 Voilà, donc je veux parler de la fonctionnalité de l'anglance, du principe de fonctionnalité de l'anglance, envisagé d'un point de vue équivalent, comme je l'ai expliqué, le point de vue de ce que j'appelle transformation de fourrier non linéaire et formule de poisson non linéaire associé. Donc c'est un point de vue qui en fait a été envisagé déjà dans la littérature, dans un article de Braverman et Kajdan il y a une douzaine d'années et je crois savoir par différents échos que en fait il en était question dans certains milieux de mathématiciens depuis bien avant. Donc en particulier je me souviens d'avoir entendu Gromov dire que déjà dans les années 80, dans les couloirs des universités russes, il avait entendu ça. J'ai entendu également Christophe Soulet dire que quand il était lève de Godement, Godement en parlait et enfin je sais que dans les années 60 André Veil avait donné un cours l'IHES dont il ne reste que le titre et le titre c'était groupe classique et formule de poisson. Je ne sais pas s'il s'agissait de la même chose ou de quelque chose de différent, j'avoue que je ne sais pas. Voilà. Donc ce que je voudrais faire aujourd'hui c'est ce que j'ai annoncé ici, expliquer quelles sont les propriétés attendues des transformations de fourriennes en linéaire. Je vais expliquer d'abord de quoi il s'agit et quelles sont la propriétés attendues. La semaine suivante j'examinerai le cas de la functorialité entre tort donc c'est-à-dire la functorialité abélienne qui évidemment est triviale mais qui malgré tout mérite d'être examiné du point de vue des transformations de fourriers et des formules de poisson. Et puis dans deux semaines je passerai au cas général, enfin au cas général, c'est-à-dire au canon abélien en faisant principalement des calculs pour GL2, c'est-à-dire GL2 et ces représentations irréductibles qui sont les puissances symétriques. Alors j'ai dit tout de suite qu'il se peut que trois séances ne me suffisent pas. Donc si jamais donc le jeudi 3 juillet je n'ai pas terminé ce que je voudrais expliquer. Éventuellement je dirais peut-être qu'on fera et s'y reste des auditeurs. Je dirais peut-être que il y aura une quatrième séance le mardi 8 juillet juste avant le début de l'école d'été de théorie analytique des nombres. Enfin on verra. Donc pour le moment c'est pas du tout sûr. La deuxième chose c'est que le cours que je vais faire sera à partir d'un certain moment un peu en pointillé, c'est-à-dire je vais parler d'un certain nombre de choses mais où je n'ai pas eu le temps de faire toutes les vérifications que je voudrais. Donc principalement des vérifications comme quoi un certain nombre d'intégrales convergent bien. Donc le directeur de l'IHES veut qu'on fasse un cours donc je fais un cours. Mais donc voilà enfin je dirais donc ce qui est démontré et puis ce qui demande une vérification plus précise donc principalement de propriété de convergence. Alors donc la situation enfin ce que je regardais c'est le cas où donc j'introduis d'abord des notations donc f est un cours global donc un cours de fonction ou un cours de nombre je vais traiter simultanément les deux. Je note toujours f entre bar l'ensemble des places de f donc les places ultramétriques et puis éventuellement archimédiennes si f est un cours de nombre. Donc pour toutes telles places donc qui est ultramétrique pour les places ultramétriques donc je veux introduire des notations donc OX l'anneau des entiers de la complétion f1, dix-six, f1, dix-six désignera toujours la complétion donc p1, dix-six une uniformisante qx le cardinal du quotient de o1, dix-six par l'idéal maximale engendré donc par l'uniformisante. Enfin les notations classiques le vx donc la valuation qui va de fx c'est un homomorphisme qui va de fx fois dans z. Voilà donc j'utiliserai ces notations bien sûr on regardera aussi l'anneau des adelles qui est le produit restreint des complétions fx sur toutes les places et on choisit une fois pour tout un caractère non trivial donc un caractère additif continue donc nécessairement unitaires puisque ce qu'il y a compact et non trivial et bien sûr ce caractère il a des composantes il s'écrit comme un produit sur toutes les places de caractère locaux px les px sont des caractères continue unitaires des fx voilà voilà donc toutes ces choses là sont choisies une fois pour toutes alors maintenant on sait de manière générale qu'une fois qu'on a choisi entre en chaque place ce caractère px il y a une certaine mesure additive associée qui s'appelle la mesure autodual dix c'est à dire la c'est la mesure pour laquelle la transformation de fourrier et une avolution signe prêt ça me détermine uniquement la mesure en question on a d'autre part que fx foie agit sur les mesures additives par un caractère qui va de fx foie dans r plus foie alors ici une propriété importante c'est que donc ceci dans le cas des places ultramétriques on a que ceci c'est simplement qx à la puissance moins foie la valuation et en particulier c'est une norme une norme ultramétrique si ceci si affix et le corps des nombres réels c'est la valeur absolue isoël des réels et si ceci est les nombres complexes donc attention c'est pas le module c'est le carré du module donc c'est pas une norme c'est le carré d'une norme voilà donc ça c'est les objets dont on va se servir alors ensuite bien sûr on va considérer g un groupe réductif sur f qu'on va supposer quasi déployer donc il est muni d'une paire de borrel tb donc t est un tord maximal b est un sous-roupe de borrel contenant et et tous deux sont définis sur f c'est le sens de l'adjectif quasi déployé l'existence d'une telle paire de borrel voilà et donc ces choses là sont données une fois pour toutes alors on n'a pas le une fois qu'il y a le torté il y a un seul borrel opposé le contenant et donc alors bien sûr on s'intéresse au sous groupe parabolique p alors les sous groupes paraboliques p qui contiennent le borrel donc on les appelle standard et à chaque sous groupe parabolique on peut associer un sous groupe de la vie unique qui contient t et ceci en fait définit une une bijection entre les sous groupes paraboliques standard et leurs images qu'on va appeler les sous groupes de la vie standard voilà donc quand on a un tel sous groupe parabolique bien sûr on peut il s'écrit comme un composé de de sous groupe de la vie et de son radical unipotent dans un sens ou dans l'autre voilà de quoi aura ton besoin encore du caractère modulaire donc le caractère modulaire c'est un caractère de p qui est trivial sur le radical unipotent donc ceci bien sûr ce quotient étisomorph à mp donc c'est un caractère qui se factorise à travers mp et voilà un caractère multiplicatif algébrique et le caractère modulaire c'est donné par l'action sur la puissance extérieure maximale de l'algèbre de l'i de np l'action par conjugaison définit un caractère donc c'est enfin c'est pas l'axion c'est l'action sur le lambda max de cet espace lambda la puissance la dimension de cet espace qui donc est un espace de dimension 1 sur lequel le groupe nécessairement agit par un caractère voilà c'est ce qu'on appelle le caractère modulaire alors de quoi disposent-on encore on dispose de g chapeau donc le groupe duale de g qui est un groupe réductif sur c bien sûr donc lui aussi est muni d'une paire de borrel alors comme c algébrique manclot évidemment un groupe réductif sur c c'est nécessairement déployé donc alors ici la propriété importante c'est que t chapeau le se tord maximum de g chapeau et lui même le duale du tord maximum t donc qu'est ce que ça veut dire ça veut dire que les caractères de t chapeau donc c'est un réseau c'est z une certaine puissance finie s'identifie aux co-caractères du tord t et les co-caractères de t chapeau s'identifie aux caractères de t donc c'est la ceci enfin c'est le sens de l'expression qui est employé ici de duale du tord considéré voilà donc on a tout ça et puis on va considérer le groupe réductif quasi déployé comme muni d'une structure supplémentaire que je vais noter détendis g donc c'est un caractère de g qui généralise le déterminant du groupe linéaire habituel voilà on suppose que j'ai muni d'un tel d'un tel caractère alors évidemment se donner un tel caractère c'est équivalent à se donner un co- caractère du co-caractère central de z chapeau donc ici vous avez le centre de z chapeau qui est contenu dans t chapeau qui est contenu dans g chapeau et donc se donner un caractère de g c'est la même chose que se donner un co-caractère central alors vous supposez que ce caractère de g est fixé par et définit sur f donc ça veut dire que ceci est fixé par l'action du groupe de galois de f une chose évidemment très importante que j'ai oublié de dire ici c'est que le groupe de galois de f agit naturellement sur g chapeau et avec toutes ces données donc il agit sur t chapeau il agit sur b chapeau etc donc cette action vient du fait que on a supposé que le groupe productif g est définie sur f voilà donc c'est la la situation alors maintenant on peut poser la la la la la la la la définition de ce qu'on appelle une représentation de transfert en suivant l'anglance donc une représentation de transfert ro c'est quoi c'est c'est un morphisme qui va un morphisme algébrique qui va de g chapeau donc il s'agit de morphisme algébrique entre groupe complexe groupe algébrique complexe alors on prend le produit semi direct de g chapeau avec le groupe de galois le groupe de galois agit sur g chapeau donc on peut former ce produit semi direct et on va vers le dual de glr qui n'est autre que glr de c donc c'est une représentation de dimension r de ce groupe semi direct par définition mais on va demander que plusieurs propriétés soient vérifiés donc la première propriété qu'on demande c'est que le composé de du co-caractère dual du déterminant indice g donc c'est quelque chose qui va de c fois dans g chapeau et d'euro donc ce composé c'est vous voyez que c'est un morphisme qui va de c chapeau dans glr de c et donc on suppose que ceci ben c'est le co-caractère naturel c'est simplement le co-caractère central de glr de c donc si vous prenez pour g glr et pour vous la représentation standard de glr chapeau bien sûr cette condition est satisfaite et donc si on a une représentation générale on peut toujours lui ajouter à g chapeau le centre de glr de c puis ensuite définir g comme le dual de ce g chapeau et l'argis pour se retrouver dans cette situation donc je dis c'est pas du tout une restriction donc ça c'est la première propriété qu'on demande la deuxième propriété qu'on va demander c'est que roue envoie le torx maximal de g chapeau dans le torx maximal de glr de c donc c'est simplement c fois la puissance r le torx diagonale donc cette restriction en fait on va la noter roté c'est la restriction de roue bien sûr quand vous prenez une représentation quitte à la conjuguer vous pouvez toujours vous ramener à cette situation et la fonctionnalité est invariant de par conjugaison donc bien