 – Merci Loïc, je remercie les organisateurs. On va inviter, vous voyez que le titre est en anglais et je vais continuer en anglais, mais je voulais juste parler un peu de contenu aujourd'hui. Donc ce matin, on a déjà entendu les plusieurs exposés sur les représentations galoisiennes. Donc je n'ai rien ajouté là-dessus, donc on peut supposer que c'est bien. Par contre, en ce qui concerne les formes automorphes, j'ai souvent l'expérience de rencontrer des gens qui disent qu'ils ont envie d'entendre parler de formes automorphes, mais après quelques minutes, ils s'en rendent compte que c'était autre chose qu'ils voulaient entendre. Donc je vais pas parler de ça. Non plus, donc je vais rester surtout avec ce qui réglit les deux. Donc ça c'est le premier point. Le deuxième point, c'est comme c'est un colloque qui réunit des historiens, ainsi que des mathématiciens, mon exposé sera un peu différent des autres, parce que les aspects historiques concernent plutôt ce qui va se passer dans l'avenir. Donc c'est comme ça. Et vous allez voir, ça n'est pas une blague, ça devrait poser des questions, un défi plutôt pour des historiens encore moins. Donc je vais pas ça en anglais. Enfin, je dois expliquer pourquoi j'ai fait un petit sondage auprès des anglophones, c'est qu'il faut voir si il préférait que je parle anglais ou français, évidemment. Si on pose la question de cette façon, il faut vraiment être masochiste pour pouvoir m'écouter, parler français plutôt qu'anglais. En tout cas, ils ont tous dit la même chose, donc je vais pas ça en anglais. Donc je vais parler d'une question compliquée. Je vais parler de trois points de vue plus ou moins en ordre, mais pas nécessairement en ordre numérique. Donc premièrement, comment les représentations de Nogawa et les représentations automorphiques sont et ne sont pas la même chose. Donc c'est une façon de parler des représentations automorphiques sans définir, ce qui est, je crois, la meilleure façon d'y aller. Secondement, les conjectures des anglais ou des programmes de langues et des conjectures relatives sur les représentations automorphiques impliquent des représentations de Nogawa et des représentations visseuses, c'est-à-dire de dire. Mais ils impliquent des représentations automorphiques. Et puis, ce qui peut être prouvé sur les représentations de Nogawa, c'est de cette façon. Donc c'est la partie qui n'est pas dans le futur, c'est beaucoup plus petit que le reste. Mais je vais commencer avec trois, parce que j'ai besoin d'expliquer ce scope, peut-être avec un petit peu de background, mais je dois pardonner si je suis incroyable. Donc le scope, l'une peut commencer, certainement, c'est la motivation pour certains des gens qui ont travaillé sur ça. Avec Hilbert's 12e problème, le Eugent Raum, parce que l'Eugent Raum a été mentionné ce matin. Donc, je vais essayer de donner une version de ceci, ce n'est pas nécessairement historiquement accurate, donc F est un ordre de nombre, puis, une façon de regarder ceci, c'est de trouver des générateurs explicits de, et je vais mettre un million, c'est optionnel, des extensions de F comme, bien, ici, again, des valeurs des fonctions spéciales. Et puis, c'est juste que c'est la seule partie, la autre partie, c'est de utiliser les propriétés de ces fonctions pour décrire la action galvanique. Donc, comme je l'ai expliqué ce matin, entre Connaker et Weber et les gens qui ont suivi le cas de F que l'Eugent Raum peut être compréhendé par des extensions cyclotomiques. C'est une extension de million, et puis des fields imaginaires quadratiques. Et puis, la continuation de cette théorie, par le Chimura et le Tanayama, et ils étaient certainement en pensant sur les lignes des problèmes de Hilbert-Hilbert. F, maintenant, est une extension d'un totally vrai field, et puis F, c'est totalement imaginaire, c'est-à-dire C.M. Et il y a un... Donc, sur la one-hand, il y a une théorie complète, mais ce n'est pas une réponse à Hilbert-Hilbert-Hilbert-Hilbert-Hilbert-Hilbert-Hilbert. C'est ce que j'ai envie de stresser. Donc, c'est une théorie complète, mais pas une théorie qui a été réquestée, mais pas une réponse complète. Mais, c'est la progression naturelle dans cette direction, et puis, si l'un s'éloigne un million, l'un peut ajouter la théorie Heiko Shimura pour ce que les récentes sont traînées dans les formes modulaires que je vais faire en l'an 1950. Et ensuite, en 1975, sur le occasion de l'anniversaire 75e des problèmes à Hilbert-Hilbert-Hilbert-Hilbert. Languages ont le papier Je pense que c'est sur des problèmes contemporains