 اسلام علیکم جی تو آج final day ہے اس آج کا last lecture ہے calculus کا تو آج کچھ باتے ہیں کر لیتے ہیں تھوڑی سی mathematics کی بھی اور ساتھ میں کچھ ویسے ہی in general باتے بھی کر لیں گے آج کوئی خاص agenda وغیرہ نہیں بناتے کچھ ہیں باتے کرنے کی ایک دو topics ہیں جو دسکس کریں گے لیکن یہ کہ ویسی یہ دیکھتے ہیں کہ جتنی باتے ہیں کرنے کی start کر دیتا ہوں آج میں اور جتنی topics کا وروسہ کہ ہم کر لیں گے تو تھوڑا سا flexible رکھتے ہیں اس کو آج آخر لیکچر کو کیونکہ آج آج ہماری اور آپ کی آخر ملاقات ہے تو تھوڑا سا touchy moment ہے کیونکہ اس کے بعد ہم نہیں ملیں گے لیکن یہ کہ چلیں مزایا it was fun to have this interaction between you guys students and me myself I hope you enjoyed this also very much اب یہ ہے کہ اب اس لیکچر میں کیا بات کریں پھر سوال یہ ہے تو ٹیکہ کچھ topics میں بھی دسکس کریں گے لیکن in general میں تھوڑی سی math کے بارے میں بات کرنا چاہ رہا تھا کہ mathematics کے حوالے سے کہ یہ کیا چیز ہے اور وہ باتیں ہم پہلے بھی کر چکے ہیں میں نے کئی دفعہ پہلے بھی کییں لیکن کچھ ہور کر لیتے ہیں تو جناب mathematics کی یہ پہلے course یہ جو course تھا ہمارا آپ کا جو ہے math 101 تو اس میں یہ ہے کہ ہم نے calculus کی بات کی calculus پڑھا تو اب یہ ہوگا بہت سے لوگوں کو شہ سوال لوگوں نے پوچھا بھی مجھ سے بلکے اور بیسے بھی پوچھتے رہتے ہیں میرے باقی students بھی جہاں میں پڑھاتا ہوں کہ جی calculus کیا چیز ہوتی ہے اور calculus کے لیوہ mathematics میں کیا کچھ ہوتا ہے اور سب سے مدے کا سوال یہ ہوتا ہے جب لوگ پوچھتے ہیں مجھے کہ سار آپ calculus پڑھاتے ہیں تو آپ مجھے discreet math پڑھا سکتے ہیں یاگر آپ discreet math پڑھاتے ہیں تو آپ مجھے calculus پڑھا سکتے ہیں تو یہ ہمیشان کا مجواب دیتا ہوں کہ یہ بڑا میوزنگ سے سوال ہوتا ہے میرے لیے کیونکہ ظاہر ہے جب بندہ ایک ہائر دگری لے کے آتا ہے mathematics میں اور اس لیوہل تک پہنچتا ہے تو that person should be able to teach most of math ساری جتنی mathematics ہے بہار research لیوہل کے علاوہ جو ٹیکسٹ میں پڑھائی جاتی ہے ٹیکس بوکس کے ترو یا academic environment میں پڑھائی جاتی ہے تو وہ obviously one should know that تو اس سے تھوڑا سے یہ ظاہر ہوتا ہے میں نے اس لیے اس issue کو اس point کو ریس کیا کہ بہت زیادہ تر لوگ جہیں وہ سمجھتنیس ان کو ہوتی کہ mathematics سال میں کیا چیز ہے اور کیا مقصد ہے اس کا تو خاص طور پر میں نے یہ نوٹ کیا ہے کہ students پوری دنیا میں بلکے جہاں جہاں میرے interaction ہوا یہ students کے ساتھ تو وہ یہ ہے کہ جی mathematics سے کیسی چیز ہے جس کو ہم پڑھ لیتے ہیں ٹیکجی پڑھ لیا اور classroom میں ہم جاتے ہیں class میں بیٹھ کے teacher آتے ہیں میں ہاتھ پڑھائی ہم نے پڑھی انہوں نے جو board پر لکھا وہ ہم نے copy کر لیا انہوں نے جو باتے کیا اس میں سے 20% ہم نے سن لی سن کے 5% سمجھ لی اور باقی باتے جائے ہیں وہ پھر next period میں next lecture میں students آکے ہم کہتے ہیں کہ جی ہم کریں گے سنیں گے اور اس کے بارے میں غور کریں گے تو یہ attitude صحیح نہیں ہوتا اس سے آپ کو خاص طور پر mathematics میں actually اس ل میں تو یہ ہے کہ attitude کسی بھی سبجیک میں صحیح نہیں ہونا چاہیے اور ہوتا بھی نہیں ہے کیونکہ learning جو ہوتی ہے وہ میرے ایک teacher تھے ان کا کہنا تھا کہ real learning 90% of the learning جو ہوتی ہے وہ classroom سے بہر ہوتی ہے تو یہ میں شہت پہلے کہہ بھی چکا ہوں کئی دفعہ جب آپ سے میں stress کرتا تھا آپ کے اوپر کے جی اب آپ لوگ home work ضرور کیجے گا home work کے لعب جو بیسی Discussions ہوتی ہیں بیٹ کے آپس میں Class Fellows یا colleagues بیٹ کے بات کر لیتے ہیں اس کے لعب ہی ہوتا ہے کہ آپس میں نہیں تو کہہ لیں کہ کسی بڑے سے کوئی Prof. ہے آپ کے ان کے ساتھ ڈایم نکال کے office hour میں بیٹ کے بات چیت کریں ایسی بات چیت جو philosophy of mathematics کو آپ کو سمجھنے میں اسا وہ assist کرے اور mathematics ہی کیا ہر سبجیک میں ایسا ہونا چاہیے لیکن خاص طور پر mathematics سے زور دے رہا ہوں کیوں کہ obviously ہمارا ایت میری field ہے mathematics اور ساتھ ہی میں ہم پڑھنے اس لیکچرز جو گزرے پچھ لے اتنا سارے 45 لیکچرز ان میں ہم نے Math ہی بات کی تو اب یہ کہ اس میں Calculus ہے Calculus پڑھا ہم نے تو اس میں بھی ہونا چاہیے کہ آپ کو ٹھیکے لیکچرز تو ہم سنتے ہیں آپ لوگ انہیں سنے انٹریکشن بھی email کے ترو لیکن اسل لرننگ جو ہوتی ہے جب آپ کسی چیز کے اوپر یہ کسی topic کے اوپر یا کسی بات کے اوپر خود غور کریں اور غور اس لے کریں کہ اس لے نہیں کہ آپ جناب اچھے نمبر آئیں گے اگزم میں یا سائنونٹ میں اچھے نمبر آ جائیں گے اس لے کریں کیونکہ that's the point that is the whole point of لرننگ لرننگ کا یہ مقصد ہوتا ہے سیکنے کا علم حاصل کرنے کا کہ غور افکر کیا جائے غور افکر کریں گے تو دماغ کے اندر ہورائزنز اکسپینڈ ہوتے ہیں ظاہر ہے جو دماغ کی توسی ہوتی ہے اور کرییٹف تنکنگ دیوالب ہوتی ہے ایک طرح سے جسے عام طور پر کنولیوٹٹٹ تنکنگ بھی کہتے ہیں کنولیوٹٹٹ تنکنگ خاص طور پر میتھمیٹکس میں ضروری ہوتی ہے کیونکہ آپ کو وہ میں نے کہا پہلے شد بھی ایک دفعی اجامل دیتی کہ جی میتھمیٹکس میں جس سے مہاورا ہوتے ہم کہتے ہیں جی ناک کیوں پکرنی ہے یا ایسے گھما کے ناک پکرنی ہے تو ہم عام استلامیس کا ایک مزاک کے طور پر یہ کہتے ہیں جی ناک کو صرف ہوں پکرنا چاہئے اس طرح جو پکرتے ہیں گھما پھرا کے وہ غلط کام ہوتا ہے لیکن میتھمیٹکس میں ایسا نہیں ہوتا میتھمیٹکس میں بالکل اولت ہے جتنی گھما پھرا کے آپ ناک کو پکرنے گے امید یہ ہوتی ہے کہ اتنی زادہ زبدس کسم کی اور مزدار کسم کی اور کرییٹف کسم کی میتھمیٹکس کریٹ ہوتی ہے تو یہ چیز بہت ضروری ہے کہ جب اور یہ میتھمیٹکس میں کیا سائنس جو میتھمیٹکس سے ڈرائف کی گئی ہیں they're all physics ہے chemistry ویغرہ ہو گئی ان سب میں عام طور پر سائنسز میں یہ ہوتا ہے کہ جتنی زادہ آپ کرییٹف تنکن کریں گے ناک کو گھما پھرا کے اپنی ہاتھ کو اتنی زادہ more interesting اور positive results آن گے اتنی زادہ understanding بڑھے گی subject کی اور اگر آپ physics پڑھے ہیں تو اتنی زادہ understanding بڑھے گی کائنات کی of course تو یہ چیزیں تھوڑیسی philosophical background تھا ہمارے تاریخ میں تو یہی ملتا ہے کہ جی ہمارے جو sousphie گزرے ہیں تو ان کیا تو یہی ہوتا تھا کہ جی کتابوں میں اگر آپ پڑھیں کبی علم سکائیں تو ایک وہ تھے sousphie ان کے پاس ایک صاحب پوچھے اور نے کہا کہ جی آپ کے پاس سنائے کہ علم کا موتی ہے تو آپ ایسا کیجے کہ موتی آپ مجھے دے دیں تو sousphie نے کہا کہ اگر آپ کو دے دوں گا تو آپ اس کی اصل حیثیت کو نہیں جانچ سکیں گے آپ you won't appreciate the value of this pearl of knowledge تو ان صاحب نے کہا کہ چلیں آپ نہیں دیتے تو آپ مجھے بیچ دیجے sell it to me کہا کہ نہیں جی sell تو میں کرنی سکتا کیونکہ آپ اس کو افورڈ نہیں کر سکیں گے کبی it's very expensive چا آپ کچھ بھی دیں گے مجھے you will never be able to pay the appropriate price for this pearl of knowledge تو وہ صاحب بڑے پرشان ہوئے preplexed کے بھی میں کیا کروں آپ ہی بتائیے what am I supposed to do I would like to have some knowledge تو ان کا جواب بھی آیا sousphie صاحب کا کہ جی آپ وہ نے کہا کہ جس طرح میں سمندر میں چھلانگ ماریے سمندر میں کود جائیں اور علم کے موتی کو حاصل کر لیں تو یہ مزدار سی باتے ہوتی ہیں کہانیہ ہم نے سنی ہے بچپن میں اور ابھی بھی سننے میں آتی ہیں لوگ بڑے خوش ہوتے ہیں سن کے تو اور ہونہ بھی چاہیے کہ کتنی مزدار باتا ہے کہ واقی علم اگر حاصل کرنا ہے پروپر کسم کا سی طرح اس کو پریشیٹ بھی کرنا ہے اور ساتھ اساد اس طرح حاصل کریں جسے انہوں نے کہا کہ آپ کو سمدر میں پیس نہیں سکتے ہیں لہذا آپ ایسا سمندر میں حاصل کرنا ہے اور وہ طریقہ یہ ہوتا ہے کہ آپ جس سمندر میں یہ موتی ہوتا ہے اس کے اندر آپ چھلانگ ماردیں اور یہ سمندر کیا چیز ہے یہ سمندر وہ راستہ ہے جو آپ لیتے ہیں اس موتی تک پہچنے کی لئے یعنی جو تکلیفیں ہم سب اٹھاتے ہیں جب تالیم حاصل کرتے ہیں تو اس کے لیے ایک بہت تکلیف دے پروسیس ہوتا ہے فنانچل پرولمز ہو سکتی ہیں انٹلیکٹریل پرولم سب سے بڑی ہوتی ہے کہ جی کوئی علم حاصل کرنا ہے تو اس کے لیے دماغ کو ایک طریقے سے چینج کرنا ہوتا ہے نولیت جب آتی ہے تو ہمارے آئیڈیز ہماری تھوٹس تبدیل ہوتی ہیں اور اس کے اندر ایسا ہے جو ہمیں بچپن میں کچھ اور چیزیں بتائے گئی ہوتی ہیں ہم بڑے ہوتے ہیں یہ تو کچھ اور ہی دنیا ہے تو یہ یہ انالجی جو کہانی میں نے آپ کو سنائی سوفی کی اس کا یہ مقصد ہے کہ جناب جب علم حاصل کرتے ہیں تو this is the best way to do it آپ جاکے پیسے دیکھے علم حاصل نہیں کر سکتے نہ ہی آپ کسی سے چین سکتے ہیں there is only one way and that is to dive into the ocean of knowledge اچھا جی تو یہ تو ہو گئی ایک تھوڑیسی کہانی وغرہ سنا دیا آپ کو I hope that was fun اب یہ ہے کہ ہم ماثیمیٹکس کی طرف واپس آگا رہتے ہیں تو یہ سوال بہت سے لوگ پوچھتے بھی ہمش سے اور یقینان آپ نے بھی سوچا ہوگا کہ ہم کیوں پڑتے ہیں مات I mean what is the point عام طور پہ یہ سمجھا جاتا ہے جیسے ابھی تھوڑی در پہلے میں نے کہا کہ میں نے پوری عام طور پہ جہاں جہاں میں رہ چکا ہوں اس دنیا میں تو میں نے یہی نوٹ کیا تھا کہ پرحاتے بس میں نوٹ کرتا تھا کہ سٹورنٹس کا ایرتیوڈ یہ ہوتا ہے کہ جی مات پڑھنی ہے تاکہ نمبر آئے اور کچھ ریکوائیمنٹس ہے میرے یونیرسٹی کی جو مجھے پوری کرنی ہے اور اس کے بعد بس کتاب بند مات بہت مشکل چیز ہے کسی طرح رٹکے میں نمبر لے لوں بات ختم اس کے بعد میں اپنا جو میری اپنی فیلٹ کرئیر کی چوائیس وہ میں پڑھوں گا اور اس میں جاکے آگے جاکے اپنی جاکی تو یہ ایرتیوٹ غلط ہے کیوں کہ ماتھمیٹکز جہاں یہ بھی میں پہلے کہت چکوکہوں ماتھمیٹکز is the queen of sciences it is the queen out of which other sciences