sûr c'est pas du tout restrictif de supposer ça donc à partir du moment où on a un homomorphisme qui vérifie ça ben cet homomorphisme je peux il a des affacé simplement une famille de caractères donc ces caractères je les note roté 1 roté r ce sont les composantes de roté la troisième propriété que je demande c'est que le noyau de l'homomorphisme roté est trivial entrement dire on demande que roté soit injectif donc là encore s'il y avait un un noyau on pourrait toujours diviser j'ai chapeau par le noyau donc les toutes les conditions que je mets ne sont pas restrictives enfin il y a une quatrième condition qui est là qui comme ça paraît plus technique mais qui elle non plus n'est pas restrictif et c'est simplement l'occasion d'introduire des des notations alors quel que soit p un sous groupe parabolique standard de g en quand je considère des sous groupes paraboliques c'est toujours des sous groupes paraboliques standard il existe en fait un unique caractère de g que je note le déterminant indispé donc c'est un caractère de g qui dépend du sous groupe parabolique alors ce que je veux je demande à ce caractère c'est la propriété suivante je veux que le produit scalaire de ce caractère et de la composante roté y de roté soit égal au produit scalaire de roté y avec le caractère modulaire que j'ai introduit ici donc je demande cette condition alors attention c'est pas pour tous les rotés y c'est pour tout roté y qui est le poids dominant d'une d'un facteur irréductible de la représentation rôres restreinte à g chapeau j'oublie la partie galoisienne donc j'ai une représentation j'ai une représentation de g chapeau et je demande que les poids des facteurs irréductibles vérifient cette condition donc voilà c'est une condition un peu technique le g r c'est le g r de la représentation rôre donc c'est le même g à l'air mais évidemment ça je n'exige pas que la représentation rôre soit irréductible je n'exige pas parce que oui non non non le caractère dette paix dépend de paix par exemple si vous prenez vous voyez si par exemple vous prenez paix égal g bien sûr le date paix c'est le caractère trivial mais on va voir tout de suite pourquoi j'introduis ça voilà donc ici j'ai terminé l'énoncé de la définition donc les caractères d'hp vont être utiles en fait alors et je vais tout de suite dire pourquoi ils sont important au moins dans l'exemple enfin dans dans des exemples alors d'abord je veux faire des des remarques premièrement ici j'ai dit que je demande que ce caractère soit unique mais en fait l'unicité l'unicité de quatre provient de la propriété trois la propriété d'où à trois j'ai demandé que ici le noyau de roté soit soit trivial donc et maintenant je bon je on peut remarquer que l'existence est assurée si on a un isomorphisme de z g chapeau dans z ro chapeau alors ici z g chapeau f c'est quoi c'est l'ensemble des éléments du centre de g chapeau qui sont fixés par le groupe de galois d'accord et ici ça c'est quoi c'est c'est le centre du sous groupe des automorphismes d'euros dans g l r de c donc par exemple si votre présentation est irréductible ici vous avez simplement les scalaires vous avez ces fois et donc il vous suffit que la partie f rationnel du centre de g chapeau soit également ces fois et dans ce cas là voilà donc c'est une condition un peu technique mais je vais tout de suite expliquer pourquoi pardon c'est le centre du sous groupe des automorphismes d'euros c'est à dire les éléments de g l r de c qui qui commute avec la l'homomorphisme euro alors une deuxième groupe important remarque important c'est la suivante c'est que si je j'ai donc un m un sous groupe de lévis standard qui provient d'un sous groupe arabo-lique standard p bien sûr le dual m chapeau de m et un sous groupe de lévis standard de g chapeau et ici si on a une représentation de transferts c'est à dire un homomorphisme qui vérifie toutes ces conditions et ben je peux le restreindre à m chapeau et on obtient une représentation de transferts induites qui en fait on peut vérifier qu'elle qu'elle vérifie toutes les conditions que j'ai dites en particulier la propriété 4 voilà donc c'est pour ça que j'ai pas demandé que la représentation est irréductible parce que quand on restreint un sous groupe de lévis évidemment en général on perd la propriété d'irréductibilité oui j'ai l'air chapeau c'est l'air de c c'est le duale de j'ai l'air alors alors je donnais des des exemples bon d'abord évidemment le premier exemple c'est g égale j'ai l'air et roue égale la représentation standard de j'ai l'air de c j'ai l'air de c agissant sur c'est puissance r de la manière naturelle alors dans ce cas là ben on peut voir que le déterminant à dis g évidemment c'est le déterminant classique et le déterminant à dis b c'est simplement le déterminant à la puissance r moins 1 donc ça veut dire que le produit des deux c'est le déterminant à la puissance r qui intervient dans la transformation de fourrier sur g l sur m r de c sur m r alors le deuxième exemple qui en fait pour nous va être quelque chose qu'on va suivre tout le temps c'est quand j'ai chapeau est égal à g l 2 de c et la représentation qu'on considère c'est la puissance symétrique sim k donc ça va de g l 2 de c qui est donc ça va de g chapeau dans g l indice k plus 1 de c donc puissance symétrique k m d une matrice de deux alors évidemment si on veut que la propriété trois d'injectivité soit vérifiée ici faut diviser par le noyau le noyau c muka les racines k m donc voilà on va prendre g chapeau égal g l 2 de c sur muka muka c ça c'est l'ensemble des z appartenant à ces fois tel que z puissance k égale 1 alors ici donc bon il est bon de calculer quels sont exactement les objets qu'on a donc le x t chapeau c'est à dire les caractères de t chapeau c'est l'ensemble des n 1 n 2 appartenant à z au carré tel que n 1 plus n 2 soit un multiple de k parce que ici on a divisé par muka et donc les co caractères de t chapeau c'est l'ensemble des r 1 r 2 appartenant à q au carré tel que r 1 r 2 appartiennent à 1 sur k z et r 1 moins r 2 la différence est un entier donc pour les termes individuels il y a un dénominateur k qui autorisé mais la différence doit être un entier voilà alors on peut dire aussi que les poids de ro il y en a k plus un c'est quoi bah c'est les poids c'est les évidemment c'est des éléments du groupe des caractères et c'est les huplets y k moins y c'est les couples y k moins y avec y compris entre 0 et k donc la somme est égale à k c'est bien le type de k alors maintenant donc on connaît jé chapeau c'est ce quotient on se demande ce que c'est que j'ai alors voyez que le jé chapeau c'est un c'est un quotient de gl 2 2 c donc vous allez avoir que j lui-même est muni d'amorphismes vers gl 2 considéré sur votre corps global f alors de manière précise qu'est ce que c'est ben vous avez un carré cartésien comme ça ici vous prenez le déterminant d'accord ici vous avez gm et là ça c'est l'opération de élever à la puissance k m et donc j c'est simplement ce produit fibré voilà donc ça veut dire que les les éléments de jé les points de jé j'aurais peut-être dû écrire les points à valeur dans un corps quelconque et bien on peut les écrire sur la forme suivante jé complété par une racine k m du déterminant on demande que le déterminant soit une puissance k m dans le corps ou la nôtre coefficient donc ici ceci est un élément de gl 2 et ceci est un élément de gm à coefficient dans un corps ou un anneau donc les en fait les éléments de j on les notera toujours comme ça non les deux mêmes ben on a t s'inscrit dans un carré cartésien donc vous avez gm gm t2 donc ici c'est simplement quand vous avez deux deux composantes l'ambe d'un et l'ambe d'un t2 t2 c'est gm au carré ce que vous leur associer c'est leur produit donc ça veut dire que les éléments de t c'est des triplets constitué de l'homme d'un l'homme d'un deux scalaire multiplicatif et une racine k m du produit voilà donc j'utiliserai ces notations je pense que c'est vraiment sans ambiguïté enfin c'est voilà alors donc ça c'est la situation donc ensuite le paragraphe 2 donc forme et propriété attendu alors propriété j'ai envie de dire propriété générale attendu parce qu'après je serai je vais devenir plus précis donc là c'est ce dont je parle c'est des transformations de fourrier non linéaires donc le donc je vais dire ce que j'entends par une transformation de fourrier non linéaires donc on considère comme au paragraphe précédent donc un groupe réductif j'ai quasi déployé avec son déterminant le date indice g et avec aussi une représentation de transferts rô qui va du produit semi direct dans g l r 2 c le duale de g l r alors ici on va introduire des caractères donc d'abord d'être d'être indice rô c'est un caractère qui va de g dans g m et qui est défini comme le produit du date indice g et du date et du date indice b avec voilà donc date indice b c'est un caractère qui vérifie cette propriété donc si la représentation est réductible il y a simplement une condition donc voilà le pardon c'est le produit des caractères et puis ensuite j'ai le date indice rô m donc lui c'est un caractère qui va de m dans g m et par définition c'est égal au date indice g voyez le date indice g apparaît partout indépendamment du du sous groupe de levis que vous considérez mais vous le multipliez par le date du sous groupe de borrel de m c'est à dire le date de b inter m voilà donc c'est la la même chose que vous avez remplacé g par m et voyez que les les caractères ici et là quand on les restera en autor évidemment sont pas les mêmes alors voilà donc c'est une définition dont on va avoir besoin alors une remarque qu'on peut faire immédiatement c'est que si m est égal à t donc la partie torique la partie abélienne de notre groupe bien sûr on a que le date indice rô t est égal au date indice g dans ce cas là il n'y a pas de facteurs supplémentaires bon ensuite donc je regarde les exemples classiques donc d'abord si g est égal à glr et roue et la représentation standard et bien tout à l'heure j'avais écrit que le date indice g c'est le déterminant au sens usuel le date indice b c'est le déterminant au sens usuel à la puissance r moins un donc le date indice rô c est le déterminant à la puissance r alors la deuxième famille d'exemple que je veux regarder c'est bien sûr g chapeau égal gl2 de c divisé par muka et rô égal la représentation donnée par la puissance symétrique ka m alors dans ce cas là qu'est ce que c'est que le date indice g de g donc je rappelle les éléments de g s'écrivent comme ça un élément de gl2 complété par une racine ka m de son déterminant alors quel est le date indice g dans ce cas là et bien c'est la racine ka m du déterminant donc vérifier alors et alors qu'est ce que c'est que le date indice b de la même chose et bien cette fois c'est le déterminant donc vous obtenez que le date indice b c'est le date indice g à la puissance k et le date indice rô c'est le date indice g à la puissance k plus 1 