 Bonjour à tous. Tous les ans en octobre, c'est la saison de Linktober. C'est un challenge dans lequel il faut produire tous les jours du mois d'octobre un dessin, puis le poster ensuite sur son réseau social préféré. Il y a une liste de thèmes officiels, mais tout le monde fait un peu ce qu'il veut, de très nombreuses autres listes existent. Ce challenge est plutôt réservé aux gens qui aiment et savent dessiner. Sauf que moi, je ne sais pas dessiner. J'ai donc décidé de créer mon propre challenge, GeoGebraCtober. Pendant ce mois d'octobre, j'ai donc créé tous les jours une animation mathématique à l'aide de GeoGebra, mon logiciel de géométrie dynamique préférée, ou de processing, un outil de développement Java très adapté à la création graphique. Et histoire de ne pas du tout me simplifier la vie, j'ai tenté de coller aux thèmes imposés par la liste officielle Inktober. Voici donc 31 trucs mathématiques un peu random et si possible un peu jolis ou étonnants que j'ai créé dans le cadre de ce GeoGebraCtober 2021. Qui dit cristal, dit cristallographie, l'étude des cristaux à l'échelle atomique. Pour un matheux, ça renvoie au concept de groupe cristallographique que j'avais déjà évoqué dans ma vidéo sur la classification des pavages. Il existe plein de façons d'arranger des motifs pour former des papiers peints réguliers, mais quand on s'intéresse aux symétries que l'on y trouve, on peut montrer qu'il existe que 17 types de papiers peints vraiment différents. Vous avez sous les yeux un papier peint de type CMM dans lequel on retrouve des symétries axiales selon des axes perpendiculaires, mais aussi des symétries glissées et de nombreuses symétries centrales. Qui dit costume, dit pli et fronce. Ce vocabulaire de couture se retrouve dans la théorie des catastrophes en topologie différentielle. Je n'ai jamais vraiment fouillé cette théorie, mais j'ai quelques souvenirs de Master où j'ai croisé ce vocabulaire lors de l'étude de certaines fonctions complexes. Prenons par exemple la fonction qui a Z d'associer Z'au carré plus Z bar. Cette application agit sur le plan complexe en le déformant. En 3 points, la déformation semble se replier sur elle-même, et ce sont ces points singuliers que l'on appelle des fronces. Qui dit récipient, dit bien sûr Bouteille de Klein, un objet classique de la topologie. Il s'agit d'une surface qui s'auto-intersecte, mais que les topologues qualifient de non-orientables, ce que l'on illustre généralement en disant qu'elle n'a ni intérieur ni extérieur. Il semble que c'est une erreur de traduction qui fait que l'on qualifie cet objet de Bouteille, flacheux en allemand, alors qu'elle n'était initialement qu'une surface, flacheux en allemand. Qui dit nœud, dit théorie des nœuds, un domaine fascinant de la topologie sur lequel il faudrait vraiment que je me penche 2 minutes. Un nœud en mathématiques, c'est comme un nœud dans la vie quotidienne sauf que les extrémités sont raccordées. Le plus simple des nœuds après le nœud dénoué qu'est un cercle, c'est le nœud de trèfle. C'est un nœud qui semble très simple en apparence, mais on peut prouver qu'il est impossible de le dénouer, c'est-à-dire de le déformer dans l'espace sans déchirure, de façon à le transformer en un simple cercle. Qui dit corbeau, dit que ce sont les seuls animaux en dehors des primates à savoir compter. Fort de cette information, j'ai essayé de simuler le vol d'une nuée noiseau. Un modèle classique pour faire ça, c'est le modèle de Vixek. On part d'une nuée de corbeau allant dans des directions aléatoires, et on fait en sorte que chaque individu essaye de s'aligner avec ses voisins les plus proches. Il suffit alors de peu de temps pouvoir émerger des mouvements globaux. Qui dit esprit, dit spectre. En traitement du signal, on appelle spectre la transformée de fourrier d'un signal. Partons pour cela d'un signal constitué de deux fréquences de 1 Hz et 2 Hz. On va alors enrouler ce signal à diverses fréquences pour calculer le centre de gravité de cet enroulement. Quand on représente graphiquement ce centre de gravité en fonction de la fréquence d'enroulement, on obtient le spectre du signal, dans lequel on peut observer les fréquences initiales de 1 Hz et 2 Hz. Éventail, dit éventail de Naster Kuratovsky. C'est un espace topologique que l'on construit à partir des poussières de cantors, ce que l'on obtient quand on retire le tir central d'un segment et en répétant. Les poussières qui restent sont alors suffisamment rares pour avoir une longueur totale égale à 0, mais assez nombreuses pour être indénombrables, c'est-à-dire aussi nombreuses que les nombres réels. On relient ensuite toutes ces poussières à un même point, d'une façon un peu subtile que je ne vais pas décrire