 Seguimos con los números complejos y en este vídeo os mostraremos cómo resolver un tipo de ecuaciones. Estas son las ecuaciones de la forma z a la potencia k igual a 1, donde suponemos que z es un número complejo. Si k es igual a 1, está claro que z debe ser igual a 1 y que esta es la única solución. Si k es igual a 2, ya sabemos que hay dos soluciones, posibles 1 y menos 1. Vamos a ver que pasa con el caso k igual a 3 y consideramos z en la forma polar. Primero notamos que ya que z a la potencia 3 es igual a 1, debe ser que el módulo de z es igual a 1 y así deducimos que z es de la forma e y teta y pertenece al círculo de radio 1. Sabiendo que calcular una potencia es equivalente a multiplicar el argumento por la potencia en cuestión, deducimos que empezando con el punto 1, las soluciones de esta ecuación se encuentran dividiendo el círculo en tres partes iguales. Quizás que de momento no está claro todo eso, pero seguimos con una prueba algebraica para aclarar todo esto. Bien, si a z un número complejo escrito de la forma polar tal que z a cubo es igual a 1, deducimos que por un lado el módulo de z es igual a 1 y por otro lado que tres veces el argumento de z es igual a 2p y ya que consideramos argumentos notamos que 3teta es igual a 2p más 2kp donde k es un número entero. Así teta es igual a 2p sobre 3 más k más 2p sobre 3. Sin pérdida de generalidad suponemos que teta pertenece al intervalo 0 2p y concluimos que hay exactamente tres valores de teta posibles y entonces la ecuación z cubo igual a 1 tiene tres soluciones posibles en c que corresponde a 1 y 2p sobre 3 y e y 4p sobre 3. De manera general el polinomio z potencia n menos 1 admite las n raíces siguientes y demostramos el teorema. Notamos que se puede hacer de la misma manera que para el caso n igual a 3 pero os mostramos una manera diferente razonando con el hecho que se trata de un polinomio. Teta n menos 1 es un polinomio de grado n. Lo que implica que admite como máximo n raíces. Además vemos que cada uno de los complejos enumerados es una raíz del polinomio y así ya que cada omega j es único concluimos que estos números complejos corresponden exactamente a las raíces del polinomio. Pregunta utilizando el teorema anterior os pedimos de hallar cuáles de estos números complejos son raíces del polinomio z potencia 6 menos 1. Esperamos un momento. Espero que hayáis visto que hay cuatro respuestas correctas y que la única que es falsa es la segunda. Acabamos con un ejercicio os pedimos de hallar las raíces del polinomio. Siguiente podéis inspiraros de lo que hemos hecho para resolver el ejercicio directamente o podéis hacer el cambio de variable siguiente y utilizar el teorema para concluir.