vous avez le date indice rô est égal au date indice g à la puissance k plus 1 alors maintenant on va on va donner une première définition de ce qu'on entend par transformation de fourrier donc une alors on choisit une place arbitraire de f les transformations de fourrier sont des des objets locaux alors qu'est ce que c'est qu'une transformation de fourrier qu'est ce qu'on entend par une transformation de fourrier sur g de fx et bien c'est un opérateur linéaire qui est noté comme ça mais des chapeaux donc ça transforme des fonctions sur g de fx en des fonctions sur g de fx opérateur linéaire alors on peut se demander quel type de fonction a priori ici on a on prend les fonctions les plus régulières possibles c'est à dire des fonctions localement constante à support des fonctions de schwarz localement constante à support compact si la place est ultramétrique ou bien c'est infini à décroissance rapide si la place est archimédienne et puis là bon a priori on a des des fonctions beaucoup plus générales je ne précise pas mais ce que je veux c'est la chose suivante c'est une propriété une double propriété de compatibilité avec les translations à gauche et à droite donc ce que je demande c'est alors qu'est ce que j'introduis des notations qu'est ce que c'est que f2x g donc par définition donc f2x g d'une variable que je note comme ça c'est simplement fx de la variable que multiplie g à droite et puis on a f2x de g avec le g que je mets à gauche c f2x de la variable que cette fois je multiplie par g à gauche donc je regarde les translations à gauche et à droite donc ce que donc les propriétés que j'écris c'est des propriétés de compatibilité de la translation de fourrier avec les translations à gauche et à droite alors donc qu'est ce que quelle est la propriété que je veux la doux propriété que je veux parce que je m'intéresse à la fois aux translations à gauche et à droite donc ici on veut simplement que ça soit la transformée de fourrier translaté à gauche par g moins 1 ici ça va être la transformation de fourrier translaté à droite par g moins 1 mais attention avec un facteur donc le facteur que je demande c'est le détendis row de g norme indice x à la puissance moins 1 et ici c'est le détendis row de g norme indice x à la puissance moins 1 alors vous remarquez que dans le cas de g à l'air le détendis row c'est le dét à la puissance r et ça c'est bien la propriété habituelle de compatibilité avec les translations à gauche et à droite de la transformation de fourrier usuel sur mr voilà donc ce qu'on appelle une transformation de fourrier c'est ça alors ces propriétés là sont équivalentes au fait suivant c'est que la transformation de fourrier est donnée par une intégrale ou peut-être une distribution enfin on va écrire en fait on va s'intéresser à des vrais antennes ce qu'on va introduire c'est des vrais intégrales avec des vraies fonctions mais a priori ça pourrait être des distributions donc alors l'intégral je l'écris comme ça fx de g que multiplie kx de gg prime alors qu'est ce que je veux là dedans ce que je demande c'est que donc je demande deux choses d'abord ce que je note des indices row de g c'est une mesure sur g de fx que les les les translations à gauche ou à droite transforment par le caractère dét indice roue d'accord je demande une mesure donc je pense c'est assez clair une mesure si on la multiplie à gauche ou à droite par un élément et bien la mesure est multipliée par la valeur de cette fonction cet élément donc c'est pas du tout c'est pas tout à fait une mesure invariante c'est une mesure qui invariante modulo division par ce caractère la norme du dette indice row exactement comme la mesure voyez quand vous avez la transformation de fourrier sur m r vous prenez la mesure additive de m r et cette mesure additive de m r elle est transformée par la multiplication par le caractère dette puissance r norme de dette puissance r voilà non le g c'est la variable on intègre en g oui enfin le bon voilà mais le voyez la mesure je veux l'écrire comme cette mesure multiplié par vous voyez une certaine densité donc c'est pour ça le disons ça me permet d'introduire ma variable c'est un dé donc le roue est en indice le roue est en indice c'est un dé indice row de g un parfois je peux avoir besoin de la mesure invariante que je noterais simplement dégé voilà enfin bon donc ça c'est la première chose et la deuxième chose c'est que la fonction cette fonction là donc c'est une fonction qui va de g de fx dans c et qui est invariante par conjugaison alors pourquoi bon d'abord le fait d'avoir une compatibilité avec la multiplication avec la multiplication à droite ça dit exactement que la transformation de fourrier est sous cette forme là où kx est une certaine fonction et puis le fait qu'il y ait également la compatibilité avec la multiplication à gauche avec la même loi ça nous dit que la fonction kx qui est là est invariante par conjugaison donc exactement comme dans le cas classique ici vous avez simplement la trace enfin le caractère psy x composé avec la trace qui est bien invariant par conjugaison mais donc ce qu'on cherche c'est des transformations de fourrier de cette forme voilà non si vous serangez au cas de la transformation de fourrier usvelle bon bien sûr dans la transformation de fourrier usvelle on intègre sur m r mais dans m r j l r et est un ouvert dense donc c'est la même chose que d'intégrer sur sur j l r pour la mesure induite bien sûr qu'on oublie des choses là si on passe de m r à j l r ce qu'on oublie c'est les termes de bord les termes de bord ne sont pas importants pour la transformation de fourrier mais évidemment ils sont importants pour la formule de poisson donc ils sont pas importants pour la transformation de fourrier disons que on peut formuler la transformation de fourrier sans faire référence au bord de de g l r dans m r oui oui oui non non mais là ça je vais je vais venir à ça effectivement oui oui tout à fait donc alors alors maintenant évidemment il y a une opération importante dont on a besoin qu'est l'opération de calcul des termes constants des fonctions donc si j'ai une fonction f1d6 qui va de g de fx dans c et puis que je considère un sous groupe parabolique standard comme d'habitude donc c'est le produit de son sous groupe de la vie par son radical unipotent bien sûr je peux regarder np de fx et le munir d'une certaine mesure qui induite par la par exemple la mesure induite par la mesure additive de fx que j'ai déjà choisi j'ai dit que je prenais la mesure autodual bon et donc maintenant on peut prendre les termes constants donc si on a une telle fonction bah on va noter fx np donc c'est une fonction qui va du sous groupe de la vie dans c à un élément on associe delta p de m la norme donc ça c'est un terme correctif que multiplie l'intégrale sur np de fx de du fx de u m donc alors pourquoi est ce qu'on introduit ce caractère c'est parce que ceci est égal à delta p de m x à la puissance 1 demi donc ici on avait moins en demi là on a un demi de l'intégrale sur np de fx du de fx de m u bien sûr il n'y a pas de raison à priori d'intégrer sur le long des u à gauche ou à droite donc pour avoir quelque chose de symétrique on introduit la racine carré du caractère modulaire qui est le caractère qui assure le changement de variable pour passer d'une translation à gauche à une translation à droite donc voilà vous avez cette opération et maintenant avec tout ça on peut préciser le type de transformation de fourrier qu'on veut donc je vais appeler ça un problème problème 1 4 donc on se donne rô pardon j et puis la représentation de transfert rô et on voudrait associer à ça un opérateur de transformation de fourrier en toute plastique donc transformation de fourrier je veux dire quelque chose qui vérifie ses propriétés donc cette opérateur je vais donc il est donné par tant qu'une intégrale comme ça l'intégrale sur g de fx de dé indice rô g fx de g et puis là le noyau que je cherche je vais le noter kx rô de g point donc simplement le kx de tout à l'heure je le note avec un rô maintenant je vais préciser ce que préciser un peu plus que je veux ce que j'attends de cet opérateur donc cette enfin si cet opérateur est bien défini je l'appellerai la rô transformation de fourrier alors qu'est ce que j'attends de lui en fait j'attends de lui beaucoup de propriétés mais je commence par les propriétés qui les plus simples alors d'abord je veux voilà je demande deux conditions la première condition c'est une condition de compatibilité avec les termes constants c'est à dire je considère une fonction fx et sa transformation de fourrier et je regarde le terme constant ici je considère un sous groupe parabolique standard quelconque et je considère le terme constant fx np donc c'est une fonction de mp de fx dans c et puis je considère aussi le terme constant associé à la transformation de fourrier de fx donc c'est également une fonction qui va de mp de fx dans c alors je vais pas demander tout à fait que ceci soit la transformation de fourrier de sa parce que déjà dans le cas de glr c'est pas le cas il y a une torsion par un caractère donc ici on met le caractère qu'on attend c'est le dette indice p x puissance un demi et donc là le dette indice p de x à la puissance un demi voilà donc on prend vous voyez les deux les termes constants de la fonction et sa transformation de fourrier ont tort par ce caractère et ce qu'on demande la première propriété qu'on demande c'est que ceci égale la la transformée de fourrier la la ro indice m transformé de fourrier de la première fonction donc ça veut dire que le le passage au terme constant est compatible avec les transformations de fourrier modulo multiplication par un caractère donc ça c'est la première propriété que je demande et la deuxième propriété que je demande c'est que l'opérateur de transformation de fourrier fx flèche fx chevapeau soit unitaire donc unitaire bah ça veut dire qu'il respecte le produit scalaire ermicien qui est définie comme ça donc c'est l'intégral sur g de fx de f1 de g f2 de g bar pour la mesure dérogé toujours la même mesure donc c'est les deux propriétés que je demande pour l'instant ensuite je vais en demander d'autres la compatibilité au terme constant et l'unitarité alors la première remarque qu'on peut faire c'est que l'unitarité c'est équivalent donc la propriété deux c'est équivalent au fait suivant vous avez d'une part la transformation de fourrier et puis vous avez d'autre part l'opérateur qui est donnée par la même formule que la transformation de fourrier voilà ici c'est la variable mais en remplaçant le noyau par son conjugé et donc l'unitarité c'est équivalent à dire que cet opérateur est l'inverse de l'autre donc c'est juste une remarque bon voilà alors donc ici j'ai dressé la liste des propriétés des premières propriétés générales de la transformation de fourrier que je veux mais c'est évidemment pas du tout suffisant maintenant il faut aller plus loin donc