 Ok, merci pour l'introduction, je suis désolé pour le titre français, j'ai entendu des instructions sur le langage que je devais utiliser, mais je vais parler anglais. Mais avant, j'ai voulu parler des histoires d'illusie, et je vais les parler en français, parce qu'ils l'appliquent en français. Donc, comme je pense qu'à cette conférence, il n'y a pas eu assez d'histoires un peu taquines sur le professeur illusie. Je vais parler de la deuxième fois que j'ai rencontré, parce que la première fois, je l'ai encore en maths fait. La deuxième fois, c'est quand il venait torturer des normaliens avec ses groupes de travail. En particulier, il y a eu un groupe de travail, je pense Fabrice, c'était aussi sur les cycles proches faits au pervers et la preuve des conjectures de veille par de l'île. Moi, j'étais en deuxième année du ANAS, je n'avais aucune idée de ce que c'était qu'il avait fait sur le pervers, ou qu'au bogéital, ou ainsi que le proche, ou les conjectures de veille. J'ai été recruté dans ces groupes de travail par l'illusie qui m'a dit Sophie, j'ai envie d'exposer. Très facile, bon vous, aucun problème. Et c'est comme ça que je me suis retrouvé à lire ASG A7. L'exposé de Katz sur la construction des pinceaux de Lefchatz, où j'ai été censé l'aurait écrire en me débarassant des coordonnées, parce que les coordonnées, c'est mal. Et donc, l'illusie m'avait donné une feuille de papier avec un diagramme de deux lignes qui étaient censées m'éclairer. Je me suis bien d'avoir passé plusieurs nuits dans une panique totale. J'ai été sauvé, je pense, par Joel Riou, qui m'a beaucoup aidé à lire ASG A7. Il m'a trouvé les énoncés qu'il fallait dans ASG A7. Et puis après, avant l'exposé, évidemment, il fallait écrire des notes en la tête. Il y avait un rendez-vous avec l'illusie. D'abord, il fallait donner les notes à l'illusie. Et ensuite, j'avais rendez-vous avec l'illusie, à Orsay, pour qu'il me donne, il m'explique ses commentaires sur ces notes. Et puis, je suis arrivé à 14h. Il y a Sophie, vos notes. Magnifique, superbe. Je n'ai presque aucun commentaire, donc il a sorti mes notes. Elles étaient couvertes, à deux rouges. Il a fait un par un tous les commentaires. Donc, si on le font, la forme, tout, il m'a pas raté. Donc, on a commencé à 14h. Alors, je ne savais pas à l'époque qu'en fait, il fallait très bien manger, avoir un rendez-vous avec l'illusie. Pendant l'après-midi, il m'a proposé de prendre un café. À un moment, je n'aimais pas du tout le café, mais j'ai accepté juste pour avoir une occasion de manger du sucre, parce que je commençais à être rendu pour l'illusie vie sérieusement. Et puis, à la fin, on arrivait à la fin des notes. Je me suis dit, ouf, je vais pouvoir rentrer, il faisait déjà nuit. Et puis, il a commencé à parler du fibré, qu'au tangent. Je me dis, je ne trouvais pas que c'était quand même beaucoup mieux que le fibré tangent. C'est donc, je me souviens, j'étais assez... des plus idées très claires. Et là, le téléphone sur son bureau sonne. Il décroche, j'étais, ah, allo Gérard ! Oui, je suis avec Sophie Morel, comment ? Ah, 21h30 déjà ! Mais il faut peut-être que je l'ai à partir alors ! C'était Le Mon qui m'avait sauvé. Mais je n'ai jamais su si Le Mon savait. Est-ce qu'il savait que j'étais coincé dans le bureau de l'illusie ? J'allais rater le dernier, Robert. Est-ce qu'il savait ? Non, je crois pas. Je le connaissais, appelle Le Mon à l'époque. Je crois que je commençais juste le Mon Vémoire de Dua avec lui. Voilà, donc ça, c'était... Oui, donc j'ai retenu plusieurs choses. En particulier, manger un gros sandwich avant un rendez-vous avec l'illusie. Et puis, il y avait un autre truc. J'étais à la fin de ma thèse. On cherchait un nom pour un objet matérité. Enfin, une notation, en fait, j'avais défini. Donc, dans la catégorie des fessaux, des complexes, elle a dit que mixe un sur HMA sur un corphénie. J'avais défini deux petites catégories triangulées. J'appelais 2 supérieurs de l'égal à zéro, des inférieurs de l'égal à zéro. Ça, c'est une notation complètement standard. Le Mon m'a dit qu'il faudrait quand même quelque chose de cette structure particulière, rajouter un petit symbole sur le D et tout ça. Et on cherchait, on ne trouvait pas. Et puis là, il y a une illusie qui est passée dans le bureau, qui a discuté et qui a proposé de rajouter en exposant à gauche. Cette structure a été définie à coups de fessaux pervers et de poids. Donc, il a proposé de rajouter des petites exposants SM, parce que comme ça, c'était beaucoup plus pervers. Alors moi, j'ai l'habitude qu'on me fasse des blagues sur mes initiales, mais je ne l'attendais pas de monsieur professeur illusie, j'avoue. Alors malheureusement, l'Homon, qui n'aime pas du tout les blagues dans les articles de VAT, a censuré complètement cette proposition. Donc on a utilisé une notation beaucoup moins amusante. Mais bon, c'était ce jour-là, j'ai appris comment dire que mes professeurs, eux aussi, avaient l'esprit d'acquins. C'est pour ça que je le rappelle à tout le monde. Ok, donc, ok, donc, c'est sérieux, je devrais commencer mon parler. Donc, oui, j'étais hésitée entre deux topics sur le parler. Et puis, un de eux était, ah, non, ok, donc, ce... ces faces sont belles, mais c'est beaucoup plus difficile de les briser. Donc, un de eux était de la perversité, pas des motifs qui semblent que vous avez tout, vous savez, il y avait des perverses, il y avait des bouchons, il y avait des bicycles et tout ça. Et le autre, c'était ce, un