 Donc je suis ravi de parler dans cette journée parce que quand j'ai commencé à faire de la recherche, on entendait le nom de Barry à peu près tout le temps, associé à des énoncés frappants voire scandaleux. Donc le premier dont je me souviens, je ne sais plus dans quel ordre c'était. Mais il y avait un premier énoncé qui disait que les représentations galoisiennes ont des déformations universelles. Galoisiennes ont des déformations universelles. Donc qu'est-ce que ça veut dire ? Donc on parle d'une représentation en caractéristique P. Robar du groupe de galois absolu de Q. Nom ramifié en dehors d'un nombre fini de nombre premier. Dans Metton GLN, un corps fini. On peut prendre Q ou on peut prendre le groupe de galois de QP. On peut prendre un corps de nombre, ça change pas grand-chose. Et à ça, ce que dit Barry, c'est qu'il y a une représentation universelle du même groupe, GQS ou GQP, dans un certain anneau. Donc ça c'est un anneau local, dont le corps résiduel est FQ. Et qui paramètre tous les relèvements de cette représentation à des anneaux de ce type-là. Reprezentation à tout moment. Oui, il y a des tas de conditions à mettre. Je suis désolé, je vais être un peu impressionniste dans cette introduction. Ce n'est pas le sujet de mon exposé. Quand on a un anneau comme ça, il y a un espace analytique associé. Ce que ça fait, c'est que tous les relèvements de ma représentation moduloper sont paramétrés par un espace analytique. C'est des points d'un espace analytique. C'était juste une remarque, mais ça a eu une influence incroyable sur le reste du sujet. Donc ça, c'est le premier résultat dont je me souviens. D'autres résultats dont je me souviens, c'était les familles de forme modulaire et les représentations galoisiennes associées. Donc ça, c'était des travaux avec GVA, Mezheur et Coleman Mezheur. Il y avait eu des travaux de HIDA. C'est HIDA qui a commencé toute cette histoire. Dans le cas ordinaire, ce qui correspond à pente 0, et les travaux de GVA Mezheur et Coleman Mezheur, c'est dans le cas de pente finie. Il y a deux objets qui ont joué un rôle très important par la suite, ce qu'on appelle la Eigencurve, qui est justement une courbe qui paramètre ces formes modulaires péadiques de pente finie. Ça c'est Coleman Mezheur et il y avait aussi la Fougère Infinie, ni de GVA Mezheur. Donc l'image est comme ça. Donc si vous partez d'un rebarre comme là-haut de GQS dans GL2 de FQ, comment Fougère c'est Fern? Fern. Infinite Fern. J'ai mis longtemps avant de comprendre que c'était pas éventail, mais quand j'entends des Ferns, j'entends des fans, et puis ça ressemble aussi à un éventail. Voilà, donc on parle de représentations comme ça, associées à une forme modulaire. Donc on va l'appeler Imper, ce qui veut dire que le déterminant de la conjugaison complexe est moins un. Et donc si on regarde l'espace qui est associé par le précédent, notre X là-haut associé, il est de dimension 3 en général, enfin au moins conjectur allemand, et donc il y a une direction qui est facile à voir, c'est juste tordre par le déterminant. Donc ça on va ignorer, et en gros on obtient quelque chose qui est de dimension 2, donc 2 en ignorant les déterminants. Voilà, donc on a notre espace qui est comme ça, et puis on a la Eigencurve de Coleman-Mazer, qui est un objet sympathique, lisse, et après on peut regarder ce que ça donne quand on l'envoie dans l'espace des représentations galoisiennes, et là tout d'un coup on obtient quelque chose qui ressemble à une horreur, localement ça ressemble à ça, et sur chacun, et après je ne peux plus dessiner, mais c'est pour ça que ça ressemble à une fougère infinie. Et donc on obtient quelque chose qui est Zarisky Dance, un peu comme la courbe de Piano, dans 01X01, et donc c'est un objet qui est très utile pour démontrer des résultats sur l'espace tout entier, uniquement à partir des objets de pente finie par prolongement analytique. C'est comme ça que ça a été utilisé plein de fois. Et puis finalement le dernier énoncé, qui est lui carrément scandaleux, qui est la conjecture de Fontaine-Mazer. Alors je ne sais pas de quand il date exactement. A peu près 1990, un peu avant. Oui, j'ai l'impression. Bon, inférieur à 1990. Je me suis disputé avec Illusir récemment ce sujet. Donc qu'est-ce que ça dit la conjecture de Fontaine-Mazer ? Ça dit que si vous avez une représentation encore de GQS comme ceci, mettons GLN de QP, qu'est-ce qu'on lui demande d'être irréductible, et qu'on demande qu'elle soit deux rames en P. Je ne vais pas définir ce que c'est. C'est une condition qui a été introduite par Fontaine. Alors la conclusion, c'est que Rho provient de la géométrie. Donc on sait que quelque chose qui provient de la géométrie vérifie toutes ces conditions là. Mais ce qui a été assez invraisemblable, c'est qu'on sait aussi que quelque chose qui provient de la géométrie