avec l'origine de la trompe jugante, dans lequel il a argumenté que les fonctions crossoutées, on regarde les actions des groupes de Gawa sur l'éloignage de l'éloignage de Shumura, et cela donne beaucoup d'extensions. Et si ce n'est pas ce que vous pouvez considérer pour être explicit, cela certainement donne une réponse à Part B. C'est une certaine façon. C'est-à-dire qu'il y a une relation entre la chameur de Shumura et les formes automorphiques. C'est-à-dire que c'est essentiellement la chameur de ce qui peut être dit en question 3. Et ce que je peux ajouter est que... Il propose, le langage propose, c'est un exercice extérieur pour beaucoup de gens, et le exercice a été passé pendant plusieurs décennies, et maintenant, c'est presque terminé avec des qualifications. En tout cas, c'est raisonnable de penser que c'est donné tous les exemples pratiquement disponibles. Et c'est limité par nature, par nature, c'est peut-être pas le right word to use with historians. Il y a des limitations intrinsiques pour les fields de la chameur de Shumura. Tout le reste de la question qui peut être questionnée est inaccessible à ces méthodes, et il n'y a pas de nouvelles méthodes sur le horizon. C'est ce que je veux dire. L'un ou l'autre développement, ce que je préfère, c'est l'analogue pour les fields de la chameur de Shumura, c'est la chameur de Shumura, et puis pour les fields de la chameur de Shumura, c'est la généralisation de l'Oubin-Tate théorie. Il y a beaucoup de choses qui peuvent être prises et qui ont été prises. Donc, en ce sens, en ce sens où personne n'était rêvant, ou bien qu'il n'était pas rêvant des fields de la chameur de Shumura, il y a beaucoup de choses qui peuvent être prises dans cette direction. Donc maintenant, je ne vais pas aller au point 1, mais avant que je sorte, par rapport à ce point de vue, peut-être que j'ai lu Jeremy Gray's book Plato's Ghost pour cette conférence, et donc j'ai peut-être influencé par sa vision de l'anthématique mathématique. Et à la fin, je l'ai juste descrivé, c'est la version de l'anthématique moderniste. C'est la chameur de Shumura, et de différentes versions. Donc la multiplication complexe, et tout ça. C'est à dire que tu commences, tu es tentant de classifier quelque chose, tu as un objectif spécifique, tu veux les classifier de quelque façon. Donc, en construisant des extensions, tu es tentant de les décrire. La version postmoderniste c'est la version que je vais vraiment parler, c'est de dire que tu as les représentations gaouas, qui ont quelque chose de plus grand, et puis tu as les représentations automorphiques, qui ont aussi quelque chose de plus grand, mais personne n'a aucune hypothesis sur ça. Et puis, on reflète les autres. Donc, ce n'est pas comme si l'un d'entre eux c'est la question et l'autre c'est la réponse. L'un est sa propre question et ils répondent à l'autre. Qu'est-ce qui se passe en pratique, parce qu'il y a des questions spécifiques, on commence avec une question sur ce, on traduit la question sur le canon, et on trouve une réponse qu'on ne pouvait pas voir sur ce côté, c'est le point 2. Et puis je vais essayer de dire quelque chose sur le catégorique. Je ne sais pas vraiment ce que c'est à dire, mais la version catégorique qui est en train de être développée quelque part. Donc, on commence avec la représentation de Gaillot. Donc, f est un ordinateur et généralement q, parce que je ne veux pas faire des primaires ideals. Et on a, c'est le groupe de Gaillot, le automorphisme a un espace vector sur c. C est un ring qui va généralement être une C ou une QP bar. Et, on commence, c'est absolument irréducible. On peut l'assumer. Et puis, comme Fontan explique, c'est, le rang est complètement déterminé à l'isomorphisme par les polynomaux caractéristiques. Et puis, il y a un déterminant de x minus rho de gamma I pour un set dents de gamma. Maintenant, je vais ajouter une autre hypothesis depuis qu'il n'est pas ramassé au-delà d'un set final. Leo Frobenius. C'est l'autre Frobenius. Et ces sont les éléments qui sont bien défendus à la conjugation. Et puis, le déterminant, les polynomaux caractéristiques, n'ont pas de différence. Donc, on est déjà exclu entre les représentations Gaillot qui sont rémifiées et qui ne sont pas partie de cette histoire. Donc, c'est un polynomial d'un degree n. Et ici, nous avons toutes les informations qu'on a besoin pour réconstruire la représentation Gaillot. Donc, si nous avons quelque chose sur ce côté, nous avons besoin d'utiliser la même collection d'informations. Donc, on s'appelle p gamma x. Donc, c'est