberíamos de entender. Entonces como dije el trabajo que queremos desarrollar es el tercero que aparece ahí y lo que vamos a usar es un trabajo que usa justamente ecuaciones en derivadas parciales que está resuelto en términos de algebras de ley, son las cosas que vamos a tratar de hay un montón de trabajos que no son de ellos también en el mismo sentido tratando de resolver problemas de finanzas usando ecuaciones usando algebras de ley, ahí los enumero para que al menos tengan una idea de cuáles son las cosas que están estudiando o que han estudiado, en el 2002 estuvo estudiando problemas financieros correspondientes a la toma de decisiones bajo riesgo por parte de agentes del marco de la teoría de funciones de utilidad eso al menos uno más o menos la frase tiene a entender lo que dice, problemas financieros correspondientes a la toma de decisiones, qué decisiones puedo tomar bajo qué riesgos y cómo me combina trabajar para obtener lo que quiero que son ganancias claramente en este contexto. Tenemos otro trabajo también en esa línea que usa este diferencia a los otros, usa grupos de ley, nosotros no introducimos nada de la noción de grupos de ley pero tenemos la noción de algebras de ley y de grupos de ley y esos conceptos están muy relacionados entre sí pero bueno si me ponía a hablarles de las dos partes, las dos patas de la teoría de ley y su relación no iba a poder hacer nada de lo que quería contarles hoy es toda una parte compleja también la teoría de ley que está más bien de grupos de ley para esta más bien motivada la parte geométrica de las estructuras nosotros nos concentramos puramente la parte algebraica, la teoría de ley tiene un contexto geométrico que me lucra los grupos de ley que son variedades con estructuras adicionales de grupo y que justamente tienen relación con las algebras de ley y una forma muy natural de relacionarlas es mirando el plano tangente y la identidad, plano tangente de esa variedad de la identidad me da una algebra de ley y ahí uno tiene una forma de ir de la teoría de grupos de ley algebras de ley y las correspondencias que hay entre ellas bueno en algunos de los trabajos usan algebras de ley y en otros usan grupos de ley y ahí otro trabajo para para motivar que realmente hay mucho desarrollado en la parte de economía usando teoría de ley y ahora sí una serie de definiciones nada más para tener presente que son los objetos que van a aparecer en un ratito y que ya aparecieron ahora cuando introduje alguno de los trabajos conceptos como derivado financiero que lo que quiere decir es que cualquier producto financiero cuyo valor está basado en el precio que puede ser un determinado activo se hace basa en el precio de algo que estamos elaborando o algo que estamos interesados en vender o algo que estamos interesados en producir o que sea y que es ahí lo dice consiste en operaciones cuya liquidación se realiza mediante la diferencia existente entre el precio del mercado activo y el precio pactado en la operación tenemos una diferencia entre lo que uno fija como como precio y lo que el mercado determina sobre ese mismo objeto a mí me voy a leer una transparencia la verdad yo pero quería ponerlo a las definiciones para que sepan lo que se está como parece re poco diáctico ponerme a leer lo que está escrito ahí pero bueno son un montón de conceptos que quiero que los vean al menos tenemos un derivado financiero depende de un solo producto un derivado financiero multi activo a depender de más de uno puede estar dependiendo de más variables dentro de estos derivados tenemos uno que se llama nopción que es esta fácil entender lo que dice que es el derecho a comprar o vender un activo en el futuro un precio dado uno pacta un precio y vamos a llamar opción al derecho de comprar o vender ese activo a ese precio los le llaman opción a ese derivado tenemos diferentes tipos de opción como le llaman ahí o derecho a comprar o vender que son las estándar las que más suelen usar para modelar los problemas que es el estilo americano y el estilo europeo el estilo americano lo que dice es que uno puede realizar la compra o venta de el activo en cualquier momento anterior a la fecha de vencimiento del contrato uno tiene derecho a vender o comprarlo sin necesidad de esperar que venza un cierto contrato que fue lo que pactaron con la otra parte y el estilo europeo no es lo contrario uno solo puede realizar la compra a la venta cuando vence el contrato son dos estilos diferentes que se manejan cualquiera los dos y lo que nosotros vamos a ver en el ejemplo concreto es vamos a trabajar con un modelo que usa el segundo el estilo europeo sea que la cuestión que vamos