 Je vais essayer de vous raconter quelque chose, donc sur un problème qui est lié à la géophysique plus précisément sur l'océanographie. Alors qu'on soit clair dès le départ, il s'agit de maths, c'est-à-dire que à la fin, ce qu'on essaie d'obtenir, ce n'est pas une prédiction quantitative très fine de ce qui peut se passer. Ce qu'on cherche à faire, c'est à comprendre des mécanismes et puis à voir comment, en faisant des maths un petit peu fines, on peut isoler ces mécanismes et puis expliquer le phénomène suivant qui m'intéressait. Là, vous voyez, c'est une carte de l'océan Atlantique qui a été édité par l'armée américaine. Il y a peu près, ce sont compliqués à calculer, 70 ans. Donc vous voyez déjà très bien sur cette carte, vous voyez les lignes de courant. Et vous voyez que près des côtes ouestes, vous voyez que ces lignes se rapprochent beaucoup et ce qu'on appelle l'intensification des courants à l'ouest. Donc ça, c'est quelque chose qui a été observé depuis longtemps. J'ai montré une carte qui est un petit peu ancienne, mais je pense que c'est quelque chose qui a été componible depuis plus longtemps et que maintenant, on voit encore mieux avec des images satellite. Vous voyez, ici, la couleur représente la vitesse localement de l'eau et vous voyez que près de ces côtes, les courants sont beaucoup plus importants. Et la question, c'est pourquoi on a ces courants importants et pourquoi surtout on ne voit pas les mêmes si on se met de l'autre côté de l'océan ? D'accord, si on se met sur la côte du côté de l'Europe, on ne voit pas du tout la même chose. Donc c'est une question assez simple à comprendre. Et moi, ce que je voudrais vous montrer, c'est qu'avec un modèle de maths très simple avec pas beaucoup d'ingrédients dedans et où il n'y a pas besoin de savoir beaucoup de choses, on va pouvoir déjà expliquer ce phénomène et comprendre comment la géométrie des côtes influent sur les écoulement. Je vais essayer de commencer par vous détailler un petit peu le modèle que je vais regarder. Encore une fois, c'est un modèle qui est très simplifié, trop simplifié. C'est-à-dire qu'il manque beaucoup de physique dedans. Mais il faut bien commencer avec quelque chose. Donc la première hypothèse qu'on va faire, c'est qu'on s'intéresse à l'eau de mer. Et on regarde déjà, disons que c'est un fluide. Et il y a une hypothèse qui est raisonnable, c'est de supposer qu'elle est incompressible et presque homogène. Vous voyez ici, vous avez une courbe qui vous montre la densité de l'eau en fonction de la profondeur. Il y a une petite couche ici qu'on appelle la picnocline où cette densité varie assez vite. Puis après, vous voyez qu'essentiellement, c'est quelque chose qui est constant. Et donc c'est raisonnable si on considère l'ensemble de la masse d'eau. Donc considérer que c'est un fluide qui est homogène et donc incompressible. Alors comment ça s'écrit ça en termes de maths ? Si vous regardez le champ de vitesse de l'eau, vous avez sûrement vu ça peut-être en physique. Eh bien, le fait de dire que l'eau est incompressible s'écrit comme une relation différentielle, d'accord, entre les composantes de la vitesse. Donc ici, si on regarde une vitesse qui va être essentiellement bidimensionnelle, eh bien, on a que la dérivée par rapport à la première variable de la première composante de la vitesse, plus la dérivée par rapport à la deuxième variable de la deuxième composante de la vitesse, est égale à 0. Donc je n'ai pas mentionné, je n'ai juste mentionné dans le titre, mais je vais considérer un modèle bidimensionnel, c'est-à-dire qu'on va supposer que l'eau, en fait, c'est juste une fine couche et on regarde juste son évolution 2D. D'accord, ça, c'est assez raisonnable parce que la profondeur de l'océan, quelque chose d'assez négligeable par rapport à son étendue spatiale. Voilà, donc ça, c'est la première, je dirais, la première hypothèse sur l'état de l'eau. Il y en a une autre qui est importante, qui est sur sa viscosité. Alors si vous avez déjà regardé juste votre robinet écoulé, vous savez que l'eau, c'est pas un fluide qui est très visqueux. D'accord, vous en connaissez plein qui sont plus visqueux, de l'huile ou du dentifrice, encore plus. D'accord, donc l'eau, on sait très bien que c'est un fluide qui n'est pas très visqueux. Et donc en particulier, il y a une chose qui est importante, c'est que si vous mettez juste la vraie viscosité de l'eau, ce qu'on appelle la viscosité cinématique, vous ne pouvez pas expliquer le fait qu'il y a plein d'énergie qui est dissipée. D'accord, on sait qu'il y a d'énergie qui est dissipée parce que l'océan, il est chauffé par l'atmosphère, on verra, il est forcé par le vent. Donc on sait qu'il y a un apport d'énergie, pour autant les écoulements sont à peu près stationnaires, et donc ça veut dire que si on apport de l'énergie, il faut aussi qu'on en retire quelque part. Et donc ça veut dire qu'il y a des phénomènes qu'on ne comprend pas très bien, ce qu'on appelle les phénomènes turbulents. Donc encore une fois, on ne sait pas, moi je ne sais pas, je suis mathématicienne, mais j'ai bien peur que les physiciens ne sachent pas beaucoup plus sur comment expliquer cette dissipation d'énergie. Et donc on fait quelque chose qu'on appelle phénoménologique. Et donc on ajoute pour cette eau une viscosité turbulente qui est censée modéliser tout l'effet des petites échelles, c'est-à-dire qu'on ne sait pas très bien ce qui se passe, mais on dit en gros ça va se passer comme si on mettait une viscosité qui est plus grande que la viscosité réelle. Ça veut dire que c'est quand même une approximation assez forte sur le modèle, on ne sait pas très bien ce qui se passe, et à un moment où on dit que ce n'est pas grave, on m'a remplacé par un effet, par un terme mathématique, dont on espère qu'il produit à peu près la même chose que ce qui se passe pour de vrai, d'accord ? Voilà, donc ça c'est pour ce qui est, je dirais, des caractéristiques physiques de l'eau, donc incompressibles et très peu visqueuses. Alors maintenant, quelles sont les forces qui s'appliquent à cette eau ? On va, je crois, vouloir faire, c'est écrire les principes fondamentaux de la mécanique, les équations Newton pour cette eau. Donc il faut faire un bilan des forces, d'accord ? Alors il y a une première force qui est très importante, c'est la force de Coriolis, et c'est ça qui permet d'éterminer ce qu'on appelle un écoulement à grande échelle. Un écoulement à grande échelle, c'est un écoulement pour lequel la force de Coriolis va être dominante, d'accord ? Donc ça ne veut pas dire forcément juste un problème des tendues spatiales, parce qu'il faut comparer des choses qui sont comparables, d'accord ? Mais donc voilà, c'est ça qui va déterminer ce qu'on va appeler un écoulement à grande échelle. Alors cette force de Coriolis, à quoi elle est due, juste au fait que la Terre tourne, évidemment ce qui vous intéresse ce n'est pas le mouvement de l'océan en tant que tel, mais le mouvement de l'océan relatif à la Terre. Donc vous allez vous mettre dans un repère qui n'est pas galiléen, et le fait que ce repère ne soit pas galiléen, vous avez une force supplémentaire qui est la force de Coriolis, alors qu'on peut décomposer, disons, en deux termes importants, si vous vous mettez près d'un point, d'accord ? Et donc, je vais tout de fait faire un petit dessin, on est dans un modèle bidimensionnel, d'accord ? Ça veut dire qu'on remplace la Terre ici par le vecteur tangent ici, d'accord ? Et donc la force de Coriolis, normalement, vous avez une vecteur rotation qui est une vecteur rotation de la Terre qui est comme ça, d'accord ? Mais ce qui va importer, finalement, quand vous êtes près de ce point-là, c'est sa composante verticale locale, d'accord ? sa projection, donc ça va vous donner quelque chose qui varie comme le cilus ici, la latitude, d'accord ? Et donc vous allez avoir deux, vous pouvez faire un développement, d'accord ? Vous avez une première approximation qu'on appelle l'approximation F-plan, consiste juste à dire que localement, ce vecteur-là, il est comme grand-omega sinus theta0, d'accord ? Et il se trouve que ce vecteur va pas être très important dans le modèle que je vais regarder, qu'il y a un modèle 2D, parce qu'en fait, il peut s'identifier un terme de pression, d'accord ? Et donc il va être contribué très peu. Et puis après, il y a un terme, si vous regardez l'ordre suivant, qu'on appelle l'approximation beta-plan, qui consiste à juste lineariser le sinus, et donc c'est exactement ce qui vous donne cette formule ici pour la force, vous voyez, ce beta-x2, c'est-à-dire que c'est juste la linearisation du sinus autour du point qui m'intéresse, d'accord ? Et puis ça, le hyperpendiculaire, c'est juste le vecteur de coordonnée u2-u1, c'est le vecteur u qu'on a tourné de 90° à cause de ce vecteur de rotation ici, d'accord ? Donc ça, c'est la force de Coriolis. Donc deux termes, un terme qui rend dans la pression et qui ne nous intéressera pas dans la suite, et un terme qui est très important au fait que ce vecteur de rotation est non-homogène, et qui sera la seule