 Yes, thank you. So the title of this third lecture will be is variation on the fourth rank. So I recall what we proved. With which I prove, I give you the proof. So I define eta r of t to be the product. I can't remember, but I'm always confusing. So this is the definition of a very important function. So we proved that if I denote by d, a fundamental discriminant, so we proved that the probability that a negative d is such that the fourth rank of its narrow cross group est equal to r. This probability is equal to 2 power minus r square eta infinite of 2 eta r of 2 minus 2. Yes, for any r equals 0, 1, 2, and so on. And almost the same formula is equal to 2 minus r r plus 1, eta infinite of 2. Yes, eta r of 2 eta r plus 1 of 2. And this is divided by this product. So to remember this, when you have this one, you replace 1 by 0, and you have the other one. OK, so I want to make some variations about this formula. So there is something, I would say nothing new. It's a by-product of my proof with Cluner. So the first one will be around the Spiegel und Jatz. So it is due, the first version is due to Schultz around, I think, maybe around. So it says that for any d, a greater than square d, different from square, so I do not use a capital letter. It's maybe not a fundamental discriminant, but you will be clever enough to give a meaning to what I say. The three rank of Cd is less or equal to the C rank of C minus d, is less or equal to the C rank of Cd plus 1. So that means, when I write this, you consider the field q of square root minus d. You consider the fundamental, what is the fundamental discriminant associated. So this gives a tendency of negative, of imaginary quadratic field to have a three rank larger than the positive corresponding one by a mirror phenomenon. So it is algebraic theorem, et in the rounding 1970, Damay and Payant prove almost the same thing for the four rank. So the same statement, so you have the four rank of Cd less or equal to the four rank of C minus d, less or equal to the four rank of Cd plus 1. Ok, so you recognize the four rank, and certainly we can say something about that. So two applications, so I want to stress what we prove with Cluner, that means that recall that, for instance, that if d is negative, d congruent to one mode four, 2 to the power of four rank is equal to 1, the inverse of number of prime divisor of d, and you sum, you consider all the decomposition and the product of four Jacoby symbol. So I recall, this is, I would say, algebraic proof. So what happened, I would say three years ago, Royer and Absiger gave a new proof, a new proof of Damay-Payant at CRM using this formula, using this formula and all the variance. For me, it's impressed by this proof because you must test this thing. Please, you prove that this number, you see, prove that this is an integer, first of all, and then prove that it is the power of two. You see, you only look at this expression and prove that it is the power of two using only combinatorics. You see, it's not trivial at all. It's such a nightmare of plus minus one and so on. And now, so if this Absiger is a specialist combinatorical, he's doing combinatorics, so I'm not surprised of that. So what we did is the following thing. We may ask, so what is joint probability? So I call this number, so this one will be A2 plus of R and this one A2 minus of R. OK, it's a probability. So the question is, what can you say about the probability of simultaneous? This one is equal to R, this one is equal to R, or this one is equal to R and this one is equal to R minus one. So I did not recall what is probability. You count D less than capital X, which has this property, and you divide by the number of fundamental discriminant. First of all, the limit exists and I give you the value. So what we prove is the following. Let me admit that this theorem is that the probability for NAR greater than zero, the probability, so there are two ways of counting of D negative such that you have the equality of the two for rank with the mirror equals to R, the probability of this event, so it's easy, so it's not easy, it's A2 minus R, so the global probability and here you have a factor which is 2 minus R. OK, and of course you can guess what is the probability when you have this plus one equals R, so it's a complement which is 1 minus 2 minus R, A2 minus R. And of course, there is another theorem which can prove when you count positive D. The formulas are not the same. I did not wrote them. So the proof is rather simple in some sense because you will use decomposition of sets. That means I call A2 minus RS the probability such that of the event D negative the for rank of CD is equal to R, the for rank of C minus D is equal to S. OK, so I can't see you