actually came out تو یہ آج کال بلک آپ دیکھ بھی سکتے ہیں کہ زادتر چیزیں وہ ماثمٹائز ہوتی جاہ رہنے یعنی میں میں نوٹ کیا کہ recent لی کے بائیولوجی جو ہے اب ایک پروپر فیلٹ بندی چکی ہے یعنی میں ماثمٹیکل بائیولوجی کی تو جہاں ہمارے ہمیٹیکل کے سٹوڈنٹس ہوتے تھے کچھر سے پہلے تک بائیولوجی کے سٹوڈنٹس جو کہتے تھے کہ ہمیں ماتھنی آتی تو ہم نے بائیولوجی پر لی تو اب وہ اس سے بچکے نہیں رہ سکتے کیونکہ ایوانن بائیولوجی آپ کو ماتھمیٹکز دیکھتے ہیں یہ جو کچھ ازمپلز ہم نے کیوں گی آپ نے بھی کالکلس کے سٹوڈنٹس تو جب اندیکریشن اور دیفرنسیشن کی بات کی تھی تو کچھ ایسی پرولمز آپ نے دیکھی ہوں گی یقینن جس میں یہ جو مدکل چارٹس بناتے ہیں یا مدکل کچھ فنومنہ ہوتے ہیں بیکٹیریہ گروت ہوتی ہے ان سب کے لیے آپ کو دریورٹف کی ایک پرپر اندسٹیننگ ہونی چاہیے کہ what is the derivative and what is the rate of change and how does it apply to بائیولوجی بائیولوجی میں بھی اپلائے ہوتی ہے اس کے لیوہا میں نے یہ بھی دیکھا تھا کہ ایک بہت ہائی لیوڈل میثمتکس کی ایک فیل ہے اس سے ہم کہتے ہیں not theory تو not theory بیسکلی آج سے کوئی دیر سو سال پہلے یا سو سال پہلے ایک بالکل لوگوں نے اس کو سٹڈی کرنا شروع کیا from a total theoretical point of view اور مقصد یہ تھا کہ جی just for entertainment کہ دیکھیں کہ کتنے طریقوں سے not سے بان دیں گے تو کتنے طریقے کی classifications ہو سکتے ہیں اس کی تو کوئی اس کے اندر application نہیں تھی کوئی وہ نہیں تھا کہ جیسے کوئی پیسا بنے گا یا کوئی اس کے انسانیت کو اس کا فائدہ ہو گا صرف صرف یہ تھا کہ intellectual level پے ایک طرح کی development ہوگی تو اب وہ تو انہوں نے بنالی اب مزے کی بات یہ ہے کہ آج کل کی دنیا میں آج سے 3-4 سال پہلے یا ہو سکتا اس سے تھوڑر سے پہلے کہ یہی not theory جو ہے یہ genetic studies میں جب ہم genes کی study کرتے ہیں biology میں یہ medical sciences میں تو اس کا بہت بڑا crucial role ہے یعنی اگر آپ کو genetic DNA ہوتے ہیں ان کے کچھ patterns ہوتے ہیں اپنے آپ کو nots میں tie کر لیتے ہیں تو ان کو اگر study کرنا ہے ان کی classification کرنی ہے اور یہ دیکھنا ہے کہ کس طرح سے یہ اپنے آپ کو un-not کرتے ہیں یعنی اگر کوئی gaunt بندی بھی ہے تو یہ کیسے کھولی جائے جل دزجل تو اس کے لیے ہمے not theory کی جو theory ہے اس کی بہت ضورت پڑھتی ہے تو یہ ایک اور ایک زام پہلے جان دیکھتے ہیں کہ of course mathematics is everywhere and even biology وہ ایک ایسا feel جس کم سمشتے دیکھنے جی یہ تو mathematics سے بہت دور ہے that itself is getting mathematicized and of course things are going to be much more wonderful obviously that's why it's getting mathematicized اس کے لعا economics کے بارے میں تو میرے خال سے کہنی کوئی ضورتی نہیں ہے اس میں تو جو کچھر سے پہلے 1950 میں آئے تھے انہوں نے totally mathematics کر دیا تھا economics کو اس سے پہلے بھی تھی لیکن کافی elementary level پہ تھی انہوں نے آ کے heavy duty math اس کے اندل لگائی اور آپ دیکھ لیں کہ آج economics کا بھی کافی اس میں فائدہ ہوئا economics کو theories بہتر ہو گئے calculations economic phenomena جو ہوتے ان کی calculation کافی اسان ہو گئے ابھی recent لیک movie آئی تھی about a mathematician who contributed majorly contributed to the development of economics اور اس میں آپ اگر وہ movie دیکھیں تو of course you will see that that was indeed the case and because of that economics has actually reached a very high level today تو جناب یہ باتی تو خیر ہو رہے ہیں hopefully اس سے تھوڑا ساپ کو idea ہوا ہو گا کہ یہ جو why basically do we study math and why should we study it properly as an intellectual endeavor not as something پاس ہونے نمبر لینے اور بات ختم جو بلکہ آپ میں سے cs پڑھیں جو computer programmers یا engineers بننا چاہتے ہیں ان کو تو میرے خالصے مجھے کنوانس کرنے کی ضرورت شہد نہ ہو اگر ہے تو اس میں یہ ہے کہ جی آج کل networking بڑی important ایک field computer networking اس میں سارہ جو کام ہوتے وہ mathematics کی ایک theory ہے graph theory اس کا سارہ ہاتے کہ graphs کیا ہوتے ہیں جناب یہ طریکے ہوتے ہیں جس کے ذریعہ آپ دیکھتے ہیں کہ shortest possible most efficient طریقے سے آپ کس طرح اگر آپ کو space میں کچھ point ڈیے میں تو ان کو کس طرح connect کر سکیں یہ وہی تھیوریے جو کچھ آر سے پہلے تک traffic flow اور دوسری engineering problems میں استعمال ہوتی تھی یہ civil engineering میں اب یہ computer networks میں بھی آگئی تو obviously اگر آپ computer science پڑھائے ہیں if you want to be a computer scientist you need to know what mathematics is all about and before you get into graph theory you need to understand what calculus is تو یہ ساری ایک sequential events ہوتے ہیں جن کو ہمیں