 Y ahora daremos continuidad a los minicursos. Vamos a tener la charla de Van San de Le Croix, que habla en el minicurso 3 y esa es la charla 4 del minicurso. Puede comenzar, Van San. ¿Dónde escuchamos, Van San? No te escucho. ¿Ahora funciona? Ahora sí. Sí, ahora está bien. ¿Con el casco no funciona? Voy a renovar el casco. Perdón. Gracias Yuri y buenos días a todos y todas. Hoy día vamos a enfocar en este teorema de Eskino Kuncoff sobre la casimodularidad de la función generadora de los origamis. Pero antes de ver ese resultado general, vamos a ver un ejemplo sencillo en detalle con un método muy diferente. Eso estaba el final de los otros slides del día de ayer. Bueno, solo un recuerdo antes de empezar a contar. Es que hacemos ese conteo de origami para entender la masa total de los espacios de módulo de las superficies de translaciones. Lo que hicimos ayer es definir las estratas, que son los conjuntos de superficies de translación con singularidades conicas fijas. El capa en las notación H capa son los éndices de los ángulos. Y lo que vimos con una prueba es el teorema de Zurich que hace la relación entre el volumen de Masurvich de la superficie de la área menor que uno con el conteo de origami. Vamos a empezar con hacer el conteo preciso en el caso de H2. El teorema está aquí. Pueden ver una expresión formal con funciones que llamó a E con tilde, que son funciones que involucran esta función sigma de N. Esta función sigma de N es la función de los divisores. Voy a escribir la definición del sigma. Tal vez no la conocen. Aparece con un k-1 en el teorema. Voy a definirla con un k-1. Es la suma sobre los divisores de N de los divisores a la potencia k-1. Son suma de las potencias de los divisores. Esa es la definición del sigma y hay manera de escribir esa función sin los divisores. Se llama también serie de Lambert, la primera expresión de E tilde con la suma sobre los L. Esa tipo de expresión se llama serie de Lambert. Es fácil pasar de una a la otra porque el cociente QL dividido por 1 menos QL es simplemente la suma de las potencias del QL. Solo usando eso, pueden ver que las dos definiciones son equivalentes. Eso es la definición de E tilde y la función generadora de los origamis en H2 se escribió en término de sólo E tilde 12 y E tilde 4. Vamos a ver cómo aparecen esas funciones. Es una prueba con papel. Voy a hacer la prueba aquí. Entonces es conteo de origamis en H2. El método que voy a usar es un método que inició Anton Zurich en un paper de 2002 para conteo de origami. Es una manera sencilla de hacerlo que funciona muy bien en H2. Lo que hacemos es que vamos a ver nuestro origami con un foco a la dirección horizontal. Lo que pasa en H2, lo que pasa primero es que si toman un cuadrado cualquier y miran a la derecha lo que pasa es aplicar... Bueno, un origami es dado por un par de permutaciones y si miran a la derecha y siguen mirando a la derecha, como hay un número finito de cuadrado, por supuesto van a haber un ciclo de la permutación. Entonces lo que pasa es que este pequeño pedazo que está pegado aquí es un cilindro de manera métrica. Eso es un cilindro. Lo que puede pasar también es que si miran por arriba aquí y miran lo que pasa a la derecha, hay dos cosas que pueden pasar. Una cosa es que todo es paralelo, todo es pegado y no hay singularidades por arriba del primer cilindro y eso se pega como ese. La otra posibilidad es que hay singularidad y si hay, se termina el cilindro por arriba. Lo que voy a considerar son los cilindros máximos. Es decir, voy a mirar en mi superficie conjuntos de cuadrados donde no hay singularidades adentro. Es decir, que ven un parte del plano R2 con cuadraditos y en el borde tal vez hay singularidades y otras cosas se pegan. Bueno, es muy sencillo lo que digo, es que cada origami se descompone en cilendros y los cilendros tienen una cierta combinatoria de pegamiento. Bueno, esos dos lados son pegados porque es un cilindro. Y como las singularidades en el borde son singularidades cónicas y tenemos restricciones sobre las singularidades, hay muy pocos casos de la combinatoria en H2. Es fácil demostrar que en H2 hay solo dos tipos de descomposición, estas composiciones en cilendros. La primera es que tienen solo un cilindro y en este cilindro ven tres veces la singularidad en el borde anterior y superior. Uno, dos y tres. Lo mismo por abajo. Y la