trace de la géométrie, je dirais, sphérique de la Terre, ce qui suit. Donc ça vous en dit un petit peu aussi sur le fait que ce modèle n'est pas très réaliste. D'accord ? Mais il reste quand même une trace ici du fait que la Terre n'est pas complètement plate. Voilà, donc ça, c'est la première force qui est importante. Il y a une deuxième force qui est très importante, et alors c'est pareil, la motivation est un peu flottante, disons. C'est l'effet du vent, d'accord ? Les principaux courants, en tout cas les principales fluctuations de courant sont dues aux effets du vent. Alors je vous avais mis juste ici deux petites figures qui vous montrent que les petites flèches, c'est essentiellement les courants au marin, et en fonction de la saison, et donc en fonction du sens dans lequel souffle la mousson, et vous voyez que selon qu'on est en été ou en hiver, la mousson souffle soit de nord-est, soit sud-ouest, et que le courant ne se comporte pas du tout de la même façon. Dans un cas, il descend, mais il reste bien collé ici à la côte, et dans un autre cas, on va voir qu'il se décolle beaucoup plus. Alors je vais pas prendre des modèles suffisamment raisonnables pour reproduire toutes ces propriétés, mais ce qui est important, ce qui est clair, c'est qu'on doit prendre en compte cet effet du vent. C'est un mécanisme qui est un petit peu compliqué, qui s'appelle le mécanisme de pompage d'Echman, et que vous explique comment juste le frottement à la surface est transformé en une force qui pousse toute la masse d'eau. Donc ça je ne vais pas le détailler, mais essentiellement c'est une analyse qui ressemble beaucoup à l'analyse que je vais faire après, c'est aussi une analyse de type couche limite. C'est juste une remarque sur cette modélisation. Encore une fois, ici je vais supposer que le vent est donné, c'est-à-dire que je connais le vent, et évidemment ce n'est pas raisonnable. Si vous n'avez pas un système physique et isolé, normalement si vous le fais un système physique et raisonnable, il faut modéliser à la fois l'océan et l'atmosphère, et puis prendre en compte un couplage. Ça veut dire que c'est un modèle beaucoup plus complexe, beaucoup plus couplé, beaucoup plus non linéaire, et donc pour l'instant c'est hors d'atteinte du point de vue des maths. Voilà, donc ça vous dit un petit peu quels sont les forces. Maintenant, qu'est-ce que je fais ? J'écris que si je veux regarder un écoulement stationnaire, le bilan des forces il est zéro. Alors il y a un autre terme que j'ai oublié, c'est la convection, mais ça je passe sous silence parce que ça serait compliqué d'expliquer. Donc qu'est-ce qui me reste dans mon équation ici ? Il me reste ce terme qui vient de la force de Coriolis, juste à partie inhomogène du vecteur de rotation. Ensuite, un terme de pression. Alors pourquoi j'ai un terme de pression ? Je ne vais pas parler de la force de pression, mais je ne sais pas du tout si vous avez fait un petit peu d'optimisation sous contraintes, mais le fait qu'on demande à l'écoulement de rester à divergence nulle, ça vous contraint très fort votre écoulement. Et du coup, pour rattraper ça, vous êtes obligé de rajouter un terme. Donc l'occurrence ici, c'est un gradient. Donc ici, le vecteur hyper-porniculaire, je rappelle, c'est le vecteur de coordonnées U2-U1. Vous voyez que chaque fois, c'est deux équations. Ici, vous avez un terme qu'on appelle un gradient, une dérivée par ciel par rapport à la première variable, une dérivée par rapport à la deuxième variable, mais d'un même champ scalaire. En tout cas, ça vous donne un vecteur 2D à nouveau. Et puis ici, ce terme de viscosité. J'ai dit que c'était une viscosité turbulente et pas une viscosité cinématique. Nous, ça va être le paramètre de viscosité. Ici, c'est ce qu'on appelle un laplacien. Donc c'est à nouveau un opérateur différentiel qui agit sur un vecteur ici, qui est de coordonnées U1-U2. Et puis ici, c'est le forçage par le vent. Et donc ce que je dis, c'est que, puisque je suis à l'équilibre, tous ces termes ici doivent s'équilibrer. Donc ces deux équations ici, scalaires, différentiels, plus celles que j'avais données au début, qui étaient la contrainte d'incompressibilité. Donc maintenant, j'ai trois équations et puis, c'est-à-dire trois inconnues, j'ai U1-U2 et puis ce vecteur ici de pression. Donc c'est un petit peu plus compliqué, probablement, que les équations, vous avez l'habitude. Pourquoi ? Essentiellement parce qu'on a des champs ici, des fonctions qui dépendent de plusieurs variables, essentiellement de X1 et X2. Normalement, ça dépend aussi du temps. Mais voilà, en tout cas, on a une équation qu'on appelle le dérivé partiel. Et on dit qu'elle est d'ordre 2 ici parce que l'opérateur qui différencie au maximum, c'est une dérivé d'ordre 2. D'accord ? Alors, maintenant, c'est comme ce que vous pourriez faire en dimension 1. Si vous prenez une équation différentielle d'ordre 2, essentiellement pour fixer votre solution, qu'est-ce qu'il va falloir rajouter ? Il va falloir rajouter des conditions, essentiellement il va falloir rajouter, si vous prenez une équation différentielle d'ordre 2, il va falloir rajouter deux conditions. Voilà, c'est pareil. Il va falloir rajouter des conditions qu'on appelle des conditions de bord. Et comme on est une équation au dérivé partiel d'ordre 2, on va rajouter deux conditions ici, en fait, sur chaque bord, qui sont que les deux composantes de la vitesse doivent être nulles, ce qui est raisonnable, quand vous l'arrive sur le continent, elle s'arrête. D'accord ? C'est ce qu'on appelle une condition de dérivé class, condition d'arrêt. Et il se trouve que ce système, donc avec les trois équations, plus ces conditions-là, et un système qu'on peut montrer, qu'il a des solutions. D'accord ? En général, il y a un premier problème, quand on traite des équations du dérivé partiel, c'est de savoir si on a écrit une équation bien, mais est-ce qu'il y a des solutions ou pas. Généralement, c'est pas un problème qui est du tout simple à résoudre. Voilà. Donc ça, c'est pour le modèle mathématique, mais vous verrez qu'après, comme ce qui m'intéresse, c'est que vous compreniez un petit peu ce qui, je dirais, est le coeur de cette analyse. Je passerai à un système de dimension 1, donc des équations différentielles ordinaires, parce que je pense que, même avec un bagage, je dirais, de Bac plus, je sais pas, 1, 2, c'est quelque chose que vous pouvez comprendre et comprendre vraiment le coeur du phénomène que je veux regarder. Alors d'abord, je vais vous présenter de façon un petit peu heuristique, d'accord, avec les mains, pour, j'allais peut-être plutôt à la physicienne, pour que vous ayez déjà une intuition de qu'est-ce qui se passe et pourquoi ça se passe. Donc juste peut-être, je reviens à l'équation précédente, juste pour dire que, même si j'ai une viscosité turbulente qui est plus grande que la viscosité cinématique, il se trouve que ce terme ici de viscosité, ce nu, ça va être un tout petit paramètre, d'accord, essentiellement quand même, si vous regardez sur une très grande échelle, le flow, il est très peu dissipatif, d'accord. Donc c'est un paramètre, c'est ce paramètre-là, ce qui va m'intéresser, c'est de regarder ce problème-là, comment se comportent U1 et U2 pour une toute petite viscosité, d'accord, pour un nu qui est très petit devant 1, et donc ça, ça se ramène du point de vue des maths à regarder la limite de ce problème quand nu tourne vers 0. D'accord. Donc, historiquement en parlant, ce phénomène de couche limite dont je voudrais parler, des faits de bord importants, de concentration, un phénomène qui se concentre près du bord dont je veux parler, un phénomène qui a été découvert de façon relativement récente, alors le fait d'être récent ou pas est quelque chose qui est très dépendant d'un discipline qui vous intéresse. Récent pour les maths, c'est pas du tout la même chose que récent pour la physique ou pour l'informatique. Disons quelque chose qui a, de l'ordre de 100 ans, pour les maths, c'est une découverte relativement récente. Voilà. Donc c'est une contribution qui est due à Prentel et qui l'a exposé au congrès international des mathématiciens, donc en 1904. Et alors son idée était la suivante. Ils voulaient décrire exactement ce genre de problèmes, c'est-à-dire un écoulement peu visqueux autour d'un obstacle. D'accord ? Typiquement. Alors ça devait pas être son exemple parce que les avions, à ce moment-là, c'est comme pas encore quelque chose tout à fait courant, mais si vous regardez l'écoulement de l'air autour d'une aile d'avion, d'accord ? C'est exactement ce genre de choses que vous la regardez autour d'une pile de pompes. Peut-être que ça, c'était plus... plus... plus d'époque. Voilà. Donc quelle est l'idée ? L'idée est de dire que tant que vous êtes moins de l'obstacle, si votre écoulement est obligé, ça va rien changer. D'accord ? Donc qu'est-ce que vous allez faire ? Vous allez dire que vous allez décomposer votre champ de vecteur ou votre fonction en deux parties. Une première partie qui est ce qu'on appelle le flot extérieur à