follow کرنا پڑتا ہے لیکن وہی بات ہے کہ importance math کی بہت زیادہ even and but definitely in computer science اس کے لاوہ computer science میں یہ جو communication آج کل technology ہے communication کی theory ہے information theory ہے اس کے ذریعے ہم information technology develop کرنے تو یہ ساری بھی بیست ہے heavy duty mathematics پے یہ نہیں آپ کے جو computers ہوتے ہیں کوشن ہی ہوتا ہے کہ آپ سوال ہے کہ جی computer میں پر اگر کی دبائیں a کی letter a تو آپ کی سکرین پے a آجاتا ہے تو سوال ہی ہوتا ہے کہ کیسے آتا ہے اس کا جواب جن لوگ انہیں computer آخر ٹیکشٹر پڑھا ہے وہ کچھ ایسا ہے رفلی سپیکیں کہ ایک coded information ہوتی ہے computer کے اندر جس سے اگر آپ بٹن دباتیں a کا تو وہ signal جاتا ہے to a stored place جہاں پے a کی value stored ہوتی ہے اور کچھ processing ہوکے وہ سکرین پے a آجاتا ہے تو code جو stored ہوتا ہے computer memory میں a کا وہ کس فرم میں ہوتا ہے it has to be in the form of binary numbers یعنی 1 0 1 0 ان کی کوئی sequence ہوتی ہے ٹیک جی تو اب یہ ہمیں پتا ہے میرے خالص ہے کہ 0 1 0 ہوتی ہے computer کی ساری information is coded as 1's and 0's bits بغیرہ جلیں ہم کہتے ہیں تو سوال یہ ہوتا ہے کہ اگر میں ایک ایک ساری کارنٹی ہے کہ وہ جو a کیلیے اس کو as کی code بھی کہتے ہیں اگر as کی code میں information کوئی stored ہے آپی computer میں اور وہ a دباتا ہوں تو سکین پے a پرنٹ ہوتا ہے تو کیا گارنٹی ہے کہ وہ a ہی پرنٹ کرے گا امومن ہی ہوتا ہے کہ ہماری جو planet earth اس کے اوپر constantly bombardment ہوری ہوتی ہے سن سے سورج سے جو ہمارے particles آتے ہیں اس میں x-rays ہوتی ہیں neutrinos ہوتے ہیں اس طرح کے elementory particles ہوتے ہیں ان سے یہ ہوتا ہے کہ آپ کے جو electronic equipment ہوتا ہے اس کے اوپر ان کا affect ہوتا ہے اور وہ affect یہ ہوتا ہے کہ اگر آپ جیسے کمپیٹر میں کچھ information stored کی بھی ہے اس میں 0101 کے طور پہ آپ میں کوئی information لکھی بھی ہے تو یہ particles یہ کرتے ہیں کہ یہ آتے ہیں اور یہ interact کرتے ہیں آپ ایک کمپیٹر کی memory اور یہ a storage جو آپ کی element ہے عام طور پہ جو silicon ہوتا ہے کمپیٹر کے اندر چیپس ہوتی ہیں اس میں memory cells ہوتے ہیں اس کے اندر information ہوتی ہے ان کے ساتھ یہ interact کرتی ہے اور particles یا تو eject کرتی ہے silicon میں سے یا extra particles دے دیتی ہیں انہیں تو اس سے ہوتا ہے کہ آپ نے جو 0101 کو a storage کیا ہے اس میں سے کوئی ایک 1 جو ہوتا ہے وہ 0 بن جاتا ہے اور 0 جو ہوتا ہے وہ 1 بن جاتا ہے تو یہ اتنے frequent لی ہوتا ہے کہ اس کی probability بہت ہی ہوتی ہے کہ اگر آپ a punch کرتے ہیں کمپیٹر پہ کی بورٹ پہ تو a screen پہ نہیں آنا چاہیے most of the time probability اتنی ہائی ہوتی اس کی تو کیا وجہ ہے کہ ہم تو جب بھی پرنٹ یہ a punch کرتے ہیں تو ہمیشہ a ہی آتا ہے screen پہ اس کی کیا وجہ ہے تو جناب اس کی وجہ ہے کہ ہم ہماری دنیا میں fortunately بہت سارے زبداس کے سمکے mathematicians موجود ہیں تو انہوں نے یہ کیا کچھر سے پہلے کچھر سے پہلے سے مراد ہے کہ 50s میں جب کمپیٹرز انہوں نے ایک پروسیس نکالا error correcting codes کا which is based on algebra اور وہ codes ہی ہوتے ہیں کہ basically آپ نے جیسے اپنی information code کیوئی کمپیٹر کے اندر in the form of one zero's and etc ان کو انہوں نے کہا کہ اگر یہ codes جو وہ feed کر دیتے ہیں کمپیٹر کے اندر کسی طرح سے hardware میں اور اگر ایک zero one میں تبدیل ہو جاتا ہے تو وہ code جو انشور کرتا ہے کہ وہ read کرتا ہے اور پتہ ڈٹیکٹ کرتا ہے کہ یہ غلطی یہاں create ہوئی ہے اور واپس اس کو zero سے one پے کر دتا ہے اور ہی طرح اگر کوئی one zero میں بدل گیا ہوتا تو وہ بھی reverse ہو جاتا ہے تو اس سے یہ ہوتا ہے کہ probability جہاں میں نے کہا تھا کافی high تھی وہ ایسی ہو جاتی ہے کہ یہ اس کے switch ہونے error کی اکر ہونے کی آپ ایک کمپیٹر میں کہ once ایک error اکر کرتی ہے ایک million سال میں یعنی 10 lakh سال بعد ایک error اکر کرے گی تو یہ بڑے مزے کی بات ہے it's a very powerful tool یعنی ہم پوری دنیا میں بیٹھے ہے کمپیٹر استعمال کر رہے ہیں اور ہم کہہ رہے ہیں کہ بھائی واح کیا زبادہز مشین ہے لیکن ہم یہ نہیں سوچتے کہ اس کے پیچھے جو mathematics چل رہی ہے وہ کیا ہے اور کس نے عجاد کی اور کیوں کی اور کتنی زبادہز mathematics ہے اور ان کو کتنا appreciیٹ کرنا چاہیے اس mathematics کو بھی اور اس کو جس نے عجاد کیا اس کو بھی تو جناب یہ کچھ باتیں کچھ آج کے دن جو کے last lecture تھا تو میں نے سوچا کہ ان کو دیسکس کر لیا جائے یہ آپ کو بتایا جائے منشن کیا جائے تو اس کے بارے میں hopefully تھوڑا سا آپ کو interest develop ہوگا کہ جیہاں واقی mathematics is worth studying ابھی ہم نے calculus پڑھا ہے اور پورے پڑھتے رہے پچھلے 45 