p gamma p x x p x x. Donc, on a la collection p p x p s p s. Et puis, nous avons besoin d'associer des informations d'index de pi p et de pi p, ou p n s. Donc, avant de dire ce que pi p est, nous commençons par le cas n equals 1. Je vais retourner pour le cas n equals 1. Donc, le cas n equals 1, nous avons pi p. C'est juste la même chose qu'à la groupe Gaillot de qp, qui est parce qu'il n'est pas ramassé c'est la groupe Gaillot de fp qui est la même chose qu'à la de en fait, je suis trop excité donc, j'ai déjà dit ça donc, la groupe Gaillot de qp sont bienvenus à c star et puis nous avons par le reste de la map une inclusion avec une image dense et donc pi p c'est juste ça c'est juste pi p donc c'est convenu mais plus tard donc, la théorie globale et ça marche même si p est une s, c'est important donc, la théorie globale dit que la théorie globale donc, vous pouvez commencer avec la théorie vous pouvez commencer avec la collection de p et ça vous donne la même amount d'informations mais vous vous perdez quelque chose et vous perdez la facture qu'ils sont venus de quelque part donc la théorie globale de la même théorie si et seulement si la théorie globale vient de pi qui est un homomorphisme pour la groupe Gaillot de pi p star pour chaque pi p, donc la condition c'est ça c'est le reste de la condition que vous avez certainement une map qui a la facture dans les classes adultes et il n'y a pas de pas de risques pour les réels donc maintenant donc, qu'est-ce que pi p va être quelque chose qui contient exactement la même information comme ce qu'est le polynomial donc, convenant il y a une théorie ce n'est pas quelque chose qui a été étendu je ne suis pas sûr qui a été étendu en général pour les groupes réductifs ce que je vais décrire c'est de la langue mais ici, cette version c'est par rapport à Satake et Shimura pour GLN donc, cette n n'est pas equal à 1 et la collection de la collection d'un character de C star et chaque place que je mets qp, je peux mettre de l'équivalent n d'éléments donc r2 on va dire c, c'est que l'algebraique est fermée l'algebraique est fermée le character est 0 n d'éléments de c star puis il y a ce genre de statement il y a un simple procédure je vais le faire pour construire non, non, non ok, donc c'est donc, non, non, je veux juste dire oui, c'est de la politique oui, c'est de la politique et c'est où la politique est fermée et là c'est où la production commence c'est un constructeur irréluable eh bien, continuous mais dans la politique de la politique je vais dire admissible c'est ce que la substitue est pour continuous la représentation de кажется de c de in the sense that pi, chi of gl, zp, not zero. And this is, in fact, this defines a bijection between, well, semi-simple, n-dimensional, unrammified representations of the Gaula group of Qp. et des représentations irréducables de GLN2P. C'est notre pi p. C'est pi p. Pour retourner. Nous avons la règle. Et nous avons la pi n'est. La pi règle de x. La pi p de x. Je dois probablement mettre une règle là-bas, pour rappeler que c'est la pi n'est. Et ça, c'est exactement la même un set d'or de route de ce polynomial. C'est la même chose que le set de numéros. Et ça donne une collection de pi p de règle pour pi s. Et donc je peux donner pas une définition mais une description. Donc une description. Une représentation automorphique de GLN2P est une collection de pi p de règle pour pi p plus pi s. C'est la représentation de GLN2P. C'est la représentation de GLN2P. Comme ça, presque tous de pi p sont irrémifiés. Et nous devons généraliser cette condition de reciprocité. Et donc la propriété de la propriété de la reciprocité. Alors, quand j'ai rajouté le bord, qu'est-ce que je peux dire ? Cette propriété de la compétition est exactement ce que vous avez quand la forme modulaire se traduit dans le cas de GLN2P pour l'équation fonctionnelle de la forme modulaire. Mais c'est l'équation d'une très utile de généralisation. Donc, sans dire plus sur cette propriété, je peux déjà commencer pour faire des conséquences. Mais d'abord, je vais me remplir les items de missing. Donc, c'est le correspondant local. Donc, la correspondance de la p' peut être complétée pour une correspondance de des représentations en je dois dire que je veux dire le groupe Galois mais c'est pas assez, c'est le groupe Galois. Donc, c'est le groupe Galois. Il n'y a rien d'un peu n'est-ce pas n'est-ce pas qu'il y a d'autres audiences qui n'ont jamais vu ça. Vous essayez de m'inquiétenir des représentations de GLN2P et la correspondance est une bijection que il y avait une condition entre la classification de la correspondance et les eigenvalues ici. Et c'est naturel. Naturel avec respect à d'autres données. Naturel, en fait, ça signifie L et epsilon factor. Il peut aussi être une compétition avec la correspondance globale mais ça ressemble à un cercle visuel mais pas mais c'est un théorème qui n'est pas un cercle visuel. Et c'est une construction qui est très intérieure et peut-être bien être ad hoc mais on peut toujours espérer qu'il y a une géométrie plus fondamentale qui pourrait ne seulement une correspondance d'objectifs avec une structure mais une correspondance d'une plus géométrique ce n'est pas pour maintenant. Alors ça vous dit qu'il faut retirer la p, pas une s. Nous avons une collection de pi p et maintenant nous devons décider ce que c est. Donc si c est complexe pour tout p si c est c et puis pour p différent de l si c est ql bar qu'il devrait être ql bar plutôt que qp bar et puis nous devons ajouter la missing one, donc ici nous devons ajouter pi infinity et ici nous devons ajouter pi l et pi infinity et tout ce que je peux dire pour pouvoir établir la conjecture établir la conjecture que tout ce qu'il y a par cette procédure est une représentation automorphique. Donc la missing data la missing data c est le fontaine qui explique à la fin de sa parole dans cette version c est la version fontaine donc c est assume that row restricted so now let's say so there's nothing to say if c est c and then then there's an easy recipe so the recipe based on on on the action of complexe conjugation remember there's that element complexe conjugation basically tells tells us how to construct this in general so the fontaine assume that row gql is derame so this row is geometric two conditions one that is unrammified outside a finite set and then at this additional set at prime l has to be derame in the fontaine sense and then fontaine's functors applied to this give us pi l et pi infinity et now the conjecture fontaine major is that the collection of pi p et pi infinity fit together to an automorphic representation so that's the conjecture that includes the conjecture that all elliptic curves over q are attached to modular forms which is proved by wiles and then taylor and his collaborators and so this includes so this includes the statement and implying it occurs to me that nobody has mentioned whether yawa was ever expressed an interest in for most last year i'm not aware of that anyway there's my yawa question so now then i want to go back so this is just starting from representations with this property that means that they come from algebraic geometry what can you say about automorphic representations but you can start in the opposite direction so now very quickly this is a so there's the conjecture in the other direction which is so if pi is an automorphic representation of gl and well i even say f with pi infinity which i will not define any more than that word pi infinity is algebraic so this is a notion that was so gln so an automorphic representation of rf over q gln of the addels of of the addel well gln well yeah i mean yes when i say an automorphic representation this is just shorthand just the way of saying this representation so if pi infinity is algebraic and so this is a notion the correct notion for this was well i first it developed gradually through sales analysis of allatic representations and work of langons first formulated as a conjecture by clausel then there exists a compatible family of lambda let's say of lambda attic for allatic representations with the same that gives back pi by the previous construction there are results in both directions and the results are rather different in nature but before i say something about the results let me state try to give an answer to question 2 if i have time well one one striking fact that one knows a priori after proving it about automorphic representations and one doesn't know about galler representations up priori is that basically due to well i'm not sure i associate i attribute this to gelfan but maybe it's due to somebody else so the collection of such pi with pi infinity fixed and a given level means first the set of s and then fixed and then a degree of ramification or the conductor fixed so this would imply that so conjecturally and this is part of the fontaine meser conjectures the set of irreducible row with these properties that give rise to this collection properties essentially at s and infinity is finite so this is a very strong arithmetic claim about galler representations that