 Bonjour à tous. Je remercie les organisateurs pour me donner l'opportunité de présenter mon travail que j'ai fait avec mes deux directeurs, Jean-François Delmas et Jean-Stefan Garcin. Aujourd'hui, je vais vous parler de fonctionnel de coups sur les arbres aléatoires. Pour motiver l'étude que je vais vous présenter, les arbres sont très utiles en pratique. Les arbres, vous savez tous, sont dégrafres, connexes, sens cycles, et ici, non orientés bien entendu. Les arbres sont très utiles, notamment en informatique, pour classer des données et pour être efficace. Et puis également en biologie, notamment pour classer des espèces dans des arbres phylogénétiques. C'est essentiellement les deux applications, je ne vais pas faire d'applications du tout dans mon exposé, mais c'est les deux applications qui pourraient se faire. Dans tout l'exposé, quand je parle d'arbres, je vais parler simplement d'arbres binaires. Je définirai tout à l'heure plus précisément mes arbres binaires. Et puis, le deuxième objet d'étude, ce sera les fonctionnels de coups. Les fonctionnels de coups, c'est quoi ? Ce sont simplement des fonctions qui prennent leur valeur dans l'ensemble des arbres. Moi, puisque je vais parler que d'arbres binaires, ce sera dans les arbres binaires. Et puis, définit par une relation de requirance. Et comme je disais tout à l'heure, ces fonctionnels de coups peuvent être utilisés en informatique pour les algorithmes de type divisé et conquérir. Et puis également en biologie pour étudier l'équilibre d'un arbre. Nous allons savoir s'il y a plus d'enfants du côté gauche ou du côté droite. Nous allons savoir si notre arbre est équilibré. Je commence par quelques notations qui seront très importantes par la suite. Ici, je me donne un arbre binaire avec 5 nœuds internes. Pour être d'accord sur les notations, quand je vais noter T2N, un 10N, ça va être le nombre de nœuds internes. Comme je parle d'arbres binaires, s'il y a N nœud internes, il y a N plus une feuille et donc au total, 2N plus un nœud dans mon arbre. A chaque fois, je parlerai d'arbres binaires. Pour faire plus simple, je parlerai d'arbres enracinés. Ça veut dire qu'il y a un nœud distant, qu'on appellera la racine, que je note ensemble vide. Complait, ça sera simplement dire que chacun des nœuds a soit 0 ou 2 enfants, donc 0 enfants dans le cas de feuilles, ça ce sont des feuilles, et 2 enfants si on parle de nœuds internes. Ordonné, puisque on munit cet arbre d'un ordre droit de gauche, donc à chaque fois qu'un nœud aura 2 enfants, il y aura l'enfant de gauche et l'enfant de droite. Voilà pour la notation. Et puis 2 autres petites notations, je noterai L2TN, la partie gauche de mon arbre, donc ici cette partie ici, et puis R2TN, la partie droite de mon arbre, donc cette partie ici. Et puis la notation très importante pour laquelle je terminerai, donc c'est la notation TN2V, c'est simplement le sous-arbre de mon arbre TN enraciné en V. Donc ici en rouge, on a T5, donc le sous-arbre de mon arbre A5 nœud interne enraciné en V. Donc voilà pour les notations. Donc moi, évidemment, comme vous, je travaille en probabilité, donc là je vous ai parlé d'arbres binaire, il faut bien sûr mettre un peu de probabilité là-dessus. Donc quand on travaille avec les arbres binaire, essentiellement il y a 2 modèles, le modèle de permutation aléatoire, sur lequel je ne vais pas m'étendre, puisque ce n'est pas l'objet dont l'on étude. Et puis le modèle de catalan, donc c'est ce modèle-là que je vais étudier. Donc le modèle de catalan, il n'y a rien de plus simple. On considère l'ensemble des arbres binaire avec un nombre de nœuds internes donnés, et puis on choisit uniformément un arbre parmi cette classe d'arbres. Et donc puisqu'on sait que le nombre d'arbres binaire avec nœud interne est donné par le niem nombre de catalans, donc la probabilité d'avoir un arbre donné, ça sera 1 sur ces 2 nœuds. Donc voilà, on ne peut pas