 donc merci beaucoup, je vais commencer avec quelques mots en français pour Luc donc c'est Verdier qui m'a fait connaître et rencontrer Luc en 1973, à l'automne, Luc faisait un... il y avait Dolin qui avait démontré la conjecture de veille ou les conjectoires ça c'est compliqué, la conjecture de veille sur les pois je pense, ça avait été annoncé à l'été 1973 et Luc a fait un cours sur la partie, la première démonstration de Dolin pour les variétés, disons, projectives pour simplifier et c'est un cours hors, c'est un cours de troisième cycle et Verdier m'avait dit d'aller voir Luc et Dolin ensuite a fait, pendant l'été, le cours sur veille 2 qui était à l'époque à l'état des beaux j'imagine parce que l'article est apparu beaucoup plus tard bon puis ensuite évidemment je vais demander un sujet de DEA et un sujet de thèse de troisième cycle et donc ça a été la première fois que j'ai rencontré Luc, ça remonte quand même assez loin alors il est important avec Luc aussi de parler de ses parents donc j'ai fait la connaissance des parents de Luc alors je pense la première fois dans mon souvenir c'est au bord de la loi donc Luc était avec ses parents dans un hôtel au bord de la loi et m'avait invité pour passer la journée à travailler avec Luc donc j'ai fait la connaissance de ses parents à ce moment-là j'ai rencontré encore ses parents un peu plus tard à Princeton où là c'était un mois, à Princeton, où on était invité tous les deux par 4 je pense, à l'université Bon, une autre chose que je voudrais mentionner c'est Luc a été le directeur de l'équipe je mettrai algebraique d'Orsay Bon, à mon souvenir, après Michel Rénaud, à mon souvenir de 1985 ou quelque chose comme ça, à 1995 et l'équipe organisait des séminaires à thème il y avait des séminaires formidables à thème Bon, mais ça s'est un peu enlisé au moment où il y a eu un exposé sur la construction BGL+, et donc là c'est devenu vraiment trop trop compliqué et moi je revenais d'Arvard et j'avais vu qu'il y avait des séminaires totalement différents qui n'existaient pas vraiment dans la tradition grotendiquaine, carton, chevalais, etc et donc j'avais dit à Luc, bon, ça serait peut-être bien de passer à des séminaires comme ça et alors on pourrait inviter des gens, etc donc quand j'ai dit ça à Luc, il m'a dit, mais on ne pourrait inviter personne je ne vois, je n'ai aucune idée et la semaine d'après, il avait une liste à rallonge, invraisemblable avec toutes les invitations qu'il aurait bien voulu faire et surtout il y avait les invitations aux séminaires mais aussi au restaurant le soir donc ça c'était un grand moment parce que Luc bien sûr il y a la partie mathématique mais il y a aussi la partie restaurant par la suite alors je vais terminer par un petit mot, c'est Luc bon, c'est un directeur de test tout à fait exceptionnel, ça c'est sûr d'autres gens peuvent s'en rendre compte et il est, il a été, il reste mon meilleur conseiller sur toutes les questions difficiles aussi bien mathématiques qu'administratives et encore très récemment, il m'a conseillé utilement pour mon exposé d'aujourd'hui donc cher Luc, je te dis un immense merci donc maintenant je vais commencer mon tour donc on essaie de comprendre avec Emmanuel Lotelier comment on peut comprendre la correspondance de Luc en termes de categorie d'aujourd'hui et donc, comme j'ai utilisé le weight à un moment c'est convenant d'avoir, d'être dans le set d'un état d'algebraie clé-close un fil de caractéristique positif et un numéro principal ok, c'est Héladdique, donc numéro principal invertible en K donc je vais seulement considérer le cas de G equal GLN qui est définit sur Z equal, donc il n'y a pas de problème de définition pour autres groupes, il y a des résultats partiaux, mais c'est un peu plus compliqué donc, et comme d'habitude, il y a un groupe de groupes d'algebraie clé-clé-clé-clé et c'est une décomposition standard de décomposition avec un maximum de torse d'algebraie clé-clé-clé-clé donc, un groupe d'algebraie clé-clé-clé-clé-clé est un normaliser de T et G et l'algebraie clé-clé-clé-clé est une grande groupe et les résultats sont pas pour groupe, mais pour l'algebraie clé-clé-clé donc, il y a des notations et donc, la restriction de l'induction de l'algebraie clé-clé-clé-clé c'est juste le cas du torse de l'algebraie clé-clé-clé-clé donc, c'est une construction très simple donc, ce qui est utile pour peut-être le springer ou le springer grottandique que je ne sais pas exactement qui était vraiment à l'origine de cette construction et donc, c'est juste la paire vous pouvez penser en termes de métriques T, c'est les valeurs de l'algebraie clé-clé-clé et vous avez un flac qui est fixé par ces valeurs de l'algebraie clé-clé-clé donc, votre triple X, T, G, B, c'est quoi ? T est déterminé par X mais je le garde ok, je pense que c'est correct comme ça et donc, on a la restriction de l'induction de l'algebraie clé-clé-clé-clé donc, c'est