 Merci. Donc, à l'abord, je voudrais remercier les organisateurs pour des tutoriels très bons et des conférences très intéressantes pour cette invitation. André Joyal a déjà présenté le Saxium Univalent. Et il a expliqué qu'il a prouvé que nous avons un modèle de Saxium en notion de l'espace où un espace est un complexe simpliciel et peut être un set simpliciel. Donc, comme je vais vous expliquer, quand on regarde cet argument, c'est pas institutionnistiquement valide, donc il ne peut pas être fait dans un arbitrage utopique. Donc, le main goal de cet argument est de présenter l'intuitionnistiquement valide notion de l'espace, donc notion de l'homotapie type. Donc, le plan de cet argument est... Donc, à l'abord, je vais expliquer pourquoi cet Saxium Univalent est vraiment important dans la logique, donc un complément de l'exemple d'André Joyal. Ensuite, je vais expliquer pourquoi un set simpliciel peut être intrinsiquement classique. Il peut être utilisé intrinsiquement dans un logic classique. Et ensuite, je vais présenter une notion alternative de l'homotapie type. Donc, à l'abord, je raconte la définition que André présente une caractérisation de Topos. Donc, Topos est une caractérisation de l'homotapie classique présentable, qui est un sub-object classifier. Et André a commencé à expliquer la théorie du set, ce qui correspond à ça. Donc, je vais l'utiliser d'une théorie type. Non, donc c'est une grande théorie de Topos, parce qu'il est présentable dans cette caractérisation. Et ce que je présente, c'est ce que la théorie du set correspond à cette notion. Donc, localement, Cartesian est fermée. Donc, en particulier, c'est Cartesian qui est fermée. Donc, c'est exponentiel. Et il y a, en fait, dans les forties, donc, logiciens, donc, à l'âge de cette church, ont créé un très simple, très élégant logiciel, un système formel, qui s'appelle la théorie simple type, qui correspond, en fait, à la théorie logique que André présente. Donc, c'est... Donc, qu'est-ce que c'est logique ? Donc, vous avez un type de proposition. Donc, je veux dire, la church a travaillé dans un framework classique. Donc, ce type... Vous pensez que ce type n'est qu'un type qui n'est que 01, mais pour le Topos, donc ce sera le sub-objet classifiant du Topos. Et ensuite, nous avons un type d'individuels. Et la seule formation que nous avons pour construire un nouveau type, c'est le type de fonction. Donc, je veux dire, cette type de théorie est une très naturelle théorie de set. Qu'est-ce que ça a été de l'extérieur ? Je veux dire, un type d'individuels ? Qu'est-ce que ça a été ? Donc, on a fixé... Je veux dire, j'ai un type d'individuels naturels. Donc, on a fixé le meilleur type. Et pour la church, la church n'était pas vraiment utilisée. Il utilisait un type d'individuels. Il a eu un axiom que ce type était infinit. Un axiom infinit, et d'ici, il a construit un type d'individuels. Oui, donc le set d'individuels va être Airo Boulle. C'est-à-dire, c'est-à-dire Airo Boulle. Donc Boulle est un type d'individuels. Donc, la church n'a pas d'individuels. Vous pouvez ajouter un produit d'individuels. Si vous voulez une bonne correspondance avec la catégorie d'individuels. Dans certains places, je n'ai pas d'individuels, mais d'individusels, d'individusels et d'individusels, et d'individusels et d'individusels, donc il y a ce genre d'individuels. Oui, donc il y a une présentation alternative où vous n'avez pas de type d'individuels, mais vous avez seulement un produit d'individuels et d'individuels. C'est-à-dire, dans Lambeck et Scott, un livre catégorique par Lambeck et Scott, ils utilisent cette formulation d'individuels. Mais actuellement, je veux utiliser cette formulation, parce que je veux stresser que dans cette formulation, il y a deux notions de fonction. Une notion de fonction est donnée par ce type primaire. Et il y a une autre notion de fonction qui est une notion de fonction d'individuels ou en mathématiques. C'est une fonction qui est donnée par un grapho fonctionnel. Dans le système de recherche, il y a des questions pour relater cette notion de fonction donnée par un grapho fonctionnel et cette notion de fonction primaire. Et ceci est fait par ce que j'ai écrit ici. Et ce qui est la connexion entre ces deux notions. Donc, pour avoir une bonne connexion entre ces deux notions, nous avons besoin d'introduire un opérateur qui est connu par un opérateur de description. Donc, et ceci est besoin pour connecter la notion de fonction et la notion de grapho fonctionnel. Et cette notion d'opération, c'est fondamental en mathématiques. Elle représente, si vous avez une existence unique, vous avez un objet qui le satisfait. Donc, elle correspond à, en mathématiques, vous savez que cet objet, vous avez une propriété qui vous satisfait par seulement un élément. Ensuite, vous pouvez donner un nom à cet objet. C'est fantastique. Donc, à Bourbaki, ils utilisent une