a estudiar modela justamente eso que solo se puede ejercer el derecho de compra a venta cuando vence el contrato cualquier otra posibilidad que quede fuera de estos dos y lo llama exótica y dentro de estas opciones exóticas están las que se llaman opciones de barrera las opciones de barrera lo que me dice es me fija como tiene la palabra me fija barreras bajo las cuales yo puedo comprar o vender si cruzo esa barrera hay diferentes tipos de barrera y yo las menciono cuáles son pero básicamente lo que me dice es el estilo americano me dice que yo tengo derecho a comprar o vender en cualquier momento antes de que se me vence al contrato si yo le pongo una opción de barrera le estoy diciendo bueno puedes comprar o vender pero siempre y cuando te salgas de la condición adicional dada que se llama opción de barrera como dice no la activación la cancelación depende del precio activo alcance en los eternales valores umbrales son cantidad de condiciones que le dan a los a la producción que quieren como les dije tenemos diferentes tipos de opciones de barrera una que me dice que se puede activar la opción estándar si el precio alcance un cierto valor fijado que obviamente el contrato tiene un periodo de duración si yo fijo un tiempo acordado al partir del cual se tiene que cumplir una condición que es un precio fijado si se alcanza ese ese valor umbral yo a partir de ese momento tengo derecho a vender o a comprar el producto con el cual estoy trabajando eso se llama barrera de entrada que se divide en dos clases que es abajo del precio inicial o arriba del precio inicial yo como supongo ustedes comprando un producto un cierto precio y después lo quieren vender pero hay que ir por decir algo entonces el contrato les dice bueno ustedes lo pueden vender a partir de cierto momento siempre y cuando ese precio superé cierto el precio en mercado no superé cierto valor ese precio de que podemos dar de umbral pues en inferior al cual yo compré el producto o superior al cual yo compré el producto eso depende del mercado y de lo que sea que estoy con lo que estoy trabajando entonces dividen en dos clases abajo y arriba de la opción de entrada y después tenés otra opción que es la de salida que me dice que si yo paso en un cierto una cierta una cierta barrera el contrato expira no sea en lugar de expirar cuando el contrato llega a su fin por fecha pactada expira antes si supongan no sé la pérdida es muy grande no se baja mucho el precio y entonces ya no conviene a comprar ese producto entonces el contrato expiro y de vuelta tiene las dos opciones de arriba y abajo después también de estos estas opciones de barrera que uno puede elegir dentro de sus contratos puede variar puede ser móvil que va a depender del tiempo bajo ciertos ajustes que los decide las dos partes que están realizando este contrato es bueno ahí lo lo obvio no cualquier producto financiero presenta una problemática de la fijación del precio o sea lo que nosotros queremos es model es elegir un precio para un cierto producto que me de ganancias básicamente todo lo que estoy diciendo todos los términos que se usaron de mencionar an anteriormente son condiciones entre la persona que compre la persona que vende lo que oferta la oferta y la demanda para obtener ganancias de los dos lados no entonces como uno elige ese precio hay multifactores que van a afectar la producción o la distribución o la venta de un producto entonces lo que tratan es de encontrar modelos que usando cierta cantidad de variables que obviamente estos no son modelos más elementales realmente están utilizando variables reales uno puede trabajar con modelos utópicos y decir bueno en un mundo ideal donde lo único que importa es la mano de obra y el precio fijo de mercado entonces yo tengo modelos que son ecuaciones mucho más sencillas de resolver pero en la práctica esos modelos cuando uno empieza a ver todo lo que involucra la economía en sí no te da información real entonces estos son realmente modelos de la en la práctica en la vida real que se usan en la vida real donde realmente hay un montón de variables que aparecen para poder determinar el precio como cómo determinar el precio un cierto producto para obtener lo que una empresa quiere que es ganancias entonces ya de por sí miren lo que es la ecuación que usan para modelar el precio del activo lo que lo que están interesados no como encontrar el precio del activo de un cierto producto usando factores externos que son los que me van a permitir decidir cómo trabajar para obtener ganancias no hay un montón de variables hay que no dice lo que son pero ahora ya les digo es un producto en derivadas de una ecuación