 Merci beaucoup pour l'introduction. Merci aussi beaucoup pour l'invitation. Je suis très heureux de vous parler ici. Je vous remercie parce que beaucoup de vous avez déjà vu une partie de cette parole sur l'observité et le contrôle. Le nouveau point peut-être est sur la stabilisation de l'eau. Donc le problème que je considère dans le suivi est la génération et l'absorption de l'eau. Et ici, nous allons considérer le problème d'un tank rectangulaire, qui signifie que nous sommes considérés d'un contenu boundé avec une flotte à l'intérieur. Et le contenu a des walls vertiques, qui sont vertiques. Le contenu a un bouton, qui est flotté. Et aussi, vous avez une flotte à l'arrière. Vous avez une flotte à l'arrière. Donc il y a deux pictures, une avec une flotte 3D et une avec une flotte 2D. Pour le sake de la simplicité, nous sommes considérés d'une flotte à l'arrière avec une flotte à l'arrière. Nous allons considérer une flotte à l'arrière mais en général, le résultat doit aussi s'appliquer pour une flotte à l'arrière 3D. Je vais présenter les résultats en collaboration avec Pietro Baldi et Daniel Hanquan sur la contrôlabilité de la flotte à l'arrière. Et aussi les résultats de la stabilisation et de la stabilisation qui s'appliquent pour une flotte à l'arrière 2D avec ou sans surface tension. Donc le problème de la contrôlabilité et de la stabilisation de la flotte à l'arrière a été étudié beaucoup. Pour l'équation, décrivez une flotte à l'arrière dans un régime asymptotique comme l'équation Benjamin ou la équation KDV ou la équation Saint-Vernon. Et il y a beaucoup de gens qui travaillent sur ce sujet. Bon, Camille Laurent, Philippe Linares, Jean-Mortega, Petit, Rosier et Russell. Ici, la différence avec ce travail est qu'on considère la flotte c'est-à-dire qu'on considère la dynamique d'un liquide incompressible dans une flotte à l'arrière omega avec une flotte à l'arrière 3D. C'est un point important. On considère la flotte à l'arrière 3D et on assume que, à un temps t, la flotte à l'arrière est de la forme suivante. C'est un point x et y dans 0L xR que y est plus ou moins et plus petit que h de t sur x. Et le fait que la flotte a une surface libre signifie que h est un problème. Ok? Nous allons considérer la flotte à l'arrière qui dépend de temps omega de t dans un container bondé et la surface libre est la flotte avec l'équation y est equal de tx. Donc, les paramètres physiques sont les dents c'est h et le nombre de la flotte c'est L dans la flotte à l'arrière la flotte est déterminée par sa velocity à l'arrière c'est la flotte à l'arrière et la flotte est déterminée pour deux ans. Ce sont les équations incompressibles de l'équation dTV plus de v gradant v plus de p plus de gy est equal à 0. Clavier pcej est la surface relance g est la accélération gravité chaque équation habituelle ce sont les constraints d'incompressibilité v est equal à 0 Le domaine de flotte cookie Ba achter stock sur desrophages par la botte et sur la surface les conditions sont les suivantes. First, we assume that v dot n is equal to 0, both on the bottom and on the walls. The usual solid wall boundary condition. Then the problem is determined by two boundary conditions on the free surface. Firstly, we assume that on the free surface, that is here, we no longer have v dot n equal to 0, we have instead dt of eta is equal to the square root of 1 plus the derivative of eta, eta x square times v dot n. And secondly, this is the kinematic equation that describes the motion of the free surface. And the second equation is the balance of forces across the free surface. This is an equation for the difference between the pressure inside the fluid and the external pressure. The pressure in the air. We assume that the jump of pressure at the free surface is proportional to the curvature. That is, p minus px is equal to minus kappa times dx of eta x divided by the square root of 1 plus eta x square. So the physical parameters are g and kappa, the surface tension coefficient. P is the pressure and px is the external pressure. In this talk, we consider the case with surface tension which means that we assume that kappa is equal to 1. And another assumption that we make is that v is irrotational. The curl of v is 0. Just the important notation are eta is the free surface elevation. V is the Eulerian fluid velocity. We assume that curl of v is equal to 0. And we can write v as a gradient of some function phi which is the velocity potential. This is a scalar function. Ok, now I am going to describe the problem of controllability. The question is very easy to explain. We start from, yes? What happens with the boundary condition at the point of triple junction between the solid fluid and the... This is not a problem here. Because as I will explain later we can extend this problem to a problem defined on the wall line. So it's hitting it vertically, for example? Yes. So there's always a right angle. There is always