ici. L'espace obtenu est alors tellement bizarre qu'il met à l'épreuve la notion de connexité, de combien de morceaux est constitué cet éventail. Qui dit montre, dit montre. Les histoires d'engrenage m'ont toujours fasciné. Sur l'animation, la petite roue rouge tourne à la vitesse de l'aiguille des secondes. Elle entraîne alors la roue grise qui entraîne la bleue à tourner 60 fois plus lentement, ce qui correspond à l'aiguille des minutes. De même, la roue verte tourne 12 fois plus lentement que la roue bleue, c'est l'aiguille des heures. Qui dit pression, dit théorème de Bernoulli, celui de Daniel Bernoulli, à ne pas confondre avec son oncle Jacques Bernoulli qui a travaillé sur les probabilités, ni avec tous les autres mathématiciens de sa famille, comme son père Jean, son frère Jean ou son neveu Jean. Bref, le théorème de Bernoulli énonce que dans un fluide, si l'on églige entre autres les effets de viscosité, alors sa pression dépendra directement de sa vitesse. Une conséquence, c'est l'effet aventurier. Si un fluide s'écoule dans un goulot d'étranglement, alors sa vitesse va augmenter et donc sa pression va diminuer. Qui dit pique, dit théorème de pique, un théorème de géométrie particulièrement surprenant quand on le découvre pour la première fois. Lorsque l'on construit un polygon sur une grille formée de carreaux unités, alors il est possible de calculer son rA uniquement en comptant le nombre i de point dans son intérieur et le nombre b de point sur son bord. On utilise pour cela la relation de pique. L'rA est égal à i plus b sur 2 moins 1. Il n'existe cependant aucune formule du même style en dimension supérieure. Qui dit acide, dit bien évidemment citron. Il existe une surface appelée la surface du citron, semble-t-il définie par le physicien Johann Kepler. Il s'agit de la surface obtenue par révolution d'un arc de cercle, plus petit qu'un demi-cercle, autour d'un axe. La surface du citron, c'est aussi la forme d'un ballon de rugby ou celle d'un ballon de foot américain. Si le cercle avait été plus grand qu'un demi-cercle, on aurait obtenu une autre surface, la surface de la pomme. Qui dit bloqué, dit tuiles autobloquantes, comme les tuiles d'un pavage. Puisque j'ai déjà évoqué les pavages périodiques, on va parler des pavages aperiodiques qui ne contiennent aucun motif répété par translation. Les plus célèbres des pavages aperiodiques sont se découverts par le madematicien et prix Nobel de physique Roger Penrose. Pour construire ces pavages, on a besoin des tuiles fléchettes en vert et des tuiles servolents en jaune. Quand on fabrique un pavage à l'aide de ces tuiles en se forçant à ne jamais les emboîter pour former un parallélogramme, on peut construire ce joli pavage qui ne présente aucune répétition. Qui dit toi, dit théorème du toit, un théorème de géométrie dans l'espace, autrefois au programme de terminal S, avant sa disparition dans la dernière mouture des programmes en 2020. On considère dans l'espace deux plans séquents selon une droite D, ici en rouge. Dans ce cas, si on a deux droites ici en bleu qui sont parallèles et que chacune est contenue dans un plan, alors le théorème du toit énonce que ces deux droites bleues seront parallèles à la droite rouge. Qui dit coche, dit racine carrée, parce que ces deux symboles se ressemblent quand même beaucoup. Pour visualiser les racines carrées, il y a une construction que j'aime bien, l'escargot de Pythagore. Pour la construire, on part d'un triangle rectangle isocèle ayant deux côtés de longueur 1. On peut alors calculer via le théorème de Pythagore que son hypothénieuse aura une longueur égale à racine carrée de 2. Si on y construit un nouveau triangle rectangle avec un côté 1, on pourra calculer que son hypothénieuse aura une longueur égale à racine carrée de 3. En poursuivant cette construction, on aura un escargot sur lequel on pourra trouver toutes les racines carrées de tous les nombres entiers. Qui dit casque, dit chevalier de mairie, un écrivain du début du XVIIe siècle, pas du tout chevalier. Grâce à sa correspondance avec Blaise Pascal, il deviendra l'auteur d'un problème qui donnera naissance à la théorie des probabilités. Sa question est la suivante. Est-il vrai qu'il est aussi probable d'obtenir au moins un 6 en lançant 4D que d'obtenir au moins un double 6 en lançant 24 paires de D ? Le chevalier de mairie pensait que ses probabilités étaient égales, mais Pascal lui prouva que non. Qui dit compas, dit théorème de mort-masquéronie, un théorème de géométrie élémentaire qui énonce que tout ce qui est constructible à la règle non gradué et au compas peut être réalisé au compas seul sans utilisation de la règle. On ne parle bien sûr que des constructions de points. On peut donc