have two way of counting using the negative or positive discriminant. Here I block the value of R and this S and of course you can guess what is A2 minus 0. So this has only to be considered when R is equal S and S plus 1 because otherwise it's 0. OK. And so you have a lot of relation. The first one is for instance it's easy to see A2 minus 0, 0 is equal to A2 minus 0 Is it? Yes. Yes. Because it's yes, because S the only S which satisfies that is S equal to 0. Another one which take into account of this decomposition of two events is A2 plus A2 minus R R minus 1 is equal to A2 minus R This one also is trivial it's only the decomposition you see, the total set So for my lecture I suppose that this probability exists, we will prove it. So we have another type of relation when you consider A2 plus OK. But the fact is that now you have infinite system but you will have again some mirror property. So I want to explain how it is. That is here you can this is generalized to NA of the six families of discriminant. So the six families of fundamental discriminant positive, négatif congruent to 1 mod 4 congruent to 4 mod 8 or divisible by 8. And so now you consider so it's you consider the set of d négatif d congruent to 1 mod 4 and you multiply it by minus 4. So after cleaning some you arrive in the set of positive d and such that d is congruent to 1 mod 8 and then you multiply again by 4 by minus 4 and you arrive at d négatif d congruent to 1 mod 4. You see it's only exactly a mirror property and for instance let's give you this property that A2 minus r s is equal to A2 plus s r and another thing is A2 plus r r equals plus A2 plus r r plus 1 is equal to A2 plus r. So you have this property you see all this relation and you are an infinite system and you find the solution because you know the starting value. So it's very easy to find the value of this probability in the course of the proof you prove also that the probability exists. So it's the first application on the variation on the first rank. And so I would say about 3 ranks we'll say in my last lecture about 3 ranks nothing like that exists since we do not know we have only one moment for those 3 ranks we have no, we cannot speak of probability of such an event. So, boom. Now I want to speak about the negative spell equation. So are there similar inequalities for bearings? No, no. So your question is very clever but people from algebraic numbers they told me yes it's always general but I never see where is you know. I think it exists but not so neat not written so neat I would say. I'm not. What I mean is the most dominant part. The result like the 4 ranks is like yes. So I can't answer I know that algebraic people would answer to what is the same type of inequality about the p-rank but so neat. So now the second variation is maybe more attractive because we are doing all mathematics or if you want that means quadratic real quadratic fields with n epsilon d is equal to minus 1 of that means the fundamental unit has no minus 1. So I make a drawing of what happens. So what is always d now will be positive and fundamental what do we know is I consider the property n of epsilon minus d is equal to 1. So it's not evident and I recall to you we define d star is equal to d or d over 4. This is equivalent to x square minus so it's not evident you have some time to take a cube because here there may be denominator 2 so 4 so you can manage minus 1 et so this is equivalent to this thing to square root of d star so you expand it in continued fraction and this is equivalent to the period of continued fraction is odd so these are very old mathematics no comology for the moment so so what et so this implies so implies p congruent to p non congruent to 3 and be careful people sometimes make the error that this is equivalent this is absolutely not the case and the first example so you will not find example for d prime but I think the first example is the number is 205 which is 5 multiplied by 41 et so when you expand it in continued fraction you have 14 3 6 1 6 3 18 et it's periodic so I recall this notation so excuse me I made a bar and that means this is a periodic and s is equal to the length of the period so this quadratic number square root of d 1 2 3 4 5 6 7 8 and what did I wrote yes this one as a even period and nevertheless all this prime factor are congruent to 1 mod 4 so is it as this counter example very frequent so either so you can see that I would say like I would say the people like Lejean about the parity of a period of quadratic or doing more algebraic number theory and a usual property I recall to a property that this thing is a double of that and here you have always a symmetry ok so now I continue so I can continue to say that this thing is