 Merci beaucoup. Et donc, merci beaucoup pour les organisateurs, parce que c'est vraiment un grand plaisir pour moi de parler à ces conférences en honneur d'Arthur Auguste. Nous avons rencontré, je pense, pour la première fois en 1974, et nous travaillions en crystalline comologie depuis le début, et maintenant je vais retourner à la crystalline comologie, encore une fois. Donc je pense que c'est peut-être une certaine circumstance pour parler de cela. Néanmoins, ce n'est pas complètement un nouveau travail, et je dois l'apologiser à ceux qui ont apporté les versions d'aujourd'hui. Avec respect à Montpellier, où j'ai donné le talk à la conférence de Grostheny l'année dernière, c'est le même talk, mais maintenant il y a des slides. Et c'est partie de les résultats d'Arthur pour moi de write-down complètement ces résultats, lesquels je n'ai pas fini de faire, mais au moins c'est un moyen de montrer que je t'adresse sérieusement. Ok. Nous avons une crystalline comologie mode P to the N, et on essaie de donner plus de résultats généralement finitifs que ceux qui sont classiquement connus. Donc les notations pour l'introduction seront les notations habituelles, c'est le numéro primaire. N est un integer. Nous travaillons mode P to the N. K sera un fil parfait de caractéristiques P et W, W, N, les vectors de length N avec coefficients K. C'est une comologie pour une propre et smooth variété, avec respect à W, N. C'est une bonne comologie pour nous ça signifie 3 choses. 1. C'est isomorphique avec une comologie d'horreur de smooth lifting 2. C'est un complexe de crystalline comologie qui est le parfait complexe de W, N modules. 3. C'est satisfait possible la radialité. C'est pourquoi vous trouverez des choses dans la littérature. Il y a des résultats qui peuvent être généralisés pour des cristaux locales et fréquentés sur la cristalité de X0. Mais sur ces résultats, il n'y a pas de finitenance ou de perfection ou de point caractéristiques de plus en plus de coefficients. Donc je veux introduire la catégorie de coefficients relative à W, N pour qui je vais avoir des résultats de point 1, 2, 3 qui que je n'ai quitté. Et je ne veux pas qu'une fois que c'est possible les versions relativement de la finitenance propre. Je dis que quand c'est possible mais je devrais peut-être mettre un flat ici parce que nous ne espérons pas d'avoir un complet formalisme de six opérations quand nous travaillons avec des coefficients. Parce que nous savons que la cristalité n'est pas en train de travailler sur les schemes non-proper ou non-proper et aussi, d'une théorie arithmétique il y a des problèmes qui ont besoin de travailler avec des différents opérateurs. Donc je ne vais pas l'entraîner ici mais je vais le rencontrer pour le set-up classique. Quels sont les résultats que je peux vous donner aujourd'hui ? J'assume que le X0 est un scheme smooth c'est-à-dire le WN OX0 est le chiffre structurel de la cristalité qui sera aujourd'hui nilpotin de cristalité. Je constructerai deux catégories de complexe filter de modules OX0 qui sont appelées D-perfect et D-chef-perfect qui sont les propérations suivantes. Si vous assumez que le X est livable ces catégories sont relativement équivalentes et anti-équivalentes de complexes parfaites de modules D. D est le rang de des différents opérateurs Pd comme l'exemple de Bertrand August qui est parfois dénouvelé par le X0 dans la théorie de modules D. Ces deux catégories sont expérimentées par un théorème local de dualité c'est-à-dire l'O dualité on retourne à ça, bien sûr. Deuxième, ils ont un support singular d'un espace avec des modules D. Nous pouvons définir la notion de non-characteristiques morphismes entre deux smouth schemes avec respect à un complexe d'un X0 et un Y0 et quand nous faisons des assumptions non-characteristiques nous pouvons avoir des résultats finettes comme des résultats finettes ou des théorèmes de régionalité. Donc, comme je l'ai dit je vais travailler avec le site, parce que j'ai vraiment besoin d'être capable d'associer un cristal ou un cristal filtré pour un module D filtré. J'espère que les résultats sont similaires pour des chiffres sur le site cristallin qui permettra d'incliner le cas P equal 2. Mais c'est plus compliqué parce qu'il y a une condition nilpotentielle dans le cas de le site cristallin et je n'ai pas clairement vérifié. Donc, la théorie va s'appliquer au contexte de la log-scheme si on s'enfonce avec la structure de la log-scheme vous pouvez s'assurer que la structure de la log-scheme bénéficie d'un complexe pour le chief pour pouvoir appeler la dualité et vous avez les mêmes résultats pour la structure de la log-scheme. Quelle est la structure de la log-scheme ? La structure de la log-scheme vous reposez sur le rang des vectors V et ensuite vous allez à WNK par la map Tashmüller qui vous donne la structure de la log-scheme. Donc, je vais définir la perfection de la log-scheme. Je considère une situation plus générale que dans la production. J'ai la structure de la log-scheme S0 idéal. S est annulée par la puissance