 En este vídeo vamos a introducir los subespacios vectoriales. Empezamos con la definición. Un subespacio vectorial es un subconjunto de un espacio vectorial tal que este subconjunto es un espacio vectorial. En otras palabras, si v es un espacio vectorial sobre k y w es un subconjunto, se dice que w es un subespacio vectorial de v. Si la 3 tupla w con las operaciones de suma y multiplicación es un espacio vectorial sobre k. Os recordamos los ingredientes de los espacios vectoriales. Estos son el conjunto, el cuerpo, las dos operaciones y las 8 propiedades. Entonces, utilizando la notación que hemos introducido, ya tenemos el conjunto w, ya tenemos el cuerpo k y con respecto a las dos operaciones vemos que es posible que sean problemáticas. Es decir que quizás no son bien definidas. ¿Y qué significa esto? Significa que la suma de dos vectores de w no es seguro que pertenece al conjunto w. Y del mismo modo, la multiplicación escalar de un vector w por un escalar no es seguro que pertenece a w. Dependiendo del caso, hay que verificar que las operaciones están bien definidas para el subconjunto. Además, hay las 8 propiedades que tenemos que verificar. Pero tomamos nota de que solo dos de estas dependen del subconjunto. La existencia del elemento neutro y de los inversos. Las 6 que quedan no dependen del subconjunto. Es decir que son ciertas para todos los subconjuntos. Os recordamos estas 6 propiedades, la asociatividad, la comodatividad, que no dependen del subconjunto. Son propiedades de las operaciones. Entonces no hay que verificar si se satisfacen o no, ya que sabemos que sí que se satisfacen. Volvemos a las dos que sí que dependen del subconjunto y notamos que si la multiplicación escalar está bien definida, entonces obtenemos el elemento neutro y los inversos gratis. ¿Por qué? Porque el elemento neutro de un espacio vectorial es igual a cero veces a cero veces cualquier vector y el inverso de un elemento w es igual a menos w. Resumimos todo esto con la proposición siguiente. Un subconjunto no vacío es un espacio vectorial, si y solo si las operaciones están bien definidas. La condición que w tiene que contener algún elemento es más un tecnicismo que una condición de verdad, pero es importante porque un conjunto vacío no puede ser un espacio vectorial. Entonces, para probar si un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio vectorial, solo hay que comprobar que las dos operaciones están bien definidas. ¿Y por qué? Lo repetimos una vez. Como seis de las propiedades no dependen del subconjunto y el elemento neutro y los inversos están dados por la multiplicación escalar, solo hay que comprobar que ambas operaciones están bien definidas. Ejemplos, los vectores de R2 que pertenecen al conjunto siguiente que admite esta interpretación geométrica es un subespacio vectorial de R2. El conjunto de vectores en R3 es tal que la segunda coordenada es igual a cero y que admite esta interpretación geométrica es un subespacio vectorial de R3. Si no veis que estos conjuntos son subespacios os animamos que lo probáis vosotros mismos. Es decir, comprobar que en ambos casos las operaciones están bien definidas. Otro ejemplo, el conjunto en F23 que consiste en dos vectores es un subespacio vectorial de F23 y aquí tenéis la prueba que las operaciones están bien definidas. Os recordamos que el cuerpo F2 solo tiene dos elementos. Más ejemplos, esta vez de conjuntos que no son subespacios, en R2 el conjunto de vectores con coordenadas positivas no es un subespacio vectorial porque la multiplicación no está bien definida. Seguimos con R3 y consideramos el conjunto siguiente. Este conjunto consiste en los vectores tal que sus dos primeras coordenadas son enteras y la última es igual a cero. Este subconjunto no es un subespacio de R3 ya que la multiplicación no está bien definida. Y por fin un subconjunto de F23 que no es un subespacio vectorial porque la suma no está bien definida. Seguimos con una definición, sean V1 hasta Vk, unos vectores de V donde V es un espacio vectorial sobre K y definimos el espacio generado por los vectores V1 hasta Vk que consiste en todas las combinaciones lineales de estos vectores. Ejemplos, en R2 el espacio generado por el vector 11 en R3 el espacio generado por los dos vectores 1100 y 100 y por fin en F23 el espacio generado por los vectores siguientes calculamos todas las combinaciones posibles y deducimos que este conjunto consiste en los cuatro vectores siguientes. De hecho la construcción anterior da un espacio vectorial es decir que dados vectores V1 hasta Vk en V el espacio generado por este vectores es un subespacio vectorial de V. Vamos a demostrar esta proposición sea V doble el conjunto igual al espacio generado. Primero vemos que el conjunto no está vacío ya que contiene los vectores V1 hasta Vk y ahora falta comprobar que las dos operaciones están bien definidas la suma y la multiplicación. En efecto las dos operaciones sí que están bien definidas es decir que cuando sumamos a dos vectores de V doble obtenemos un vector de V doble y del mismo modo cuando multiplicamos un vector de V doble por un escalar obtenemos un vector de V doble y así podemos concluir que el espacio generado por los vectores V1 hasta Vk es un subespacio vectorial de V. Acabamos con una pregunta y un ejercicio primero tenéis que hallar el espacio generado por los vectores 0,1,1 y 0,0,1 sabiendo que F2 solo tiene dos elementos hay que probar todas las combinaciones posibles os damos un momento espero que hayáis visto que el espacio generado corresponde al último conjunto por fin os proponemos de hallar la dimensión del espacio siguiente para ello podéis hallar una base a partir de los tres vectores y deducir la dimensión del espacio