plus simple comme modèle sur les arbres binaire. Donc c'est le modèle que je vais considérer par la suite. Donc le plan est très classique, une petite introduction, puis alors la partie 2, ça sera la plus importante, puisque je donnerai l'objet clé pour la preuve de météorème, je donnerai les résultats en partie 3 et puis je terminerai par une petite conclusion. Donc on est revenu au début. Donc on recommence, c'est pas grave. Donc voilà la définition du coup d'une fonctionnelle de coup, donc une fonctionnelle de coup comme je disais tout à l'heure, c'est très simple. C'est une fonction à valeur dans les arbres binaire, puisque je considère les arbres binaire, définie par une relation de récurrence. Donc si je me donne un arbre, la fonction appliquée à mon arbre, ça sera la fonction appliquée à la partie gauche, plus la fonction appliquée à la partie droite de mon arbre, plus une certaine fonction que je vais appeler fonction péage qui ici va dépendre que de mon cardinal de mon arbre. Alors j'attire votre attention sur le fait qu'il y a des études qui ont été faites sur une fonction péage qui dépend de l'arbre entier. Par exemple on pourrait imaginer une fonction qui compte le nombre de motifs d'un arbre donné, par exemple en Suisse un arbre et on regarde le nombre de fois où ce motif apparaît. Mais moi ce n'est pas du tout ce cas-là, moi je vais simplement considérer une fonction péage qui dépend du cardinal de mon arbre. Donc si vous avez bien compris, si je prends un arbre binaire à n nu intern, c'est assez facile de voir par cette relation de récurrence qu'on a cette relation, donc à savoir que c'est la somme sur tous les nœuds de mon arbre de la fonction péage appliquée au cardinal du sous-arbre enraciné en V. Donc voilà. Donc maintenant passons à notre première motivation. Notre but c'était d'étudier des fonctionnels de coups appliqués à la fonction péage de la forme qu'à la puissance beta avec beta plus grand que 0. Ça c'était notre première motivation. Qu'est-ce que ça donnerait du coup ? On a la fonctionnelle additive associée à cette fonction péage et puis on se pose la question quel facteur de normalisation on doit mettre devant pour avoir une convergence qu'on espère presque sûre vers une variable éleatoire non triviale. Donc la réponse avait été partiellement faite. Donc ça a été démontré dans les années 2000 par Phil et Capour dans un premier temps que pour beta plus grand que 0 on a la convergence en loi donc nous on l'a obtenue en convergence presque sûre mais la fonction limite, enfin la variable limite était simplement caractérisée en termes de ces moments. Nous on aimerait avoir une expression explicite de cette limite. Et puis un peu plus tard, Phil et Janssen ils ont montré alors cette fois que pour beta strictement plus grand que un demi que la limite s'exprimer en termes de l'excursion brunienne normalisée. Donc j'y orderai par la suite à la définition. Donc très rapidement j'ai donné deux exemples de fonctionnel additive donc je ne vais vraiment pas mettre en dessus peut-être s'attarder sur le premier exemple. Donc c'est la longueur de chemin total. Donc ces deux résultats-là ont déjà été fait sans utiliser nos résultats bien entendu c'est des résultats anciens. Donc la longueur de chemin total c'est simplement la somme sur tous les nœuds de la distance de ces nœuds à la racine. Et puis ça c'est simplement une application de fubini par fubini, on voit apparaître la fonctionnelle de coût associé à la fonction péage simplement K. Et donc on peut récrire ça en termes de la variabalatoire que j'avais introduit tout à l'heure et on voit qu'en mettant ce facteur de normalisation on obtient une convergence presque sûre vers une variabalatoire qui dépend donc ce que j'ai noté eux l'excursion brunienne normalisée. Et on a la même chose pour l'indice de vinaire mais je n'ai pas trop le temps de m'attarder dessus mais c'est exactement le même