l'obstacle, c'est-à-dire loin d'obstacle, vous pouvez remplacer, dire que l'équation, par exemple, que j'avais écrite ici, essentiellement, si vous êtes moins du bord, vous pouvez complètement oublier ce terme-là et ça vous donnera une bonne approximation. D'accord ? Donc ça, c'était l'idée de Prandtolle et puis, évidemment, c'est des choses quand vous êtes près du bord parce qu'en général, si vous écrivez cette équation-là pour le flot extérieur, vous avez un problème parce que vous avez trop de conditions au limite par rapport à ce que vous pouvez imposer par rapport à cette équation. D'accord ? Donc en même temps, vous avez l'impression que ça va être raisonnable et en même temps, vous voyez bien que vous avez imposé trop de conditions au bord. Typiquement, vous vous ramenez à une équation différentielle qui a été une équation différentielle d'ordre 1 et maintenant, vous avez plein de conditions au bord à satisfaire. C'est pas possible. D'accord ? C'est juste contre-émotion près du bord. C'est ça qu'on appelle une couche limite. D'accord ? Et donc, on s'attend à vraiment ce que ça reste bien localisé près du bord. Alors, est-ce que ça marche, ça ? D'accord ? Ça, c'était, je dirais, une idée, un ansatz. Est-ce qu'on peut faire fonctionner ça ? Alors donc, l'idée, c'est que dans la couche limite, eh bien, on va avoir un profil de vitesse comme ça qui est essentiellement qui est exponentiel près de la paroi et ce qui va être dominant, pour le coup, de toute petite échelle. Alors, certes, il y a un facteur petit devant, mais comme on dérive très fort, si on a une croissance exponentielle, évidemment, les deux choses, on s'équilibre. D'accord ? Donc, on s'attend à ce que la couche limite puisse rattraper les conditions de bord qu'on a perdu dans la manœuvre et qu'elle soit dominée par des effets visqueux. Alors, si vous faites ça dans le cas de l'aile d'avion, typiquement, ça marche pas. D'accord ? Pourquoi ça marche pas ? Vous avez déjà vu l'eau s'écouler derrière une pile de pont et vous voyez que devant, ça va et derrière, c'est le bazar. D'accord ? C'est quelque chose que vous avez pu expérimenter vous-même. Derrière, donc essentiellement, en avant, en amont de l'obstacle, ici, le développement de couche limite va être raisonnable et puis, dès que vous allez derrière, ici, la couche limite se décolle et puis, ça commence à tourner dans tous les sens. Donc, la décomposition n'est pas stable. Mais après, on n'a pas de moyens de contrôler que cette décomposition, c'est bien quelque chose qui va rester proche de ce qui nous intéresse. Mais ça risque pas parce que, voilà, ça n'est pas proche, d'accord ? On ne peut pas écrire, on ne peut pas écrire ici qu'on a un flot gentil comme si il n'y avait pas d'obstacle et puis après, voilà, ici derrière, tout est perturbé, ce n'est pas stable. D'accord ? Donc dans ce premier cas, ça marche pas, mais par contre, il y a d'autres cas où ça marche. En particulier, en océanographie, je dirais le premier résultat prenant Marcand c'est un résultat qui est dû à Ekman, dont j'ai évoqué le nom tout à l'heure quand j'ai parlé de pompage d'Ekman. Alors qu'est-ce qu'il a fait sur Ekman ? Il a réussi à trouver un modèle, alors cette fois, c'est un modèle plutôt tridimensionnel qui explique comment on va transmettre la force de surface à l'ensemble du fluide, d'accord ? Et qui a permis d'expliquer une observation d'un explorateur dans le Seine. Vous pouvez voir les oeuvres obusées des expéditions polaires à Oslo, je crois. Et donc cette opération, c'est quoi ? C'est juste que si vous regardez comment dérivent les icebergs, vous pouvez penser qu'ils sont juste poussés par le vent et donc ils voient aller dans la direction du vent. Mais non, c'est pas du tout comme ça. Les icebergs, ils dérivent mais avec un angle par rapport à la direction du vent. D'accord ? Un angle qui est à peu près constant. Alors l'angle observé, c'était quelque chose d'entre 30 et 40 degrés et ce qu'a obtenu Ekman, c'est un calcul qui permet de calculer donc de cet angle et il trouve 45 degrés. Alors encore une fois, je vous ai dit, tous les modèles qu'on regarde ici sont trop simplifiés pour obtenir quelque chose de quantitatif. D'accord ? Mais qualitatifement, il a compris cet effet. Alors comment ça se passe ? Essentiellement, vous allez avoir ici donc un forçage par le vent au surface qui va... qui va produire quelque chose qui est pas compatible, d'accord ? Il y a l'intérieur ici, pour les mêmes raisons, essentiellement, que la viscosité est très petite. D'accord ? Et du coup, vous allez avoir une couche qui bite ou très vite, ici, la vitesse du fluide change. C'est-à-dire que vous regardez votre océan et vous regardez une petite couche près de la surface. Près de la surface, la vitesse du fluide change très rapidement. D'accord ? Donc vous pouvez écrire en gros la vitesse dans le fluide comme une composante qui va être la même sur toute la hauteur du fluide, quelque chose qui est typiquement bidimensionnel, plus une composante verticale et une autre composante aussi horizontale mais dans une toute petite couche qui va varier très vite. D'accord ? C'est ce qu'on appelle le phénomène de Spiral-Decman, quelque chose qui est très bien connu de tous les océanographes et d'un certain nombre de physiciens. Et alors, la différence, c'est que, bon, on voit bien, déjà, on voit que ça marche parce que juste, on sait que c'est physiquement ce genre de système est stable. C'est une première chose mais on peut montrer un résultat mathématique qui vous dit que si vous faites exactement ce que je vous ai dit tout à l'heure, c'est-à-dire vous décomposez en un flow qui va être essentiellement valable dans toute la couche de fluide, plus quelque chose qui varie très vite près de la surface, vous êtes capable de montrer que ça, c'est une bonne approximation. D'accord ? Que la différence entre cette décomposition et votre vraie solution c'est quelque chose qui reste petit pour tous les temps. D'accord ? C'est quelque chose et donc ça veut dire que les maths sont capables d'apporter un petit quelque chose. Alors vous allez me dire oui mais les financières je le savais déjà parce que c'est ce genre de dessin on se trouve dans tous les cours de physique. Oui, sauf que après, je dirais, une fois qu'on a développé un petit mathématique mais on est capables d'aller plus loin. D'accord ? On est capables de une fois qu'on a installé une technologie mais on est capables avec cette technologie de regarder des exemples plus compliqués et calculs à la main. D'accord ? Alors il y a eu beaucoup de travaux dans ces 20 dernières années justement sur l'étude de la stabilité de ces couches d'ecmanes et puis on peut raffiner ce qui est connu en prenant en compte des effets plus fins donc typiquement s'il y a du relief au fond de votre océan ou si vous avez du transport non linéaire donc le terme de convection dont je dis que je parlerai pas pas plus que ça ou des cas très particuliers où vous avez une résonance c'est à dire que la fréquence de votre vent va rentrer en résonance avec la rotation de la Terre et donc ce résonance là vous savez que à priori c'est quand vous avez des phénomènes de résonance comme ça vous pouvez déstabiliser votre système donc tout ça on est capables de l'étudier du point de vue des maths avec des techniques fines d'analyse spectrale des méthodes d'énergie dont je vais pas parler ici parce que c'est pas du tout le lieu D'accord ? Voilà donc maintenant ce qu'on voudrait faire c'est utiliser ce même genre de technologie d'accord pour notre problème qui est notre problème d'un océan donc qui maintenant n'est pas très dimensionnel mais juste bidimensionnel on se met à une échelle beaucoup plus grande on peut complètement négliger on a déjà fait ce travail d'accord ? donc c'est déjà ramené à quelque chose qui est bidimensionnel et on voudrait pouvoir expliquer ce qu'on constate c'est à dire cette anti-intensification des courants de bord-ouest d'accord ? alors je vais essayer de faire ce calcul avec vous d'accord ? donc évidemment moi je sais le faire d'accord ? mais ce qui est intéressant c'est que vous, cette échelle fait à la fin d'accord ? on ne veut pas vous faire une interro à la fin je fais de ça sûrement très bien en cours mais voilà par contre s'il y a un endroit où dans le calcul vous comprenez pas vous m'arrêtez et puis je refais je refais plus doucement je suis là pour ça voilà donc déjà qu'est-ce que je vais faire je vais commencer par simplifier le modèle parce qu'il était encore trop compliqué d'accord ? donc la première simplification qui n'est pas vraiment une simplification c'est que si vous prenez n'importe quel champ à divergence nul c'est-à-dire qui ? donc un U1 et un U2 qui vérifie que d'1 U1 plus d2 U2 est égal à 0 évidemment vous pouvez le réécrire ça vous allez du faire de vous dire ça certainement pas en maths mais au physique parce qu'en général on prend plein de choses qu'on ne comprend pas dans le physique mais après on se rend compte que ça a du sens même avec des maths en tout cas vous pouvez écrire n'importe quel champ de ce type