combinatoria, voy a dar letras como se pegan las cosas. A, B, C y por abajo, A, C, D. Y bueno, hice el dibujo con un... como siempre, eso se pega aquí como un cilindro. Bueno, eso es el tipo uno de descomposición en cilendro. Y el otro tipo es una versión con dos cilendros que ya vimos con la superficie en forma de L. Es decir, tienen dos cilendros, uno grande y uno pequeño. Las singularidades están en el dibujo por acá. Y voy a escribir letras por las identificaciones. Aquí están. Y ya no tenemos más, solo esas dos descomposiciones. Lo que vamos a hacer es hacer un conteo separado por el primer caso y el segundo. Y al final, hacer la suma de las dos contribuciones y ver que nos dan la conservación total que aparece en el teorema. El caso uno es mucho más sencillo. Voy a hacerlo completo. Y el caso dos, voy a dar una fórmula y es un poco de trabajo de manipulación de función generadora para tener la fórmula de la contribución en términos de E12 y E4. Hay derivadas que hacer cosas como eso. Vansan, hay una pregunta en el chat. No vi el chat. Por favor, entiendo. Es dos cuadrados lo mismo que dos entre paréntesis en el teorema. Ah, volvemos al teorema. Una notación. Ah, sí. Disculpa por la tipografía. Lo que pasa es que olvide el Q aquí. Sólo es un error de notación. Hay una diferencia entre ese E2 y ese E2. Hay uno que el primero es cuadrado, pero es la misma función. El E2 con un Q es la misma cosa que el E2 sin el Q. Falta el Q en el dinero. Gracias. Es un error en el slide. Volvemos al conteo y hacemos el conteo sencillo del caso uno. Entonces, queremos entender la cantidad de origamis que podemos hacer de esta manera. Fijando el número de origamis. Fijando el número de cuadrados. Y voy a dibujar de nuevo el diagrama de cilindro. Y para entender cuántos origamis tenemos de esta forma, sólo hay que dar coordenadas a esos origamis. Y coordenadas son muy sencillas. Vamos a tomar la longitud de A, que vamos a llamar LA por longitud de A. Y ese número pertenece a los enteros positivos. Porque mi superficie es hecha de cuadrados pequeños. Entonces, aquí por abajo tengo un cierto número de cuadrado. Y las dos singularidades son en las esquinas de los cuadrados. Entonces, necesariamente las longitudes de esos segmentos son enteros positivos. Hacemos lo mismo con B y C. Y tenemos tres números enteros, el A, el B y el C. Pero esos tres números no es suficiente para describir la superficie. Necesitamos también la altura, que vamos a llamar H. Perdón, el H también es la notación por la permutación vertical. Pero H es muy estándar para denotar esa coordenada. Voy a usar el H también. Hay el H, que también es un número positivo. Es la medida de la altura. Hay otro parámetro que se llama el twist. Que es este parámetro. Mirando este segmento que se pega en un segmento por arriba. Puede ser que ese segmento no es alineado. Tienen como un twist de cierta cantidad. Y también es entera. No es difícil de ver que hay un lema que dice que esos cinco números son suficientes para describir una superficie con un silencio. Hay una embigüedad. Es que debo elegir cuál es el lado que llamo A, cuál es el lado que llamo B y cuál es el lado que llamo C. Cuando tengo un origami, no hay un segmento preferido en el abajo del silencio. Entonces hay que hacer esa elección. Pero fuera de esa elección, que es solo un múltiple que será tres. Esos cinco coordenadas determinan completamente el origami. Y si tengo un origami, puede agregar reglas. Hay una única manera de tener esas coordenadas. Hay una restricción solo por el T. Voy a escribir el lema entero. Los origamis de tamaño N con un solo cilindro. Voy a usar el texto. Y tipo uno, es decir, con uno cilindro. Eso es igual a un tercio de un cierto conteo de esas coordenadas. Y en este caso, el número es el número de vector de longitud tres. Que son el A, el B, el C, H y T. Vector de enteros positivos. Tenemos una restricción sobre T. Tenemos una restricción sobre el número de cuadrado. El número de cuadrado es el área de la superficie. El área es el producto de la longitud por la altura. Entonces, tenemos la ecuación, el A más el B más el C, que multiplica la altura, que es igual a N, que es el número de cuadrado. Y la otra ecuación es que el twist es menor que la longitud total. Y por qué tenemos esa restricción? Es que si tomamos un tema más grande que la suma, es decir, que