système. Donc on voit que sur deux exemples déjà fait donc et nous en fait plus généralement ce qu'on a réussi à obtenir c'est donc la convergence de ce type de fonctionnelle donc vous voyez c'est un tout petit peu plus compliqué puisque ici on a mis une fonction générale donc je mets qui satisfait des conditions assez régulières je donnerai tout à l'heure et puis devant du coup on a ce facteur de normalisation afin que cette fonctionnelle de coût converge. Donc pourquoi ici je normalise c'est simplement qu'on va prendre des fonctions qui prennent leur valeur dans zéro. Donc on a besoin du coup que cette antistasis soit à valeur dans zéro. Et donc le but c'est d'obtenir ce que j'appelle un principe d'invariance donc c'est simplement une convergence presque sûre et puis toujours sous le modèle de Catalan que j'ai donné tout à l'heure. Donc passons donc du coup à l'élément clé de cette exposé c'est-à-dire le lien entre les arbres obinaires et l'excursion brunienne normalisée. Donc je rappelle d'abord ce que c'est l'excursion brunienne normalisée donc c'est vraiment pas compliqué donc c'est ce que j'ai dessiné ici en rouge c'est vraiment un mouvement brunien donc tout le monde sait ce que c'est conditionné à valeur 0 en 1 et en 0 et à rester positif sur 01. Donc voilà. Et donc sur cette excursion brunienne normalisée on peut la munir d'une distance ce que je défini ici et puis si on consciente l'intervalle 01 par cette relation d'équivalence on obtient ce qu'on appelle l'abre brunien. Donc tout simplement enfin c'est vraiment simple à voir vous prenez la courbe ici rouge dessous, on recole toute la courbe et puis après on déplie un tout petit peu et on obtient du coup l'arbre brunien donc c'est un arbre réel avec un nombre infinie de nœuds et d'arrêtes. Et donc simplement cette relation d'équivalence qu'est ce qu'elle fait ? On identifie tous les points qui sont à distance 0 avec cette distance ici. Donc là on obtient un arbre brunien mais nous je vous rappelle qu'on veut construire des arbres binaires avec un nombre de nœuds interne donc c'est pas ce qu'on obtient ici. Comment on peut faire pour obtenir à partir de cet arbre brunien un arbre, un sous-arbre avec un nombre de nœuds interne donnés. Donc c'est ce qu'on va voir tout de suite. Donc de toujours pareil j'ai tracé l'excursion brunenne normalisée et puis on va se donner une suite de variables uniformes indépendante de l'excursion et uniforme sur des variables uniformes sur 01. Donc si on veut un arbre binaire avec nœuds interne on doit donc jeter n plus une variable uniforme puisque les variables uniformes qu'on se donne ça va être les feuilles de notre arbre, d'accord ? Donc on se donne ça, puis après qu'est-ce qu'on fait ? Alors on construit donc on classe toutes nos variables uniformes par ordre croissant et on construit successivement les minima successives entre 2 variables uniformes successives de l'excursion brunienne donc c'est des points que j'ai tracé en vert. Et donc après je construis les segments en bleu et ce qu'on va voir tout de suite c'est que grâce à cette construction on peut construire de la même manière que tout à l'heure en identifiant les points à distance 0 on peut construire un sous-arbre de l'arbre brunien réel avec nœud interne. Voilà pour ça donc là vous voyez que les longueurs de branche du coup sont aléatoires et on peut associer à cette arbre que je note donc t éron n un autre arbre, cette fois un arbre avec des longueurs de branche égale à 1 et donc je vais noter t droit et donc là ce qu'on peut voir ce que j'ai montré par AL12 dans le début des années 90 c'est que par cette construction on obtient, on revient exactement au modèle de catalan. Donc à savoir que la probabilité d'avoir cette arbre c'est exactement une probabilité uniforme sur l'ensemble des arbres binaire à nœud interne. Donc voilà et donc j'attire votre attention puisque je ne vais pas du tout après aller dans