là comme vous pouvez introduire une fonction de courant des écrouements de Bernoulli des choses comme ça vous avez vu et du voir ça vous allez dire que U1 va être la dérivée partielle d'un champ scalaire PSI par rapport à la par rapport à X2 et puis U2 va être moins la dérivée partielle du même PSI par rapport à X1 d'accord ? donc c'est ce qui est logique c'est que vous vous êtes amené de deux inconnus qui étaient U1 et U2 reliés par une cette relation différentielle qui était que la divergence c'était nul a plus qu'une seule inconnue qui est PSI maintenant d'accord ? et donc c'est l'intérêt c'est que j'ai ramené maintenant une équation qui est scalaire plutôt qu'un système c'est beaucoup plus agréable pour travailler d'accord ? donc maintenant si je prends l'équation que j'avais écrit tout à l'heure et que je calcule le rotationnel alors probablement c'est parce que c'est le rotationnel mais en fait c'est pas très compliqué d'accord ? essentiellement ce que je vais calculer c'est un opérateur d'accord ? je vais dériver par rapport à deuxième variable avec PSI qui est là-haut si je me suis pas trop planté ça doit faire ça doit être exactement égal à D1,1 au carré D2,2 au carré de PSI d'accord ? donc je calcule ça je calcule je dérive par rapport à la deuxième variable ma première équation tout à l'heure je dérive par rapport à la première variable la deuxième équation et je retranche d'accord ? c'est un calcul donc je vais pas le faire maintenant mais si je fais ce calcul où il n'y a pas de mauvaises surprises j'obtiens l'équation qui est là d'accord ? donc ça qui est là donc ça c'est le premier terme qui venait du fait que la force de Coriolis est inhomogène vous voyez il reste ce facteur bêta juste qu'il a dérivé local d'accord ? maintenant j'avais ce ce terme de viscosité donc avant j'avais juste un laplacien j'avais pas ce carré ici vous voyez mais c'était un laplacien de U et puis après j'ai redérivé U donc ça me donne une dérivé supplémentaire et puis j'écris U comme la dérivé de quelque chose donc j'ai deux dérivé supplémentaires et si vous faites ce calcul précis vous voyez qu'on obtient cet opérateur qui est d'ordre 4 qu'on appelle un bilaplacien d'accord ? donc finalement l'équation il y a un terme de transport un terme de viscosité qui est ici un terme d'ordre 4 et puis alors ça doit être le rotationnel du sigma d'avant c'est pas important c'est un truc qui est donné d'accord ? donc ça c'est le forçage par le vent d'accord ? donc ça je dis c'est moins la même équation si vous prenez l'équation de tout à l'heure et vous faites vous appliquez cette formule ici d'eux de la première équation ou un d'un de la deuxième équation vous faites le calcul et tous les taux de termes doivent s'en aller sinon c'est faux et puis alors j'avais aussi des conditions de bord d'accord ? qui me disaient que U1 et U2 étaient zéro au bord d'accord ? donc ça en particulier ça veut dire que U1 et U2 sont constants sur le bord donc si je vois que ça me donne exactement que Psi va être constant donc je peux décider que c'est zéro ça me fait plaisir d'accord ? et puis que la dérivée donc ça ça veut dire que la dérivée en particulier tangential va être zéro et puis que la dérivée normale au bord va être zéro aussi d'accord ? et ça ça va assurer les conditions de bord ici donc maintenant vous voyez que j'ai plein de conditions de bord aussi qui sont sur Psi que Psi doit être nu le bord et que ça dérivait d'accord ? ça dérivait donc maintenant domaine D qui est 2D d'accord ? et donc ce que je sais c'est que mon Psi il va être égal au bord et que ça dérivait donc dans la direction normale en général plutôt la normale extérieure ça c'est N je dois voir que la dérivée dans ce sens-là va être zéro et si les zéro partout sur le bord la dérivée tangential va être zéro aussi et je retrouve bien que U1 et U2 sont nulles d'accord ? donc je me suis ramené à cette équation scalaire et puis c'est encore trop compliqué déjà c'était une crêpe mais maintenant ça va être une ligne voilà parce que sinon c'est trop dur donc maintenant mon océan c'est une ligne il est pour plus que la variable X1 d'accord ? et je vais oublier ce terme ici avec le DX2 d'accord ? donc maintenant qu'est-ce qu'il me reste ? il me reste une équation différentielle d'accord ? j'ai plus qu'une seule variable qui est X1 et plus qu'un seul une seule fonction inconnue qui est Psi et voilà j'ai cette équation différentielle plus des conditions au bord et je fais ce calcul en 1D après je vous dirai à la fin ce qui se passe si je reviens en 2D parce que sinon à l'influence de la géométrie en 1D c'est un peu limitant disons alors donc ce que j'ai dit déjà tout à l'heure c'est que ce qui m'intéressait c'est ce qu'on appelle une limite singulière une limite singulière parce que l'équation on va se comporter de façon singulière quand je vais regarder cette asymptotique donc quand nu est très petit et j'ai dit que ça du point de vue des maths nu très petit comme on sait pas très bien ce que ça veut dire par rapport à quoi on regarde la limite nu tend vers 0 on dit que si nu est très petit ça doit être ce et qu'il y a une limite finalement ça va pas être si différent d'accord alors là j'ai eu une grosse formule juste pour rigoler c'est pas très drôle mais c'est pas grave donc vous savez que si vous voulez regarder la limite d'une suite mais là c'est mieux que votre suite soit bornée d'accord ? parce que sinon ça peut casser les pieds ça peut tendre leur plus l'infini, l'infini ici c'est des fonctions c'est encore pire donc là la première question c'est si je veux démontrer qu'il y a une limite il faut que j'ai une borne d'accord ? alors une borne dans un espace de fonctions c'est plus compliqué qu'une borne sur une suite numérique mais ce qui est important ici c'est que je peux obtenir une telle borne alors la borne comment je l'obtiens c'est pas très important c'est ce qu'on appelle une estimation d'énergie et ici même une estimation d'énergie à poids donc essentiellement vous prenez l'équation vous la multipliez par l'exponentiel vous vous élevez au carré vous intégrer voilà vous obtenez ça c'est pas très intéressant parce qu'il y a la seule chose qui m'intéresse ici c'est que vous voyez que si je regarde cette première partie c'est nu ça c'est quelque chose qui va tendre vers 0 mais en tout cas qui est disons qui pournu à ses petits et plus petits qu'un demi et donc vous voyez que ce beta là c'est quelque chose d'ordre 1 et donc vous voyez que ça cet intégral ici x5 il va être entre 0 et 1 donc ce poids il sert il sert pour obtenir l'estimation mais sinon il sert à rien d'accord ? et donc finalement ce que j'ai c'est que j'ai ce qu'on appelle une borne L2 sur psinu ce sont les fonctions les fonctions qui sont de carré intégrable d'accord ? et ça c'est uniforme vous voyez que je vais le majorer juste par quelque chose qui dépend de taux qui est un truc que je connais qui est borné et puis fois psinu donc après je fais un coup de cochiche Vars d'accord ? ça ça me dit exactement que j'ai une bonne borne sur psinu puis celui là vous voyez que celui là il va pas servir enfin il sert c'est pareil il sert pour obtenir l'estimation mais après dans la limite nu c'est le fait de dire que j'obtiens une borne sur psinu et par contre pas sur ces dérivés d'accord ? donc la seule chose que je sais c'est que j'ai une borne sur psinu alors vous avez des théorèmes qui généralisent ce que vous savez c'est-à-dire que si vous avez une suite dans un borné à l'extraction vous allez pouvoir extraire une sous-suite alors dans l'espace de fonctions ça marche pas très bien ça marche quand même un petit peu ça marche dans un sens faible alors c'est pas le moment de vous faire d'accord ? mais voilà il existe un sens faible tel que une fois que je connais cette borne eh bien je vais savoir que je peux avoir une limite ici pour ce psinu d'accord ? c'est ça qui m'intéresse voilà et donc maintenant si je reviens à mon équation que j'avais avant eh bien je sais que psinu il converge on va être pas trop avec les dérivés parce que je ne sais pas trop quoi on fait d'accord mais ça ça va converger vers beta vers la dérivée de psi à faire 0 et ça taux c'est taux d'accord ? donc finalement qu'est-ce que j'ai à la fin ? j'ai juste que ma fonction limite psi bar elle vérifie juste une équation qui est très simple qui est beta d sur dx1 de psi bar égal taux ce qu'on peut appeler de façon très pédante une équation de transport enfin ici qui est juste une équation ça veut dire que une fois que je sais la valeur de psi bar ici par exemple sur le bord pour obtenir psi bar je suis juste un coup d'intégral à faire il n'y a pas de vous pouvez supposer que taux est très régulier si ça vous vous angoise de savoir si c'est intégrable ou pas voilà mais après on a le droit de vous angoisser jusqu'à ce que vous allez passer un concours après c'est fini voilà alors maintenant maintenant ce que je veux faire c'est faire exactement ce que la procédure qui était expliquée par prendre c'est-à-dire décomposer hors d'accord de l'obstacle hors du mur donc la fonction ça va