P à la fin que j'ai mentionnée dans l'introduction. Et la log-scheme X0 sera un schéma de relative dimension D ou Dx généralement Dx et parfois j'assume que la log-scheme X soit élevé donc que la log-scheme X0 soit élevé donc que la log-scheme X0 soit élevé par les opérateurs de la log-scheme X dans toute la log-scheme. Assume que la log-scheme S0 est élevé. Oui, c'est vrai. Donc classiquement, l'un d'autres fonctions qui je n'arrête pas dans cette log-scheme sont des modules Dx et des modules Ox et des modules S0 qui sont, je vous le dis, définies. Nous avons écrit l'incité de la log-scheme X et nous avons écrit l'incité de la log-scheme H et la log-scheme X Dx et une fois deux mises de la log-scheme S2 les modules C2 substituent la log-scheme C2 et la log-scheme X et la log-scheme X et la log-scheme E sur les modules d'AX, et le résultat le plus basé, quand vous commencez avec l'incompréhension est que c'est une équivalence des catégories entre la catégorie des modules d'AX et la catégorie des cristaux, qui est en itself la subcategorie d'AX sur les modules d'AX. Mais vous devriez... Oh, pardon. C'est trop rapide. Vous devriez payer attention à la facture que le CX0 n'est pas un exact fonctionnel, même si vous commencez par une équivalence des catégories, ce qui signifie que l'inclusion des cristaux d'AX sur les modules d'AX n'est pas un exact fonctionnel itself. C'est parce que vous définissez le CX0 par... ...pouler de l'autre côté d'un star, qui n'est pas flat, en général. Vous pouvez vous rappeler que la catégorie des cristaux est une équivalence des catégories d'AX ? Oui, parce que c'est une équivalence des modules d'AX. Mais le kernel n'est pas le même dans la catégorie des cristaux, dans la catégorie de OX0 sur les modules d'AX. Par exemple, le kernel de P n'est pas un cristau, c'est un chiffre et il y a aussi un sens dans le sens des modules d'AX. On peut prendre les modules d'AX sur le kernel de P sur les modules d'AX, mais ça ne communique pas avec le CX0 fonctionnel. Donc, aussi pour la référence, ce qui n'est pas bon. Je veux la catégorie d'AX sur la proposition précédente. Donc, on a la catégorie d'AX0, et je vais changer pour assurer la compétibilité avec les conventions dans la théorie de module d'AX. Je vais dénoncer par CRX0, le chiffre de D-1 de DX, le fonctionnel de D-1 de DX à D-1 de OX0 sur S, qui est répliqué par dégager le fonctionnel de CX0, qui est répliquée dans un complexe de module d'AX0 par une résolution flat, ou quelque chose de résolution de modules flat sur OX0. Et ensuite, je change par DX. Ce sont deux formuleurs plus belles. Donc, la première notation, quand j'ai un complexe de modules d'AX0 sur la théorie de module d'AX0, je peux définir le complexe qui est réduit sur la théorie de CX0, ce que je vais dénoncer par E.T. C'est parce que le fonctionnel qui est associé à un module, sa valeur sur la théorie de CX0 est un exact fonctionnel. Donc, avec cette définition, je peux définir les complexes de CX0 qui sont les complexes pour lesquelles la map de transition canonique pour l'amorphisme de Thickening de T' à T' est une amorphisme dans la catégorie de dégager. Donc, cela signifie que la map de dégager est définie par répliquer le complexe édat par résolution flat sur OX0 sur S, et ensuite prendre la map de transition de la résolution de CX0 sur T pour cette résolution sur T'.T. Donc, ce sont ces complexes qu'on s'appelle la crystalline. Je ne sais pas si les comédies qu'on trouve sur la site de la crystalline ne sont pas en général des cristaux. Un exemple classique de ce genre de complexes, si on prend un smooth morphisme de schemes, CX0 va au Y0, puis le direct image de OX0 sur S est un complexe de crystalline de Y0 sur S. Donc, je veux étudier ce fonctionnement, CX0, et je vais utiliser plusieurs subcategories de la catégorie des complexes de OX0 sur S modules. Je vais dénoncer, par D- slower crease, toutes les subcategories consistant de complexes de crystalline. D, FTD de OX0 sur S sera complexe de la dimension finale, comme d'habitude, et DQC de OX0 sur S sera complexe de la catégorie des complexes qui ont des valeurs quasiculaires sur chaque T. Et parfois, je vais collecter ces indexes pour des choses compliquées, mais cela veut dire que je prends l'intersection de toutes ces catégories. Donc, vous avez des propriétés qui sont des conséquences de la définition de la function CRX0. Donc, premièrement, comme je l'ai dit, non, je ne l'ai pas dit, mais c'est facile de vérifier par répliquer la résolution de la résolution flat. Le complexe que vous avez est un complexe de crystalline. Second, c'est une dimension finale sur OX0 si et non seulement si vous commencez avec un complexe de D-module, qui est une dimension finale sur DX. Et troisième, c'est quasiculaire si et non seulement si l'initiel complexe de D-module était quasiculaire. Donc, je veux caractériser l'image essentielle de les complexes qui sont des dimensions finies sur quasiculaires sur DX par ces propriétés. C'est mon objectif immédiat. Donc, pour faire cela, je