a right angle. Condition is propagated by the equation. But I have to say that Vlad has a point which is... I don't understand. Because Vlad has a point because every interface has a free energy an interface between water and wall does, water and air does, air and wall does and there's generally a meniscus which applies pressure, which applies a force to... So saying that it's normal is assuming that there's no wall... Yes, I am making this assumption. I am making this assumption and this assumption is propagated in time. So the problem is the following. You have a container with a fluid that rests inside. Okay? And you want, by some means, to generate a wave. Okay? Starting from this fluid you want to generate a wave. That is, you want to generate a free surface. You want to generate a fluid motion inside. And you want to be able to do that in some time capital T. To generate a wave you have, of course, many ways to act on a fluid, on a container. Here we are going to consider what is possibly the simplest way according to the mathematical analysis which is to blow above the free surface. Of course, if you blow above the free surface you are going to generate a wave. And the question is is it possible to blow above a localized or confined portion of the free surface and generate a wave? On précise, the question is a foreign. The mathematical question is a foreign. Given some time T that is given in advance. Given a finite state eta final v final in some space X. Given an interval AB a domain omega which is equal to the interval AB find a pressure a value of the external pressure at the free surface. It is a function of T and X which is supported in 0T times omega such that the unique solution of the water wave equation with initial data 0 is such that the solution coincide at time T, capital T with a finite state that is given in advance. So this is a controllability question. And then there is an observation that in this case one can see that the assumption that the fluid is irrotational is meaningful because you start from something that is irrotational and you have a conservative force so the flow will be irrotational at any time. Ok. So this is the question. No. The first thing to do is to reduce ourselves to the case where there is no lateral walls and this is done in a standard way. We reduce ourselves to the case where omega of T is in fact the state of point X and Y in R times R so that Y is larger minus R times smaller than E. Età de faire ça on utilise la procédé de la procédé et de la procédé de la procédé nous renvoie la procédé de la procédé et on l'exécute par la procédé. par la procédé nous sommes réduits par la procédé qui est la procédé. En ce genre c'est bien sûr beaucoup question sur la régulière. Parce que quand vous ruisiez la procédé vous pouvez introduire les régularités Il y a quelques questions sur la régularité et l'analyse des problèmes de coche à l'égularité de la régularité. Je ne vais pas discuter à cette question. Ceci a été étudié avec Nicolas Burk et Claude Zuley, pour le cas sans surface tension, et plus recentement avec Thibaud de Poivré pour le cas avec surface tension. Maintenant je peux dire le premier résultat, ce qui est de la controllabilité, et c'est un résultat local, la controllabilité de 2 dimensions, gravité, capillary, waterway. Pour cela, j'ai besoin d'introduire une autre notation. La notation est la notation psi. L'observation est la suivante, comme vous l'avez déjà vu. Depuis que la divergence de v est equal à 0, phi est une fonction harmonique. Mais vous savez que la derivation de Neumann est 0 sur la roue et sur le bouton parce que de la condition solide. Phi est complètement déterminé par ses traits sur la surface libre. C'est pourquoi c'est convenu d'introduire la fonction psi, qui est l'évaluation de phi sur la surface libre. La deuxième point, c'est la fonction de T et de X, alors que cette fonction est définie en domaines avec la surface libre. Alors que cette fonction est la fonction de time et X, La notation n'est qu'H mu est l'espèce supérieure de l'ordre mu et l'index M nous refermera à la fonction d'une fonction d'une valeur de 0. Donc le résultat principal avec Pietrobaldi et d'Anand Coen est la suivante. Dès que le time t, cela peut être arbitrairement petit, et que d'un intervalle non-empte, inclué en 0L, il existe un index L, S, large enough, et le nombre M0, small enough, ainsi que pour toutes les initiales data et toutes les finales data dans cet état, Hs plus 1,5 times Hs, ainsi que la norme initiale est plus petite que M0 et la norme, à un point final, est plus petite que M0, vous pouvez trouver une pression externelle qui continue en temps avec la valeur Hs, supportée en 0T times omega, ainsi que le problème de coche avec data à temps 0, donné par les initiales data, a une solution unique qui continue en temps avec la valeur Hs plus 1,5 times Hs, qui coïncide à temps t avec un état final qui est donné