 C'est un joint-work avec Farid Mokhran et Jacques Tillouin. Le but est de construire les chiffres de l'analystique locale sur les formes modulaires convergentes de Ziegler et de les relâcher avec les formes classiques. C'est déjà été fait par André Atayovita Piloni. Nous essayons d'utiliser une approche alternative, un peu plus naïve, basée sur la construction des towers convergentes. Je commence par fixer des notations. P est un noud prime integer. G et N sont integers, comme P ne divise pas N. Je vais dénoncer par W le ring ZP de zeta N, zeta N étant un noud prime integer d'unité. Et par K, le fil de fraction de W. Ensuite, je considère X, qui est la compétition formale de P. De la variété Ziegler de G et N. C'est un schéma formel sur W. Je vais également dénoncer par A le schéma universel, et par X, le fibre générique de X, en le sens de Renaud. C'est un espace rigide sur K. Dans ce contexte, nous avons plusieurs objets. La première est la fonction Hodge 8. C'est une map de X à l'intervalle 01 qui envoie un point X à la valuation tronquée de la valuation piédique de la variété ASO. Je l'ai évoqué comme ça. Ici, plus précisément, si L est une extension finite de K et X est un point X, qui correspond à un schéma abélien AX sur l'intervalle L. La variété ASO est un déterminant de l'action de l'algebra AX. Avec cette fonction, nous pouvons définir un subset de X. Si V est entre 0 et 1, je vais dénoncer par X de V l'image inverse de l'intervalle 0V. En particulier, si V est entre 0 et 1, nous pouvons obtenir un locus ordinaire qui est un fibre générique du locus ordinaire. Si V est non 0, cela provoque la neighborhood du locus ordinaire. Nous allons utiliser un modèle normal pour X de V, que je vais dénoncer par la variété V, qui est obtenue par considérer la compétition piédique de la normalisation de l'opinion maximale du bloc de X ici, la compétition idéale générée par AX et d'autres éléments de la variété V. Donc, la compétition maximale en laquelle la compétition idéale est générée par la variété AX. Il y a d'autres objets que je vais aussi considérer. Nous avons un tower T par X. C'est le torsor de base du chiffre cor-normaux. Je l'ai dénoncé par Omega, le chiffre cor-normaux du schéma universel à la section universel. Cela provoque Zariski, GLG, torsor. Nous pouvons définir les formes modulaires classiques comme fonctionnement T ou en variante sous les matières unipotentes de l'arrivée triangulaire. Il y a aussi un autre objectif qui arrive à l'arrivée ordinaire. C'est l'Higusa Tower. Donc, je vais dénoncer ma T-infinité. Donc, c'est ma P-R. Et c'est le torsor de base de la piédique T-module de la partie éthale du schéma universel à l'arrivée ordinaire du schéma universel. Donc, c'est un GLG d'Higusa Tower. Et similarly, nous pouvons définir les formes modulaires piédiques en considérant les fonctions ou les éléments et les éplications de la fonction T-infinité qui sont en variante sous les matières unipotentes de l'arrivée triangulaire dans le GLG d'Higusa Tower. Donc, ces objets sont liés à la map de l'Higusa Tower. Donc, pour chaque tigeur nous avons la map de l'Higusa Tower qui est associée à le schéma de l'éthale finite qui est la partie éthale de la piédique T-module dans le schéma universel de l'arrivée ordinaire du schéma connormale comme ça. Donc, c'est une map de l'Higusa Tower de entre les chiffres sur le site de l'éthale finite de l'higusa ordinaire et nous pouvons passer à la limite et obtenir une map de la piédique T-module de la partie éthale de l'arrivée ordinaire de l'Higusa T-module Donc, c'est un morphisme de chiffres sur un site de l'Higusa ordinaire de l'Higusa ordinaire donc un site qui est similaire à ce que c'est défini par Scholtzö Donc, avec les objets sont des systèmes de map de l'éthale finite de la piédique T-module de l'Higusa ordinaire de l'Higusa ordinaire et qui découvrent les familles comme ceci GIM comme ceci pour tout la union de GIM de TIM C'est un TIM Donc, c'est une version de la map de l'higusa de l'Higusa Et ceci en termes c'est la map de l'Higusa Excusez-moi Vous avez vu quelque chose de l'Higusa ? Donc, ils le coudent ? Je pense qu'ils le coudent Donc, c'est la finite ? Oui Donc, c'est obtenu Donc, c'est une map entre l'Higusa Tower et la restriction de la piédique de l'Higusa ordinaire qui est simplement défini comme suivi de l'Higusa de quelques bases de la module de piédique Donc, on appuie la map de l'Higusa de l'Higusa de la base du duel D'accord