truc triviel qui n'est pas intéressant d'une sérieuse mathématisation, il n'y a pas d'applications que j'ai faites pour partager la pizza. Et donc, bien sûr, quelle chose ai-je choisi pour la pizzerie de la pizzerie? Ok. Donc, je vais... je vais first introduire le problème. Donc, c'est le problème, il y a une pizza. Ah, oui, je dois dire. Donc, c'est... j'ai été demandé de parler de la pizza. Les Américains sont déçus avec la pizza pour des raisons. Mais nous sommes en France, donc vous pouvez imaginer que votre pizza est un delicat... c'est beaucoup plus beau. Donc, vous avez un peu de pie. Donc, c'est une pizzerie. Ok. Et ensuite, vous choisissez un point sur la pizzerie. Ok. Et ensuite, vous faites des couches. Donc, 4 lignes équilibrées à ce point. Et... Ok. Et ensuite, alors, vous partez les lignes entre deux gens. Donc, une pizzerie, vous le mettez en rouge, vous le donnez à la première personne, puis la prochaine pizzerie, vous le donnez à la deuxième personne, la première pizzerie, vous le donnez à la première personne, la prochaine pizzerie, etc. Donc, chaque personne obtient 4 lignes, d'excepter des cas de génération où il y a des lignes à la pizzerie. Mais, on va considérer que l'un des lignes à la pizzerie est encore une pizzerie. Et ensuite, le problème de la pizzerie classique qui était demandé dans, je pense, une magasine mathématique par quelqu'un qui s'appelle Goldberg a prouvé que ceci c'est un cas de génération. Donc, l'arrière bleue est équilibrée à l'arrière rouge. Ok. Et c'est vrai. Donc, il y a au moins en ce cas, je sais 3 méthodes. En fait, quand je suis demandé ce problème, je vais vous donner les méthodes dans l'ordre que j'ai trouvé. Donc, la première méthode est assez simple. Donc, si vous avez un cercle, si vous avez un point dans le cercle, p, vous regardez 4 lignes 2 lignes à des angles et ils intersectent le cercle à 4 points et vous regardez les lignes de ces 4 segments entre le point et la boundary. Et ensuite, vous faites les squares de lignes et ça c'est assez facile d'exerciser la géométrie et vous trouvez que c'est indépendant de p. Et donc, vous pouvez obtenir votre pièce de cercle d'imaginer que les lignes sont ici. Par exemple, les 4 lignes sont ici et vous calculez l'arrière en utilisant l'intégration dans les coordinates. Et ensuite, vous voyez que vous avez le même résultat pour le rouge et pour le bleu. Donc, c'est une méthode que les étudiants sont bien un peu plus analytiques. Donc, c'est la pizza. Donc, je ne vous ai pas dit que j'ai juste travaillé dans un plein plane mais maintenant, je vais choisir une origine. Et la origine que j'ai choisi est le point où les lignes s'intersectent. Et donc, à la centre de la pizza, j'appelle A. Et maintenant, je peux définir une fonction qui est juste l'arrière des lignes bleues minus l'arrière des lignes bleues. Et donc, le but est de montrer que cette fonction est identiquement 0 si A est dans le disque. Ok? Et ce qui est assez facile est de calculer la dérivertie de cette fonction parce que si vous pensez que les pizzas bougent, vous allez avoir une certaine ... une certaine des lignes bleues ici. Et vous devez juste souvenir quelle signes que vous utilisez. Donc je vous donnerai le résultat. Donc si je vais dans une direction V et je regarde A plus T V et je dérive à 0. Donc ici je suppose ... je n'ai pas besoin d'assurer que A est dans le disque pour ça mais je vais l'utiliser pour A dans le disque. Donc, j'ai des vectors normales à ces lignes. Donc E1 E2 E3 et E4 donc je vais vraiment faire un summe des lignes bien sûr. Et puis j'ai V et EI c'est un produit scala et puis j'ai une fonction pizza mais à instaurer une fonction pizza j'ai une fonction pizza donc c'est une fonction pizza dans la EI autogonal pour la pizza que c'est juste une intersection de donc c'est c'est juste un disque de centre A et de radius 1 et puis c'est l'arrêt donc je vais faire la situation mais pour l'arrêt donné par l'origine qui signifie que sur le côté de l'arrêt je compte le côté c'est ici j'ai la ligne ici j'ai l'origine et donc c'est EI autogonal j'ai A ici la pizza est ici et donc il faut intersexer cette ligne bien sûr dans le segment et le segment est centré à la projection de A sur cette ligne et donc c'est compté avec le plus et c'est compté avec le minus signé et vous voyez que c'est très facile à calculer c'est juste deux bon donc si si j'ai choisi une orientation donc ce que je fais si j'ai choisi une orientation sur la ligne et si je ne les choisis je vais avoir une science ici mais ce n'est pas ce qui est identifié à A donc je vois ce que c'est juste un nombre et c'est juste deux lengths compté avec le signé ok donc c'est c'est une partie ici je ne peux pas le faire mais ces deux parties sont supposées de la même ligne bien ok et aussi bien sûr si j'ai senti la pizza à 0 et donc je j'ai la je j'ai la mais c'est une une ce c'est un et aussi un c'est un un et une 2. Oh, yes, yes, yes, you're right. I should say. This is slightly abusive notation. So it's homogeneous polynomial of degree 2, but now I can finish the proof. It's very easy. C'est-à-dire que si je reflète A avec respect à l'une de ces lignes, au-delà d'un moment, j'ai changé le signage de la quantité de pizza, la fonction de pizza. Ce qui veut dire que cette fonction f est en fait anti-symétrique pour le groupement dihydroïde W. Je m'appelle W parce qu'il va être appelé W plus tard. En particulier, c'est 0 sur toutes ces lignes, mais il y a 4 lignes et c'est un