construire uniquement en traçant des cercles le point d'intersection de deux droits non parallèles et ce en à peine moins de 40 coups de compas. Qui dit collision, dit théorème de Galperine, un résultat popularisé par Grand Sanderson de l'incroyable chaîne Free Blue One Brown. On s'intéresse au nombre de rebonds provoqués par la collision entre deux poids de respectivement 1 kilo et 100 puissance n kilo. On supposera que les collisions sont parfaitement élastiques et on ne tient compte d'aucun frontement. On trouve alors trois collisions entre deux poids identiques, 31 collisions entre un poids de 1 kilo et un poids de 100 kilos et avec un poids de 10 000 kilos, on trouvera exactement 314 collisions. Ce sont bien les décimales de Pi qui apparaissent, un résultat incroyable mais qui pourtant se démontre bien. Qui dit lune, dit théorème des lunules dipocrates. On considère un triangle rectant lequel conque et on construit les lunules sur les deux côtés les plus petits. Une lunule, c'est l'espace compris entre le demi-cercle construit sur un côté et le cercle circonscrit au triangle dont le centre est le milieu de l'hypothénus. Le théorème dipocrate énonce alors que la somme des airs des deux lunules est égale à l'air du triangle rectangle, un résultat qui peut se déduire du théorème de Pythagore via un astucieux découpage. Qui dit Buc le dit Ruban de Mobius, une autre figure incontournable de la topologie que j'ai déjà évoqué dans plusieurs vidéos. Il s'agit d'une bande qui se referme sur elle-même mais tel que la bande a subi une torsion d'un demi-tour avant de se refermer. Tout comme la bouteille de Klein que j'ai évoqué tout à l'heure, la Bucle de Mobius est non orientable, ce que l'on peut interpréter en remarquant qu'elle ne possède qu'une seule face. En effet, quand on pense avoir fait le tour de la bande, on en a en fait réalisé qu'un demi-tour. Qui dit Pousse dit Je dépousse, un jeu combinatoire à deux joueurs inventés par le génial John Conway. Voici les règles. On commence par dessiner sur une feuille plusieurs points de départ. Chacun son tour, les joueurs vont relier deux points par une ligne et y rajouter un nouveau point. Un point ne peut pas accueillir plus de trois lignes et les lignes n'ont pas le droit de se croiser. Le but est alors de coincer son adversaire. On peut démontrer qu'il y a toujours un des joueurs qui a une stratégie lui assurant un coup sur la victoire, mais quand le nombre de points initiaux est trop grand, on ne sait pas lequel de ces deux joueurs dispose de cette stratégie imbattable. Qui dit Flou dit Logique Flou, une variante de la logique boulienne. En Logique Flou, les valeurs de vérité ne sont plus vraies ou faux, mais des degrés de vérité, compris entre 0% et 100%. L'exemple le plus classique est celui de la température d'une douche qui est froide avec 100% de certitude en-dessous d'une certaine température, mais qui ne devient pas subitement chaude passer ce seuil. La logique Flou permet alors d'automatiser des raisonnements logiques Flou comme si la température est chaude, alors baisser la température. Qui dit ouvert dit problème ouvert. Prenons donc un problème ouvert au hasard. Disons la conjecture de Adamard qui porte sur ce que je vais appeler les échequets de Adamard d'ordre N. Il s'agit de tableaux de dimension N x N, composé de cases noires ou blanches, telles que si on prend deux lignes quelconques, on aura toujours autant de colonnes d'une seule couleur que de colonnes bicolores. L'animation montre des matrices de Adamard d'ordre 2, 4, 6, 16 et ainsi de suite. La question qui est aujourd'hui ouverte, c'est est-ce qu'il existe toujours des échequets de Adamard dont l'ordre est un multiple de 4. Ainsi, personne ne sait aujourd'hui s'il existe un échequet de Adamard d'ordre 668 ou d'ordre 716. Qui dit fuite dit point de fuite. Quand on est nul en dessin comme moi, la géométrie projective peut nous venir en aide pour réaliser des tracés parfaits de perspective. Il suffit d'appliquer la règle du dessin en perspective. On commence par tracer une droite qui correspond à la ligne d'horizon et on va faire en sorte que toutes les droites parallèles entraînent dans la réalité se coupent en un même point de fuite sur cette ligne d'horizon. Qui dit extinction dit dynamique des populations. Les mathématiciens ont mis au point de nombreux modèles pour étudier l'évolution des populations animales. On peut citer celui de Ver-Hulst. Dans ce modèle, on supposera que les taux de natalité et de mortalité sont des fonctions affines de la population. Quand on simplifie un peu le modèle, on obtient ce que l'on appelle la suite logistique. Un plus un égale A fois un fois un moins un. Le comportement de cette suite dépend alors