en avance. Donc ce sont les résultats de la controllabilité locale. La controllabilité signifie que l'on est capable d'attirer cet état à cet état en temps final. Locale signifie que nous travaillons dans un ballon autour de 0, ce n'est pas un résultat global, c'est un résultat local. Nous travaillons dans une neighborhood de 0, et un important point est que le résultat est vrai à tout moment pour la controllabilité. C'est difficile de travailler en small times et en large times, bien sûr, parce que vous voulez atteindre un état en small times, c'est plus difficile de atteindre un état en long temps. Quels sont vos estimations sur P? Qu'est-ce que l'estimage? Exactement. Mais M0 dépend de T. Quand T est très petit, M0... Mais comment est-ce que Px... P est bloquée comme T avec 0? Je ne sais pas. C'est l'estimage sur P. C'est la pression. Ah, c'est P. Oui, tout est bloquée quand T va à 0. Cela peut être computé par la preuve. C'est une optimisation. Pour les liens, le problème est exponentiel. Exactement. Donc, ce n'est pas mieux. Oui, pour les liens, c'est mieux. Est-ce que T dépend de M? Je l'imagine, si tu es un petit... Oui, le constat dépend de M. Un petit S. C'est un petit S dépend de M. Non. Non, non, S est universel. Dans notre preuve, c'est quelque chose de 15, mais... Est-ce que P a un signe? Non. C'est négatif. Tu dois s'occuper. C'est juste bloquée. Oui, on pousse et on remet. Oui, c'est une bonne question pour essayer de trouver la pression, qui est toujours positive. Ok? D'accord. Je vais dire seulement quelques mots sur la preuve. La preuve utilise un moyen crucial que nous connaissons beaucoup de choses sur le studio sur le problème de coche. Nous connaissons beaucoup de choses parce qu'il y a beaucoup, beaucoup d'études qui ont déjà été déclarées dans les paroles précédentes, donc je me souviens juste de cette partie. Le point est que c'est une équation dispersive. Et nous utilisons un moyen crucial que la équation soit dispersive. Cela peut être la plus facile au niveau de l'équation lénérisée. Si tu negles la gravité pour simplifier la notation, si tu negles la termine non-linear pour considérer l'équation lénérisée et si, en fait, tu travailles avec Psi et Ita, qui sont une fonction de valeur réelle, tu décides de travailler avec cette fonction complexe, Psi-Idx1¹¹ et tu trouveras que tu satisfaises cette équation d'études plus Idx³¹¹ est égale pour la pression externelle. Donc, pour contrôler cette équation est extrêmement facile parce que tu ne sais pas que tu es en train d'utiliser l'équation d'études. Donc, pour étudier la contrôlabilité de l'équation non-linear c'est d'utiliser une équation similaire de l'équation non-linear et cela peut être fait. C'est basé dans l'approche étudie de l'équation non-linear et donc, quand tu les souleve et tu peux plus en plus considérer les formes normales de la valeur. Donc, en fin de compte nous pouvons manipuler la équation assez facilement et si tu me souviens c'est simple, le résultat est que tu peux réélliger le système de la base de l'équation vu qu'un chécutre d'exu plus de l'exu de 3 à 4 actuellement pour shares d'exu de 3 à 4 c'est aussi que la pression du external où c'est une fonction de valeur réelle de la valeur. Donc, c'est une équation similaire à celle-ci. Donc, comme j'ai dit le système de l'équation non-linear est au longitudinaire et peut être contrôlé à l'avion des analyses, ou encore de l' Gesetz de la Danse. Mais ce n'est pas enough c'est pas suffisant pour notre problème, car le problème est quasi-linear. Car le problème est quasi-linear, il n'est pas suffisant de savoir ce qui s'est passé pour le système léneraise à l'origine. Vous ne pouvez pas appliquer une functionalisation implicite en travaillant seulement à l'origine. Vous devez appliquer un schéma qui est basé sur l'analyse de l'équation léneraise dans une neighborhood de l'origine. Donc nécessairement, vous devez utiliser un schéma de l'équation léneraise. Et d'ailleurs, vous devez s'assurer que la pression externelle ait une solution limitée pour apprécier les problèmes contrôles avec l'équation léneraise. Nous utilisons un schéma de léneraise. En quelque sorte, le point principal est d'étudier une équation léneraise avec l'équation léneraise qui est fixée. Vous considérez un bar de reference state et vous considérez que la position de l'équation léneraise et la position de l'équation léneraise ont été évaluées et nous voulons contrôler cette équation. Nous allons donc transformer l'opérateur P dans plusieurs étapes. Le premier étape est d'étudier la coefficient de l'équation léneraise. Nous utilisons un changement variable de cette forme. Nous utilisons un changement variable en x c'est-à-dire h de tx et plus capa de tx. Et c'est convenu de multiplier par un préfacteur qui est comme que l'alto-norme en x est réservé. Vous pouvez trouver que P est conjugée à cet opérateur q, qui est dt, plus une coefficient w dx plus i dx à la 3r