juste de repousser et de repousser donc, P est propre mais ok, c'est toujours ok si j'ai mis un tric et donc, c'est comme ça qu'ils sont adjoints donc, c'est l'induction vous commencez par l'algebraie clé-clé-clé-clé-clé-clé-clé-clé-clé-clé-clé-clé donc, l'algebraie clé-clé-clé-clé-clé-clé-clé et la restriction donc, ok évidemment, c'est un correspondant comodique comme dans le FGF 5 et il y a un meilleur moyen de le voir donc, il y a une variété car car, T, dans la classe GAT, sans W, ou la même as the conjugate G, the algebra of G divided by G acting by the adjunct action. And CAR is a set of, just a set of the affine space of your nether a polynomial of degree n. And the maps are just, you take the characteristic polynomial of a matrix. And so the correspondence before, P and Q factorize through the fiber product. So that's the main object, S, this fiber product of T and the algebra of T and the algebra of G over CAR. And so the first lemma, which is also difficult, that means that this factorization of P is in fact the strain factorization. So we have T just in a very small machine line. Ah, OK, but just I will just... The right value. And so what's happened is that this is proper and in fact it's a smaller resolution. I mean you have, for example, you have an up, it's birational and this is finite with Galois group W. That you have to keep in mind. So and it's really a small resolution, I mean there is an open subset over which it's an isomorphism, the regular open subset. So and in particular, the direct image of the constant shift, so you can put a star if you prefer, is an intersection complexe. Up to a shift, it's a perversive. Irradiosibole perversive. And the factor induction and restriction may be defined through this... this new comological correspondence which is the two projections of S and the complexe which is just the kernel which is just intersection complexe of S. So the advantage of S is you have a W action on S. You don't have a W action on X because S, X is defined using a Borel subgroup, a fixed Borel subgroup. So on W will permute the Borel subgroup. So X is not fixed by... is not stable, there is no action of W on X. But there is a W action on S. Just on the second factor. And so what we consider is a stack point of view, I mean we really consider the quotient of S by the action of W in the stack way. I mean we take... the action is only on the l'algebra of T and we take the stack, l'E of T divided by W. And so that give you... that give another diagram, another correspondence. And because we are working with an intersection complexe, an intersection complexe descent to this stack quotient. So therefore, the functor restriction and induction factorize through this projection pi. And pi is a W torsor because it's really a stacked quotient. So and that give two functors, i and r from... Oh, sorry, I forgot to say something. So I also divide by the G action on the l'algebra. So here it's an art in stack. L'E of T over W is a... Delin-Memphers stack. The product makes sense. And we get, really, using this new correspondence, we get two functors i and r. So this is a... a neat construction, but it's not perfect. And why it is not perfect? So it's not perfect already on the best part of the correspondence, which is the regular submissimple part. So if you look at the regular submissimple part, so it comes from the car variety. That means you have matrices which have distinct eigenvalues. So this is an open subset of car. And over this open subset, the correspondence is very simple. So, first of all, the action of W on the... So this is the inverse image of... car regular submissimple. So this is the element of T which are G-regular. The action of W is free. So... And then the coefficient is just a car. On the other hand, on the other side, it's easy to see that in the stack, Li of Jebra of G divided by G, it's easy to... any regular submissimple matrices over an algebraic closed fields, at least, is conjugated to a diagonal matrix. And so the two stacks are equivalent. The regular submissimple part of... calligraphic G is equal to... to simply the coefficient of G-regular part of the algebra of G divided by the normalizer of T. So these two stacks are the same. So... And the functors are simply the pullback and the direct image by this morphism. So there is no difference between S and G on the regular submissimple part. And... Sorry... Ok, in any case, I am not... I am confused with something, but it is... What happened? So... And so it's not perfect because the two... the target and the source of... the unique map, the projection on the algebra of T are not the same. So... It is not perfect. You cannot expect that I and R are inverse equivalences of categories. So... And so... What we need to modify is to replace this stack l'algebra of T divided by W by the algebra of T divided by the normalizer. So... It's natural