vérifie beaucoup plus de conditions que ça en particulier. On sait que si on restera un nombre premier L qui n'est pas dans S, les valeurs propres de Frobenus sont des nombres de veils, des nombres algebraiques, et on n'a rien mis comme ça dans la condition ici si ça provient de la géométrie. Donc voilà, c'est un énoncé qui n'a aucune chance d'être vrai. Vous pouvez dire ce que ça veut dire être provient de la géométrie ? Ça veut dire que c'est découpé dans la comologie étale. Donc ici, c'est péadique d'une variété propre Elysse, je pense. C'était ou projective Elysse même à l'époque. C'est ça qu'on... Donc en représentation, peut-être on peut aussi... Et on peut aussi tordre par une puissance du caractère cyclotomique. Et on peut aussi avoir un coefficient qui est bas, on peut aussi mettre des extensions de... Oui, oui, oui, on peut mettre une extension finie de Qp ici. Si on met Qp bar, ça devient compliqué de définir, ça veut dire de RAM. Est-ce que c'est toujours une compagnie ? Si on met Qp bar, ça se ramène à une extension. C'est vrai. Est-ce que c'est toujours une conjecture ? Bonne question. Alors oui, ma phrase suivante, c'était que c'est maintenant, un PORM, mais uniquement pour N égale 2. Pour N égale 2. Donc ça, c'est des travaux. Il doit y avoir des gens avant, mais principalement, c'est Emerton, qui signe. Et ça a été complété récemment par un dénommé le Wepan, pour N égale 2. Donc voilà, donc la leçon que j'ai tirée de tout ça, c'est que si vous avez un énoncé optimiste, et pour lequel il n'y a aucune objection évidente, alors il a des chances d'être vrai. C'est pareil être une bonne manière d'essayer de faire des maths. Ok, donc tous ces travaux ici, en fait, sont des précurseurs de ce que j'appelle le programme de l'anglance péadique. Et le programme de l'anglance péadique intervient crucialement dans cette preuve qui est ici. Donc qu'est-ce que c'est que le programme de l'anglance péadique ? Alors, donc il y a plusieurs versions. Alors ma version à moi, c'est la suivante. On part de G, un groupe algébrique, défini sur Q. Je ne sais pas quels sont les adjectifs qu'il faut rajouter, probablement réductifs, des choses comme ça. Et ce qui nous intéresse, c'est la chose suivante. Moi, je me suis intéressé uniquement à GL2, G, L, N, G, S, P, 2N, etc. Vos portes bonnots, coups unitaires. Donc ce qui nous intéresse, c'est les groupes suivants. Donc les groupes de comologie, du groupe des points rationnels, à valeur dans les fonctions continues sur le groupe des points adéliques, à valeur dans L, où L est une extension finie de QP. Donc il faut quand même que je vous dise quelles sont les actions. Donc si vous avez un élément dans G de Q et vous avez une fonction sur G de A, vous faites agir gamma sur phi en X, comme étant phi de gamma moins un X. Donc on a une action à gauche de G de Q et on a une action à droite du groupe des adels qui est G de X, gal phi de XG. Donc les deux actions que j'ai définies commutent de manière évidente, puisqu'il y en a une à gauche et une à droite. Et comme on a utilisé une action à gauche pour calculer la comologie, il reste une action à droite de G de A. Donc ce que je prétends, c'est que le but du programme de langage PADX c'est de comprendre ces groupes en tant que G de A module. Mon but, c'est comprendre CHIG2QCG2AL en tant que G de A module. Et en fait si on est très optimiste, ce qu'on voudrait c'est classifier les représentations irréductibles qui apparaissent en termes de représentations galoisiennes. Donc plus classification des représentations irréductibles en termes de représentation de groupes du galois absolu. Ok. Donc ce programme, il a aussi une version module OP. Si à la place de L on met FQ par exemple, donc si on a L module FQ, on a le programme de langage module OP qui est juste une excroissance de la conjecture de SER. La conjecture de SER. Voilà. Donc par exemple, on va s'intéresser juste au cas G égale GL2 parce que c'est le seul cas dans lequel on a vraiment des résultats vraiment sympathiques. Donc prend G égale GL2. Et... Donc on peut... Oui. Donc en général, c'est pas comme ça les groupes qui nous intéressent. Il y a une défini... Vous arrivez juste trop tard. Voilà. Voilà. Voilà pour... Ah d'accord. Et donc, en général, les gens, à la place d'écrire toutes les choses en termes de comologie des groupes, comme je l'ai fait là, ils utilisent ce qu'on appelle la comologie complétée des mertones. C'est-à-dire qu'on considère des tours de l'espace symétrique associé aux groupes algébriques là. Alors normalement, c'est pareil. En tout cas, pour GL2, c'est pareil. Et donc l'intérêt par contre d'écrire ça comme sous cette formule-là, c'est qu'on peut remplacer les fonctions continues par n'importe quelle sous-espace de fonctions sympathiques qui vous intéressent. Par exemple, vous pouvez fabriquer aux fonctions d'être