 La semaine dernière, j'avais fini un petit peu rapidement pour essayer que les gens qui m'avaient prévenu qu'ils ne viendraient pas aujourd'hui puissent savoir la fin de la preuve. Ce que je vais faire là, c'est que je vais vouloir refaire plus lentement avec les détails cette fois. Donc, notre but, c'était de montrer la trivialité. Il y avait deux quantités qu'on avait introduites. La première, c'était la susceptibilité. La somme pour tous les X dans ZD de sigma 0, sigma X, beta. Disons qu'on va mettre condition libre. Donc là, je vous avais dit, bon, c'est une mesure qui est directement définie sur ZD. Il faudrait prendre une limite faible de mesure sur des boîtes finies. Mais je vous ai dit que je ne rentrerai pas dans cette discussion. Donc, supposons qu'il y ait une mesure de Gips en volume infini. Il y avait une deuxième quantité qu'on avait définie, qui était 6 beta et que j'avais définie comme étant 1 sur la limite quand n tend vers plus infini de moins 1 sur n, log de sigma 0, sigma n e1. Donc, ça veut dire, je prends le spin en 0, je regarde sa corrélation avec le spin n e1, ou 1, c'est juste le voisin, disons, à droite de 0. Et je prétends, ce qui n'est déjà pas tout à fait évident, que cette quantité décroît exponentiellement vite. Donc là, on est pour beta plus petit que beta c. Donc ça, je sais que ça décroît exponentiellement vite, mais qu'en fait, ça décroît exponentiellement vite à une certaine vitesse. D'accord, c'est exactement ce que dit cette définition. Peut-être laissez-moi vous justifier ça, qu'on a bien une définie, qu'on a bien quelque chose comme ça. Donc ici, par anthèse, justification de la définition, donc ça s'appelle, si beta, c'est la longueur de corrélation, et j'aimerais que vous justifiez pourquoi, c'est bien défini. Donc, une façon typique de montrer qu'il y a vraiment une vitesse de décroissance exponentielle, c'est de montrer en fait que cette suite là, si je finis un comme étant la corrélation entre sigma 0 et sigma n1, que cette suite en fait, elle est sous multiplicative. Donc quand je prends sigma 0 sigma n plus m e1, on va enlever le beta et le fray. Ce que je vais dire, c'est que ça, c'est la même chose que sigma 0 sigma n1 sigma n1 sigma n plus m e1, d'accord ? Là, j'ai juste multiplié par 1. Mais maintenant, j'utilise cette inégalité qu'on a montrée, c'est la première inégalité de Griffith, pour dire quand j'ai le produit de sigma de spin sur un ensemble A, il faut avoir sigma x et sigma y. C'est toujours plus grand cette corrélation que le produit des corrélations. Donc là, par Griffith, c'est toujours plus grand que sigma 0 sigma n1 fois sigma n1 sigma n plus m e1. Et là, j'utilise juste la variance par translation pour dire que, du coup, c'est plus grand que ça. Enfin, c'est égal à ça. Là, ici, la dernière, c'est une inégalité. Voilà, donc c'est une suite super multiplicative. Et donc, du coup, quand on prend à la puissance insurraine, ça converge vers une limite. Converge vers une limite A, qui est strictement plus petite que 1. Ça, c'est dû au fait qu'on sait que ça décroie essentiellement vite. Ça, c'est dû au fait que l'on a un décroi sensé que ce soit ancienne. Et du coup, je définis juste, on définit 6 beta comme étant quelque chose comme 1 sur le logarithm de 1 sur A ou quelque chose comme ça. D'accord ? Donc c'est bien entre 0 et la fin. Donc c'est bien des finis que 6 beta. Et ensuite, je vous ai dit, donc ça, c'est pour fermer la parenthèse, juste une petite chose en plus du coup qu'on a automatiquement. On a automatiquement nos bonus. C'est que sigma 0 sigma n1 est toujours plus petit ou égal. C'est la exponentielle de n sur que 6 beta. Sans correction en plus. Ça, c'est uniforme en beta et en n. Voilà. Donc maintenant, le théorème de trivialité, il consistait à dire que g de beta, qu'on avait appelé la constante renormalisée de couplage, g beta donc qui valait la somme sur les x, les y et les z de u4 beta de 0, x, y et z. Donc vous vous souvenez, ça, c'est quoi ? C'est le produit des 4, c'est la corrélation des 4 spin moins les corrélations par pair. Et donc je somme sur tous les x, y, z. Cette chose-là, quand je la renormalise par le carré de la fonction de la susceptibilité fois la longueur de corrélation à la puissance d, et ça, je vous avais rapidement expliqué, mais je ne vais pas revenir là-dessus, mais que c'était l'ordre de grandeur naturelle de cette chose-là s'il n'y avait pas vraiment d'annulation. Donc mon but, c'est de montrer, c'est de dire cette chose-là est beaucoup plus petite que le produit des 4 spin. Donc c'est vraiment, en quelque sorte, si je veux avoir les corrélations entre les 4 spin, c'est à peu près comme avoir juste le produit par pair de spin. Donc avoir la formule de Vick. Si je moyenne, ça devrait donc être beaucoup plus petit que juste la somme des... Enfin, ça devrait être beaucoup plus petit qu'on s'y attend que la somme des produits de spin. Et ça, ce serait exactement ce que ça vaudrait s'il n'y avait aucune annulation, en fait. Si c'était pas beaucoup plus petit. Donc je regarde cette quantité, et mon but, c'est de montrer quel temps est-ce qu'elle tend vers 0 quand beta tend vers 0. Et c'est exactement l'objet de cette théorème. Enfin, le résultat de cette théorème. OK, c'est on de montrer ça. Donc la semaine dernière, puisque je voulais faire un raccourci et tricher un peu, j'ai introduit une autre définition de la longueur de corrélation puisque ça m'arrangait. En fait, je me rends compte que c'est peut-être un tout petit peu compliqué la chose pour rien. Donc restons avec cette chose-là. Donc première chose, c'est j'ai une borne comme ça. Est-ce que je peux la déduire pour n'importe quelle sigma x ? Donc si je prends sigma 0, sigma x, est-ce que j'arrive à avoir une borne sur cette quantité en fonction de la longueur de corrélation ? Alors, sans perte de généralité, ce qu'on va supposer, c'est que la norme infinie de x, c'est le maximum sur i égale 1 à D de xi. Je vais supposer que c'est égal à x1. D'accord ? Donc en fait, par symétrie, on peut supposer que la première gordonnée est la plus grande et qu'elle est positive. Alors, ce que je vais regarder là, c'est que regardons cette chose-là de 2 norme infinie de x E1. Donc je prends 0, il y a x quelque part par là, et je fais le symétrique, et je regarde ici, j'ai donc 2 norme infinie de x E1. Et je regarde corrélation de spin, fois corrélation de spin. Bon ben là, je peux utiliser Griffith pour dire que ça, c'est plus petit ou égal à sigma 0, sigma 2 norme infinie de x E1. Et cette chose-là, j'ai la borne ici appliquée à n égale 2 fois la norme infinie. Donc c'est plus petit que l'exponential de 2 fois la norme infinie de x divisé par xi beta. D'accord ? Du coup, ça, c'est quoi ? C'est juste le carré de cette quantité-là par symétrie. Donc j'ai bien, en fait, ce que j'avais pour tous les n, je l'ai aussi, on en déduit, que sigma 0, sigma x, c'est toujours plus petit que l'exponential de moins la norme infinie de x sur xi beta. Ça, pour ceux qu'on fait de la percolation, c'est la même chose pour la priorité de 0 relié à x. C'est vraiment quelque chose qu'il faut retenir. C'est le fait qu'il n'y ait pas de correction ici. C'est très utile quand on s'approche de PC ou de beta C, parce qu'on a des bandes qui sont uniformes. Voilà. Du coup, quand on fait ça, pourquoi j'ai voulu faire ça ? Parce que ça va me permettre d'avoir une borne pour la susceptibilité en fonction de la longueur de corrélation. C'est ça que je recherche. Donc la susceptibilité, puisque c'est la somme pour tous les sommets de Zd, je vais décomposer entre les sommets qui sont proches de l'origine et ceux qui sont moins. Donc je vais dire, je vais prendre les x telles que norme infinie de x et plus petit qu'une constante C1 x log de xi beta. Donc là, je vais avoir ces premiers-là et je vais avoir une deuxième quantité qui concerne que les gens qui sont plus loin. D'accord ? Maintenant, qu'est-ce que j'ai comme borne ? Au plus deuxième terme ici, je vais juste borner par exponentiel de moins norme infinie de x sur xi beta. Et puisque j'ai pris ce choix-là, ici je vais obtenir, en fait, assez facilement, il faut juste faire un petit calcul que c'est plus petit que xi beta a une puissance moins C2 tant que, enfin, si on choisit, c'est un suffisamment grand. D'accord ? Parce que vous voyez, le xi beta ici va s'annuler et puis j'ai un log de xi beta qui me donne une puissance inverse de xi beta qui va battre l'anthropie, qui va battre le fait qu'on a beaucoup de gens. Donc ça, je vous laisse faire le calcul. Il y a une question là-dessus ? Non ? Faut pas hésiter. Maintenant, il y a ce terme-là. Donc soit ici, je peux toujours dire, OK, je vais borner ça par cette borne-là. Le petit problème, si je fais ça, c'est qu'en gros, ça revient à borner par 1. Donc ici, je vais avoir quelque chose qui va être l'ordre de xi beta à la puissance d. C'est pas top. Donc on va améliorer ça. On va utiliser la borne infrarouge pour dire que cette chose-là, c'est plus petite qu'une constante C3 divisé par la norme infinie de x à la puissance d moins 2. Donc je borne par la fonction de Green. On va mettre un plus-tu. Mais maintenant, quand je somme cette chose-là sur cette boîte, j'obtiens quelque chose qui est dehors l'ordre de C4, xi beta au carré, log de xi beta au carré. Et j'ai encore le dernier terme. Mais vous voyez, le dernier terme est