 Bonjour, merci beaucoup aux organisateurs pour l'invitation. Alors je vais vous parler d'un problème de temps de mélange sur des cartes aléatoires. Je vais commencer par parler un petit peu de la théorie des cartes aléatoires, donc c'est une théorie assez récente qu'il y a à peu près une quinzaine d'années, où le but est de construire des surfaces métriques aléatoires, et ce, par une approche discrète. C'est-à-dire qu'on étudie des discrétisations de surfaces aléatoires, et le but, enfin un des buts en quelque sorte, c'est de passer à la limite pour construire des objets continus. Alors qu'est-ce qu'on regarde comme surface discrète ? Un modèle naturel qui permet de discrétiser plein d'objets c'est de regarder des graffes, c'est ce qu'on fait ici en quelque sorte. Donc on va regarder, que l'appelle une carte planaire, c'est un Graf, Philly connex, qu'on va plonger dans la sphère, de telle manière que deux arrêtes ne s'intersectent pas. Bon, des manières de faire ça, il y en a beaucoup, il y en a une infinité, nous, ce qu'on veut vraiment savoir quelque chose de discret, donc on considère que deux cartes sont les mêmes, si on peut passer l'une à l'autre en déformant la sphère, comme les deux qu'on a ici. Et dans cet exposé, on va s'intéresser à une classe particulière de cartes qui sont des triangulations, c'est-à-dire des cartes où toutes les faces sont degré 3. Donc là, on a deux triangulations de la sphère qui sont la même et qui ont, donc ici, sept sommets. Alors, une manière de voir ça aussi, c'est de voir ça comme un certain nombre de triangles qu'on a recollé entre eux le long de certaines de leurs arrêtes pour former topologiquement une sphère. En particulier, si je fixe le nombre de sommets ou le nombre de faces, il n'y a qu'un nom fini de manière de faire ça et donc on peut faire des trucs naturels en probat, c'est-à-dire en prendre une au hasard de manière uniforme. Et c'est ça le genre de question qu'on se pose en probat sur ces objets-là. Donc je note Tn l'ensemble des triangulations de la sphère à N face ou à N sommet et Tn de infini, alors c'est une notation qui peut paraître un petit peu bizarre mais qui sera assez naturel un peu plus loin. Tn de infini, c'est une variable aléatoire uniforme donc une triangulation de la sphère uniforme avec un nom fixé de sommet. Et le vent de question qu'on se pose, c'est si je regarde une triangulation uniforme de grande taille à quoi ressemble ces propriétés, en particulier ces propriétés géométriques. Vous voyez qu'un graphe, on peut toujours le voir comme un espace métrique en munissant les sommets de la distance de graphe. C'est-à-dire la distance entre deux sommets, c'est la longueur du plus court chemin pour aller de l'un à l'autre dans le graphe. Donc, à quoi ressemble cet espace métrique discret aléatoire ? Alors premièrement, quelque chose qu'on utilise beaucoup c'est des résultats d'énumération exacts, qui sont du atote dans les années 60, donc c'est quelque chose qui remonte déjà un petit peu et qui sont utilisés un peu partout. Ensuite, la première question à se poser, si on veut des infos sur l'espace métrique, c'est quel est l'ordre de grandeur des distances ? On sait que les distances dans une carte à n sommets, dans une triangulation à n sommets, sont typiquement de l'ordre de n puissance un quart. Et puis, j'avais dit qu'un début de la théorie, c'était de construire des objets continu en passant à la limite. Effectivement, si je divise toutes les distances par l'ordre de grandeur, si je divise toutes les distances par n puissance un quart, j'ai bien à la limite un espace métrique aléatoire compact qu'on appelle la carte brunienne. Et puis, un résultat dont je vais avoir besoin un peu plus loin, c'est que cette carte brunienne, elle est bien homéomorphes à la sphère, donc on a bien construit que par un espace métrique aléatoire qui est homéomorphes à la sphère. C'est une partie des résultats marquants de la théorie. Plus concrètement, cette triangulation uniforme de la sphère, à quoi est-ce qu'elle ressemble ? Ça ressemble à ça. Ici, on a une triangulation de la sphère qui a été choisie uniformément parmi les triangulations à 10 000 sommets. Et ce qui va m'intéresser ici, ce n'est pas tellement les propriétés géométriques de l'objet qu'on voit sur cette image, c'est plutôt la manière dont cette image a été obtenue. Parce que ces résultats d'énumération de tot, ils nous donnent une croissance très rapide en n, le nombre de triangulations à n sommets, c'est de