localement constante en dehors de p ou d'être localement analytique en p, localement gébrique en p, etc. Donc ça vous fabrique des tas de sous-représentations intéressantes, ces représentations-là. Et dans le cas de GL2, donc on a un résultat d'Emertal qui s'intéresse. Donc le seul groupe intéressant, c'est le H1 H1 de G de Q à valeur d'en. Donc on va prendre les fonctions qui sont lisses en dehors de p, donc G de Z chapeau en dehors de p, lisses. Donc ça veut dire qu'elles sont fixes par un sous-groupe ouvert de G de Z chapeau par transition à droite. Donc ça, c'est un espace qui est la comogie complétée de Emerton. Donc je vais noter H1 chapeau et le théorème de Emerton, c'est le suivant. Ici vous avez la comogie de groupe abstrait. Là, c'est encore la comogie de groupe abstrait? Oui. Oui, parce que G de Q est discret là-dedans, donc il n'y a pas tellement d'autres choses que je pourrais faire que la comogie de groupe abstrait. Et donc, le théorème qui a démontré Emerton, c'est le suivant. Donc vous partez de row une représentation qui est non ramifiée en dehors d'un nombre fini de place, un valeur dans GL2 de L qui est 1 paire irréductible et c'est tout. Et plus, quelques restrictions sur row bar. Sur row bar. Et vous pouvez vous intéresser à la multiplicité de cette représentation dans ce groupe. Donc le Homme Galois de row a valeur dans ce H1 chapeau. Et alors, le théorème, c'est le suivant. C'est que ça s'exprime en termes de la correspondance de l'anglance local classique. Donc c'est le produit tempsoriel restreint sur les L différents de P de ce qui sort de la correspondance de l'anglance local classique appliquée à row restreint à Gql. Et ensuite, il y a un terme qui est purement péadique, qui est quelque chose que je note avec Pi de row restreint à Gqp. Et ce Pi, là, c'est ce qui sort de la correspondance de l'anglance local péadique. Donc ça dit que, si vous avez une représentation qui est non ramifiée en dehors d'un nombre classique, alors elle intervient dans ce groupe de comologies. Et en plus, ça intervient avec une multiplicité qui, en tant que représentation du groupe des ADL, finit et reliée à la correspondance de l'anglance. Mais tu nous as pas dit qu'elle était l'action de Lozine sur l'UH ? Oui, alors là, j'ai été un peu vite, effectivement. Donc, comme c'est la comologie complétée de Hémertan, c'est la comologie des courbes modulaires. Donc, les espaces symétriques associés servent à juste des courbes modulaires. Et maintenant, la comologie, et Isomorphe a la comologie étale, et donc il y a naturellement une action de galois dessus. Donc, ça sera pas le cas pour tous les autres groupes. C'est pour ça que quand j'ai mis ici quand on est je veux dire, ça, c'est très optimiste. Il ne veut pas y avoir une action galoisienne qui va vous être par la nature. Donc, je vais dire quelques mots sur cette correspondance de l'anglance locale péadique. L, L, péadique. Donc, pour le moment, ça marche que pour GL2 de QP. Donc, le papier final, c'est un papier avec Dospinescu et Pascunas. Mais il y a eu pas mal de travaux antérieurs. Donc, il y a eu Schneider et Eitelbaum qui ont fait beaucoup de travaux de fondement sur les représentations de GL2 de QP, les représentations péadiques de GL2 de QP. Ensuite, il y a eu Breuil qui a compris quelle forme la correspondance pouvait avoir. Enfin, il a aussi compris qu'il devrait, il pourrait y en avoir une. Il a fait des conjectures assez précises. Et puis sinon, il y a eu des contributions de Berger-Breuil, de Emerton, Kissine et moi-même. Voilà. Et donc, on a une théorie qui marche très, très bien qui fait la chose suivante. Donc, si vous avez V une représentation de Dimension 2 donc une L représentation de Dimension 2 du groupe de Galois absolu de QP L, c'est une extension finie de QP ici. Vous pouvez lui associer une représentation Pi2V de GL2 de QP. Donc, c'est une représentation c'est un L banard avec une action de GL2 de QP qui est unitaire. Unitaire, ça veut dire que la boulunité est fixe par et invariante par l'action et admissible. Admissible, ça veut dire quand vous réduisez module OP l'effecteur fixe par un sous-groupe ouvert sont de Dimension finie. Voilà. Et on a une correspondance dans un sens et dans l'autre sens, on a un fonteur. Si vous avez une Pi comme ça vous pouvez lui associer un V de Pi, ça c'est un vrai fonteur. Est-ce que dans le fonteur, on se donne la structure unitaire, c'est-à-dire le réseau ou est-ce qu'on se donne ou pas ? Ça n'a pas vraiment d'importance en fait. Ce qui se passe, enfin pour l'épreuve, oui, on se donne le réseau. Mais ce qui sort à la sorte. La flèche ne dépend pas du réseau. Et la condition d'admissibilité ne dépend pas du réseau ? Non, ça ne dépend pas du réseau. Ce réseau longueur finit. Ça reste un réseau longueur finit. J'ai un fonteur et c'est relié de la manière