diferencial donde que tenemos hay una de las variables que mide la tasa de crecimientos que es muy después tenemos otra que sigma hay un parámetro beta y hay otra variable que es z sigma es el parámetro de volatilidad la volatilidad del mercado no está midiendo es bastante fino el modelo porque mide la volatilidad del mercado o sea uno hay algunos modelos que esto lo ignoran yo no no contemplan que puede fluctuar de manera volátil tenemos otro parámetro que se llama parámetro de elasticidad de la función de volatilidad ese parámetro varía entre 0 y 1 para que tenga sentido estáítico económico perdón y tenemos un proceso estocástico que en general bueno acá son solo términos que si alguien ha visto algo de probabilidad puede que le suena lo que son los los procesos estocásticos o los movimientos braunianos pero bueno eso es el modelo que están usando hay de la variable zeta y ahí les cuento lo que quiere decir volatilidad en las finanzas es el riesgo de de un derivado financiero en terminado periodo de tiempo más concretamente la volatilidad mide la defiación estándar de presentar los cambios de valor determinado derivado financiero en el unizón de temporales son riesgos la volatilidad mide un riesgo claramente la palabra lo da a entender y ahora lo concreto a lo que nosotros queremos yo todo lo otro son terminología para el menos entender que esa ecuación diferencial que nos va a aparecer en nuestro contexto está modelando el precio un cierto producto en el mercado usando parámetros variables que están midiendo realmente lo que puede pasar como son la volatilidad como dijimos recién de la producción el costo del producto en sí y entonces si creemos que esta ecuación en derivadas parciales realmente mide un proceso una producción en finanzas lo que queremos es ver bueno yo tengo este modelo que lo puedo aplicar cómo lo resuelvo lo que lo que la idea de la charla es contarles eso cómo se resuelve este modelo de o no es tratar de entender a fondo el modelo en sí porque el modelo en sí entenderlo es un curso de economía entonces la idea es entender cómo uno resuelve este modelo en un caso concreto no porque no eso es un modelo general que se utiliza en muchos problemas de economía entonces en qué contexto vamos a trabajar para entender cómo uno resuelve y por qué aparecen álgebras de li porque digo que resolvió esta ecuación usa álgebras de li bueno vamos a trabajar en el contexto del artículo que les dije es el último de la serie del hoy hui y el trabajo de ellos se basa en un trabajo de ecuaciones diferenciales que es bastante anterior si observan es un resultado que se probó en el 63 y el artículo en el cual ellos lo usaron que fue el primero artículo donde se usó este trabajo en economía desde el 2006 o sea bastante tiempo después más de 40 años se encontró una aplicación de economía de un trabajo de ecuaciones diferenciales entonces cuál fue la idea que ellos tuvieron ahora en un ratito les voy a mostrar cuál es el teorema de hoy normán que lo que dice es presenta una ecuación diferencial de operadores en derivadas parciales y se bajo ciertas condiciones cuando uno la puede resolver y dice cuál es la solución te dice explícitamente se resuelve y la solución es esto de lo que ellos vieron es que esa ecuación se puede adaptar de cierta manera al modelo que acabamos de mencionar todo un trabajo hay desde cómo es que ellos lo adaptan y justamente cuando uno ve la solución que encuentran de estas ecuaciones diferenciales la solución está en términos de álgebra de lí te dan una resolución que involucra álgebras de lí entonces es el mismo modelo que dije recién solo la misma ecuación que mencionamos al principio entonces qué es lo que dice este artículo del 63 esto este párrafo esto lo que voy a contarles ahora es meramente puramente en ecuaciones diferenciales lo que dice es cómo resolver esa ecuación diferencial de primer orden de operadores lineales tenemos operadores lineales que están dos operadores lineales que están relacionados mediante esa ecuación diferencial dice que la derivada de uno es el producto de él con otro operador con una condición inicial dada para poder encontrar una solución única como les dije los h y u son operadores lineales y lo que les va a pedir es que estén definidos si saben lo que es en un espacio de vana y si no basta con que estén definidos en un espacio de dimensión finita si tenemos una ecuación de este estilo donde los operadores están definidos un espacio de dimensión finita ellos dicen cómo resolver la ecuación entonces y acá donde aparecen las álgebras de lí determina la solución de la ecuación siempre cuando uno pueda expresar a h al