equivalent with the narrow class group is the same as ordinary class group and we know that the class group the ordinary class group is a factor group of the narrow class group with index 1 or 2 so that means this equivalence means that for all k the 2k rank of cd and cld are the same so after we know for all k greater than 1 and now yes we explain to you that when these when these 2 group are not the same necessary yes the 2 rank are always the same when all the prime divisor of d are congruent to 1 mod 4 so we can only write for all k greater equal to 2 the 2 rank of cd is 2 rank of cld and it's easy to see since this sequence of integer is decreasing if you have the 4 rank of cd we equal to 0 this implies this and you are all this phenomenon you see so it's what we will explain because we have technique for the 4 rank so now we have counting I shall write the index s to recall what do I call special a discriminant d is special when c'est exactement la même chose qu'à dire que c'est la somme de 2², ok ? Et nous avons introduit une fonction de comptage, qui est dsx, qui est le set de d, d less que x, d spécial, ok ? Et c'est exactement la même chose qu'à dire que c'est dsx, dsx, qui est le set de d, excusez-moi, dsx, comme la norme des unités fondamentales est equal à 1. Donc la question est, vous avez deux sets, si vous voulez, vous avez un set dsx, et ici vous avez le set d minus sx, au moins le nombre est ici, est-ce qu'il y a beaucoup d'autres numéros ? Donc, est-ce que c'est beaucoup d'exceptions ? Donc la question est, qu'est-ce que le biais de cette cardinalité compare à celle-ci ? C'est très naïf, c'est la question de parité, c'est 50-50, ok ? C'est 50-50, c'est-à-dire, je ne sais pas. Mais ce modèle-là n'est pas très intéressant, c'est très naïf, et on considère, avec un très bon respect, la conjecture, excusez-moi, pour récolter un truc trivial, c'est que dsx est asymptotique pour c0x par la square root de logx. C'est seulement la théorie de c, ou de la fonction L. Toutes les variables primaires sont congruentes à 1 mod 4, donc c'est par dimension 1⁄, et vous devez savoir aussi que le set p moins que x, p congruente à 1 mod 4, est inclus dans dsx, ds-1 mod x. C'est très facile pour les 4 rangs, ou d'autres techniques. C'est-à-dire, si p est congruente à 1 mod 4, vous considérez que c'est la square root de p, la unité fondamentale comme norme, minus 1. Et cette cardinale, c'est quelque chose de la logx. Et maintenant, ce que je veux dire c'est de dire oui, c'est le conjecteur de Stephen Argan. Vous vous souvenez de la date ? 83. Oui, il définit alpha pour être le produit 1 minus 2 minus j minus 1 plus que 1 c'est correct ? Oui, et la valeur de ces choses c'est à dire il vit un model très probable basé sur ce qui s'est passé dans le point de vue algebraique de cette question. Et cette question, que la cardinale dsx minus est asymptotique de 1 minus alpha ds de x. Donc ça signifie que c'est un conjecteur que c'est à dire que 58 % dsx dsx dsx minus 1. Ok, donc 58 %. C'est la fonction de l'Eta. L'Eta finit, je ne me souviens pas de la valeur. Donc, ce que nous avons prouvé, c'était la situation la situation il y a 20 ans ou 10 ans, quelque chose comme ça. Donc, ce que j'ai vendu c'est que dsx est plus grand que x dsx en utilisant mon remarque de ce type. Découvrez l'exponent. C'est quelque chose dsx j'aimerais avoir logx plus delta mais l'équilibre delta était positif. Et en counterpart je pense que personne n'avait pas prouvé de 1 minus delta donc, cardinale, excuse-moi 1 Donc, c'était unknown delta positif Donc, ce que nous avons prouvé avec le 1er vol, excuse-moi excuse-moi oui, donc avec le cléneur, je vais vous donner quelques ints sur ce CRM. Ce CRM est pour dire que la cardinale ds c'est plus grand que alpha minus small o of 1 ds of x ds of x. Nous avons prouvé que à moins 42 % des candidats ont une unité fondamental avec norme minus 1. Donc, c'est cohérent depuis que nous avons alpha 1 minus alpha ds of x ds of x ds of x ds of x ds, c'est plus grand que la lune ds of x ds of x ds of x ds of x ds of x ds of x les outils parce que si c'est spécial, vous voyez, donc j'ai écrit des formuleurs ici, vous voyez qu'il y a le genre de symbole, jacobi reciprocity low, et dans le cas du fondamental, et supposent que D est congruent à 1 mod 4, ma préférée case, 2 power R4 of CD, est equal 1, 2, 2 power omega of D, c'est la même formuleur, d'ailleurs, donc vous décomposez. Et qu'est-ce qui se passe si D n'est pas spécial, vous avez un extra terme comme celui-ci, mais si vous supposiez que D est spécial, si D est spécial, D0 allo, c'est congruent à 1 mod 4, donc celui-ci est equal à 1. Similarly, vous avez un jacobi, ce producteur révers, ici, vous utilisez le reciprocity low et vous voyez que c'est