 Donc je remercie les organisateurs de m'avoir permis de déposer moi aussi mon offrande sur l'hôtel de Galois. Et en particulier de parler de Gontandique et les contributions de Gontandique à la théorie de Galois. Alors par la nature même du sujet, je vais être forcé à parler de concepts plus avancés que ceux qu'on a rencontrés jusqu'ici, lors du collo. Mais qui, pour beaucoup de gens dans le public, sont bien sûr bien connus. Mais pour d'autres qui ont tendi ça pour la première fois, j'espère qu'il y aura certains messages que je réussirai à passer. Alors j'ai eu un conseil de la part de l'Ivendres qui était d'introduire la personne de Gontandique. Et alors je suis un peu frustré parce que je suis dans une salle où lui-même il a fait beaucoup d'exposés. Et dans le public, je vois beaucoup de gens qui ont été ou bien ses élèves ou bien ses collaborateurs. Donc je ne suis certainement pas la personne appropriée à faire une présentation. Mais plutôt je voudrais commencer par une entrée dans le sujet et dénumérer quels sont, à mon avis, subjectifs les contributions principales de Gontandique à la théorie de Galois, donc le sujet de notre colloque ici. Et j'ai choisi pour vous trois points qui englobent bien sûr plusieurs choses. Donc la première que je trouve très important avec notre recue d'aujourd'hui, c'est qu'il a été le premier à ma connaissance d'introduire le point de vue fonctoriel en théorie de Galois qui n'est pas apparu dans la théorie avant. Et la deuxième contribution théorique, c'est le formalisme des catégories tanakiennes qui est une autre version de Galois qui est plus proche des questions de monodromie qu'on a vu dans l'exposé précédent et à laquelle je vais retourner plus tard dans l'exposé. Et la troisième chose, bon là j'ai mis plusieurs choses à la fois, il a bien sûr démontré des théorèmes des résultats plus précis sur le groupe fondamental en géométrière agébrique, donc plusieurs théorèmes sur le pied, des cours, mais d'autres schémas. Et ensuite, déjà dans les années 60, mais il a eu tout un programme pour comprendre les groupes de Galois, ce qui a amené plus tard à formuler explicitement c'est à théorie de dessins d'enfants et aussi ces conjectures dites anabelliennes qui ont fait couler beaucoup d'encre depuis et qui sont des sujets de recherche très actifs aujourd'hui-même. Alors bien entendu, en 50 minutes, je ne peux pas faire le tour de tous ces sujets. Donc j'ai choisi de parler des deux premiers points et accessoirement, je vais mentionner quelques points liés au troisième sujet, notamment aux questions anabelliennes, parce qu'ils apparaissent naturellement quand on parle du fondamental agébrique. Mais commençons par le commencement et je voudrais annoncer que vous n'en trouverez certainement pas comme ça dans les écrits de Contandique, c'est la correspondance de la théorie du Galois façon Contandique, mais bien sûr, il n'a jamais formulé ça dans un cadre aussi particulier, mais tout de suite dans la plus grande généralité possible. Pourtant, je voudrais vous montrer comment les sujets rencontrés jusqu'ici entrent dans sa philosophie. Donc je vais commencer par encore K, donc contrairement à Antoine, je préfère la notation à l'Allemande. Donc encore K et je choisis une clôture séparable, KS, et alors un objet fondamental qui a été mentionné, plutôt discrètement jusqu'ici, c'est le groupe de Galois absolu associé à cette situation, donc c'est un groupe de Galois infini, mais qui a la vertu d'être toujours là une fois qu'on a choisi une clôture séparable, donc ça dépend pas de choix d'extension unie. Et alors là, j'ai observé avec heureux qu'il y a un petit caillou qui s'est glissé dans la machine parfaitement huilée de l'organisation, c'est que personne n'a parlé de théorie de Galois infini lors du colloque. Je pensais que ce matin on va en parler, donc je vais en dire deux mots. Je dois remonter à ce qu'on a entendu ce matin, qui était, si je m'abuse, « Alles est schon bei Dede kind » donc, j'ai pas cité correctement, « Alles ist schon bei Dede kind » donc c'est Dede kind qui a eu l'intuition que le groupe de Galois d'une extension infini avait une structure continue, donc il a dit précisément « Die Galoische Gruppe wird gewissenmassen eine stetige Manichfertigkeit » donc le groupe de Galois est une variété continue en quelque sorte. Donc en d'autres termes, c'est un groupe topologique dans notre terminologie d'aujourd'hui et cette topologie a été définie de façon rigoureuse par Wolfgang Krull dans les années 20 et peut-être la façon la plus simple de l'introduire, c'est de déclarer