suivante. C'est-à-dire que si on appique le fonteur à Pi de V, on récupère V. Voilà. Et puis il y a des tas. Donc le fonteur, lui, il utilise les FIGAMA module de Fontaine. De Fontaine. Donc j'ai parlé de ça de multiples fois. Mais c'est assez remarquable parce qu'on n'a rien à faire. On prend la représentation et on la met dans un anneau de Fontaine. Et à la sortie, on a une représentation galoisienne sans avoir rien à faire. C'est totalement miraculeux. Bon, j'ai un problème. Oui. Là, je n'ai pas dit que ce qu'on obtient, c'est une représentation mais qui n'est pas forcément de Dimension 2. Non, ici, elle est de Dimension 2. Ici, je n'ai pas dit qu'elle était de Dimension 2. Elle ne l'est pas en général. Si je pars de n'importe quelle représentation admissible ici, si je prends une somme directe, comme le faisais remarquer Closel, je ne vais pas obtenir quelque chose de Dimension 2 à la sortie puisque j'obtiendrai la somme directe de Dimension 2. Et donc, un point important, c'est que, comme tout ça s'est donné par des fonteurs, ça marche bien en famille. Et en fait, le thérème des mertones est plus précis que ça. C'est-à-dire qu'il va donner vraiment une décomposition complète de ce module en termes de famille de représentation galoisienne. Bon, je vais peut-être revenir à ça à la fin de mon exposé. Ce n'est pas clair du tout. Ok, donc on est très contents pour GLDotCupé, mais ça, ça fait 10 ans que les résultats ont été démontrés. Et depuis, la situation pour les autres groupes est toujours un peu dans le brouillard, faut bien dire. Donc, une question naturelle, ça serait, est-ce qu'on ne pourrait pas trouver ? Donc là, on est très contents parce qu'on ne fait rien, mais peut-être que c'est pas la bonne construction de la correspondance. Et on cherche une correspondance qui serait plus géométrique et un énoncé qui aurait un sens pour tous les groupes plutôt que juste pour celui-là. Donc, l'idée qui est essayée de copier ce qu'on fait pour la correspondance classique. Donc pour la correspondance classique, ce qu'on fait, c'est qu'on réalise la correspondance de l'anglance classique dans la comologie de la tour de Drainfell, donc je vais rappeler la définition. Donc, c'est dans la comologie LADIC pour L différent de P. Et donc, une idée, je pense que tout le monde a eu cette idée, c'est de remplacer L par P et d'y aller gravement. Alors, le problème avant que je dise, c'est que le problème, c'est que la comologie étale PADIC, d'un objet PADIC et en général une horreur, et les gens préfèrent ne pas la regarder. Et l'exemple le plus simple c'est si vous prenez la boule unité ouverte, donc il va être je ne sais pas quoi de OCT double-crocheté. Si vous vous amusez à calculer la comologie étale LADIC QL21 mettons, vous obtenez 0 ce qui est raisonnable. Mais si vous vous amusez à calculer la PADIC on va mettre ZL ZP21 ce que vous obtenez c'est le completé des unités et donc en fait ce qu'on obtient c'est 1 plus T OCT double-crocheté comme groupe multiplicatif. Donc c'est énorme et ça ne s'améliore pas quand les espaces grossissent. Bon mais c'est pas grave donc je pense que c'est ce genre de résultats qui a fait que les gens ont été arrêtés à l'idée de regarder ces groupes de comologie mais quand même on peut faire quelque chose donc je vous rappelle ce que c'est que la tour de Drinefeld donc la base de la tour de Drinefeld c'est le demi-plan de Drinefeld H qui est juste l'espace P1 qui est arrivé des points de QP donc là-dessus il y a une action de GL2 de QP naturelle par transformation de Mobius à expliquer sur ses X plus D et ensuite au-dessus de cet espace Drinefeld a construit toute une tour donc M0 et puis MN et la limite projective des espaces on va l'appeler M1 fini ce premier espace lui il n'est pas du tout mystérieux c'est juste une réunion dénombrable de copies du demi-plan de Drinefeld et ensuite ça devient des revêtements finis donc qu'est-ce qu'il y a comme structure sur cette tour à l'âge de la tour il y a une action de GL2 de QP partout ensuite qu'est-ce qu'il y a d'autre comme action il y a une action du groupe de Galois de ce revêtement étal et ce groupe de Galois donc celui-là je l'appelle G c'est GCH donc c'est les unités dans une algebrae de quaternion sur QP et enfin donc le H lui il est défini sur QP mais c'est pas vrai que la tour est défini sur QP par contre la tour elle est défini sur le complété de l'extension maximale non ramifiée de QP mais il y a en plus une action du groupe de Veil il n'y a pas une action du groupe de Galois mais une action du groupe de Veil donc pour beaucoup de questions ça se comporte comme si c'était défini sur QP donc on a ces 3 groupes qui agissent et le produit des 3 groupes agit puisque les actions commutent sur la tour est-ce que c'est D étoile ou les unités GCH c'est D étoile c'est les unités de la algebrae de quaternion donc il