vais utiliser le fait qu'il y ait une adjointe à l'adjoint de la function CRX0. Alors, je vais construire ceci par l'utilisation de la projection de la crystalline à l'opposité de l'opposité de Zariski, qui est traditionnellement dénotée par UX0 par S. Donc, c'est définit si vous voulez par inverse images, pour chaque pièce, vous avez la valeur de UX0 par S minus 1 par F, la valeur de F par U. Donc, vous pouvez utiliser ceci pour le chiffre DX. DX est un module de biais. Dx module à gauche et dx module à droite par multiplication. Donc, vous pouvez appliquer CX0 à DX comme vue à la gauche de Dx module. Et ce que vous avez, vous avez quelque chose qui est un OX0 par S module et une crystalline OX0 module par la construction précédente. Mais vous transportez cette action à droite. Donc, vous avez aussi un biais module qui a une action à droite par le chiffre U minus 1 X0 par S de DX. Donc, maintenant, vous pouvez associer un module DX à une module OX0 par S. Vous avez, d'abord, les armes sur OX0 par S de cette crystalline transfert de module CX0 par DX dans votre chiffre F. Et ensuite, vous projectez sur le site Zarisky. Vous avez un fonctionnel qui est dénoté par MX par F. Donc, dans cette description, vous voyez que c'est exact. Donc, vous pouvez aussi le dédiver. Et je le dédiverai par DMX par F dot par DRI from dirt transporté par minus DX. Donc, ensuite, de la définition, vous avez des propres plus simples. Vous avez, d'abord, que vous pouvez définir pour l'arbitrary DX module le chiffre de la crystalline CX0 par E juste par prendre le module universal transfert par module et le transfert sur la droite par U minus 1 par X0 par S par U minus 1 par X0 par S par E. Ensuite, en utilisant cette formule, c'est un exercice pour voir que MX est correctement adjoint à CX0. Et vous pouvez dédiver cette adjunction. Et vous avez, ce que je referai, aussi, la formule adjunction. Vous avez des catégories de sens qui, bien sûr, impliquent une formule adjunction entre CX0 et DMX0. Donc, ce sont les propres propres de cette formule. Si vous assumez que vous commencez avec la formule crystalline, la complexe F dot, qui est boundée, non, ce n'est pas important. DMX F dot, il sera dans DB, FTD, la dimension finale de DX. Si et non seulement si vous commencez avec la complexe, qui est la dimension finale de OX0 par S, et il sera quasiment cohérent, si et non seulement si, la même chose pour la complexe initiale. Donc, comment j'ai trouvé? J'ai trouvé deux foncteurs, CRX0, des complexes qui sont boundés à la dimension finale et la complexe quasiment cohérente par DX, à une complexe crystalline qui a la même propres properties par OX0 et par S, et conversément, DMX goes the other way. Puis, la première théorème dans la théorie est le fait que ces deux foncteurs adjoints sont les équivalences inverse entre ces deux catégories que j'ai juste écrit. Donc, par la fonction formulae, vous obtenez les maps de la composition et vous utilisez la computation de la image directe RUX0 par S, en sens de l'exemple de l'exemple de Treshe-Alexander pour prouver que c'est l'asomorphisme. Donc, vous trouvez des corollaires. Par exemple, si vous avez deux complexes qui sont de la dimension finale sur la théorie quasiment cohérente par DX, la projection du RHM par OX0 par S est la RHM par D. Ceci, en particulier, contient en particulier la comparaison avec la compagnie DORAM parce que si vous obtenez F dot, E dot est equal à OX de minus DX, puis la formulae s'adresse à celui-ci. Et c'est le complexe DORAM de la complexe de la démodule F dot qui peut être identifié, bien sûr, avec l'usule chose de la compagnie DORAM. Alors, je viens de la définition de les complexes parfaites. Donc, je vais donner une description locale. Nous avons dit que le complexe est parfait si il y a un covénement ouvert du schéma. Et pour chaque subset ouvert du covénement, une levée smooth par S et le complexe parfait de la démodule sur cette levée ainsi que notre complexe intérieur E dot restricteur du complexe au côté cristalline du subset ouvert est le CR de ce parfait complexe. Donc, localement, j'ai un complexe qui peut être identifié avec les complexes dans l'image essentielle du covénement CR pour l'appropriété de la levée. Donc, ça semble être dépendant d'une sorte de covénement mais on verra plus tard que ce n'est pas. Donc, un cas spécial est le complexe parfait du complexe de modules OX0 C'est un exercice simple pour vérifier qu'ils sont vraiment parfaits aussi. Je vais dénoncer... Vous avez dit que c'est parfait dans ce délai. C'est-à-dire qu'ils ont trouvé une résolution par le projet de modules D ? Oui. Oui. Je vais vous remettre sur le site cristalline de la démodule projectile. La démodule projectile de la démodule génétique. Donc, je vais dénoncer par Db. Vous avez commenté sur la question de la dépendance de la covénement mais dans le cas spécial il y a des complexes parfaits dans le définition d'un complexe parfait sur aucun site. C'est une condition locale. Donc, c'est une condition locale mais je peux décrire... Je