polinominal de degrés 2, donc c'est 0. Et le 3rd proof, est-ce qu'on peut voir la projection, si l'on veut ? Le 3rd proof est... Le 3rd proof est ce qu'il s'appelle le Proof Without Words. C'est-à-dire qu'avec le carton de wagons, vous trouverez une dissection de la pizza. Vous trouverez une dissection de chaque pièce, ainsi que vous pouvez remettre les pièces entre les mêmes lignes et les autres lignes. Donc ici, c'est les lignes qui ont la même lettre, qui correspondent à l'un ou l'autre. Je vais parler plus de ce type de Proof, mais c'est bon. Je veux parler de... C'est un problème qui a 40 ou 50 ans, mais je veux parler de la généralisation. Qu'est-ce que vous pouvez faire ? La première chose que vous pouvez faire, c'est que vous pouvez utiliser plus de lignes. Vous utilisez des lignes de 2K, à l'aide d'un état 4. Vous coupez la pizza avec des lignes de 2K équilibrées. Et ensuite, la théorique ne s'arrête pas. En fait, on m'a parlé de 3 méthodes, 1, 2, 3. Et elles sont toutes généralisées. La méthode 1 n'est pas très difficile de voir. La méthode 2 est très générale. Si vous pouvez calculer le dérivé et le dérivé, c'est poignan. Vous n'avez pas besoin d'un autre. La méthode 3, parce qu'on peut projeter à nous aussi. C'est poignan, vous devez avoir une grise. Le poignan, c'est quoi ? Qu'est-ce que vous devez avoir une grise ? Oui, il sera de degrés 2. C'est le cas où vous avez 8 lignes. Et donc, peut-être que je vais expliquer ce qui s'occupe. Ce que vous faites, c'est que vous regardez... Vous avez 8 lignes. Et donc, ils vous donnent ce groupe d'héros. C'est juste créé par les réflexions sur ces lignes. Et puis, vous regardez A. Et puis, vous regardez si vous le transformez dans les lignes, vous le sentez à A. Vous avez un groupe d'affinés de transformations. Et vous regardez tous les transformations de l'origine. Et leur convoix, c'est un polygon. Donc, premièrement, je vais regarder ce qui s'occupe de ce polygon. Et au-delà de ce polygon, c'est assez facile d'attendre toutes les lignes. Donc, il y a des lignes qui ne sont pas cotées par le polygon à tout. Et je les mettrais avec des lignes simétriques sur l'autre côté. Vous pouvez voir les lignes 9 plus. Par exemple, il y a des lignes 9 minus, qui sont simétriques par une de les lignes. Ah, merci. Ah, ok. Et puis, quand vous faites ça... Donc, ce sont les lignes bleues et les lignes bleues. Quand vous faites ça, vous avez quelques lignes. Et les lignes qui apparaissent aussi. Et vous avez de l'une à l'autre par votre rotation, avec le centre A. Donc, tous ces lignes vont juste s'occuper. Qu'est-ce que le polygon là-dedans? Vous regardez le groupement d'héritage d'héritage, mais vous centrez les lignes à A. Donc, si vous mettez les lignes, les lignes sont là-bas. Et puis, vous bougez ce système d'héritage à A. Et puis, vous regardez les lignes d'héritage qui sont générées par ça. Et puis, vous regardez toutes les transformations de l'origine dans ce groupe d'héritage. Les lignes sont régulères. Oui, c'est l'arrêt d'héritage d'héritage. Donc, ici, c'est le pizza. Parce que le disque est symétrique, avec respect à toutes ces réflexions, avec respect aux réflexions pour les lignes qui passent par A, toutes les pièces vont beaucoup, les intersections de ces pièces avec les pizzas vont beaucoup. Et ici, vous voyez, bien sûr, je n'ai pas besoin d'un disque. Je pouvais y aller avec une forme plus générale, mais on va parler de ça plus tard. Et puis, à l'intérieur de ce polygône, vous faites des dissections. Donc, ceci est due à Frédéric Sein pour un général arrêt d'héritage d'héritage avec un nombre de lignes. Donc, vous êtes juste, vous êtes juste un peu gris par rapport à ces triangles qui sont des images de l'un à l'autre. Et puis, les choses qui sont faites à l'autre, encore un peu plus, elles apparaissent en pairs de deux, et elles sont beaucoup en rotations. Donc, c'est... C'est tout très beau. Je crois qu'on... Non, non, c'est la projection. Ok. Donc, une autre possible généralisation est toutes les formes de pizza. C'est ce que j'ai mentionné. Donc, en retour à ceci, j'ai dit qu'on n'a absolument pas besoin de pizza pour être un disque ici. On n'a qu'à avoir des symmétries et de contenir ce polygône. Donc, c'est ok si la pizza... Bon... Donc, la pizza doit être... C'est toujours... Je le translète par A, mais c'est A plus K, avec K stabilisé par le groupe dihédois. Et un K contenu par le hall de convex. Donc, ce polygône... Une autre façon de définir ce polygône c'est que je regarde toutes les formes de A par le groupe dihédois. Je prends le hall de convex et puis, le progrès fonctionne de la même manière. Donc, ça a été... Il a semblé que personne n'a noté ça, mais quand on a mis le papier sur l'archive, quelqu'un m'a dit qu'ils sont préparés un papier où ils ont aussi noté ça. Donc, c'était bien. La méthode 2 fonctionne aussi, parce que, comme je l'ai dit, c'est très général, c'est... Si vous voulez en parler d'un secteur, vous avez besoin de la pièce de la pièce pour être mesuré, mais vous utilisez la dérivé, vous devez vous donner le bon sens, mais ça fonctionne. La méthode 1, je n'ai pas d'idée. Ça peut probablement être fait. Mais si vous combinez avec ça... OK. Je dois dire qu'il y a toutes les possibilités de généralisation. Par exemple, si vous voulez partager une pièce de la pièce, vous devez en parler. La généralisation que je veux en parler est, bien sûr, une dimension plus grande. Donc, si vous voulez partager une pièce avec votre amie de 5 