que si on a une extension galoisienne infini, alors on prend comme un système de voisinage ouvert de l'unité les groupes de Galois des extensions finies et ceci définit par translation une topologie sur ce groupe et ça on l'appelle d'habitude la topologie de Krull. Gros tant dit que on prend ça déjà avec lui quand il formule sa correspondance galois et le groupe profini, le terme veut dire que du point de vue des groupes topologiques c'est une limite projective de groupe fini discrète et c'est le point de vue beau-bâchique qui a reformulé la notion de Krull. Donc on a ce groupe topologique compact et complètement disconex qui agit sur la clôture séparable donc aussi sur l'ensemble des homomorphismes d'une extension finie dans la clôture séparable et ici je parle d'homomorphisme de K-agèbre, pas seulement linère mais aussi multiplicative. Alors à ce point là je dois faire un grand aveu c'est que je vais ignorer systématiquement dans cet exposé les questions d'action à droite ou à gauche. Je sais que c'est complètement contre les bonnes merces et ceux qui m'en veulent peuvent organiser une séance de lapidation spontanée après l'exposé mais j'ai trouvé que comme il y aura beaucoup de choix de conventions d'action de droite à gauche dans l'exposé il vaut mieux l'oublier tout de suite et ceux qui sont intéressés peuvent regarder par exemple dans le livre que j'ai écrit sur le sujet où j'ai essayé de mettre toutes les actions au sens qu'il leur faut. Donc il y a cette action sur ces homomorphismes et donc si elle est une extension finie séparable alors on sait qu'il y a un nombre fini de tels homomorphismes de K-agèbre et la raison pour ça c'est que si on choisit un élément prémitif alpha et on prend le polinominimal F de alpha alors les homomorphismes d'agèbre de L dans la clôture séparable correspondent aux racines de F dans cette clôture séparable et il n'y en a qu'un nom fini. Donc l'action de G modulée au choix de droite ou gauche correspond donc à une action du groupe de Galois sur les racines de F et à ce point là le point de vue de Grotanique rejoint celui de Galois plutôt que celui d'Arthine parce que comme on a vu ce matin chez Arthine les racines disparaissaient en quelque sorte dans la formulation de la correspondance de la théorie de Galois tandis qu'ici chez Grotanique implicitement ils rentrent dans la théorie via l'action sur les homomorphismes donc en fait Grotanique considère la même action que Galois plus de 100 ans avant. Et donc on a cet ensemble fini là, cette topologie raisonnable qu'on puisse mettre là-dessus, c'est la topologie discrète et alors on sait que cette action de G est transitive donc on peut envoyer n'importe quelle racine sur une autre racine et aussi c'est une action continue ce qui veut dire que le fixateur, le stabilisateur de chaque point est un sous-goupe ouvert du groupe de Galois pour la topologie décroule que j'ai expliqué tout à l'heure. Alors on peut énoncer la correspondance de Galois façon Grotanique comme suit. On a un foncteur contravariant qui a une extension finie associée donc cet ensemble finie, munie avec une action continue et transitive du groupe de Galois et alors c'est une anti-équivalence de catégorie donc moralement à isomorphisme prêt ces deux sortes d'orges sont pareilles sauf que les morphismes vont dans l'autre sens des deux côtés et il est facile de voir comment... Donc je vous ai expliqué comment on associe un ensemble finie avec action de groupe à une extension et il est facile de trouver le foncteur en sens inverse donc si on part d'un ensemble finie sur lequel le groupe de Galois agit continuement alors on prend le stabilisateur d'un point on prend le corps que ça fixe et à isomorphisme prêt on obtient la même chose donc c'est comme ça qu'on peut expliquer la correspondance dans les deux sens. Alors il y a une toute petite amélioration de ça notamment on peut se débarrasser de l'hypothèse de transitivité donc une des choses fondamentales c'était que la transitivité de l'action de Galois sur les racines si on veut associer quelque chose à un ensemble finie avec action non nécessairement transitive du groupe de Galois il suffit de prendre des agèbres finiaitales qu'on a déjà vu hier mais la définition la plus simple c'est simplement de prendre un produit direct finie d'extensions finies séparables du corps et alors la décomposition un produit correspond exactement à la décomposition de l'ensemble finie en orbite et donc comme ça on peut reformuler le théorème qu'on a une correspondance, une antéquivalence entre les agèbres finiaitales et les ensembles