 C'est ça. Sa trajectoire, c'est 0, 1 et moins 1 sur l'axe X, 2, 5 et moins 7 sur l'axe Y, et 1, moins 1 et 0 sur l'axe Z. Ça veut dire quoi tout ça ? Vous êtes nul en maths. De nombreux mathématiciens ont été mis à l'honneur au cinéma. Ramanujan dans L'homme qui défiait l'infini, Thuring dans Immutation Game, Ipati dans Algorah, ou Nash dans un âme d'exception. Mais il y a mieux que les biopiques pour parler de mathématiques. Les huit clots de science-fiction un peu gores, enfin je crois. C'est en tout cas ce que tente une trilogie de film canadien, la trilogie cube, composée de cubes réalisées par Vincenzo Natali, sa suite cube 2 hypercube de Andrége Assecula et le préquel cube 0 de Ernie Barbarache. Il semble qu'un remake soit en préparation, mais il n'a donné aucun signe de vie depuis 2015. Le synopsis de ces trois films est globalement le même. Des personnes qui ne se connaissent pas se retrouvent piégées dans un labyrinthe constitué uniquement de pièces cubiques et dont certaines recèlent des pièges mortels. Parmi les personnages enfermés se glissent toujours des matheux, sur lesquels il faudra évidemment compter pour comprendre les règles du labyrinthe. Pour cette vidéo, attardons-nous sur le premier volet, Cube 1, premier du nom. Un film à très petit budget, qui a tout de même eu un petit succès critique en décrochant trois prix au festival du film Fantastique de Gère Armée. Le film est sorti en France le 28 avril 1999, c'est-à-dire en même temps que B-Welf avec Christophe Lambert et le derrière de Véléril Mercier. Que vos cubes, je ne prononcerai ni sur l'aspect cinématographique, ni sur sa portée philosophique, puisque je n'ai aucune compétence dans ces domaines. Mais je peux au moins vous parler de l'aspect mathématique. Les explications que leur rencontre dans le film sont-elles convaincantes ou bien un simple charabiable pseudo-mathématique. Allons-y. Avant toute chose, il faut savoir qu'un mathématicien de Caroline du Nord, David Pravikha, a été consultant pour le film. Il a d'ailleurs écrit un article sur le sujet Cube the Mad Paper paru en 2003. Est-ce qu'il a bien été écouté ? C'est une autre histoire. Attention également, je risque de divulgager quelques éléments clés de l'intrigue du film, mais seulement ceux liés aux mathématiques. Bref, dans ce premier opus, on fait la connaissance de six personnages qui, par un étrange hasard, portent tous des noms de prison. Il y a un policier, un expert en évasion, une médecin, un architecte, mais surtout Johann Liven, une étudiante en mathématiques et, casant, un autiste qui servira à être expert en calcul mental. Ils sont enfermés dans le cube, un labyrinthe qui est l'assemblage de pièces cubiques toutes identiques, mesurant chacune dans les 14 pieds de côté. Au centre de chacun des quatre murs du sol et du plafond, se trouvent des trappes menant vers des pièces voisines identiques via des couloirs d'1,5 pieds. On apprendra dans le film que ce labyrinthe possède une coque externe cubique dont les arrêtes mesurent 434 pieds et qu'il y a un espace large d'une pièce entre la coque et le cube. Un rapide calcul permet de dire que le labyrinthe est donc constitué de 26 cubes par arrête soit tout de même 17576 cubes en tout. 17576 pièces dans ce cube. En fait, les pièces ne sont pas tout à fait identiques. Il y a la couleur des murs qui diffère d'une pièce à l'autre et certaines contiennent des pièges mortels qui se déclenchent dès qu'on y entre. Pas de lien a priori entre les couleurs des murs et la présence des pièges. Un détail qui sautera aux yeux de Liven, la mateuse, c'est que chaque salle est identifiée par un triplet de nombre entier à 3 chiffres. Cette salle orange est numérotée 592 432 865, sa salle blanche voisine 645 372 649 ou cette autre voisine bleue 149 419 568. Il se trouve que cette dernière pièce est piégée, ce qui pousse Liven à conjecturer qu'une salle est piégée, si et seulement si au moins l'un des trois nombres numérotant la salle est un nombre premier. En effet, le nombre 149 est un nombre premier. Rappelons qu'un nombre entier est premier, si on ne peut pas l'écrire comme un produit de deux entiers plus petits, un nombre indécomposable en fait. Par exemple, 649 ça fait 11 fois 59. Ce n'est donc pas un nombre premier, tout comme 645, divisible par 5 ou 372, divisible par 2. La pièce blanche est donc une pièce safe. Vive les nombres premiers ! Vive les nombres premiers ! Si jamais vous veniez à être enfermé dans le cube, voici la liste des 168 nombres