c'est le le paragraphe 3 que je vais commencer puis on va peut-être faire une pause de décomposition spectrale locale alors donc pour expliquer les choses je vais d'abord considérer le cas des places ultramétriques et en fait aujourd'hui je considérais uniquement le cas des places ultramétriques c'est le cas des places archimédias doit être formulée de manière un peu différente donc je le ferai la semaine prochaine à l'occasion des tort voilà donc x est une place de f que je suppose ultramétrique bon alors on considère g de fx qui est un groupe totalement discontinu localement compacte et je le munis d'une mesure invariante d g c'est pas la même que tout à l'heure cette fois c'est une mesure invariante et donc j'ai une algebe de convolution associée c'est l'algebe des fonctions localement constante à support compact sur g de fx plus le produit de convolution définie par cette mesure alors évidemment cet algebre c'est la réunion filtrante de des sous-algèbres de fonctions invariante à droite et à gauche par un sous-groupe compact ouvert k de cet algebre n'est pas unitaire mais elle a la réunion de ces algebes qui elles sont unitaires avec des unités qui bien sûr varise suivant suivant k et c'est une réunion filtrante alors on s'intéresse bien sûr aux représentations donc je vais noter de cette manière là l'ensemble des classes d'isomorphisme de représentation lisse admissible irréductible de g de fx ou ce qui revient au même de l'algebe de convolution que j'ai noté à gx alors même si vous savez pas ce que signifie lisse admissible ça fait rien vous prenez simplement irréductible des représentations irréductibles la seule chose qui est importante à savoir c'est que ces représentations sont donc irréductibles sans s'habituel des représentations groupes mais il faut savoir qu'elles sont énormes elles sont dimensions infinies sauf les caractères évidemment alors ceci est la réunion filtrante de sous ensemble que je note de cette manière là donc ça c'est quoi c'est l'ensemble des pi tels que le sous espace donc ça c'est l'ensemble des v appartenant à l'espace de pi tels que k v égal v c'est à dire pour tout élément de k son action sur v est trivial donc on demande que ce sous espace soit différent de zéro voilà donc l'ensemble des pi qui vérifie ça c'est un sous ensemble de l'ensemble des représentations irréductibles et on peut dire aussi que c'est le sous ensemble des représentations lisse admissible irréductible de l'algebra agx k c'est un l'm de savoir que le dire que ce enfin que voilà quand on met cette condition et bah en fait on récupère exactement les représentations irréductibles de cette sous algête beaucoup plus petite alors donc on considère ces deux ensembles et une chose dont on a besoin c'est de voir ces ensembles à les ensembles que j'ai noté p g x ou p g x k comme ayant une structure c'est pas seulement des ensembles ils ont une structure naturelle en fait une structure algébrique une structure de variété algébrique alors la manière la plus simple de définir cette structure c'est la la suivante donc on considère toutes les fonctions de h g x k dans c qui sont de la forme à pi j'associe la trace sur pi d'un élément h ou h est un élément arbitraire de c'est à excusez-moi ici c'est pas h c'est l'ensemble des pi g x k donc ici c'est un élément de h g x k faut savoir les représentations irréductibles de h g x k contrairement aux représentations de la jèvre de convolution tout entière c'est des représentations dimension finie donc ça a un sens de prendre la trace et comme ça en choisissant une fonction et bas on définit une fonction et en choisissant une fonction h il y a une fonction associée sur l'ensemble des représentations la fonction trace et donc je regarde toutes les fonctions qui sont définies de cette manière là sur cet ensemble et on a une algèbre engendrée de fonctions sur l'ensemble pi g x k donc c'est toutes les combinaisons linéaires de produits de fonctions définies de cette forme et donc cette cette algèbre engendrée on va la noter h g x k et on va l'appeler c'est une convention on va l'appeler l'algèbre des polynômes sur l'ensemble pi g x k donc c'est une convention d'accord et évidemment le premier résultat c'est que cet ensemble se plonge dans le spectre au sens de la géométrie algébrique en fait oui la première chose à dire c'est que ces algèbres h g x k en fait sont des des algèbres de type fini elles sont c'est même des produits d'algebra de type fini intègre donc leur spectre c'est simplement une réunion d'ijointe de variété complexe irréductible et on a que ceci se plonge dans cette réunion d'ijointe comme un ouvert de zariski donc attention c'est pas tout mais c'est un ouvert de zariski voilà et donc ces ensembles là récupèrent une structure algébrique voilà alors maintenant évidemment si on a deux sous groupes ouverts k et k prime avec k qui est plus petit que k prime et bien l'ensemble associé comme ça se plonge enfin s'envoi s'envoi dans l'ensemble associé à k prime non c'est le contraire finalement quand quand vous quand k est plus petit il y a plus de représentation donc vous avez donc a priori une inclusion comme ça et donc là un résultat supplémentaire c'est que ceci cette flèche là est une immersion ouverte et fermée autrement dit elle identifie ça à une réunion de composants de connex de ça voilà tout ça c'est des faits de la théorie des représentations alors maintenant j'ai besoin dans l'ensemble pi gx ou pi gx k de quelque chose que je note de cette manière là la partie imaginaire alors c'est quoi c'est les l'ensemble des représentations pi qui sont unitaires et tempérées alors si vous ne savez pas ce que veut dire tempérée ça fait rien prenez simplement unitaires alors déjà bon si vous pensez par exemple à des caractères vous comprenez bien ce que ça veut dire de prendre parmi tous les caractères simplement ceux qui sont unitaires vous voyez je note ça comme une partie imaginaire parce que si on note les caractères de manière exponentielle évidemment le fait d'être unitaires ça signifie que l'exposant est un nombre complexe imaginaire donc c'est pour ça je le note comme la partie imaginaire de ça bon et alors on a que ceci est une sous variété réelle de la variété algébrique complexe pi gx k bon alors voyez de alors maintenant il y a une quelque chose d'extrêmement important qui est ici c'est que cette chose là cette variété réelle est munie d'une mesure uniquement déterminée d'épi donc on appelle ça la mesure de plancherelle tel que la propriété suivante soit vraie c'est que pour tout élément de l'algebra des fonctions à support compact invariant à droite et à gauche par k la valeur de cette fonction en 1 est égale à l'intégral sur toutes les représentations pi alors attention les représentations unitaires tempérées pour cette mesure là de la trace de h dans la représentation il y a une unique mesure qui vérifie cette propriété qui s'appelle la mesure de plancherelle alors voyez que la priori c'est au moins il n'y a pas de contradiction évidente à l'existence d'une telle chose parce que ici vous dites mais les traces c'est toujours des fonctions centrales c'est des fonctions qui sont invariantes par conjugaison donc on peut certainement pas réaliser une fonction quelconque de h comme une combinaison linéaire de fonctions centrales mais ici la valeur de h en 1 est aussi invariant de par conjugaison donc vous avez une fonction une fonctionnelle sur les h invariant de par conjugaison que vous écrivez comme une intégrale de fonctionnel qui sont simplement les traces voilà donc ça c'est pour ceux qui connaissent pas c'est un résultat vraiment central de l'analyse harmonique et on va s'en servir donc on va faire la pause bientôt mais je veux terminer les rappels alors bon si on a un élément de cet ensemble de représentation une autre chose importante c'est que on peut lui associer sa contre agrédiente donc la excusez-moi là je mets pas de cas simplement donc la contre agrédiente de pi c'est l'espace des formes linéaires sur l'espace pi qui sont invariantes par un sous-groupe ouvert compact qui peut être arbitrablement petit qui dépend de la forme linéaire mais bien sûr que cet espace là est est stable par l'action du groupe il définit une représentation du groupe ou de l'algèvre de convolution la jeppe de l'éco et on appelle ça la représentation contre agrédiente alors donc voilà on dispose de cette représentation contre agrédiente et à partir de là on peut définir une autre notion importante qui est ce qu'on appelle les coefficients matricielles de pi alors qu'est ce que c'est que les coefficients matricielles de pi c'est des fonctions sur g de fx à valeur complexe qui ont la forme suivante agrédien j'associe la valeur sur une forme linéaire v tch d'un vecteur v translaté par g ce qui bien sûr est la même chose que g moins 1 de v tch pris sur v voyez donc je regarde ici donc on avait un vecteur arbitraire de pi et v tch un vecteur arbitraire de la représentation contre agrédiente donc les fonctions de cette forme on les appelle des coefficients matricielles c'est des fonctions sur g les fonctions de g de fx de cette forme on les appelle des coefficients matricielles alors en fait je vais même appeler coefficient matricielles les combinaisons linéaires de telles fonctions je prends l'espace vectorial engendré ça sera plus commode pour moi alors donc avec tous ces rappels on peut énoncer le théorème suivant elle qui est encore un théorème de rappel et puis ensuite on fait la pause donc le théorème c'est le théorème de décomposition spectrale des des fonctions localement constante à support compact donc on se doit d'un sous-groupe ouvert compact arbitraire de g de fx et un élément h arbitraire dans la jèvre de éco associé et on s'intéresse à la valeur de cette fonction h en un élément g alors le théorème dit que ceci s'écrit de manière unique sous la forme d'une intégrale sur la variété algébrique réelle des représentations unitaire tempérées pour la mesure de plancherale d'épi de hxp de g ça s'écrit sous cette forme là ou donc ça c'est cette décomposition est unique donc unique sous réserve des deux conditions suivantes la première proposition c'est que pour tout g la fonction qui a p associé hxp de g donc voyez c'est une fonction sur l'espace sur cet espace là je demande que cette fonction soit un polinom en p donc on a dit ce que c'était qu'un polinom en p c'est un élément de l'algebra que j'ai noté hg l'algebra engendré par les traces je demande que la variation la variation en p pour g fixer soit une variation polinomiale au sens précis que j'ai donné donc ça c'est la première condition et puis comme hxp à deux variables bien sûr il y a une condition à la deuxième variable donc quand on fixe p la fonction qui a g associé hxp de g doit être un coefficient matriciel de p et donc le théorème dit que pour toute fonction il y a une unique manière d'écrire la fonction sous cette forme donc décomposition pourquoi