operador h como combinación obviamente como combinación lineal pero donde los coeficientes va depende del tiempo si es una de si lo pensas en ecuaciones diferenciales es en la serie pero bueno tratemos de que creo que no sé no saben ecuaciones diferenciales verdad o si algunos y todos y hoy si uno pieza esto una ecuación diferencial de primer orden si conocemos h parecería fácil encontrar uno entonces acá básicamente lo que dice es eso en general que estemos trabajando en espacio de vana si unos puede expresar a h como una combinación lineal de ciertos operadores donde ahora los operadores están en el contexto más general posible los operadores lo que les pide es que vivan dentro de una algebra y bajo esas condiciones uno puede encontrar la solución de esta ecuación que va a ser y pensamos mirando más o menos la ecuación hay uno tendría a tratar de decir cuál es la solución y es lo que ellos prueban es lo que uno cree que va a ser la solución exponencial si uno tiene que la derivada de u es una función por u y yo a lo ingenuo integro lo que me debería de quedar son exponenciales bueno es lo que ellos dicen que este contexto la solución va a ser un producto exponenciales donde tenemos ahí parámetros o coeficientes que dependen del tiempo y que se pueden determinar explícitamente los coeficientes estos los gn y ahí doy una forma o dan una forma de encontrar los g en términos de los coeficientes originales de la serie de la función h le hay que integrar estas otras ecuaciones ahora ahora ya son funciones funciones en una variable ya pasamos de tener operadores a tener funciones esto ya es ecuaciones diferenciales comunas de los g y los los a son funciones que dependen del tiempo como le dice funciones acopladas calares y sólo un pequeño comentario que está bueno que es ver un caso concreto de cómo uno construye lo la solución u si conoce h o sea cómo uno encuentra la solución explícita de esa ecuación cuando uno conoce h sólo para que vean cómo como uno resuelve esto aunque bastante sencillo no creo me parece que la ecuación es vasta en esta parte aparte la ecuación es bastante simple de visualizar la solución que realmente esa la tiene que ser la solución entonces lo que lo que ahí muestro lo que ellos muestran mejor dicho es en el caso concreto que uno esté trabajando con bueno al menos esta álgebra sí la mencionamos y la álgebra de heisenberg de dimensión 3 se acuerdan que el corchete verificaba esta propiedad que teníamos un elemento central y que bueno acá la notación cambia y se te pasa que está usando la notación del artículo de ellos nosotros le habíamos llamado p q y c a los generadores de la algebra de heisenberg el elemento c era el central por eso el uno acá él acá es el 3 el central que el corchete del uno con el 3 y el corchete del 2 con el 3 a cero y la otra condición que definía el álgebra de libra que el producto de los dos primeros me daba el tercero sólo la la la definición de la algebra y lo lo único que que quiero ilustrar acá es cómo queda la solución en este caso concreto si uno usa lo que acabamos de mostrarte ver mejor dicho si no tiene al operador h escrito como combinación con coeficientes que dependen del tiempo de los generadores de la algebra de acuerdo al terema la solución tiene que ser un producto exponenciales de los elementos de la algebra por ciertos coeficientes que también son funciones que dependen del tiempo y es fácil en este caso encontrar decir explicitamente o sea resolver las ecuaciones que definen a g1 g2 y g3 que es lo único que estaría faltando para dar la solución explícita en este caso concreto h lo conocemos estoy diciendo que u queda determinado a partir de los generadores de la algebra y lo único que me está faltando decir es quién es o lo g y lo g tiene que verificar estas tres tres ecuaciones y nada muy sencillo desde la derivada de g1 tiene que ser a 1 la derivada de g2 tiene que ser a 2 y la derivada de g3 más g1 por la derivada de g2 tiene que ser a 3 me falta un t por lo tanto sabemos exactamente cómo calcular g1 g2 y g3 en términos de a 1 a 2 y a 3 que son conocidos realmente uno encuentra explicitamente la solución del problema en este caso particular no cuando el álgebra es el álgebra de g sembra de dimensión 3 esto es sólo un pantallazo de lo que dice el teorema con el cual ellos trabajan básicamente lo que hay que ver es cómo voy a usar ese teorema para resolver la otra ecuación que es la que me interesa la de precios aquí está mi mi ecuación acá cambió un poco la presentación porque estoy considerando un poco más de información en el modelo ahí puse beta obviamente está mal no beta mayor igual que 0 menor que 0 no