plus r où r est de l'autre 0. Vous pouvez plus d'assurer par des transformations simples que la valeur d'eux est 0. C'est simple de conjuguer cet opérateur à cet opérateur, mais ce n'est pas entièrement trivial parce que l'équation est non-locale. Vous avez un changement variable. Et aussi parce que vous voyez ici que vous avez la consolation du subprincipal terme de l'alto-norme. Vous allez d'une équation de l'alto-norme à une équation de l'alto-norme de l'alto-norme. C'est le subprincipal terme de l'alto-norme que, en fait, ça apparaît simplement parce qu'on choisit d'une manière appropriée un préfact. C'est la première étape. La deuxième étape dans l'analyse c'est de conjuguer cette équation pour la même sans le terme w dx. Pour faire ça, nous avons appris un opérateur a que le commutateur a avec ce terme i dx à l'alto-norme plus w dx a est un opérateur 0. Nous voulons éliminer ce terme par le commutateur. Si vous seek a un opérateur absurde vous pouvez le faire. C'est quelque chose qu'on a fait avec Prétrovaldi pour étudier le problème de l'alto-norme. Le problème des petits devises. Et nous avons trouvé un opérateur de cette forme. A est un opérateur absurde avec des symboles de la forme. Des formes d'amplitude q de tx et psi x d'exponential de i dx psi à l'alto-norme où la fonction beta dans la phase est la summe d'une fonction dépendant seulement de temps et des périodes primitive de w. Il est possible de trouver une primitive périodique parce que le valeur de l'alto-norme est 0. Avec cet opérateur vous pouvez conjuguer cette évaluation de cette position avec l'octobre consens plus un terme en termes d'alto 0. Peut-être que vous avez une chose à prendre car A est un opérateur absurde mais c'est un opérateur absurde dans cette classe exotique rho rho Et cela reflète la facture que l'équation est quasi-linear. Parce que si vous considérez plutôt une équation semi-linear, ici, si vous mettez une équation 2 ou si vous considérez une équation binjamine, vous trouverez une conjugation similaire, par exemple, avec un opérateur d'absode différentiel, dans le standard de la classe, c'est 0, 1, 0. Voilà. Donc, c'est pour cela qu'on procéde le schéma de la preuve. Il y a beaucoup de choses à faire, bien sûr, juste pour vous expliquer que nous réduisons nous-mêmes pour un cas de coefficient constant. Donc, nous savons que la phase de oscillation en temps de la solution dans cette phase est la fois que l'on intégre cette équation évolution et en taking into account les factures que dans le procès de conjugation, nous avons des factures exponentielles qui modifient la phase. Donc, au final, nous sommes réduits à la suivante équalité de l'analyse harmonique, qui s'appelle l'équalité. Qu'est-ce que l'équalité de l'équalité ? C'est un type plancheral de l'équalité qui s'applique pour la fonction pseudo-paréodique. Y, le plancheral est pour la fonction paréodique. L'équalité de l'équalité est pour la fonction paréodique. Et ici, la variable X est seen as a parameter. Et nous l'abandonnons. Ce qui est important est la dépendance en temps. Donc, l'équalité que nous avons utilisé est la suivante. Pour une function de valeur réelle beta, qui est la fonction smooth C3, vous introduisez ces phases de oscillation, mu N of T, qui est la signes de N, N is an integer, times N to the 3 half times T plus beta of T times N to the one half. C'est exactement la phase de oscillation de ce terme. N to the 3 half. Et ici, vous introduisez la phase beta times N to the one half. Et puis, nous pouvons prouver le résultat suivant. Pour une fois T, c'est très positif. Il y a des constants C of T et delta of T comme si beta est plus petit dans l'infinité norme, plus petit que delta. Puis pour une fois l'équalité de l'équalité WN, l'équalité du temps de la norme L de cette fonction contrôle la norme W. C'est comme la planche de l'équalité, mais cette phase de cette fonction n'est pas périodique. C'est pas périodique. Le C est brouillé comme T. Le C est brouillé comme T. Vous pouvez conclure l'explicité de tout. Quand T est le plus grand et il y a des constants, si vous vous considérez que vous avez un très bon contrôle du constant, si vous considérez une séquence où N est le plus grand et que vous avez un très bon contrôle du constant, quand vous considérez un T très petit, vous avez aussi un facteur exponentiel. Il y a un problème de fréquence de la norme L. Donc, c'est un type d'inéquité d'ingame. Quand vous n'avez pas de beta, cette une équalité va retourner au travail d'ingame quand T est large enough et que C est brouillé et R est brouillé à prendre une quantité de T. Ici, nous sommes en force d'assurer que la case de beta ne soit pas 0. Le facteur a une problématique subprincipe parce que vous avez une différence d'une pièce. Mais ce n'est pas un terme perturbatif simplement parce que l'exponential de la fin de la 1,5T minus 1 ce n'est pas un problème perturbatif mais on peut suivre la provenance de