vais vous donner un statement au suivant. Donc, je vais rétablir. Ok, donc je vais dénoncer par D une série d'indexes de la catégorie de la catégorie du complexe parfait et là, c'est l'answer à ce que vous avez dit. Vous pouvez avoir cette caractérisation comme le CRX0 d'E pour un complexe parfait de la démodule pour aucun lifting si vous assumez que la condition est trop locale. C'est-à-dire que vous pouvez gluer. C'est le point. Ok. Alors, comme conséquence vous trouvez que la catégorie est triangulée. Et une autre caractérisation de la catégorie du complexe parfait est que vous pouvez le faire relativement au CRX0 ce qui est, bien sûr, beaucoup plus facile parce que vous n'avez pas de lifting n'importe quoi. Si vous commencez avec quelque chose que vous avez déjà assumé pour être crystalline et pour une dimension finie donc la condition de la catégorie de la catégorie du complexe parfait peut être restricte au CRX0 c'est équivalent d'habiter avec respect à la catégorie du CRX0 ou avec respect à la catégorie du CRX0. Et ici, la catégorie de la catégorie de la catégorie de la catégorie du CRX0 est défendue par une idea PD pas seulement par PD. Oui, dans cette seconde section, oui, juste une idea PD qui est une potence PD. Est-ce difficile de prouver cette chose ? Qu'est-ce qu'elle fait ? C'est le conséquent de la catégorie du complexe parfait. Quelle est la réaction générale peut-être vous récolter la réaction générale sur les screens ? Ils sont... Donc, le CRX0 est... il s'agit du CRX0 c'est juste une motion PD qui est défendue par une idea PD et le CRX0 est un schéma de smooth-s un schéma de S0. Mais je pense que il pourrait être potentiellement un petit pathologue que vous n'avez pas expliqué quand les scènes ne sont pas très compactes et la dimension n'est pas constante parce que quand vous voulez manipuler des complexes globales parfois la dimension de les scènes smooths s'appliorent dans des computations si il y a beaucoup de composants connectés alors peut-être qu'il y a un statement de sending boundary pour boundary qui peut se faire globalement parce que c'est... Oui, c'est vrai. Donc, peut-être que je devrais s'assurer que c'est séparé par une question compacte. Certainement, j'ai toujours fait ça en maria... Mais ça doit être local dans l'Université de l'Ethérée donc ne peut-il ne pas faire des enveloppes PD ? Pour le temps, la dernière proposition est locale dans l'Université de l'Ethérée je ne suis pas sûr que c'est essentiel, en fait. Mais si vous avez des enveloppes PD dans un cas, vous devez prendre des enveloppes PD. Donc, si vous commencez à... Oui, donc ce n'est pas vraiment un problème. Mais... Oui, peut-être que ça peut être éliminé et j'ai été un peu lézé. Je ne sais pas. Quand je vais faire la forme final de ce truc, peut-être que je vais m'improver. Je ne suis pas sûr. Et la fin est importante. La fin est importante. Ok. Ok, donc nous avons cette notion de la perfection d'affaires. Mais le premier remarque est que ce n'est pas si bien en respect des immerses clés. Qu'a-t-il le fatiguer? Assumez-vous que f0 de 0 à y0 est une immersion claire. Ensuite, nous avons la description suivante de la formation directe d'un chef sanitaire. Si vous en prenez la pièce en l'incitie k грétale de y0 et si vous serez L la intersection de V avec x0 ensuite vous pouvez vi承rer L' zoo comme une scheme clé de T, défini par une idéale K. Vous devez prendre l'enveloppe divisé de K avec une compétibilité avec gamma et delta. Et ensuite, vous devez prendre la idéale PdL générée par K, qui est tronquée par la force de la haine, le sens divisé de cette idéale. Et vous devez la limiter inverse. Si vous étiez en caractéristique 0, cette chose compliquée serait juste la compétibilité de O.T. à la vue. Et bien sûr, c'est un limiter inverse de cohérentes en général. Si vous commencez avec l'enveloppe locale et les schémes. Mais ce n'est pas une cohérente quasi-cohérentes, qui déjà permet de montrer que ce n'est pas le parfait complexe, comme nous l'avons fait. Donc, ce n'est pas un problème avec l'input en crystalline, peut-être que j'ai eu ce remarque, parce que si vous regardez l'image directe de l'input de la crystalline, de l'input structurelle, sur le site de la crystalline normale, le problème serait que c'est défini par le module Dx, mais ce module Dx n'est pas finalement généré. C'est l'Union des modules d'infinité d'un torsion, pour la filtration de la p-curvature, si vous voulez. Donc, en fait, cela peut être expliqué. Et on verra plus tard que ce complexe est l'Ox0 sur la doule d'une doule d'un parfait complexe, pas d'un parfait, mais une doule d'un parfait complexe. Et c'est pourquoi j'ai envie d'introduire une autre catégorie, qui je dirais doule d'une doule d'une doule d'un parfait complexe, dont je vais dénoncer par Ditchesh, parfait complexe. Mais je n'ai pas envie de perdre quelque chose quand je prends cette line de doule d'Ox0. C'est cette doule d'Ox0. Et parce que les chiffres que je travaille ne sont pas finalement générés par l'Ox0 sur S, je dois faire