être une bonne approximation ici à l'intérieur du domaine mais que par contre au voisinage des bords là ça me donne une très mauvaise approximation parce que parce que si ici je fixe par exemple ma fonction est 0 disons sur ce bord ici d'accord donc je fixe que ici psi c'est 0 et puis j'intègre d'accord alors là sauf gros coup de bol et il n'y a aucune chance que ça fasse 0 ici d'accord je prends une fonction taux n'importe quoi d'accord et j'intègre cette fonction taux de ce point ici à ce point donc si j'ai beaucoup de chance peut-être que je vais retomber sur 0 mais faut pas gérer je vais pas avoir de la chance partout d'accord donc en général je peux pas avoir que ça fait 0 ici et 0 ici d'accord ça fait trop j'ai demandé trop alors donc il va falloir que je rattrape les bêtises j'ai fait des bêtises il faut que j'y rattrape non seulement en plus il fallait que le psi ce soit 0 mais fallait aussi que sa dérivée soit 0 voilà c'était la liste au père noël et c'est vraiment trop donc donc j'ai pas le droit à faire ça et donc qu'est-ce que je fais je vais faire exactement ce que je pensais je vais prendre un couche limite qui est censé rattraper les conditions au bord c'est-à-dire je vais rajouter un petit bout une petite contribution ici que j'ai appelé psi c l comme couche limite je suis pas très doux avec ce machin voilà donc mon psi couche limite qu'est-ce qu'il doit faire il doit rattraper les conditions de bord c'est-à-dire que quand je regarde la somme du psi couche limite et du psi bar en x1 égal 0 ça va faire 0 ainsi que sa dérivée tout de suite mon océan est juste un un segment d'accord voilà et donc je vais chercher deux petits bouts de couche limite un petit bout ici et puis un petit bout ici pour rattraper rattraper les bouts voilà et puis qu'est-ce que c'est l'équation maintenant parce que ça ça dise que ça doit faire sur le bord et maintenant il faut que je dise aussi quelle est l'équation différentielle pour cette couche limite ça va être de tout à l'heure donc il me reste ce pas de forçage et ce qu'il me reste c'est un équilibre entre le terme de transport et puis ici le terme de viscosité vous voyez que maintenant c'est une équation si vous regardez ça comme une équation sur la dérivée ici c'est une équation différentielle d'ordre 3 d'accord donc je veux résoudre cette équation homogène d'accord avec des conditions au bord ça on va voir ce qu'on met d'accord et vous voyez qu'avec ce modèle qui est quand même extrêmement simple eh bien on va pouvoir donc je cherche donc si il couche limite j'ai dit un petit bout à gauche un petit bout à droite un petit bout à l'est un petit bout à l'ouest alors j'ai un facteur de scaling alors ce facteur de scaling d'où il vient je dis que si je remplace X1 maintenant par X1 une puissance de nu sur beta bien choisi qu'il doit être à la puissance intière d'accord et bien maintenant j'aurai plus de facteurs ici devant il va me rester une équation différentielle d'accord qui est après le plus simple qu'on pouvait penser hein j'appel j'applique phi j'ai phi et phi moins phi dérémée troisième égale 0 d'accord après scaling le beta est nu j'ai juste changé dilaté enfin on commence plutôt rétrécie bon et ça et je me ramène à cette équation alors pourquoi est-ce que c'est différent entre l'est et l'ouest eh bien parce que si vous voulez résoudre cette équation différentielle ou la forme d'une exponentielle d'accord vous avez cherché que ça comme exponentielle de lambda x d'accord et voyez que du coup l'équation à laquelle vous vous ramenez c'est lambda 3 égal 1 ça c'est pas trop compliqué ou de l'autre côté si vous allez regarder en 1-x lambda 3 égal moins 1 d'accord alors qu'est-ce qu'il se passe la différence évidemment comme vous voulez que ce soit quelque chose qui reste localisé ici vous allez chercher plutôt une exponentielle avec une partie réelle une partie réelle négative qui n'est pas du tout décroître d'accord donc résultat des courses si vous regardez les racines 3e de l'unité donc ça je ne fais pas de dessin vous prenez un cercle division 3 des racines 3e eh bien vous trouvez que si vous êtes à l'est vous trouvez une seule racine et si vous êtes à l'ouest vous trouvez 2 racines d'accord 2 racines avec la bonne partie avec la bonne partie réelle du bon signe d'accord donc qu'est-ce que ça veut dire ça veut dire que après les autres les autres ça vous intéresse pas d'accord ça vous donnez des solutions qui sont explosives donc alors là c'est carrément la 4A c'est même plus une couche limite c'est un truc qui destabilise tout donc c'est certainement pas ça vous voulez maintenant moralité ça veut dire que vous allez pouvoir avec un bonhomme comme ça vous allez pouvoir rattraper une couche limite une condition d'accord alors qu'avec celui-là vous allez pouvoir rattraper deux conditions parce qu'ici vous pouvez choisir un lambda d'accord et puis ici vous pouvez choisir lambda 1 et lambda 2 d'accord et maintenant ce que vous deviez faire c'est rattraper en tout vous avez 4 conditions d'accord donc vous avez une première condition ici qui était que psi bar plus psi de couche limite ici bon oui x1 égal 0 ça devait être égal à 0 et pareil pour la dérivé et puis la même chose ici en x1 égal puis psi bar plus psi de couche limite en x1 égal 1 prime j'en faisant d'accord donc ce que je dis c'est qu'il y a un côté ou malheureusement je ne vais pas pouvoir j'ai pas beaucoup j'ai qu'un seul degré de liberté sur mon petit couche limite d'accord donc ça ça veut dire quoi ? ça veut dire que je vais pouvoir récupérer ici une équation mais l'autre j'ai intérêt à ce qu'elle soit satisfaite d'accord donc ça ça veut me dire que je vais utiliser ces deux équations ici et puis que eh bien et je dois fixer une condition sur psi bar à droite d'accord j'ai pas le choix je peux avec ma couche limite je peux rattraper une condition d'accord donc je vais pouvoir remplacer mon petit couche limite comme ça je vais avoir du lambda ici et là et après l'autre j'ai pas le choix il faut qu'elle soit satisfaite par psi bar d'accord donc ça veut dire que je suis obligé de revenir maintenant mon équation de transport mon équation de transport c'était juste une équation de type équation différentielle taux d'accord sur tout mon domaine et maintenant je sais que la condition au bord je peux pas la choisir je peux pas choisir de fixer psi bar ici j'ai pas le choix psi bar il faut que je fixe de ce côté là d'accord donc ça ça vous donne quelque chose qui est complètement symétrique vous voyez que c'est a priori c'est un phénomène qui est complètement localisé près du bord et pourtant ça va déstabiliser complètement ici tout l'ensemble d'accord a priori les couches limites la viscosité c'est quelque chose qui est fixé votre condition pour votre équation de transport et donc en fait cette viscosité eh bien indirectement c'est elle qui pilote tout flot sur tout le domaine d'accord ça doit la première raison pour laquelle ça pilote tout flot c'est elle qui fixe qui vous dit que c'est à droite que vous devez choisir la condition de bord pour le psi bar et pas où vous voulez d'accord ici à l'est voilà et puis après l'autre le psi bar il fera ce qui pourra vous aurez intégré votre votre équation de transport donc là le psi bar eh bien une fois vous l'avez fixé ici il est fixé de ce côté là mais ça c'est pas grave parce que ici vous avez 2 degrés de liberté pour la couche limites d'accord donc vous pouvez rattraper les 2 conditions pas de problème en jouant sur l'ambda 1 et l'ambda 2 vous allez avoir un système linéaire qui est pas très compliqué à résoudre en l'ambda 1 et l'ambda 2 d'accord donc vous voyez que déjà rien que sur cette première ce premier calcul très simple vous voyez que 2 choses la première c'est que c'est une symétrie totale d'accord alors laissez l'ouest c'est fixé par rapport au fait aux signes de beta donc à l'inomogénéité du vecteur de Coriolis et puis vous voyez que donc cette symétrie et puis le fait que la couche limite en fait elle a pas un impact que localement elle a un impact sur tout le flow même le flow moyen dans le domaine d'accord alors ça évidemment dans ce cas là il y a ça manque un peu de géométrie d'accord mais en dimension 1 c'est pas forcément très intéressant et ça correspond pas tout à fait à ce que j'avais vendu dans le titre qui était l'influence de la géométrie parce que voilà et seulement une fois qu'on a vu la gauche et la droite en dimension 1 on a tout vu voilà donc ce que je voudrais maintenant c'est discuter quelques autres propriétés alors là évidemment il n'est plus question de faire des calculs ou de vous expliquer comment ça se passe parce que ça va être un peu plus technique mais juste que vous ayez un petit peu une idée d'accord de la complexité de décompasse en dimension 2 d'accord donc la première chose c'est que si vous regardez un domaine donc plus simple donc une patate mais une patate convex d'accord une gentille patate convex comme ça voilà donc il va y avoir un premier problème un premier souci qui est au voisinage des bords ici nord et sud d'accord donc là pour l'instant on a