 Y acabaremos este módulo recordando o igual en algún caso introduciendo el conjunto de los números complejos. Puesto que dedicaremos el último de los módulos de este curso a hablar más en profundidad de este conjunto de números, nos alimentaremos aquí a dar una pincelada sobre sus principales características de la mano de la historia. Y comenzaremos como hemos hecho con el resto de los conjuntos numéricos, esto es planteando la resolución de una ecuación. En este caso la ecuación es x² más 1 igual a cero. Si intentamos resolverla, nos encontramos con que un tal x que verifique la igualdad, esto es que x² si igual a menos 1, debería ser la raíz cuadrada de menos 1. Pero hemos visto que la raíz cuadrada de un número negativo no tenía solución en el conjunto de los números reales. Así pues, esta ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales. Nuestra aproximación será, al igual que hemos hecho en los casos anteriores con los enteros, los racionales o los reales, considerar un nuevo conjunto en el que esta y otras ecuaciones similares sí que tengan solución. Históricamente, las primeras referencias a los números complejos se remontan a más de dos milenios, a la antigua Grecia al intentar el matemático Heron de Alejandría a calcular secciones de una pirámide. Pese a que no formuló el concepto explícitamente, la idea estaba bastante latente. No fue hasta muchos siglos más tarde, concretamente en el siglo XVI, que encontramos la primera referencia explícita a los números complejos en el Ars Magna, obra que se atribuye a Girolamo Cardano, a quien vemos aquí en la imagen. Bueno, pues seguía a resolver la ecuación cúbica x al cubo igual a 15x más 4. Así pues, aunque hemos empezado planteando la necesidad de los complejos con la ecuación x al cuadrado más 1 igual a 0 por su simplicidad y generalmente es la que se utiliza, históricamente es esta cúbica la que tiene este honor. No fue hasta el siglo XVII que el gran matemático suizo, Leonard Euler, introdujo la notación de I para denotar a la raíz cuadrada de menos 1 con este valor. Así pues, denotamos de esta manera la solución de x al cuadrado más 1 igual a 0. Notamos que si este es el valor de I, pese a que no hemos definido el producto, podemos intuir que I al cuadrado será menos 1. Ir aquí y al cubo, que será I cuadrado por I, podemos decir que será menos 1 por I con lo que será menos I. Y a la cuarta, que será I cuadrado por I cuadrado, será menos 1 por menos 1, esto es 1. Y así podríamos calcular también I al 5 como I por I a la cuarta, esto es I por 1 y en general esto nos permitirá este tipo de razonamiento, nos permitirá calcular cualquier potencia de I como veremos en el módulo 5. Así definiremos a los números complejos como el conjunto de los números que se pueden representar de esta manera como un cierto número real A más B veces I donde B es otro número real. Esta será la parte real y esta será la parte A la parte real y B la parte imaginaria. Si notamos con Z al número complejo, notaremos de esta manera la parte real y de esta otra a la parte imaginaria. Veremos en el módulo dedicado a los números complejos como podemos operar con los elementos de este conjunto, la cual cosa nos permite conocer su estructura. Pero los avanzos, sin embargo, que estamos también ante otra estructura de cuerpo utilizando la operación de suma y de producto que veremos allí como se define. Un ejemplo de números complejo sería 1 más 2 I o bien raíz de 2 menos pi, recordar que solo solicitábamos de que A y B fuese números reales. Notar que en particular el conjunto de los números reales es un subconjunto de los números complejos puesto que solo hace falta considerar B igual a cero y por lo tanto también tenemos que los naturales, los enteros y los racionales serán también subconjuntos de los números complejos. Y acabamos así el primer módulo del curso con esta breve introducción a los números complejos. Aplazamos los ejercicios de estos para el quinto módulo donde los trataremos más en profundidad, definiendo entre otras las operaciones y la estructura en este conjunto de números.