Rho dans le cas de beta qui est 0 et ajuster pour considérer ce cas une fois que vous avez ce type d'ingame d'équalité où l'axe est vu comme un paramètre vous appliquez pour chaque x et vous intégrer dans l'axe et vous obtenez une observabilité d'équalité et je vais présenter cette observabilité d'équalité c'est le domaine omega c'est A, B including T et un temps positif vous assumez que vous solvez cette équation évolution sans le terme source et une data initiale V0 vous assumez que votre coefficient V et la différence entre C et 1 sont plus petites puis vous avez cette observabilité d'équalité de l'intégral du omega de Vx2 dx dt est plus grande que l'énergie qui est l'intégral du torreur de Vx2 dx OK donc c'est une observabilité d'équalité par regardant la solution seulement sur le omega vous pouvez avoir une information sur l'énergie tout le monde l'énergie de la solution c'est une observabilité d'équalité et c'est vraiment un point de vue pour conclure de l'observabilité et de la controllabilité c'est basé sur un argument qui s'appelle l'hylbertunicness method qui est un argument de dualité qui va retourner au travail de Jacques Williams l'idée est très simple c'est basé sur la représentation de RIS cette équation vous dit que vous avez une formule coercive donc vous pouvez appliquer une représentation de RIS qui vous dit que quelque chose existe et les choses qui existent sont liées aux factures que votre contrôle existe OK et depuis que vous avez un produit hylbert vous avez un produit scolar qui est localisé les choses qui existent seront localisées donc vous avez l'existence de contrôle qui est localisé ce n'est seulement pour l'équation de l'équation de l'équation de l'hylbertunicness method puis vous devez prouver un résultat similaire dans les espaces saubolais et vous devez prouver des stabilités pour prouver que l'équation est convergée c'est techniquement et je ne veux pas entrer dans les détails de cette partie ce que j'aimerais faire c'est expliquer quelque chose plutôt qu'une stabilisation qui sera également une question sur cette partie c'est le bon moyen de penser que l'observabilité est de l'inéqualité donc vous pouvez dire que pour aucun système il n'y a rien à faire c'est tout de même un système qui est de l'inéqualité oui pour l'équation de l'équation pour l'équation de l'observabilité et de l'équalité de ce type vous regardez la solution c'est un résultat quantitatif si la solution vénétise 0T times omega et la solution est 0 à tout point donc l'observabilité a de l'inéqualité qui est très important mais il y a aussi un autre point qui est très important qui est l'absorption de l'inéqualité la raison est très simple la raison est qu'il y a beaucoup de problèmes dans la théorie de l'eau il faut étudier le comportement de l'inéqualité propagée comme l'inéqualité, vous pouvez voir et l'open sea et pour des raisons obvieuses sur l'inéqualité numérique ou l'analyse expérimentale de l'équation de l'eau il faut travailler dans un domaine boundé bien sûr donc vous devez vous devez faire quelque chose pour simuler un domaine boundé en travaillant dans un domaine boundé l'inéqualité, il y a deux approches qui peuvent être utilisées soit vous pouvez tromper le domaine par introduire un bond artificiel et vous cherchez pour conditions artificielles cela va retourner pour travailler ou vous pouvez aussi essayer d'essayer d'étudier l'inéqualité dans une zone d'absorption sur l'inéqualité de l'inéqualité vous ajoutez un layer sur l'inéqualité de l'inéqualité où vous étudiez l'inéqualité c'est pour l'inéqualité numérique l'analyse je vais présenter quelque chose qui doit faire avec l'inéqualité expérimentale de l'eau je vais vous montrer un film ce film a été fait à l'inéqualité de l'inéqualité j'ai visité Félicien Bonnefour et Guillaume Ducrosse qui m'a kindly monté un tank d'eau et qui m'a kindly monté pour montrer ce film dans ce film vous allez voir un tank d'eau c'est un poulon un poulon très grand 50 mètres long ici vous avez quelque chose de 25 mètres le depth de la basse et vous avez deux côtés du tank d'eau sur l'un de l'autre vous générez l'eau sur l'autre côté vous générez l'eau et sur l'autre côté vous allez générer l'eau comme sur l'eau et sur l'open sea et ici vous allez damper l'eau parce que sinon l'eau va descendre de la gauche et puis elle repart dans la basse et c'est un caisse donc ici vous générez c'est la photo du poulon excusez-moi c'est la photo du poulon ici c'est le côté du tank où ce poulon sera utilisé pour générer l'eau et sur l'autre côté il y a un dévice d'absorption qui est extrêmement simple c'est un dévice passif qui vous introduit un bâtiment artificiel comme un bâtiment vous avez l'eau est venu à ce bâtiment et elle va se bloquer et se bloquer je vais vous montrer une photo une photo schématique du bâtiment ici c'est l'eau ici c'est la photo du bâtiment d'au-dessus c'est ici il ne touche pas le bâtiment du poulon ici vous pouvez