finis munis d'une action continue du groupe de Galois mais non nécessairement transitive donc c'est ça qu'on appelle d'habitude de la théorie de Galois et donc ici déjà il est combien de remarquer que ce foncteur qui induit l'équivalence dépend du choix de la clôture séparable et donc par rapport à ce qu'on va voir tout à l'heure le choix de la clôture séparable joue l'euro d'un point bas comment topologie, comment on va voir tout de suite et bien justement parlons de topologie donc je vais reformuler certains résultats topologiques qu'on a vu dans l'exposé précédent dans le langage de Gontanik de nouveau c'est lui je pensais que je m'écris ça mais c'est implicite dans son travail sur le fondamental agérique donc on prend un espace qui est suffisamment beau il va être connex et localement simplement connex c'est pour que le revêtement universel existe et donc on prend des revêtements topologiques de cet espace et si on choisit un point de base maintenant alors on peut noter Phoebix, la fibre de ce revêtement en point X et alors comme on a vu tout à l'heure cet ensemble qui n'est plus fini en général est muni d'une action du groupe fondamental, de la base par le procédé de relèvement des chemins et des homotopies qui a été expliqué par M. Gré dans son exposé c'est une des constructions fondamentales de point à carré en topologie et on notait ici que je suis très fier de mes guillemets à la française et donc le théorème qu'on peut annoncer est tout à fait analogue à ce qu'on a vu dans le contexte agérique c'est que si on associe un revêtement en sa fibre avec l'action de monochromie alors à isomorphisme près c'est la même chose de se donner un revêtement Y et un ensemble avec action on ne part pas de topologie sur cet ensemble avec action du groupe discret du groupe fondamental sur cet ensemble là et ici encore il faut noter que ce foncteur fibre qu'on a utilisé dépend du choix du point de base mais en fait on sait beaucoup plus dans cette situation notamment ce foncteur est représentable par revêtement qu'on appelle revêtement universel et qui dépend lui aussi du point de base c'est un point qui est souvent ignoré dans les livres de topologie donc se donner un point dans le fibre c'est équivalent à se donner un morphisme de revêtement de ce revêtement universel dans le revêtement qu'on s'est donné et de plus si on regarde les automorphismes de revêtement universel donc ce sont les automorphismes d'espace topologique qui laissent la base invariante alors c'est isomorphes précisément au groupe fondamental modulo et l'oubli des choix d'action à droite à gauche que je fais enfin tout s'est exposé et donc je vous ai prévenu qu'est-ce qu'on en tire là ? eh bien on tire une chose fondamentale qui est qu'on peut définir le groupe fondamental comme le groupe d'automorphisme d'un foncteur donc qu'est-ce que c'est ? si on a un foncteur dans ce cadre général on peut considérer des morphismes de son foncteur qui sont aussi appelés transformation naturelle dans la terminologie plus ancienne et alors on peut regarder notamment les isomorphismes de ce foncteur avec lui-même et ce que je vous ai raconté on tire que tous ces isomorphismes là de ce foncteur avec lui-même proviennent d'automorphismes de revêtement universel donc finalement de groupe fondamental donc voilà une nouvelle définition de groupe fondamental c'est le groupe d'automorphisme d'un foncteur et une autre observation qu'on peut considérer non seulement les automorphismes de fibre mais on peut considérer des espaces de chemin qui vont entre deux proies à l'homotopie près et on peut identifier également ces espaces de chemin à l'homotopie près avec des isomorphismes entre deux foncteurs fibres en deux points différents alors je reste toujours dans le cadre topologique et je prends le completé profini de groupe fondamental donc ceci est la limite projective de tous les conscience finies de ce groupe en particulier les conscience finies donc le completé profini sera déjà comme un groupe de galois comme je vous ai expliqué dans le cadre des cours et il aura les mêmes conscience finies que le groupe fondamental topologique dont on est parti et comme corollaire on obtient c'est facile de déduire de termes précédents que si on considère seulement des revêtements finis donc là où les fibres sont finis alors ils correspondent objectivement aux ensembles finis avec excusez-moi il y a une faute c'est le px, c'est le completé profini que je voulais mettre là-bas donc avec l'action de ce grand px l'action continue de ce grand px et donc là on obtient un théorème qui est complètement