la superficie se parece a una cosa muy de otra vez. Lo que pasa es que puedo cortar la superficie justo aquí. Poner esta parte aquí y tener otro dibujo donde el T es más chico. Lo que pasa es que la superficie que obtengo con T y T más un múltiple entero de la suma de las longitudes o de la longitud total del cilindro, son las mismas respecto a el isomorfismo de superficies planas. Entonces, las coordenadas son únicas si yo pongo esa restricción entera. Bueno, ahora el conteo es hacer el conteo de esos vectores de tamaño 5 que verifican esas restricciones. Bueno, ven ahora que hay condición sobre divisores, porque aquí ven que el H es un divisor de N y es la razón por qué aparecen esas funciones los sigma. Muy tonta, hay un error en el dibujo. Debe ser A, B, C arriba y abajo del paralelogramo. Ah, sí, es toda la razón, muchas gracias. Hay un A, B, C, el otro es A, C, B. Sí, es A, B, C y A, B, C es un toro, no es una superficie en H2. Sí, sí, gracias. Sí, ahora es correcto. Bueno, ese conteo ahora es fácil hacerlo. Vamos a hacer una suma sobre los valores de la suma de L más L, B más L, C. Vamos a, voy a llamar ese L, entonces es L que divide el N y ¿qué debemos contar? Debemos contar el número de veces que hay que cortar L en tres partes. Eso es un coeficiente binomial que es L menos 1 sobre por 2. Este coeficiente binomial es el conteo de cortar L en tres partes positivas. Y el conteo del T es exactamente L porque tengo la posibilidad de 0 hasta L menos 1. Entonces hay un L que acontece por el T. Eso es L y S es el corte en tres pedazos. Y ahora el coeficiente binomial es un polinomio en L. Entonces tenemos una suma por L dividiendo N de un polinomio y este polinomio es exactamente lo que queríamos. Es decir, un tercio de L dividiendo N. L, L menos 1, L menos 2 sobre 2. Y bueno, si ahora termino el cálculo, tomo el coeficiente del L al cubo, el coeficiente del L cuadrado y el coeficiente del L chico. Lo que obtengo es un sexto de sigma 3, un sobre 2 de sigma 2 y más un tercio de sigma 1. Y eso es el conteo del origami del tipo 1. Bueno, no es más complicado que eso. Y si quieren hacer el cálculo por el otro tipo, el tipo 2, que es el caso con dos cilindros, lo que pueden hacer es más o menos lo mismo, pueden poner coordenadas. Y lo que tienen es una suma un poco más complicada, que es una suma con un producto de dos variables. Entonces, el L1 es la longitud de S y el L2 es la longitud del otro, como coordenadas. Y el pequeño problema es que hay una relación entre esos dos enteros, porque la longitud de L1 es adentro de un cilindro más grande. Entonces, no se simplifica directamente, pero es muy fácil de hacer una simetrización de la suma para que se simplifica. Y la condición del área es que tenemos las alturas del cilindro número 1 y del cilindro número 2, que se suma a n. Entonces, tenemos esa condición. Para simplificar esa suma, lo que hay que hacer es que debemos remover esa inegulidad. Para hacerlo, solo digamos que esta suma es un medio de la suma sin la condición, menos la suma cuando tenemos una inegulidad. Y con esta nueva versión es fácil, bueno, no es tan difícil de tener una expresión con los sigmas. Bueno, y la expresión es un poquito más complicada, porque hay un cuadrado. Voy a volver a los slides y hacer dos comentarios. Primero, el primer comentario es que hay un E2 cuadrado en la función total. E2 cuadrado que aparece aquí viene de la contribución de dos cilindros. La razón es que tenemos dos variables aquí y cada una viene de un E2 más o menos. Otro comentario importante es que aquí solo tenemos E4, es decir, solo tenemos una expresión con sigma1 y sigma3. Y si vuelvo a la prueba, ven que hay una expresión rara que es un medio de sigma2. Lo que pasa es que un medio de sigma2 se cancela con un cierto medio de sigma2 que aparece en la otra suma. Eso es muy importante. Hacernos una transición con el curso de hoy día es que los ECA son formas casi modulares, solo si el K es par. Y lo que pasa es que el cómpeo de los origami del tipo 1 si miramos a la función generadora no es una función modular, casi modular, solo la suma es... Bueno, espero que ya entienden un poco del cálculo. Y lo que pasa... Vamos a ver ahora el teorema de Eskino Kunkow, que es un teorema general sobre la casi modularidad. Voy a dar una definición precisa de lo que es. Y voy a explicar también que cuando