dimensions, comment vous le faites? Donc, cette méthode, je ne sais pas comment ça fonctionne, mais les deux méthodes généralisent bien. OK, on peut couper le projet. Merci. Oui. OK. Donc, je vais first introduce le problème en haute dimension. Donc, en dimension 2, OK, j'ai eu la pièce, c'est un autre problème. C'est un subset de la pièce. Et puis, j'ai une ligne d'équalité de la pièce. Donc, comment je généralise les lignes d'équalité? Je vais fixer l'euclide. Donc, ici, j'ai préparé mon projet en français. Le lignes d'euclide signifie la dimension finie de la pièce avec un produit interne. Et le produit interne c'est ça. Et puis, les lignes d'arrangements, je vais prendre un arrangement de hyperplanes. Donc, un arrangement que j'appelle h. Et je vais prendre une lignes finie. Donc, une lignes finie de nombreuses hyperplanes et l'image centrale. Toutes les hyperplanes vont à l'origine. Et puis, je peux l'écrire comme un set d'orthogonaux d'E d'E et d'E, où l'E est juste un subset de lignes finie. Et je vais mettre la prochaine condition sur l'E. Pour chaque élément de l'E, d'abord, l'E n'est pas dans l'E. Donc, j'ai besoin de l'index d'index différentes hyperplanes et je vais normaliser tout ça. Donc, j'ai choisi un factor normal pour chaque hyperplane. Bien. Et puis, il y avait cette condition en question. Comment j'ai généralisé cette condition ? Donc, l'obligation de la généralisation est la condition de la condition de la condition de l'arrangement. Donc, l'E est appelée coxateur. Vous assumez que ce n'est pas dans l'E ? Minus l'E. Donc, j'ai choisi un factor normal pour chaque hyperplane. Donc, l'E est appelée coxateur. Si chaque E et l'E c'est l'E est stabilisé par l'E où l'E est la symétrie de l'orthogonal symétrie sur la hyperplane de l'E-orthogonal. Ça veut dire que l'E est donné par une formule de l'Ex equals l'E-2 d'Ex ici, l'E est une fois que je peux retirer l'E qu'on n'a plus de généralisation. Donc, c'est la condition qu'on va mettre sur l'E. Et puis, si je regarde l'E, disons que l'E est coxateur c'est-à-dire que pour chaque alpha, beta et phi S alpha et beta donc, je vais dire phi c'est un système de route pseudo je dois dire un système de route pseudo normal mais je ne vais pas avoir un système normal donc c'est presque un système de route, mais vous avez mis la dernière condition dans la définition d'un système de route. Bon, c'est ok. Donc, même si ce ne sont pas les systèmes de route non classifs donc, si vous avez un système de route vous normalisez tous les vecteurs, vous avez un de ces guys. Parce que cette condition est allée à la maison. Maintenant, ces ones, donc vous pouvez les Write them as orthogonal disjoint unions of irreducible ones, the ones that don't decompose as orthogonal disjoint unions and the irreducible ones maybe I'm going to write the fun. So there are some infinite families and some sporadic cases so it's just like root systems they are classified by the Dinkin diagrams so you have A n then you have B n so the index is the the rank so it's the dimension of the vector space generated by phi and B n here is equal to C n because we are ignoring the length of the root so B n and C n give the same phi and then you have B n and then you have the infinite dihedral family I2 of K so this is the dihedral one so this starts at 5 because I2 of 4 is B2 I2 of 3 is A2 and I2 of 2 is A1 cross A1 it's not irreducible and by the way G2 if you ignore the length of the root G2 is I2 of 6 so G2 is not going to appear and then the sporadic ones you have F4, E6, E7, E8 and then 2 extra ones that are called H3 and H4 ok? D n should start with D4 oh yes you are right because D3 is A3 thank you then I'm going to look at W so it's the group generated by all S alpha for alpha and phi so this is a subgroup of the group of isometries of V and this is called the coxative group and it's finite and by the way the reference for everything that I'm saying so the classification I you can find it in Humphrey's book for example the reference for everything else is Bobakigou, Perjet de Li chapter 5 or 6 I don't remember ok so let's say that a chamber of the arrangement or of the of the arrangement or of phi is a connected component so by definition of V minus the union of the hyperplanes ok so this is all very standard terminology from representation theory and we fix a chamber T0 and then we assume just changing the size of some of these vectors that this T0 is on the positive side on every hyperplane of every hyperplane and then I'm going to change the notation I'm going to call this E phi plus and this is a positive system in phi the book of Humphrey that you mentioned I think he has more than one book the one that has coxatar groups in the title but there's also the book of Birner and Brenty combinatorics of coxatar groups that has this classification ok so I'm almost done with the notation well notation and some facts non real facts so now just as in the case of root systems so this coxatar group of course is the generalization of the VAL group it acts simply transitively on the set of chambers so we get now that we have fixed the chamber we get a bijection from W to the set of chambers that just says W to W of T0 and if T is W of T0 then so the sign of W which by definition I mean it's the image of W by the sign representation is also the determinant of W as an element of GLV and this is equal to the sign of T which by definition is minus 1 to the number of hyperplanes that separate T and T0 