y a des noms et puis il y a des kilomètres toutes toutes c'est vraiment c'est D-0 voilà et donc on a une action sur tous les groupes de comologie de ces 3 groupes d'accord donc si donc oui et par définition ça c'est vu comme système projectif donc la comologie de M à fini c'est juste la limite directe des comologies en niveau fini tous les calculs vont se passer en niveau fini donc nous ce qui m'a nous intéressé c'est la comologie étale de M à fini à valeur d'en QP de 1 qui est juste la limite directe des H1 étales de MN à valeur d'en QP de 1 ok donc le théorème qu'on a obtenu donc je dois dire qu'on était un peu réticents à l'idée de faire ce genre de considérer ce groupe pendant 2 ou 3 ans on s'est dit oui il faut faire le calcul mais jamais on enfin jamais on a osé commencer jusqu'au jour où Gabriel Dospinescu est arrivé en disant que Drinfeld avait fait le calcul en niveau 0 et qu'il avait obtenu quelque chose de sympathique alors donc en sachant que en niveau 0 c'était sympathique on s'est dit que peut-être ça valait le coup d'essayer de faire le calcul en niveau quelconque et donc voilà ce qu'on a obtenu donc le théorème donc c'est avec Dospinescu et Niziole Nizio donc on prend en soi V une représentation donc une L représentation irréductible absolument irréductible de GQP de dimension au moins 2 GQP c'est le groupe de Galois absolu et donc on s'intéresse à la multiplicité de cette représentation dans la comologie étale de la tour et alors le résultat est le suivant donc comme j'ai dit on n'a pas d'action de Galois mais on a une action du groupe de Veil donc si on restera un groupe de Veil de V à valeur dans le H1 étale de M-infinie GQP de 1 alors on obtient des choses que j'ai expliquées donc je l'écris et ensuite j'explique Pi de Ve dual si V est ok et 0 sinon donc qu'est ce que ça veut dire ok ça veut dire de dimension 2 et ensuite ça veut dire que la représentation a l'air de provenir de la comologie étale d'une courbe compacte donc ça se traduit par le fait qu'elle est deux rames les poids de Watchtate sont 0 et 1 et puis qu'est ce qu'on veut d'autre ah oui et puis il y a une question très importante donc puisque les deux rames on peut lui associer un objet qui s'appelle DPST de Veil grâce à Fontaine alors on peut considérer ça comme une représentation du groupe de Veil de ligne d'occupée et on demande que ça soit irréductible comme représentation du groupe de Veil de ligne représentation donc Pi de Ve là ici c'est la représentation que j'ai mentionné ici donc c'est celle qui sort de la correspondance de l'anglance locale pi de Ve c'est correspondance de l'anglance locale à ça on peut associer une représentation LL de Ve qui est juste les vecteurs qui sont localement constants pour l'action de G dans Pi de Ve mais c'est aussi Isomorph, ça c'est une des propriétés que j'ai pas énoncées pour la correspondance de l'anglance locale c'est aussi Isomorph à ce qu'on obtient en appliquant la correspondance de l'anglance locale classique au DPST de Ve voilà donc ça c'est une compatibilité entre la correspondance piadique et la classique qui est très importante pour les applications et finalement qu'est-ce que c'est que ce JL de Ve donc JL de Ve c'est ce qu'on obtient en appliquant la correspondance de Jacques et l'Anglante c'est la représentation LL de Ve donc c'est JL LL de Ve et ça c'est une représentation irréductible irréductible donc de dimension finie en fait puisque notre groupe est compact de G-Chap, de G-Chatch donc si on résume le théorème si on résume le théorème ça dit que dans ce gros espace de comologie on voit apparaître uniquement les représentations galoisiennes qu'on veut voir apparaître en particulier il n'y a pas de représentation plus grande que 2 et quand on garde la preuve c'était une vraie plus grande ou strictement plus grande que 2 ou plus grande que 3 et ça dépend si on fait l'exposé en français ou en anglais et en plus les représentations apparaissent avec la multiplicité qu'on veut c'est à dire que ça encode voilà donc quelles sont les ingrédients pour démontrer ce genre de résultats je m'en particulier la Steinberg la Steinberg n'est pas là parce que elle est là mais comment dire elle apparaît pas dans les représentations de dimension 2 sinon elle apparaît en niveau 0 mais si j'avais rajouté c'est pour ça que j'ai supposé que la représentation était de dimension supérieure auquel à 2 ça ça exclut la Steinberg mais c'est exclu bon je réfléchis si j'ai supposé qu'elle était irréductible si j'avais mis des choses qui n'étaient pas irréductibles et non ce serait fou parce qu'il y a des caractères qui proviennent du niveau 0 et cela c'est difficile de s'en débarrasser donc ok donc quelles sont les ingrédients alors la première chose c'est que c'est impossible de calculer la comologie étale donc ce qu'on fait c'est qu'on commence par calculer la