l'ordre de 12 racines de 3 à la puissance n. Donc, si vous prenez n égale 10 000, c'est pas possible d'écrire une par une toutes les triangulations à n sommets et puis d'en choisir une uniformément. Il y en a beaucoup trop. Donc, si on veut faire des simulations, il faut vous ruser un petit peu. Alors aujourd'hui, on dispose d'un certain nombre d'outils dont je ne vais pas trop parler, qui permettent de construire, de faire ces simulations de manière plus directe. Mais quand les physiciens ont commencé à s'intéresser à des surfaces aléatoires dans les années 80, ils ne disposaient pas de tous ces outils-là. Et ce qu'ils ont fait, c'est qu'ils ont utilisé des méthodes de Monte Carlo. Je rappelle le principe d'une méthode de Monte Carlo, c'est qu'on veut simuler une variable aléatoire selon une certaine loi. Et pour ça, on construit une chaîne de Markov qui admet la loi qui nous intéresse comme mesure stationnaire. Donc ici, la loi qui nous intéresse, c'est la mesure uniforme sur cet ensemble TN. Alors si on veut que ça soit quelque chose de simple à faire comprendre à notre ordinateur, il faut que cette chaîne de Markov soit la plus simple possible. Ici, à chaque étape, chaque fois qu'on fait un pas de notre chaîne de Markov, on fasse une modification très petite dans la carte. Donc une modification aussi locale que possible et l'opération locale qu'on va effectuer à chaque étape, c'est ce que j'appelle un flip. Alors qu'est-ce que c'est qu'un flip ? Partons d'une triangulation de la sphérité et foisissons une arrête E1. J'efface E1. Vous voyez que E1, elle séparait deux triangles. Donc si j'efface E1, j'ai une phase de degré 4 qui se forme dont je viens de supprimer une diagonale. Et maintenant, je remets l'autre diagonale à la place et là, je dis que je viens de flipper E1 et j'obtiens une nouvelle triangulation avec autant de sommets que j'appelle flip de TE1. Alors quand je dis ça, j'en remerc un tout petit peu. Il y a un cas où ça ne marche pas. C'est si j'essaye de flipper cette arrête E2 parce que quand j'essaye de flipper E2, là, j'ai un problème. Donc je dis que flip de TE2, c'est juste T dans ce cas-là, je ne fais rien. Sinon, je peux flipper ma racine ici. Si je veux flipper une boucle, ça ne pose pas de problème. Ça se passe bien aussi. Il y a juste ce petit cas qui pose problème. Donc à partir de cette petite opération locale, on va construire notre chaîne de Markov. Pour ça, on se choisit une condition initiale. Donc une triangulation de base. Alors pareil, il est la plus simple à faire comprendre à l'ordinateur. Moi, celle que j'ai prise pour les simulations, c'est qu'on prend deux pyramides et on les colle le long de leur base. Et puis, en partant de cette triangulation T0, à chaque étape, on choisit une arrête uniformément parmi les arrêtes de la triangulation et on la flip et on recommence. À chaque étape, on flip une arrête, choisie uniformément. On obtient donc une chaîne de Markov sur cet espace grand TN. Ce n'est pas trop compliqué de vérifier que cette chaîne de Markov admets la mesure uniforme comme mesure réversible et donc stationnaire. Et puis, on peut vérifier aussi que cette chaîne est bien irréductible. Ça en fait, c'est peut-être qui date des années 30, le fait qu'on peut passer de n'importe quelle triangulation à n'importe quel autre en faisant un non-finit flip. C'est bien à périodique parce qu'il y a des cas où en flipant une arrête, la triangulation est inchangée. Donc on a bien convergence vers la mesure uniforme. Maintenant, si je veux faire mes simulations, ce n'est pas suffisant parce que la question, c'est combien de temps je dois faire tourner ma chaîne de Markov ? C'est que si j'attends suffisamment longtemps, ça va bien approcher la mesure uniforme, mais je ne sais pas combien c'est ce temps que je dois attendre. Alors pour ce genre de problème, il y a une quantité qui permet de quantifier le temps qu'il faut attendre. C'est ce qu'on appelle le temps de mélange. Voilà une définition formelle du temps de mélange. Qu'est-ce que ça veut dire essentiellement pour définir le temps de mélange ? Il me faut un niveau epsilon qui dit à quel point je vais approcher la mesure uniforme. Et le temps de mélange, donc Tmix de epsilon n, c'est le premier instant K pour lequel quelle que soit la condition initiale T0 que j'ai choisi, la loi de ma chaîne de Markov autant K, de ce que je vois autant K, ça va approcher la mesure uniforme de la loi qui m'intéresse à epsilon près pour la distance en variation