même plus petit que 1. Donc on va juste l'oublier. On va l'incorporer dans le premier. Donc on a bien une borne dans ce cas-là. On a la susceptibilité qu'en gros de l'ordre de xi beta au carré. En fait, si on améliore un tout petit peu le raisonnement, on peut voir que c'est exactement de l'ordre de xi beta au carré. Il n'y a pas de correction logaractique. Maintenant, on en a fini en gros puisque quand on regarde g de beta, on avait vu dans le lème précédent que cette quantité-là était bornée par la susceptibilité à la puissance 4. Donc j'obtiens la susceptibilité à la puissance 4 divisé par la susceptibilité au carré fois la longueur de corrélation à puissance D. Quand je fais toutes mes simplifications, j'obtiens la susceptibilité au carré en haut que je peux borner par ça. Donc je vais obtenir c4 xi beta au carré log de xi beta le tout au carré puisque c'est la susceptibilité au carré divisé par xi beta à la puissance D. Et donc, j'obtiens en gros c4 au carré log de xi beta à la puissance 4 divisé par xi beta à la puissance D-4. Maintenant, on avait vu ici, donc on va pouvoir utiliser ça pour dire qu'on a vu que vous vous rappelez quand on utilise phi tilde de beta de lambda n, phi tilde beta de lambda n. Donc c'était quoi ? C'était la somme qui était sur le bord de la boîte de taille n de sigma 0 sigma x à la puissance beta. Donc ça, c'est plus petit ou égal à peu près la taille de la boîte, c'est-à-dire cette chose-là, fois exponentiel de moins n sur xi beta. J'ai utilisé cette inégalité-là. Et je vous ai dit, cette chose-là, ça t'envers quoi au point critique ? Le phi tilde de beta c, je vous ai dit pour n'importe quel ensemble s était plus grand ou égal à 1 parce qu'à partir du moment où c'était plus petit que 1, on avait des croissants s'expansés, on n'avait pas des croissants s'expansés au point critique. Donc cette chose-là, temps vers 1, du coup vous voyez que pour toute n, vous voyez que ça implique d'où la longueur de corrélation tend vers plus infinie qu'en beta tend vers beta c. Une autre façon de voir, c'est tout simplement, on pourrait le voir aussi comme ça, si beta tendait vers une constante qui n'est pas plus infinie, alors sigma 0, sigma x, à beta c, serait plus petit que l'expansiel de moins la norme de x infinie divisé par cette constante. Donc on aurait des croissants s'expansés au point critique. Donc ça tend vers 0, du coup cette chose-là, ça tend vers plus infinie, du coup cette chose-là tend vers 0. Voilà, donc là c'est la fin de la preuve. Donc ça c'était la preuve que j'avais faite rapidement la semaine dernière, cette fois avec tous les détails. Ce qui est bien, c'est que je pense qu'il y a moins de lignes que la semaine dernière, donc je vais vouloir faire la chose rapidement, je l'ai rendu plus obscur que voulu. J'aimerais vous donner un autre théorème en fait, relié au comportement en champs-moyens en quelque sorte d'easing, qui est le suivant, qui est qu'il existe deux constantes, c et grand c, entre 0 et plus infinie, tel que pour tout beta plus petit que beta c. Quand je regarde la susceptibilité, elle va être bornée inférieurement et supérieurement par constante divisé par beta moins beta c. Et ce sera plus grand que constante divisé par beta moins beta c. Donc ça, d'un point de vue comportement critique, ça nous dit que l'exposant critique réagit le comportement de la susceptibilité, c est 1. Voilà, d'accord ? Donc question de montrer ça. C'est vrai à toute dimension ? Alors non, vous allez voir, on va voir très bien, je vais vous dire ce qui est vrai et ce qui est faux dans les autres dimensions. C'est une très bonne question. Vous allez voir, on va voir qu'il y a une des inégalités qui est tout le temps vrai et il y a une autre qui l'est pas. On peut le mettre dans le théorème, alors c'est pour quelle dimension ? Ah oui, oui, la partie, elle est vraiment, c'est tout ça, c'est toujours en dimension 5 et plus. Oui, oui, là, on est vraiment dans la section, on est sur ZD avec des plus grands que ça. Ça devrait être vrai aussi en dimension 4, mais cette fois peut-être avec des corrections logarithmiques dépendant de ce qu'on considère. Alors, comment on peut essayer de faire ça ? Alors peut-être avant même de commencer, le fait qu'on ait juste un rappel, quand on a dit qu'on n'avait pas des croissances exponentielles au point critique, en fait, on avait montré même plus que ça, on avait montré que la susceptibilité valait plus l'infini. D'accord ? Donc ça, on va s'en servir. Donc imaginez la susceptibilité vaut plus l'infini, donc 1 sur la susceptibilité vaut 0. Une façon d'arriver à montrer ça, ce serait de montrer que la dérivée de 1 sur la susceptibilité est d'ordre 1, en gros. Parce que vous l'intégrer entre beta et beta c, en beta c vous savez que 1 sur la susceptibilité c'est 0. Donc notre but, ça va être d'estimer en gros la dérivée, puis on va essayer d'avoir quelque chose de positif, donc on va faire dériver de moins 1 sur la susceptibilité. On va essayer de montrer qu'elle est forcément constante. Allons-y gaiement, donc estimons la dérivée. Donc la dérivée de moins 1 sur une fonction, donc on va obtenir 1 sur la fonction au carré, et puis on va avoir la dérivée de la fonction elle-même. D'accord ? Donc la somme sur x appartenant à zd de la dérivée de sigma 0, sigma x. D'accord ? Donc la dérivée de sigma 0, sigma x, ça donne quoi ? Ça donne la somme sur u voisin de v, rappelez-vous, ça c'est voisin, de sigma 0, sigma x, sigma u, sigma v, moins sigma 0, sigma x, sigma u, sigma v, excusez-moi, vous n'avez pas pouvoir lire là. Maintenant, donc c'est la somme sur x, et la somme sur u voisin de v. Cette chose-là, c'est quoi ? On a vu comment on écrivait ce genre de choses-là. C'est égal exactement à sigma 0, sigma, disons, u, sigma v, sigma x, fois la probabilité pour deux courants, l'un avec source u et v, l'autre avec source x, u et u, excusez-moi, l'autre avec source x et v, 2, donc là j'ai 0, j'ai u, j'ai v et j'ai x, de ne pas avoir de connexion entre u et v. Pourquoi ? Parce que ici vous faites passer les sources sur le premier courant, vous allez payer l'indicatrice que u doit être reliée à v. Donc du coup, sachant que vous faites un moins l'indicatrice que u est reliée à v, ça veut donner une et pas reliée à v. Et après, vous faites reparser les sources cette fois, par exemple, vous faites passer les sources 0u sur le deuxième courant et vous obtenez, enfin, x, v sur le deuxième courant, vous obtenez exactement ça. Donc ça, on a fait ces manipulations plusieurs fois, c'est toujours les mêmes. Il y a vraiment, ça n'a pas changé. Voilà, donc on a cette formule-là. Par contre, j'ai oublié, excusez-moi, de reporter la susceptibilité au quart. Alors, est-ce qu'on aurait, par exemple, une borne supérieure sur cette quantité ? Est-ce qu'on peut faire ? On peut juste borner la probabilité par 1 sur borne supérieure. Donc ça, c'est toujours plus petit ou égal à somme sur x et somme sur u voisin de v, de sigma 0, sigma u, sigma x, sigma v, divisé par la susceptibilité au quart. Je borne juste par 1 la probabilité. Qu'est-ce que ça vaut, cette quantité ? Fixer 0u et v, sommé sur x, vous obtenez quoi ? Par invariance par translation, ici, vous allez juste obtenir la susceptibilité. Donc ça, c'est exactement égal à 1 sur la susceptibilité de beta, fois la somme sur u voisin de v, de sigma 0, sigma u. Cette partie-là, elle disparaît, c'est juste la susceptibilité quand vous sommez sur x. J'ai utilisé la variance par translation. Et ici, bon, je suis en train de compter v voisin de u pour rien, en quelque sorte. Donc il va y avoir un 2d, qui est dû au fait que j'ai 2d voisin de u. Et maintenant, je somme sur u. C'est quoi ? C'est juste la susceptibilité. Donc cette quantité-là, en fait, elle vaut exactement 2d. Du coup, ça nous dit automatiquement que la dérivée, la dérivée par rapport à beta de moins 1 sur la susceptibilité est toujours inférieure à 2d. Donc ça, c'est vrai en toute dimension. J'ai rien utilisé de la dimension d là, pas de la dimension 5 au plus. Du coup, juste, on fait l'intégration. Donc ça va nous donner moins 1 sur la susceptibilité en beta c, moins 1 sur la susceptibilité en beta, et plus petit et égal à 2d fois beta c, moins beta. Et donc ça nous dit, puisque cette chose-là est égal à 0, ça nous dit que la susceptibilité pour beta est plus grand que 1 sur 2d, beta c, moins beta. Donc cette inégalité, elle est vraie en toute dimension. Donc si il va être dur, c'est d'essayer d'avoir l'autre inégalité. Donc c'est la bonne insérieure. Ce qu'on va faire, c'est qu'on va réutiliser, en fait, on a quasiment fait déjà le travail. On a juste à récupérer ce qu'on a fait. Cette chose-là, on va écrire que c'est 1 moins la probabilité que tout le monde est relié ensemble et tout le monde est relié ensemble. Ça, on a calculé. C'était cette chose où on a rajouté, on a fait pas mal de travail, c'était le LEM là, où on a rajouté un Y, on a sommé sur tous les Y, etc., etc. Donc, je vous rappelle juste que la proba 0, U, proba X, V, de ne pas être reliée, donc d'avoir 0, U, V et X, comme ça, ça c'est 1 moins, enfin c'est plus grand que 1 moins la somme sur tous les Y de sigma 0, sigma Y, sigma U, sigma Y, sigma V, sigma Y, sigma X, sigma Y et le tout divisé par sigma 0, sigma U, sigma V, sigma X. Donc c'est une grosse expression, mais c'était l'inégalité qu'on avait, on avait utilisé cette borne-là