parallèle à ce que je vous ai annoncé pour les corps au début de l'exposer et en fait il est amusant de noter qu'on peut démontrer un tel élancé pour n'importe quel espace même si le revêtement universel n'existe pas en tout cas on peut montrer que les revêtements finis sont classifiés par un groupe profini qu'on n'explicite pas alors maintenant comment on met ces deux théories ensemble c'était l'idée du groupe fondamental agébrique façon grotandique alors le groupe fondamental agébrique a été déjà connu essentiellement pour les courbes, c'est tout à fait classique et ça on travaille sur les surfaces de Riemann qu'on a vues tout à l'heure aussi je pense que dans les années 40 et 50 beaucoup de géométres à agébriste étaient au courant de comment étendre cette définition dimension supérieure en tout cas pour les variétés lisses et comment définir le groupe fondamental agébrique comme un groupe de galois d'une certaine extension de corps en utilisant la correspondance entre corps et revêtement qu'on a vu à la fin de l'exposé précédent mais grotandique avait un autre point de vue sur la question et donc il a vu le groupe fondamental agébrique comme un groupe qui réalise une correspondance comme les précédentes comme celles discutées précédemment donc en gébétique agébrique les analogues des revêtements finis sont les morphismes finis état subjectifs donc ce sont les analogues agébriques des morphismes et topologiques qui sont localement des idémorphismes analytiques qui sont localement des idémorphismes analytiques donc on peut agébriser cette notion et on obtient la notion de morphisme état et il y a également des points de base pour les schémas pour les objets de géométrie agébrique mais ce sont des points de base qui sont géométriques qui sont définis sur les corps agébriques manclots et tandis que le schéma qu'on considère n'est pas forcément définis sur un corps agébrique manclots ça peut être quelque chose de plus général et Grotandika définit ah oui excusez moi j'ai sauté une étape donc si on a choisi un point de base géométrique on peut considérer la fibre géométrique du revêtement au-dessus des points de base qui sont les points géométriques de la fibre et ensuite Grotandika définit le groupe fondamental agébrique donc en parallèle avec ce qu'on a vu jusqu'ici et donc ici c'est une définition par terre et qu'est-ce qu'il a montré il a montré que c'est un groupe profini tout comme le groupe de Galois dont l'action sur les fibres est continue et de plus ce foncteur induit une équivalence entre les revêtements finis et tâles et les ensembles finis avec action continue de ce pient agébrique des finis comme le groupe d'automorphisme de ce foncteur alors quel est le lien avec ce qu'on a vu précédemment donc ici le foncteur fibre est également représentable dans beaucoup de cas et représentable en général donc il existe un tour de revêtements finis galoisien qui joue le rôle d'un revêtement universel dans cette théorie qui classifie donc les revêtements finis et tâles et donc le lien avec ce qu'on a vu précédemment c'est que si on prend juste un point mais un point définit sur un corps quelconque alors le pient agébrique les revêtements finis et tâles correspondent juste aux agèbres étales définis sur ce corps et le groupe qu'on obtient c'est le groupe de galois discuté précédemment et si on prend une variété complexe alors on obtient le compétit profini du groupe fondamental topologique discuté précédemment donc c'est une notion qui généralise les deux mais il y a même mieux si on prend une variété qui est géométriquement connexe et qui est définie sur ce corps pas nécessairement agébrique et clon et on choisit des clôtures agébriques séparables de ce corps et on choisit un point géométrique de notre variété alors on peut construire une suite exacte très intéressante qui est particulière à l'agémétrie agébrique qu'on peut voir le pient agébrique de la variété comme une extension du groupe de galois absolu du corps de base par le groupe fondamental de X vu sur la clôture agébrique et les morphismes dans cette suite exacte sont induits par la fonction réalité évidente du groupe fondamental alors si le corps est de caractéristique zéro alors on sait que le groupe fondamental ne change pas par extension de corps agébrique monclos c'est un terme non trivial et donc on peut supposer par un procès des bras bien connu en géométrie agébrique que ce corps est en fait le corps de nombre complexe et donc par le deuxième point qu'on voit là-bas on voit que cet objet je suis censé utiliser la flèche donc cet objet qu'on a