to introduce another version of the correspondence. So where you put stacks everywhere. So the first thing is to replace... So G is the same as before. T is quite different because what you do is you take the l'algebra of T and you divide it by T for the adjoint action. That means the trivial action. So this is really l'algebra of T times the classifying stack of T. And B, you divide it by X. So by G. And X divided by G, it's not difficult to see that it is simply the l'algebra of the borale divided by the borale itself by acting by conjugation. This is just... And you divide by G. So G is acting like this. So in this way you can really suppress... Keep on this one. So now we have a commutative diagram. Essentially the same as before. But we have replaced all the entries in some sense by stack, acting stack. So under the map P and Q you are simply defined by inclusion of the borale in the group for P and by the projection to T for Q. So this is our main object, geometric object. And we can define the functor and restriction, induction and restriction, using as before the correspondents and the comological correspondents. Now is this kernel N, which is a direct image by the map, some kind of diagonal composed map of P and Q, to this curly S. And this is a new comological kernel. So the new construction is perfect of all the regular semi-simple open subset. But the kernel is not anymore an intersection complexe. It's not a pervers-chief so it's more complicated. So the main question is... Okay, we can divide T by the algebra of T in some sense we can divide curly T by W. So we get some kind of curly T bar which is a quotient of the algebra of T by the normalizer. So we have a W torsor and the main question is does the functor factorize as before for some triangulated functor i and r and if it would be possible then we could expect that i and r are inverse equivalences of category. So this main question is similar to the question is more or less equivalent to the question of descending the kernel n to S bar that means the quotient of S by W. And the question is is it possible to descend the kernel to this S bar? So when it was an intersection complexe it was not difficult descend but here it's not an intersection complexe it's a more complicated object in the derived category and the descent is a serious problem. So this is a way to rephrase the part one of the question and if it would be possible then i and r would be defined in an easy way. So unfortunately it's more complicated. So why it's more complicated? So at some point we had the idea that it was true. So and okay we are optimistic and then mainly in preparing this talk I look at the proof that we have which did not took so perfect. So and I asked at some point to Luke I said to Luke there is a problem and he told me you should ask to offer. And I asked to offer and offer in the simplest possible case told me that it does not work. So this statement over the global statement is certainly not true. And no no certainly not true et donc non mais the descent and does not descent. The equivalence of category okay and very unlikely but I have no contours example at least and the descent does not work. So when the problem goes back to a problem which was studied by Verdier in the 80s having a cup product to define a cup product of intersectional comology and Verdier in a paper which is called Calcul Triste prove that it does not work. There may we can define maybe some cup product some intersection product but it is not unique. So but nevertheless a part of the CRM works and so what we can do is restrict the CRM to locally close smooth subset of car. So this makes sense because the resolution f of s is in some sense a simultaneous resolution. I mean if you make a big change of a car then you still get a resolution of singularity. You are losing small but you still keep some small. So this is okay. So certain locally close smooth smooth No. Okay for any. Okay I am confused. No, no, no. In fact the map from x to car is smooth. And so we can do a restricted version of the functions over the part like this, c. And so the result is that the following one we can stratify car by partition. There is a natural stratification of car by partition. So you fix you fix in some sense the multiplicities of the roots of the polynomial. And then you get a part which is smooth and car is a union of all this part. And the CRM is that over such part it's okay. It's not globally true but it's true over those parts. And then we get inverse equivalences of categories. So the problem is coming not at this level it's coming when you try to put together you try to glue together several different stratum of car. I mean then the drive category don't seem to be the same. The maybe some x group are not the same. So that's the result. It's less exciting than the previous one but at least there's more chance to be true. I