toujours 1. Donc, en ce cas, la formuleur est beaucoup simple, beaucoup plus, et c'est seulement D0 over D1, D2 over D3, donc c'est beaucoup plus simple. Et j'explique à vous une technique, comment créer des k-powers en utilisant un code, un code en base de f2, 2 power 2k, et ce que nous arrivons, nous arrivons à cette formuleur, qui est absolument similaire à la preuve, donc c'est une autre proposition. Donc, quand vous considérez le k, donc vous abonnez ces choses, et le fondamental discriminant spécial, ok, c'est asymptotique, donc vous comptez ici, et ici vous avez un. Ce n'est pas la dimension du nombre d'alles vectors subspaces de f2k, c'est plus simple, c'est 1 plus 2 power j, j est equal à 0, pour k-1. Ok, donc vous avez cette proposition, qui dit que nous savons tous les moments, et maintenant, j'explique à vous dans mon livre, comment aller de moments à probabilité, et nous sommes heureux parce que ce facteur ne va pas trop vite à l'infinité, et par probabilité, nous savons que c'est une théorie, la probabilité, je le dis toujours, c'est la probabilité, la probabilité c'est que un discriminant spécial, c'est comme que f, le four rang de cd est equal à r, est equal à, donc ce que je disais, alpha infinité de r, où alpha infinité de r est equal à alpha, le constant de Steven Hagen, le produit de 2j-1, de j est equal à 1 à r. Ok, donc, on développe une technique, c'est seulement une variation sur ce que nous expliquons, vous devez être, le polynomial en f2 n'est pas le même, et vous arrêtez ça, et après, vous savez, je dirais que c'est une extension de Cohen-Lenstra, Cohen-Lenstra n'a pas annoncé proposer la conjecture pour ça, parce qu'ils étaient assez basés avec le cas général, et ok, donc maintenant, ici c'est terminé, parce que la probabilité de cette, la probabilité que vous avez, que alpha infinité de r est equal à alpha. Ok, donc ça veut dire, j'ai la, où j'ai écrit, j'ai cette première théorie, ok, excuse-moi, la probabilité, oui, exactement, ok, ok, donc maintenant, vous voyez, vous avez cette histogramme, donc ça veut dire, nous prouvez que, à peu près, le 41% de la d, a un vieux période, donc maintenant, qu'est-ce que vous pouvez dire, maintenant, de l'un à l'autre, donc pour l'un à l'autre, nous allons utiliser un autre, oui, oui, ok, donc vous voyez, quand j'utilise cette fête, je n'ai rien dit spécialement sur le groupe ordinaire, donc c'est un groupe ordinaire, oui, le groupe ordinaire est plus délicat pour moi que le groupe ordinaire. Donc, pour donner un up and down, nous allons utiliser cette implication, ça veut dire que l'un à l'autre cd est equal à l'un à l'autre cld, donc la question est, comment attaquer cette équalité, est-ce que nous pouvons donner une question ? C'est la probabilité de ça, est-ce que nous pouvons le faire ? Donc, encore une fois, nous utilisons une très classique mathématique, c'est un très classique, je dois absolument écrire le nom de tous les gens qui l'ont étendu, avant tout Reday, Reichart, Schultz, et même, on est revenus directement pour une forme spéciale. Donc, ces gens, nous faisons autour de 1930-1940, et, comme vous le souvenez, quand mon critérium s'est fait avec la forme quadratique, et en fait, nous devions décomposer le nombre minus d'une forme d'1, d'une 2, et on voulait, que je ne me souviens pas, x square minus d1 y square, excuse-moi, je ne me souviens pas, a une solution non préviaire. Donc, Reday a expliqué, il a vu ça, bien sûr, et il a parlé de la decomposition de la première forme. Et maintenant, nous allons décomposer, pas minus d'une, mais décomposer d'une, et faire l'algebraie du nombre de théories. Je vais vous dire que c'est une théorie classique, et nous avons eu beaucoup de temps pour mettre toutes ces idées dans le contexte de l'analytique du nombre de théories qui signifie arriver à la fin avec des personnages. La première chose est de dire que nous parlons de la décomposition de la seconde forme. Reday, on parle de ça. Donc la idée est, d'abord, nous avons besoin d'une formule plus flexible, plus basse dans la formule, pour l'algebraie du nombre de théories. L'algebraie du nombre de théories est équivalente pour l'algebraie du nombre de théories. Donc, la extension de C4 de K est de l'algebraie d'D. Et je dis cette extension, et je dois ajouter une propriété qui est un ramifiant. Vous avez la prochaine picture, donc vous commencez par Q. Vous allez au K equals Q de √D. Et ensuite, vous avez K4. Et ici, c'est une extension de C4. Vous avez ce qu'on appelle K2, extension de degrés 2. Nous voulons que ce soit un extension de C4 et un ramifiant. Nous avons utilisé pour mettre N, qui est le maximum de l'algebraie d'A, maximale de l'algebraie d'A, un ramifiant à la place finale. Et ce n'est qu'un exponent 4. Donc, la