 Ok, donc merci pour l'invitation. Donc quelques notations. Donc K, c'est une extension finie d'occuper. K0, c'est K, l'extension maximale non ramifiée d'occuper à l'intérieur de K. K, il va être à l'intérieur d'occuper bar, qui est la clôture algebraique d'occuper. C'est coupé bar chapeau. Epsilon n, c'est un système compatible de racine pépisanséenne de l'unité. Donc disons que c'est E, puissance dosipie sur pépisansène. On suppose qu'on a fixé un plongement de coupé bar dans le coupé bar. Et K, c'est le caractère cyclotomique du groupe de galois absolu de K. Donc c'est défini par le fait que sigma de Epsilon n, c'est Epsilon n à la puissance K de Sigma. Ok, donc la première fois que j'ai vu Fontaine, c'était un exposé au séminaire de l'ange poitou pisot en 85. Alors j'ai strictement rien compris. Sauf qu'il parlait d'un dosipie péadique et ça avait l'air d'être quelque chose de très difficile à comprendre. Enfin, à définir. Alors je vous rappelle le problème. Donc le problème, c'est le théorème de Tate. C'est que si vous regardez l'ensemble des X dans CP, telle que sigma de X, que ce soit qui de Sigma puissance K, enfin X pour tout Sigma dans GK. Alors ça, c'est K si K, petit K égale 0. Et c'est 0 si K est non nul. Donc pour K égale 1, ça dit qu'il n'y a pas de dosipie dans CP. Donc c'est le point de départ de toute la théorie en fait. Et pour K égale 0, ça c'est le thérème d'accentate. Donc le thérème d'accentate, il a une histoire amusante. Parce que si vous lisez la correspondance serre Tate, que je vous conseille fortement de le faire, il y a une lettre du 2 février 65, dans lequel Tate dit que c'est un exercice de montrer ça. Et ensuite il y a une lettre du 28 mai 65, dans lequel serre dit, «Depuis un certain temps, j'essaie vêtement de prouver ce que tu dis être un exercice. As-tu vraiment regardé ? J'ai d'abord cru que c'était évident, et plus j'ai regardé, moins c'est devenu évident, si bien que depuis quelques jours j'essayais plutôt de faire un contre-exemple. Bon, finalement c'est vrai, mais ça a pris quelques mois pour être démontré. Et maintenant on a trois preuves différentes. Ok, donc il n'y a pas de dosipie dans CP, donc il faut faire autre chose. Et alors je vais vous rappeler vite comment on fait. Donc il y a un anneau que fontaine note R, et que tout le monde note OCP bémol maintenant, qui est la limite projective pour X, pour le Frobenius, de OCP modulo P. Donc ça c'est un anneau parfait de caractéristique P. À l'intérieur il y a un élément epsilon, qui jouera un rôle particulier, qui est la limite, enfin notre suite, de Racine-Pépiscine 7e unité, qu'on a là-haut. Et il est complet pour une valuation, pour une valuation VR, qui est définie par VR d'un élément X. C'est égal à VP de X10, et X10 c'est la limite quand n t'envers l'infini de Xn chapeau. Donc les Xn c'est des éléments de OCP modulo P, on les relève dans OCP, et on prend la puissance pépiscine 7e. D'accord. Ensuite on définit un anneau A1, qui s'appelle W2R, aussi donc l'anneau des vecteurs de vite coefficient dans R. Donc si on a un élément X appartenant à R, on note t'achemuleur de X, son t'achemuleur, qui est en temps de t'achemuleur dans W2R. Et on a un morphisme d'anneau de A1 sur OCP, qui est surjectif, qui est définie par theta de somme de pépiscence n t'achemuleur de Xn. Donc tout élément de A1 s'écrit de cette manière là, de manière unique, c'est la somme de pépiscence n Xn chape. Voilà. Et donc ça c'est un morphisme d'anneau et l'idéal, le noyau, est un idéal principal. Il est engendré par l'élément XI. XI, c'est t'achemuleur de epsilon-1 divisé par epsilon-puissance 1 sur p-1. Et à partir de A1, on définit l'anneau B2R+, donc on inverse p en le compléter pour la topologie chape de theta-addique. Donc sur tout ça, on a une action du groupe de Galois. Ça c'est composante par composante là-dessus. Et ici, par comptorialité des lecteurs de VIT. Donc on a une action de G4 là-dessus. Et à l'intérieur, on a l'anneau B+, qui est l'ensemble des séries de la forme pour K, supérieur ou égal à 0, de XK, 6 puissance K sur K factorial, avec des XK dans A1 de 1 sur p, des XK envers 0, qu'en 4 envers l'infini. Donc là-dessus, on a une action de GK encore, mais on a aussi l'action du Frobenius. Pour R, on a l'action du Frobenius qui est juste X d'un XP. Ensuite, ça se relève à 1. Et ça, ça s'étend par continuité à B+, Chris, et les deux actions commutent. Je pense que c'est ce que Fontaine nous a raconté, sauf qu'à l'époque, il aimait bien mettre des B-vectors de VIT partout, etc. Donc ça devait être un peu plus compliqué que cette présentation. Et il y a une lettre de Fontaine à serre qui commence à introduire ce genre d'anneaux. Et à un moment, il dit il ne faut pas en avoir peur. Et dans la marge, il y a un serre qui a mis 6 pour une exclamation. Bon, maintenant, ça va. On les a vu tellement de fois que ça ne