vu on a même eu une patate carrée ça serait encore plus simple voilà donc on a vu ce qui se passe ici mais maintenant évidemment au nord et au sud ça se passe pas pareil pourquoi donc si je regarde toujours mon équation ce que je vais faire dans ma couche limite ce que je fais c'est je change je change la taille de la coordonnée ici de ma distance au bord d'accord donc ici ma distance au bord au nord et au sud eh bien elle est c'est quelque chose qui est contrôlée par ma variable x2 x2 c'était la longitude x2 c'est la latitude et donc maintenant ce que je dis c'est que dans un cas c'est bien la distance au bord quand je suis au nord ou au sud c'est quelque chose que je vais changer d'accord sur laquelle je peux agir avec la variable x2 donc en resquellant la variable x2 maintenant vous voyez mon équation de couche limite si je veux regarder une couche limite eh bien ce terme là près du nord il n'est absolument pas singulier c'est dérivé par rapport à x1 d'accord mais dérivé par rapport à x1 près du nord donc même dans une couche limite par rapport à x1 c'est dérivé c'est ça fait rien si vous avez une gentille fonction c'est dérivé par rapport à x1 et donc la seule chose que vous allez dilater ici c'est la variable x2 d'accord donc on va dire que l'autre terme il est plus petit parce que c'est vrai d'accord et donc maintenant vous voyez que les deux termes qui vont s'équilibrer au nord et au sud c'est ce terme de transport ici qui est d'ordre 1 et ce terme ici de viscosité qui va devoir être d'ordre 1 ça vous dit qu'elle n'est pas la même d'accord parce que si vous changez votre x2 pour que ça soit en gros d'ordre 1 votre x2 il faut que vous le vous le squeliez comme nu à la puissance 1 quart et pas comme nu à la puissance 1 tiers d'accord donc ça veut dire qu'en fait votre couche limite elle est comme nu puissance 1 tiers donc elle est toute petite ici et par contre ici elle est plus grosse d'accord donc déjà ça devrait ressembler à un truc un peu plus simple première chose elle n'a pas la même taille alors évidemment pour l'instant je discute pas ça ça pose un petit peu des problèmes dans les coins voilà donc ça c'est la première chose et puis il y a une deuxième chose c'est que cette équation du coup elle n'a pas de tout non plus la même je dirais les mêmes propriétés mathématiques d'accord c'est pas du tout une équation du même genre si vous regardez cette équation là alors c'est un peu compliqué parce que c'est une dérivé d'ordre 4 peut-être si c'était une dérivé d'ordre 2 ici c'est quelque chose qui vous parlera un peu plus avec une dérivé d'ordre 2 ici ce qu'on appelle l'équation de la chaleur cette vue si vous avez regardé comment se répartit la température dans une barre métallique et donc c'est ce qu'on a appelé une équation ici de propagation d'accord une équation parabolique et donc ça n'a pas du tout les mêmes propriétés que l'équation différenciel que j'ai toute à l'heure l'équation différenciel que j'ai toute à l'heure essentiellement pour chaque point je pouvais résoudre localement j'avais une exponentielle et terminé là c'est pas du tout pareil c'est vraiment cette idée de propagation et donc je vais pas pouvoir résoudre cette équation on va dire juste de chaque point du bord qu'on va mettre là on va dire bon maintenant qu'est-ce que je fais pas du tout comme ça j'ai oublié de fixer une condition ici et la propager vraiment comme une équation sur la température vous chauffez d'un côté de votre barre et vous regardez ce qui se passe vous avez une propagation comme ça donc là c'est exactement ce qui se passe pour cette équation c'est une dérivé d'ordre 4 mais ça se comporte exactement pareil donc il y a certaines propriétés importants de ces équations comme l'équation de la chaleur donc pour l'équation de la chaleur ça serait le temps d'accord l'équation de la chaleur il y a une propriété en particulier très importante c'est qu'elle est irréversible d'accord donc dans un sens vous pouvez avancer pas de problème vous n'avez jamais le droit de revenir en arrière ça c'est interdit vous pouvez comprendre comment ça va progresser en temps mais l'équation de la chaleur elle ne vous permet pas de revenir en arrière en temps d'accord c'est tout ce qu'on appelle les équations de diffusion d'accord donc là qu'est-ce que ça veut dire l'avant et l'arrière c'est par rapport à la variable X1 d'accord donc une nouvelle fois vous allez voir cette couche limite au nord et au sud évidemment va se propager d'ici à partir de l'est et jusque vers l'ouest et vous n'avez pas le droit de faire le temps d'accord donc ça c'est réminissant un peu de ce qui se passait tout à l'heure pour la condition de bord vous avez un sens de propagation vous avez à nouveau ce sens de propagation pour au nord et au sud et puis vous avez en plus évidemment que ici la taille n'est pas la même voilà et donc ça c'est une première chose et alors une deuxième chose que je voudrais expliquer c'est maintenant si votre domaine dans votre océan on n'est ni une patate convexe ni un rectangle donc quelque chose un peu plus compliqué comme ce qui est dessiné là-haut quel est le problème donc j'essaye de faire un dessin et de vous expliquer pourquoi il y a un problème donc on fait un dessin pas trop compliqué voilà donc ici c'est mes bords est d'accord en orange et donc là je sais que je vais fixer que psi bar c'est égal à 0 ici en gros on ne sait pas que ça fait 0 voilà donc surtout ces bords là est j'ai que psi bar c'est égal à 0 d'accord et après j'ai dit mon psi bar pour le trouver qu'est ce que je fais je pars de mon point ici j'intègre ici le long de ma ligne horizontale et je trouve ce que ça vaut ici d'accord mon psi bar d'accord c'est juste une intégrale faut juste j'intègre ces points d'accord alors qu'est ce qui se passe donc voilà si j'arrive par exemple pour un point par ici ou par ici hop par ici c'est un peu simple donc je vais avoir intégré à partir d'ici on va faire un truc d'accord maintenant si je regarde un point qui est juste un peu en dessous qu'est ce qu'il se passe j'intègre qu'à partir d'ici donc c'est pareil que tout à l'heure à moins d'un grand coup de peau il n'y a aucune raison qu'ici sur cette ligne là ce soit continu d'accord pourquoi il n'y a pas de raison que ça fasse zéro d'accord donc ça veut dire que les points qui sont juste en dessous de cette ligne vous allez avoir intégré juste à partir de ce point critique ici les points juste au dessus vous allez avoir intégré à partir du bord qui loin très loin d'accord ça veut dire que si faut regarder juste la solution ici de votre équation de transport eh bien elle va valoir quelque chose ici qui est gentil continue c'est un fini si vous voulez pareil pour ce bout mais là par contre ça saute et ça saute exactement vous savez exactement combien ça saute de l'intégrale de tour entre ce point et ce point d'accord évidemment si vous faites une géométrie un peu plus compliquée bah ça saute autant de fois qu'il faut et alors ça la viscosité elle est pas très grande mais juste elle vous interdit de sauter d'accord c'est exactement le même problème qu'au bord tout à l'heure la viscosité elle est pas très grande d'accord mais elle vous dit que nu fois la derivée d'ordre 4 ça doit être un truc qui est borné d'accord donc ici votre viscosité dit ah non niette ça c'est pas du tout admissible d'accord donc il faut rattraper cette discontinuité et en fait ça ça fait comme si vous avez mis un bord fictif d'accord donc qu'est-ce qui va se passer vous allez forcément faire la même chose que pour le nord et le sud d'accord d'accord ça c'est comme un bord nord au sud et vous allez récupérer une autre couche limite ici d'accord ça c'est un exemple intéressant parce que je crois à ma connaissance c'est le premier cas de couche limite normalement c'est un des couches près du bord qui n'est pas près du bord et qui n'est néanmoins est stable c'est-à-dire qu'on est capable de montrer quand même qu'on va pouvoir faire une construction une construction ou l'approximation qu'on est en train de construire reste bien proche de la fonction de courant qu'on est en train de chercher d'accord donc je crois voilà je pense que c'est un premier exemple d'une couche limite qu'on s'attendrait à trouver près du bord et qu'il n'y pas du tout près du bord qui est en plein milieu d'accord et ça c'est des choses physiquement des espèces de zones de singularité comme ça qu'on voit très bien voilà je ne veux pas vous traiter d'expliquer du tout comment on fait ça techniquement techniquement juste le calvaire d'accord c'est de recoller tout ça d'accord alors là c'est pas très je pense qu'on voit essentiellement rien mais essentiellement il va falloir recoller ici vos couches est est est ouest et puis plus les couches ici discontinuité les couches nord les couches sud d'accord et ce qui est très pénible c'est à voir qu'on raccorde pas c'est ce qu'on a cherché longtemps on a cherché longtemps à raccorder ces couches évidemment ça c'est pas très facile de raccorder un truc qui est de taille d'accord typiquement pour ça une exponentielle de quelque chose