Donc, cela permet de relier les formes classiques de piédique de formes modulaires Donc, l'idée est qu'on devrait pouvoir construire des objets sur quelques v's pour des v's plus précisément c'est l'idée il y a peut-être quelques v's rationaux entre 0 et 1 comme cela pour toutes les v's entre 0 et v0 nous avons le diagramme suivi donc, nous avons l'Higusa Tower classique et ici, nous avons quelques GLG of ZP NETAL GLG of ZP Torsor qui externe l'Higusa Tower d'au-dessus des v's et aussi une map qui externe l'Higusa Tower d'au-dessus des v's D'accord Avant d'avoir des idées sur la construction de ces objets j'aimerais faire un comment sur des subgroupes canoniques Je vous rappelle que si N est un integer puis quand v est moins que 1 à 2 de p à n-1 donc ici, la 2 doit être répliquée par un 3 quand p est equal à 3 nous avons un subgroupes canoniques de niveau N sur l'Hn sur l'Hv donc en particulier en utilisant ces descriptions cela provoque aussi l'Hetal Finite de l'Hv d'ailleurs on espère que la flore de l'Higusa Tower d'assumé que la v est moins que la v0 l'identifie avec le torsor de la base de ce subgroupes canoniques donc pour le G de l'Hn mais bien sûr quand N est à l'Hv c'est ce qu'on trouve donc quand on ne peut pas construire l'Hv de l'Hv d'utiliser des groupes pd-visibles donc nous avons besoin d'utiliser un moyen d'expliquer la stratégie donc c'est aussi une simple observation que l'on peut construire la représentation pd-visibles attachée à la partie étale de l'universel ordinaire de l'Hv dans un un peu un peu compliqué mais ça peut être généralisé au-delà de l'ordinaire de l'Hv donc ça marche comme il y en a donc on commence avec cette groupe pd-visibles donc on peut attaquer à la module du donné donc ça donne une f-crystal avec une filtration plus une filtration comme ça donc les maps de la filtration dans pm comme ça resulte f-module m-modulo fil m-tensor fp donc c'est étal avec ça c'est d'abord associé à cette f-crystal il y a aussi une fp donc ça a la propriété que m est la somme directe de la filtration donc comment vous pensez que la f-crystal doit être dans le sens de la crystalline ou ici c'est sur c'est sur la f-crystal et la dernière étape c'est la correspondance de quatre donc c'est une sorte de correspondance de période dans le cas simple parce que c'est dans le cas unramifié et on obtient la p-module en fait on obtient la f-crystal donc la stratégie est de essayer d'adapter chaque de ces étapes à l'arrière de la f-crystal donc la première étape est de associer à notre situation la crystalline avec une structure phobénieuse donc le choix de la crystalline est évident donc on va dénoncer par m la suivante crystalline qui est équipée avec la filtration de la f-crystal donc plus précisément nous avons la filtration de la f-crystal seulement sur les évaluations de ces f-crystal où on peut déformer l'ambulance universelle mais ce n'est pas un problème pour nous et nous avons aussi besoin d'une structure phobénieuse et ceci est donné donc si la f-crystal est moins que 1,5 ou 1,3 quand la f-crystal est equal à 3 nous avons la subgroupe canonique h1 qui définit une map de la f-crystal de la f-crystal depuis que la h8 de l'ambulance universelle par la subgroupe canonique est la f-crystal de la f-crystal et en composant une map naturelle de la f-crystal je vais aussi dénoncer par Utah une map naturelle de la f-crystal de la f-crystal et nous appelons cette f-crystal donc a la propreté que elle apprend la f-crystal f-crystal de la f-crystal de la f-crystal en fait elle apprend la f-crystal de la f-crystal de la f-crystal et puis On obtient une map de Frobenius, d'une fiopeur star of n, et d'une iotapeur star of n. Nous avons aussi des propriétés similaires, c'est-à-dire que la filtration, quand elle existe, est map à quelque chose qui est divisible d'à peu près de p. C'est-à-dire que l'objet est proche d'être étal. Plus précisément, nous avons la fiopeur star de... ici, il y a une évaluation du cristal. Le tensor est W bar. Je n'appelle pas W bar, c'est la normalisation de W dans l'algebraic closure de K. C'est là-dedans, p1-v iotapeur star de mz times W bar. Et plus en plus, nous avons une map de Frobenius sur l'objet mz mod phi mz times W bar mod p1-v. Et la propriété est que p1-v est le déterminateur de phi bar. C'est très petit, c'est très proche d'être étal. Maintenant, je viens de la seconde étape. La seconde étape est d'extraire quelque chose près de la partie unique dans ce