lectureوں میں تو ہو سکتا ہے اس میں آپ نے کوئی ایسی interesting بعد note نہ کیو گو کے میں نے کوشش کی تھی interesting باتیں بتایا جائے جیسے infinite intervals پہ آپ integrate کریں تو کچھ بڑے مزدار چیزیں کریٹ ہوتی ہیں تو اسی بیسیس پہ اسی calculus کی بیسیس پہ باقی math develop ہوتی ہے اور اس math کی بیسیس پہ آپ اپنے engineering applied sciences وغرہ کریٹ کرتے ہیں تو of course mathematics is the most important subject in science it's in fact ہم اس کو کہتے ہیں it's the queen of sciences اس کو اتنی ہی عزت دینی چاہی جتنی ایک queen اچھا جی تو یہ باتیں تو ہو گئی تو اب ایسا کرتے ہیں کہ تھوڑا سا کاج چونکہ لیکچر ہے اور time ہے ابھی تو اس میں تھوڑیسی ٹیکنگل باتیں کر لیتے ہیں mathematics کی power series اور infinite series وغرہ تو ہم دیکھی چکیں انی کے بارے میں تھوڑیسی اور بات کر لیتے ہیں جتنا time و اس کے حساب سے بات کر لیں گے اور کیا بات کرنا چاہتے ہیں چاہتا ہوں میں آج وہ یہ ہے کہ in regards to mathematics this course وہ ہے جناب tailor and maclaurin series تو چونکہ ہم series کی بات کر رہے ہیں ابھی تک اور tailor series یہ کیا ہے یہ بیسکلی جس طرح ہم infinite series دیکھ چکیں ابھی تک some of a bunch of sequence sequence of numbers اسی طرح tailor series بھی ایکوی چیز ہوتی ہے اور اس میں تھوڑے سے different لیکن اس کی جو جس طرح سے یہ آتی ہے it's a bunch of numbers that are together لیکن جو اس کی understanding ہے اس کا background ہے وہ کافی interesting ہے وہ تھوڑا سا اس کے بارے بات چیز شروع کرتے ہیں اور جتنا time permit کرے گا وہ تنی باتیں کریں گے اور اس کے بعد پھر ہم رکھ جائیں گے تو جی tailor series کے بارے ہم بات کرتے ہیں تو tailor series بیسکلی میں نے جیسے کہا کہ ایک series ہے basically اور with certain kind of properties تو یہ properties کی آئے properties کی ابھی دیکھ لیں گے کیا ہے لیکن motivation کچھ اس طرح سے ہے کہ جب شروع شروع میں calculus develop ہوا تھا تو ایک جو استعمال تھا وہ یہ تھا کہ جو کچھ functions ہوتے ہیں جن کو جن کی exact values عام طور پر معلوم کرنا مشکل ہوتی ہیں ان کو approximate کرنے کے لیے یہ series وغیرہ جاتیں یہ جو functions تھے ہمارے ان کو approximate کرنے کے لیے کچھ polynomials کی ذریعے ہم approximate کرتے تھے انہیں مثال کے طور پر اگر function ہے sign of x اور عام طور پر اس کا result کے rational value آتی جس کی exact value نہیں ہوتی تو اس کو approximate کرنے کے لیے ہم ایک نیا ایک different polynomial function define کرتے تھے اور پھر ان کے درمیان approximation دیکھتے تھے کیا ہے اچھا جی تو اب ایسا کرتے ہیں کہ یہ جو problem of approximating functions with polynomials اس کو لکھے دیکھیں کہ یہ ہے کیا اور اس کی تھوڑیسی understanding لیتے ہیں کہ کیا مقصد کیا ہے اس کا دیکھیں دیکھیں اس کو لکھے دیکھیں کہ جی اگر problem کچھی ہوں ہیں کہ ہم approximate کرنا چاہتے ہیں functions کو by polynomial functions تو given a function f and a point a on the x axis find a polynomial of a specified degree that best approximates the function f in the vicinity of the point a تو بیسیک لی مقصد یہ ہے کہ اگر میرے پاس point ہے x axis پے تو اس پے میرے function کی کچھ value ہوگی تو مجھے یہ کرنا ہے کہ اس function سے ملتا جلتا ایک polynomial ایسا بنانا ہے جو اس number a کے آسپاس جو نیبر ہوت ہے چھوٹا سا اس میں اس polynomial کا اور اس function کا behavior ایک جیسا ہو تو یہ problem ہے تو اس کے حوالے سے ہم دیکھیں گے کہ tailor series ایک بنتی ہے جس کو ابھی ہم سٹڑی کرتے ہیں تو اب اس میں ایسا کرتے ہیں کہ یہاں پہ دیکھیں کہ کوئی سپیسیکیشن نہیں ہے کہ ہمارے پاس function وہ continuous ہے differentiable ہے اور اس کے بارے معاو کے properties ہیں ہو سکتا ہوں ہمیں پتا نہیں فلحال ہم اس ان چیزوں کو اگنور کریں گے go کے ان کو ہمیں مدنظر رکھنا چاہئے but for the time being we'll totally ignore these and we'll continue and see what we can do in terms of this problem اچھا اب ہم اس طرح کریں گے کہ اب سوال یہ کہ ملتے جلتے function اور polynomial ہمیں چاہئے function تو ہمیں دیا ہوا ہے لیکن polynomial create کرنا ہے تو چونکہ ان کا behavior تقریبا برابر ہو ایک given interval میں around a certain point on the x axis تو ہم کس طرح سے یہ ملتا یہ جو ملاپ ہے ان کا ملتے جلتے behavior ہے وہ کس طرح سے سٹڑی کریں گے تو اس کو ہم اس طرح کریں گے ہم کہیں گے کہ جی derivatives کے بارے میں بات کرتے ہیں ہم یہ چاہئے ہم یہ چاہیں گے کہ at every point جو ہم under discussion ابھی ہوگا ہمارے کوئی بھی point اس point پر ہمارے function کے جتنے بھی derivatives ہیں وہ exactly وہی value ہون اس function کے derivatives کی at that point جو وہی value ہون جو