fait plus vraiment peur. Donc, on définit T, qui est le log du tâchement de Wepsilon. Donc par définition, c'est juste la somme que j'ai regardé à la 1 de poissonska-1 sur k epsilon-1 poissonska. Donc la série qu'on verge dans B plus Chris, c'est dans B de RAM+, et donc on a un élément de B plus Chris qui vérifie deux choses. L'action de Frobenius, c'est la multiplication par P et surtout l'action de Galois. Sigma de T, c'est qui de la poitée. Donc, ça résout le problème qu'on avait, à part le fait qu'il faut encore savoir que T est non nul. Donc ça, c'est le T égal à le 2ypi péadique de Fontaine. Alors, donc en fait, T, c'est une uniformisante de l'anneau B de RAM+, qui est une anneau de valuation discrète. Donc T est une uniformisante de B de RAM+, et donc, ce qu'on définit, on définit B plus Chris B plus Chris 1 sur T. Donc on a de nouveau les actions de GK et de Frobenius là-dessus, B de RAM égal B de RAM+, 1 sur T. Donc on a une action de GK là-dessus et on a aussi une filtration qui est définie par la filtration par les puissances de l'idéal T. Donc c'est T puissance I B de RAM+, et c'est une filtration qui est invariante par l'action de GK. Bon et finalement, on a la suite exacte fondamentale qui est le résultat principal qui permet de travailler une suite exacte fondamentale 0 occupée B Chris 1 B de RAM du lot B de RAM+, 0 qui permet de reconstruire QP à l'intérieur de B Chris en utilisant les structures qu'on a et qui commutent l'action de Galois. Donc ça c'est un résultat délicat. Tout ce qui précède c'est juste des définitions mais ça c'est un vrai théorème. OK et donc il y a 10 ans il y a eu un coup de théâtre qui était le résultat suivant c'est que TORM c'est que B Chris fit égal à 1 que les gens de notre BE en général est principal un anneau principal donc je dois dire que ça a beaucoup surpris les experts du sujet mais que ça avait été quand même préparé par des résultats de K, Laia et de Berger qui on va commencer à vraiment regarder la structure algébrique pas de B Chris lui-même mais de sous anneaux de Fontaine mais bref donc quand on voit les définitions là on a peine à croire qu'il y a quelque chose d'aussi simple va sortir mais c'est le cas de départ de la courbe de Farck-Fontaine de la courbe Farck-Fontaine donc la courbe de Farck-Fontaine elle est obtenue en prenant SPEC de BE donc ça aussi il a fallu quand même une certaine audace pour considérer que ceci pouvait être l'anneau des fonctions sur un objet géométrique donc SPEC de BE et on recole un point à l'infini et la suite qui est ici c'est juste donc ça c'est BE quelque chose qui envoie une fonction sur son résidu en l'infini à là bon et pour être complet on a la nos BST qui est B Chris B qui est BST plus de 1 sur T et BST plus c'est B plus Chris d'un élément U ou le U c'est LOG P au signe prêt mais en fait la vraie définition c'est que U c'est un élément de B2 RAM plus qui est défini comme étant la série appliquée à le Taich Miller donc on prend P P1 sur P etc donc ça c'est un élément de VR ça c'est un élément double VR et si on divise par P on obtient un élément on envoie par Theta fait 1 donc la série qui définit ça converge et donc ça converge dans B plus de RAM mais pas dans B plus Chris et donc sur BST il y a une action de GK parce que quand tu as regardé c'est fait pour mais ensuite on étend l'action de Frobenus en supposant que F2U est égal P x U donc on introduit une dérivation qui est la dérivée par rapport à U et du coup ce qu'on a c'est qu'on récupère B Chris comme BST N égale 0 donc on peut aussi récupérer QP à l'intérieur de BST en utilisant les structures additionnelles ce qui est très important donc je pense que c'était à peu près le contenu de l'exposé de Fontaine à part pour ce Theorem qui est beaucoup plus tard c'est 2009 ça et pour la construction de BST qui est aussi plus tard parce que c'est une réponse à une lettre à Jansen qui date de 87 ou 98 je sais plus ok donc moi ce qui m'intéressait là-dedans c'est donc j'avais vu Fontaine pour la première fois à DPP mais à l'époque je faisais pas du tout ce genre de choses parce que j'étais en thèse avec Coates et je m'intéressais à des fonctions L complexes de caractère de Hecke et par une circonstance bizarre je me suis retrouvé en thèse à Horset à Grenoble donc mon patron c'était toujours Coates mon patron officiel c'était Fontaine mais Fontaine lui il était à Minéapolis pour discuter avec Messing donc pendant un an je l'ai pas vu mais quand il est rentré en fait j'avais trouvé une formule de Bauxoll et en fait j'avais un fantasme et pour que mon fantasme marche j'avais besoin que la valuation P éadique de ce dosie pi P éadique soit égale à 1 sur P-1 donc ça n'a aucun sens comme ça mais je vais demander si une formule comme ça ça lui disait quelque chose alors il m'a dit oui alors du coup j'étais très encouragé alors pourquoi est-ce que je voulais