totale. Ce max sur tous les A, c'est la distance en variation totale. Et donc le résultat dont vous voulez parler aujourd'hui c'est le suivant ce temps de mélange et au moins d'ordre N puissance 5 quarts. Alors, ne traite que ici, bon, c'est qu'une seule partie du boulot, c'est une borne inférieure mais il n'y a pas de borne supérieure sur ce temps de mélange et je dirais même c'est la partie facile du boulot parce que dans les problèmes de temps de mélange c'est toujours plus facile d'avoir une borne inférieure qu'une borne supérieure. En effet, pour obtenir une borne inférieure il suffit de trouver une propriété qui mélange lentement. Donc, c'est un peu spécial de notre objet tel que si je démarre avec cette propriété et que je fais tourner ma chaîne de Markov pendant pas assez longtemps, cette propriété-là sera toujours vérifiée alors qu'elle ne devrait pas l'être. A contrario, si on voulait donner une borne supérieure pour le temps de mélange, il faudrait montrer quelque chose simultanément sur toutes les propriétés et en général, les études employées sont complètement différentes. Pendant le temps qui me reste je vais essayer de donner des éléments de preuve de ce résultat. C'est-à-dire montrer que si j'attends moins que un temps N5K ça ne va pas être assez pour bien mélanger et approcher la mesure uniforme. J'ai dit que pour obtenir une borne inférieure sur le temps de mélange je vais s'intéresser à une propriété particulière et dire que si je démarre avec cette propriété et que je n'attends pas assez longtemps elle ne sera toujours là. Et la propriété que je vais regarder c'est l'existence de petit cycles séparants. Alors que j'entends par petit cycles séparants ça va être une carte qui est un peu de cette forme-là où j'ai deux parties macroscopiques de la carte. Ici ce que j'appelle macroscopique c'est plus grand que N4 de chaque côté qui sont séparés par un cycle petit et ici petit c'est petit devant les distances dans la carte qui sont d'ordre N5K. Et donc il y a un résultat qui nous dit que ça, dans une carte uniforme ça n'arrive pas ou avec très faible probat. En fait il y a un colère discret de ce résultat dont je vais parler tout à l'heure qui dit que l'objet est limite et homéomorphe à la sphère. Parce que vous voyez qu'ici, si le cycle est très petit quand je passe à la limite il va s'écraser en un point et donc l'objet limite ça serait deux sphères collés entre par un point et ça ce n'est pas homéomorphe à la sphère. Voilà. Donc dans une triangulation uniforme il n'y a pas de petits cycles séparants et ce qu'on va chercher à montrer si je choisis suffisamment bien ou suffisamment mal ma condition initiale j'aurais toujours un petit cycle séparant comme ça si j'attends pas assez longtemps si j'attends moins que N5K. Donc pour ça comment je choisis ma condition initiale je vais la choisir avec un cycle séparant très petit j'apprends avec un cycle séparant de longueur 1 c'est à dire que je choisis deux triangulations avec un bord de taille 1 et puis N sur 2 sommets de chaque côté et puis je les colle le long de ce bord donc je peux voir ça comme ça je peux voir ça aussi comme ça donc là j'ai la triangulation en bas c'est celle que j'ai mis en vert ici on va considérer qu'on la connaît que c'est quelque chose qu'on connaît déjà et puis cette triangulation en haut qui est ici en rouge comme la partie inconnue que je vais explorer au fur et à mesure que je fais mes flips donc je pars comme ça avec une partie que je connais une partie que je connais pas et puis je vais commencer à faire des flips donc à chaque étape je choisis une arrête uniformément et je la flippe bon, première arrête il se trouve que là il est dans la partie inconnue donc je sais que dans la partie inconnue il y a eu un flip mais comme la partie là était inconnue je la connais toujours pas je continue, là ça tombe sur l'arrête entre la zone connue et la zone inconnue donc là si je veux pouvoir la flipper faut que je sache qu'est ce qu'il y a de par et d'autre de cette arrête donc je vais explorer la partie de la je vais explorer le triangle dans la zone rouge qui touche l'arrête l'arrête en bleu choisi donc j'explore et puis bah après une fois que j'explore je peux flipper et puis je continue comme ça là l'arrête choisi elle est dans la zone connue donc je peux la flipper, il n'y a pas de problème j'explore sur le bord donc il faut que j'explore et je flippe et je continue comme ça, là il n'y a pas de problème là j'explore et je flippe je continue