là est un objet qui provient de la topologie c'est le compétit profini du groupe fondamental topologique avec le groupe de galois algébrique du corps de base agissant là-dessus donc ça mélange d'algebra et de topologie qui est un mélange remarquable bien sûr ça n'a pas été découvert par Montandic mais c'est c'est la façon la plus commode de voir cette extension et donc on voit que cette théorie étant à la fois la théorie agébrique sur les corps que j'ai expliqué au début et la théorie topologique que j'ai expliqué par la suite alors permettez-moi de donner une application de cette idée donc si on revient à cette extension là alors on peut regarder l'action du groupe fondamental âge avec sur soi-même par automorphisme intérieur par conjugaison et on particulier dans le p1 de x on a le p1 géométrique qui est dans ce groupe normal donc on peut faire agir là-dessus le p1 par conjugaison donc on obtient un morphisme de p1 dans le groupe d'automorphisme des du groupe fondamental géométrique donc c'est là cet objet qui provient de la topologie et donc si on restreint cette flèche au groupe fondamental géométrique on obtient les automorphismes intérieurs du groupe fondamental géométrique donc on peut passer au quotient et si on regarde si on a encore en tête la suite exacte de la page précédente c'est des amontages de l'exposé bimaire voilà donc on voit que si on passe au quotient de ça par ça on obtient exactement le groupe de galois donc ce qu'on obtient c'est une représentation de groupe de galois dans le groupe d'automorphisme extérieur donc c'est le groupe des automorphismes de ce groupe co-scienté par les automorphismes intérieurs exemple si je prends une courbe elliptique alors si je regarde la groupe fondamental géométrique de cette courbe elliptique alors c'est un groupe profini qui est commutatif et si je regarde le pro-ell co-scient maximum donc si je fixe un groupe un nombre premier L et je regarde seulement des revêtements dont le degré est une puissance de L alors c'est isomorphise qu'on appelle le module de tête elladique associé à cette courbe elliptique et dans ce cas là c'est isomorphise donc ce qu'on a défini ici en fait c'est une représentation de groupe de galois dans GR2 de ZL et c'est exactement le genre de représentation qu'on verra discuter dans les exposés de jeudi et représentation galoisienne mais alors on a fait bien sûr quelque chose de beaucoup plus général parce qu'on a défini ça non seulement pour les courbes elliptiques mais aussi pour les cas et donc on peut percevoir cette action extérieure de groupe de galois sur le groupe fondamental géométrique comme un exemple de généralisation non commutative des représentations elladiques commutatives qu'on va avoir plus en détail au cours des jours suivants alors là-dessus c'est justement là où je fais une petite parenthèse là-dessus contendique fait beaucoup de conjectures intéressantes et notamment il a conjecturé que pour certaines variétés dites anabéliennes qui sont définissures un corps de type finisseur premier cette représentation extérieure détermine la variété sur un corps global hyperbolique c'est un terme maintenant essentiellement dû à des mathématiciens japonais tamagawa et mochizuki et aussi avec un construit musulia yacobchitik sans caractéristique positive et a noté ici qu'une courbe hyperbolique ce sont précisément les courbes lisses dont le groupe fondamental est non commutatif on peut prendre ça comme définition si vous voulez donc c'est exactement ceux-là qui sont caractérisés par cette action galois et les autres non typiquement les courbes elliptiques ne sont pas si on prend un corps fini il y a même des énoncés absolus donc ça ne concerne plus l'action de galois sur le groupe fondamental géométrique mais on peut procéder beaucoup plus directement on prend le groupe fondamental tout entier et ça détermine la courbe isomorphisme et c'est aussi un terme du atamagawa affine et mochizuki dans le cas projectif voilà pour le pien de Gaute-en-Nique et je voudrais passer maintenant un autre sujet qui continue ce qu'on a vu dans l'exposé précédent sur la monodromie c'est que c'est très bien ce que j'ai raconté jusqu'ici mais dans la nature bon donc ici je vous ai parlé de représentation de permutation sur les ensembles finis mais dans la nature on rencontre plutôt des représentations linéaires pas des représentations de permutation il y a beaucoup plus d'exemples comme ça et notamment l'exemple type c'est la représentation de monodromie avec une équation différenciée linéaire d'ordre n bien sûr tout ça ce sont des fonctions homomorphes