voir ce qui est généré dans le tank de l'eau ils arrivent de la gauche à la droite ce sont les poulons de l'eau qui propagent et ultimement ils dissipent toute leur énergie quand ils arrivent au bâtiment vous voyez que rien va retourner dans l'eau c'est pour l'étudie expérimentale d'eau bien sûr vous allez stabiliser mathématiquement ou numériquement l'équation de l'eau parce qu'on ne comprend pas le bloc bien sûr si vous voulez stabiliser l'équation mathématiquement ou numériquement il y a quelque chose plus simple c'est d'imparer l'énergie dans une étudie en utilisant l'idée de bloquer sur les surfaces comme sur les poulons de l'eau voyant à la droite et nous voulons trouver un moyen de bloquer sur les surfaces pour que nous dissipons l'énergie nous voulons absorber l'eau dans une étudie expérimentale d'exécuté de l'eau le problème est la folie c'est dénoncé par l'énergie d'un temps T qui est la somme de deux termes la énergie potentielle d'une somme de eta plus l'intégre et le domaine de la somme de 1 plus la somme de x et l'énergie kinétique est 1,5 de la somme de la vitesse et le rôle est de trouver un recul pour la pression px comme ça px sera inclus dans, compactement supporté dans l-delta px sera ici la énergie est diminuant et l'intégre en temps de l'énergie sera contrôlée par un temps constant à 0 et ce que j'ai oublié d'écrire nous voulons un recul c'est-à-dire que px est défini comme fonction de psi c'est un passif c'est un fonction de psi en contraste avec le problème contrôlé pourquoi nous voulons réduire l'énergie parce que nous voulons couper l'énergie simplement parce que si c'est vrai et si h est diminuant h t est plus petit que l'intégre plus petit que 1 divided par t de l'intégre c'est plus petit que capital C h t est plus petit c'est-à-dire que quand capital T est plus grand que c c'est-à-dire que h t est plus petit que l'intégre c'est-à-dire que c'est-à-dire qu'il y a un détail d'exponential simplement parce que vous pouvez éterrir ceci h t est plus petit que capital C divided par t à l'intégre donc quand vous avez cette propriété et quand le fruit existe en long terme vous avez un détail d'exponential de l'énergie qui est la stabilisation donc une autre question c'est de trouver un recours qui permet d'obtenir ces propriétés donc la première question c'est de trouver un recours qui permet de dissiper l'énergie et cela peut être fait directement en utilisant la formulation de l'amylton on va trouver un amylton basé sur le fait d'observer que l'équation est un amylton elles peuvent être rétendues sous cette forme h t est equal au dérivé de l'énergie avec respect à psi h t est equal à minus le dérivé de l'énergie avec respect à h t minus la pression puis la dérivé de l'énergie peut être rétendue dans cette forme bien sûr la oscillation venant du fait que l'équation est un amylton et elle reste seulement cette partie que c'est minus l'intégral de d t h times la pression externe donc vous voulez que ce soit négatif pour dissiper l'énergie donc simplement vous choisissez par exemple p x a un recours de fonction chi multipliant d t h et bien sûr ce terme sera positif et d t h times sera négatif et cela explique ce choix, ce recours de fonction chi ok ce recours de fonction chi est widespread dans l'analyse numérique de l'eau quand vous voulez d'améliorer l'énergie et la question est pourquoi ce recours de fonction chi localisé permet de prouver l'énergie globale je vais vous montrer un expériment numérique fait avec Emmanuel Dormi c'est extrêmement facile parce que c'est un expériment pour l'équation juste pour tester c'est extrêmement facile pour l'équation parce que vous pouvez solider l'équation en utilisant un transform et vous devez voir que ça marche très bien ici on génère un événement de bloquer ici sur la surface libre on génère un événement périodique qui est en train de tourner et sur la droite on utilise ce bloc et ça marche très bien on peut produire un événement de tourner propagandisé de la gauche à la droite et ne pas renouveler pas beaucoup de réflexion donc ça marche très bien au moins numériquement le prochain expériment dit que ça marche aussi ce recours explique dans un certain sens le résultat de la stabilisation prévue l'exprimation est la suivante vous assumez que, à l'arrière l'extrême pression est equal à chi of x times d theta minus un temps dépendant de la fonction juste pour assurer que px as mean value 0 où chi est bien sûr d'un coefficient alors vous pouvez prouver deux choses premièrement les paramètres physiques qui sont g capa surface tension coefficient h, le depth et l la taille de la conteneur si theta et sa première derivation en l'infinité sont plus petites que delta et si la solution existe sur l'intervalle de temps 0, c alors vous avez h of t h of 0 divided by 2 for any t larger than c capitals c because here there exists c and for any t larger than c so you have dk of the energy but this raise of course the question