cristal. C'est-à-dire qu'il n'est pas possible de faire ça au niveau des cristaux parce que l'argument du travail, les utilisateurs ont un processus fixé. Et ici, le Froubenius s'inscrit sur la réduction de convergence. Donc, nous devons faire ça après la compétition de la comologie. La seconde étape. Donc, on va avoir une almost unitroute phi module. Donc, ici, nous devons faire des computations locales. Donc, on fixe un sub-scheme formel de Xv. On assume que la s est intégrale et normale. Donc, en général, nous pouvons associer à cette ring S bar. Donc, ici, c'est la union de toutes les extensions finies de S dans des fixations de l'algebraie closures de la partie de S. Donc, ce sont les extensions qui se sont généralement étalées. Donc, nous avons un groupe local Galois. Donc, ici, l'index de K veut dire que j'inverse P. Et aussi, nous avons la compétition de la compétition de cette ring S bar. C'est le perfectoïde. Donc, nous pouvons prendre l'article. Donc, je pense que c'est le limiter productif de S bar mais de P S bar. Et dans la map de Frobenius, je vais appeler R S pour des raisons historiques. Donc, ici, c'est une ring de caractéristiques P qui a une action de G S. Et il contient aussi des éléments qui seront utiles dans ce qu'il y a. Il y a un élément P tilde, qui est un système compatible de P to the nth root de P. Et zeta, qui est un système compatible de primitive P to the nth root de unité. Et comme d'habitude, nous avons une map zeta. C'est l'objectif de la ring homomorphismes de l'escoefficient des vectors vides en R S à S bar hat. Donc, comme d'habitude, le carnel de cette map est un principle idéal créé par XI, pèche-mulaire de P tilde minus P. Et ensuite, nous défendons un Chris Nabla de S comme la compétition de la compétition de l'escoefficient de l'enveloppe de l'escoefficient vides en R S en respectant le carnel de zeta. Et donc, cela a des structures variées. Donc, cela a une formule de fourbignus, et une action de GS. Et nous allons l'utiliser pour compter la homologie, plus précisément. Donc, nous allons dénouer par M S le limiter projectif de la homologie cristalline. Donc, cela est naturellement un module de Chris Nabla. Et cela a une structure extraite. Donc, cela a une action de fourbignus, une action de GS. Et aussi, cela est équipé avec une filtration des fous de l'achet. Et, à partir de cela, nous devons extraire quelque part de la partie unit roulée. Donc, il y a une analogue de Dwork's CRM. Donc, cela existe. C'est un module de sub-fis. Il se appelle US, en M S. C'est une équipe de phobénieuse, une action de GS, qui est proche d'être étal, qui signifie qu'il y a un petit pouvoir petit de Petilda, qui est le déterminateur de la réduction de la phobénieuse. Donc actez sur une barre US. Donc, aussi, cet US est presque un facteur direct de la filtration. Ce n'est pas complètement exact, mais... Oui, c'est une équipe de phobénieuse. Et le premier point est d'associer à cette équipe d'écris, une représentation de GS. Donc, oui, je dois mentionner que, bien sûr, c'est qu'il y a des données de glues, toutes ces constructions glues. Donc, c'est suffisamment pour construire la représentation de Piadik localement. Excusez-moi, cette map de 5 est induite par la fonctionnalité ? C'est par la fonctionnalité. Vous avez la phobénieuse sur cette mode P2Z1-VC. Donc, cela provoque une map entre les dessins de la phobénieuse à la mienne. Et ensuite, vous composez par le dessin de la phobénieuse de Yota. Comme je l'ai mentionné, la phobénieuse ici, modulée P2Z1-V, composée par le Yota, c'est précisément ce... Mais ce n'est pas un portion de l'équipe économique ? Non, non, non, la map ici, elle vient de l'équipe économique. La map de l'équipe, oui. Si c'est un portion de l'équipe économique, on ne devrait pas respecter la filtration de la phobénieuse, c'est-à-dire qu'à la fin, il ne devrait pas être dans le sens de la phobénieuse. Donc, si cela est induit par la fonctionnalité de la phobénieuse, ça devrait être comme un sol, donc on ne devrait pas préserver la filtration de la phobénieuse. Mais c'est le cas pour l'exemple de la phobénieuse, par exemple, de l'exemple de la phobénieuse, c'est une action. La phobénieuse est caractérisée, mais il y a beaucoup de choses pour générer le sol, c'est-à-dire que c'est un portion de la phobénieuse. Je ne sais pas. Mais dans cette assumption, nous pouvons produire la phobénieuse. La première étape, c'est de construire la représentation de la phobénieuse