pour la proba d'être reliée, donc du coup j'obtiens cette borne-là pour la poids de ne pas être reliée. Donc ça, je ne refais pas la preuve, c'était le contenu du LEM. Maintenant réinjectons ça. Donc quand on réinjecte ça dans cet horreur ici, il y a quelque chose qui se passe, donc il y a déjà le 1, le 1 on a fait le calcul. Quand on borne par 1 la probabilité, on obtient 2D, donc le 1 moins toute la partie 1, ça va nous donner sur la dérivée, ça nous donne 2D, la première partie. Donc la question c'est le moins. Donc pour le moins, j'ai la somme, donc j'ai 1 sur la susceptibilité au carré, après j'ai la somme sur X sur U voisin de V et sur Y. Et ce que je vois c'est que le sigma 0, sigma U fois sigma V, sigma X, il se simplifie juste avec le dénominateur là-bas. Donc j'ai plus qu'un numérateur, j'ai plus que ces 4 produits de 4 corrélations. Donc j'ai sigma 0, sigma Y, sigma U, sigma Y, sigma V, sigma Y, sigma X, sigma Y. C'est juste ça. Donc là l'idée c'est ce qu'on arrive à borner ça et en particulier vous voyez ce qu'on aimerait bien faire, c'est essayer de voir si on ne voit pas apparaître la susceptibilité au carré, là-dedans. Bon ben oui on la voit apparaître, regardez le X par exemple. Si j'ai fixé toutes les autres coordonnées et que je somme sur X, je vais avoir exactement la susceptibilité au carré. Donc si j'enlève ce terme là, le seul coup que je paye c'est d'enlever le carré ici. Maintenant est-ce que je vois apparaître, est-ce que je peux annuler une deuxième personne ? Ben en fait je peux annuler, vous voyez dans votre tête faites le changement de variable, souce-rayer moins Y partout. Encore cette chose là on peut le réécrire, donc peut-être je vais le réécrire. Ça fait 2D, moins 1 sur la susceptibilité. Et là j'ai la somme sur U voisin de V et sur Y, mais là je vais utiliser les translations partout. Donc je vais dire ça c'est sigma moins Y sigma 0, sigma U moins Y sigma 0 et sigma V moins Y sigma 0. D'accord ? Et vous êtes d'accord sommé sur U moins Y et V moins Y, enfin sur U voisin de V ou sur U moins Y et V moins Y c'est la même chose. Donc ici je vais sommer comme ça, voilà. Donc du coup là maintenant je vois apparaître de nouveau exactement comme avant une somme libre qui est la somme sur Y. Donc la somme sur Y va venir s'annuler avec cette dernière susceptibilité. Donc en tout j'obtiens 2D moins la somme sur U voisin de V de sigma U sigma 0 sigma V sigma 0. Alors là faites bien attention on peut plus U et V étant voisins, on peut plus jouer le même jeu d'essayer de faire apparaître la susceptibilité. En fait à vrai dire ce terme là si vous réfléchissez bien il est donc somme sur U voisin de V de sigma U sigma 0 sigma V sigma 0. Ça c'est du même ordre de grandeur que la somme sur U de sigma 0 sigma U au carré en fait. C'est ça le vrai ordre de grandeur cette chose là. Donc pour le voir vous pouvez juste dire que sigma V sigma U sigma 0 par exemple si vous voulez avoir une bande supérieure disons. Vous pouvez voir que sigma V sigma 0 c'est plus petit que sigma 0 sigma U divisé par sigma U sigma V. Pourquoi ? Parce que c'est de nouveau Griffith. Sigma 0 sigma U c'est plus grand que sigma V sigma 0 fois sigma U sigma V. Et après vous avez 2D, vous sommez 2D fois sur le V. Donc si vous voulez quelque chose de plus précis ici vous auriez pu mettre 2D fois sigma U sigma V ou U et V sont voisins. Donc vous avez une bande comme ça. Donc cette quantité ici c'est une quantité très importante ça s'appelle le bubble diagramme. Et ce bubble diagramme on dit si vous regardez qu'on regarde s'il est fini ou pas est-ce que c'est quelque chose qui est fini ou pas. Quand je fais la somme sur U de sigma 0 sigma U au carré et que j'utilise l'infraret de bande d'abord l'infrarouge. J'obtiens quoi ? J'obtiens que c'est plus petit que la somme sur U d'une certaine constante. Je l'avais peut-être appelé, je l'avais donné à un autre peu importe. C'est 0 sur U à puissance D moins 2 le tout au carré. Donc je somme sur U en gros une constante fois, je suis en train de sommer 2D moins 4. Enfin 1 sur la puissance 2D moins 4. Et ça en fait, faisons un petit calcul, ça fait la somme sur K. Il y a combien de personnes à distance K ? Il y en a à peu près K puissance D moins 1. Donc j'ai un K puissance D moins 1 sur K à la puissance 2D moins 4. Donc je obtiens la somme sur K de 1 sur K à la puissance D moins 3. Et donc ça, ça va être bien fini, 6D est plus grand que 5. Et on voit qu'en dimension 4 ou inférieur, on a un problème pour cette borne-là. Et en fait, ce qui va se passer, c'est que ce bubble diagramme va être infini en dimension 4 et au point critique. Mais là, uniformément, donc ça cette borne, c'est une borne uniforme en beta plus petit ou égal à beta C. Pour toute beta plus petite ou égal à beta C, on a une borne. Donc vous voyez, si j'enlève le carré, j'ai la susceptibilité, j'ai pas de borne uniforme en beta plus petite beta C puisque quand je tend vers beta C, la susceptibilité tend vers plus infinie. Mais si j'ajoute le carré ici, alors j'ai quelque chose de convergent. Donc ça, cette propriété en fait, c'est le point de départ de tous les calculs d'exposant en dimension 5 et plus. Le fait que cette quantité est finie permet de montrer que les exposants sont les mêmes qu'en champ moyen. Pour la percolation, pour ce qu'on fait de la percolation, c'est une chose un tout petit peu différente qui s'appelle triangular diagramme, qui est quelque chose d'un peu différent, qui lui n'est pas convergent en dimension 5, il commence à être convergent en dimension 6 et plus, enfin 7 et plus. Du coup, c'est pour ça que le comportement en champ moyen pour la percolation ne commence qu'en dimension 7 et plus et non pas en dimension 5 et plus. Enfin, 4 et plus et 6 et plus. Encore une fois, à dimension 4 ou en dimension 6 pour la perco, il y a des choses un petit peu plus complexes qui se passent à cause de corrections logarétiques. Bref, si on en revient là, parce que là pour l'instant, on n'a pas fini notre preuve. Parce que le problème, c'est que cette chose-là, elle est finie, très bien, mais elle n'a absolument aucune raison d'être petite hors nous. On a un 2D moins quelque chose qui est exprimé comme ça. C'est peut-être négatif la bande que j'ai obtenue là. Donc si ça divisé par ça était strictement plus petit que 1, dans ce cas-là, j'aurais gagné. Mais ce n'est pas le cas. D'accord ? Par contre, ce que je peux faire, c'est qu'ici, si je pouvais me restreindre à des U qui ne sont pas... Donc là, si je pouvais me restreindre à des U qui ne sont pas dans une boîte de taille R. Donc si je fixe un grand... Maintenant, je sais que c'est convergent. Je prends un R suffisamment grand pour que cette chose-là... Donc, par exemple, pour que cette chose-là soit strictement plus petite que un truc du style sigma U, sigma V sur 2. Parce que vous voyez, si cette chose-là est strictement plus petite que sigma U, sigma V sur 2. Alors 2D sur ça, fois les U qui ne sont pas dans la boîte de taille R de sigma 0, sigma U au carré sera plus petite que 1,5 de 2D. Et donc quand je ferai 2D moins ça, j'obtiendrai quelque chose qui est plus grand que D. Et du coup, j'ai une borne inférieure qui est une borne d'ordre 1. D'accord ? Donc est-ce que j'ai le droit de mettre U n'appartient pas à B ici ? Donc ça revient à quoi, en fait, quand vous remontez, si vous faites attention et que vous remontez, ça va revenir en fait ici à dire Y n'appartient pas à la boîte de taille R. Faut juste regarder le faire chaque étape, remonter tranquillement. Avec les changements de variable, ça revient à dire ça. Ici, c'était quoi ? Donc c'était un moins la probabilité d'être liée. Et en gros, là, ce qu'on disait, c'est que la probabilité d'être liée, on le bornait par l'espérance du nombre de points dans l'intersection des deux clusters. Là, ce que je vous dis, c'est qu'il faut l'intersection, l'expérience du nombre de points mais qui ne sont pas dans la boîte de taille R. Donc ça, en fait, ça va être relié facilement à la probate de ne pas s'intersecter en dehors de la boîte de taille R, en fait. Donc ici, ça va être ne s'intersecte pas en dehors de la boîte de taille R. Maintenant, il y a un petit argument qui vous dit si ça ne s'intersecte pas en dehors de la boîte de taille R, ça ne s'intersexte pas tout court avec probat positif, en fait. Conditionnellement à ne pas s'intersecter jusqu'à la boîte de taille R, je vais peut-être payer un coût très très cher mais qui ne dépend que de R qui va nous dire, du coup, avec probat positif, je ne m'intersecte pas dans la boîte tout court. Donc ici, vous auriez une grande constante, probablement exponentielle de quelque chose en R puissance D, quelque chose d'horrible. Mais ici, vous pourriez avoir 0u, donc partir de ce qu'on vous laisse, c'est-à-dire, cette chose-là, et dire que c'est plus grand qu'une constante fois la probabilité de ne pas s'intersecter à la boîte de taille R et la faire exactement le même raisonnement et obtenir, du coup, à la fin, une bande cette fois qui est vraiment petite et obtenir ce D. Donc du coup, en tout, quand on résume le tout, donc là, c'est un tout petit peu technique mais je vous fais entièrement confiance au fait que vous pourriez remplir les trous vous-même. Donc du coup, tout ça, ça nous donnerait en fait que la probabilité, elle est uniformément bornée, loin de 0. Et du coup, quand je réinjecte là-bas, on