of is it possible to have a solution which exist on the time interval 0 c and is it possible to iterate this argument to obtain exponential dk or at least partially by the second statement there exist a constant c star such that if the initial data are small enough in this space smaller than epsilon then the solution exist and is of size epsilon on a time interval of size c star over divided by epsilon ok so you can prove the existence of the solution and arbitrary long time interval ok so I am going to say just a few words firstly some words about the study of the Cauchy problem excuse me firstly a word about the fact that I claim that chi has to be well chosen at least for my method how I choose chi is the following I start from a function kappa then I define a function m then I define the cutoff function chi I start from a cutoff function kappa supported in minus l l even and equal to 1 on a large time interval then I define a function m which is a multiplier which is equal to x kappa then chi of x is equal to 1 minus the derivative of m this produces a cutoff function chi which is not as usual as usual you will define something like that but this is a this is a kind of function chi now a word about the Cauchy problem as above we are working in a container we symmetrize and we periodize so we are reduced to study the Cauchy problem for the weather wave equation with periodic data and with the previous analogy you can think of the damp water wave system as this equation dtu plus v of u dx u plus i dx 2 3 half u plus chi of x dx u is equal to 0 if you want to prove that the solution with size epsilon exists on the time interval of size 1 over epsilon you need to prove as usual uniform estimate in epsilon for this equation you divide this in our term by epsilon here there is no epsilon here because I am assuming that v depends linearly on u so you see that the dumping term does not help for the study of the Cauchy problem because in fact it adds a term with variable coefficient a singular term so you have to be to take care it's not difficult but you have to take care to this point it's not straight forward to prove that the size the lifespan is 1 over epsilon it's not difficult but it is not straight forward so I am not entering into the detail because it's classical analysis what is much more interesting from my point of view is to study the the stabilization as I said dumping to prove that the energy is decreasing is extremely easy because it is based only on the Hamiltonian formulation of the equation what is more interesting is to prove that the energy converges to 0 it is more difficult because the equation is quasi linear and non local ok at first when I studied this problem my motivation was to do this proof was to remove on purpose par a differential calculus and micro local analysis it was on purpose because I wanted to discuss with engineers people working in physics I wanted on purpose to remove micro local analysis and I wanted to use instead global analysis instead of working with function of x and psi working only with integrals function of integral of some function f and dx and by so doing I found a proof that I would not be able to find using par a differential calculus ok this is maybe the important thing to remember is that the proof is based only on global quantities we seek exact identities using global quantities and using six principles the first is a variational principle for water wave for a regular equation we use the multipliers method we use also a principle of repartition of energy positive type identities for the dirichlet to Neumann operator we use as far as possible conservation laws and we use the Hamiltonian formulation these are used as principle and I am going to explain only this the multipliers method how it works for the water wave equation firstly what is the multipliers method in general in the simplest case it is used to compute this quantity you want to compute the integral in time of the energy let us consider for example the 1D wave equation with dirichlet boundary condition 1D wave equation, dirichlet boundary condition you have this nice identity that can be obtained by multiplying the equation by x dx u you multiply by x dx u and you integrate by parts in time and space in time and space and what do you obtain you obtain this integral in time of dx u evaluated at x equal 1 is equal to 2 times this quantity at time t minus this quantity at time 0 plus the integral in time of the energy ok for example for the wave equation it is very easy to obtain for the energy which is this term which depends only on the boundary behavior of wave something localized it is localized on x equal 1 and a term that can be neglect why can you neglect this term the intuition is very simple this is an integral in time integral over 0t and this does not depend in time this is a difference at 2 different values so when t is very large this quantity