quelque chose pour prendre en compte ces problèmes de limites inverses. Et la décision que j'ai faite, c'est d'introduire une filtration, une type d'architecture, et de travailler systématiquement avec des filtres complets. Donc, ce que je veux dire par filtres, les rangs et les modules, c'est qu'il n'y a pas d'assumption d'exhaustivité ou de séparatownesse ou de quelque chose sur la filtration. C'est juste une filtration abstracte, avec aucune propriété particulière. Et cela peut être utilisé pour donner une version de filtres complets de l'armes et des produits d'architecture. Et de cela, nous avons utilisé une version de filtres complets de l'image inversée et de l'autre. C'est-à-dire une version de filtres complets que vous pouvez penser de la version de filtres. Donc, quelle filtration vais-je utiliser ? Pour OX, j'utilise une filtration donnée par l'idéal qui définit le S0 et le S2. La filtration de l'ipédia, qui est une filtration discrète. Et pour le négatif OX, je vais juste prendre le OX. Pour le chef des opérateurs différentiels, il y a une filtration naturelle par l'ordre des opérateurs différentiels, qui est une filtration d'augmentation. La première version était diminuée. Mais je n'utilise pas celle-ci parce que je travaille en mode I. Je veux une théorie pour l'optimisation de mode I. Donc, je dois enlarger la filtration par faire un produit tensant avec la filtration, la filtration de l'idéal qui vient de la base. Donc, c'est la description de la filtration pour le rang des opérateurs différentiels. Finalement, le OX0 sur le S a une idée naturelle, qui est le maître de la carte du maître de l'image de OX0 sur le site de l'opérateur. Le maître de l'opérateur qui définit le U dans le T, pour l'éthique de l'opérateur du T. Et je vais filtrer par les powers divises de cet opérateur, le JX0 sur le S. Donc, je vais utiliser le cristal filtré terminologie. En fait, cette notion a été introduite par Auguste dans son livre sur les cristaux de T. Et la même chose. C'est un modulé de filtré OX0 sur le S, comme pour aucun morphisme dans le site cristal. La transition de morphisme, l'une d'habitude, est de filtrer l'isomorphisme. C'est-à-dire, vous devez prendre en compte le produit tensant de la filtration de l'ET avec la filtration de l'idéal sur le T. Et ça vous donne un morphisme de filtré. Donc, ensuite, vous avez une équivalence de catégories entre les modules de filtrés de l'EFDX pour la filtration que j'ai écrivée précédemment et les cristaux de filtrés sur le S sur le OX0 sur le S. Je pense que vous pouvez trouver ça dans le livre Arthur. Donc, maintenant, on doit aller aux catégories rares, donc il y a un petit blabla à dire. Ce n'est pas la catégorie de modules de filtré, ce n'est pas une catégorie anabélienne. Mais c'est une exacte catégorie dans le sens de Quillen. C'est-à-dire, vous avez une notion particulière d'une certaine exacte séquence. Et ça a été investi par Lomond, qui a construit des catégories rares de exactementes catégories, dans le sens de Quillen. Et vous vous appliquez avec la catégorie de l'EFDX modules, avec, bien sûr, une additionnelle assumption que je ne peux pas utiliser ici. Mais le point avec la notion générale que j'ai travaillé avec c'est que vous avez assez d'acécliques ou d'objets displays pour assurer l'objetabilité de les fonctionnaires. C'est un produit de la haine d'amortisseur, l'amortisseur, l'amortisseur, etc. Finalement, avec un travail un peu plus tôt, vous pouvez vérifier que les définitions de complexes pseudo-croyons, complexes finito-dimensionaux et complexes parfaites peuvent être éstandres comme les exposés de l'éluzine dans les SGSCs au contexte de modules de filtrés et les mêmes statements restent drôles. Donc, je vais utiliser cette construction pour dériver, dans le sens filtré, le fonctionnaire CX0. Et depuis maintenant, et je vais toujours assumer que tout respecte la filtration. Donc, en partie, il y aura une notion, une équivalence de catégorie entre les complexes filtres boundés qui sont finito-dimensionaux et qui sont quasi-croyons sur DX, et les mêmes choses qui sont cristallines sur OX0 et sur S. C'est notre précédente équivalence, mais maintenant avec les filtres. Et sans l'assumption d'éluzine, nous pouvons définir la catégorie des complexes filtres boundés comme avant, par la condition locale que l'élu n'existe qu'à l'élu d'un subset ouvert de X sur lequel votre complexe de filtres boundés sur la cristalline vient de la complexe de filtres parfait de filtres boundés en faisant différents opérateurs. Donc, pour l'élu, je dois regarder maintenant, je dois payer un prix pour ne pas mettre la condition de la définition maintenant, je dois l'introduire. Donc, j'ai dénoncé par AF si A est filtrée dans l'Union de tous les filtres de fil I de A. Je vais s'occuper de ces éléments de filet de filet d'ordre en A, et similarly pour la module NA filtrée. Donc, ces sont les modules sub-files sur AF de I et je peux les conduire avec la filtration indique. Donc, EF est le module de filtres AF et je dis que A est