forget to say for perver shifts it's much easier. I mean because the previous construction the one with the l'algebra of T divided by W without introduce the quotient by the torus I think gives the equivalence of categories of perver shifts. But perver shifts are very particular complexes in the drive category. So for them there is much less problem. So the remark is that it's enough to consider the to consider the the worst strata that means when you have a polynomial with only one one root with multiplicity n. And so this correspond to the nil potent essentially to the nil potent cone up to the center of GLN and the l'algebra of GLN and our result in particular says that this two drive categories are equivalent. So the category of perver shifts drive category of shifts drive category on g the nil potent cone of the l'algebra and the drive category of the classifying stack of the normalizer. So this has been So the category on the nil potent cone has been computed by other means. So Laura Reader has computed this category in the following way. So she says you have a finite number of irreducible perver shift on the nil potent cone. So you have object and you have maps between them with shift and so on and you can compute everything. And you can identify that with another category differential graded algebra which is some kind of smatch product of the comology of the torus and the algebra of the group and she proved by identifying object by object and map by map that the two drive categories are the same and she is using a CRM of Bellinson for that. But we really construct a kernel and if we are able to do this nil thing then the rest can be obtained by a standard more or less standard descent to le vie argument for the other strata. So we will concentrate on the rest of the talk on the nil part. So I will first give a sketch of the proof so explain how it works. So there are several steps so with the kernel n something does not work so it does not descent but there is another kernel that we can use I mean if you take the nil part encone ok you have on one side the nil part encone times the classifying space of the torus so this can be embedded in S but it can be also embedded in simply the product of the classifying BT and the algebra the stack g corlegy and nil the kernel is also the restriction of another kernel that I call p kernel p and this kernel it's a different map so and I make it more explicit here so this map is a composition of the diagonal map followed by the product of the identity of B and the natural map of B on BT and so this composition delta is a t-torcer so we have a t-torcer first and then we have a proper and small map we have a proper and small map which is a product of p which is proper and identity of BT and so the problem is we have a complex which is a direct image so first you have a t-torcer and you have a proper map and you want to understand the direct image of the composition of these two maps and what we really want is to prove some kind of W invariant structure on that so a priori it's not so easy so we will use this notion of postnikov diagram I will explain that in few minutes and one way to understand the first direct image is to use a postnikov diagram and this postnikov diagram is built of version classes map bon then you take this we will take this diagram and we will get a new diagram where there is a base which is where the vertices are intersection complexes and so there will be a weight argument proving that the base is rigid that means the postnikov diagram is completely determined by its base and therefore in order to descend the postnikov diagram it's enough to descend its base and finally we will show that the base can be equipped with a W action when you say postnikov is related to 1 minute 1 minute so postnikov diagram is in a triangulated category you look at the diagram like this you have a base AM-1A1A0 and you have the diagram for the base so you have two kind of triangles so you have the distinguished triangle which are the upper triangles where you have the plus one map and commutative diagram on the bottom so and if you have a diagram like this you can notice that the base is a complex the composition of two maps are zero so the base is a complex so you can restrict to the case where you just have M equal 1 and what you have is you have a map delta 1 and it's cone so it's a generalization of the cone it's a sequence of cone of a complex and so the what happened so the outcome is this one so this is to fix a language so postnikov diagram postnikov tower the base and outcome and so it's just a generalization of the cone construction so an example of postnikov diagram is starting from a complex you have a t structure then you can define a postnikov diagram by using a canonical troncation I mean you troncate in such a way that you keep on lays a commutative group up to a certain level