will be very large we will have a fixed size so you can drop this term so you can compare the integral in time of the energy with something which is localized ok this is a key point so the key identity for wave which was quite surprising is that you can obtain also an exact identity where all the term are very simple expression using the multiplier method instead of working here with a weight which is x I work with a weight with a general infinity function vanishing at both n m equal 0 you have some two coefficients zeta and rho depending in a very simple way on m and eta and such that with this weight if you neglect surface tension to have a simple statement you have this relation the integral in time of the energy plus some term q I will comment is equal to something depending on the pressure a boundary integral in time an observation term and a non-linear term so I will comment on this term and I stop quickly what is q? q is a positive term so you can neglect it it is positive you can neglect because it has a good sign this is an observation term y because y minus m of x and x minus m are both equal to 0 and 0 l minus delta ok, their weights are equal to 0 there in this direction by the choice of the weight so this is an observation term it depends only on the solution near x equal l and what is interesting is that all the term here are quadratic which means that the identity is the same for the linearized equation the only term coming from the non-linearity is this one the integral over the free domain of the derivative of rho times phi x times phi y and this non-linear term can be very easily compared to the energy because the energy is controlling phi x square plus phi x square so the only non-linear term is this one and it can be controlled by the energy easily provided that rho of x is in an infinity norm smaller than one half which is a very reasonable assumption on the smallest condition of it and I am stopping here, thank you very much for your attention and any questions? so quite a few slides are gone you did a change of variables in psi I think to make c of u constant is there any analog of that transformation outside of one dimension? ah non, the transformation we did are specific to one dimension maybe not this one but this one is very specific to dimension one in dimension two you have to use microcal analysis in a smarter way let's go back to the preceding one in two dimensions you also have to use microcal analysis here you can flatten the coefficient here also in dimension two to flatten the coefficient is something that you can do this was done in for example for this problem with surface tension this was done by Thibault de Poirier for the study of Stryckart's estimates for water wave here what is really specific to dimension one is the find of this pseudo differential operator in dimension two you cannot do this you have to use microcal analysis in a smarter way any questions? is it true that in two dimensions the difficulty to put the heat gap in equality is that the difficulty very good now in dimension two you have to do something else than in-games but there are a lot of microcal analysis tools that you can use the difficulty is to prove low frequency estimates because even for in-games there is this difficulty of proving low frequency estimates but there are some tricks that you can use in dimension one any questions? does that does that change the variable in dimension one is that related to Riemann mapping or floating in the domain do you want to make this is it change of variable to understand the change of variable you can do exactly the same thing for Schrodinger equation you consider a Schrodinger equation with a coefficient inside and if you want to remove to flatten the coefficient you have to make a change of variable this would generate a term of order one which would be a convective derivative which is with an imaginary coefficient which is quite weird but it is armless and the fact that it is armless it can be removed by using an appropriate prefactor and the prefactor is chosen in such a way that the change of variable preserves the L2 norm which is not the case if you make only a change of variable so if you make only a change of variable you no longer preserve the L2 norm so you no longer keep the structure of the equation ok, all questions you know that I just have a quick question so at the end when you explain the multiplier method is that is this how you know how to select the chi? is that what tells you how yes, you see the kind of chi comes from the fact that I am using a multiplier method to prove the stabilization result no no no in fact it is also ok the choice of the chi is more subtle in what I have not explained later how to use this inequality to prove stabilization is non trivial and at some point you need much more identities and for one of these identities I am forced to choose chi in this way thank you very much