as far as i know could not be established otherwise and by going to the automorphic representations and using this fact which is a fact i should say whatever automorphic representations are the field to which they belong is harmonic analysis so this is a theorem you can call it harmonic analysis or global geometry geometry of locally homogeneous spaces but anyway it's an analytic geometric theorem and it implies this conjecturally about galler representations let me go in the opposite direction i want to go in the opposite direction so i don't really have time to explore all the consequences so one thing you can do with galler representations that you can't do a priori with automorphic representations well you can add them and you can multiply them so let's multiply them so let's take r this is just an abstract representation this is just an algebraic representation of this non simple reductive group and suppose we have row 1 up to row this is a k from g of q or g of f whatever to gl n row i i equals 1 to k gl n i of your field so c let's say it's ql bar definite because c representation of values in c can be included here then r composed with the tensor product of the row i is is another representation and it has all the properties so we suppose that these are all geometric so assume everything works as planned so that row i corresponds to pi i let's assume these are irreducible to absolutely irreducible now comes an artificial hypothesis let's assume that this composite is still absolutely irreducible there's no reason to make that assumption but let's assume it's true suppose that suppose it's still absolutely irreducible then there should be a pi a pi of r composed with a tensor product of the row i now in fact even if this is not absolutely irreducible there is another way of doing this using Einstein series and so Langlans asked well this is really telling the story backwards because Langlans had already postulated and this is his real conjecture the functoriality conjecture without the galler representation but it motivates the galler it motivates the functoriality conjecture so given pi i gl ni q automorphique automorphique r sort of functorial transfer some new pi on gl n q so and this is one specific instance of Langlans functoriality more generally if you have a group and another group r then you have automorphic representations of well it's not of g it's of the Langlans dual complication that I've studiously avoided mentioning in the gln case it's irrelevant automorphic representations of g to automorphic representations of h so I mentioned this I mentioned this because this is a property of automorphic representations that mirrors a property of the galler representations and not the other way around but here I did not say I did not say that pi i is the kind that's associated with galler representation so here I dropped the I forgot to write it I intentionally dropped the algebraicity so here starting from representations in the glnis Langlans predicts the existence of such a pi and with this this in particular in particular for the tensor product you have r from gln1 cross gln2 to gln1 times n2 the tensor product representation in his Corvallis article he hypothesized he read this as he interpreted this as with all dual qualifications as a tensor product structure as a tensor category that is to say tensor category consisting of the technical term isobaric automorphic representations and the reason I mention this is that if you follow his reasoning to the end then this tensor category should be attached to the Tanakhian formalism should give this the Tanakhian formalism should give a a group of the category of the Tanakhian category but there is something missing but he hoped that whatever that something was was actually not missing and this hypothetical group is called the Langlans group he didn't call it that I think he did use a letter L didn't he he called it L though he did call it L et et et en en en en en en en en et oui oui , ah non non Non, mais j'ai pas écrit, mais j'ai dit que c'était un moment d'optimisme. Il y a différentes personnes qui ont essayé d'imaginer peut-être qu'elle peut être un fonteur cible, mais personne n'a la moindre idée. Non, bien sûr, à ma connaissance, personne n'a essayé. En tout cas, personne n'a essayé de démolir les conjecteurs de fonctorialité. Je pense que ça, c'est... Oui, oui, c'est pas... Donc il faudrait que ce soit beaucoup plus subtil. D'autres questions ? Peut-être dans l'enfie d'Arbou, je sais pas s'il y a du monde dans l'enfie d'Arbou.