comologie proétale donc on récupère h1 étale à l'intérieur de h1 proétale donc quelle est la différence entre les deux donc la différence entre les deux c'est que vous avez votre espace et c'est un espace qui est très gros mais on peut le recouvrir par une réunion croissante d'affinoïde donc maintenant vous avez deux possibilités sur chaque affinoïde vous pouvez faire les calculs au niveau entier donc vous calculer la comologie étale à valeur dans zp et puis vous passez la limite et à la fin vous inversez p ou bien alors vous faites le contraire sur chaque affinoïde vous faites la comologie à valeur dans zp vous inversez p puis ensuite vous passez la limite donc le premier sera beaucoup plus petit que le second puisque vous avez inversez p plus tôt et donc ça c'est étale et c'est proétale et comment on le récupère c'est en prenant les vecteurs g bornés donc il y a une action de g sur la comologie on a dit et donc on prend les vecteurs dont l'orbitre sous l'action de g varie dans un réseau fix d'accord donc ce qui est clair c'est que les aimants de ça sont g bornés puisque on a fait tous les calculs au niveau entier et par contre ce qui n'est pas clair si c'est en quelque chose qui est g borné ici alors ça provient de là et la raison pour laquelle c'est vrai ça c'est parce que votre espace il est très gros mais quand même vous pouvez le recouvrir par les translatés d'un unique affinoïde sous l'action de g donc tout va se passer dans dans votre affinoïde de base et un affinoïde c'est en gros compact donc tout se passe bien donc ça c'est la première chose donc on va plutôt regarder la comologie pro et tal alors ensuite il y a un théorème de comparaison comparaison entre pro et tal h1 pro et tal et complexe de deux rames donc on a une description de la comologie pro et tal en termes de forme différentielle donc le complexe de deux rames est quelque chose qu'on appelle la comologie de yodo kato qui est une forme plus précisée de la comogite de rames plus comogite de yodo kato et ensuite un ingrédient important c'est donc qu'il faut comprendre le complexe de rames et la comogite de yodo kato donc la comogite de yodo kato c'est l'analogue en péadique de la comologie et tal et l'addique donc on a un théorème de comparaison entre comogite yodo kato isomorph à comologie et tal et l'addique donc quand j'écris ça normalement n'importe qui va hurler l'espace vectorielle ça c'est un qp espace vectorielle mais si vous croyez à l'action du choix vous fabriquez un plongement des deux dans un corps plus grand et si vous croyez pas à l'action du choix vous regardez des traces ou des choses d'un genre là bref, les représentations donc ça c'est en tant que représentation représentation de du groupe de veille de ligne et de g croix g h h ok et finalement on a aussi besoin d'une description du complexe d'odorables donc le calcul du complexe d'odorables qui ajuste les fonctions sur m infini vers omega 1 de m infini en termes de g croix g h plus l'action de g croix g h et ça c'est un résultat de dospinescou le bras et plus un peu de théorie des représentations de gl d'autres qp pour une fois qu'on a vraiment une description de cet objet arrivé à une description de celui-là voilà donc il me reste un temps mais si j'essaye de résumer la situation en fait c'est ce qu'on est ah oui j'ai oublié quand même quelque chose dans cette histoire une fois qu'on a la comparaison entre yodo kato et eladik on n'a pas terminé parce qu'on est content que d'autres personnes travaillent avant nous et en fait calculer la comologie eladik de cet objet et fait le lien avec la correspondance de l'anglante-sogal classique donc ce qu'il manque parce que j'ai écrit là-haut c'est les résultats de dreinfeld et carayol sur le calcul de la comologie étale eladik donc si je résume en fait on est totalement incapable de calculer directement la comologie étale péadique mais ce qu'on fait c'est par des termes de comparaison successif on la ramène au calcul de la comologie étale eladik et là on peut utiliser eh ben les formules de traces de l'efshed etc et compter des nombres de points et patéties patéties ok donc peut-être je vais vous dire un peu plus ce qui sort de tous ces deux rames de comparaison donc ce qui sort c'est la chose suivante alors pour ça j'ai besoin un petit peu de notation donc on va faire jouer un rôle au dpst2v on va l'appeler m dpst2v donc ça va être une représentation de dimension 2 du groupe de velle de ligne d'occuper qui est irréductible et qui en plus est de pente 0 de pente 1 demi de pente 1 demi ça veut dire que les valeurs propres de Frobenus ont une valuation qui est 1 demi donc à m comme ça on peut associer comme j'ai dit plus haut on peut associer une représentation localement constante de gl2 d'occuper local de m donc ça c'est une représentation de g et une représentation gl de m qui est une