tenemos una función casi modular es fácil entender la sintotica de los coeficientes, es decir, entender el volumen que nos interesa. Y en el caso de H2 tenemos P4 sobre 960. Último comentario sobre este cálculo de cilindro de tipo 1 y tipo 2, es que este tipo de cálculo podemos hacerlo en cualquier estrada. Y lo que pasa es que hay una colectura sobre eso. Si hacen... Bueno, la colectura es esa. Tomamos cualquier estrada a ChK y consideramos un cierto K, que es mi número de cilindro de mi origami. Y en este caso, la colectura dice que la contribución de los origamis con K cilindros al volumen de Masiewicz, es decir, tomar la sintotica de los coeficientes de la función que obtengo, es una combinación racional de valores z múltiples. Y que es un valor z múltiples? Esa expresión es una suma sobre enteros positivos de 1 sobre potencias de los n. Cuando K es igual a 1 tienen solo 1 sobre n a la s es la definición de la función z de Riemann. Y aquí los s, los s1, s2, sk son números enteros en la colectura. Y aquí tienen un ejemplo en h211 que hizo Solich. Lo uso dos veces, una vez en 2002 y olvidó todo y lo uso de nuevo. Muy bien. Y pueden ver que podemos exprimir cada una de las contribuciones al volumen como sumas. Son muy feas. No alcanzan en un slide. Hay más por la derecha. Y hay resultados parciales en dirección de esa colectura. El caso K equal a 1 es fácil de ver que es un múltiplo del z que conviene. Eso es escrito en un paper que hice con Anton Solich y ahora tenemos un poco más. Sabemos hacerlo también con 2 y 3 cilindros, pero no más. Lo que pasa es que la combinatoria es más y más complicadas cuando crece el número de cilindros. Pero bueno, hay más trabajo adelante. Bueno, olvidemos esta estrategia. Vamos a olvidar el hecho que hay cilindros en un origamis. Vamos a ver lo que hicieron para probar la casi modularidad de la función generadora. Esto es el teorema general. Toman cualquier estrada y miran a la función generadora de los origamis. La función genera este peso de uno sobre el número de automorfismo del origami. Y esta función siempre es una forma casi modular. Y antes que vinieron a Skinny Okunkoff hay un caso particular que fue hecho por DiGraph. Y el nombre del paper no tiene nada que ver con origamis pero el título tiene que ver con neuro-symmetry y gromo-future-invariance. El punto de vista de DiGraph fue un poco diferente pero el hizo completamente el caso de la singularidad de ángulo cónica 4P. Y la técnica de Skinny Okunkoff es una generación de la técnica de DiGraph. Y usando... Bueno, voy a hacer un comentario al final. Usando... este teorema es antiguo de los años 2000 más o menos. Más recién hay trabajo sobre la asintotica de los volúmenes de Major Beach. Y esas fueron solucionadas por Amola Garval, Dawai Chen, Martin Müller, Adrian Sauvage y Don Zagui. Hay muchos papeles son 4 o 5 papeles. Y eso es más combinatorio. Bueno, ahora hacemos el foco en este teorema. Antes de empezar, voy a decir precisamente lo que son las formas modulares y casi modulares. Ya vimos una versión de esa función con Tilda y la versión sin Tilda es esta versión normalizada donde hay un... un coeficiente constante. Y hay un... un factor de normalización es 4K dividido por el número de Bernoulli, 2K. La versión es la misma que antes de esa función de las potencias de los divisores. La versión con los Tilda es sólo una transformación a fin de esta versión. Y por definición, la algebra de formas modulares es este M estrella que es la algebra sobre Q generado por E4 y E6. Y la algebra de forma casi modulares es la M estrella que es generada por E2, E4, y E6. Bueno, no es la definición estándar, pero en el caso del 2 de z, tenemos esa estructura sencilla que es la algebra generada por funciones explícitas. Y lo que pasa es que son... son algebras libres, son algebras de polinomios. No hay relación algebraica entre E2, E4, E6. Es lo que digo es... lo que dice este... este teorema. Y además, otro punto de este teorema es que cada función E2K pertenece a M estrella y K es mayor que 2. Cada una de esa función puede escribirse en términos de E4 y E6. Eso es muy... no es trillal que... que se pasa eso. Y esta... esos 2 algerra son... tienen una graduación y es la razón de la estrella abajo. Su espacio M en dice K, que son las formas homogéneas... homogénea de graduca. Y cuando definimos el grado de E2, que sea 2, E4 sea 4 y E6... 