et cela sera en train d'utiliser une map de symptômes. Oui, c'est unique et en fait, ce n'est pas un peu indépendant sur la filtration. C'est suffisant qu'il y ait une filtration ici qui a des conditions similaires. Ici, c'est le niveau de MS, pour obtenir l'US. C'est unique. Ici, nous allons utiliser des périodes pour construire la représentation. Le problème, bien sûr, c'est que la phobénieuse n'est pas assez grande, ce qui est logique, parce que la convergence de la phobénieuse n'est pas associée à un groupe PD visible. Donc, la première chose qu'on fait, c'est de le faire plus petit. Et donc, pour avoir de l'aise avec des pouvoirs divinés, je dénote par lambda0 le quotient d'acris par l'idéal IP-1, qui est l'idéal de ces éléments dans l'acris nabla qui intervient entre la phobénieuse et qui sont tous les p-1s divinés par le kernel de theta. Mais cette ligne n'est pas très mystérieuse parce que c'est simplement le quotient de la vector V par un idéal très simple. Nous avons des problèmes à chaque étape. Donc, je ne comptais pas, mais tout le temps. Donc, j'ai mentionné que la réduction de lambda0 mod p est très explicite. C'est le quotient de rs par p tilde à p, qui en fait est isomorphique à s bar mod p s bar. Ok, donc, dans les computations, à un moment, nous avons besoin de considérer que nous devons diviner par des pouvoirs de p tilde. Donc, c'est pourquoi nous avons introduit la suivante ligne. Donc, que l'alpha soit rationnel entre 0 et 1, lambda alpha. Donc, en fait, c'est juste lambda0 pour lequel nous avons joint p divided par le tèche-muleur de p tilde à l'alpha. Donc, avec plus de détails, c'est simplement lambda0 avec un variable t alpha. Donc, j'ai la relation, bien sûr, p tilde à l'alpha times t alpha minus p equals 0. Mais ce truc a p torsion. Donc, nous devons aussi quitter p torsion. Mais ici, ce n'est pas une série de troubles, puisque p torsion est très explicite. Et puis, nous prenons la complication de pi. Donc, ici, nous sommes heureux parce que nous avons une action de Gs. Et nous avons ces éléments. Mais le drawback, bien sûr, est que nous avons troubles avec le phobénus. Donc, nous avons p divided par le tèche-muleur de p tilde à l'alpha. Le dénominateur va exploser. Donc, la situation est que nous avons quelque chose similaire à ce que nous avons au début. Nous avons 2 maps. Donc, ici, je dirais que l'alpha est moins que 1 par p. Donc, nous avons 2 lambda p alpha. Je les appelle v et phi. Donc, v est lambda 0 lin r et les maps sont variables t alpha à l'alpha de p tilde à p minus 1 alpha de t p alpha. Et phi est phi lin r t p alpha. D'accord. Et en faisant ceci, je dois aussi mentionner que ces 2 maps sont gs équivariants. Nous pouvons définir le suivi v alpha de us. C'est le kernel de la map suivante. Donc, c'est de xi lambda alpha tensor us sur ce nabla et c'est de lambda p alpha tensor us. Et la map est le phobéneuse divided par p sur ce facteur parce que le phobéneuse de c'est divisible par p. Le phobéneuse de us minus v tensor la identité. C'est la map symptomique. Et l'hope est que quand alpha est approprié cela provoque la représentation piédique que nous cherchons. Et effectivement, c'est le cas, c'est le théorème. Donc, alpha est rationnel. Donc, il ne devrait pas être trop petit et trop grand. C'est expliqué en termes de v et moins que 1. 1 over p. Puis, ce v alpha de us c'est de p pour g. Et depuis que les maps v et phi sont équivariates, c'est endowed de gs. Et c'est précisément la représentation piédique que, localement, sur le maximum spectrum de s inverti, correspond à la conversion de l'Higusa Tower. Donc, ce n'est pas un peu compliqué. Donc, nous voulons procéder par dévisage. Diffiné comme ça, il n'y a absolument pas de dévisage. La séquence nav, modulo p n-1, modulo p n-p, c'est pas exact. Donc, la première étape est de légèrement déformer cette map. Et puis, vous avez le début de la séquence exacte. Et puis, vous avez un second trouble. C'est que modulo p, le carnel de cette map, n'est pas de dimension finale donc, vous devez utiliser un truc par considérer ces éléments en ce carnel qui viennent de la représentation en caractéristique 0 pour sélectionner les éléments modulo p. Et aussi, un autre trouble qui vient de la facture que la map n'est pas surjective. Donc, vous ne pouvez pas utiliser les simple arguments de Snake Lema pour les séquences exactes de la séquence. Mais, de toute façon, vous pouvez montrer ça. Et donc, avant je disais quelque