so this is also I mean this number is also the length of W if you choose if you choose the generators of the coxatar group that are I suppose you need to do this five parts I won't get into this ok so great now oh minus 1 to the oh minus 1 to the determinant ah non so before the current disease so T0 and yes yes after that can you read the formula which formula then ok ok ok so I'm just saying the two notions of sign that you have coincide ah so so the sign I mean of course what we're going to do is we're going to take a pizza intersect with the chambers and then add something the volume of these intersections multiplied by the signs but I will do something a little bit more general actually I am going to work in a so Ferris told me there should be some kind of K group so this is a very baby baby K group I'm sorry but this is the best I could do with this setup so I'm going to take a set of subsets of V following conditions so it's stable by intersections it's stable by it's stable by intersection with closed half spaces and it's stable by a finite isometries so the examples you should have in mind is well you could take for example the set of all convex polyhedral or of all polyhedral you could take the set of all convex compact subsets of V or just all convex subsets of V ok so those are possibilities and then I can define the corresponding dissection group so the dissection group is well I mean if you've seen if you've ever read or seen anything about Hilbert's third problem you will know what the dissection group is oh maybe you will not know so let's call it K of X so K of X is you take the free group the free abelian group on all the elements of X and then you mod by the following relations you want the class of the empty set to be 0 you want class of K union K prime plus K intersect K prime to be class of K plus class of K prime if I have if I have K K prime whose union is in X and I want class of G of K to be class of K for every affine isometry yes because this is stable by intersection with affine half spaces so I can take two affine half spaces that are disjoint and then intersect take any set ok you are right if I take X non empty then I know the empty set thank you so here the thing to notice is that I am not neglecting lower dimension so I am not sending lower dimensional sets to 0 so if you saw dissection groups of polyhedra you always ignore lower dimensional sets here I am not ignoring them ok so now ok I am going to write a theorem finally here is another so here is the definition if K is an ornament of X I define its abstract pizza quantity so pi pi K or pi HK so remember this this H is our coccister hyper plane arrangement and this is just the sum over all chambers T of minus 1 to the T times the class of T intersect K so you might say well T is an open chamber so this is not in X and it's true this is not in X but it's in the relative Boolean algebra generated by X and I can extend these classes so it's an ornament of X minus some elements of X and then I have to add them I said it's in the thing generated by X under unions, intersections and differences yes yes Boolean so it's an element of this K of X so it is very good so you can extend the Boolean ring as the same K group because yes ok also if you use the closures of the chambers T you get the same result because the walls, I mean if you look what happens on the lower dimensional faces of the arrangement you're going to get signs that all cancel each other so the theorem is suppose that minus identity of V is an element of the coccister group so I'm going to tell you what that condition means concretely so let's take a pizza an element A and V and suppose that so the same conditions as in the two-dimensional case so the pizza is stable by the coccister group and the pizza contains the convex hull of the set of all the translates of A under the coccister group and then the theorem and this ok so the this sharing that you do with this pizza and this arrangement is fair but here so I so this is a theorem in this abstract dissection group yes well no but I can lower the lower bolt so in particular so this abstract dissection group so the functions that are defined on it is what we called well in English they call them valuations so the functions on this X on this set X that are such that well they call them phi for example such that phi of K union K prime plus phi of K intersect K prime equals phi of K plus phi of K prime and phi of empty set is 0 and invariant by isometry any such function gives morphism of groups on this K of X and so for example if we choose if we chose X such that all the elements are measurable with finite volume we have the volume function defined on K of X so we can apply the volume and we can we can get something about sharing volumes but we can apply all the functions for example if X is the set of compact convex sets we have what are called the intrinsic volumes so the intrinsic volumes is a family of so it's a family of valuations and they are indexed by the numbers by the natural numbers the zero-synthesic volume is the Euler-Pranck characteristic the dimension of V intrinsic volume is just the usual volume the higher ones are zero on V dimension of V minus first intrinsic volume is the surface area of the of the boundary and then the other ones for example in dimension 3 the first intrinsic volume in any dimension first intrinsic volume is the average width of a compact convex set average width so you can