comme ça mon exploration et je note 2-3 trucs à côté premièrement je note comment évolue le périmètre ce que j'appelle le périmètre c'est la longueur du bord donc qui sépare cette zone rouge de cette zone verte donc ici il vaut 4 je vais noter aussi le volume exploré alors ce que j'appelle le volume exploré c'est combien il y avait de sommets qui étaient dans la zone rouge au départ et que j'ai trouvé donc au début il y en a 1, là ça passe à 2 là un troisième là un quatrième je continue comme ça et puis je vais noter aussi quels sont les étapes utiles donc les étapes où je fais effectivement une exploration par exemple voilà là l'étape 8 je progresse dans l'exploration de la carte donc je note les étapes d'exploration et on va, ça continue pendant un bout de temps voilà donc j'ai certaines étapes utiles étapes d'exploration et je vais regarder à quoi ressemble le périmètre et le volume exploré à ces étapes d'exploration donc je note ça pn2j et vn2j et un truc qu'on peut montrer donc qui n'est pas extrêmement difficile mais je ne vais pas rentrer dans les détails c'est qu'en fait la manière dont pn vn évolue à chaque étapes d'exploration ça a la même loi que si j'explorais juste une triangulation aléatoire fixée mais sans faire de flip et ça c'est quelque chose qui a été beaucoup étudié par les probabilistes donc il y a des résultats assez précis que rien est legal qui nous disent que après j'ai étapes d'exploration, j'ai un périmètre d'ordre j puissance 2 tiers et un volume exploré en j puissance 4 tiers du coup si je fais moins de n³ étapes d'exploration ben j'aurais exploré un volume petit aux deux n donc je n'aurais pas exploré grand chose là-dedans et j'aurais un périmètre petit aux deux racines de laine sauf que là je compte le temps en étapes d'exploration mais la plupart des étapes elles sont inutiles parce que la plupart des étapes sont juste une arrête dans la zone verte ou dans la zone rouge du coup il y a un changement de temps à faire pour comparer le nombre d'étapes explorées avec le nombre de flips qu'on a fait essentiellement le temps qu'on attend entre deux étapes c'est juste une variable géométrique qu'on connaît donc le changement de temps se gère assez bien et on peut montrer comme ça qu'on a besoin de faire n¹³ flip pour pouvoir effectuer n¹³ étapes d'exploration du coup ben après un temps petit aux deux n³ j'ai fait petit aux deux n³ étapes d'exploration donc j'ai exploré qu'une toute petite partie de ma carte et j'ai un périmètre petit aux deux racines de laine alors moi je vous avais promis un cycle de longueur un petit taux de n¹³ et pour passer de là à l'autre il y a un résultat de Cricoune qui nous dit que si j'ai une triangulation uniforme avec un bord de Tai P je peux trouver un cycle qui reste près du bord et puis qui est en racines de P donc ça permet de conclure et de trouver notre petit cycle voilà bon alors discussion résumé très rapide ici c'est que il y a un argument un peu foireux qui laisse penser que cette borne en n¹³ est plutôt bonne il y a des chances que le temps de mélange soit effectivement en n¹³ mais c'est sûrement un problème difficile et je ne sais pas montrer par exemple que c'est polinomiel voilà, merci beaucoup merci Thomas, est-ce qu'il y a des questions ? tu as parlé de triangulation mais ça pourrait marcher sur n'importe quel type de carte non ? oui alors on utilise quand même pas mal de résultats enfin ma question c'est tu t'attends à ce que ça change non ? ah non non ça ne ferait pas changer on utilise quand même donc le résultat de polin local sur la carte bronienne donc il faut un modèle qui converge vers la carte bronienne on utilise les estimés de peeling et puis on utilise ce résultat de cricoudre donc pour les quoi de triangulation ça doit marcher mais il n'y a pas beaucoup de modèles pour lesquels on a tout ça en même temps comment tu nous as représenté la triangulation que tu nous as montré elle était pas dessinée sur une sphère alors attends, tu veux dire l'assumulation alors attends ça c'est ça c'est mathématica c'est le graph plot 3D de mathématica donc la manière dont mathématica fait ça il me semble c'est qu'il fait comme si chaque arrête était un ressort et chaque sommet était une charge positive du coup il y a une répulsion entre les sommets et puis il y a les ressorts qui compensent un peu ça et donc mathématica il calcule ça et c'est bien une sphère topologiquement oui est-ce qu'il y a encore une question alors dans ce cas là on remercie Thomas encore