chose de plus sur la map de l'autre étape. Je voudrais mentionner quelques faits sur cette représentation. En tout cas, modulo p c'est la suivante. La première est que l'un peut considérer v1. C'est v0 de mod p u1. C'est la map d'une map lambda 0 mod p. En fait, cela fait le travail. C'est l'isomorphique d'un fp d'un g. Et effectivement, la reduction de mod p de v alpha est précisément de l'autre étape. Alors, les arguments pour montrer ça sont les normales. On a à résoudre une équation matrique comme celui-ci. Dans le mod s bar mod p1 minus p1 s bar c'est le déterminant d'a divise d'un petit pouvoir p. Donc, ce sont les usuales computations quand l'un construit un groupe canonique. Il y a des factures qui sont pour tout état en 0 2 divided by p minus 1. On peut réduire v1 modulo d'un petit pouvoir p. Donc, ce sont les kernels de la suivante map. C'est le bar US. Donc, ici c'est le modulo p. Modulo p. p minus 1 c'est juste le minus p tilde. Et ici, on peut regarder son image dans p tilde s bar modulo p tilde. J'ai toujours oublié l'exponent. P tilde p divided by p minus 1 plus p état. Puis, c'est la bijection. La seconde observation qui est relative à ce que j'ai dit au début des groupes canoniques est que vous pouvez montrer explicitement que la première flore de l'envers convergente coïncide avec le torsor de bases de la subgroupe canonique. Donc, vous pouvez voir ça explicitement, par exemple, en utilisant la description de cette par Andrea Tagas-Bali. Ok. Donc, maintenant, je vais venir à la map de l'autre état. Donc, ici, nous avons construit l'envers convergente de l'envers convergente. Donc, la construction de la map de l'envers convergente est la suivante. Donc, par définition, l'alpha de l'us est dans l'alpha de l'axe de l'envers convergent de l'us. Donc, si l'alpha de beta est plus grande que l'alpha et moins que l'un, nous pouvons externer les galères pour l'ambda beta. Donc, nous avons une map que je nomme A beta de l'ambda beta de l'us de l'axe de l'ambda beta de l'us. Alors, en utilisant la map de l'envers convergent, nous avons une map de mod p que je nomme A de l'ambda 0 mod p de l'axe de l'us de l'axe de l'us de l'ambda 0 mod p de l'axe de l'us de l'us. Donc, nous avons la suivante. C'est que le kernel de A bar est élevé par p' p par p-1. Donc, pour prouver cela, nous pouvons réduire normalement pour le cas où s est dvr. C'est expliqué. Une autre chose est que il existe une map d'ambda 0 et p-1 comme ça, le kernel de cette map est élevé par p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' p' 1 over P minus 1 kills the coquermel of a beta when beta is bigger than 1 over P. How do you raise the power of 1 over P minus 1? Well, in fact, it should be put inside. It's like if written like this, it has no meaning, it's to be kind to the typist. Ok, so here you had this condition here so that the elements P divided by P tilde to the 1 over P minus 1 is topological in hill potent in lambda beta. Ok, so as a consequence, you obtain an isomorphism. An isomorphism A beta P inverted from lambda beta P inverted turns out V alpha of U S to psi lambda beta P inverted turns out U S. So here this is over ZP and over a Chris Nabla. Right, so under the same assumption of course. And now we have to relate this to the conormal shift and this is done as follows. So recall that it's still on the blackboard. We define M S as a crystalline homology of M and this can be explicitly described in terms of horizontal sections of a big module. So let me explain this. So we choose what I call a presentation of S. So this is a surjective homomorphism of W algebra with T formally smooth over W. So this defines D U over S. So this is the PAD completion of the divided power envelope of T with respect to the kernel of U. So this provides divided power thickening of the formal spectrum of this. So I call it Z. And we can also define a ring A Chris as follows. So we start with the tensor product of T with W of RS over W. And we can extend the map theta by linearity. T linearity gives the map theta U. And so the ring A Chris of U gives the PAD completion of the divided power envelope of that ring with respect to the kernel of theta U. And this is D of U algebra. So it has an action of G S. It has a Frobenius. So the Frobenius structure is a bit complicated since I mean the Frobenius changes the strict neighborhood. Yet there is some kind of Frobenius structure and there is also a connection. And the point is that