 Les mathématiciens aiment jouer au billard, ou plutôt au billard parfait, où les boules sont réduites à un seul point et où il n'y a pas de frottement. Les boules vont tout droit, rebondissent parfaitement en respectant les lois de l'optique et ne s'arrêtent jamais. Quand une boule est lancée, que pourra-t-on alors dire de sa trajectoire ? Il y a plein de théorèmes sur ça. Sur une table rectangulaire, les rebonds sont faciles à prévoir et les trajectoires auront deux comportements possibles, ou bien, périodiques, c'est-à-dire que la balle retrouvera sa position initiale avec le même angle après plusieurs rebonds, ou bien, dense, c'est-à-dire qu'elle passera aussi près que l'on veut de chacun des points de la table. On a la même dichotomie sur les billards circulaires, des trajectoires soit périodiques, soit dense. Il y a cependant un billard aux propriétés étonnantes, le billard de Sinaï. Il s'agit d'une table carrée avec un obstacle circulaire au milieu. Sur ce billard, les trajectoires des boules seront chaotiques. Si on en lance plusieurs du même point avec des directions très très proches, il ne suffira que de quelques rebonds pour qu'elles prennent des trajectoires complètement différentes. Sur le billard de Sinaï, les trajectoires deviennent imprévisibles à long terme. Un phénomène plus connu sous le nom des faits papillons.