est ce qu'on parle de décomposition spectrale c'est parce que ici vous avez que voyez pour un p donné c'est la deuxième condition vous obtenez ici un coefficient matriciel et les coefficients matricielles en quelque sorte ils forment le sous-espace propre associé à la représentation irréductible p donc ce que vous faites c'est que vous avez une fonction quelconque sur le groupe et vous l'écrivez vous la décomposez de manière unique comme une intégrale sur les représentations telle que les différentes composantes appartiennent aux espaces propres de cette représentation donc les espaces propres de cette représentation c'est les coefficients matricielles ils caractérisent la représentation et le groupe lui même agit sur les coefficients matricielles suivant la représentation donc ça c'est la première condition c'est la décomposition spectrale elle même puis ici vous remarquez que vous avez la dépendance polynomial en pi donc la différence la dépendance polynomial en pi elle exprime le fait que la fonction que vous considérez est à support compact voilà et ça c'est une remarque il sera très important pour nous pour ce que je vais faire tout de suite après la pause donc on fait la pause pour cinq minutes juste ici j'ai fait des rappels et après je vais tout ça pour une place ultramétrique donc le le le cas des places archimédiennes un peu différent j'en parlerai je commencerai à en parler la semaine prochaine je dois aussi parler quand même de des choses qu'on appelle non ramifié donc on dit que j'ai non ramifié en une place x alors la place x ultramétrique c'est toujours ultramétrique donc s'agissant comme j'ai déjà quasi déployé non ramifié ça veut simplement dire la chose suivante ça veut dire que si je considère l'action sur le groupe de hale du groupe de galois local considéré comme un un sous-groupe du groupe de galois global et bien cette action en fait est trivial sur le sous-groupe de ramification donc il y a une action induite de l'élément de Frobenius voilà donc on peut on a une action bien et finie de l'élément de Frobenius sur j'ai chapeau et je dois dire que le ça a une propriété importante que de toute façon un groupe est non ramifié en presque toutes les places toutes les places sauf un nombre fini donc en presque toutes les places on a on a ça et on peut considérer l'élément de Frobenius bon pardon sigma dix six bon alors comme il y a une action de l'élément de Frobenius ben ça a un sens de prendre le produit semi direct de j'ai chapeau par cet élément de Frobenius donc évidemment il s'inscrit dans une suite exact ici l'image c'est sigma xz et le noyau c'est j'échappe au lui même vous avez une suite exacte de groupe alors maintenant donc on introduit une notation on note j'ai chapeau à nix x la fibre de j'ai chapeau au dessus de l'élément sigma x alors donc c'est une variété algébrique complexe comme variété algébrique complexe évidemment c'est isomorph à j'ai chapeau mais on la considère munie de l'action par conjugaison de j'ai chapeau voyez la donc l'action par conjugaison de j'ai chapeau préserve cette fibre puisque j'ai chapeau et le noyau de se morphisme donc l'action par conjugaison de j'ai chapeau préserve cette fibre et donc il y a une action à 8 et l'action par conjugaison sur j'ai chapeau x c'est pas la même chose que l'action par conjugaison sur j'ai chapeau lui même c'est une action qui est tordu par l'élément de Frobenius non donc ça c'est la première chose la pardon pour les corps finis c'est la construction bien sûr oui oui tout à fait c'est à dire la conjugaison en multiplie à gauche par g à droite par g moins 1 ici ce qu'on fait c'est qu'on multiplie à gauche par g transformé par l'élément de Frobenius et à droite par g moins 1 c'est une action tordu bon donc toujours est-il qu'on considère cette action tordu et enfin une deuxième conséquence très importante du fait que c'est non-ramifié c'est que le groupe algébrique g sur f bien sûr peut être considéré comme un groupe algébrique sur fx et en fait à partir du moment où il est non-ramifié il a une structure naturelle de de chemins en groupe algébrique sur o x les ados d'entier de fx donc ça permet de parler de g de o x qui est un sous groupe de g de fx notamment qu'il est compact ouvert et maximal oui donc c'est l'hypothèse non-ramifié tout ça c'est non-ramifié voilà et alors dans ce cas là il y a des notations que j'introduis c'est à dire que quand quand k est égal à ce groupe ben je vais noter simplement le hg x g de o x je vais le noter hg x vide je mets c'est simplement un peu plus court puis la même chose pour les ensembles p donc j'écris pas non alors donc là ici on a le théorème très important suivant qui est le théorème de s'attaquer donc ce théorème dit qu'il y a un isomorphisme canonique d'algebra qui va de cet algèbre là donc c'est l'algebra des fonctions à support compact qui sont invariantes des deux côtés par g de o x vers l'algebra des fonctions sur g chapeau indice x qui sont invariantes par la conjugaison par g chapeau donc évidemment ça a des conséquences c'est que d'abord cet algèbre là est commutatif parce qu'elle est isomorphe avec l'algebra commutatif évidemment que l'algebra de hecke de toutes les fonctions localement constante à support compact sur g de fx n'est pas commutatif si g n'est pas commutatif mais cette sous algèbre des fonctions bien variantes par g de o x c'est commutatif donc c'est un résultat qui n'est pas difficile mais qui malgré tout est merveilleux et donc cet algèbre est commutatif et elle s'identifie à ce que j'avais noté tout à l'heure la gebre A c'est à dire l'algebra engendré par les traces bon alors évidemment si le groupe est déployé il n'y a pas d'action de l'élément de Frobenius et ici on a simplement c de g les fonctions invariantes par conjugaison sur g chapeau donc c'est une remarque c'est dans le cas déployé dans le cas déployé on a simplement c de g les infos les fonctions invariantes par conjugaison sur g chapeau et ici on sait que c'est la même chose que les fonctions sur le tort qui sont invariantes par le groupe de veille le groupe de veille que je note de cette manière là w exposant g je mets exposant g parce que parfois c'est utile de mettre ajouter un x en indice quand on considère des groupes de veille rationnel sur fx voilà donc par exemple pour glr le groupe la forme déployée de glr et bien on a simplement les polynômes symétriques en n variant r variable alors donc ça c'est la notion de groupe non ramifié mais vous avez une notion aussi de représentation de transfert non ramifié vous vous posez rho donc rho c'est un homomorphise comme ça vers glr chapeau et vous dites que rho est non ramifié en x si g est non ramifié et quand on restreint un rho et donc c'est simplement le fait que le rho est aussi trivial sur le groupe d'inertie autrement dire rho induit un morphise de g chapeau produit semi direct avec sigma x à la piscine z donc ça ça a un sens parce que g est non ramifié vers glr chapeau le groupe d'inertie du groupe local gamma de fx plongé dans gamma f agit trivialement sur l'espace de la représentation donc c'est le sens de rho non ramifié alors si vous avez un tel homomorphisme que vous prenez ici une fonction invariante par conjugaison que vous la restreignez ici vous obtenez ici une fonction invariante par conjugaison et donc vous obtenez qu'il ya un morphisme induit qui va de c de glr chapeau invariant par conjugaison vers vers par glr chapeau vers c de g chapeau x invariant par conjugaison par g chapeau et ça c'est l'algebre de qu'on appelle sphérique en sphérique ça veut dire invariant par les éléments à coefficient noix de glr la note de cette manière là vers l'algebre de qu sphérique de g simplement par restriction des fonctions invariantes par conjugaison voilà bon et alors maintenant on a tous les ingrédients nécessaires pour formuler la deuxième série de propriété de la transformation de fourrier que on voudrait donc je vais c'est un deuxième problème qui complète le premier et le précise donc c'est un problème est ce que je vais écrire est un problème local et puis enfin le troisième problème que je donnerai à la fin de l'exposé aujourd'hui c'est le problème global de formule de poisson alors le problème local c'est la chose suivante donc je pars de g et de la represse de muni d'une représentation de transfert rô et je considère une place x de f que je suppose ultramétrique donc pour le moment je formule les choses simplement pour les places ultramétriques alors on voudrait associer à ça c'est le problème un sous espace linéaire de fonctions alors des fonctions définies sur g de fx à coefficient en c et ces fonctions là je les appellerai les rô fonctions d'accord donc je veux une notion de rô fonctions pour chaque place x tel que les propriétés suivantes soient vérifiées premièrement je veux que les rô fonctions soient de carré intégrable pour la mesure des indices rô g je veux qu'elle soit de carré intégrable et je veux que chacune soit invariante par un sous groupe ouvert compat k de g de g de de fx donc c'est finalement donc les deux propriétés que je demande sont des propriétés de régularité donc invariante à gauche et à droite par un certain sous groupe ouvert compat qui bien sûr dépend de la fonction donc ça c'est une propriété locale et puis la propriété globale je demande qu'elle soit pas trop grosse simplement qu'elle soit de carré intégrable pour le moment donc ça c'est la première propriété que je demande ensuite je veux que l'espace des rô fonctions soit invariant par les translations à droite et à gauche pour un élément arbitraire du groupe invariant par translation à droite et à gauche et invariant par la transformation de fourrier donc ce problème complète le premier donc je suppose que j'ai déjà défini une transformation de fourrier donnée par un noyau donc défini par k rô x et donc je veux que l'espace des rô fonctions soit invariant par transformation de fourrier par la transformation de fourrier et par son inverse l'inverse qui est simplement donnée par le noyau conjugé donc je veux ça et enfin je veux vous allez me dire jusqu'ici zéro combien donc je demande que ce je veux que ce sous espace soit dense dans l'espace de illberte des fonctions de carré intégrable dans donc dense dans l'espace l2 pour la mesure des rôgés donc ça c'est la deuxième propriété que je demande alors la troisième propriété c'est celle qui fait apparaître qu'on appelle les fonctions l donc je veux la chose suivante pour toute représentation lisse admissible irréductible je considère les intégrales suivantes sont des intégrales sur g de fx de d rôgés fx de g fx de g le dette indice g de g à la puissance s moins en demi que multiplie le dette indice rô de g toujours on prend la norme à la puissance moins en demi donc je considère ces intégrales ou alors associé à quoi donc ici fx doit être une roue fonction et fx doit être un coefficient matriciel de la représentation pi donc voyez je prends