de la valeur de ce paramètre A. Elle peut converger vers une limite, oscillée entre plusieurs valeurs ou même avoir un comportement complètement chaotique. Qui dit éclaboussure dit théorie de la percolation, l'étude mathématique des propriétés des matériaux porreux. Un exemple de problème que l'on rencontre dans cette théorie est le suivant. On tire au sort la couleur noire ou blanche de chaque pixel composant une grille infinie, avec une probabilité P que le pixel soit noir. À partir de quelle valeur de P, qui correspond à la densité des pixels noirs, pourra-t-on y trouver de grandes zones connectées ? Il a été démontré qu'il existe toujours un seuil en dessous duquel il n'y a presque sûrement aucune zone connectée infinie, mais qu'au-delà, cette zone infinie existe presque sûrement. Qui dit connectée dit problème du voyageur de commerce, un problème incontournable en algorithmiques. Un VRP doit visiter un grand nombre de villes, comment faire pour trouver le plus court chemin qui passe par toutes les villes avant de revenir à son point de départ. Sauf qu'à particulier, on ne connaît aucun bon algorithme qui permet de résoudre de façon certaine ce problème. Cette question est même liée au problème du millénaire P égal NP. Un million de dollars est réservé pour celui au sel qui pourra prouver qu'un algorithme efficace existe. On a cependant des méthodes approchées pas trop mauvaises, comme celle qui consiste à partir d'un triangle au hasard et d'ajouter au fur et à mesure les points les plus proches. Qui dit est un sel dit suite du feu de forêt. Il s'agit d'une suite UN de nombre dont la représentation graphique ressemble au volute d'une fumée de feu de forêt. Elle est construite de manière à ce que chaque terme soit le plus petit possible et tel que trois termes de la suite ne soient jamais en progression arithmétique, c'est-à-dire que la différence entre UN et UN plus cas n'est jamais égale à la différence entre UN plus cas et UN plus de cas, pour tout n et pour tout cas. Il en résulte alors que si on prend deux points quelconques dans ce nuage, alors le milieu de ces deux points ne sera pas dans le nuage. Qui dit croustillandie Pringles, un biscuit apéro très apprécié des mathématiciens en raison de sa forme en celles de cheval. Cette surface porte le très joli nom de paraboloïde hyperbolique. Comme son nom l'indique, on retrouve dans le paraboloïde hyperbolique des paraboles et des hyperboles. Mais ce n'est pas tout. Il s'agit de ce que l'on appelle une surface réglée, car en tous points de la surface passent des droites inclus dans la surface. Qui dit rapier C dit theorem de Wallace Bollier-Jerwayne, que j'avais déjà évoqué dans une ancienne vidéo. Ce théorème énonce que si deux polygones ont la même air, alors il existe toujours un moyen de découper le premier en un nombre fini de morceaux polygono, de façon à recréer par puzzle le deuxième. Ainsi, avec sept morceaux, il est possible de découper un heptagone pour en faire un carré. Le théorème est cependant faux en trois dimensions. On ne peut par exemple pas découper une pyramide pour en faire un cube. Qui dit glisser comme un serpent dit « jeu des serpents et des échelles ». Il s'agit d'un jeu de société de type « jeu de loi » où l'on lance son dé, puis avance du nombre de cases indiquées. Quand on arrive au pied d'une échelle, on la grimpe, et quand on arrive à la tête d'un serpent, on le redescend. Ce pose alors la question de la durée moyenne d'une partie. Avec un outil mathématique comme les chaînes de Markov sur lesquelles il faudrait vraiment que je revienne dans une autre vidéo, on peut obtenir une réponse à cette question. Pour atteindre la 100e case du plateau, il faudra dans la majorité des cas, attendre entre 30 et 40 lancettes d'é. Et enfin, qui dit risque dit « théorie des probabilités ». L'occasion d'évoquer les « martingales » c'est stratégie qui permettrait de gagner à coups sur au jeu de casino comme la roulette. La « martingale » la plus célèbre promet au joueur d'assurer un gain de 1€. Pour cela, il suffit de toujours miser le double de sa mise précédente en cas de défaite. Cette méthode ne fonctionne cependant que si l'on dispose de fonds infinis. Avec un capital initial de 1000€, une dizaine de défaites successives sera donc synonyme de ruine. En jouant par exemple couleur à la roulette où la probabilité de victoire est légèrement plus petite qu'une chance sur deux, il y a environ une chance sur 800 de tout perdre, puisqu'il faudrait 1000 victoires pour doubler ses fonds initiaux. Ces « martingales » sont en fait vraiment très risqués. La « théorie des probabilités » permet en fait de justifier qu'il n'existe aucune méthodologie pour renverser des probabilités défavorables.