6, perdón, no E6, pero 6. Tenemos una graduación en esta algebra y cada E2K tiene graduación 2K, el grado de E2K 2K. Y usando solo el hecho que tenemos una algebra libre y el hecho que E2K pertenecen a M estrella pueden exprimir el E8, E10 y E12 como polynomios en el 4N6. Y para hacer eso, solo hay que mirar la... la expansion en Q de los generadores de los subespacios de dimensión 8, dimensión 10 y dimensión 12. Bueno, esos son los algebras de formas modulares y cuasi modulares, pero eso no es la definición estandar de forma modular. La definición estandar de forma modular es que demos Q no como una variable abstracta, pero con el número como un punto al infinito en el semiplano de Poincaré en el plano hiperbólico. Y esas funciones son funciones del plano hiperbólico hasta los complejos y verifican ecuaciones funcionales muy especial y la definición estandar de los funciones modulares son funciones que tienen ciertas propiedades de olomorfilla y ciertas propiedades de transformaciones al respecto a la acción de SL2 de Z en el plano hiperbólico. Pero no necesitamos esa definición de forma modular con funciones olomorfas. Lo único que usamos es SSOREMA. Pero para probar SSOREMA necesitan usar la estructura algebraica de esas funciones como funciones olomorfas. Bueno, ya tenemos una definición muy formal de forma modular y cosimodular. Antes de pasar al SSOREMA voy a decir cómo se entiende la sintotica de las formas cosimodulares o modulares y cosimodulares. Para hacer eso hay un método que introducieron que es muy sencilla. Hay un morfismo de las funciones cosimodulares en QDX tomando más o menos el E2 y E6, que son los generadores. A, X a la potencial grado. Hay un poco shift en el caso de E2 pero es más o menos X a la potencial grado. Y si hacemos eso, bueno, hay otra normalización que tomar. Si reemplazamos el X con 2pi sobre H, tenemos el E de pequeño pero es la misma cosa con un cambio de variable. No es tan importante. Pero el E de pequeño es lo que necesitamos para escribir de manera limpia la sintotica y el TREMA es el siguiente. Si toman un F que es cosimodular homogéneo de grado 2K entonces la sintotica de los coeficientes sumando todos los coeficientes entre 1 y N grande es de tipo polinomio con un cierto coeficiente A grande y el A grande es exactamente lo que pasa cuando aplico ese morfismo F pequeño a la función F. Es el coeficiente dominante de este polinomio. Y usando este TREMA es muy fácil obtener la sintotica si tenemos la expresión de F como polinomio en E2, E4 y E6. Bueno, sólo una palabra sobre la prueba de este TREMA usa un TREMA de transfer en el caso cosimodular. Y lo que pasa en el caso cosimodular es que hay una relación muy fuerte dentro el coeficiente 0, el A0 el primer coeficiente de la función y la sintotica de la función. Porque por definición de función modular y cosimodular tenemos propiedades sobre transformación a respecto de la acción de S2 de Z y Q se da 1 sobre Q es un tipo de transformación que aparece. Entonces de ese hecho podemos deducir este teorio. Hay una prueba muy bien hecha en el artículo de Chenlou Zagatzin. Quieren ver más. Pero no es tan complicado de hacer la prueba. Bueno, ya conocen formas cosimodulares y ya saben cómo extraer la sintotica de coeficientes cuando tenemos la expresión de forma cosimodular en término de E2, E4 y E6. Y ahora voy a hacer una prueba rapidita del esquino Kunckoff sobre la cosimodularidad de esas funciones generadoras. Y bueno, hay tres etapas. Voy a describir un poco más en lo que sigue. El primer etapa es reformular el conteo es decir los coeficientes en términos de carácteres del grupo simétrico. Ya vimos carácteres en la escuela Agra en el primer curso en el curso de análisis de Fourier. El caso de análisis de Fourier es el carácter de grupo abeliano. Pero existe una teoría poco en los grupos finitos, pero no necesariamente comutativos. Pero lo que pasa es que la vida es más complicada y se llaman carácteres. Y vamos a ver lo que son y lo que pasa usando esos carácteres podemos exprimir el conteo de Euriganes. Y empezando con esa nueva fórmula en término de carácteres hay un teorema de Kirchhoff y Wolchanski que demuestra que esa fórmula tiene una estructura hebraica muy importante que es un polinomio vamos a ver la definición de eso es un cierto tipo de polinomio con una