premiers inférieurs à 1000. Sinon, on peut savoir si un nombre inférieur à 1000 est premier, en essayant de le diviser par 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ou 31. Ce ne sont que 11 divisions à faire, on ne sait jamais, ça pourrait vous sauver la vie. Malheureusement pour l'équipe, la conjecture de Liven trouvera un contre-exemple après quelques heures. Une pièce dont aucun nombre n'est premier, mais qui est pourtant piégé. Le fait que les nombres en question ne soient pas montrés à l'écran ne nous aide pas vraiment à savoir pourquoi. En fait, les pièges ne sont pas identifiables par les nombres premiers mais... Mais non, ils sont identifiables par la puissance d'un nombre premier en fait. Dis comme ça, ça n'a rien de très clair et le film ne cherche pas forcément à l'être. Selon Liven, vérifier ce critère requiert des calculs astronomiques, ce que sait faire 14 ans, puisque il est capable de dire instantanément combien de facteurs possèdent un nombre donné. Combien de facteurs y a-t-il ? De 567. De... Avec les exemples énoncés dans le film, on comprend qu'il parle du nombre de facteurs premiers. Par exemple, 567 n'en possède que 2, puisque les seuls nombres premiers qui le divisent sont 3 et 7. Lorsqu'un nombre donné est une puissance de nombres premiers, comme 729 qui est une puissance de 3, alors il ne possède qu'un unique facteur premier, ce qui traduira la présence de pièges dans la salle. A noter qu'un nombre premier est un nombre qui ne possède qu'un seul facteur premier, c'est pourquoi la première hypothèse de Liven a été vérifiée aussi longtemps. Quand Liven dit que les calculs pour savoir si une pièce est piégée sont astronomiques, elle exagère un peu. Bien sûr, les calculs ne sont pas immédiats et le temps leur est compté, mais ce ne sont que, au maximum, 11 divisions à faire, ce qui est absurde de considérer comme astronomique. On peut d'ailleurs douter des compétences mathématiques de Liven qui sont assez fluctuantes. Elles commencent par trouver deux têtes, la décomposition 649 égale 11 fois 59, loin d'être évidente, puis hésite plusieurs secondes à savoir si 645 est premier, alors que c'est clairement divisible par 5. 645... 645... Il n'est pas premier. Les compétences de 15 ans ne sont pas en reste, puisqu'ils se trompent à plusieurs reprises sur le nombre de facteurs des nombres proposés, comme quand ils disent que 462 a 3 facteurs, alors qu'il y en a en réalité 4. Il y a quand même le facteur stress qui rentre en compte, je veux bien leur laisser le bénéfice du doute. Mais ce n'est pas la seule chose que nous apprennent les numéros des pièces. Le cube est tridimensionnel et le numéro des pièces est composé de 3 nombres à 3 chiffres, il semble qu'il y a un pas terme. Quand Liven apprend que le cube possède 26 pièces par côté, elle comprend que les numéros des pièces sont en fait des coordonnées cartésiennes codées, traduisant les positions x, y, z des salles dans le cube. En effet, la somme des 3 chiffres composant un nombre entier inférieur à 1000 est comprise entre 0 et 27. Pour déterminer les coordonnées, il suffit donc d'additionner les 3 chiffres composant chacun des nombres. Par exemple, la salle n°T 649, 928, 856 est en position 19, 19, 19 dans le cube. Puisqu'il y a a priori 26 salles par direction, Liven en déduit alors qu'il se situe à 7 pièces du bord. La suite leur donnera raison, le bord était bien à la place attendue. Il y a quand même plusieurs raisons de penser que les conclusions sont un peu actives. Déjà, comment peut-elle savoir dans quelle direction aller pour trouver le bord le plus proche ? Il y a quand même une chance sur 2 pour avoir 18 pièces à traverser au lieu de 7. On peut alors se dire qu'elle compare ses numéros à ceux des pièces voisines, mais c'est là que le bât blesse. La pièce voisine est n°T 517, 497, 565, ce qui correspond au coordonnée 13, 19, 16. Dans un repère cartésien, ces salles ne sont pas voisines. Ça aurait à mon avis dû lui mettre la puce à l'oreille. D'autant que le groupe traverse à un moment donné et sans se poser de questions, une pièce dont une des coordonnées est 27, sans que cela ne remette en cause de la hypothèse. Mettons à nouveau ça sur le compte de la fatigue et du stress alors. Ils comprennent leur erreur quand ils tombent sur une pièce qu'ils ont déjà visité, la pièce orange que j'ai évoquée tout à l'heure. Les pièces bougent. Mais alors, peut-on prévoir leur trajectoire ? Pour le comprendre, il faut étudier les permutations. En