qui est comme nu puissance moins un quart une autre exponentielle qui est comme exponentielle de nu puissance moins un tiers et ça se raccorde pas ça marche pas donc en fait ce qu'il se passe c'est qu'il faut les superposer voilà faire les choses en l'ordre c'est-à-dire toujours commencer par le bord-est et propager les choses dans mon ordre que j'ai montré tout ce début pour avoir une borne vous montrez qu'en fait ça va rester petit voilà donc après je dirais c'est faire le bras de fer avec le problème et puis voir qu'il est le plus fort voilà on est content quand on est plus fort mais ça ne prend pas pas du temps voilà mais évidemment c'est je dirais c'est lors de la poèce la poèce technique peut-être mais ça répond pas vraiment au problème définitien qu'il y a d'avoir une prédiction quantitatif même même qualitatif d'ailleurs et donc pour faire quelque chose de raisonnable la question c'est maintenant qu'on a une technologie je dirais qui est assez robuste qui sur des problèmes simples fonctionne bien et ce qu'on est capable d'implementer cette technologie sur des problèmes plus importants plus complexes plus pertinents physiquement et donc il y a au moins 2 facteurs qui sont vraiment importants si on veut comprendre la circulation aussi au niveau global qui sont la température parce que la température c'est quand même vraiment le moteur dans l'océan donc ça il faut comprendre comment rajouter la température c'est un point délicat parce que les financières ne savent pas forcément on verra bien d'ailleurs comment il faut la rajouter ça c'est vraiment le je dirais le point numéro 1 et puis il y a autre chose qui est vraiment pas raisonnable c'est qu'on a oublié totalement la dimension la troisième dimension d'océan en particulier si vous avez une énorme montagne au milieu ou une île eh bien pour l'instant je vois rien parce que vous avez appellé votre océan comme une crêpe très raisonnable non plus et puis c'est très bien aussi que la circulation océanique globale on a de l'eau qui remonte ou qui descend près des côtes c'est vraiment quelque chose qui est 3D et sur lequel la température joue beaucoup donc la question c'est est-ce qu'on peut continuer à faire ce genre de choses sur des modèles plus compliqués mais aussi plus réalistes voilà je vais m'arrêter là parce que je pense que ça va être plein la tête et puis je vous remercie beaucoup de votre attention Vous y croyez à ce qu'elle a raconté et moi je n'y crois absolument pas moi je n'y crois pas moi je n'y crois pas c'est incroyable et là écoutez elle essaie de vous faire avaler que le Saint-Atlantique il fait 5 000 km de large cette phrase cette idée que ce qui se passe le long des côtes côtes d'un côté du côté américain se ressente à 5 000 km je ne peux pas croire une chose, c'est pareil c'est le calcul qui l'a dit est-ce que dans l'hémisphère sud on a le droit à une aversion des dérôles puisque la force de Coriolis devrait pas être inversée non alors la force de Coriolis c'est inversée dans le sens que vous voyez que si vous regardez la première la première la première l'ordre 0 d'accord, ce qu'on appelle le F-plan évidemment vous voyez que ça va être négatif quand là c'était positif mais par contre vous voyez qu'en fait ce qui joue dans cette partie-là c'est la dérivée la dérivée c'est la même dans les deux hémisphères d'accord c'est toujours sur le bord le bord ouest que ça se concentre parce que c'est la dérivée qui joue et pas le signe du vecteur local de rotation du coup la théorie en fait elle prévoit qu'il y a un courant qui va remonter les côtes elle prévoit alors tant qu'on n'a pas dit quoi ressemble tôt à quoi ressemble surtout essentiellement tôt ça dit pas grand chose sur psy parce que non si on change le taux on va changer tout partout oui parce que maintenant on peut prévoir un courant d'amplitude minime en négligeant les gros courants dû à la convection les variations de température le gros courant qui est le gros courant ici dans mon modèle qui est trop simple et donc effectivement il ne prend pas en compte la température c'est juste c'est ce qui reste c'est l'équation de transport c'est ça qui donne ce qu'on appelle la relation de Sverdrup qui est la relation qui vous donne exactement le gros courant le gros courant le goal stream c'est mon psy-barre de tout à l'heure comme je n'avais pas de température ils m'ont manqué physiquement ils m'ont qu'une grosse partie du mécanisme mais voilà c'est l'équation qui reste c'est l'équation vraiment qui pilote le flow à l'intérieur du domaine et après ce qui voilà après les faits de couche limite il est un peu quelque part il est un petit peu indépendant de cette équation ce qui compte finalement si vraiment on veut faire les choses de façon très je dirais très minimale c'est en gros l'ordre de l'équation de laquelle on est parti qui va fixer le nombre de conditions de bord qui sont admissibles pour l'équation d'origine et puis l'ordre de l'équation à laquelle on arrive qui fixe le nombre de conditions admissibles pour l'équation moyenne d'accord et tout le reste toutes les autres conditions qui sont en trop il va falloir les rattraper par des couches limites donc après ça dépend du modèle donc un big man c'est un peu différent et voilà essentiellement c'est un compte algebraique il faut de nombre de conditions qui faut rattraper donc ça ne change pas beaucoup on pourrait rajouter de la température mais après ça ne change pas tellement la dimension des espaces on pourrait rajouter un modèle plus compliqué on peut rajouter des effets de la topographie on pourra rajouter ce nombre de choses alors ça complique beaucoup je dirais la partie technique mais l'idée que la couche limite rattrape ce que ce qu'on a perdu entre l'équation de départ et l'équation limite c'est toujours pareil alors la seule chose qui peut se produire de dramatique enfin c'est le cas dans les couches de printel c'est le fait que votre couche limite c'est à dire cette décomposition en inflow moyen plus une couche limite dans ce cas dans ce cas-là il faut faire autre chose mais en général on ne sait pas quoi faire Est-ce qu'il y a une justification mathématique autre que ça marche au fait de choisir de placer une racine à droite et de racine à gauche enfin toutes les fois où on a dit on part de l'est et non pas de l'ouest est-ce que c'est simplement parce que ça marche ou est-ce qu'il y a une justification à ça Pourquoi je n'ai pas pris les racines avec une partie réelle positive c'est ça ? Vous avez placé les deux racines complexes en fait il y a trois racines complexes à chaque fois parce que c'est une racine de x3 à égal moins un ou de x3 à égal plus un mais si je mets les racines avec une partie positive qui va être une partie réelle qui va être positive ça va me dire que je veux obtenir un développement avec une exponentielle qui va qui va croître très forte c'est une instabilité violence quand je mets l'angle du bord donc ça c'est clairement c'est inadmissible j'ai aucune chance de montrer qu'un truc comme ça va être stable alors après pourquoi est-ce qu'on obtient juste le bon nombre il faudrait faire un peu d'analyse harmonique et regarder les symboles des opérateurs mais là je pense que c'est pas très raisonnable je vais pas le faire mais oui il y a une raison enfin il y a une raison je dirais intrinsèque qui fait qu'on obtient la bonne dimension la bonne dimension mais vous voyez que ça quelque part c'est un cas assez particulier c'est le cas où on peut faire tout localement vous voyez qu'au nord et au sud ce qui est beaucoup plus générique ce qui peut se produire beaucoup plus complexe parce qu'on obtient on peut pas résoudre localement juste avec une exponentielle de lambda x on est obligé on est obligé de regarder une équation de propagation qui est beaucoup plus compliquée et là on peut démontrer mais c'est beaucoup plus compliqué aussi que ça va bien rester parce que j'ai dit ça se propage il faut me montrer que ça va pas se barrer vraiment loin dans le domaine il faut me montrer que ça reste ici bien localisé je dirais que par rapport à la formulation dans le cas est est ou est ou tout est explicite on a juste une exponentielle décroissante donc montrer que ça reste localisé c'est quelque chose qui ça se voit là il y a quelque chose il faut travailler beaucoup plus regarder les dérivés refaire des estimations d'énergie pour les dérivés et voir que que ça va pas empieter ici sur le doréne donc c'est pas je dirais c'est le cas qu'elle est mieux connue parce que finalement c'est déjà les phénomènes de couche limite c'est quelque chose qui est forcément très large mais mais même à l'intérieur de cette communauté les gens ils font souvent des couches limites juste quand elles sont locales après dès que ça commence à être un peu plus bada les gens préfèrent arrêter là c'est pas grave l'océan sera un tort parce que parce que c'est trop compliqué quand t'as des bords voilà la plupart des modèles sont comme ça l'océan est un soit tout l'espace soit un tort il n'y a pas de bord en soir j'avais une question sur les tailles caractéristiques qu'il faut pour