also apply this intrinsic volumes and get the result and here I realized that I actually didn't state it correctly because I forgot the condition you need phi to be bigger than the dimension of V phi plus the number of hyperplanes should be bigger than the dimension if the number of hyperplanes is equal to the dimension so that means that phi is of type a1 to dn in that case so it's just a bunch of hyperplanes that are orthogonal then we can calculate this also so it's the class of the following set is the product for all alpha and phi plus of the half open segment 0 2a alpha times a times alpha so there is somewhere here at some point there is something like oh I'm going to have a polynomial of some degree and zero on the hyperplanes you'll see hopefully ok so some remarks so what does it mean that identity of V is normal well if you did so first it implies that phi generates V so ok so in particular phi plus has at least dimension of V elements so that's why I didn't have a third case here but it also means so for root systems the root system is generated by strongly orthogonal roots so what does this product mean is it an interval in well this is an interval in the yes I did and so I didn't want to say but also this in that case this phi plus is an orthonormal basis of V and so I'm just taking a product of so I'm just taking the elements that have alpha coordinate between 0 and 2a alpha yes so the root systems that are generated by strongly orthogonal roots are classified so we can see so this condition just says the irreducible components of this so the root systems are type a1, bn what else do we have we have d2n the dihedral types with an even number of lines then f4 e7, e8 h3, h4 ok so you lose type an you lose odd type dn you lose type e6 and all the odd dihedral types Also I should say if the number of hyperplanes is greater than the dimension of V and if it has the same parity On ne peut pas calculer ce qu'il y a dans le groupe d'abstract, mais on peut calculer le volume pour un boulot qui est un boulot. Je suis en train de prendre un boulot de centre A et de radius R. C'est 0 en tant que boulot qui contient l'origine. Nous avons aussi prouvé ce qu'il y a dans le groupe d'Airemborg. Par l'analytique, nous avons prouvé que ce qu'il y a dans le groupe d'Airemborg est un polinomiel de degrés à la plupart de la dimension de V. Et tout d'autre, c'est comme dans le cas de 2D. Qu'est-ce qu'il y a dans le groupe d'Airemborg ? Par exemple, ce qu'il y a dans le groupe d'Airemborg c'est qu'il y a des 8 types, mais il y a aussi des E6. Mais je ne sais pas ce qu'il y a dans le groupe d'Airemborg. Je dois dire que c'est un boulot, mais il doit y avoir assez de symmétries. Je ne sais pas ce qu'il y a dans le groupe d'Airemborg. Pour plus de générations, nous devons montrer que c'est un polinomiel et que nous avons besoin d'une pizza pour être bondée par une surface quadricelle. Donc tous les types. Par exemple, un type dihydratype et un type de pizza. C'est ce qu'il y a dans le groupe d'Airemborg et d'Airemborg. En ce cas, la division n'est pas faite. Donc ils sont calculés pour le signage. Donc le second remarque, est-ce que c'est la partie, est-ce que c'est sous l'assumption de l'assumption de l'assumption d'Airemborg ou non ? Non, non, non, non, non, non, non, non, non, non, non. C'est général. Si l'assumption d'Airemborg est dans W, la probation est 0. Oui, si l'assumption d'Airemborg est dans W, nous avons un résultat beaucoup plus fort. Mais si vous ne l'assumez pas que l'assumption d'Airemborg est dans W, mais que vous vous en assumez toujours cette condition de spérité, nous avons un résultat plus lourd. Par contre, c'est des méthodes complètement différents. Ok, pour cette spécialité, ok. Oui. Et puis les autres cas, sans la condition de spérité, les deux cas de dimension sont compétents. La séance n'est pas faite, donc c'est beaucoup plus difficile. Cette fonction calculée, la différence entre les séances, n'est pas polynomé anymore. C'est une fonction analytique. Pour une pièce, pour une forme plus générale, ce n'est pas même analytique. Mais ces gars ont pu calculer le signe. Mais pour un 3, par exemple, nous avons fait des computations. Il semble que la séance n'est pas faite, mais nous ne savons pas comment prouver. Et je ne parle pas même d'actualité. En fait, un 4, c'est pour ça. Ok. Donc maintenant, je veux parler des exemples de cette théorie. Donc, nous allons regarder des cas de dimension. C'est un A1. C'est une ligne. Vous avez l'origine. Vous avez la pièce. Et maintenant, la pièce... Ok, je ne sais pas où je suis dans mes notes. Mais c'est bien. Vous avez le centre de la pièce ici. Oh, oui, je l'ai trouvé. Et puis la pièce, il n'a pas besoin d'une boule, donc vous pouvez avoir une pièce ici. Mais vous devez avoir une pièce symétrique ici. Et peut-être que c'est clos ici et ouvert ici. Et puis il pourrait avoir plus de pièces ici, peut-être. Mais vous devez avoir une pièce symétrique ici. Donc, ce qui se passe, c'est que ces pièces s'appliquent à un autre. Ces pièces s'appliquent à un autre. Et puis, si vous regardez cette pièce centrale, alors vous avez la pièce. Elle va s'appliquer avec cette pièce. Et vous avez juste la pièce. Et ça, bien sûr, c'est 2A. Et vous avez juste la pièce qui est entre 0 et 2A. Ok? Et la origine, elle n'est pas comptée. Vous voyez, nous sommes en train de prendre les pièces ouvertes. Et si vous prenez les pièces closes, la origine s'appliquerait sur chaque