obtient tout simplement que la dérivée de 1 et de moins 1 sur la susceptibilité de beta, ça va être plus grand que une constante qui doit être, en gros, cette constante divisé par 2 si vous voulez, quelque chose comme ça. Et du coup, quand j'intègre ça en intégrant, j'obtiens que la susceptibilité est plus petite qu'une grande constante divisé par beta moins beta C. Voilà, d'accord ? Donc là, la seule endroit où j'ai triché, c'est que je ne vous ai pas dit vraiment en détail comment on remontait là toutes les étapes. Celle-là, c'est vraiment très très simple. Et le petit truc un tout petit peu plus compliqué, c'est avoir cette bande C. Voilà, ça, c'était tout ce que je voulais raconter sur le modèle d'easing en dimension 5 et plus. Maintenant, on va redescendre en dimension, de l'auteur, enfin, pas vraiment, mais on va dire quelque chose qui est non trivial sur le modèle d'easing en toute dimension plus grande que 3 cette fois. Donc ce sera très intéressant pour la dimension 3 et 4. En dimension 5 et plus, c'était déjà connu parce qu'on peut continuer l'étude que j'ai commencé là et montrer beaucoup plus de choses. Mais par contre, cette étude, elle est basée, si vous voulez, de façon cachée sur le fait que ce bubble diagramme est fini, et ça, ce sera complètement faux en dimension 3 et 4. Donc du coup, toute l'étude qu'on fait là ne peut pas s'étendre. Tu veux peut-être dessiner ça pour dire pourquoi ça s'appelle bubble diagramme ? Oui, alors si on résonne en schéma, c'est parce que les gens dessinent la chose comme ça. Voilà, la somme sur ces choses-là. Ça fait une bubble. Et pour la percolation, ça fait un triangle. Dans ce cas-là, ça veut dire qu'on fasse quoi ? On va sommer sur u et v, la probabilité d'être connecté, la probabilité d'être connecté, la probabilité d'être connecté. Ok, alors on passe donc à model-deasing, enfin comportement critique, ou à model-deasing. Model-deasing en dimension 3 et 4. En fait, ce que je vais dire est tout à fait juste en dimension supérieure. C'est là que c'est intéressant. Et le but du théorème, enfin le théorème que j'aimerais vous montrer là, c'est un théorème qui est dû à Michael Eisenman, à moi-même, et à Sidora Vicious, et qui dit, quelle que soit la dimension plus grande ou égale à 3, la magnétisation spontanée au point critique, elle vaut 0. Il y a 2 plus. Donc jusqu'à que petite remarque sur ce résultat, donc je vous rappelais, on ne savait pas ce qu'elle valait au point critique. On sait que pour beta plus grand que beta c, c'est strictement positif. Pour beta plus petit, strictement ça va être 0. Qu'est-ce que ça voit à 0 ? En fait, ça voit toujours 0. Donc la transition de phase est contine. C'est le premier résultat non trivial sur le comportement rigoureux, sur le comportement critique du model-deasing, en dimension 3 et 4. C'est un peu la seule chose qu'on connaît. Alors ce qui est bien, on a quand même quelques petites conséquences de ça qui sont simples. Enfin, à vrai dire, ce n'est pas tout à fait des conséquences, ça va plutôt dans l'autre sens, mais en fait, ce qu'on arrive à montrer, c'est quelque chose d'un peu plus fort. On montre en fait que si j'étais en volume infini et que je regarde la mesure de GIFs avec condition libre, c'est la même que celle avec condition plus, parce qu'il n'y a aucune raison d'être le cas, puisque je vous rappelle que condition plus, on avait cassé la symétrie. On n'avait pas défini en volume infini, mais en volume fini, on voyait bien qu'on cassait la symétrie et la question c'était vraiment est-ce que ça persiste ou pas à l'infini. Donc en fait, c'est la même aussi que celle avec moins. Donc en fait, c'est ça qu'on montre. On montre que ces deux choses sont les mêmes. Vous voyez, si ces deux choses sont les mêmes, puisque frie est symétrique par échange de plus et moins, on obtient automatiquement que la magnetisation vaut zéro. Donc là, ça me gêne un peu parce que je n'ai pas défini les mesures en volume infini, mais ça prendrait un petit peu de temps de tout justifier. Donc c'est vraiment juste la limite faible des mesures en volume fini. Donc on montre ça. La deuxième chose qu'on obtient du coup, à partir du moment où on a ça, c'est, je vous rappelle qu'on sait que la susceptibilité vaut plus l'infini. En fait, on savait mieux que ça. On savait que si on prend une boîte de taïenne et on somme les correlations de spins sur le bord de cette boîte, on obtient plus grand ou égale à 1. Donc je vous avais dit ça, ça impliquait que sigma zéro, sigma x. Ici, vous pouvez mettre libre ou vous pouvez mettre plus, ça revient au même, du coup, puisque c'est la même mesure, à bêtacer. On savait que c'était plus grand que constante sur x puissance des moins 1, du coup. Mais on a aussi, je vous rappelle, je vous ai dit, on a cette borne infrarouge qui nous dit que cette chose-là, pour le libre et plus petite, que 1 sur la distance à puissance des moins 2. Donc on a ces deux bornes-là. Donc vraiment, on sait que ça se comporte comme ça décroie polynomialement les correlations au point critique. Par des moments où on montre qu'il n'y a pas de magnétisation spontanée, on a gratuitement le fait qu'elle décroisse polynomialement. Ce qui serait très, très intéressant, c'est de savoir quelle est exactement la valeur de la puissance. Ça, on sait pas. Mais elle est entre des moins 2 et des moins 1. Voilà. Donc ça, on a ça pour tout x, un partenaire à z. Très bien. Donc la question principale c'est d'essayer de montrer cette égalité-là. C'est ça qui est... qui est la chose principale. Elle implique automatiquement ça. Donc c'est celle-là qu'on veut. Je ne suis pas complet. Polynomialement ou en loi des puissances ? En loi de puissance, c'est voulu. Polynomialement, soit des moins 1, soit des moins 2. C'est pas intermédiaire. En probabilité, en tout cas, quand on dit polynomialement, c'est juste la vitesse. Oui, oui, oui. Parce que de toute façon, c'est pas vraiment un polynome. Sinon il faudrait que c'est ça même positif. Ça croit très. Voilà. C'est en opposition à des croissances exponentielles. Tout à fait. Donc là, à vrai dire, on s'attend à ce que ce soit strictement entre les deux. Ce ne sera pas des moins 2 et ce ne sera pas des moins 1 en dimension 3. Voilà. Donc... Donc en fait, on va montrer quelque chose d'un peu plus fort que ça. On va montrer que si une certaine chose arrive pour la mesure avec condition libre, alors elle est égale à celle avec condition plus. Donc le théorème, ça va être si l'infimum pour x dans zd de sigma0, sigmax à la puissance pour fri, à betasser vos zéros. Alors, sigma0, sigmax plus à betasser, ça vaut sigma0, sigmax avec condition libre, à betasser pour tout x. On va montrer ça. Donc, si il n'y a pas d'ordre, si vous voulez, si il n'y a pas d'ordre à longue portée pour les conditions libres, alors les conditions plus et les conditions fri sont les mêmes. Mais alors ça, ça implique quelque chose d'intéressant parce que vous voyez sigma0, sigma0, sigmax plus betasser. Ça, l'inégalité de Griffith, là il n'y a que 2 personnes mais vous pouvez imaginer, rappelez-vous qu'on avait ce ghost qu'on avait rajouté de quand il y a des conditions où je vous avais annoncé Griffith pour fri avec plus, en fait, vous pouvez imaginer qu'il y a le ghost avec. Et vous pouvez faire exactement la même preuve. Vous allez voir que dans ce cas-là, en switchant les sources x ghost du premier domaine à l'autre, vous allez voir que ça, c'est plus petit qu'en fait, sigma0 plus betasser, c'est plus grand excusez-moi, sigmax plus betasser. C'est exactement la même preuve, je vous laisse regarder, vous en convaincre, c'est juste un échange de courant. Mais ça, en fait, c'est exactement la magnetisation spontanée. C'est-à-dire que je ne vous ai pas dis que c'était que les mesures en volume infinie, mais en fait, la magnetisation spontanée qui était la limite de sigma0, donc ça, je l'avais définie comment, peut-être une parenthèse, cette chose-là, je l'avais définie comme la limite quand n convert plus infinie de sigma0 lambda n betasser plus. C'était ça, j'avais peut-être mis l'infimum. Mais en fait, puisque ces mesures-là convergent faiblement vers cette mesure-là, c'est la définition en fait de cette mesure, c'est la limite faible de ces mesures-là, du coup, quand je l'évalue en cette observable-là, j'obtiens exactement que cette chose-là converge vers ça. Et par un variance par translation vers ça. Donc le carré de la magnetisation est plus petit que ça. Maintenant, puisque j'ai cette propriété-là, j'obtiens automatiquement d'où, appelons-la étoile, d'où étoile implique que la magnetisation spontanée égale 0. Donc si je sais montrer étoile, alors, ce théorème-là implique que la magnetisation vaut 0. D'accord ? Mais étoile, je sais le montrer, parce que c'est exactement l'infrared-band. L'infrared-band vous dit, donc remarque, pour d plus grand ou égale à 3, on a que sigma 0, sigma x, free, beta c est plus petit que constante sur x infinity puissance d-2. C'était l'infrared-band. Et donc en particulier, elle tend vers 0 quand x tend vers plus à finir. Donc ce théorème plus l'infrared-band implique le 0 magnetisation. D'accord ? Je pense que c'est un bon moment pour faire un break. On va faire un break de 10 minutes. Et après la pause, on va montrer ce théorème-là. D'accord ? Donc en fait, ces noms-là, il faudrait plutôt presque les mettre ici. Pour dire. Juste