que ça soit vrai ça parce que si vous regardez moi je me suis dit que peut-être il y avait des noms pour lesquels il y avait une formule du produit donc si vous regardez la formule du produit pour dosie pi donc vous prenez le produit de toutes les normes de dosie pi pour toutes toutes les valuations de Q donc c'est un peu pénible donc on prend plutôt le logarithm donc le logarithm il y a le terme V égale l'infini log de 2 pi et ensuite si cette formule est vraie on a moins la somme sur tous les noms premiers de log de P sur P-1 ok donc là on n'est pas très content parce que ça diverge mais c'est pas très grave les séries divergentes on sait leur donner des sens plus quand elles sont divergentes on peut leur donner le sens qu'on veut c'est ça qui est bien mais parce que formellement c'est quand même égal à log de 2 plus la dérivé de la fonction de zeta de Riemann en 1 donc encore une fois comme il y a un pool en s égale 1 ça n'a pas vraiment de sens ça truc mais maintenant tout le monde sait qu'il y a une équation fonctionnelle qui relie 1 et 0 et donc ça n'a pas de sens en 1 donc on regarde ce que ça donne en 0 et alors par définition on dit que c'est log de 2 pi moins zeta prime de 0 sur zeta de 0 et là miracle ça vaut 0 et donc qu'est ce que ça vous dit ? ça vous dit que ce produit il vaut 1 voilà donc j'étais très content de cette formule donc après j'ai fait d'autres choses avec mais alors d'où sortait la formule de 2yp égal à 1 sur p moins 1 donc en fait j'ai trouvé une justification dans l'article de Fontaine plus tard et le thérème de Fontaine est le suivant donc on note haut l'anneau des entiers de Qp bar on note omega 1 juste omega 1 de haut sur zp qu'est-ce que la justification intuitive de cette relation de zeta prime 1 ou de zeta 1 il n'y a pas de justification c'est juste une définition et la raison c'est qu'il y a une équation fonctionnelle entre 1 et 0 il y a un autre facteur mais celui là on l'ignore parce que la équation fonctionnelle c'est s va vers 1 moins s ah ok on ignore l'autre facteur on ignore l'autre facteur ah oui oui ça diverge oui c'est pour ça c'est une renormalisation donc là j'exagère j'ai pris cette formule c'était ma base et après on a une formule analog pour toutes les fonctions L d'article ok mais quand même c'est ça qui m'a donné espoir qu'on pouvait aller quelque part ok donc je continue pourquoi est-ce que vp est de 2yp égal à 1 sur p moins 1 donc le théorème de Fontaine c'est de le suivant je n'étais où ? ah oui et puis j'ai besoin de l'idéal a qui est l'ensemble des x dans cp pour lequel la valuation paddique de x est supérieure à la moins 1 sur p moins 1 donc le théorème de Fontaine il dit la chose suivante donc le premier c'est une trivialité il dit que si on pose t bar qui va être allé donc c'est la collection des d epsilon n sur epsilon n les déribus logarithmiques de nos unités là, la système compagnie donc ça c'est un élément du module de t de omega donc c'est juste que si on élève quelque chose à la puissance p la dérive logarithmique est multipliée par p et que si on applique galois à un élément à t bar on obtient qui de sigma pt bar donc on obtient une approximation de 2yp une incarnation de 2yp le deuxième point donc ça c'est rien le deuxième point qui est un peu le résultat intéressant c'est que en fait si vous regardez cp modulo a twist de tait donc ça veut dire tensorisé par cet élément ça c'est isomorph à omega et l'isomorphisme il est donné par la formule suivante donc si vous avez un élément p puissance moins n x tensor epsilon donc l'epsilon ça sera le générateur du zp de 1 n c'est un entier, x c'est un élément de haut alors vous lui associez la forme différentielle qui est juste x d epsilon n sur epsilon n donc un isomorphisme enfin on a une description complète des différenciels de quelle ère de haut qp bar et donc de là on en déduit que si on regarde tp de omega ça c'est l'idéal a tordu par 1 comme on dit le galoisien et donc vp de omega quand on inverse p cp de a comme module galoisien donc ça c'est ce qu'il y en trouve dans un petit article de 80 et dans asterisque il y a un complément à tout ceci c'est qu'en fait la différentielle est surjective surjective et donc si vous notez au prime le noyau vous avez une suite exacte en prenant une suite exacte normalement il y a le tp de omega qui va apparaître mais donc on obtient a de 1 ici ensuite on a au prime chapeau le complété paddique de haut prime ça va vers haut chapeau mais haut chapeau c'est juste au cp complété de haut chapeau zéro et en fait a posteriori ce qu'on voit c'est que le petit chapeau c'est a1 modulo k de theta au carré et le t le t bar qui est ici c'est vraiment l'image du t précédent modulo k de theta au carré et le vp de 2yp et galin sur p-1 ça correspond au p-1 qui est ici on peut diviser un élément bref ici on a une structure entière et et t bar lui il est