exhaustif si AF est equal à E, c'est la définition standard et je l'appuie aussi pour les complexes et je vais dire que les complexes sont exhaustifs c'est le morphisme canadien de AF qui est un exact fonctionnement et qui va dans la catégorie de la catégorie de ce fonctionnement canadien de EF à EF c'est un morphisme canadien de la catégorie de AF. Donc, aussi. En particulier, dans un complexe parfait d'affaires, c'est exhaustif. C'est le cas du facteur que le rang de différentes opératures c'est lui-même, en tout cas, avec une filtration exhaustive. Excusez-moi. Le filtre parfait est testé sur le grade associé ? Ah ! Oui, il peut, dans certains cas. Vous devez mettre les assumptions et, d'abord, la filtration doit être exhaustive et discrète et peut-être que vous avez seulement checké quand le rang est nephérien. Ce n'est pas possible. Oui, c'est en effet le point que je vais utiliser crucialement plus tard. Ok, donc, je vais retourner à maintenant la map de bidualité. Donc, je considère deux complexes E dot, I dot, de la module E filter et le rang E filter. Donc, j'ai la traditionnelle bidualité morphisme relative à I dot, qui sent E dot à Home dot de Home dot E dot I dot à I dot. Dans ce morphisme, ce qui est un morphisme filter, j'ai le morphisme qui est induit par le premier en élément de l'ordre final. Donc, j'ai juste le D F E en Home. Et j'ai aussi la map qui sort de la fonctionnalité ici où je restricte le second Home dot à l'ordre final de l'ordre final de morphisme. Et je suis vraiment intéressé dans cette map comme bidualité morphisme. Donc, je vais causer l'ordre final de bidualité morphisme pour E dot relative à I dot. Et cette définition peut être étendue à la catégorie deraille pour vous donner une map entre les Home d'Ar et la map de bidualité entre les Home d'Ar. Donc, j'ai besoin d'une complexe duale sur X0 sur S. Donc, c'est un bidualité parce que je n'ai pas fait aucune assemblée sur S donc c'est vraiment quelque sorte de relative dualité complexe. Et c'est juste un chiffre structurel qui est shifté par Dx pour la filtration et shifté par 2 Dx pour le degré en homologie. Et ensuite, j'utilise la notation E dot chèche ou decresse de X0 sur S pour l'ordre final de morphisme en 2K. Et si j'ai une smooth lifting je vais dénoncer par C.R. chèche la composition de C.R. et E. chèche c'est le fonctionnement que j'ai obtenu par la position C.R. chèche X0 de E dot est C.R. X0 de E dot chèche. Donc, maintenant, si je prends E0 pour être exhaustif si je travaille dans la catégorie deraille vous voyez que ce sera quasi isomorphisme et c'est mon maitre final de la map de dualité et je peux invertir la première map et je vais obtenir une theorem de dualité un morphisme de dualité de E dot chèche donc quand E dot est un complexe exhaustif. Donc, il y a une theorem de dualité qui dit qu'au début si E dot est parfait Dbf est parfait le complexe du dual complexe est exhaustif du dual complexe dans le sens de la naïve c'est-à-dire, sans prendre le F c'est en fait exhaustif et c'est isomorphique pour chèche dual et c'est bounded et puis le point de vue c'est que les morphismes de dualité soit pour E dot ou pour son dualité ce qui est toujours definit parce qu'il dit juste que le dualité est exhaustif il y a deux morphismes de dualité et de isomorphisme donc vous pouvez perdre rien quand vous allez du complexe qui est parfait pour une dualité légère dans ce sens ce qui est parfait de chèche donc je vais définir maintenant la catégorie du complexe parfait de chèche par dire que localement il y a comme avant pour le C.R. dans l'image essentielle du C.R. de chèche fortuitly, il y a une caractérisation qui n'est pas dépendante de la chose de la couverture donc vous avez la suivante condition vous devez requiser que si l'E dot doit être exhaustif que son dualité devrait être parfait et que le morphisme de dualité soit un isomorphisme donc comme la corollerie vous avez que la catégorie de chèche parfait est une subcategorie et c'est l'équivalent de l'équivalent de la catégorie du complexe parfait Ok, maintenant on va au dernier secteur comparaison et finalité de théoriennes donc pour le parfait de chèche et le parfait de la chèche nous pouvons définir un soutien singular pour la construction de les modules arithmétiques pour les modules algébriques premièrement, si vous assumez que le X0 est un smooth lifting le gradage de Dx pour la filtration modifiée que j'ai introduit avant c'est en fait le produit tensant de le gradage de Dx0 avec le gradage de Ox mais le gradage de Ox c'est juste Ox0 plus des nid-potens donc ça veut dire que ce gradage de Dx a un spectrum le spécrum de l'espace topologique dans le spécrum le spécrum de X0 donc je vais systématiquement identifier le grou de Dx avec le spécrum de X0 Ok, alors si vous utilisez l'association de la module gradée vous pouvez définir parce que c'est un exact fonctionnement sur la catégorie de complexe filter les chiffres de cette complexe qui est maintenant complexe d'objets dans la catégorie en abélience sont des modules de