une petite parenthèse pour ceux qui ont fait de nouveau de la percolation. J'aime bien quand même faire le parallèle. Il y a cette grande question en percolation qui est de montrer qu'il n'y a pas de cluster infinie au point critique. Et donc nous, on nous a beaucoup demandé est-ce que notre théorème permet de montrer, enfin, donner une idée sur comment montrer ça pour la percolation. En fait, dans ce théorème, vous voyez, il y a deux choses non triviales. Il y a le fait que pour les conditions libres, il n'y a pas d'ordre. Il y a le fait que s'il n'y a pas d'ordre pour les conditions libres, il n'y en a pas pour les conditions plus. Le fait qu'il n'y ait pas d'ordre pour les conditions libres, ça c'est la borne infrarouge, c'est connu depuis 30 ans. Ce qui est dur, et ce qui est spécifique au modèle d'easing, c'est que s'il n'y en a pas pour libres, il n'y en a pas pour plus. Et c'est le contenu de ce théorème-là. Mais du coup, pour la percoe, ce théorème-là n'a pas vraiment de sens. Il n'y a pas plusieurs mesures en volume infini en percoe, c'est indépendant. Ce qui est dur, entre guillemets, pour la percoe, c'est d'arriver à faire l'équivalent de ce théorème où on a la borne infrarouge-là. Enfin, de la partie borne infrarouge. Sauf que la borne infrarouge n'est pas du tout satisfaite pour le modèle d'easing. Voilà. Je vous avais peut-être déjà dit mais c'est bien de le répéter. Et donc, on fait une pause. On reprend, on va dire, à 40. Alors, on continue. Donc, l'idée va être la suivante. Donc, on veut me montrer ce théorème-là. Et jusque-là, vous avez vu que le... finalement, la représentation au courant aléatoire a essentiellement été utilisée pour faire des... pour avoir des annulations exactes et avoir des expressions... à chaque fois, on réexprime en fonction des probats... enfin, des corrélations de ce pied. Là, on va changer un petit peu notre point de vue. On va vraiment essayer de regarder géométriquement ce que nous donnent. Vraiment observer ce... enfin, regarder la représentation au courant aléatoire comme un modèle de percolation. Et en gros, notre but, ça va être de montrer que ce modèle de percolation, il n'a pas de composants de connex infinis. Et en déduire que ça, ça correspond à avoir magnetisation zéro. On va montrer pour le modèle de courant aléatoire l'équivalent de theta PC égal à zéro pour la percolation. Alors, quel est exactement le modèle de percolation qu'on va regarder ? Prenons un grave G, fini, sous ensemble de ZD. Et regardons la mesure PG-beta. D'ailleurs, excusez-moi, je vais m'améliorer un peu mon théorème, comme ça, en une seconde. En disant qu'ici, c'est vrai à n'importe quel beta. Si j'ai ça pour beta, alors j'ai ça. Le seul endroit où c'est réellement intéressant, c'est pour beta C. Mais ça va pas... Là, je ne vais plus utiliser le fait que je suis au point critique. Plus du tout. Donc définissons PG-beta. C'est une mesure de probabilité sur 0,1 puissance des arrêtes démographes donnée. Tout simplement, ça va être la loi de omega qui est définie par omega E. Ça va être si N1E plus N2E est strictement positif et 0 sinon et je dois vous dire ce qu'est N1 et N2 ou N1 je vais prendre un courant sans source sur G et N2 je vais prendre un courant sans source mais je vais le prendre sur G, union le ghost et je vais les prendre indépendants. Donc on a déjà... Il me semble qu'on avait déjà fait ça. On avait déjà pris la trace de la somme de 2 courants. C'est juste que... Je fais bien attention le deuxième je lui mets les sources c'est vraiment un courant qui est relié à la représentation avec condition plus. Donc l'un est relié à la représentation avec condition plus l'autre avec la représentation avec condition frie. Ça va être vraiment l'astuce si vous voulez. C'est bien là de faire attention que GG Donc là je prends ça donc c'est ainsi l'un des 2 courants est positif au moins et sinon c'est zéro. Donc ça me donne un modèle de percolation sur le grave G. Bon alors, étape 1 et cette étape je vais pas la faire parce qu'elle est juste technique elle est vraiment juste technique c'est P Gbeta converge faiblement vers une mesure Pbeta sur 0,1 puissance les arrêtes de Zd donc en fait quand je prends des graves de plus en plus gros donc quand je prends des graves qui tendent vers Zd donc je prends une exhaustion je prends des graves qui sont de plus en plus grands par exemple les boîtes de taille N je fais tendaine vers l'infini cette mesure elle converge faiblement qu'est ce que j'entends par là j'entends que si je prends A puissance les arrêtes d'un grave G finie enfin d'un grave 0,1 puissance E où E est un sous ensemble fini de l'ensemble des arrêtes de Zd alors Pgbeta de A converge quand G est envers Zd vers Pbeta de A c'est ça que j'entends maintenant dépendant d'un nombre fini d'arrêtes j'ai la convergence là quand j'entends A inclus dans 0,1 puissance E ce que j'entends c'est ici ça n'a pas vraiment de sens de dire priorité de cet événement je veux dire priorité de l'événement que je vais plutôt mettre ça omega restreint à E appartient à A donc je prends un événement qui dépend d'un nombre fini d'arrêtes alors la priorité de cet événement converge quand G est envers l'infini vers la priorité pour cette mesure définie sur le plan complet c'est la définition la plus classique de convergence pour les mesures donc je vais avoir première chose ça c'est pas du tout évident que ce soit vrai mais effectivement ça l'est et deuxième chose c'est qu'en plus de plus Pbeta est invariant par translation et elle est aussi ergodique c'est-à-dire que Pbeta de A appartient à 0,1 pour tout événement invariant par translation donc ça vous avez déjà vu ça pour la perco elle est normalisée cette priorité elle vaut 1 pour ouais c'est vraiment une mesure de priorité c'est vraiment pas de translation donc ça c'est vraiment c'est un point technique il n'y a rien de très intéressant à faire ça en gros ce qui se passe c'est que ces événements qui dépendent d'un nombre fini d'arrête en fait on peut les exprimer en fonction de corrélation de spin et le fait que les mesures par exemple avec condition plus et les mesures avec condition libre convergent vers une mesure de Gibbs en volume infini soit avec condition plus soit avec condition libre ça ça implique automatiquement la convergence c'est deux pages c'est un petit peu technique si vous voulez vous allez juste voir la preuve il n'y a pas de pré-requis ou quoi que ce soit faut juste se poser et écrire vous allez voir la preuve dans l'article il y a vraiment mais je pense vous pouvez me faire confiance parce que finalement c'est pas du tout là qu'il y a qu'on voit quelque chose de subtil arrive donc cette étape là disons que donc on obtient une mesure en volume infini maintenant essayons de voir ce qu'on va en faire de cette mesure par exemple est-ce qu'on peut borner donc étape 2 peut-on borner la probabilité que 0 est relié à x dans cette mesure donc pour la percolation pour cette percolation la réponse va être oui et en fait il y a une bande très très simple c'est que c'est borné par le produit des spins entre 0 et x donc les corrélations pour le plus fois la corrélation pour le free donc ça par contre on va montrer donc allons-y en fait d'ailleurs c'est une égalité je sais pas pourquoi je... donc prenons le terme de droite donc cette terme là je peux l'écrire comme un rapport de fonction de partition donc ça va être z de g union le ghost avec des sources à 0x divisé par z de g union le ghost fois z de g 0x fois z de g ensemble vis ensemble vis d'accord ça c'était la définition de nos... fonctions de partition ou là on avait ce truc un peu particulier peut-être j'avais écrit z plus de g j'entends vraiment la fonction de partition pour les conditions plus donc là qu'est-ce que j'ai envie de faire quand je vois ça j'ai envie de faire passer les sources ici ici d'accord on a envie d'utiliser le switching les mains utilisons-le donc switching les mains donc quand les sources vont passer là je vais obtenir la somme sur donc les premiers courants ils vont avoir aucune source maintenant ils avaient des sources à 0x donc là une autre façon on va avoir la différence symétrique plus avoir aucune source et le deuxième courant on va plus avoir de sources non plus par contre le coût de passer de là à là ça va nous donner une indicatrice que 0 est relié à x dans la somme des deux courants dans n1 plus n2 et je l'avais peut-être écrit comme ça j'avais peut-être mis un petit chapeau pour dire que je prenais la trace et je divise par la somme n1 également semble vide n2 également semble vide Wn1 Wn2 donc là on voit apparaît de quoi on voit exactement apparaît de la priorité que 0 est relié à x alors normalement vous devriez froncer un peu les sourcils à ce moment-là parce que quand je vous ai parlé du quand je vous ai parlé du switching les mains c'était les mêmes graphes à gauche et à droite les deux courants étaient sur le même graphe alors là un des courants est sur g l'autre est sur g donc sur un graphe plus grand donc a priori le switching les mains ne s'applique pas en fait ce qui se passe c'est que dans ce cas-là on peut quand même faire passer les sources du petit graphe dans le grand graphe suffit de refaire la preuve de suivre ligne à ligne la preuve la seule différence c'est que en fait là 0 relié à x la seule contrainte qu'on va avoir c'est que en fait c'est 0 relié à x dans g il y