sur un ouvert connex de x et à une telle équation différenciée linéaire on peut associer une représentation de monodromie à valeur d'angéline c ceci se fait en utilisant le terme on prend un voisinage assez petit de chaque point x alors on sait que les solutions locales forment un vectoria de dimension finie sur c qui est de dimension n et là-dessus il y a l'action de monodromie qui est donnée par la continuation analytique des fonctions alors jusqu'ici dans les théories qu'on a vues on a pu récupérer le groupe fondamental à partir de ces représentations de permutation en considérant le groupe d'automorphisme de la foncture fibre mais on peut se demander ce qu'on obtient si on ajuste les représentations linéaires à valeur d'angéline c comme ici on récupère que l'enveloppe agébrique de ce groupe qui est un groupe qu'on appelle pro-agébrique c'est un limite projectif de groupe agébrique en fait il y a un raison agébrique pour ça si je regarde toutes les représentations linéaires complexes de dimension finie du groupe fondamental je peux fixer une représentation et je peux regarder la plus petite sous catégorie qui est stable par toutes les opérations habituelles de la théorie des représentations sous objets quotient et produit tensoriel et du euro c'est très important et alors on peut se demander si on quelle information ça contient et bien ça contient qu'est-ce qu'on récupère à partir de cette catégorie et bien on récupère exactement l'adhérence des arrisquis de l'image de la représentation dont on est parti et ensuite on fait varier les représentations et c'est comme ça qu'on obtient ces gigantesques enveloppes que j'ai parlé tout à l'heure et alors ici si on note l'adhérence des arrisquis de l'image par g de rô on peut récupérer ce groupe comme les automorphismes du fonteur oublie qui associe une représentation l'espace factoria sous jacembre donc finalement si on regarde puisqu'on regarde des représentations linéaires on ne peut pas espérer de récupérer le groupe dont on est par l'Éthi mais on a récupéré en quelque sorte sa linéarisation et alors il y a un point important ici c'est que quand on regarde les automorphismes du fonteur d'oubli il faut prendre compte la substitute en ceria donc il faut regarder seulement mais c'est précisément un type dénoncé de Tanaka Krain donc en théorie des représentations des groupes topologiques on sait qu'on peut récupérer un groupe topologique compact à partir de ces représentations linéaires continues pourvu qu'on prenne en compte la substitute en ceria et alors c'était ça l'idée de base pour autant dire d'introduire généralisation formelle de cette notion qui s'applique dans beaucoup d'autres situations donc voilà donc j'ai écrit une définition un peu effrayante qui est la définition j'espère rigoureuse mais ce qu'il faut savoir c'est que on prend une catégorie dans laquelle on peut faire sur les objets toutes les opérations qu'on peut faire pour les représentations de groupes y compris le produit tempsurien et le dual et donc on regarde un foncteur un foncteur fibre qui a un objet de cette catégorie associe un cabacteurien de dimension finie et tout ça doit respecter la substitute tempsurienne et donc on note le groupe d'automorphisme de ce foncteur qui respecte la substitute tempsurienne les deux côtés et ce qu'on montre c'est que bon c'est pas tout à fait un groupe algébrique en général parce qu'il n'est pas de type fini mais c'est ce qu'on appelle un schéma un groupe affine sur le corps de base et c'est même un groupe algébrique un vrai groupe algébrique si notre catégorie est engendrée seulement par nom fini d'objets au sens tempsurien donc le théorème qu'a démontré l'héros tantique c'est que ce foncteur fibre donne une équivalence de catégorie entre cette catégorie abstraite et les représentations linéaires de ce groupe algébrique ou pro-agébrique qu'on a conçu comme ça même si c'est très abstrait il y a quand même un parallèle avec la théorie profine au début alors les experts savent bien qu'au lieu des foncteurs fibres à valeur des espaces facturaires sur un corps sur le corps de base on peut regarder des foncteurs fibres sur des croix plus grands même des OS modules localement libres sur un schéma S et dans ce cas là aussi on peut toujours considérer malheureusement on n'obtient pas une équivalence de catégorie comme j'ai expliqué tout à l'heure on obtient une équivalence plus générale pour des groupes poïdes c'est un annoncé qui a été dans la thèse de Saavedra qui a été mis au propre part de lignes dans son article de 1990 et alors je m'approche de la fin et on