exactement d'évaluation sur p-1 ok donc fontaine il était très content de ce résultat surtout il était très content de l'application donc l'application c'est que à partir de ça on a une construction très facile de la décomposition de hot state pour les variétés abéliennes donc vous prenez a une variété abélienne sur k ou prenez a un modèle sur ok mais le modèle on lui demande de rien donc un modèle aussi moche que vous voulez c'est pas grave c'est un modèle sur les entiers quand même propre ok modèle raisonnable mais pas lisse et ensuite on prend une forme d'un élément dans h0 de a omega 1 donc une forme différentielle donc ici comme on a un modèle ici on a une addition sur la variété abélienne mais sur le modèle entier ici il y a des dénominateurs qui apparaissent donc il va falloir multiplier par une puissance de p pour tuer ces dénominateurs donc le résultat c'est que si vous apprenez un élément un dans le module de taite de a donc vous pouvez représenter les unes par des éléments de a d'occupé bar vous pouvez regarder p puissance n évaluer sur un étoile omega donc un étoile omega c'est un élément de omega 1 et maintenant si vous regardez la collection des unes étoiles omega n quand vous m'utilisez par p puissance n où n a été choisi pour tuer les dénominateurs qui apparaissent dans l'addition ceci c'est un élément de tp de omega, ce tp de omega ici d'accord et donc ça on a dit que ça c'est inclus dans cp2 1 et donc ça c'est l'accouplement de hot state entre les formes éventiles invariantes et le module de taite a valeur dans cp2 1 voilà moi après il faut vérifier que ça donne une injection de cet espace dans les choses qui commuent à Galois mais l'argument est astucieux mais pas difficile vous pouvez aller lire dans l'article de Fontaine je pense que ça devrait être un des articles les plus faciles à lire de Fontaine ça lui là voilà donc après ceci j'avais ensuite besoin de calcul de valuation péadique de périodes de variété abélienne à multiplication complexe donc ça ça se réduit à la même chose pour les périodes de groupe formel formel à multiplication complexe mettons à multiplication formel et bon j'avais aucune idée de comment on pouvait calculer ça enfin ce dont on a besoin pour faire le calcul c'est d'arriver à calculer les logaritmes de ces groupes formels ok et donc ça j'avais aucune idée de comment on pouvait faire un truc pareil donc je suis allé voir Fontaine et là j'ai eu de la chance parce que c'était exactement le sujet de son cours PECO donc il avait écrit un astérisque sur le sujet donc il a commencé par me renvoyer à l'astérisque et puis ensuite il m'a donné la solution dans le cas que j'avais besoin donc ça a facilité ma vie à l'époque mais bref en utilisant son astérisque on peut calculer les logaritmes de ces groupes formels en connaissant juste le type CM et après il faut se battre un peu pour calculer la variation péadique des périodes mais c'est faisable bon j'avais prévu de vous donner la formule mais je pense qu'il vaut mieux que quelqu'un me pose la question à la fin si quelqu'un est intéressé groupe et divisible sur les corps locaux 77 non non non le haut prime prime celui-là c'est période péadique c'est bur c'est bur ok donc maintenant je vais parler de représentation semi-stable et filienne module filtrée donc si vous avez v qui est une cupé représentation de gk donc un cupé espace actuel dimension finie avec une action linéaire continue du groupe de galois absolu donc il y a deux invariants qu'on peut lui associer on peut lui associer le dst de v qui est bst dans ce v fixe par gk donc ça c'est un k0 v avec un phrobénus et une monodromie qui provient de ce qu'il y a là-dessus ça c'est un kev avec une filtration et donc en général ce qu'on a c'est que la dimension sur k0 du dst et c'est un k0 la dimension sur k0 du dst et inférieur ou égal à la dimension sur cupé de v et de v et on dit que v est semi-stable si il y a égalité si c'est égalité et si v est semi-stable en fait donc v est semi-stable ça implique le dé de rame de v qui est ici il est obtenu par extension des scalaires à partir de ak de dst de v donc finalement qu'est-ce qu'on obtient on obtient un phi n module avec une filtration quand on entend les scalaires ak et ça c'est ce que Fontaine appelle avec son apropos habituel un phi n module filtré donc les noms que Fontaine donne à ces objets sont pas très poétiques mais ils sont très descriptifs ok donc un phi n module filtré qui est de ce type là donc de ce type là du type dst de v d de rame ça c'est dit admissible et la question c'est est-ce qu'on n'a pas une description plus intrinsèque de ce que c'est qu'un module admissible et la réponse de Fontaine est la suivante conjecturale donc réponse donc vous partez d'un phi n module filtré d avec une filtration quand on entend les scalaires ak donc on va définisser deux invariants le rang de D qui