fait, les coordonnées des pièces que l'on calcule en ajoutant les chiffres correspondent aux positions initiales avant que le cube n'ait commencé à bouger. Pour connaître la façon dont les salles se déplacent, l'Ivonne comprend qu'il faut soustraire les chiffres 2 à 2 et non les diviser contrairement à ce que dit la BF. Prenons l'exemple de la pièce orange dans laquelle les personnages sont à présent. Elle porte les numéros 665, 972, 545. Oui, j'ai dit autre chose tout à l'heure, mais l'erreur de continuité vient du film pas de moi. Pour connaître les trajectoires selon l'axe des X, on fait donc 6 moins 6 égale 0, 6 moins 5 égale 1 et 5 moins 6 égale moins 1. Puis on fait de même avec les deux autres coordonnées. La pièce se déplacera alors de façon cyclique. D'abord de 0 unités selon X, 2 unités selon Y et 1 selon Z, puis d'une selon X, 5 selon Y et moins 1 selon Z, et enfin de moins 1 selon X, moins 7 selon Y et 0 selon Z. La pièce peut donc avoir 7 positions différentes dans le cube. Puisque l'on sait que la position de la pièce était 17, 18, 14, elle sera donc après 6 déplacements en position 17, 25, 14, comme le calcul et l'annonce Leven. Pour réussir à calculer cette position, elle a étudié celle des pièces voisines. L'une d'elles est identifiée par les numéros 666, 897, 466, ce qui donne 5 positions possibles, et la pièce d'en face est identifiée par 567, 898, 545, ce qui donne 7 positions possibles. Il suffit alors de chercher la combinaison qui rend les 3 pièces alignées, ce qui valide la solution de Leven. On doit cependant admettre que les pièces ne se déplacent pas de façon synchronisée. De nombreux problèmes se présentent alors. Déjà les 3 pièces alignées ont 25 comme coordonnées Y et non 26, et est donc bizarre que ces positions soient sur le bord du cube. Ensuite, la conclusion de Leven quant à la position actuelle tient compte du fait que les déplacements ne soient pas synchrones. Pourtant, elle conclut également qu'il reste peu de temps avant que le cube ne se remette en position initiale, une conclusion qui s'appuie sur le fait que les déplacements se font tous en même temps. Il y a aussi la troisième pièce voisine, dont le numéro est 656, 768, 462, et dont la trajectoire est invalide, puisqu'il est impossible qu'elle devienne voisine de la pièce orange. A incroir les notes de pré-production du mathématicien et en collaborer au film, ce numéro n'était pas celui qui était prévu. De même, les pièces orange-rouger bleues que l'on voit au début du film portent des numéros codant des trajectoires qui ne se rencontrent jamais. Bref, le groupe en déduit qu'il faut se rendre au plus vite dans la pièce, portant une coordonnée de 27 puisque c'est la seule pièce qui peut se retrouver à l'extérieur du cube. Et c'est là que les mains du déplacement des pièces deviennent vraiment incohérentes. Une coordonnée, disons lapsis X, égal à 27, ne peut être codée que par le nombre 999, mais dans ce cas, les déplacements selon l'axe X seront 0, 0 et 0. La pièce n'aura aucun mouvement selon cette axe. Elle est donc mécaniquement bloquée à l'extérieur du cube. Ces déplacements ne peuvent en effet se faire que sur le plan X égal à 27. Cette pièce passerelle ne peut donc pas se retrouver à l'intérieur du cube. Il est incohérent de pouvoir la traverser par hasard. Disons, pour sauver le film, que les règles ne s'appliquent plus pour cette pièce particulière. Mon avis sur cube est donc plutôt métigé. Au premier visionnage, les mathématiques qui y sont présentées semblent parfois être du charabiable pseudo-mathématique, dont les explications sont lacunaires et sortent de nulle part. La façon dont les pièges, les positions et les déplacements sont codés ne sont pas suffisamment explicités pour être compréhensibles du premier coup. Mais en fait, quand on prend le temps d'un peu plus s'y intéresser, on s'aperçoit que les règles du cube sont cohérentes et que non, les personnages ne disent pas n'importe quoi. La scène où Liven arrive à déduire la position de sa pièce à partir de celle de ses voisines est d'ailleurs mathématiquement valide et assez bien réalisée. Le problème, c'est que tout ça est gâché par une réalisation qui manque de soins. Quand on creuse le film, on finit par devoir excuser beaucoup trop d'erreurs de dialogue, de continuité ou de cohérence de l'univers par rapport aux règles énoncées. Et ça, c'est vraiment dommage. Je vais plutôt mettre ces erreurs sur le compte du stress et de la fatigue des acteurs et du réalisateur.