pièce. Donc, elle va aussi s'appliquer. Donc, la pièce A1 est... c'est ok. Donc, qu'est-ce qu'il y a des types dihédrales? Ok, est-ce qu'on peut projeter si vous pouvez? Ah oui, d'accord. Je n'ai pas vu l'heure du tout. Donc, le type dihédral est la même... c'est la même histoire que l'avant, mais maintenant, je dois vous dire ce que je fais avec le bâton, avec les pièces dimensionnelles. Donc, ici, je... vous pouvez voir. Donc, les pièces elles-mêmes, elles n'appliquent pas, parce que, encore, je prends les pièces ouvertes, et si je prends les pièces ouvertes, elles ne s'appliquent pas. Donc, alors, j'ai les pièces séparées, je veux dire, les pièces séparées en deux, et j'ai juste montré quelle ligne corresponde à quelle autre ligne, et à l'intérieur du polygon, bon, ok. Donc, vous pouvez assigner les séquences, alors que vous aurez le même nombre avec positive et négative signes, les séquences et les points. C'est très important. Je veux dire, donc, c'est une dissection, parce que c'est drôle, mais il y a un résultat un peu plus général, qui implique quelque sorte de bollier-guerwin type, implique que cette dissection doit exister. Donc, vous n'aurez pas nécessairement besoin de ça. Ok. Donc, je réalise que je vais être très, très au-delà du temps. Donc, on peut coupé sur vous. Qu'est-ce que je peux dire ? Qu'est-ce que je peux dire sur la preuve ? A1K, la chambre. Oui ? Je n'ai pas... Ok, ok. Donc, ok. Donc, le troisième, oh, ok. J'ai une picture pour ça, mais dans l'intérêt du temps, on va garder la picture. C'est un produit de 1 et 2 dimensions. C'est assez facile de calculer. Donc, si vous avez au moins 1 dihedral facture, vous avez 0. Je veux dire, vous devez visualiser comment le produit va travailler, mais ce n'est pas très dur. Et si vous n'avez pas du dihedral facture, vous avez 1 à la fin. Ok. Et maintenant, quelle est l'idée de la preuve ? Donc, l'idée de la preuve est de réduire à ce cas-là. Donc, vous utilisez quelque chose qui s'appelle la structure 2. Et c'est la définition qui vient de la théorie des représentations des groupes réel, et c'est due à Rebecca Herb. Donc, une structure 2 pour 5, c'est un système pseudo-route de 5 qui peut être comme si j'ai écrit une décomposition d'orthogonal d'orthogonal des pièces. Donc, pour chaque i, le 5i est réduisable et le nombre de routes est le power de 2. Et ça signifie que le 5i est A1 ou c'est un dihedral type Ok, je vais pas mettre le même R. Donc, c'est un dihedral type A1. Donc, ce n'est pas la définition qu'elle a donné, mais c'est l'équivalent. Et donc, très rapidement, donc, W acte transiting sur ces deux structures. Donc, elles sont tous de la même type. Et puis, il y a un moyen donc, chaque structure 2 vient du sign epsilon of 5. Donc, vous choisissez un système positif dans le système de route B qui est adapté à ça. Et puis, ça vous donne un sign. Donc, je n'ai pas le temps de définir le sign. Et ce qu'est le theorem B le theorem B est bon, ok on va juste définir ceci. Donc, nous allons juste voir ceci dans un groupe d'abstractes d'abstractes. Donc, c'est similaire à ce que j'avais avant, mais je n'ai pas d'assume d'inverteurs d'isométries. Donc, c'est un peu plus un groupe d'abstractes générales. Et puis, le theorem qui fait tout le travail c'est juste pour chaque pi, il n'y a pas de condition que le minus 1 est dans le groupe de course. Ceci est le summe des deux structures par rapport à la quantité correspondante pour les deux structures. Et cela implique si je spécialise à ce groupe d'abstractes d'isométries, cela implique un résultat correspondant pour ces quantités de vitesse. Donc, la preuve de cela est presque réveillante. Cela réduit ce facteur que le summe de tous les sciences est un qui est déjà connu et qui est prouvé par l'induction. C'est-à-dire qu'il faut généraliser à un système non-crystallographique d'oxygène. Donc, je pense que je suis à peu près de mes notes, donc je vais juste dire quelques sentences. Donc, quand vous avez vous n'avez presque pas parce que tous les deux structures sont de ce type. Donc, il y a deux possibilités si les deux structures ont un facteur dihéros Donc, la condition que la identité de minus est en W est équivalente aux deux structures qui ont le même rang. Donc, tous les deux structures sont de ce type. Donc, si vous avez un facteur dihéros en 1, vous avez cela dans tous les deux structures alors qu'ils ont toutes les contributions de 0. Si vous n'avez pas un facteur dihéros alors que vous aurez toutes les contributions de ce type. Alors, vous devez montrer qu'ils se cansonnent. Mais, ce sont juste les deux rectangles parallèles. Donc, c'est assez facile pour montrer que les volumes le summe des volumes est 0 et c'est le même truc. Le summe des volumes est un polynomial dans 8 homogénieuses de degree n et il doit être antisymmétrique sous la force du groupe. Et donc, cela force pour être 0. Et, bon, ok. Donc, j'ai eu deux pages sur la relation avec des variétés chimoires. Mais, peut-être que je peux dire cette formulae donc, quand vous calculez le corhomogé de chimoivrite c'est l'intersection corhomogé vous allez pour quelque chose qui s'appelle le weighted corhomogé qui est du Koukoreski-Harder-McPherson et donc, vous calculez cela, c'est très compliqué vous avez beaucoup de termes d'appuyation orbitale et tout ça mais, vous avez des termes qui appuient à l'infinité, qui sont des éléments du groupe sur des représentations et donc, quand vous calculez ces termes vous voyez quantités qui appuient