est la dimension sur K0 du D et ensuite vous avez un autre invariant qui est le degré de D qui est donc défini comme étant Tn de D moins Th de D ou Tn de D c'est Tn du déterminant de D qui est de rang 1 maintenant et pareil pour Th Th de D de D donc maintenant il faut que vous dise comment calculer les deux invariants pour un objet de rang 1 et en rang 1 donc si on est en rang 1 on a D c'est K0 pour un vecteur alors ce qui se passe c'est que comme on est en rang 1 on a phi de E égal à lambda E pour un certain lambda et Tn de D ce sera juste la valuation périodique de lambda dans ce cas-là et sinon pour le Th pour lequel E est dans le fil I de la filtration mais pas dans le fil I plus 1 et on définit Th de D comme étant ce I pour terminer on définit la porte de D comme étant le degré de D sur le rang de D donc tout ceci c'est fait pour imiter les définitions pour les fibrer sur une courbe et pour une bonne raison donc la définition c'est que D est faiblement admissible admissible si la pente de D est nulle et la pente de tous sous objet est plus petite que 0 mu de D prime inferior au égal à 0 quel que soit D prime inclus dans D donc ça c'est pour, ça imite la définition d'un fibrer semi-stable de pente 0 sur une courbe et le théorème qu'on a démontré avec Fontaine, qui était une conjecture de Fontaine c'est que faiblement admissible c'est la même chose qu'admissible donc ça vous dit la chose suivante c'est que les représentations semi-stables de GK sont en équivalence de catégorie avec les fi n modules filtrés faiblement admissible faiblement admissible donc je vous ai déjà donné le foncteur, donc il y a un foncteur qui va dans ce sens là, qui est AV associe DPST de V et il y a un foncteur dans l'autre sens qui est AD on associe VST de D qui est le noyau de BST tensor D N égal 0 et B égal 1 vers B de RAM tensor D donc ça c'est au-dessus de K0 et on consciente du noyau fil 0 et le fait que les deux foncteurs sont inverses l'un de l'autre c'est dû à la suite exacte fondamentale qu'on avait avant je vais envoyer ça là-haut ok donc je vais parler un peu de notre preuve mais donc l'intérêt de ce théorème c'est que c'est impossible de décrire un objet à gauche et c'est très facile de décrire un objet à droite donc vu que c'est la même chose on y a gagné quelque chose quand même et sinon donc il y a une démonstration quasi tautologique logique en utilisant la classification des fibrés sur la courbe de pharque fontaine sur la courbe de pharque fontaine en fait, je pense que c'était le premier indice que cette courbe allait être importante parce que la démonstration c'est quasiment, on revient à la définition un file module filtré on associe naturellement un fibré sur la courbe qui est semi-stable de pente 0 et après on fait des traductions et on obtient le résultat mais c'est pas ce qu'on avait comme démonstration nous on avait un truc un peu plus pénible mais je dois dire que la démonstration de pharque fontaine et les limpides elle repose quand même sur la classification des fibrés qui n'est pas un résultat si trivial que ça donc on a mis toutes les difficultés dans cette classification mais bon, comme c'est un résultat fondamental qui a beaucoup d'autres applications c'est très bien de l'avoir mais donc nous ce qu'on avait c'est qu'on avait quelque chose qu'on appelait le lemme fondamental donc ça je pense que le lemme fondamental ça avait été appelé comme ça pour faire râler l'aumon mais mais bon c'est quand même un résultat utile donc u u, c'est b, c'est y, c'est p et la suite exacte fondamentale que j'ai écrite au début vous faut venir une suite exacte comme ça c'est p, 0 donc ça c'est theta donc ça vous fait que u ça ressemble à un cps bactériel de dimension 1 plus un cps bactériel dimension 1 donc ça vous direa un peu justifiera un peu ce qui vient donc le théorème il est suivant c'est si vous prenez alpha 1 alpha h des éléments de cp vous prenez v1 vh des éléments de b de ram plus modulo t au carré et vous supposez que la somme de i égale 1 à h de alpha i theta de vi est nul mais que la somme de i égale 1 à h de alpha i tenseur un theta de vi ça c'est différentes zéro dans un truc gigantesque c'est en 0 le cp tenseur cp donc cp tenseur cp au dessus de cp donc si ceci est vérifié vous pouvez définir un espace qui s'appelle y qui est l'espace des u1 uh dans u à la puissance h dont les projections par theta sont collinaires au vecteur alpha 1 alpha h donc c'est theta de u1 uh appartient à cp alpha 1 alpha h et maintenant vous avez une application qui va de y dans t b de ram plus modulo t2 b de ram plus qui est juste euh u1 uh s'en va sur la somme des ui vi donc on l'appelle rho alors le theorem c'est que alors rho est surjective et le noyau est de dimension finie sur cp et la dimension du noyau est exactement égale à h donc si vous regardez bien euh donc dans y c'est à l'intérieur de u puissance