représentation comme la haut de gch ok et qu'est ce qu'on peut associer encore donc maintenant si on a n'importe quel z module z avec une action de gch on peut découper la partie qui provient de m simplement en regardant z de m comme étant le hom dans ou pour gch de gl de m dual dans z ça c'est juste pour découper n'importe quel gch module suivant les représentations de gch et enfin on a la chose suivante on définit le module m de rame qui est juste cupé bar dans ce m fixe par gqp donc ça ça sera un espace de dimension 2 sur l donc l espace de dimension 2 et si on a une droite là dedans donc ça c'est une l droite on peut associer à toutes ces données une représentation galoisienne qui est vml qui est définie comme étant le noyau de b plus chris tensor m phi égal p vers cp tensor m de rame module l donc ça grâce à mon trem notre trem avec fontaine ça c'est une représentation de dimension 2 qui est ok dans le sens qui est du tom donc ça c'est ok représentation et le théorème c'est que toutes les représentations ok sont cette forme là pour un unique choix de couple ml et tout ok de cette forme et donc le résultat qu'on obtient en utilisant tout les ingrédients que j'ai mentionné c'est un joli diagramme qui est le suivant donc le théorème donc on a un diagramme qui ressemble à ça donc 0 cp tensor les fonctions sur m infini et on prend juste la m partie ça va vers h1 pro et tal de m infini qp de 1 encore la m partie ça va vers b plus chris tensor m phi égal p tensor chapeau ll de m dual c'est un 0 j'écris le diagramme et après je le commente deuxième ligne il y en a la même chose mais on a ici maintenant c'est le complexe de 2 rames donc cp tensor omega 1 de m infini de m et ici cp tensor m de rame tensor chapeau ll de m dual 0 et on a une flèche naturelle comme ça et maintenant chaque fois que vous prenez une droite là-dedans vous pouvez prendre le sous espace qui est ici et le tirer en arrière et vous obtenez une représentation ici et la question c'est savoir quelle est la représentation qu'on obtient et la représentation qu'on obtient donc ici on obtiendra la même chose et la représentation qu'on obtient en fait elle est reliée à la correspondance de l'anglance classique par la formule donc vous prenez votre représentation galosienne v ml vous prenez la représentation associée par la correspondance de l'anglance classique vous prenez les vecteurs localement analytiques dedans et vous prenez le dual donc ceci c'est ce qu'ils vont démontrer dospinescu le bras et ça c'est ce que nous avons démontré enfin c'est un des ingrédients principaux de notre article avec dospinescu et donc je vais faire un certain nombre de remarques comme vous pouvez voir cet espace ici à l'intérieur duquel on veut récupérer notre comologie étale il est absolument gigantesque parce qu'à l'intérieur on a les fonctions analytiques sur sur tous les étages de la tour en particulier non seulement il est gigantesque mais si vous regardez vous avez un cp ici ça vous dit que si vous regardez les représentations galoisiennes qui apparaissent là-dedans il y a tout toute représentation se plonge dans cp, il suffit qu'il y ait un déploie de Rocheted qui est zéro comme ici il y a en plus l'action des composants de connex en fait n'importe quelle représentation galoisienne se plonge là-dedans encore et ici c'est encore donc ça déjà cet espace il est gigantesque mais le quotient qui est ici est tout aussi gigantesque ce que ça c'est quelque chose qui est ce que j'appelle l'espace de dimension finie mais c'est de dimension finie dans le sens que c'est un cp espace vectoriel de dimension finie plus un cp espace vectoriel de dimension finie donc en tant que cp espace vectoriel c'est de dimension infinie et encore une fois dans cet espace là il y a quasiment toutes les représentations galoisiennes qui vont intervenir d'accord donc il se passe un miracle quand on prend les vecteurs G bornés donc quand on prend les vecteurs G bornés c'est relativement facile de voir que ce morceau-là disparaît donc là on est content donc mais par contre ici il n'y a aucune raison que tout disparaît c'est qu'il ne reste que les représentations de dimension 2 par exemple donc en fait quand on a énoncé ce thérème dans la première fois on avait insisté sur le fait que si la représentation était sympathique on avait bien la bonne multiplicité mais j'ai dit que j'étais sûr qu'il y avait beaucoup de bruit en plus mais il se trouve que non il n'y a pas de bruit en plus mais ça demande des arguments supplémentaires qu'on n'avait pas à l'époque voilà et donc comment s'interprètent les choses qui sont ici ici c'est ce qui provient de la chronologie de Yodo Kato et c'est là qu'on utilise le fait qu'on est LM2M donc ça c'est le dual de la représentation de l'angence locale classique et donc le fait qu'on ait ça c'est justement dû au fait qu'on a une comparaison