le produit scalaire d'une roue fonction et d'un coefficient matriciel modulo torsion par un certain caractère et là je m'autorise une variation ici s est un nombre complexe donc je me je me permet de faire varier ce caractère alors ce que je veux c'est que ces intégrales convergent absolument si la partie réelle de s est assez grande et converge vers quoi converge vers non seulement une fonctionnalité qu'en s mais de manière plus précise vers une fonction rationnelle en qx à la puissance moins s alors que cette variable introduire apparaît c'est pas du tout une surprise parce qu'ici vous voyez vous s il apparaît à travers ça et la norme indice x de quelque chose ça prend ses valeurs donc qx à la puissance z donc vous avez toute façon les puissances de qx qui apparaissent donc on veut que ceci soit une fraction rationnelle en qx à la puissance moins s voilà pour quelque soit le choix de fx et de fixe donc on a comme ça une collection de fractions rationnelles alors en plus on veut que ces fractions rationnelles engendrent ou forment forme un idéal fractionnaire forme un idéal fractionnaire qui admet un générateur un unique générateur qu'on note comme ça lx de rho de pi et de z donc z c'est la variable z égale qx puissance moins s donc ça veut dire quoi ça veut dire que toutes les fractions rationnelles qu'on obtient sont des multiples de ça et d'un polinôme en z et ce qu'on veut alors on demande quelque chose pour que à propos de ce générateur on veut que lx de rho pi z moins 1 l'inverse de cette de cette fraction ça c'est une fraction rationnelle en z on veut que l'inverse soit un polinôme polinôme en z mais aussi on demande une condition supplémentaire c'est que ça soit aussi un polinôme en pi qui vaut en z égale 0 donc c'est à dire ce polinôme ça s'écrit 1 plus des puissances de z un nombre fini de puissance de z avec des coefficients qui sont des polinômes en pi genre au début j'ai dit ce que j'entendais par polinôme en pi donc j'ai demandé que non non donc ça voyez que le ici dans le point 3 il n'y a pas transformation de fourrier c'est l'espace doit permettre de de définir des fonctions l et le point suivant c'est que non non non le point suivant c'est que c'est réciproque c'est à dire que réciproquement la connaissance de ces facteurs elle détermine l'espace des refonctions c'est une équivalence alors c'est le point 4 donc une fonction donc c'est une fonction sur g de fx à valeur dans c qui est invariant à droite et à gauche par un certain sous groupe ouvert k et une refonction si et seulement si plusieurs conditions sont satisfaites enfin deux conditions premièrement les restrictions aux fibres de bah du déterminant vous voyez vous prenez d'être g donc c'est un caractère qui va de g dans gm vous le composez avec la norme indice x donc ça c'est quelque chose qui va de g de fx dans les puissances de qx donc vous demandez que les restrictions aux fibres sont un support compact donc attention la fonction n'est pas support compact mais sa restriction aux fibres à chaque fibre doit être à support compact donc c'est la première propriété pardon la valuation du déterminant oui c'est à dire quand on fixe la valuation du déterminant alors l'intersection du support avec cette cette fibre est compact donc ça c'est la première condition et la deuxième condition c'est que cette fonction fx admets une décomposition spectrale de la forme suivante alors je veux que fx de la variable ça soit bon d'abord il y a une torsion par un caractère le caractère d'être haut norme indice x à la puissance moins à demi donc là vous reconnaissez si g égal g l r héros et la représentation standard c'est simplement le déterminant la puissance r donc vous reconnaissez ce facteur qui est habituellement dans la décomposition spectrale des fonctions dans le cas matriciel et ensuite l'intégrale sur l'espace de décomposition spectrale habituelle c'est à dire les représentations unitaire tempérée pour la mesure de plancherelle de certaines composantes que je note fx pi de point que multiplie le facteur l alors attention le facteur l ici je prends pas pi je prends sa contra-radiante et je prends la valeur en qx puissance moins à demi donc ça c'est un peu technique c'est bon la valeur ça dépend de la normalisation l'important c'est que ici on fixe la valeur de la fraction rationnelle en un point donc la seule variable c'est pi voyez ici cette chose ne dépend pas de la fonction vous avez simplement pi qui est la variable d'intégration et attention vous prenez pi contra-radiante le facteur l de pi contra-radiante ou alors donc on veut une décomposition spectrale de cette forme la première chose ou deux propriétés sont vérifiées premièrement pour tout pi la fonction qui a g associé fx pi de g et un coefficient matriciel de pi vous voyez ça commence exactement comme la décomposition spectrale des fonctions localement constante à support compact et la deuxième propriété c'est que quelle que soit g la fonction qui a pi associé fx pi de g cette fonction là est un polinome donc ce que j'ai écrit c'est exactement la même chose que tout à l'heure quand j'ai écrit le théorème de décomposition spectrale des fonctions localement à support constante à support compact sauf que voyez que ici dans la décomposition spectrale on autorise un dénominateur qui est un facteur l le facteur l est l'inverse d'un polinome c'est un dénominateur on autorise un dénominateur et c'est précisément la présence d'un dénominateur qui autorise ces fonctions à avoir un support non compact mais voyez c'est assez contrôlé on est tout de même proche d'une situation à support compact on autorise mais on autorise de manière contrôlée par cette chose là alors les facteurs l c'est 1 sur 1 moins bon là vous avez une somme de puissance de z quand vous développez en série formelle vous voyez que vous n'avez que des fonctions des puissances de z positives donc ça ça veut dire que en fait fx est supporté par si vous regardez les fibres de la valeur absolue du déterminant c'est supporté pour des déterminants des valeurs absolues bornais supérieurement parce que le quand vous développez ça en série formelle le développement est d'un seul côté et vous avez un contrôle sur voilà donc c'est une donc vous voyez ce que je demande à la définition des refonctions c'est que finalement donc ici en une place ultrabétrique se donner l'espace des refonctions c'est équivalent à se donner les facteurs l alors mais c'est pas terminé alors donc maintenant là justement c'est là évidemment la propriété qu'on attendait c'est à dire la transformation de fourrier j'ai dit que la transformation de fourrier elle doit respecter cet espace et d'autre part elle est compatible avec les translations à gauche ou à droite donc ça veut dire nécessairement que la transformation de fourrier respecte les décompositions spectrale alors quelle est la seule possibilité ici bah c'est que si vous avez une fonction bon je vais peut-être l'écrire j'ai face en haut là ça sera plus visuel donc c'est le point 5 oui oui oui je prends une fonction fx oui absolument tout est oui oui parce que quand la décomposition spectrale enfin la décomposition spectrale est unique on demande que les fx pis soit des coefficients matricielles de pi donc ça c'est c'est complètement tu te donnes la fonction affiche tu supposes qu'il y a des étiques qui correspondent donc voilà oui oui donc je demande que les les les l'éros fonction admettent des décompositions spectrale de cette forme encore une fois ici la condition c'est une condition sur la variation en pi que j'autorise à avoir d'abord je demande ça soit des fractions rationnelles et qu'il y a un dénominateur fixé indépendamment indépendant de la fonction est fixé d'une certaine forme bon alors la propriété 5 bassez l'expression de la transformation de fourrier quand on a une fonction fx décomposé spectrallement sous cette forme sa transformation de fourrier doit avoir la forme suivante donc l'intégrale sur les hymnes de machin des pi deux alors attention ici vous avez fx pi et voyez la transformation de fourrier elle remplace la multiplication à droite par g par la multiplication à gauche par g moins 1 donc à cause de ça il est très naturel ici de prendre la variable à la puissance moins 1 que multiplier le lx de rôme alors la rattention ici c'est lx de rôme pi qx puissance moins 1 demi et puis il y a un facteur supplémentaire qui apparaît qui est ce qu'on appelle le facteur epsilon rôme pi qx puissance moins 1 demi alors donc voilà l'expression de la décomposition spectrale alors ici il y a des remarques qu'on doit faire c'est que d'abord si fx pi est un coefficient matriciel de pi alors le fx pi où j'ai changé la variable je l'ai remplacé par son inverse ceci est un coefficient matriciel de la contre-agrédiente donc c'est un fait général donc ça veut dire qu'ici en fait on intègre sur non on a changé la variable c'est plus la variable c'est plus pi c'est pi contre-agrédiente donc c'est normal que ici vous ayez non plus du lx de pi contre-agrédiente mais du lx de pi parce que la contre-agrédiente de la contre-agrédiente c'est la représentation de départ donc ça veut dire ici vous avez bien quelque chose de polynomial en pi vous avez le dénominateur que vous attendez et la transformation de Fourier doit respecter ces espaces mais simplement je dois garder le fait qu'ici j'ai un polinome donc la seule latitude qui me reste c'est ici de multiplier par quelque chose qui est également un polinome puisque j'ai le bon dénominateur donc ça veut dire quoi ça veut dire qu'on doit avoir epsilon x de rho pi z qui doit être un polinome en z et pi alors attention donc polinome en z et pi attention c'est polinome en z plus ou moins 1 parce que je peux autoriser des puissances négatives mais ça doit rester polinomial polinome en z plus ou moins 1 et pi puis attention parce que mon espace il doit être stable non seulement par la transformation de Fourier mais également par son inverse donc ça me dit que en fait ce polinome ici doit être inversible donc qu'est ce que c'est qu'un polinome inversible c'est un monome hein donc ça veut dire ça polinome en z plus ou moins 1 et pi tel que son inverse serait également un polinome en z plus ou moins 1 et pi oui et qui est un monome en pi en un sens il est inversible en pi donc appelons ça un monome alors voilà on a tout ça mais c'est pas encore terminé là j'en étais à la propriété 5 la propriété 6 c'est une propriété de compatibilité au terme constant c'est à dire que si on a fx une refonction sur g de fx alors le terme constant fxnp que multiplie le déterminant indice p norme à la puissance 1 demi ceci doit être une roue m fonction sur mp de fx pour tout ce groupe parabolique p en particulier pour le le sous groupe de borrel donc c'est une compatibilité avec ce qu'on attend déjà comme transformation de Fourier sur le tord donc ça c'est cette propriété là maintenant on veut la compatibilité donc oui ici je peux