peut se demander pourquoi tout ça sert et bien ça sert à mettre dans le même compte d'enveloppe beaucoup d'exemples qu'on trouve dans divers domaines mathématiques donc par exemple on peut regarder la catégorie des représentations linéaires niles potentes un groupe abstrait gamma et alors on applique la machine ça forme une catégorie comme je l'ai décrit on applique la machine et on obtient un groupe pro-unipotente on appelle l'enveloppe pro-unipotente de gamma canoniquement associé à gamma un autre exemple qui va revenir dans ce colloque c'est la considération des modules différentiels donc c'est les modules qui interviennent en terre et des galois différentiels et si on applique le formalisme on obtient ce qu'on appelle le groupe de galois différentiel c'est un corps algébrique manclon sinon on obtient un schéma en groupe et également c'est un formalisme qui permet de récupérer la théorie algébrique des équations différentielles la théorie de galois des équations différentielles alors les géomètres complexes on appelle les structures de Hodges les structures de Hodges c'est aussi une catégorie comme je décris et si on applique le formalisme on obtient un groupe très étudié par les géomètres complexes qui s'appelle le groupe de bombes forte et finalement je mentionne un exemple où il y a un foncteur non neutre qui va revenir je pense dans l'explosé de Jean-Marc Fontaine si je m'abuse c'est l'exemple de motifs pur sur un coup sous-court de SEM et on prend une réalisation topologique là-dessus et on obtient ce qu'on appelle les gouttes de galois motiviques qui sont des objets très étudiés en géométrie algébrique moderne alors il est passionnant d'étudier plusieurs foncteurs fibres sur la même catégorie parce que ça veut dire que c'est comme si dans le cadre topologique on faisait varier le point de base pour les revêtements mais ici cette varière c'est une point de base ça pourrait dire que ces points de base proviennent de plusieurs théories complètement différentes et si on veut étudier ce qui se passe pour le groupe de galois c'est aussi à ces différentes points de base alors on obtient des correspondances profondes entre plusieurs branches des mathématiques d'où on peut sortir ces points de base et on aura de tout ça donc j'ai terminé mon exposé d'absence c'est que en résumé on peut dire que Grottendick a étendu la notion de groupe de galois à un contexte mathématique beaucoup plus large que la théorie des équations qui comprend comme les exemples ont montré l'agèbre la topologie, la géométrie analytique la géométrie algébrique la rythmétique c'est à dire en présentation et il montre que dans beaucoup de situations comme ça on peut définir un groupe de galois qui contient beaucoup d'informations sur les objets qu'on étudie ainsi la place des groupes de galois au sein des mathématiques actuelles est plus importante que jamais ce qui montre que les idées de galois vivent à Grottendick que jamais merci c'est pas une question c'est un commentaire et qu'il n'a pas grand chose à voir avec les groupes de galois mais avec les personnalités l'autre jour à Beaux-la-Rennes j'ai dû prendre la parole devant Monsieur Patrick de Vettgen les connaisseurs de la politique française savent qui est Monsieur Patrick de Vettgen c'était de Galois oui c'était de Galois Patrick de Vettgen et j'ai dû faire un représentant éminent de la droite assez dure une démonstration comme quoi on pouvait faire des révolutions mathématiques et être un mathématicien révolutionnel alors ce qui m'a frappé ce qui rapproche Galois, Abel et Grottendick il y a beaucoup de rapprochements mathématiques mais il y a un rapprochement dans leur destiné personnelle qui est frappant c'est que tous les trois ont perdu leur père très jeune et dans les conditions politiques dramatiques sauf que les deux précédents sont aussi morts très jeunes ce qui n'est pas heureusement j'ai dit il y a des différences mais bon je vais pas faire un cours de lacanisme sur le nom du père dans certains cas assez simple on peut l'expliciter mais je pense qu'il n'y a pas de résultats de structure générale oui on prend la catégorie de ces représentations mais bon je veux dire résultats de structure générale intéressante d'autres questions, d'autres remarques je crois qu'il faut aussi redemander pardon, après demander à l'enfis d'arbre aussi tout au début de ton exposé tu avais cité 3 rubriques 3 contributions de Grottendick tu parlais largement des deux premières tu avais dit que peut-être tu évoquerais la troisième en quelques mots est-ce que tu peux dire ces quelques mots sur les dessins