a une restriction dans le petit graphe donc ici si j'avais un graphe h j'avais un grave g j'ai le droit de faire passer les sources de 0x les sources du deuxième sur le premier la seule chose c'est que quand je dis 0 relié à x je veux dire dans g voilà je vous laisse refaire ça vous pouvez regarder tranquillement c'est vraiment exactement la même preuve ligne à ligne il n'y a pas de différence donc c'est la même preuve ligne à ligne et ici je me retrouve exactement du coup à dire 0 relié à x donc ça c'est exactement dire 0 relié à x dans la loi enfin pour la percolation que j'ai définie là bas donc c'est exactement donc c'est exactement pg beta de 0 relié à x c'est exactement égal à ça alors ça j'étais dans un graphe fini excusez-moi sinon j'avais pas la représentation parce que ce que je fais maintenant je laisse juste tendre g vers plus l'infini et j'obtiens mon résultat donc maintenant je fais g tend vers l'infini g tend vers zd 1 pic et l'égale donc ça c'était la première étape enfin la deuxième du coup étape 2 alors ça c'est pas mal parce que ça nous dit quoi ça nous dit que sous l'hypothèse les probabilités que 0 est relié à x va tendre vers 0 pour ce modèle de percolation ce qui serait complètement faux si on était avec la percolation de Bernoulli et qu'on supposait qu'il y avait une composante connex infinie si j'ai de la percolation de Bernoulli une composante connex infinie comment je vais montrer que 0 et x que la probabilité que 0 et x ne tendent pas vers 0 je vais dire la probabilité que 0 et x sont connectés et plus grandes que la probabilité que 0 est reliée à l'infini et x est reliée à l'infini pourquoi parce que je sais qu'il y a une unique composante connex infinie dans la percolation donc là mon but ça va être d'essayer de jouer au même jeu c'est-à-dire d'essayer de dire très bien la probabilité de 0 et x tend vers 0 ça ça veut très probablement dire que en fait la probabilité de 0 reliée à l'infini tend vers 0 le problème c'est qu'il faut que je prouve qu'il y a une composante connex infinie unique dans mon modèle donc du coup ça va être l'étape d'après donc étape d'après si donc étape 3 si je montre ou alors non on va carrément commencer par ça on va dire la probabilité qu'il existe deux composantes connex finie quand je dis 2 c'est au moins 2 peut-être un grand quel est le truc typique la méthode typique pour montrer ça c'est un argument un très très bel argument dû à Burton et Kinn et cet argument en général il est basé sur ce qu'on appelle avoir la propriété d'énergie finie pour le modèle c'est que là on l'a pas donc je vais vous refaire l'argument avec une probabilité qu'on a pour ce modèle là parce que ça marche pas on va dire directement avec la technique de Burton et Kinn alors ce qu'on appelle la propriété d'énergie finie en général c'est la probabilité suivante c'est que si je vous donne un événement qui dépense seulement de ce qu'il y a à l'extérieur d'une boîte alors dans la boîte je peux mettre la configuration je vais juste payer une constante un coût constant donc si je prends une configuration omega dans la boîte la probabilité de A intersecté enfin on va l'appeler omega 0 omega bar la probabilité de A intersecté avec omega E pour tout E dans l'ensemble petit E d'arrête donc là je vais dire que ça c'est un ensemble E et A il dépend seulement des arrêtes en dehors d'E donc je prends un événement qui dépend que des arrêtes en dehors d'E je prends une configuration à l'intérieur la probabilité d'avoir cette configuration à l'intérieur et l'événement en dehors est plus grand qu'une certaine constante qui ne dépend que de E fois la probabilité de A donc si je ne vous ai pas dit ce qui se passe ici vous pouvez mettre la configuration que vous voulez ici ça vous coûtera une constante mais strictement positive alors ça c'est totalement faux pour le random current pourquoi ? parce que imaginez, prenons une chose très simple, imaginez un graph où vous avez une arrête et deux graphes comme ça il n'y a rien entre les deux imaginez que je vous mets une source X ici, une source Y ici et que je vous dis il y a un chemin qui va de là à là et il y a un chemin qui va de là à là les sources elles-mêmes peuvent vous forcer l'arrête à être ouverte ici donc la contrainte sur les sources peut vous forcer à avoir des arrêtes ouvertes mais en quelque sorte c'est la seule chose qui puisse arriver c'est à dire que ce qui est possible de montrer c'est que donc ça c'est cette propriété on va l'appeler 1 1 est fausse pour P betta mais par contre on a bien que la probabilité de A intersecter avec le fait que omega E est égal à 1 pour tout arrête E dans E ça c'est bien plus grand qu'une certaine constante pour la probabilité de A donc ça peut vous interdire de ne pas avoir d'arrête ouverte à un point mais les contraintes de sources peuvent jamais vous empêcher d'avoir des arrêtes ouvertes la raison elle est toute simple c'est que vous pouvez toujours ajouter vous pouvez toujours ajouter 2 à votre courant ça change pas la contrainte ça change pas du tout les propriétés de sources les sources sont les mêmes mais en ajoutant 2 maintenant vous avez une arrête ouverte forcément d'accord donc autant si vous aviez 1 si la valeur de votre courant était 1 vous ne pouviez pas forcément la changer à 0 parce que là vous changiez les contraintes de source autant si votre courant était 0 vous pouvez le faire passer à 2 ça change pas les contraintes de source et si vous voulez une autre interprétation vous pouvez rajouter une petite boucle qui fait Toc Toc qui fait juste qu'il va et qui revient donc ça c'est possible et c'est pas très très dur à montrer de ces deux nouveaux un petit peu techniques donc vous allez juste me faire confiance sur celui-là l'interprétation c'est vraiment juste le courant en gros une configuration avec un courant 0 en point à constante presse c'est le même poids que avec courant égal à 2 d'accord donc on peut toujours ouvrir des arrêtes donc il faut qu'on arrive à faire marcher Burton Kinn pour ceux qui connaissent déjà l'argument avec juste cette propriété là pas avec la propriété où on ferme des arrêtes alors donc ça c'est notre l'aime je vais faire quelque chose exactement comme ça un tout petit peu plus tard d'accord je ferai exactement cette propriété là un tout petit peu plus tard alors comment on fait Burton Kinn que vous demandez puisque je pense que vous l'avez déjà vu donc on va définir e plus petit ou égal à 1 e plus petit à l'infini et e égal à l'infini c'est trois événements le premier ça va être il existe 0 ou 1 ou une composante connex infini e plus petit que l'infini c'est il existe un nombre fini de composante connex infini et e égal à l'infini c'est il existe un nombre infini de composante connex infini d'accord donc mon but c'est quoi c'est de montrer que enfin c'est de montrer que e plus petit ou égal à 1 à propriété 1 alors première étape ça va être d'exclure le fait qu'il puisse y avoir un nombre fini de composante connex infini mais pas seulement 0 ou 1 donc par exemple l'exclure qui en est 2, 3, 4 etc donc on va regarder étape 1 enfin petit a la probabilité donc je vais l'écrire comme ça d'avoir un nombre fini mais pas une c'est 0 alors comment on fait ça ? ce qu'on va faire c'est qu'on va choisir n appartenant à n vous avez déjà vu ça pour la percolation vous avez fait l'argument de Burton King je pense donc là je l'aurais écrit juste c'est pas très long et c'est un joli argument donc pour ceux qui l'ont pas vu c'est bien donc on choisit un grand n tel que la probabilité que tout enfin toutes les composantes connex infini intersectent une lampe d'an et plus grand que un demi de la probabilité d'avoir un nombre fini de composantes connex infini vous êtes d'accord on peut toujours choisir un grand n tel qu'on a cette propriété là pourquoi ? parce que tout simplement l'union de ces événements là c'est exactement l'événement il existe un nombre fini de composantes connex infini d'accord ? s'il existe un nombre fini il existe une boîte tel qu'il intersecte toutes ces composantes connex infini donc je peux toujours faire ça mais maintenant le fait que toutes les composantes connex infini intersectent lampe d'an c'est un événement qui ne dépend pas des arrêtes dans lampe d'an elle ne dépend que des arrêtes qui sont en dehors de lampe d'an donc du coup je peux utiliser cette propriété là pour dire je tourne toutes les arrêtes qui sont à l'intérieur de lampe d'an ouvert et j'obtiens que la probabilité de cet événement là appelons-le A la priorité de A intersectée avec omega E égale 1 pour toute E dans la boîte de taille lampe d'an cette chose là ça va être plus grand que cette fameuse constante C de E de lampe d'an fois un demi fois la probabilité de E plus petit que l'infini mais cet événement à gauche il est contenu dans le fait qu'il existe une seule ou zéro composante connex infini j'ai jamais dit qu'il y en avait des composantes connex infini ici d'accord ? mais donc cette chose là à gauche est bien plus petite que cette chose là donc j'ai que cette chose là est plus grande que C de E de lampe d'an fois un demi fois la probabilité d'avoir un nombre fini le problème c'est que puisque Pbeta est ergodique et que les deux événements par translation et ben on en déduit que la seule possibilité c'est qu'ils aient la même valeur parce que si ce gars là est strictement positif alors celui là va être positif