h h c'est un entier et euh il y a u puissance h moralement c'est dimension d sur cp et dimension d sur 1 cette condition ça fait qu'on obtient un objet qui est de dimension 1 sur cp et dimension h sur qp je vais donner des justifications un peu plus précises à ça et l'énoncé qui est ici c'est compatible avec ça puisque vous obtenez que c'est surjectif sur ceci qui est juste isomorph à cp foité donc ça ce résultat ça nous permettait de changer la filtration sur le phi module filtré et pour se ramener finalement à une filtration pour laquelle on pouvait traiter le résultat par exemple groupe formel, amplification formel ou théorite de fontaine messine donc la stratégie de preuve euh en changeant la filtration comme ça c'était une stratégie une stratégie que fontaine avait essayé de développer dans son cours à l'ihp mais il a dans son cours à l'ihp en 97 il avait une variante de cette stratégie qui fait intervenir la notion de presque cp représentation de gk donc est-ce que c'est une presque cp représentation de gk, w c'est un cupé bannard avec une action continue de gk cupé linéaire continue de gk et en plus on demande que w soit presque isomorph à une cp représentation donc on demande qu'il existe un w prime qui est une cp représentation donc une cp représentation c'est un cp espace vectoriel de dimension finie muni d'une action semi linéaire continue de gk d'accord et on demande qu'il existe un v à l'intérieur de w et un v prime à l'intérieur de w prime donc on demande que v et v prime soient stab par gk on demande que v et v prime de dim finie sur cp et surtout on demande que quand on consciente on obtient une la même chose donc v modulo w modulo v est isomorph à w prime modulo v prime en tant que représentation de gk normalement ça vous dit que une presque cp représentation c'est vous partez d'une représentation vous rajoutez un morceau de dimension finie sur cp et vous conscientez par un morceau de dimension finie sur cp d'accord donc c'est quelque chose qui est une cp représentation et quelque chose de dimension finie près et donc fontaine a obtenu un certain nombre de résultats donc un des résultats à la base de la théorie le joli résultat suivant qui est que rom de gk de cp dans cp donc vous regardez les morphismes de cp dans cp qui sont continu et qui commutent à l'action de gk il y en a qui sont évidents c'est juste la multiplication par un élément de k et l'autorème de fontaine dit qu'il n'y a rien d'autre ok donc ça c'est un résultat qui est assez impressionnant parce que si vous remplacer cp par qp bar ici ça devient totalement faux par exemple vous pouvez fabriquer une trace normalisée de qp bar vers qp qui commute à l'action de gk et et l'autorème de taitre que j'ai signalé au départ c'est le même théorème, celui que serre n'arrivait pas à démontrer c'est le même résultat mais en mettant cp ici à la place d'accord c'est rom, cp linéaire c'est un résultat de fontaine c'est que si on oublie l'action de cp en fait elle est quand même encodée dans l'action gk de galois dans la définition le w dimension finie voilà après on peut relâcher ses conditions ok et il y a un théorème donc il y a ceci et il y a une remarque qui est profonde c'est qu'en fait on peut supposer que w prime est vraiment isomorph à cp puissance d donc la représentation trivial on peut supposer que c'est trivial donc ça c'est pas évident par exemple c'est pas évident a priori que cp21 qui est une représentation soit presque isomorph à cp en tant que représentation de gk il y a une jolie construction de fontaine qui dit ça donc le théorème principal de la théorie c'est que c'est que les choses se passent bien on définit la dimension de w comme le couple dim de w hauteur de w ah y a je voulais faire de la publicité donc ça c'est une théorie qui l'a développé dans son cours ensuite il y a un article documenta matematica dans lequel il développe la théorie et là il y a un article le dernier article qu'il a écrit et qui va apparaître au Tunisian journal Jofmat donc il réinterprète ces objets en temps herme de faisceau cohérent sur la courbe de Fark fontaine et ça va apparaître dans le volume de décembre moi et j'ai corrigé les épreuves hier donc normalement ça devrait être sur le site du journal ce soir ou demain bon bref la dimension de w donc vous partez de ça c'est la dimension sur cp du w prime et la hauteur de w vous partez de ça et c'est la dimension sur qp de v prime moins la dimension sur qp de v non c'est le contraire donc le théorème c'est que ça ça dépend pas des choix qu'on a fait ici parce que a priori il y a une infinité de manière de représenter le même objet mais par contre ça c'est un invariant donc bien défini pas des choix et surtout le résultat qui fait marcher la machine vraiment c'est que si vous avez w1 w2 de telles objets et que vous avez une flèche de w1 d'envers w2 alors vous avez la formule