à la forme de summe sur des chambres du système de route de minus 1 au t puis, une fonction qui est de l'évaluation appliquée sur ces chambres et puis quand vous voulez comparer avec le côté spectral vous devez comparer cela avec des personnages de la série discrète et des personnages de la série discrète vous avez des choses similaires qui apparaissent mais pour les deux structures parce qu'il y a une computation à cause de deux chambres donc, ce qui s'est passé c'est que vous obtenez ceci c'est equal à la summe de phi de epsilon phi et puis une similare de phi donc, nous travaillons sur ceci et puis nous travaillons sur le problème de pizza pour le volume où vous aussi obtenez quelque chose comme ça mais ici, l'évaluation est du volume de t intersecté avec la pizza et puis, nous pensons bien, n'est-ce pas sympa si c'est vrai pour chaque évaluation et vous trouvez que ce n'est pas plus simple que ce que nous avons fait et pourquoi est-ce que c'est bon ? parce que quand vous essayez de calculer donc quand vous... donc, cette formule elle s'est déjà annoncée elle s'est déjà éprouvée par Goreski qui s'appelle MacPherson et Herb pour une particularité mais quand vous essayez de calculer les choses plus compliquées comme les trés, l'action de la groupe galvée puis vous avez un autre côté qui apparaît et je ne savais pas de manière de l'attaquer je veux dire, j'ai fait des cas de la main c'est que ce qui nous aidera à comprendre plus généralement le Thierry M.B. nous aidera à comprendre ce cas-là mais je dois dire que c'est juste comme une petite pièce de la calculation est-ce qu'on peut projeter les derniers dessins ? pour poser des questions ? il y a un titre il y a deux structures A3 et B3 c'est magnifique mais vous avez appris un résultat sur les intersections complexes ou les interceptions combinatives que l'on utilise ce format il n'y a pas un résultat simple pas simple mais juste un résultat le résultat qu'on utilise ce format est parce que je n'ai pas l'occasion de faire une planification et je ne sais pas oui, je veux dire peut-être on peut remettre la lumière donc vous avez une variété de chimo c'est sd je ne sais pas, c'est p2n ou quelque chose et puis vous avez la calculation c'est-à-dire c'est-à-dire que vous avez une variété de chimo donc c'est une fonction compacte avec c'est une fonction smooth avec support compact sur le point final idyllique et puis vous essayez de calculer quelque chose comme le trait de cette variété de chimo donc c'est une variété de chimo le trait de cette variété de chimo actuel sur l'intersection chomo de la variété de chimo et puis la calculation correcte c'est le trait de la variété de chimo qui vous donne un résultat compliquant je pense je pense que si j'écoute si j'occupe tous les deux je ne vais jamais finir mais c'est assez simple puis vous avez des termes de volume vous avez des ordres orbitaux et puis vous avez un trait de gamma sur sur la représentation de G G of R et puis vous avez une calculation spectra donc la calculation spectra dit que nous savons que l'intersection chomo est l2 chomo et nous savons que l2 chomo a une composition spectra et donc la calculation spectra est le même terme le dernier est eh bien nous avons besoin d'un nominateur pour s'en prendre des singularités et puis un peu d'une série de séries qui est déterminée par les coefficients de la chomo de la caractère évaluée à la gamme et donc ce genre de chomo c'est c'est la qualité de ces deux termes donc votre cormage A et B peut s'appliquer ? cormage B mais c'était cette qualité était déjà normale mais vous avez plus d'utilisation de ces formes ? donc ce que nous avons maintenant, on va mettre le frebinien et nous allons prendre ceci maintenant on va prendre le trait de la chomo et ça devient plus compliqué ici nous avons un trait de la chomo ici nous avons un volumeterre d'au-delà de P d'au-delà de P je veux dire ça dépend de le frein de la chomo et ici j'ai une fonction qui est similaire mais pas la même et puis ça disparaît mais il y a un trait de la chomo ou une expression qui est très similaire à ce que vous avez sans le frein de la chomo mais ça commence avec des groupes d'endoscopie et puis vous avez des coefficients et puis vous avez la formule de la chomo appliquée à une fonction c'est le trait d'au-delà d'au-delà de P c'est une fonction moderne à P que nous pouvons calculer c'est ok ce que je veux dire peut-être pour cette h vous avez une similaire la composition volumeterre l'intègre orbital de la transphère de h et puis l'affinité et c'est comme il y a le dénominateur et puis il y a ce type des personnages de série et donc donc donc vous devez comparer ce et ce oui, donc pour les groupes simplifiés c'est la calculation de la paix mais TUMB peut réduire la calculation très facilement donc je n'ai jamais voulu regarder d'autres cas parce que même les groupes simplifiés sont probablement les plus compliqués mais ils n'ont pas de méthodes pour les attaquer et il y a ce qui est donc la calculation sans l'affinité il s'est appelé ce comparé entre la géométrie et la spécifique et je n'ai jamais compris c'est clair que la calculation était relativement à la calculation mais il n'était pas certain donc en fait je pense il y a tous les parties particulières de TUMB bien sûr, pour aller au TUMB j'ai dû faire beaucoup de formalismes donc maintenant vous devez mettre le formalisme et ce n'est pas tout facile et je pense que je n'aurais jamais trouvé cela sans la pizza on a de la pizza il y a