la preuve c'est quel est l'intérêt de cette construction c'est qu'on est sur un problème sur les arbres et puis grâce à cette construction c'est un problème sur plus fonctionnel grâce au lien avec l'excursion brunienne. Donc à savoir que tous les résultats que je fais ici et que j'ai dit qui avait déjà été fait par AL12 c'était vraiment des méthodes combinatoires donc rien à voir, on a complètement changé le point de vue et donc grâce à cette méthode on a pu obtenir des coups, des convergences presque sûrs Alors ici tu avais les variables uniformes tu construis les minimas successifs entre 2 variables uniformes et puis après t'as une construction qui fait que tu construis entre tu prends le premier point le plus bas puis après tu cherches les 2 points entre les points bleus et les points vers les plus bas et tu construis les 2 segments et ainsi de suite Donc voilà pour la construction et puis maintenant passons donc au résultat le plus important quand même donc j'introduis une dernière petite quantité donc c'est à savoir Sigma de RS en fait pourquoi je l'introduis parce que ça rajoute encore des notations c'est simplement qu'elle intervient dans la variable limite donc c'est pas très compliqué, on se donne S sur 01 donc moralement c'est une feuille et puis on se donne un niveau R entre 0 et E de S et puis on va considérer la longueur Sigma de RS, donc Sigma de RS qu'est-ce que c'est c'est simplement la longueur de l'arbre qui passe par la feuille S et au dessus du niveau R donc c'est assez facile de voir normalement si vous prenez le temps de voir que cette quantité-là s'exprime de cette forme-là donc pas importe pour la quantité simplement d'accord c'est ce qui va apparaître dans la limite donc on se donne toujours la fonctionnelle un peu plus compliquée que j'avais exprimé tout à l'heure puis également cette fonctionnelle-là donc j'attire votre attention que ces 2 quantités-là ce sont des mesures aléatoires d'accord et donc qu'est-ce qu'il se passe c'est que presque sûrement pour toute fonction continue sur 01 excepté en 0 alors en 0 qu'est-ce qu'il se passe c'est qu'on autorise la fonction à exploser mais de manière contrôlée voilà ce que veut dire cette condition-là alors pour toute fonction qui remplit cette condition-là on a la convergence presque sûre de cette fonctionnelle-là vers la variable limite qui s'exprime bien on le voit en fonction de l'excursion brunienne normalisée puisque je vous rappelle que cette quantité dépendait de l'excursion brunienne normalisée donc voilà le résultat principal et puis maintenant ce qu'on voudrait c'est l'appliquer à nos premiers buts d'études vous rappelez on voulait étudier des fonctionnels associés à des fonctions ph du type k à la puissance beta donc comment on fait mais il suffit d'appliquer ça à la fonctionnelle x beta-1 si on prend f2x égale x beta-1 on voit bien que du coup on va avoir du x beta avec ces 2 termes-là et puis on a ce terme-ci qui va sortir et qui va se factoriser avec celui-ci et donc voilà le résultat qu'on obtient donc là c'est vraiment les 2 mêmes quantités mais appliquées avec f2x égale x beta-1 et donc de la même manière on obtient que pour tout beta plus grand que 0 on a cette convergence presque sûre et en fait dans ce cas là on a même plus plus qu'on peut savoir comment se comporte la variable limite donc si beta est plus grand qu'un demi strictement on a que presque sûrement la limite est finie et même son espérance est finie et en fait on a même plus encore on a l'expression explicite du moment et puis dans le cas contraire la variable élatoire est presque sûrement infinie donc voilà maintenant qu'on a obtenu la convergence presque sûre, ce qu'on a bien en probat évidemment c'est d'obtenir des fluctuations associées donc c'est mon dernier résultat donc voilà on a obtenu en fait moralement donc un TCL donc on impose de nouvelles conditions sur la fonction f donc toujours à les continuous