entre Yodo Kato et Eladik et le fait que heureusement qu'il y a des gens qu'on travaillait pour nous avant sinon on serait bien bloqué à ce niveau là et ici cette partie là de l'argument ça utilise beaucoup d'arguments globaux c'est à dire que ce qu'on fait c'est qu'on conciente on concierte notre MA fini par des sous-groupes de congruences et donc on obtient des courbes de Shimura et c'est comme ça qu'on arrive à démontrer ce genre de choses voilà donc ça c'était ce qu'on avait il y a deux ans et donc on s'est aperçu qu'en fait en utilisant exactement les mêmes ingrédients mais dans un autre ordre que ce qu'on a ici on peut aussi obtenir la chose suivante c'est que si on s'intéresse à Home G maintenant de Pi de V duale dans cette même comologie étale je vous autorais peut-être mettre que j'ai étendu les scalaires à CP dans L de 1 alors en fait on obtient V on obtient la même chose mais dans l'autre sens JL de V si V est ok et on obtient 0 sinon donc ça c'est exactement les mêmes ingrédients mais dans un autre ordre et alors nous ce qui nous intéressait mais je vais pas avoir le temps de vous expliquer ce qu'on a obtenu comme résultat mais ce qui nous intéressait c'est d'essayer d'obtenir une description de cet espace à la émertonne donc vraiment de cet espace c'est pas uniquement des multiplicités diverses et variées, des représentations qui apparaissent et bon ben on a tourné en rond pendant longtemps parce qu'il semble que cet espace est trop gros ou en tout cas on comprend pas et en fait le bon espace ça semble être le suivant donc au lieu de prendre la comologie d'étendre les scalaires à CP il vaut mieux faire que la chose suivante donc on définit la comologie étale de MR fini et on va plus accuper BAR peut-être on va se mettre en niveau fini parce que ça sera plus simple de la manière suivante donc on inverse P à la fin mais ce qu'on fait c'est qu'on prend on regarde la comologie étale de notre variété MN mais on étend les scalaires non pas directement à CP mais à une extension finie d'occuper et on prend les coefficients finies et ensuite on fait la limite inductive sur l'extension finie d'occuper et ensuite on complète donc on fait la limite projective sur petit cas de ceci donc ça c'est exactement le genre de définition qu'on trouve dans la comologie complétée de MR ton alors c'est beaucoup plus petit que celui-là a priori au tout début moi j'étais ça me semblait totalement clair que cet espace était dense dans celui-là mais si on réfléchit un petit peu on s'aperçoit qu'il n'y a aucune raison que celui-là soit non nul en particulier donc c'est beaucoup plus petit bon il est non nul grâce à notre théorème précédent et pour celui-là en fait on a une description à la MR ton donc pour ce sous espace il y a une description à la MR ton bon j'ai terminé mon temps donc je vais juste dire qu'elle est la principale, l'ingrédient principal c'est que en fait ces espaces-là on peut démontrer qu'ils sont de longueur finie comme g-module c'est un peu mpk oui donc on fait le passage de la limite dans l'autre sens quelque part donc on monte dans la tour arithmétique donc on monte dans l'ex extension d'occuper et donc l'ingrédient principal c'est le fait que ceci est de longueur finie comme g-module et pour le moment la preuve est un peu apocalyptique j'espère qu'elle va simplifier parce que ça utilise vraiment beaucoup de choses bon j'arrête là, j'ai fini mon temps merci est-ce qu'il y a des questions ça veut dire que le théorème précédent qui est écrit juste dessus est vrai avec ce plus petit oui il est vrai avec ce plus petit truc oui en fait probablement celui-là est plus naturel que celui-là pour une raison en tout cas les choses sont beaucoup plus faciles à démontrer avec celui-là qu'avec celui-là mais il est possible que celui-là soit dense dans celui-là j'ai pas réussi à le prouver mais c'est pas impossible c'est vrai quand même auquel cas on aurait aussi une description de cet espace en niveau 0, ce qui est bizarre c'est que les deux sont égaux et ils sont tout petits donc ça donne pas vraiment d'indication sur ce qui se passe quand on montre d'autres questions Marie moi j'ai une inquiétude elle a un conjecteur de fontaine c'est dans le cas hyper non dans le cas hyper ça te dit juste que ça n'existe pas oui mais c'est connu oui c'est connu c'est un théorème de Caligari effectivement j'aurais dû signaler il y a encore quelques restrictions sur la présentation résiduelle mais effectivement la conjecture de fontaine mesure qui a dû disparaître du tableau dit que si la représentation de dimension 2 est paire et si elle est de rame mais pas à poids de hoche type 00 donc à poids de hoche type différent alors elle n'existe pas non c'est une conjecture qui a l'air totalement fausse au départ d'ailleurs il semble que plein de gens ont essayé des contre-exemples mais non sans succès