polynomial کی derivative کی value ہوگی at that point یعنی اگر میں پہلے derivative لیتا ہوں f کا evaluate کرتا ہوں at a given point تو اس کی value ہونی چاہئے جو polynomial کے derivative کی value ہوگی at the point یہ اس سے یہ ہوگا کہ ہمارے ہمارے پاس ایک طرح کی ہم ملاپ چاہئے تھے ان کا ملتا جلتا ہم چاہئے کہ دونوں ہوں function اور polynomial وہ اس کے ذریعے ہم کر سکتے ہیں تو ہم کیسے کریں گے اس کو ہم لکنا شروع کرتے ہیں تھوڑی سی کچھ باتیں میں لک دیتا ہوں تاکہ ہم دیکھ لیں کہ ہم کیا بات کرنا چاہئے ہم جناب یہ چاہتے ہیں کہ ایک point لیتے ہیں فلحال ایسا کرتے ہیں point لیتے ہیں a equals 0 اور ایک polynomial لیتے ہیں p of x جو start کرتا ہے c0 سے اور جاتا ہے cn x to the n تک اب اس میں دیکھیں کہ اب اس میں ہم چاہتے ہیں کہ f of 0 جو ہو وہ برابر ہو p of 0 کے یعنی انشل ویلیو ایک طرح سکتے ہیں function کی جو 0 پہ ویلیو ہے وہی ویلیو ہو function کی polynomial کی at the same point سیملرلی ہم چاہیں گے پہلہ derivative function کا جو ہے 0 پہ وہ برابر ہو polynomial کے derivative کے برابر at the point 0 second derivative of f should be equal to the second derivative of p at the point 0 and so forth all the way to the nth derivative f of n 0 equals p of n 0 تو یہ ہم چاہتے ہیں کہ ہو یہ ہمارے requirement ہوگی اس کے ذریہ ہم بھی دیکھیں گے کہ ایک function کو کس طرح سے approximate کر سکتے ہیں ایک polynomial سے اور پھر ہم دیکھیں گے کہ all of a sudden we have a power series which we will have a special name for that power series namely the Taylor series تو یہ آگے چلتے ہیں اچھا اب ایسا کرتے ہیں کہ اب چونکہ derivatives کی بات ہو رہی ہے polynomial کے derivative اور function کے derivatives کو match کرنے at the point 0 تو polynomial کا general form تو ہمیں پتا ہے کیا ہوگی it'll be we know whatever polynomial it comes out to be it'll have some general form c0 plus c1x plus all the way to c and xn تو اگر this general form کھو ہم تو دیکھتے ہیں کیا ہوتا ہے تو آئی اس کو بھی لکھ لیتے ہیں because تو اس کو دیکھتے ہیں کیا بناتا ہے result اس کا results ہمیں پتا ہے کہ c0 plus c1x all the way to cn xn ہوگا that's the polynomial's general form اس کا first derivative ہو جائے گا c0 چونکہ constant term تھی goes away ہمہاں پاس ہاں براہ جاتا ہے c1x کا derivative ہوگا c1 c2x2 square کا derivative آجائے گا 2 times c2x اور اسی طرح پروسیٹ کرتے جائیں تو آخری طرم آجائے گی n cn x to the power n-1 یہ آپ کہو گیا first derivative second derivative جو ہے وہ آجاتا ہے جناب 2 c2 چونکہ c1 constant term ہے وہ غیب ہو گئی اور اس کے بعد plus 3 times 2c3x plus all the way to last term جاتی ہے n times n-1 cn x to the power n-2 اسی فیشن میں پروسیٹ کرتے جائیں گے تو constant terms 0 کو اپروچ کرتی جائیں گی ختم ہو جائیں گی derivative کے ذریعے اور آخری جو nth derivative ہوگا nth derivative سے مطلب ہے کہ یہ وہ derivative ہے جو highest power of n کے ساتھ مجھ کرتا ہے in terms of a degree تو یہ بنے گا n times n-1 تو یہ جناب آپ کے ہوگئے derivatives of the polynomial p of x اب ہمیں یہ کرنا ہے کہ اس کو match کرنا ہے with the derivatives of the function f at the point 0 تو اب تھوڑی سی calculations اور آئیں گی مزید regarding this stipulation we have تو اس کو بھی لکھنا شروع کرتے ہیں اب آپ کے پاس جناب یہ کرنا ہے ہمیں کہ f of 0 جو ہے وہ برابر ہونا چاہیے p of 0 کے تو p of 0 کی equation پتا ہے p of x ہمیں پتا ہے کیا ہے c0 سے لے کے sum ہے all the way to c and xn تو اگر اس کی جگہ xc کو 0 دال دیں تو جواب آتا ہے c sub 0 یہ آپ کی پہلی equality ہو گئی between f and p سیکن جو ہے وہ first derivative آپ لیتے ہیں f کا اور p کا اور 0 پر evaluیٹ کریں تو ان کو برابر آنا چاہیے تو آپ بیسکل کہاہیں کہ f prime of 0 جو ہے وہ c1 کے برابر ہوگا f prime of c f double prime of 0 should equal to the p double prime of 0 we know that to be 2 times c2 یا اس کو short form میں گلکنا شروع کریں تو اس کو ہم کہا سکتے ہیں 2 factorial c2 third derivative of f and p should be equal at 0 this is equal to 3 times 2 c3 اور in other words کہا سکتے ہیں 3 factorial times c3 short form میں چونکہ 3 times 2 times 1 جو ہوتا ہے وہ ہے 3 factorial کی برابر اسی طرح سے جو nth derivative ہے fn0 should equal to p of n pn0 and that's equal to n factorial cn اور اب دیکھ لی جے کہ this whole calculation yields the following result or the following values for the coefficients of p of x یا نہیں اب ہم coefficients بنا سکتے ہیں p of x کے لیے جس کی general form تو ہمیں پتا تھی لیکن اس کے وہ نہیں معلوم تھے coefficients تو یہ coefficients بن جائیں گے جناب c0 equals f of 0 c1 جو ہے وہ f prime of 0 کی برابر ہوگا c2 جو ہوگا وہ f double prime of 0 divided by 2 factorial اور in general cn جو ہوگا وہ ہوگا nth derivative of f at 0 divided by n factorial تو یہ ہوگیا جناب ایک طرح سے general form جیتی general equation ہمارے پاس تھی form تھی جو ہم معلوم کرنا چاہے جس کی ذریعے ہم اپرکسیمیٹ کریں گے تو اس میں اب یہ کرنا ہے کہ اس کے coefficients معلوم کرنے تھے c0,c1,c2 all the way to cn اس کے ذریعے ہم معلوم کر سکتے ہیں تو اب ہم نے دیکھا کہ یہ coefficients آجاتے ہیں in terms of the derivatives and the function evaluated at the point 0 تو اب ایک طرح کام formal result لکھ سکتے ہیں جس کو ہم کہیں گے جس کا نام ہوگا mclorin series tl series بعد میں آئے گی لیکن پہلے mclorin series دیکھ لیتے ہیں mclorin formula یہ mclorin polynomial بھی کلاتا ہی تو mclorin polynomial کیا ہے let's write it down یہ جناب ہے definition کے طور پر لکھتے ہیں اس کو if f can be differentiated n times then we define the nth mclorin polynomial for f to be p and x equals f of 0 plus f prime of 0 times x followed by all the derivatives evaluated at 0 all the way to x to the power n تو یہ ہو گئی جناب ایک طرح کہ آپ ہم جو کرنا چاہ رہے تھے کہ آپ nth ایک polynomial دیفائن کرنا چاہ رہے تھے which would be used to approximate the given function وہ ہم نے کر دیئے اب اس کی ایک example کر کے دیکھتے ہیں کیا اس کا فائدہ ہوگا ایک example ہے جی find the mclorin polynomial p0, p1, p2 for the function f of x equals e to the x تو یہاں پر آپ دیکھیں کہ جی first derivative second derivative اور جو nth derivative ہوں گے اس کے سارے e to the x رہیں گے چونکہ فنکشنی ایس ہے اور اگر 0 پر value کریں گے then سب کی value 1 آئی گی لہذا جو 0th polynomial ہوگا وہ ہم لکھ سکتے ہیں پی 0 x equals f of 0 which is just 1 so that's our first polynomial سیکن جو ہے وہ جو پی 1 of x جو بنے گا سیکن polynomial وہ ہوگا جناب f of 0 plus f prime of 0 x that turns out to be 1 plus x پی 2 of x جو ہے اسی کالکلیشن بھی آپ کے سامنے ہے and you get the result 1 plus x plus 1 half x squared تو اب ہم اگر اس کو لکھنا چاہیں nth اس کا اگر ہم کہیں گے جی nth McLaurin polynomial لکھنا ہمیں جس کیا اندر n terms ہوں تو وہ بھی ہم لکھ سکتے ہیں as f of 0 plus f prime of 0 x times all the way to the nth power of x and that turns out to be 1 plus x plus x squared over 2 factorial plus all the way to x to the n divided by n factorial اچھا جی یہ ہوگیا آپ کا McLaurin polynomial جس کے بارے میں ہم بات کر رہے تھے اسی سے ملتا جلتا ایک tailor polynomial بھی ہوتا یا tailor series جسے ہم بات میں کہیں گے تو وہ بھی لکھ لیتے ہیں اس کا فارملہ کیا ہے definition کیا ہے آئی دیکھیں tailor polynomial جو ہوتا ہے اس میں فرق سے فتنا ہوتا ہے کہ پہلے McLaurin polynomial میں ہم نے x equals 0 استعمال کیا تھا یہاں پہاں x equals some number a استعمال کریں گے and the definition is if f can be differentiated and times then we define the nth polynomial tailor polynomial for f at x equals a to b the following equation آپ کے سامنے لکھ ہی ہے it's the same idea as before except کہ یہاں پہاں 0 کی جگہ a آ چکا ہے اور x کی جگہ x minus a آ گیا ہے تو یہ بیسکلی جس طرح ہم نے series کی convergence کی بات کی تھی تھوڑی در پہلے power series کی اس میں پہلے ایک فارملہ دیکھا تھا radius of convergence and interval of convergence کی idea کی بات کی تھی اس کے بعد corresponding to that was the idea where you had a power series in x minus a تو اسی طرح سے یہاں پہلے جو مکلورن polynomial ہے وہ ایک x کے آسپاس ہوتا ہے tailor polynomial وہ was defined around x minus a اچھا جی تو اب سوالی ہے کہ ہم تو tailor series کہہ رہے تھے اور مکلورن series کی بات کی تھی tailor series کی بات کی تھی تو ابھی تک ہم نے دیکھیں چیزے یہ ان کی polynomials ہیں جس کے اندر finite powers of n ہے لہذا یہ finite series بن سکتی ہیں ظاہر ہے لیکن یہ کہ series کن سے آتی ہے تو series کے بارے میں اس طرح سوچ سکتے ہیں جیسے ہی ہم نے کہا جو polynomial ہے اس کو ہم use کر رہے ہیں as an approximation to the given function f اس میں یہاں کہ سوال یہاں کہ چونکہ n power تک ہم نے polynomial کی بات کی ہے تو جس طرح ویسے بھی limits کی بات کی تھی اور اس میں calculus میں ابھی تک ہم دیکھ چکیں کہ اگر n کی power infinite ہو جائے n کی value infinity تک اپروچ کرے تو کیا ہماری approximation بہتر نہیں ہو جائے گی تو جواب یہ کہ جیہاں بالکل بہتر ہو جائے گی مقصد یہ کہ if you take the limit as n goes to infinity your polynomial p of x might