and you put all this triangle together and you get a postnikov diagram and so it's it's a trivial result it's not a result it's just a remark that the outcome is just k and this construction is functorial in q so what's happened with a t-torcer so when you have a t-torcer you have a charn class morphism in general the construction of a charn class morphism for a t-torcer and so as you can view this charn class as a morphism in the direct category from the constant shift to the constant shift shifted by two and with the co-character group of the torus and so we get a postnikov diagram applying this construction lambda to the direct image and the base is simply this complex where up to a sign I'm not completely sure about the sign that the differential map are just the wedge product with charn class so we get a beautiful complex and what we can do is push it down this complex and we get a new postnikov diagram over the product of curly g and the bt so as p is proper and small and it restriction to so p goes from here to there so this you have a proper map and then you have a resolution but here you have a finite galois ramifide covering but over the regular semi-simple part it is et tal so you can compute the direct image as an intersection complex but now we evaluate the local system and this local system is a rank of rank cardinal of W and it is an analytic local system on the regular semi-simple part and then you extend it by the intersection complex construction and so the base of the direct image of orlanda orlanda built with the torso part is obviously this map and so the question is first of all are we able to descend the base and moreover is it enough to descend the whole pasnikov diagram so here i need so there are two parts are we able to descend the base is it enough and so to check that it is enough we will use vanishing of some ohm so there is so it's like a cone it's not canonical but in certain circumstances it is canonical if you have some ohm map which are 0 then it is canonical so and here there is a criterion to have a rigid pasnikov diagram so and the result is that if given a rigid pasnikov diagram complex so the base then there exists a unique pasnikov diagram extending it est-ce que l'intention est de changer l'expérience de pasnikov est-ce que l'intention est de changer l'expérience de pasnikov c'est quoi ? c'est un type postinico postinico ok ok c'est un type non non non c'est un type non non non il y a un oeil oh ok il y a deux types ok et pour obtenir ce vanishing de l'ohm on va utiliser le résultat de la pureté donc et parce que ce n'est pas un résultat qui est vrai sur k mais c'est vrai si vous pour nous je veux dire pour nous appliquer à notre situation ce n'est pas vrai si nous regardons l'algebraie clé-close-field mais si c'est vrai si nous voulons une construction qui descend pour s'affiner donc compatible avec des frobignons et donc pour ça si nous demandons que notre construction est compatible avec les frobignons donc il y a plus de constraints et donc la première proposition c'est que l'ex-groupe est bien donc elles sont 0 et elles sont puret en même cas donc le résultat pour sans ad implique le résultat avec ad parce que la comologie de bt a la même propriété donc la première c'est de prouver cette puissance et donc pour cela, nous utilisons cette construction de Steinberg le produit fibre de b le produit fibre de b avec b ou g et nous avons par base je veux dire c'est pas difficile de voir que l'exte-i est le groupe de comologie de z avec des valeurs de complexe dualisées pas shiftés et donc, par point carré dualité nous avons l'exte-i c'est le duo de la comologie avec support compact de stack z donc ici c'est facile de travailler avec stack parce qu'il y a un rôle de dimension 0 essentiellement il n'y a pas de shiftés donc le premier point c'est de prouver que la comologie avec support compact de z est pure et cela peut être fait par fabriquer z sur la glace manienne la variété de b et donc il y a la stratification de la glace manienne et la stratification est très facile de comprendre il y a des stacks classifiés de b des subgroupes des subgroupes borales et on voit que la stratification z w est simplement le stack cochant de l'algebra bw de bw donc et en utilisant cette stratification c'est facile de voir que la comologie est pure donc ces z w sont importants ils vont revenir un petit peu plus tard mais c'est la construction standard et il y a des spectraux et il y a la pureté de la comologie qui vient de la pureté de la comologie de bt donc ce n'est pas difficile donc c'est la première partie qui implique que la constrain de rigidity que je disais si nous voulons descendre le diagramme postnikov c'est suffisant de descendre le base en faisant l'algebra bw donc le point c'est que par la pureté vous avez le vénage d'un ex en utilisant les choses de l'algebra de l'algebra bw donc maintenant pour