habituelle donc le noyau et l'image sont aussi dans cette catégorie donc rf imf sont des éléments presque cp représentation cp représentation et vous avez la formule à laquelle tout le monde croit qui est que d'him de w1 c'est la dimension du noyau plus la dimension de l'image alors je dois dire que quand il a fait son cours à l'ihp ce qui est arrivé à démontrer c'était que la hauteur était bien défini parce que la hauteur on peut l'obtenir en calculant donc la hauteur elle s'obtient en utilisant des résultats de tête et le résultat de tête il va vous dire que si vous regardez la somme de i égale 0 à 2 de la dimension sur qp des hi gk à valeur dans w ceci c'est égal à le degré de k sur qp fois la hauteur de w donc ça c'est des résultats de tête qui permet de démontrer ça donc on peut retrouver la hauteur en utilisant des invariants galoisiens et il s'est battu pendant longtemps pour essayer de récupérer à priori ce qui est le plus facile à voir puisque c'est la dimension sur cp ça c'est la dimension du tout petit qp espace vectoriel qu'on enlève ou qu'on rajoute et il ne semble pas y avoir de manière purement galoisienne d'obtenir ce résultat donc la preuve elle utilise le lemme fondamental et aussi elle utilise des calculs de groupes d'extension parce qu'il faut montrer que les extensions qu'on peut obtenir sont d'une forme spéciale pour lequel le lemme fondamental peut être utile bon à partir de là il y a une démonstration relativement limpide de la conjecture faiblement admissible implique admissible juste par un calcul de dimension ça c'est ce qu'il a exposé dans son cours en 97 mais je vous voudrais vous parler d'un dernier chose donc je vais chanter donc la dernière chose c'est des résultats plus récents avec un dospinescu et une isiole dans son cours il n'a pas encore de montrer que le lemme possible implique ben non parce que ça ne marchait pas il ne savait pas démontrer que la dimension était additive dans les suites exactes c'est à dire modulo ce résultat il y avait une preuve mais donc ce dont je vais vous parler c'est les théorèmes de comparaison donc la raison pour laquelle Fontaine construit tous ces anneaux c'était pour fabriquer des termes de comparaison on l'a dit que c'est la comologie de Ram pour les variétés algébriques donc le résultat c'est le suivant la conjecture c'est la suivante si vous prenez une variété algébrique sur K donc la conjecture CST vous dit que vous avez un isomorphisme BST Tenseur H HR et TAL de X on étant l'escalaire à CP ou à QP bar ça ne change pas grand chose QP isomorphes ABST Tenseur comment je dis de Yodo Kato de X et ça c'est un isomorphisme qui respecte toutes les structures donc Frobenius, Filtration Monodromie et Action de Galois surtout les objets donc ça c'était la conjecture CST ça c'est une variante très optimiste de CST parce que ici j'ai oui oui non justement donc il fut un temps où on supposait que c'était projective lisse et ensuite que c'était propre lisse et ensuite que c'était propre avec un modèle semi-stable et maintenant grâce à Bellinson on peut enlever tout ça et donc c'est ce que je voulais dire donc ça c'est une conjecture et ces variantes qui ont suscité plein de travaux donc on va citer Frontaine Messing Faltings Yodo Kato parce que quand même il fallait définir cette homologie de Yodo non pour n'importe quel variateur donc Yodo Kato y a Kato, Pitsuji y a Nijol avec une autre preuve Yamashita dans le cas ouvert et finalement Bellinson donc l'énoncé qui est ici c'est dû à Bellinson et la comlogie de Yodo Kato il faut se bref il faut il faut utiliser les altérations de Deyong de manière astucieuse pour définir cette chose là ok donc ça c'est la situation dans le cas algébrique est bien comprise et donc maintenant on s'intéresse aux variétés analytiques analytiques sans bord donc les choses qui nous intéressaient c'était par exemple vous prenez le demi-plan de Drinfeld donc P1 et vous supprimez les points rationnels donc ça c'est le demi-plan de Drinfeld et c'est revêtement vous pouvez faire ça en dimension supérieure idem en dimension supérieure donc ça sera les espaces de Drinfeld et leur revêtement étal bref idem en dimension supérieure donc là on a deux conjectures conjecture A donc la conjecture A c'est qu'on a une suite exacte comme ça cp tensor omega r-1 de x modulo les formes différentielles qui sont dans le noyau de D ensuite on a la comologie proétale de x avec un changement de base à cp dans le qp de r le terme suivant c'est BST plus tensor la comologie de Yodokato n égale 0 phi égale pp sans serre et enfin le terme suivant c'est B de ram plus tensor chapeau HR de ram de x modulo phi r 0 donc cette conjecture on sait la prouver si c'est propre et propre donc si x est propre ça ça devient nul 0 si propre oui donc si x est propre ça c'est nul et on obtient la même recette que dans le cadre algebraique en fait