propriété, quand vous avez un diagramme avec cette propriété de K4, vous savez que quand K4, vous trouverez ces deux fields. Vous avez trouvé une décomposition. Excusez-moi, excusez-moi, ce que j'ai écrit. Oui. Oui. Quand vous avez K4, vous avez une décomposition de D, D1 et D2. Et vous avez ce diagramme, comme cette décomposition. Et ce qui s'occupe, c'est que D1, quand vous avez un K4, D1 est un modulo de square D2 et D2 est un modulo de square D1. Donc, je n'ai oublié de vous dire, parce que je n'ai pas oublié d'être sûr que D est spécialiste. Donc, vous trouverez, vous trouverez encore cette décomposition. C'est un deuxième type. Alors, reciprocal, reciprocal, qu'est-ce que nous pouvons faire? Donc, quand vous commencez par ça, suppose que vous avez une décomposition de D, vous pouvez créer un K4, explicité. Nous allons prendre un K4 pour être K2 de square root alpha. Donc, ce n'est pas un Alpha, où alpha est defini par X plus Y square root D1. Et X et Y sont des solutions précises de l'équation. X square minus D1 square equals 0. Vous voyez, c'est un jeu. C'est un jeu où quand vous avez un K4, vous avez un D1, un D2, une décomposition du deuxième type, vous pouvez créer un K4. Donc, vous pouvez me demander quel est le problème? Qu'est-ce que vous avez perdu votre temps? Parce que c'est plus simple que l'an dernier. Donc, ce qui est vraiment intéressant c'est que maintenant, si vous voulez compter d'un groupe ordinaire, vous comptez qui sont totalement réels. Donc, vous passez d'un groupe ordinaire d'un groupe narrow d'un groupe ordinaire d'imposer un K4 totalement réel. Et depuis que nous avons une exacte description de cet ordinaire, c'est des propriétés que nous pouvons suivre. Et ici, c'est à ce point que nous avons utilisé d'un papier de diricule. Et donc, quel est le problème? C'est tout. Et donc, depuis que nous pouvons suivre ce que nous faisons, nous avons utilisé de très belles propriétés qui sont assez bonnes pour l'analystique de la série. Donc, je définis un nouveau symbole par cette formule. Donc, je définis A 1 si Ap est equal à 1, A est une force power mod P, minus 1 si Ap est equal minus, non, si Ap est equal à 1, et A n'est pas une force power et 0 d'autre. Donc, si ce n'est pas un square ok et P est equal à 3, pour P est equal à 2, il y a une définition qui n'est pas utile pour le donner, c'est toujours toujours en train d'aborder le congrès modulo 1, modulo 16, etc. Et vous définissez, après, donc pour B, plus que 1, vous définissez A, B4 pour être le product A P Ui I if B est le product. Donc, vous forcez multiplicativité. Et donc, nous suivons le fact que K4 est totalement réel et ça donne cette proposition. Donc, il dit que, pour spécialité nous avons 2 power R4 CLD est equal à 1,5 la cardinale de A, B allant à N2 D est equal à A, B donc, vous décomposez comme ça et vous vous souvenez, nous demandons A pour être un square mod B B pour être un square mod E pour être plus exigeant. Nous demandons A, B est equal à B, A est equal à 1 ou A, B4 est equal à B, A 4 est equal à minus 1. Donc, nous sommes heureux de trouver ça. Nous avons un moyen de détecter le fact qu'est-ce que c'est la valeur de l'ordinaire classique. Ok, donc maintenant c'est bien parce que, comment détecter la force? Nous introduisons des caractères sur le ring d'un integer ou quelque chose comme ça des caractères pour les méthodes analytiques peuvent travailler Nous avons des caractères d'Igel-Valphiche pour ces caractères Nous avons aussi une situation très simile mais maintenant la question est que nous voulons reconnaître que nous voulons obtenir la probabilité que le four rang C est equal à R et on va avoir le four rang de CLD pour être equal à S Donc, si nous travaillons avec ça, on va travailler avec les deux moments. Donc quelque chose que 2K C of D 2 power L R4 of N actement de ce que l'on peut faire Mais depuis que je sais que S est nul à considérer que S est nul à R ou S est nul à R minus 1 En fait, nous devons poursuivre avec L est nul à 1 On a eu pas de moments pour compter Donc, j'ai j'ai d'offre dsx et on va pouvoir, on trouve que c'est asymptotique, 2 k-1 plus 1 et le product est equal to 0 to, ok, so it's a theorem as x tends to infinity, ok? And now again we use theory of infinite system and we can give the value of the probability that for d'belongings to special distribution such that the 4 rank of cd is equal to, I wrote, 2 a and that the 2 rank coincide is equal to 2 minus a, the probability, so what I called, no, it's not the same, probability that the d'belongings to ds cd is equal to a, ok? So we know that, so we have when, excuse me, I forget, equals to a this thing, so the 2 4 rank are equal to a, so this is this probability and 2 minus a, so that mean when a increase the 2 4 rank are