que ça marche parce que là on voit que ça marche bien dans l'océan nord-atlantique mais est-ce que ça marcherait dans un bassin plus petit par exemple en Méditerranée ou même sur un lac alors c'est une question très intéressante qui est liée je pense au titre que je donnais pour la circulation océanique à grande échelle toute la question elle est de savoir pourquoi ce genre de choses alors le phénomène de couche limite a eu lieu je dirais dès qu'on est à une distance sur une échelle de longueur qui va être grande devant l'échelle caractéristique des frottements donc ça c'est n'importe quelle la Méditerranée est largement assez grande et même un lac donc ce phénomène de couche limite maintenant après les équilibres entre les différentes forces sont très différents c'est-à-dire que typiquement sur un lac la force de Coriolis peut l'oublier ça ne sert à rien d'accord donc c'est pas c'est pas les forces en jeu évidemment on choisit de garder celles qui sont plus pertinentes à l'échelle qu'on regarde mais voilà je ne sais pas si vous avez déjà entendu cette histoire que c'est la force de Coriolis qui dit dans quel sens on va se vider mais c'est vraiment c'est une absurdité monumentale je veux dire c'est pas la force de Coriolis sur cette échelle-là elle ne fait rien du tout voilà donc les mécanismes les forces en jeu l'équation va être un peu différente mais oui la viscosité est très petite devant l'échelle considérée et donc on a encore des phénomènes de type couche limite mais voilà avec un mécanisme différent et donc des couches limites différentes Bonsoir alors j'avais une question sur la nature de ce qu'on a vu ce soir est-ce que c'est en fait la simplification de quelque chose de plus poussé ou est-ce que c'est la première étape dans une démarche de modélisation qui cherche après à ce compliqué en fait alors bon on espère toujours que c'est la première étape qu'un jour on sera faire mieux ça déjà c'est le principe mais quand on fait la recherche c'est toujours comme ça on espère toujours qu'un jour on sera faire mieux donc oui donc c'est une première étape ensuite là où c'est pas juste une première étape c'est que ce qui est important c'est d'être capable d'identifier des mécanismes parce que c'est pas plus simple quand on met tout à la fois de voir tout à la fois évidemment après c'est important qu'on a un modèle très complexe de retrouver de retrouver les différents phénomènes mais c'est un phénomène on n'est pas capable de l'expliquer déjà et de comprendre bien sur un modèle simple général il ne faut pas rêver on ne saura pas le faire directement sur un modèle très complexe donc le phénomène on s'attend ce qui soit le même sur un modèle plus complexe ça c'est ce que je disais si on rajoute la température si on rajoute alors j'ai peut-être pas parlé du K3D c'est encore plus compliqué il y a un problème de phénomène de surface libre des choses comme ça je vais pas aborder maintenant mais voilà c'est typiquement si on rajoutait juste la température on garde un modèle 2D on rajoute juste la température on s'attend quand même à avoir des équations qui sont du même type alors après ce qui n'est pas clair c'est ce qui a de la viscosité ou non sur l'équation de densité ou de température et ce que c'est pas très clair savoir exactement quelle équation on va mettre mais après le phénomène de crush limit et le fait qu'il y a des choses qui sont stables pas pareil selon la géométrie et où on est ça c'est quelque chose qui qui dépend pas du modèle donc je dirais une fois qu'on a la technologie et avec du travail et de la patience on espère pouvoir implémenter le même genre de choses sur des modèles plus compliqués L'est et l'ouest puis le nord et le sud dans la résolution pourquoi vous êtes passés sur un quel rôle prépondérant je vous laisse l'est et l'ouest la symétrie l'est ou est vous avez choisi je pense que par l'est et l'ouest c'est plus facile que je peux faire le calcul et que le nord et le sud je peux vous expliquer ce que c'est que l'équation de la chaleur une équation par un bobine que quand ça se passe ça va être plus fatiguant et plus compliqué à faire tenir en une heure donc voilà ça c'est un très mauvais argument mais c'est voilà malheureusement un argument de poids et ensuite je dirais que pendant très longtemps les gens il y a des articles un peu plus anciens sur ce problème et où les gens disaient qu'est ce qui est pas je pense totalement raisonnable c'est pas totalement déraisonnable c'est que ce qu'ils disaient c'est qu'on a un océan comme ça et puis après il y a juste le pôle nord et le pôle sud on oublie juste qu'il y a des continents voilà et ce qu'on constate c'est que les vents près des pôles nord et sud donc le taux là il est petit vraiment on regarde juste toute la terre on regarde pas les trop les continents on juge ce des continents qui sont bien comme on veut enfin juste un rectangle d'accord c'est le c'est moral qu'honneur et au sud on attend quand même à ce que le taux soit plus petit d'accord et donc les gens on dit le taux est plus petit allez le taux fait zéro et donc si le taux fait zéro il n'y a rien à rattraper il n'y a pas de couche timide voilà mais il y a ça qui est une partie de la réponse je dirais que physiquement c'est un peu cette même démarche je veux dire on commence pas à regarder quelque chose qui est plus simple et puis mathématiquement c'est beaucoup plus simple parce qu'ici on a des couches limites qui sont totalement localisées ce que j'ai dit c'est l'exponentiel on tout se calcule explicitement ce qui n'est pas le cas au nord et au sud mais on retrouve la même dissimétrie est west dans ces couches nord et sud justement à cause du fait que pour cette équation de type alors c'est pas une équation de la chaleur parce que ce serait juste avec un aplacien et là on a un bil aplacien mais pour ce genre d'équation en parabolie qu'on a vraiment un sens de propagation on ne pouvait pas décider de fixer la condition ici de remonter c'est vraiment interdit pour ce genre d'équation d'aller en arrière politique en vrai c'est interdit l'impression de sentir un peu comment ça comment ça marche c'est pas simple moi je comprends rien à ces mathématiques alors j'ai toujours épaté quand j'entends les spécialistes d'équation d'arrivée partielle je vous dis bon contempler leurs équations tel terme mais il a telle signification tel effet et il y a une analogie avec telle situation classique et bien comprise et donc on s'attend ce qui va se passer ça et puis et puis après on se débrouille pour le démontrer ils ont un réel savoir-faire qui est qui n'est pas seulement d'empiler des formules des équations ce qu'ils ont un peu tendance à faire à l'écran mais ils ont une espèce de flair et qui ça veut transmettre à leurs étudiants enfin bon ça il y a une vraie culture mathématique et puis ils savent aussi parler un peu avec les spécialistes des autres disciplines est-ce que t'as eu l'occasion de parler avec des physiciens des géophysiciens et qu'est-ce qu'ils en pensent de tout ce que tu racontes ben c'est toujours le même problème enfin le même problème la même ambiguïté c'est à dire que quand on discute avec un physicien et qu'on est un mathématicien il commence par récanné doucement en disant que si avec des mathématiciens les fusils on pourrait les attendre encore longtemps ils ont pas totalement tort il faut reconnaître et voilà après il y a quand même des situations où il y a des choses des phénomènes qui ne comprennent pas typiquement ces espèces de singularité en plein milieu de l'océan c'est quand même étonnant ou ou des problèmes justement quelque part presque le cas qui les intéresse plus ne marche pas d'accord là ça marche ça veut dire juste confirmer ce qui ce qui s'est à faire parce qu'ils ont une intuition de comment ça marche depuis longtemps il y a des des cas donc je vais pas parler du tout ici mais c'était le cas du forçage raisonnant par exemple les couches Dekman si ici on se met à avoir un vent qui a des oscillations exactement à la même avec la même période que la rotation de la Terre il se passe des phénomènes très très particuliers et ça comme il faut pas les choses de façon je dirais assez fine pour pouvoir le décrire précisément ben voilà il voit juste que ça marche pas et voilà je pense qu'on est capables d'apporter un petit peu des éclairages sur peut-être des choses qui peuvent paraître des points de détail mais voilà je pense qu'il y a des collaborations intéressantes ce problème le problème principal c'est probablement qu'on parle pas le même langage voilà donc pareil si vous avez l'opportunité de pendant le plus long temps possible de de garder je dirais une formation qui dans plusieurs disciplines je pense que c'est vraiment un atout après de être capables de parler plusieurs langues exactement on est capables de parler plusieurs langues en anglais l'espagnol voilà être capables de parler les maths la physique la géophysique c'est bien aussi il y a eu des bonnes questions non ? ah très bien ça l'est très bien donc je pense qu'on peut applaudir le public moi je le fais merci la conférencière