faire une remarque tout de suite c'est que dans le problème 1 de tout à l'heure donc c'est une remarque interne au point 6 dans le problème 1 tout à l'heure j'ai demandé que le passage au terme constant était compatible transformation de Fourier donc ça se traduit immédiatement par la propriété suivante c'est que si on se donne une représentation pi de g voilà qui est ce qu'on appelle une induite quand je dis induite c'est induite normalisée d'une représentation p m p m du sous groupe de lévis m et bien nécessairement on doit avoir lx de rho pi z égale lx de rho m pi m z est la même chose pour les facteurs epsilon alors et le donc le voilà on demande ça et enfin la la la la la dernière propriété c c'est la suivante bah c'est préciser ce qui doit se passer pour les les places non ramifiés enfin pour la la non ramification donc c'est la propriété 7 je demande que x soit non ramifié pour g et rho et dans ce cas là je peux regarder des représentations pi appartenant à la la la représentation donc pi c'est des éléments voilà je prends des représentations non ramifiées et donc là je me demande ce que c'est que les lx de rô pi z et les epsilon x de rô pi z et bien la propriété qu'on demande évidemment c'est que ces deux choses là soient les transformés de la défraction rationnelle suivante le produit sur les 1 ir de 1 sur 1 moins z 10 z donc ça c'est quoi c'est le produit sur les z des fonctions l classique de qui zéro z 10 z et ici qui zéro c'est le caractère trivial donc là c'est j'écris simplement les fonctions l classique qui sont simplement ça le produit de les 1 sur 1 moins la variable il n'y a pas plus simple donc le produit sur les y compris entre 1 et r de 1 sur 1 moins z 10 z donc c'est une fraction rationnelle en dévariable à la variable z des variables z 10 et puis donc ça c'est pour les facteurs l et pour les facteurs epsilon je prends le produit sur tous les y compris entre 1 et r des facteurs epsilon classique du caractère trivial avec la variable z 10 fois z est relative au caractère psix parce que évidemment le facteur epsilon dépend du choix du caractère donc je veux les transformer de ces choses là par quoi et bien par le momorphise qui va de hrx vide vers hgx vide pourquoi parce que hrx vide c'est simplement c de z 1 plus ou moins 1 z r plus ou moins 1 les invariants par les c'est les polynomes invariants en z 1 plus ou moins 1 z r plus ou moins 1 donc voyez que ici vous avez une fraction rationnelle en z avec des coefficients z dit et cette fraction rationnelle est symétrique en les z dit donc ça définit une fraction rationnelle en z dont les coefficients sont les mains de ça donc cette transformation vous donne ici vous associe à ça une fraction rationnelle en z qui est un polynome en les pis voilà et de même pour le facteur epsilon donc on demande que pour les choses non ramifiées on est ça donc ça veut dire quoi ça veut dire que déjà le en quelque sorte l espace des héros fonctions il est déterminé dans sa partie non ramifiée on sait exactement ce qu'on veut dans la partie non ramifiée parce qu'on a déjà les facteurs l et les facteurs epsilon et on a dit que se donner cet espace des refonctions c'est équivalent à enfin se donner l espace des refonctions c'est équivalent à se donner l espace à se donner les facteurs l et se donner la transformation de fourriers sur l espace des refonctions c'est équivalent à se donner les les facteurs epsilon. Donc déjà, on connaît, disons que la partie non ramifiée de l'espace des refonctions et la transformation de fourriers sur l'espace des refonctions sont fixées. Le problème, évidemment, c'est de prolonger. Alors, pour le moment, il n'y a pas de formule de boisson. Je veux quand même le faire, disons, il y a eu 10 minutes de pause tout à l'heure. Donc là, effectivement, il faut quand même que je le fasse. Et parce que c'est évidemment la dernière propriété qu'on attend des transformations de fourriers, c'est la plus importante. Alors, d'abord, il faut que je définisse une notion de refonctions globales. Cette fois, on se place sur G2A, G des adels, et on a besoin d'une notion de refonctions de G des adels dans C. Bon, par décision, ça va être, c'est quelque chose dans l'espace vectoriel, dans le sous-espace vectoriel, engendré par les produits sur toutes les places de fonctions Fx, où Fx est une refonction sur G2Fx, quelle que soit la place. Alors, ici, vous allez me dire, on en a parlé pour les places ultramétriques, on en a pas parlé pour les places archimédiaires. Bon, les places archimédiaires, ça sera plus tard. Simplement, ici, je donne le principe. Dans les places archimédiaires, il y aura aussi une notion de refonctions. Voilà. Donc, on demande que tous les facteurs soient des refonctions, et on demande une condition supplémentaire qui est qu'en presque toute place X ultramétrique, Fx est ce que j'appelle la refonction standard, et ce que, dans la littérature, d'autres personnes appellent, je crois, la refonction spéciale. Donc, c'est quoi ? C'est la fonction non-ramifiée. Donc, c'est une intégrale sur les... Alors, ici, il y a le déterminant habituel. Bon, je n'écris pas. Enfin, le facteur de normalisation habituelle. Ici, on prend les représentations non-ramifiées. Donc, on est en une place non-ramifiée, d'épis de Lx, Lx, rho, pi, qx puissance, moins en demi, que multiplie phi, indice, indice, x, pi, de la variable. Et ça, c'est quoi ? C'est l'unique coefficient matricielle de pi qui vaut 1 au point 1. Autrement dit, on demande que l'on prend une fonction sphérique. L'unique coefficient matricielle invariant des deux côtés par g2x. Donc, on prend l'unique fonction sphérique, dont la transformée de cet aqué et la fonction L. Voilà. Donc, on demande... Voilà. Donc, les refonctions, c'est des refonctions globales, c'est des produits de refonctions locales qui, en presque toutes les places, sont égales à ça. Voyez que, dans le cas de GLR, cette fonction-là, c'est simplement la fonction caractéristique de MR de OX. Donc, il est normal de la trouver en presque toutes les places. Voilà. Bon, donc, on a comme ça une notion de refonctions globales et on a une notion de re-transformation de fourriers. Parce que si on a une fonction, un produit sur toutes les places de fonction FX, bien sûr, on peut lui associer le produit sur toutes les places des transformations de fourriers locales. Alors, ici, cette propriété que presque tous les facteurs, la re-fonction locale, donc la re-fonction standard, cette propriété est préservée, parce que, en fait, quand on prend les représentations non amifiées, eh bien, avec la propriété qui est là, les facteurs Epsilon val 1 en presque toutes les places. Toutes les places non ramifiées ou PsyXA pour conducteur 0. Donc, on a presque toutes les places, la fonction standard ou spéciale et sa propre transformation de fourriers. Voilà. Donc, maintenant, on a une notion de re-fonction globale. Et on voudrait formuler au moins un énoncé conjectural pour une formule de poisson. Alors, évidemment, ce qu'on a envie de faire, c'est qu'on a F et F chapeaux et on a envie de comparer la somme sur les éléments de G de F de F de gamma et la somme sur les éléments de G de F de F chapeaux de gamma. On a envie de comparer ces deux sommes, mais, évidemment, ça ne peut pas être égal, en général, parce que, déjà, dans le cas linéaire, habituel, dans le cas des matrices, pour avoir l'égalité, il faut les termes de bord. Alors, donc, pour éviter ce problème, en fait, on a besoin d'exprimer déjà la formule de poisson habituelle, sous une forme multiplicative, c'est-à-dire une forme qui ne fasse pas référence au bord. Et en fait, c'est possible. Donc, pour ça, on va poser la définition suivante, c'est une définition générale. Donc, je prends X, une place ultramétrique, et je considère une re-fonction sphérique, donc, il va de G de Fx. Donc, sphérique, ça veut dire un variant des deux côtés par G de OX. Ça suppose en particulier que la place est non ramifiée pour G. Voilà. Et donc, cette fonction sphérique, je regarde sa décomposition spectrale. Donc, c'est le det à 10 rho norme à la puissance moins à demi, que multiplie l'intégral sur les représentations non ramifiées, qui sont unitaires et tempérées, d'épi Fxpi de point, fois le dénominateur, qui est donc le factor L. Là, j'ai simplement recopié la définition des rôles-fonctions. Et alors, maintenant, je considère deux entiers quelconques, n et n', et à partir de ça, je peux définir Fx de n', de point. Donc, c'est une fonction qui est définie un peu de la même façon, enfin qui est définie à partir de la fonction de départ en termes spectraux. Donc, je vais simplement modifier un peu la décomposition spectrale. Donc, c'est l'intégral sur le même espace de pi de Fxpi de point, que multiplie le Lx de rho Pitch Qx puissance moins à demi. Donc, jusqu'à présent, je n'ai rien changé. Mais ici, j'ajoute quelque chose. J'ajoute un facteur que je vais noter comme ça. I indice xn de rho Pi Qx puissance moins à demi, et I indice xn prime de rho Pitch Qx puissance moins à demi. Alors, pour que ceci a un sens, j'ai besoin de préciser ce que signifie Ixn de rho Pi Z. Donc, c'est un polinôme en Z qui est le produit de deux facteurs. Le premier facteur, c'est l'inverse de la fonction L. J'ai dit que la fonction L était l'inverse d'un polinôme. Donc, cet inverse est un polinôme. Produit de ça est du monôme de 2°N dans la décomposition, dans le développement en série formelle de la fonction L elle-même. Vous voyez, la fonction L, c'est 1 sur 1 moins puis des puissances de Z. Donc, on peut développer ça en série formelle. C'est une somme de puissance de Z. Donc, ici, je prends finalement la contribution de 2°N en Z. Alors, évidemment, si je fais la somme sur tous les n, je trouve 1. Donc, c'est une remarque importante. Voilà. Donc, ici, j'ai cette définition. Et on a... Donc, on peut faire plusieurs remarques. Donc, la première que je viens de faire, c'est que la somme sur N dixN de rho, pi, Z. Donc, c'est une somme de polinôme. Mais je peux faire cette somme dans l'anneau des séries formelles. Et dans l'anneau des séries formelles, cette somme est égale à 1. Bon, d'autre part, si je remplace Z par Qx puissance moins à demi, et que je fais la somme, eh bien, ça converge absolument. Et, immédiatement, on en déduit une autre propriété importante. C'est que, quel que soit G, la somme sur les nn-primes appartenant à grande n des fx-nn-primes de G. Donc, cette somme-là, c'est égal à fx-2G. Autrement dit, j'ai pris ma fonction fx, je l'ai simplement décomposée en morceaux. Alors, quel est l'avantage des morceaux en question ? Vous voyez que là, le Xn de Pitchetch contient en facteur l'inverse de la fonction L. C'est l'inverse de la fonction L fois un polinôme. Donc, cet inverse de la fonction L, il se simplifie avec ça, il le fait disparaître. Donc, il ne reste plus qu'un polinôme. Et polinôme, ça veut dire fonction support compact. Donc, ça veut dire que chaque