 Empezamos la parte teoria del módulo con la definición de los números complejos. Primero os recordamos el conjunto de los números reales con las operaciones de suma y multiplicación que satisfacen varias propiedades, la asociatividad, la comutatividad, la distributividad, la existencia de elementos neutros y la existencia de inversos. Y así se dice que los números reales tienen estructura de cuerpo. Vamos a considerar las ecuaciones de la forma x al cuadrado menos a igual a cero. Y nos preguntamos si existe un número x tal que x al cuadrado menos a es igual a cero. En efecto, si a es positivo se puede deducir que esta ecuación admite dos soluciones. Estas son más y menos raíz de a. Sin embargo, si a es estrictamente negativo, ya que x pertenece a r, la expresión x al cuadrado menos a es estrictamente positiva. Y así no existe un número real que satisface esta igualdad. A continuación, vamos a suponer que existe un número, incluso si no es real, que satisface la ecuación x al cuadrado igual a menos 1. Utilizamos la letra x para denotar este número. Bien, sea a un número real positivo. Y vemos que los dos elementos más y menos raíz de a multiplicados por este número x serían soluciones de la ecuación anterior. Además, a partir de números reales alfa y beta, obtendríamos nuevos números de la forma a más x beta. Estos nuevos números se podrían sumar usando las propiedades de cuerpo y también se podrían multiplicar de nuevo utilizando las propiedades de cuerpo. Entonces, hemos visto todas las cosas que podríamos hacer si este número existía y así lo que hacemos es que vamos a asumir que existe por definición. Y de ahora en adelante este número lo denotamos y lo llamamos la humedad imaginaria. Siguimos con la definición del conjunto de los números complejos. Un número complejo es de la forma a más y b, donde a y b son números reales. Además, dos números complejos son iguales si estas dos identidades se cumplen. Ejemplos, los elementos siguientes son números complejos y tomamos nota de que los números complejos contienen los números reales. Ya que si b es igual a 0, en la expresión de arriba obtenemos simplemente números reales. Ahora definimos las operaciones de suma y multiplicación para los números complejos. La suma y la multiplicación siguen las reglas aquí definidas. Ejemplos, quizás ya notáis que estas nuevas operaciones siguen las propiedades de cuerpo. Si no, no pasa nada, veremos una demostración en el vídeo siguiente. Siguimos con definición, vimos por un lado la parte real y imaginaria de un número complejo y el concepto de la conjugación. Se a más y b un número complejo, tal que a y b son reales. Y definimos la parte real que es igual a y la parte imaginaria que es igual a b. Unos ejemplos, z igual a y tiene parte real 0, parte imaginaria 1, z igual a raíz de 2 menos y sobre 4. Aquí tenéis las partes reales imaginarias. Bien, por otro lado definimos al conjugado de un número complejo. Se a más y b un número complejo y se define el conjugado de a más y b, que notamos con una barra, hacer el número complejo a menos y b. En particular, la parte real del conjugado sigue siendo la misma, pero la parte imaginaria es igual a menos la parte imaginaria del número original. Unos ejemplos. Siguimos con una pregunta. Primero os pedimos de calcular el número complejo z aquí y hallar cuáles de las afirmaciones siguientes son ciertas. Os damos un momento. Espero que hayáis visto que sólo hay una respuesta cierta y que es la segunda. Después os pedimos de mostrar que la igualdad siguiente se cumple. No hay ninguna dificultad, sólo hay que hacer los cálculos y os pedimos de generalizar la igualdad anterior. Esta vez tenéis que mostrar que la igualdad se cumple para todos los números complejos.