we have an isomorphism which is given by Taylor expansion between A Chris of U, ah, sorry, first, yes. So M S is isomorphic to the horizontal sections of the tensor product of A Chris of U with the evaluation of M at D of U. And we have a comparison like Taylor series expansion like this. A Chris of U turns out with M S with A Chris of U turns out with M D. Right. And using the decomposition theorem, this is a step two. This relates A Chris of U turns out with U S. Well, let's say with a P inverted. And A Chris of U turns out M U, M D of U modulo its filtration. Yes, with P inverted. Ok, so we can tensor with lambda beta and inject here. So denoting by curly A beta of U, the tensor product of A Chris of U with lambda beta P inverted. We have an isomorphism A beta of U turns out with V alpha of U S with XI A beta of U turns out M modulo fill M. Right. And then taking, so the map theta extends to that ring, theta U to S bar hat by sending one tensor T beta to P to Z1 minus beta. And taking the first grade of this, we get an isomorphism between S bar hat tensor V alpha of U S with XI S bar hat K tensor M. Well, let's say S, the connormal shift. Right. So in order to, so this is, well, in some, this is not quite the odd state map. This is a dual odd state map. And the odd state map is just the inverse of the transpose of that map. And so this goes from, well, this provides a map from the dual PID representation and omega tensor with S bar hat. So in order to shiftify this, as we did on the ordinary locus, we need to have some descent here. Typicaly, if we call H the kernel of the PID representation attached to this, then we would need a statement like this. In fact, we need more. We already would be happy to know that or something similar. We would, we need some decent property like this or maybe with reducing a little the reduce of convergence. So, well, we have some strategy to prove this using the Tetsen formalism. But to do this, at some point we need to construct some perfectionization of S. So I don't know how to call this. And, well, making things perfect with tends to shrink the reduce of convergence. And so this is a big trouble when we want to build normalized state traces. Well, so this is still in progress. And in the few minutes left, I would like to come back to the observation I made at the beginning. Namely, the relationship between the overconvergent Iguasa tower and the canonical subgroup when both are defined. So I will, for simplicity, denote by LN, the shift for the finite et topology on XN, that attached to the nth level of the overconvergent Iguasa tower. And recall that we have the canonical subgroup. So this on X of V when V is less than the minimum of V0 and 1 over 2 P to the n minus 1. So the point is that they coincide on the ordinary locus. And so we want to show that under this they coincide on X of V. And so as I said before, this is true for n equals 1. And then we use induction. The argument is the following. So these are like obvious exact sequences. So we already know that there is an isomorphism like Utah one here. So by the induction hypothesis, we have an isomorphism here, Utah n minus 1. So those isomorphisms induce an isomorphism between the X groups here. And so those two exact sequences provide classes here, classes that agree on the ordinary locus. So then by analytic continuation, we deduce that in fact they agree everywhere. So this shows that they are equal on the ordinary locus. And also, we want to compare the associated octet maps. So we have the map from the ln draw to omega tensor z mod P to the n. We have also the octet map attached to hn. So here we had this map, this isomorphism Utah n. So we get an isomorphism Utah n dual. And here we have the natural map here. And this square commutes on the ordinary locus. And here again, by analytic continuation, this commutes on xn. So this shows that the octet map that I construct before, this over-convergent octet map, I mean modulo, this decent trouble, agrees with the usual octet map for hn. OK. So any question? So it's just at the end in this analytic continuation argument. So do you see that you have to show the lead? Because the lead is getting smaller and smaller at the end. Sure. I mean, both objects have to be defined. So this ln has to be defined. So it must be less than v0. And this for the canonical subgroup. Yes. I want to compare two objects. OK. We have no other question. Let's have speaker again.