fx-n-prime est un support compact. Et également, ça transformait de fourrier. Parce que, vous voyez que, ici, la transformée de fourrier, vous vous replacez simplement Pitchetch par Pi. Et vous avez ici quelque chose qui élimine le dénominateur en Pi-Chetch et quelque chose qui élimine le dénominateur en Pi. Vous avez simplement écrit votre fonction comme une somme de termes qui sont un support compact, ainsi que leur transformée de fourrier. Bon, une fois qu'on a fait ça, on peut formuler le problème de formule de poisson, qui n'est pas seulement un problème, parce que, en fait, les noms, c'est que je vais donner. Dans le cas de classique, le cas de GLR est un théorème. C'est-à-dire que c'est une manière alternative d'exprimer la fonctionnelle de poisson habituelle. Une manière alternative et compliquée, évidemment. La fonctionnelle de poisson habituelle dans le câlinaire, elle est très somme. C'est la somme sur les éléments de MR de F. Mais le problème, c'est que cette expression-là n'est pas multiplicative. Alors que ce que je vais écrire est multiplicatif. Ça veut dire que ça ne fait intervenir que le groupe G. Tu vois que le passage de cette fonction-là à ces machins-là se lit sur la décomposition spectrale, donc tu es sur le groupe et tu considères l'action du groupe sur lui-même par translation à gauche et à droite, rien d'autre. Il n'y a pas de bord dans tout ça. Alors, c'est le troisième et dernier problème. Alors, on voudrait la chose suivante. Quel que soit F de G de A dans C, une refonction globale. Pour toute F comme ça, on voudrait les propriétés suivantes. Donc il y a trois propriétés. Premièrement, quel que soit X, donc une place ultramétrique où G, Rho, sont non ramifiés. J'ai dit que ça, c'est vérifié en toutes les places, enfin non, on me finit. Et F s'écrivent sous la forme d'un produit ou Fx, donc il y a une fonction sur G de Fx, et puis le Fx avec un exposant en haut, c'est une fonction sur toutes les autres places. Mais là, ce que je veux, c'est une fonction sphérique qui donc, par définition, doit être une refonction locale. Donc évidemment, on a une factorisation comme ça en toutes les places, enfin non, on me finit. Donc il y a énormément de plastics qui vérifient cette propriété. Donc je regarde une place arbitraire vérifiant ces conditions assez faibles. Et alors, je peux faire la chose suivante. Je peux prendre ma fonction F, mais en modifiant son facteur locale en X, je le modifie à la manière que j'écris là, cette manière à un sens pour toute fonction sphérique. Donc je modifie, je fais la somme sur les gammas appartenants et j'évalue cette fonction en les éléments rationnels du groupe. Alors évidemment, ici j'ai des NN prime, donc ce que je fais, c'est que je fais la somme. Attention, je ne suis pas sûr que ça converge, en fait ça converge pas en général. Donc je forme une série formelle à partir de ça, en menant une variable Z. Et alors ce que je demande, c'est que ceci est, à priori, c'est une série formelle en Z. Je demande que ça soit une fraction rationnelle en Z, première propriété. Deuxième propriété, sa valeur régularisée en Z égale 1, notée S2F, ne dépend pas du choix de la place X. Alors qu'est-ce que je veux dire par valeur régularisée ? Voyez que vous avez une fraction rationnelle en Z. Donc il peut se produire que cette fraction rationnelle est un pôle en Z égale 1. Mais même s'il y a un pôle, vous pouvez écrire votre fraction rationnelle, votre fraction rationnelle, c'est-à-dire R de Z. Vous pouvez l'écrire sous la forme R0 de Z, plus une somme sur des I, compris entre A et K, de certains coefficients A, I, que multiplie Z moins, donc ce qui m'intéresse, c'est 1, Z moins 1 à la puissance I. Vous l'écrivez de cette manière-là, c'est une écriture unique, et ceci n'a pas donc 100 pôles en Z égale 1. Donc là, je l'écris pour une… En fait, on a des fractions rationnelles. Evidemment, ça aurait en sens aussi pour des fonctionnalités. Donc la valeur régularisée, c'est R0 de 1. Je vais simplement enlever la partie polaire. Donc ça a un sens, et donc je demande que la valeur régularisée en Z égale 1 ne dépend pas du choix de la place. Donc ça, c'est la première propriété que je demande. La deuxième propriété que je demande, c'est que ce S2F, il est bien éfiné, puisqu'il ne dépend pas de la place, vérifie la formule de poisson. S2F égale S2F chapeau. Oui, alors on peut se demander si ce S2F, c'est la fonctionnelle de poisson, en fait pas tout à fait. Pour retrouver la fonctionnelle de poisson arbitraire, il faut, on va former la somme sur les gammas appartenant à G2F de F de gamma, plus la somme sur les gammas appartenant à G2F de F chapeau de gamma, moins S2F. Voyez, donc je prends S2F, je prends la différence de S2F et de quelque chose qui est également symétrique. En la transformation de fourrier. Donc cette chose-là, c'est cette chose-là que je vais noter de manière abusive, sur la somme, sur les éléments de G bar de F de gamma, mais attention, ce n'est pas une somme. Donc pour ça, je le mets entre guillemets, c'est une notation abusive. Pourquoi cette notation ? C'est que simplement dans le cas du groupe GLR et de la représentation standard du groupe dual, et bien cette différence-là est la somme sur les matrices. Donc c'est pour ça que cette différence généralise. Voilà, donc ça veut dire évidemment la formule de poisson, elle est équivale, donc j'ai écrit là-bas S2F égal à S2F chapeau, la symétrie, enfin le fait que S est respecté par la transformation de fourrier, c'est équivalent à dire que cette somme aussi est respectée par la transformation de fourrier. Bon, la dernière propriété dont j'ai besoin qu'on demande, c'est la voilà, c'est le fait que cette chose-là, que j'ai écrite entre guillemets, est égal simplement à la somme sur les éléments du groupe, si en au moins une place X on a F égale, donc F admet une factorisation, ou le facteur local est à support compact. Quand vous avez un facteur local à support compact, alors attention ici, c'est en une place X ultramétrique, quand le facteur local est à support compact, évidemment vous attendez à ce qu'il n'y ait pas de termes de bord. Donc c'est la troisième propriété qu'on demande, et donc là aussi évidemment elle est vérifiée dans le cas habituel, puisque ceci j'ai dit c'est la somme sur les éléments, sur les matrices MR2F. Bon, donc voilà, j'ai terminé. Oui, la dernière chose que je voudrais annoncer, c'est simplement le rapport avec la fontorialité. Malgré tout, c'est important. Donc, je vais écrire là le rapport avec la fontorialité. Alors c'est en fait, c'est équivalent. Alors c'est équivalent au sens suivant. Donc c'est un double théorème avec quelque chose dans les deux sens. Donc le premier théorème, c'est que l'existence dont vous prenez G est la représentation de transfert rô. Alors si vous connaissez le transfert automorphe de G à G, au sens de l'anglance, de G à G à l'air via rô, c'est-à-dire le fait que la représentation rô induit, enfin, elle vous permet de transformer les représentations automorphes de G en des représentations de G à l'air, alors ceci implique une solution positive aux trois problèmes. Donc les deux premiers problèmes locaux et le problème global de formule de poisson. Alors pour la réciprox, c'est un peu plus compliqué. Donc vous faites la chose suivante, alors oui, aux trois problèmes. Alors attention, relativement à rô et G, à G et rô. C'est-à-dire si vous avez le transfert automorphe de G à rô, alors vous récupérez d'abord une rô transformation de fourrier et une formule de poisson sur G, sur G des adels. Dans l'autre sens, donc c'est la chose suivante, vous allez faire la chose suivante, donc d'abord on a besoin d'une définition. Vous prenez un entier r' quelconque, au moins égal à un, et à partir de r', d'abord vous formez G' r' c'est quoi ? C'est G' x G' r' c', c'est-à-dire G' r' de C, divisé par C'. Alors le plongement de C' c'est quoi ? Le plongement de C' là-dedans, c'est vous avez un élément Z, évoluez associé le duale du déterminant d'Ig, donc c'est ce co-caractère central, vergule Z-1. D'accord, ça a un sens. Et vous remarquez que maintenant vous avez un homomorphisme induit qui va de G' r', produit subidirect avec gama F dans G' r' de C. Pourquoi ? Parce que ça c'est la même chose que G' produit subidirect gama F que multiplie G' r' de C. Le tout divisé par C'. Et donc votre homomorphisme c'est défini de la meilleure suivante, vous avez un couple G' r' évolue associé r' de G, produit tansorial G'. R' de G c' est un élément de G r r, G' c' est un élément de G r', vous faites le produit tansorial de ces deux matrices, vous avez comme ça une représentation produit. Et bien sûr que le C' qui est là, il est trivial. Donc vous avez bien cette représentation et alors qu'est-ce que c'est que G' r' maintenant ? Eh bien G' r' c' est induit dans un, c'est simplement vous l'obtenez dans un caractésien. Vous avez G' m, ici vous avez le déterminant ordinaire et là vous avez le déterminant indice G. Donc ça c' a un sens pour tout R'. Et donc le théorème, une fois que vous avez cette définition, le théorème c' est qu'une solution des trois problèmes pour G'r moins 1, vous voyez c' est pas G lui-même, c' est en quelque sorte G x G r moins 1, plus r' indice r moins 1, donc les trois problèmes ça veut dire transformation de fourrier, espace de rho-fonction et formule de poisson. Donc si vous connaissez ça, alors vous avez le transfert automorph de G a G r via rho. Vous voyez c' est ici, pour aller dans l'autre sens, vous avez besoin d'une formule de poisson sur un groupe plus gros. Donc ça ne correspond au fait que, comme il est bien connu, si on veut montrer qu' une certaine fonction L est automorph, ces propriétés globales ne suffisent pas. Il faut les propriétés globales de la fonction L considérées, tordues par n'importe quelle représentation de G l r moins 1. Voilà, donc ça on peut d'ailleurs utiliser cette théorème pour démontrer ça. On peut aussi utiliser les constructions que j' avais développées depuis un certain nombre d'années, pour ce que j' appelle la construction de noyaux du transfert. En fait, quand on a la formule de poisson, ça permet de construire des noyaux du transfert de G a G r, ça veut dire des choses qui sont un peu plus fines que la functorialité. Mais bon, presque équivalente à la functorialité, en fait, équivalente via ces deux théorèmes. Voilà, donc là, excusez-moi, j'ai été trop long, mais... pardon ? Bah oui, excusez-moi. Donc voilà, donc là j'ai posé le problème. Donc là, prochaine fois, je voudrais examiner le cas des tordues, et puis j'espère terminer à la fin en introduisant un premier objet qui, lui, est vraiment relatif au groupe productif G. Et puis la fois suivante, ou peut-être même une quatrième fois, je voudrais surtout examiner le cas de GL2 et des puissances symétriques de GL2. Bon, malgré tout, sur les blocs élémentaires à partir duquel sont construites les représentations. Voilà.