not frequently equal, ok? So when you have, we have an exact formula for that, of course, and then it's only I wrote it here, so you write that at, you have to deal with the sum of probability from a equals to 0 to infinity, so the 4 rank of cd is equal to the, 4 rank of cld is equal to a, ok? So you sum probability and it's, I will not say miracle, you find at the end 2, sir, ok? So that's give, so, so, so this one, ok I repeat, this one is only obtained by considering the 4 rank of cd is equal to 0 and this one only the equality of the 2 4, so now you, what is le trivial, so you may be surprised that you see when you think of this for all k, this is equivalent to the equality of the 2 k rank for all k and we use only for k equals 2 and we have, we are absolutely not ridiculous, you see, we have 42% and 66% because, why? Because this series, you see, is very quickly convergent, so when you take 2 or 3 term, you have almost all the series, that's why, so, no, ok, so the natural question is, end after, so here we have a problem, so absolutely not specialist of that, so we will dream of how to, how to understand the 8 rank by cell diagram, so we do not know precisely, as I said, we do not know what would be, what could replace a k4, such that we control the 8 rank of cd, of cld, even in the, only in the case of fundamental discriminant, which are, special discriminant, which are more simple in some sense. So now, yes, so what else, what about the 8 rank, what about, so we have very partial results, first of all, we would like to have a criterion as nice as this one, you see, we understand, here this is algebra, here this is analytic number theory and we are happy, ok, we are not seeing that we cannot control our method, so we have only a proposition, so I suppose that d is special, and so, and I suppose n such that the 4 rank of is equal to 1, ok, I impose to be in that case, then the 4, the 8 rank of cd is equal to 1,5, so it is very near from that expression, the cardinality, so as usual you decompose d in the form d1 d2 and you impose that d1 d4 is equal to d2 d1, 4 is equal to 1, ok, so you can, oh yes, that's great, ok, so in some sense it is the middle, the half of this, excuse me, yes, exactly, it's the middle of that, so I can't remember, we must be careful, there are, non, non, c'est correct, excuse me, so when you have that, you see, oh yes, we can do, maybe because using, again, character to detect this condition, and only in that case, I give you the implication, so always moments and probability, ok, and what I shall use, I have in mind that the cardinality, so the special discriminant, such that the fundamental unit has norm 1, so you see, I come back here, and yes, I use f4, cd equal to 1, n is equal to the 4 rank of the cld, so the 2 4 rank coincide, and the 8 rank of cd is equal to 0, if you are in this situation, then you are sure that you are this, and then you produce new example of d, such that epsilon d is equal to norm minus 1, ok, so I write f4, cd is equal to 0 plus cardinality, cd, so of course less than x, less than x, cld, so we control, we know this probability, ok, and this one, we can incorporate it by the criterion I wrote here, so in some sense, we are not working with a moment of order 3, 3, 10, we have some, so what is the end of the story? The end of the story is that it's a theorem that ds minus x is greater than 5 alpha minus small o of 1 s of x, ok, so remember I add alpha, which is here, inserting discussion about the h rank, I gain 25%, so what is very important for me is that this number is equal to something like 0 second, and alpha, so this is even again, is equal to 0, ok, and we have 2 3rd, so this is alpha, no, this is 1, excuse me, this is not alpha, this is 1 minus alpha, and this is 5 alpha over 4, so for us, this is quite important, we are happy because we are far, we had more than one half, so it's false to think that the period of, that the period of the square, the expansion and continued fraction of square root of d with this special are 50, 50, ok, so that's false, and Stephen Agony is, I believe it's true, and of course we say you are losing things, yes, but not only it's difficult, but you may be, you may be not, you improve slightly the constant with a lot of trouble, but it's because the series is quickly convergent, voilà, thank you. Questions? Comment? 16? No, no, so I hope that someday we will hear, George Omilovic is working about that, it's fascinating to, no, 16, no, I don't know what we're asking. What I like is a confidence of algebraic number theory and analytic, and we are lucky because we have characters, you see, if you say that some extension is a billion, how can we write that with, I can't, I have problem to count that one.