la manière de reconstruire cette comologie à partir donc c'est ça c'est la formule qui donnait le VST de fontaine donc ça disait juste que la comologie étale c'est le VST de la comologie de de ram donc ça c'est ok si x est propre et c'est aussi ok si x est donc ça c'est avec vieil chat si x est Stein donc Stein c'est le contraire de propre à peu près donc ça c'est avec Gabriel aussi cdn donc ça c'est dans le cas où il y a un modèle semi stable sans modèle semi stable c'est dans ce qu'on est en train d'écrire avec vieil chat donc dans le cas Stein ce qui se passe c'est que ce terme là est nul donc tout est concentré dans le fil R ici et la conjecture B qui est qu'en fait donc ce qui est amusant c'est que comme vous pouvez voir cet espace il est beaucoup plus gros si votre variété algebraique n'est pas propre que ce qui se passe dans le cadre dans le cadre de la géométrie algébrique c'est un espace absolument gigante d'abord c'est un cp espace vectoriel et cet objet là il est aussi de dimension infinie mais on peut se demander est-ce qu'on peut quand même arriver à reconstruire cet objet à partir de la comologie proétale et la réponse semble être oui donc la conjecture B dit que si vous regardez les applications qui communiquent l'action de Galois hr proète de xcp qp de R et vous pouvez regarder les applications soit à valeur dans B de RAM BST ou même cp ok vous n'allez pas obtenir la même réponse à chaque fois donc ce que vous obtenez comme réponse ça devrait être ici la comogite de RAM mais de duale puisqu'on a pris des HOM donc hr de RAM de x duale ça ça devrait être la comogite de Yodokato cher Yodokato de x duale et ça si on est très optimiste c'est le duale des formes différentielles qui sont tuées dont la différentielle est nulle voilà et donc ce qui se passe c'est qu'en utilisant donc en utilisant c'est le duale topologique et commutant l'action de Galois uniquement des formes linéaires continu et donc en utilisant la théorie de presque de ces représentations cp rep en fait ce qu'on peut démontrer c'est que conjecture A implique les deux premiers points de conjecture B donc conjecture B pour B de RAM et presque pour cp ce qu'on a c'est qu'on a une filtration naturelle et on si on regarde la filtration naturelle et sur l'autre les gradus associés sont les mêmes voilà donc il est raisonnable de penser qu'on a cet isomorphisme là et donc en particulier un des résultats qu'on utilise de la théorie de presque ces représentations c'est le fait que ROM GK de cp dans B de RAM est nul donc ça c'est un des résultats de base et je vais m'arrêter là voilà dans la conjecture A quelle est la définition de l'HR de l'autre ? la définition c'est une vérité analytique je veux qu'elle soit lisse je vais pas supposer qu'elle a un modèle semi-stable mais je veux supposer qu'elle est lisse lisse sans bord c'est pas une vérité algébrique non non c'est pas une vérité algébrique et ben on utilise bon imagine si c'est un modèle semi-stable d'accord à son là non non non c'est un fini mais donc c'est une réunion ça va être imagine que ta variété est Stein par exemple si elle a un modèle semi-stable ça va être une réunion croissante d'affinoïde oui sur ocp même là ça va être sur ok tel qu'on la définit donc si ta variété est très grande tu vas peut-être pas avoir un modèle sur une extension finie mais voilà localement c'est recouvert par des choses que tu penses et à ce moment là tu prends après tu prends la comogie de la fibre spéciale en mettant des structures logarithmiques et si tu n'as pas de modèle tu utilises des altérations mais de Arthel et Temkin plutôt que celle de D'Eyong si tu ne fais pas comme D'Eyong si si ensuite et un pisseau d'anneau si si si ça c'est vieil chat qui fait ça c'est pas moi qui fais ça c'est un peu indirect un peu oui c'est un peu lourd mais après il faut pour le produit d'instruir completé par le sien de topologie oui oui mais on va attendre enfin là on fait tous les calculs dans la catégorie dérivée des espaces victorielles topologiques on aura terminé ces espaces condensés normalement ça devrait aller beaucoup mieux la question que tu voulais qu'on pose quelle est ta formule du produit pour un caractère de récabri non là c'est compliqué mais non moi j'avais une formule pour le logarithm le loge me suffit non pas le loge de la formule le loge du groupe formel ça va ça va moins ça va moins t'intéresser dans la formule du produit ça relie une dérivée logarithm de fonction L d'artine et des logarithm de périodes de variété abélienne de réque d'artine pardon d'artine oui c'est en s égale 0 pour les fonctions L d'artine c'est pas pour une variété abélienne c'est pour une variété abélienne mais c'est une formule qui ne voit les variétés abéliennes que sur cubar puisque c'est quelque chose qui te donne donc ça voit pas le caractère de réque le caractère de réque ça n'a variant plus fin