d'enfants bon j'ai parlé un peu de chez des conjectures anabellien et il y avait les résultats structuraux de Grottendick sur le groupe fondamental avec notamment des courbes donc une chose qu'on savait pas faire avant c'est de calculer le groupe fondamental d'une courbe sur un corps de caractéristique positif et ce n'était pas possible avant la nouvelle technologie de Grottendick d'accord mais il a fait un pas assez donc j'ai dit première paix et puis donc il y a d'autres résultats structuraux qui sortent par exemple des résultats de finitude sur le groupe fondamental qui continue dans son séminaire et je ne sais pas comment résumer la théâtre des dessins d'enfants en 8 minutes mais si tu as une idée de dire ça je voulais dire que Grottendick lui-même assise sur un changement de cadre de pensée totale tu as parlé des dessins d'enfants mais dans le cadre très functoriel du début de sa carrière alors que à la fin il est revenu à la cartographie et des choses extrêmement concrètes oui mais d'après ce que j'ai cru comprendre mais peut-être l'utilisie me précisera ça c'est qu'il a déjà réfléchi à ce genre de choses dans les années 60 peut-être pas aussi explicitement donc c'est pas une rupture dans sa façon de penser donc c'était dans sa tête tout le temps mais à la fin il était effectivement plus attiré par des choses plus concrètes mais je pense pas que ça soit bon dans votre exposé vous avez présenté des résultats en disant que Grottendick c'était dans Grottendick mais en même temps ce n'était pas vraiment Grottendick il avait explicité dans les termes que vous avez donné donc ma question Grottendick c'est quand même maintenant il y a presque 50 ans 40-50 ans donc est-ce qu'il y a eu dans ce que vous avez présenté des très grands continuateurs ou c'est impossible c'est une œuvre collective c'est impossible de distinguer peut-être quelques grands... En ce qui concerne le formalisme la solution de Grottendick était satisfaisante pour la plupart de l'application qu'on a aujourd'hui peut-être dans l'avenir il y aura des applications mais c'est très des extensions des idées de Grottendick d'extensions fondamentales alors une chose que j'ai passé sous le tapis c'est effectivement Grottendick a donné sa définition des groupes fondamentaux profilés dans un cadre très abstrait des catégories de ce qu'il appelait des catégories galoisiennes donc c'est son des catégories qu'on peut définir avec des conditions axiomatiques et j'ai choisi de le présenter plutôt dans des cas particuliers parce qu'à ma connaissance ces cas particuliers sont les seuls exemples d'applications vraiment importantes de ce formalisme il y a des variantes mais il n'y a pas d'autres tandis que j'ai choisi de le présenter la théorie tanachienne dans sa version abstraite parce que là effectivement on voit beaucoup d'applications dans beaucoup de domaines différentes donc ça vaut la peine de parler d'un formalisme qui unifie les mathématiques en quelque sorte pour finir on parle finalement d'objets assez concrets qu'on comprend mieux un peu mieux grâce au technique de Grotonique bon peut-être ce qui s'est développé qui est tout à fait dans la ligne de Grotonique mais qui n'a peut-être été réalisé assez récemment c'est l'importance des groupes ouïdes parce que bon vous avez mentionné au passage des groupes ouïdes mais bon il est maintenant clair que c'est la clé pour beaucoup de choses et que le groupe ne suffit pas dans l'analyse des équations différentielles par les méthodes galoisiennes dès qu'on est dans le cas qui s'appelle le cas de nom transitif on ne peut pas éviter de considérer les groupes ouïdes non pas les groupes et d'ailleurs pour les revêtements bon vous avez dit vous pourriez la théorie des revêtements vous pouvez dire aussi que la catégorie des revêtements au-dessus là ne se passe convenable c'est la catégorie des représentations du groupe ouïdes alors là il n'y a plus de points basses tout de suite la force et la théorie des champs n'est juste qu'une elaboration de ça bien entendu alors d'autre part la présentation que vous avez dite au début de la théorie galois elle est explicitement dans Burbaki mais ce n'est pas tout à fait indépendant de Grotonnik je pense que là on retourne à la question de la salle où on est maintenant est-ce qu'on essaie de demander des questions à l'autre salle il faut que la technique se vive mais je crois qu'il va demander de ça là donc est-ce que l'autre salle a des questions est-ce qu'ils ont un micro déjà la voix de Dieu on le voit est-ce que l'outchia a une question dans ce cas là on peut remercier Dommage