conclure, nous devons descendre le base de le diagramme postnikov et le problème est clairement réduit le problème de descendre de la map de la base le vertices descend parce que c'est l'intersection complexe et nous devons descendre les maps de la base et donc c'est où ça ne fonctionne pas quand nous utilisons n donc c'est le point qui ne fonctionne pas quand nous utilisons n mais qui fonctionne quand nous utilisons p et n et p sont très similaires mais malheureusement le résultat pour p ne implique pas le résultat pour n et donc il y a 2 steppes en prouvant le descendre de la base de le diagramme postnikov le premier step est de prouver que l'algebra bw que nous avons mais c'est équivalent à la proposition qu'on a écrit est équilibrée donc et ce c'est la première proposition et la deuxième proposition c'est de prouver que la map qui empêche la clache de la map qui est intéressée est aussi équilibrée donc ici les actions de w sont d'un groupe de p comme l'habitude sur la comologie de b c'est juste l'action de springer donc c'est l'action qui est induite par l'amorphisme avec la comologie de l'intersection complexe et w acte sur le système local l donc et similarly pour la seconde proposition vous avez l'action de w sur la source et vous avez l'action de w sur le target parce que w acte sur les deux images directes parce que les images directes sont l'intersection complexe de l et w acte sur l donc pour la première proposition ce n'est pas si difficile euh c'est con c'est bien con euh j'ai mis tout sur la screen donc nous sommes considérés mais c'est juste vous n'oubliez pas vous ne divisez pas l'algebra de b mais vous divisez par u et donc vous avez un t qui est à gauche et ça vient de la de l'action de p sur bt et comme c'est un isomorphisme qui est le variant w et donc il est connu que c'est ce map est ok si vous étiez avec ql la source, la dernière map si vous étiez avec ql c'est juste un isomorphisme et c'est compatible avec l'action de w donc ce n'est pas un problème le problème est la seconde mais nous avons déjà considérés cet homme et nous sommes ici considérés cet homme pour juste un degré 2 et nous avons vu que par un procédé standard que cet homme peut être expéré comme une comologie de z avec des valeurs du complexe et donc c'est facile de voir que cet isomorphisme est duale pour la restriction de la diagonale donc quand vous restrez pour la diagonale, donc la question est est ce map w équivariant où vous avez une action de w et la comologie de z venant de cette description comme duale de homme et vous avez une action de w sur b qui est une action de springer et donc, encore une fois, nous avons utilisé la stratification et nous projettons cette stratification par et donc vous avez un map et vous avez un map sur l'algebra de t donc ce t timescalf t est une union de diagonales et c'est juste c'est pas c'est juste de la même dimension de l'algebra de t c'est une union de diagonales donc, et puis nous avons une commutative square comme cette qui décrive la restriction de la projection donc c'est qq qui décrive la projection pour le product de fibre et pour chaque w il y a un différent diagonale et donc de cette, nous avons une image directe c'est l'abattement d'une séquence spectrale qui commence dans l'E2 de ces chiffres homologiques de ces chiffres homologiques donc vous faites strata par strata et puis vous les mettez ensemble dans une séquence spectrale et donc, dans cette séquence spectrale c'est une bonne propriété donc, d'abord, c'est dégénéré parce qu'il n'y a pas h2 il n'y a pas une partie haute donc la séquence spectrale est dégénérée il n'y a pas une partie haute et donc ça veut dire que si vous faites une séquence homologique vous faites une séquence homologique ce sera une extension successive de ces choses alors un remarque est que dans un sens vous avez une picture comme ça et vous avez un chef constant de la diagonale et puis vous mettez l'extension de ça et vous voyez que ça satisifie la propriété d'être un chef pervers et même d'être l'extension de ses restrictions pour les complémentaires donc ça a une très forte propriété je veux dire que si vous mettez le chef constant le chef constant et si vous faites une extension de ça en fait vous n'avez pas de choix et donc ce qui est ce qui est complètement déterminé par ce qui s'est passé au-delà l'intersection et donc W W times W équivariant morphisme de cette image directe et la image directe par la map normalisation qui est la union de l'algebra de T W times et vous avez W times W équivariant morphisme ok ce n'est pas terminé mais presque donc maintenant vous devez compter cette comologie et ici nous sommes heureux parce que cette comologie est concentrée dans seulement un degré je veux dire la comologie de Nafa en espèce comologie avec support compact il y a seulement un groupe qui est en degré 2x la dimension de l'espace et donc de la séquence spectrable qui génère