et puis celui là bien sûr est plus petit que ça donc soit il valent tous les deux zéro soit il valent tous deux un donc par translation on en déduit donc ça c'était la première étape cette étape c'est exactement la même elle est pas tout le temps écrite comme ça que celle de Burton King pour la percolation ce qu'on a juste eu besoin d'ouvrir des arrêtes alors maintenant il nous faut exclure le fait que peut-être qu'en fait on a un nombre infini de composantes connex et on veut montrer que ça ça vaut 0 alors donc là vous voyez si on a un nombre infini de composantes connex à aucun moment on va arriver à trouver un n tel que la boîte intersecte toutes les composantes connex par contre ce qu'on peut faire c'est qu'on va trouver un n tel qu'elle va intersecter 3 composantes connex disjointes donc choisir son n tel que 3 composantes connex infini intersecte un nombre d'an donc je vais prendre ça plus grand que un demi de la probabilité d'e infinie et puis là je vais de nouveau utiliser le fait qu'il y ait 3 composantes connex qui intersecte lambda n du coup ça ça va me permettre de dire je vais regarder l'événement que lambda n donc omega e égale 1 pour toutes e à partir non à lambda n et omega restreint au reste en dehors de la boîte de taille lambda n possède 3 composantes connex disjointes touchant la boîte de taille lambda n et omega restreint zd privé de e lambda n contient 3 composantes connex infini touchant lambda n donc cette chose là c'est exactement si vous voulez si je prends cet événement là que je regarde juste le fait que cet événement il implique cet événement là et que j'ouvre toutes les arrêtes à l'intérieur j'obtiens que ça c'est bien plus grand que c de e de lambda n fois cette chose là donc peut-être un dessin là ça va aider ça va aider ça va aider donc là ici ça veut dire quoi j'ai ma boîte lambda n si je sais que j'ai 3 composantes disjointes qui touchent la boîte en particulier si j'enlève si je ferme si j'oublie ça j'ai bien 3 composantes disjointes au moins qui touchent la boîte maintenant c'est un événement qui ne dépend plus de ce qui est dans la boîte donc je peux ouvrir toutes les arrêtes dans la boîte avec une propriété positive donc maintenant j'ai plus qu'un cluster qui touche la boîte par contre il a vraiment cette propriété de la boîte est vraiment pivot de ce point de vue là si je l'enlève j'ai vraiment 3 composantes connex infini au moins j'en ai peut-être beaucoup plus mais j'en ai au moins 3 donc ça normalement si vous avez vu ça pour une arrête juste pour n égale 0 un point était pivot enfin on appelle ça une trifurcation donc ça ça fait une trifurcation on va dire que le centre de la boîte on va l'appeler x x est une trifurcation si taux x de cet événement appelons b cet événement taux x de b donc la translation par x de b et vérifie donc en général on fait ça avec n égale 0 mais en général ce qu'on fait c'est qu'on utilise on dit il y a 3 composantes connex qui intersèquent l'ambda n et après là on dit ici on transforme dans la boîte on crée 3 chemins qui vont arriver jusqu'à 0 et qui vont avoir telle et telle propriété enfin qui vont avoir les propriétés d'être 3 chemins 10 joints et qui ne se réunissent qu'en 0 comme ça on a besoin de fermer des arrêtes pour être certain que les chemins restent 10 joints là j'ai pas le droit de le faire donc je vais juste ouvrir des arrêtes entre nous soit dit c'est beaucoup plus pratique de faire comme ça parce qu'il y avait peut-être vous l'avez vu un petit problème quand on essaie de fermer les arrêtes quand les 3 chemins arrivent exactement dans le coin c'est pas possible de le faire alors il y a différentes façons de se débarrasser de ce problème là mais là je dis juste en fait juste ouvrer tout le monde et on va voir que l'argument qui suit va toujours fonctionner parfaitement alors j'ai ça donc la probabilité d'être une trifurcation est positive d'accord ? appelons cette quantité appelons là p0 enfin elle est pas positive elle vaut p0 donc maintenant ce que je vais faire c'est qu'on va prendre grand n donc on va prendre grand n ça va être le nombre de x appartenant à deux n zd donc je vais prendre juste des points tous les deux n qu'à 0 on a 2n1 etc et je vais regarder peut-être que je vais prendre 2n1 pour être sûr qu'elles sont déjà je vais prendre l'ensemble des points comme ça tel que x est une trifurcation donc là ça c'est infini donc je vais prendre les ensembles qui sont là-dedans intersectés avec une boîte de taille petit n donc je vais prendre une énorme boîte institutionnellement petit n est beaucoup plus grand grand n et je vais compter le nombre de trifurcation dans ma boîte donc quelle est l'espérance de ça donc l'espérance de beta enfin l'espérance de n excusez-moi par définition elle va être plus grande que p0 chacun des points à une proie à p0 peut-être une trifurcation soit le nombre de points de mon réseau qui sont dans lambda n c'est-à-dire quelque chose comme la taille de lambda n divisé par 2 grand n plus 2 à la puissance d quelque chose comme ça peut-être 4 grand n enfin on va prendre quelque chose comme lambda grand n plus 1 de grand n plus 2 d'accord ça croit comme n puissance d donc mon but c'est de montrer qu'en fait ça c'est pas beau ici de nouveau dans l'argument classique ici vous prenez juste l'ensemble de x dans zd vous n'avez pas besoin de prendre dans un sous réseau mon but c'est de montrer qu'il n'y a pas beaucoup de de trifurcation donc ce que je vais faire c'est prenons une configuration avec un certain nombre de... juste prenons une configuration on a des trifurcation d'accord je les vois ces trifurcation donc première chose que je vais faire je vais dire je ne touche jamais aux boîtes autour de mes trifurcation les arrêtes qui sont dans les boîtes qui sont dans mes trifurcation je ne les bouge pas du tout donc ça c'est étape 1 étape 1 en quelque sorte on gèle les arrêtes dans mes boîtes qui trifurent l'étape 2 ça va être à chaque fois que vous avez un cycle vous enlevez une arrête donc vous avez des cycles des fois vous avez des choses comme ça étape par étape vous épluchez en quelque sorte votre configuration en enlevant les arrêtes une arrête de chaque cycle donc on enlève une arrête de chaque cycle vous le faites étape par étape donc vous remarquez vous gardez tout le temps les propriétés de connectivité vous ne les perdez jamais en faisant ça deux points qui étaient connectés restent connectés après avoir fait cette opération par contre qu'est ce que vous avez gagné maintenant vous avez une forêt d'accord il y a aussi des composantes qui sont comme ça donc vous avez une forêt maintenant étape 3 vous enlevez toutes les arrêtes de nouveau qui ne sont pas gelées donc enlevez une arrête non gelée de chaque cycle ou si vous préférez de chaque cycle d'arrêtes non gelées d'arrêtes non gelées troisième étape enlevez toutes les arrêtes dont les deux extrémités ne sont pas reliées au bord donc enlevez toutes les arrêtes dont les deux extrémités ne sont pas reliées au bord sans utiliser l'arrête parce que sinon bien entendu si une des extrémités est reliée et l'autre l'est aussi sans utiliser l'arrête en ayant fait ça qu'est ce que j'ai obtenu j'ai enlevé toutes les branches de mon graph toutes les branches et toutes les toutes les composantes qui sont pas reliées au bord donc qu'est ce que j'obtiens maintenant j'ai quoi j'ai juste un arbre dont les feuilles ne peuvent être que les arrêtes sur le bord il n'y a plus de feuilles à l'intérieur puisque j'ai épluché toutes les branches à l'intérieur donc toutes les feuilles de mon graph sont des points du bord et quels sont les seuls quelles sont les seuls points enfin excusez moi et toutes les trifurcations correspond à si vous on pourrait peut-être faire ça on va faire une dernière étape juste pour la beauté du geste on va juste les trifurcations on va les les réunir en un seul sommet on va donc on va faire étape 4 étape 4 collapse les trifurcations en un point en un sommet donc maintenant j'ai vraiment une forêt dont les feuilles sont forcément sur le bord et dont toutes les trifurcations sont des sommets de degrés 3 ou plus donc forcément il y a moins de trifurcations parce qu'il y a moins de sommets de degrés 3 ou plus que de feuilles dans une forêt du coup n est en fait déterministiquement plus petit que la taille du bord de mon graph donc il y a plusieurs façons de voir ça pour les trifurcations quand on oublie l'étape 4 je trouve que ces 3 étapes montent vraiment bien qu'on voit très clairement pourquoi il y a moins de trifurcations de points sur le bord je trouve que c'est la façon la plus jolie de voir très bien donc du coup ça nous dit qu'on a moins de... du coup p0 enfin p0 c'est plus petit que la taille de la boîte de taille de grand n plus 2 le bord de la boîte... la taille de la boîte de la boîte divisé par la taille de la boîte elle même donc quand je laisse n tendre vers l'infini j'obtiens 0 mais p0 c'est plus grand qu'une constante fois la probat de e égale l'infini donc la probat de e égale l'infini vaut 0 je pense que c'est vraiment la façon la plus rapide d'expliquer cet argument en particulier il n'y a pas de raisonnement ou de choses comme ça c'est vraiment la façon géodésique si vous essayez de la refaire avec les trifircations ça m'a vraiment dans le cas en fait finalement prendre ces cores trifircation comme on les a appelés dans l'article ça permet vraiment