sur 0,1 et puis on demande qu'elles soient localement les Y-chain et continuous sur 0,1 acceptés en 0 avec une certaine encore condition de régularité et puis dans ce cas-là du coup ce qu'on a c'est que la fonctionnelle moins sa limite converge en loi vers une certaine Gaussian dont la variance est donnée ici et ce qui est très important en fait de remarquer c'est la vitesse de convergence qu'on obtient donc à savoir T2n à la puissance 1 quart donc voilà pour les résultats donc ça conclut mon exposé donc très rapidement si j'ai le temps de conclure donc je rappelle qu'on a obtenu un principe d'avariance là j'ai pas eu le temps de l'exposer mais on a même je suis en train de m'étouffer on a même obtenu un principe d'avariance pour des modèles plus générales pour les arbres simplement générés donc je conclure rapidement donc on a obtenu en fait mieux donc le résultat pas seulement pour des arbres obinaires mais pour des arbres aussi simplement générés donc on a également obtenu donc c'est ce par quoi j'ai terminé donc un principe les fluctuations associées au principe d'avariance donc ce qui est important de remarquer que j'ai pas eu le temps de dire c'est qu'en fait la vitesse de convergence elle vient pas du tout des approximations entre l'arbre obinaires et le sous-arbre ANE interne mais ça vient simplement de l'approximation des longueurs de branche par leur moyenne et puis ce qu'il resterait à faire c'est étudier des fonctionnels de coups qui dépendent à la fois de la partie gauche de mon arbre et de la partie droite de mon arbre donc on espérait obtenir d'autres fonctionnels et donc voilà je vous remercie pour votre attention merci Marion est-ce qu'il y a des questions si tu peux encore parler est-ce que tu peux expliquer quel est le dans le terme de ta fonctionnelle quel est le rôle du facteur TNV donc le domaine de sommet c'est à dire c'est à dire il joue un rôle de billet par la taille ou c'est pourquoi est-ce que tu considères pourquoi j'ai le TNV ici oui c'est dans la preuve après que ça intervient de manière cruciale puisqu'il y a un moment on va remplacer le nombre de nœuds dans notre arbre par le nombre de feuilles en fait on peut voir que si quand n est grand on peut négliger les nœuds internes sont très proches des feuilles donc du coup on a besoin de ce terme-là et après quand on va passer des arbres discrets plutôt au cadre continu on a vraiment besoin de manière cruciale de ce terme-ci quand on transforme la somme ce n'est pas très clair ce que je viens de dire mais ce terme-là est vraiment cruciale quand on passe du discret au continu c'est bon ce n'est pas très loin quand on va parler oui oui voilà c'est exactement ça c'est pas ce que j'arrive pas très bien m'exprimer quand on va passer on est sur les arbres du coup discrets il y a un moment où on est obligé de passer aux arbres continu avec l'arbre, le sous-arbre de l'arbre obronien quand on retravaille la somme ça va disparaître donc on a besoin de ce terme-ci et après c'est simplement une application de la loi des grands nombres c'est pour ça qu'après on a pu du tout de ce terme-là dans la limite voilà on a le temps pour une dernière question c'est-à-dire que pour l'exemple, si tu as des conditions sur le nombre d'arbres sur le total progeny c'est-à-dire que tes résultats poursuivent dans cette situation et ça ne pourrait pas être binary, c'est-à-dire? oui, c'est seulement pour les arbres binary dans ce cas mais c'est-à-dire que ça poursuivait pour le cas non-binary? je ne suis pas sûre parce que c'est vraiment le fait que tu peux construire et que ce théorique va fail ce théorique va fail je pense au moins je ne vois pas comment tu... merci donc on n'a pas trop le temps pour une dernière question donc maintenant on va avoir une petite pause café de 20 petites minutes avant les deux derniers exposés courts et l'exposé long de Remco donc on se retrouve ici à exactement 16h merci Marie