infinidad de variables y la tercera etapa es el teorema de Bloch-Kunkow que dice que cuando tenemos un polinomio que es shift-symmétrico y hacemos una cierta suma del tipo de la suma de la función generadora de los Eurigames si sabemos que es shift-symmétrico tenemos cuásimo de la edad de esta función. Bueno, ya empezamos o si tienen preguntas en el caso de H22 obtienes el volumen de la función generadora del origami cómo obtienes el volumen del estrato es con un residuo o con una evaluación Hay dos cosas Vimos ayer, bueno tengo los slides aquí Vimos ayer este teorema de Zurich que dice que el volumen es exactamente la asintótica el límite de 1 sobre m a la potencia de la dimensión compleja del estrato con la suma de los coeficientes entonces cuando conocemos la asintótica de los coeficientes, conocemos el volumen Ah, claro, es con esta fórmula Ok, gracias. En el caso de que agarres este H10, que es la superficie modular más fácil todo esto de genera algo la función generadora qué de genera Ah, muy buena pregunta en el caso de H10 deberíamos hacer el conteo de los toros pero toros con un punto marcado en este caso no es tan difícil ver que la función generadora es exactamente E2, E2 tilde el número de oligamis el número de toros es sigma1 de n los toros con n cuadrados y la fórmula ahí de entonces del área es algo clásico ¿verdad? Si tiene relación con el residuo de la zeta de Riemann El área pero si piensan en término de retículos es el covolumen del retículo tomen en subretículo de zeta2 y los que queremos hacer es contar los subretículos de zeta2 que tienen covolumen n y ese conteo es exactamente sigma1 de n Muchas gracias Gracias por las preguntas Si no hay otras preguntas vamos a hablar un poco de carácteres de los dos teórimos de Skerrofosianski y Eddoko Kunkoff Bueno, ya saben que tenemos una definición de oligamis con permutaciones y lo que necesito es solo una cosa de nutación en ese slide es la nutación C grande que es la nutación de clase de conjugación si tomamos el K, que son los enteros de la clase de la singularidad escónica vamos a definirse como la clase de conjugación en SN el grupo simétrico donde los ciclos tienen tamaños los K y con shift1 y para completar los ciclos hay puntos fijos pero todo el tiempo voy a ignorar esos puntos fijos solo voy a hablar de los ciclos que no son reales y eso es importante porque el C voy a identificarlo como la clase de conjugación en SN por cualquier N y cuando digo eso es que estoy ignorando los puntos fijos y lo que vimos en el curso de Mateus es que si tomamos un par de permutaciones para definir un oligami lo que pasa es que la estructura de las singularidades escónicas es H y el V es la fórmula, bueno es H-1 V-1 HD y la estructura aconica es K si es solo si el comutador pertenece a C y lo que hago aquí es una definición muy de teoría de grupos no tiene nada que ver con geometría, bueno si un poco porque no tiene la dirección con oligamis pero son pares de permutaciones donde el comodador pertenece a cierta clase de conjugación y cuando dividimos por uno sobre N eso es exactamente el número de oligamis dividido por el número de automorfismos pero hay que tener cuidado en esa definición no es lo que queremos como función generadora lo que pasa aquí es que no hay condición sobre la conectividad de la superficie lo que puede pasar es que tenemos como una superficie en dos pedazos que no se tocan entonces este número no es el número de oligamis en una estrada pero en términos de grupos es mucho más fácil trabajar con esos números y bueno como pasamos de este número de teoría de grupo hasta la cantidad que nos interesa lo que hay que hacer es una una cosa de inclusión y exclusión porque cada pedazo de la superficie si no es conexa tiene en una cierta combinatoria y hay una manera usando inclusión-exclusión de exprimir el conteo de oligamis con una cierta suma con coeficiente positivo y negativo de términos de esta forma COV-NDC pero no vaya a hacer eso lo que voy a hacer es enfocarme esa función COV-NDC y para lo que no es la función generadora de COV-NDC directamente que vamos a estudiar necesitamos otra definición que es COV-PRIM-NDC que es el conteo de oligamis donde cada componente de la superficie es ramificada es decir no hay componente que es un toro bueno el conteo COV-PRIM-NDC es solo un subconteo solo guardo los HD donde no hay