es menor que 1 entonces perdón ahí p es el precio de vuelta el valor de la opción de lo que estoy trabajando ese es el precio del activo tenemos un tiempo en el cual va a durar el contrato tenemos la volatilidad como parecía en el otro modelo tenemos la tasa de interés de riesgo y la última variable que aparece son los derivados entonces acá lo que lo que tenemos es una ecuación en derivadas parciales que parece muy compleja simple vista pero lo que queremos es tratar de llevarla de alguna manera el problema del teorema de que vimos recién hay un cambio de variable en si lo visualizan rápido los admiro esta es la ecuación original haciendo ese cambio de variable la ecuación que ha expresado así me queda algo que lo va a llamar h por u a la derivada de u respecto del tiempo es h por u o sea desde la de la forma de h es todo lo lo que está ahí entre medio de los paréntesis son operadores de diferentes son operadores mi mi espacio son los operadores que que actúan sobre funciones o sea son derivadas de algún tipo claro son los operadores son mis objetos las funciones que solo dependen de tau serían como los escalares de pero exactamente si en realidad es exactamente el álgebra del líquea parece cuando uno mira ésta es una subalgebra el álgebra operadores este está tomando las derivadas acá dice exactamente cuál es es el la generada por esto los operadores en derivadas las derivadas de los órdenes que que necesitan la verdad pasar de de la ecuación original ésta que que es la que la que es la que uno la que ellos conocen en realidad con los modelos que con los cuales trabajan a darse cuenta que con este cambio de variable y ésta restructura de la ecuación uno tiene una forma natural de escribir al operador h en parte a partir de operadores desde que definen el álgebra de los operadores en sí le podés dar esto pero que éstos en particular si te quedas solo con éstos tenés una estructura del y para mí es mal es claro por eso porque acá toma toma estos tres operadores y con éstos es con los cuales va a trabajar después es como que si vos lees el artículo de ellos esto lo dicen en un párrafo dice es obvio es sencillo ver que uno puede reescribir a la ecuación de cierta manera donde h queda determinado así y donde los operadores con los cuales estoy trabajando son esos claro si vos me los das y yo después hago el cambio variable reconstruyo la ecuación pero ir al revés a mí de la verdad que me parece un trabajo justamente que la parte interesante no porque uno tiene una ecuación que modela algo conocido y ellos lo que hacen es darse cuenta cómo reescribir esa ecuación de manera que le aparezca objetos sobre los cuales sabe trabajar mediante un teorema que fue demostrado 40 años antes a mí me parece re lindo cuando cuando se logra hacer esas cosas escoque y después cuando uno las escribe siempre pasa porque cuando las escriben los artículos dice es obvio que pasa pero en realidad lo obvio es que supongo que pasaron mucho tiempo antes de que se dieron cuenta de que uno podía reescribir la ecuación para que le quedara así y que eso me define una altura lita a mí mirándolo así no claro eso no aparece esas cosas no aparecen como que te dicen y una vez que lo reescribí lo tengo puedo trabajar pero es como sorprendente que uno pueda hacer esas cosas y aparte mirar después te dicen qué álgebra generan pues tuvieron que probar que realmente eso que acabamos de definir son generadores de una algebra conocida ese uno uno que nosotros no la mencionamos es una algebra delí de las estándar básicamente lo que define esa algebra delí son esas condiciones una algebra de dimensión tres donde los corchetes verifican esa propia tenés que el corchete de lo que hay llamo camásica menos me da menos dos veces casero y el corchete de casero con camásica menos me da camásica menos respectivamente o sea eso lo tuvieron que probar no por acá acá estoy diciendo quién es camenos camás y casero son operadores después lo que tuvieron que ver es que estos tres operadores generan una algebra delí y probaron que la algebra delí que están generando es justamente ese uno uno que la definición de esa algebra delí es justamente la propiedad que verifican sobre la base ya lo que la determina completamente la relación del corchete con los generadores observen que con este cambio de variables si quieren todavía no estoy en las condiciones del teorema porque no tengo escrito h como combinación lineal con coeficientes que dependen del tiempo de una algebra delí aparece un término adicional que es ve ve esa función que está ahí abajo entonces todavía hay que hacer algún trabajo adicional para llevar a la al modelo que