de se débarrasser du problème des coins donc en fait même pour la percolation je trouve que c'est la preuve la plus simple il y a d'autres façons de gérer le problème des coins mais c'est en fait la plus rapide de mon point de vue voilà donc ça c'était l'étape c'était l'étape 3 ou 4 dans l'étape 3 qui nous dit qu'il y a un unique composant de connex infinie si elle existe donc c'est bien il reste 6 minutes je crois qu'on va avoir exactement le temps de finir étape 4 on va dédiviser 11 ans qu'il n'y a pas de composant de connex infinie donc ça je vous dis pour la percoce qu'on dirait c'est que probat de 0 relié à x est plus grande que probat de 0 relié à infinie fois probat de x relié à l'infini mais pour avoir ça on utiliserait l'ingérité FKG or on ne l'a pas pour les courants donc là on va devoir faire un tout petit peu mieux donc ce qu'on va regarder c'est que regardons l'ambdant n fois la probat de 0 relié à l'infini donc ce qu'on va faire c'est qu'en fait on va regarder l'espérance du nombre de points de taïenne relié à l'infini on va voir qu'en faisant une petite manipulation on obtient une contradiction d'accord ? donc prenons ça et puis mettons-le au carré parce qu'en fait il va y avoir un Cauchy Schwartz qui va se balader par ici donc cette chose là c'est quoi ? c'est exactement l'espérance par rapport à beta de la somme pour x dans la boîte de l'indicatrice de x relié à l'infini c'est la moyenne de cet observable au carré de cette variable aléatoire au carré là j'ai juste utilisé la variance par translation maintenant là j'utilise j'utilise Cauchy Schwartz ça va être plus petit que l'espérance par rapport à beta du carré de cette chose c'est Cauchy Schwartz pour la mesure P beta et donc ça je peux le réécrire comme la somme sur x et y dans l'ambes d'A.N de la probabilité que x et y sont reliés à l'infini d'accord ? la première somme je lui mets l'indice x la deuxième l'indice y qu'est-ce qu'il me reste à faire ? il me reste à voir que maintenant puisque je sais qu'il y a une unique composante connex infinie si x et y sont reliés à l'infini ils sont reliés entre eux donc ça c'est plus petit excusez-moi que la somme sur x et y dans l'ambes d'A.N de la probat que x est relié à y donc là ici j'ai utilisé unicité unicité de la composante connex infinie ici c'était la variance par translation mais maintenant je peux utiliser la propriété étoile plus mon étape 1 qui disait la probabilité que 0 relié à x est plus petite que le produit des correlations de spin pour fri et pour fri j'ai dit l'hypothèse c'est exactement que ça tend vers 0 quand x tend vers plus infinie donc du coup cette somme quand l'ambes d'A.N tend vers plus infinie ça va se comporter comment par rapport au volume de la boîte ça va être un petit taux du volume de la boîte au carré du coup là j'ai bien volume au carré fois la probat au carré je me dis bien que la probat de 0 relié à l'infinie vaut 0 donc là quand je fais N tend vers plus infinie j'obtiens qu'il n'y a pas de composante connex infinie donc j'ai entre guillemets c'est quelque chose que vous auriez pu utiliser aussi pour la percolation c'est juste qu'il n'y a pas besoin de FKG pour montrer que si on a que la fonction à 2 points envers 0 alors il n'y a pas de composante connex infinie tant qu'on a montré l'unicité de la composante connex infinie il se pourrait qu'on ait une infinité de composante connex infinie et dans ce cas là on n'aurait pas la propriété on aurait une composante connex infinie avec probat positif mais on n'aurait pas que les fonctions à 2 points tendent vers enfin ne tendent pas vers 0 juste pour vous rappeler si vous prenez un graphe non moyennable comme un arbre ou quelque chose comme ça là vous avez tout un régime où vous avez une composante connex infinie et que 0 est relié à la finie positive mais la propriété que 0 est reliée à x tant vers 0 quand x tant vers plus infinie donc c'est possible c'est pas juste quelque chose de fou très bien on a quasiment fini maintenant il nous reste plus qu'à notre dernière petite étape étape 5 on va montrer que sigma 0 sigma x plus beta moins sigma 0 sigma x libre beta et plus petite qu'une certaine constante qui dépend de x fois la probabilité que 0 est reliée à l'infini la constante dépendant de x ça peut être énorme mais vous voyez bien que si puisque cette chose là vaut 0 ça ça vaut 0 et c'est toujours positif aussi donc on a bien que les fonctions de corrélation sont les mêmes pour plus et pour libre donc finissons par ça donc on va prendre notre sigma 0 sigma x plus beta moins sigma 0 sigma x libre beta on va de nouveau écrire ça avec nos fonctions avec nos fonctions de partition donc c'est g union le ghost avec des sources 0x sur z de g union le ghost sans source moins la même chose là si on réduit au même dénominateur et on utilise le switching les mains donc si on réduit au même dénominateur ici on va avoir ça xz de g l'ensemble vide moins z de ça xz de g union le ghost ensemble vide je fais passer les sources on a dit qu'on avait le droit de faire passer les sources du petit vers le grand donc je fais passer les sources du petit vers le grand au prix d'avoir l'indicatrice que 0 est reliée à x puisque ici j'ai pas d'indicatrice ça va me donner exactement la proba 0x g union ghost beta ensemble vide g de 0 et x ne sont pas reliés mais quelle est la seule façon de ne pas être reliée donc ça c'est de nouveau on a fait ça 15 fois donc c'est vraiment la même chose je vous laisse regarder quelle est la seule façon que 0x ne soit pas reliée pas les sources vous oblige 0 à être reliée c'est une source donc c'est une source dans n1 donc il doit être relié à quelque chose et l'autre doit être aussi relié à quelque chose donc la seule façon c'est qu'en fait il soit tous les deux reliés au ghost donc il doit être relié jusqu'à l'extérieur de la boîte le seul problème c'est que vous voyez quand je regarde pgbeta si je regardais la mesure que j'ai définie sur pgbeta il n'y a pas de source pour le premier ni pour le deuxième courant là j'ai des sources ce que vous pouvez faire c'est que vous pouvez vérifier prenez un chemin qui va de 0ax fixez-le et sur ce chemin changez la parité ajoutez 1 à votre courant à votre premier courant vous ajoutez 1 en fait vous pouvez vérifier que ajoutez 1 exactement comme on pouvait tourner les arrêtes ouvert on peut faire la même chose ici on peut tourner les arrêtes, on peut ajouter un au courant et ça va juste vous coûter constante donc cette chose là ça va être plus petit qu'une constante qui va être horrible c'est à dire que pour chaque arrête de ce chemin entre 0x vous allez en fait payer une constante strictement plus grande cure donc ce cx ça va être exponentiel en la distance entre 0x mais vous allez pouvoir obtenir aucune source alors là maintenant 0x sont reliés mais c'est pas ça qu'on va regarder ce qu'on va regarder c'est que 0 était relié au ghost avant donc il doit encore être relié au ghost maintenant donc on va juste garder l'information 0 est reliée au ghost faites tendre g vers plus infinie cette chose là ça converge vers quoi le ghost s'éloigne de plus en plus il va à l'infini donc en fait cet événement là va converger vers 0 relié à l'infini donc ça ça va converger vers la probabilité de 0 relié à l'infini et la chose importante c'est que ce cx là ce chemin il est fixé sa longueur est fixée donc ce cx il dépend pas du grave g donc vous allez obtenir exactement ça donc la différence entre les corrélations de spin pour plus et pour libre est contrôlé uniformément par cx pour la probabilité d'avoir une composante connex infinie et du coup si cette composante connex infinie n'existe pas ça nous implique que les corrélations sont les mêmes mais on a vu que ça ça impliquait que la magnetisation vaut 0 en fait ça ça implique aussi que le les deux mesures sont vraiment égales il n'y a pas que la magnetisation c'est que les deux mesures sont égales voilà donc ça c'est la fin je vous ai en gros les 2 choses que j'ai pas montré enfin les 3 choses que j'ai pas montré dans la preuve je vous ai pas fait l'ergodicité et la définition de Pbeta c'est vrai à vrai dire je suis même pas sûr qu'on en aurait beaucoup besoin mais effectivement ça c'est un petit terme c'est un petit côté technique qui n'est pas très plaisant et je vous ai pas fait les deux fois que là cette inégalité par exemple je vous ai pas vraiment expliqué le finite energy vous pouvez essayer de le faire vous-même c'est vraiment vraiment c'est un multivariate map principle en quelque sorte c'est une modification un peu à la main ça se fait très très bien il n'y a pas de conceptuellement il n'y a pas de difficulté cachée derrière tout ça je vous ai expliqué qu'elle était l'idée vraiment qui était essayer de montrer qu'on a une composante connex unique et d'utiliser ses propriétés en gros d'ergodicité de Pbeta pour montrer que ça c'est incohérent avec l'hypothèse enfin montrer que ça combinait avec l'hypothèse triangle c'était pas du tout un triangle d'ailleurs c'était une étoile c'est pas grave que l'hypothèse étoile vous donne qu'il n'y a pas de composante connex infini voilà donc là c'est la fin pour cette semaine et donc au dernier cours on fera en dimension 2 on va essayer de vous expliquer un petit peu on n'aurait pas le temps de faire la preuve complète bien entendu en 2 heures mais n'a pas rien en ce qu'on forme en dimension 2 voilà, merci beaucoup