complètement et l'analyse morphisme entre cette comologie de Z et la comologie de un degré 2 N où N est la dimension de l'algebra de T et la comologie de B T et puis la map restrication est visible là-bas et c'est clairement W équivariant mais cet argument se perd si on réplace Z par donc vous pouvez essayer de faire la même chose mais puis vous allez au diagonale mais cet objectif est beaucoup plus compliqué dans un sens que Z et donc c'est où nous sommes trop optimistes en pensant que le même objectif où on réplace Z par Y fonctionne mais au moins pour Z fonctionne donc ça donne cette équivalence de Stratas par Stratas Vorkar mais ça ne donne pas une grande équivalence de catégorie qui est probablement fausse et sur le dernier ça semble être ok donc c'est une situation étrange X la différence entre ces deux ? oui donc cet objectif comme component ici les components irréduciables ont tous la même dimension je veux dire tous les diagonaux je veux dire vous avez les diagonaux et vous avez les autres Stratas ils sont tous de la même dimension qu'est-ce que vous voulez ? S ah ok, c'est celui que vous trouvez et ici vous avez un component irréduciable de différentes dimensions c'est un objectif très bizarre parce que le component de la dimension est un objectif très clos et l'open Stratas ou la petite dimension c'est quelque chose comme ça donc c'est le diagonaux et c'est le YW et le YW est ouvert et la clé B est clos, le diagonaux est clos donc c'est vous avez l'impression ici vous avez une picture complètement différente parce que vous avez B vous avez Z, vous avez B et le YW est de la même dimension et je veux dire quelque chose je veux dire ce que j'ai prouvé c'est que pour un groupe homologique c'est ok mais c'est probablement faux d'eux-mêmes je veux dire, il y a des maps donc il peut être réduit pour un problème d'équivalence d'un coût product et ce coût product global n'est pas équivalent mais c'est mieux d'être homologique donc si vous avez des speakers par exemple en zoom si vous avez des transferts si vous avez encore besoin de transferts non ou peut-être pour pour les participants ok, donc peut-être Luc c'est comme ça je ne sais pas s'il y a moyen oh Gérard je peux vous dire quelques mots, mais la connexion avec la calculation sat c'est une calculation sat je pense que c'était très simple peut-être et vous avez l'orientation et oui pour SL2 je n'ai pas utilisé le stack je vais retourner pour le scheme il peut être rétenu explicitement comme ça donc SL2 vous avez la métrique AVC et donc c'est S c'est le producte fabrique de G et le torus qui est une dimension 1 sur la variété de cartes et donc sur ça vous avez l'intersection complexe le temps et vous avez un producte cup et pourquoi avez-vous un producte cup parce que vous avez une petite résolution c'est une petite résolution c'est une petite résolution ce n'est pas difficile de définir vous regardez AVC T-square c'est un type non non c'est un T-square le carteriste n'est pas 2 oui ok offert et vous avez une ligne en K2 qui est stable AVC minus AL donc c'est X et donc c'est F et la question c'est est-ce est-ce un produit cup équivarié pour l'action de W donc W c'est la même accepte de replacer T par minus T donc si vous faites ça si vous composez cette map par W l'action de S vous avez une autre résolution et cette résolution de singularité et les deux résolutions de singularité donnent exactement la même intersection complexe mais si vous regardez ce ce que l'affaire m'a mentionné c'est ce papier par Verdier les deux produits cup que vous pouvez construire ne sont pas les mêmes et donc il le fait globalement je veux dire vous ajoutez AVC ok dans la toute façon vous regardez les lettres capitales vous regardez Z donc vous êtes en P5 et vous regardez la même équation donc vous avez à l'infinité vous avez à l'infinité donc vous avez Z equals 0 je vais vous donner P4 je vais vous donner P3 à l'infinité et la intersection avec cette variété Y la intersection Y P3 c'est juste P1 donc c'est un cône cette variété c'est un cône P1 x P1 et vous pouvez regarder la commune intersection de Y et donc Verdier qui essaie de voir peut-être un complexe intersection intersection producte et la commune intersection et il compute les deux productes intersection je pense sur le potentiel donc il y a un diviser qui est un potentiel élément donc vous voulez donc c'est un subset T equals 0 donc si vous regardez ce diviser vous regardez la classe l'intersection avec elle-même et je pense que c'est minus l'autre 1 si vous utilisez l'autre parce que vous comparez le bloc de l'origine du cône ce n'est pas le cas non, non, c'est pas le bloc du cône c'est le produit de la résolution un produit de la résolution donc vous avez 2 résolutions X et X prime et vous avez le produit de la résolution un produit de la résolution et c'est le bloc du cône et celui-ci est dans ma notation Y et c'est le Y prime pour SEL2