justamente solo involucra los generales de la algebra delí entonces qué es lo que hacen para poder llevar a esa expresión bueno definen un nuevo operador que lo llaman el operador de evolución de esa manera y con ese cambio con esa nueva definición ahí sí obtengo la ecuación que quiero usando este nuevo operador y el h es el pedacito del h y que llamó y es el pedacito de h que no involucra es como es un nuevo cambio de variables si quieren para obtener la ecuación que sí cae en el contexto que vimos hace un ratito entonces cuando llegas hasta acá cuando ya reescribiste tu problema en este lenguaje ya sabes cómo encontrar la solución porque es directamente usar el teorema como sabes que h lo estás escribiendo como combinación de una algebra delí y por lo tanto u tiene que ser el producto de las exponenciales de estos generadores por los coeficientes g que vimos cómo se podían construir justamente lo que hay u tiene que tener esa expresión ahí le cambió el nombre de los coeficientes ahora se llaman c no g pero también los podemos hallar explícitamente de la forma de mi ecuación y todo queda determinado en términos de los datos iniciales del problema o sea acaban de encontrar observa en que una vez que yo conozco este este operador u que yo conozco u que es lo que acabamos de hacer esta ecuación me dice cuál es la solución que estoy buscando porque el real a solución que yo quería era u de que lo que dice ahí al final una vez que uno determina el operador evolución nos permite hallar exactamente u de que es la solución de la ecuación diferencial original que teníamos en nuestro problema el artículo el artículo este no tiene mucho más trabajo adicional que lo que acabo de contarles esto es básicamente la primera parte del trabajo luego introducen nuevos parámetros porque dice que se observan el título decía que era para opciones con barrera móvil y con parámetros temporales el modelo que vimos nosotros recién no tiene barreras móviles sólo tiene parámetros temporales entonces ellos hacen después un estudio equivalente a este introduciendo barreras móviles que es una nueva variable en la ecuación en derivadas parciales y ven de vuelta que pueden reescribir la ecuación para poder aplicar nuevamente el teorema y encuentra la solución y después dan una serie de aplicaciones concretas que a problemas reales donde ya ahora no son variables sino cada cosa representa algo concreto pero bueno eso ya excede totalmente mi capacidad de contarles porque para mí finanzas es un mundo oscuro pero bueno es me parece que es ilustra al menos esto lo que les conté que realmente uno tiene aplicaciones para mí sorprendentes de algo puramente al hebraico a cosas concretas no porque esto es es economía esto se aplica realmente en la vida cotidiana nuestra aunque no lo veamos pero son los modelos que usan para determinar los precios de las cosas que nosotros compramos me parece sorprendente en realidad si quieren bueno ahí está toda la referencia de otros artículos que usan las álgebras de li para otros modelos y otro tipo de aplicaciones como les dije de grupos de li que también está interesante por si les interesa curiosar un poco en esas aplicaciones y aunque yo no dije nada hay muchos ejemplos muy lindos de álgebras de li en física que son más cercanos a lo que nosotros hacemos como que si somos todos matemáticos o estamos estudiando matemática la física está más cerca que la economía pero pero a eso me parecía que es más fácil de ver en la literatura si alguien está interesado lo puede buscar y encuentre un montón de aplicaciones y esto me pareció que era un poco diferente a lo que uno suele dar como como aplicación acá lo lo único que les digo es cuál fue el material que que usé para para estas tres charlas en un libro introductorio de álgebras de li está andar el artículo que acabamos de usar para para la última charla es el que menciono ahí y el ter la terza referencia es una monografía de grado que en realidad lo que usé de la monografía fueron las terminologías de estas que que vimos de economía para para el ejemplo que que está bueno pues estaba todo compacto si uno busca los libros de economía estos son libros entonces era era un exceso tratar de compactificar todo eso se encontré este material que está muy lindo es una monografía fácil de leer la verdad está el en internet ponen el nombre la pueden llumiar si quieren que que hace tipo un resumen de cosas de álgebras del y muy básico pero que supera ampliamente lo que vimos nosotros en las dos charlas y creo que cualquiera de ustedes puede leerlo sin problemas y cuenta un poco estos ejemplos que vimos recién bueno eso es todo gracias nuevamente