grou de Dx donc nous pouvons associer les chiffres de grou de Dx sur X0 je dis que le grou de Dx devrait être un grou de quasi-grou de Dx je suis désolé il ne faut pas créer le grou de Dx donc vous pouvez associer le chiffre de grou de Dx sur le spécrum de grou de Dx qui est le chiffre de grou de quasi-grou de Dx qui est dénoté par l'H till n de grou de E dot et j'ai utilisé ça comme un chiffre sur la catégorie en espace d'un star X0 donc dans ce cas si l'on a un complexe parfait sur le site cristallin de X0 qui vient de le complexe parfait de la module de Dx je n'arrête pas par l'asset de le point de grou de Dx l'union des supports de ces chiffres de grou de Dx H till n de grou de Dx dans le star X0 donc ça ne dépend pas de l'entraînement c'est facile à vérifier et dans ce cas-ci vous pouvez coller et maintenant vous pouvez aussi appeler ça à la doule par prendre le support singular de la doule de F donc vous avez cette notion de support singular pour pour tous les chiffres qui sont tous les complexes qui sont dits parfaits ou dits parfaits maintenant je veux introduire cette condition non-charactéristique sur les morphismes donc l'espace de cotage a une complexe de fonctionnalité parce que c'est un fonctionnel covalent donc si vous avez un morphisme de schemes de X0 à Y0 vous buildez l'un des cartes de cartes sur ce morphisme avec l'espace de cotage sur Y0 et puis la map de fonctionnalité est la projection de X0 cross sur Y0 T star Y0 à T star X0 donc c'est un diagramme classique que vous regardez dans le théorique de caractéristique c'est défini par une base et vous dites que F0 est non-charactéristique pour une complexe définie par Y0 donc c'est la définition pour l'image inverse si la projection est restrictée à la pull-back donc vous avez, pour F, vous avez ce support singular qui vit dans l'espace cotage de Y0 vous pouvez reposer au producte de fibre et vous pouvez projeter à l'espace cotage de X0 et vous voulez cette projection restrictée à la pull-back du support singular pour être propre et c'est, pour exemple, plus satisfait quand F0 est smooth donc cela contient le cas de l'image inverse par smooth morphisme vous pouvez donner une définition analogue pour une image directe mais ce n'est pas si nouveau parce que c'est équivalent à le fait que F restrictée à la support de la complexe de X0 est propre Ok, donc maintenant je récolte la définition de direct et inverse image des facteurs pour les modules F appartient à F dot et F plus de E dot quand F dot est un complexe de modules sur Y et E dot un complexe de modules sur X et F sur X sur Y est un morphisme de schemes vous pouvez définir vous pouvez prouver en caractéristique 0 que vous avez les théorèmes non-charactéristiques pour des modules et la prouve est actuellement essentiellement en dot qui est donné par Lomo en caractéristique 0 que Lomo utilise le fait que le rang des opérateurs a une dimension homologique ce qui fait que c'est un peu plus facile que je n'ai pas mon dispositif ici donc je dois utiliser ce qui était ma réponse pour la question quelques minutes auparavant la possibilité de vérifier la perfection par prendre l'accessibilité gradée Maintenant, nous voulons transmettre ces statements pour prendre les statements sur le site de la cristalline Donc, première des images inverses si j'ai un morphisme de schémes smooths j'ai une première compétibilité générale pour une complexe qui est boundée sur D et Y l'image inversée de la carte 0 de la carte 0 est la carte 0 de la carte de l'opérateur de la carte de l'opérateur qui vient de la définition de la carte de l'opérateur et si vous utilisez ça et le fait que la notion de la perfection de la carte peut être vérifiée localement vous trouverez que si vous commencez avec un morphisme qui est non caractéristique pour la carte de l'opérateur alors la carte de l'opérateur de la carte de l'opérateur sera toujours la carte de l'opérateur de la carte de l'opérateur Donc, nous avons un résultat similaire pour la carte de l'opérateur mais j'ai besoin de faire quelque chose qui je n'ai pas vraiment discuté à ce point qui est utilisé une grande carte de l'opérateur pour avoir la possibilité d'interpréter l'homme qui intervient qui intervient la dualité comme un homme local et l'image inverse comme l'homme a la restriction de la carte de l'opérateur donc l'image inverse est beaucoup plus belle sur le site de la carte de l'opérateur et c'est effectivement utilisé ici Donc, avec cette carte de l'opérateur si vous... Tout d'abord, vous avez maintenant sans une shift compétibilité entre l'image inverse pour l'image de l'opérateur et l'image inverse pour la carte de l'opérateur pour l'image de l'opérateur et l'image de l'opérateur de l'opérateur de la carte de l'opérateur et encore si vous faites l'assumption non-charactéristique sur la carte de l'opérateur vous avez la préservation de l'opérateur de l'opérateur Donc, maintenant, nous allons tourner le cas de la carte de l'opérateur c'est le premier cas Cet cas de l'opérateur de l'opérateur de l'opérateur c'est le cas