componente conexa que es un toro y ahora tenemos dos sucesión de números y podemos hacer función generadora que son parecidas al conteo de oligamis no son exactamente conteos de oligamis porque no son conexos pero son conteos de oligamis no conexos y es fácil de ver es fácil de pasar del COV PRIM al COV solo la adresión con el PRIMA es un cociente del COV dividido por el COV del vacío que es el conteo de los toros y el conteo de los toros como decimos antes es la función E2 que pueden escribir de esta manera el COV no es el conteo de los toros pero los toros que no sean necesariamente conexos eso es el conteo de los toros que no necesariamente son conexos bueno solo es importante entenderla no es difícil probarlo hay una prueba billectiva de esta fórmula separamos una superficie en componentes que son toros las componentes que no son toros y vemos que se cancela las cosas de manera buena y bueno, hay ejercicios relacionados a esta relación y lo único que es importante recordarse es que vamos a estudiar la versión PRIMA y la versión PRIMA es un cociente de la versión COV que tiene estructura algebraica dividido por el COV del vacío que es este producto infinito que es la función generadora de las particiones es el punto 2 del ejercicio y este cociente aparece en el teórimo en el bloco CUNCOV después es importante recordarse que tenemos un cociente donde por abajo tenemos la función generadora de las particiones hay una notación que no está introducida en este slide pero vemos slide después es el P que son particiones como se va muy rápido el tiempo voy a ir muy rápido los P grandes son las particiones y las particiones son en dirección con clase de conjugación en el grupo simétrico imagino que conocen esa dirección con la clase de conjugación en las particiones y voy a hacer una pausa cortita en este slide es la versión non-comutativa de la analisis de Fourier es decir que si miramos funciones que se llaman funciones centrales son las funciones que son constantes en clase de conjugación tenemos una base canónica en el caso abeliano fueron este caracteres que se llama E-R en el curso de analisis de Fourier pero en este caso son esas cosas que se llaman caracteres irreducibles que vienen de representaciones pero no importa tanto y en el caso del grupo simétrico tenemos un conjunto de funciones que son en dirección con particiones de N esas funciones juegan la misma cosa que las funciones que usan para hacer la transformación de Fourier y bueno paso rápido en ese hay manera de hacer cálculo con ese y la fórmula muy importante es que esta cantidad cov-n-d-c que vimos se exprime como una suma sobre esos caracteres para esas funciones de analisis de Fourier hay esa expresión alfabraica pero si miran a la fórmula no es tan fácil hay una suma sobre todas las particiones de N de una cierta función no se parece muy linda a esa función pero lo que pasa es que hay un teorema de Volchansky que nos dice que esta función fc es muy linda y entonces que esta suma no es tan complicada bueno voy a pasar rápido el teorema de Kovolchansky nos dice que esta función fc tiene estructura estructura bueno esa estructura en este sentido es shifted simétrica pero no voy a decir más es decir que solo mirando la partición podemos hacer cálculos y eso es el teorema de Kovolchansky que nos dicen que fc tiene estructura y el teorema de Bloch-Kovolchansky que usamos para concluir nos dice que cuando hacemos este tipo de cociente que se llama el kukor-chete siempre si tomamos una función shifted simétrica es una función coacimodular y lo que pasa es que lo que vemos abajo es que la suma es la función generadora de las particiones es lo que pasa con el kov del vacío el conteo de los origamis sin ramificaciones sin singularidades cónicas y esta expresión es exactamente la expresión de la función kovprim que vimos al comienzo y el teorema de Bloch-Kovolchansky nos dice que es coacimodular bueno ahora es el tiempo muchas gracias por escucharme y ya se terminó mi parte entonces vamos a agradecer a Afansan por sus dos buenísimas charlas estamos un poco adentrados en el tiempo pero si tienen una pregunta rápida creo que podemos hacerla bueno si quieren hacerla pueden hacerla también a Kantan en el tutorial entonces vamos a agradecer a Afansan una vez más y ahora Emanuel que piensa cinco minutos para un café más llegamos a cinco minutos