actually converge to the function f of x they might actually be the same thing تو یہاں پر ہمارے پاس ایک طرح کا Taylor series کا and Maclaurin series کا idea آتا ہے ہم ایسا کرتے ہیں وہ ایک special case a Taylor series کا Taylor series کے بارے میں بات کرتے ہیں اور اس کی definition آپ کے سامنے لگ دیتے ہیں دیکھتے ہیں یہ کیا ہے definition ہے جی کہ if f has derivatives of all orders at some point a تو چونکہ ظاہر ہے ہم n کو infinity تک لے کے جا رہے ہیں تو now n derivatives کی بجائے all possible derivatives کی بات کرنیے تو f bestipulation ہے کہ اس کے پاس all orders case کے derivatives exist کرتے ہیں at the point a then we define the Taylor series for f about x equals a to b the following series sum from k equals 0 to infinity f kth derivative at a divided by k factorial times x minus a to the power k اس کو اگر expand کریں تو یہ آپ کے پاس terminologies کی expanded form میں آ جاتی ہے اور یہ آپ دیکھی سکتے ہیں لکھیں بھی اچھا اب اسی Taylor series میں اگر ایک ہی جگہ میں 0 دال دوں تو obviously میرے پاس جہاں جا a ہے وہاں 0 جائے گا these things will collapse and you will get what is known as the Maclaurin Maclaurin series اچھا تو ایک ایک example کر لیتے ہیں involving Maclaurin series یا Taylor series کر لیں Maclaurin series دیکھتے ہیں کہ اس سے کیا فیضہ ہوتے ہیں تو example ہے جی find the Maclaurin series for e to the x and sin x تو اس میں اب ہم کہتے ہیں nth Maclaurin وہ ہمارے پاس تھا sum from k equals 0 to n x to the power k divided by k factorial اس کو expand کریں تو following polynomial اب اگر اس کے لیے ہمیں بنانا ہے Maclaurin series infinite series تو یہ بیسیکلی سیمپل سی بات ہے کہ sum لے لیں from 0 to infinity of the same formula and you get that what you see on the screen in front of you اب سیملرلی اگر ہمے زیادا اس کی ہمیں Maclaurin پولانومیل کہ تو نہیں Maclaurin series بنانی تو اس کے لیے ایسا کرتے ہیں کہ ڈریبیٹف زیادہ شروع کرتے ہیں تو نوٹ کریں کہ f of x اگر sin x تو اس کا first derivative جو ہوگا وہ cosine x ہوگا second derivative ہوگا minus sin x third derivative ہو جائے گا minus cosine x fourth جو ہوگا which is exactly equal to the original function sin x اس کے لیے کہا ان کو اگر آپ چار جو ہم نے چیزے لکھیں چار ڈریبیٹفز ان کو ڈریبیٹفز کریں at the point 0 تو Maclaurin چونکہ ہم سیریز بنانا چاہر ہیں تو یہ ڈریبیٹفز آتی ہیں 0,1,0 اور minus 1 اور اب نوٹ کریں کہ fourth derivative کے بعد یہ جو 4 پہلے ڈریبیٹفز ان کی ڈریبیٹفز ان کی ڈریبیٹفز ان کی ڈریبیٹفز آئیں یہ پھر سے 0,1,0 اور اگر ہمیسی تو لہذا ہم کہا سکتے ہیں اس کی سیریز وہ ہے جناب اس کے لئے پہلے ہمیں پولنویلز بنانا چاہیں تو پہلے 0 ڈیریبیٹفز پولنویل پی ڈریبیٹفز پی ڈریبیٹفز پی ڈریبیٹفز پی 1 ڈریبیٹفز وہ ہوگا 0 ڈریبیٹفز پی 2 ڈریبیٹفز ہوں گا 0 ڈریبیٹفز اور پی 3 ڈریبیٹفز وہ ہوگا 0 ڈریبیٹفز 0 ڈریبیٹفز 0 ڈریبیٹفز مینس 2 کے پلوس 1 فکٹوریل اور حیرتانیوں کا اندی سفرانشن ہے تو یہ جناب ہوگیا ایک طرح سے اپریکسمیٹ کرنے کا طریقہ فنکشن f of x equals sin x کو use مکلورن سیریز اور ہم دینا کرنا بیران جناب اب یہ ہو گیا ہیں آچ کی باتے اب وقت بھی ختم ہو رہے اور میرے خالی سے یہاں پہنے ہم ختم کرنے اس لیکچر کو تو کوئی حرج نہیں ہوگا ہی اس میں یہ کرتے ہیں کہ خیارات کیا کریں گے یہ یا یہ جو ہم نے بری بٹر جسٹاٹ کرتی ہے بلکی مذہب میں بیسک ٹیپرانٹس سے بات چیت start کی تھی پھر ہم نے جناب بیسک ٹیپٹس کی فرح کی تھی بیسک ٹیپین単 چیز ہوچی بھی بھی بہتا ہم نے جناب بات کی تھی دیفرنشل کالکلس کی ڈرویوٹیس کیا ہوتے ہیں ان کی ساری تھیوری ہم نے دیسکس کی پھر اس کے بعد جناب آپ کے پاس آئی انٹگرل کالکلس وہ ساری چیزے کیا ہوتی ہیں انٹگرل کالکلس میں وہاں پہ بلکہ ہم نے شہر نوٹ کیا ہوتے ہیں کم اس کم میں نے دو دیکھا ہم ایشا سے دیکھتا آیا ہوں کہ انٹگرل کالکلس زراہ سزادہ انٹرستنگ ہے کم پہلے دیفرنشل کالکلس اس کے اندہ زادہ جومترک چیزے دیکھنے کو ملتی ہیں پھر ہم نے تھوڑا سا سوچ کیا اور یہ سیریز وغرہ کے بارے میں بات سید کی انٹرمز of ڈیفرنشل انٹگرل کالکلس اپلائٹ توئے تو that was basically it آج کی لکچر میں بھی ہم نے تھوڑی سی بات کی سیریز وغرہ کی اس کے لہاں زادہ ضروری میرے لحاظ سے ہم نے جو تھوڑ چھوٹی سی دیسکشن کی تھی شروع میں وہ تھی تو hopefully آپ کو بات پسندہ ہوں گی maybe you'll think about that اور اب ہم لکچر ختم کرتے ہیں ساتھ ہی ساتھ بلکہ کورز بھی ختم کرتے ہیں اور مجھے بڑا مزایا اور hopefully آپ نے بھی انجوای کی اس کورز کو تو کہنا چاہئے کہ پیارے بچوں thank you for your patience with me and hopefully you'll have wonderful final exam جب ہوگا تو you'll have wonderful results thank you Allah Hafiz