de l'assumption de l'opérateur de l'opérateur c'est le cas de l'opérateur en ce cas, vous avez la commutation entre l'image inverse de la carte de l'opérateur de la carte de l'opérateur et la carte de l'opérateur de l'opérateur de l'opérateur et maintenant, comment vous prouvez ça? C'est básicamente parce que les deux côtés peuvent être identifiées avec le homologi de Durham Donc vous devez de choses pour savoir à la fois, vous devez faire des visages C'est à dire ce qui est basé sur ceci. Et maintenant, nous avons deduqué le suivant. Si vous avez un smooth morphisme, vous avez un 0 qui n'est pas caractéristique pour un complexe, qui est le parfait sur x0, puis votre image directe sera bien plus correcte sur y0 sur y. Donc ça veut dire que vous avez un morphisme de schémes qui est smooth, et vous avez un complexe qui a un support qui est propre. Donc c'est un improvement sur le classique, le propre et le smooth situation, quand vous avez besoin d'un support pour être propre. Maintenant, nous finirons la discussion sur le comportement de Ditchesh, le parfait complexe de Ditchesh avec respect aux images directes. Donc j'ai besoin d'une comparaison générale, qui est le suivant. Si vous avez un propre morphisme entre smooths et schémes, et un complexe d'un Dbf parf de dx, puis dans la catégorie directe du complexe de y0 sur y0 sur y, vous avez une commutation entre l'image directe et l'image directe dans le sens module D. Le sens directe de l'image directe dans le sens module D est l'image directe de l'image directe dans le sens module C. J'ai oublié le début du slide. Je suis désolé. Je dois faire une assumption, parce que c'est une utilisation de la dualité. C'est vraiment un genre de théorème relative de la dualité. Donc, j'ai utilisé la dualité pour la logique crystalline. Et pour cela, j'ai besoin d'assumer que c'est une question d'une valeur discrète beaucoup plus limitée pour le temps. Je ne pense pas que cette condition devrait rester pour toujours, par contre. Je pense que j'étais juste en faisant ce que j'ai besoin de faire pour la logique crystalline, mais il n'y a pas de raisons pourquoi ce ne devrait pas être une dualité théorie, qui serait un genre de théorème relative de la dualité, si vous ne l'assumez pas, que l'essence de la dualité est complexe, par exemple. Mais pour le temps de vie, c'est limité à cela. OK, donc, nous avons cette relative de théorème de la dualité. Et ensuite, on deduce de cela que les x0 sont propres et smooths. Et le f0 est un morphisme entre x0 et y0. Et l'image directe d'un complexe parfait de déchauffement est toujours un complexe parfait de déchauffement. Donc, cela inclut les deux cas d'immersion ferme et les maps smooths. Et l'actualité d'actualité utilise la factorisation de gras pour traiter les deux cas. La première casique est de la facture que nous avons cette théorème de commutation, parce que entre les x0, c'est un char et un star. Et le cas de smooths morphismes, cela requiert plus de travail. Nous avons besoin de l'autre théorème de dualité, qui est le théorème de dualité de cristalline. Le théorème de dualité relative de cristalline. Donc, suppliez-vous que vous avez un propre smooths morphisme de smooths x0. La première fois, il y a un mape de trait de la image directe de notre relative de la dualité du chef de kx0 sur s pour O y0 sur S, qui sur le tréviol, y0, oh, pardon, sur le tréviol, le tréviol, y0, y0, est le usual de la trésomorphisme. Parce que cela peut être identifié avec la chronologie de la chronologie à la taille de la bouche. Et la seconde chose, c'est défini pour vous, un paix entre la image directe de la compréhension du complexe d'étoiles et la image directe de sa doule de Kx0 sur S. Et ce paix est le parfait. Donc, ça vous dit que la image directe de la compréhension d'étoiles du complexe d'étoiles est itselfement parfait d'étoiles parce que c'est simplement la doule de la image directe que nous avons vu avant être la meilleure image directe de l'ébiosmorphisme. Ok, mais je pense que c'est la fin. Oh, je n'ai pas utilisé tout mon temps. Donc, la fin, c'est le résultat de la compréhension d'étoiles, qui est une conséquence formale quand vous en utilisez y0 pour être un spectacle de WN. C'est l'étoile précédente. Ok, merci. Donc, l'étoile d'étoiles. L'étoile d'étoiles. Vous devez définir la crystalline de l'étoile d'étoiles. Si vous commencez avec un complexe parfait, vous avez le récipit, le récipit magique qui consiste en définir la doule sur X, la star de l'étoile et la doule sur Y. Ça marche. Vous pouvez définir l'étoile d'étoiles aussi, si vous voulez, mais si vous allez être définis avec le support propre, dans le cas de la map propre, avec le même truc, et il y a la formule d'adjunction entre les deux, mais ça vous dit que vous avez l'étoile d'étoiles et la star de l'étoile d'étoiles est morphique dans le sens propre, dans le cas propre. Donc, ce n'est pas si grand, mais vous pouvez définir l'étoile d'étoiles. C'est un moyen de le faire. Mais si vous n'avez pas l'air d'un son, parlez d'une autre.