 A continuación introducimos la interpretación geométrica de los números complejos. Si os interesa os animamos de ver el vídeo optativo que explica de dónde viene esta interpretación. Los números complejos tienen una interpretación geométrica similar a la del plano real. Primero trazamos dos líneas perparticulares y estas líneas, en el contexto de los números complejos se llaman el eje real y el eje imaginario. Entonces para representar nuestro número complejo A más I, B lo que hacemos de manera similar a los vectores del plano, es que del plano real es que representamos la parte real sobre el eje real y la parte imaginaria sobre el eje imaginario. Y así obtenemos la representación geométrica del número complejo A más I, B. Bien, seguimos y vamos a interpretar la suma de manera geométrica. No hay ningún secreto. La suma de dos números complejos coincide con la suma vectorial. Y así la suma de dos números complejos se obtiene poniendo el uno después del otro. Ahora definimos las nociones de argumento y módulo, que corresponden al ángulo y la longitud en el contexto del plano real. Sea A más I, B en C, que representamos geométricamente así y definimos el argumento. El argumento es el ángulo formado por el número complejo y el eje real. Por otro lado, definimos el módulo de Á más I beta, que es igual a la raíz al cuadrado de A cuadrado más B al cuadrado. Y que debéis reconocer cómo la distancia a partir del punto cero. Siguimos con las definiciones formales. Sea A más I bet un número complejo no nulo. El módulo de Z es igual a la raíz de Z Z conjugado, que es igual a raíz de Á al cuadrado más B al cuadrado. Y, por otro lado, el argumento, que es un número real, tal que su coseno es igual a Á sobre módulo de Z y su seno es igual a B sobre módulo de Z. Tomamos nota de que, aunque el módulo puede ser el argumento, puede ser cualquier número real, ya que corresponde a un ángulo, añadir cada vez 2P al argumento, donde K es un número entero, da el mismo argumento. Ejemplos. El módulo de 1 es 1, su argumento es 0. El módulo de I es 1, su argumento es P sobre 2, 90 grados. Y el módulo de 1 más I es igual a raíz de 2, su argumento igual a P sobre 4. Siguimos con una proposición y vamos a ver que cada número complejo admite una expresión en función de su módulo y su argumento. Sea Z un número complejo, no nulo. Entonces, Z es igual a R veces cos Z más sin T, donde R y T son el módulo y el argumento de Z. Hacemos la demostración. De A Z igual a A más I B, multiplicamos Z por el módulo dividido por sí mismo, obtenemos así esta expresión y entonces reconocemos el coseno y el seno del argumento, lo que nos permite de concluir. Ejemplos, estos son los ejemplos que hemos visto anteriormente. Quizás hayas notado que no hemos mostrado la interpretación geométrica de la multiplicación y lo hacemos ahora mismo utilizando los números 2I y 1 más I. Estos dos números complejos tienen argumentos P sobre 4 y P sobre 2 respectivamente y sus módulos son igual a raíz de 2 y 2 respectivamente. Bien, vemos que el módulo del producto es igual al producto de los módulos. Por otro lado, ya que el argumento de menos 2 más 2I es igual a 3P sobre 4 deducimos que el argumento del producto es igual a la suma de los argumentos. Una pregunta, os damos Z igual a 2 menos 2I y os pedimos de hallar cuáles de las identidades siguientes son ciertas. Os damos un momento. Bien, espero que hayáis visto que solo que hay dos respuestas correctas, estas son la segunda y la tercera. Y acabamos, seguimos con un ejercicio. Tenéis que mostrar para los números complejos de Z1 y Z2 aquí. Tenéis que mostrar que el módulo del producto es igual al producto de los módulos y que el argumento del producto es igual a la suma de los argumentos. Para ello, quizás necesitáis las identidades trigonométricas siguientes. Y acabamos el vídeo con la generalización del ejercicio anterior. De nuevo, os recordamos las igualdades trigonométricas. El coseno de una suma y el seno de una suma.