opération plus forte qu'une taux opérations qui est une forme, une forme très forte de choix. Donc, à Bourbaki, ils utilisent une taux, mais généralement c'est une logique, c'est une opération d'Ilbert qui s'appelle Epsilon, qui est une forme forte de choix. Donc, si vous avez une existence, vous pouvez donner un nom à cet objet. Donc, si vous avez cette, en fait, cela implique la logique classique. Donc, le churche a introduit des opérations et puis, vous pouvez donner un nom à cet objet. Et cette opération, comme je l'ai dit, c'est fondamental. Et je pense que c'est pourquoi ce titre est logique et topologie. Donc, cette opération est fondamental en logique, mais je pense que c'est seulement par le travail de Bourbaki que nous commençons à avoir une analyse mathématique de ce qui se passe dans cette opération. Donc, comme je l'ai dit, cette opération utilise une existence unique. Donc, une existence unique, c'est une notion d'équalité. Donc, notre équalité est représentée dans ce système formel. Il peut être caractérisé, il peut être défini dans ce système, mais il peut être caractérisé par deux axioms. Donc, la première est que c'est réflexif. Et la deuxième est que vous avez la propriété de substitutivité. Donc, si A0 et A1 sont équalés, quelle propriété de A0 est satisfaite par A1. Ok. Et ensuite, vous avez, donc comme dans cette théorie, la première axiom dans cette théorie est l'axiom d'extension. Donc, comme dans cette théorie, vous avez une axiom d'extension, et il y a deux formes de cette axiom d'extension. Donc, l'une que vous espérez de A à B qui sont pointwise équalés, c'est qu'ils sont équalés. Et la deuxième forme, c'est un peu moins expérimenté, c'est que si vous avez deux propositions qui sont équivalentes, c'est que ces propositions sont équivalées. Et donc, les axioms dans ce système formel sont indépendants. Mais, donc, l'univalent axiom, ce que nous allons voir, est une généralisation de A1. Cette forme d'extension. Et donc, dans le système que je vais présenter, cette généralisation de A1 implique deux. Donc, c'est vraiment une forte forme d'extension. Donc, comme André a dit, dans le système de théorie correspondant à la théorie de topos, ce que nous pouvons former, c'est que nous pouvons interpréter le système de théorie, le système de théorie, etc. Mais nous ne pouvons pas interpréter à l'intérieur de la famille de ce type. Donc, nous n'avons pas, dans le système de théorie, c'est un axiom de réplacement qui permet de faire ça, de parler de cette famille. Dans la théorie simple, vous ne pouvez pas... Oui, dans la théorie simple, vous ne pouvez pas. Donc, la théorie de refinement que je vais présenter, dans la théorie de refinement que je vais présenter, vous pouvez le faire. Et plus importantement, si vous voulez représenter les mathématiques, dans cet système formel, vous ne pouvez pas introduire une structure arbitraire. Donc, vous pouvez fixer une structure sur le type I sur le type I, mais vous ne pouvez pas introduire un type X, et nous considérons une structure en X. Et c'est une très forte limitation si vous voulez parler de structure arbitraire, ring arbitraire, groupes arbitraire, et prouver des choses sur les groupes. Donc, les gens ont créé une extension de la théorie type, qui est... où vous refinez la notion de type sur le type I. Donc, non, c'est basique. Donc, je ne vais pas donner des détails formels de ce système, mais la main idée est que ce qui est basique dans ce système formel est la notion de famille de types. Et déjà, dans cette notation, vous voyez l'analogue quand vous avez une vibration sur un type I. Donc, c'est naturel si A est un point A, donc, c'est la même notation qui est utilisée dans cette théorie type. Donc, c'est pas expectant que ce système formel ait une connexion avec la notion de vibration. Et en fait, ce système formel est un système formel minimal dans lequel vous pouvez parler de la notion de vibration. Et dans ce système formel, vous avez des opérations primitives qui sont des opérations dérives dans cette théorie. Donc, ce sont les opérations primitives, donc, je vais utiliser ça. Et ce sont les mêmes notations que l'une utilisée dans la théorie de Bourbaki. Donc, c'est un set de secteurs si vous avez une famille de types. C'est un type de secteur de cette famille. Et c'est un type de pare, A, B, où A est dans A cette théorie, c'est considéré en ce cas. Vous avez une famille de types, et vous formez un set de secteurs. Donc, c'est une génération pure formel, donc, je vous le connais pour types plutôt que sets. Et donc, ce qui a été noté est qu'actuellement vous pouvez expliquer les opérations logiques ou vous pouvez réduire les opérations logiques pour les types opérations par la suivante décision. Donc, vous définissez les produits cartes qui correspondent aux conjunctions dans le cas non-dépendant et les types fonctions sont les cas non-dépendants. Et puis, l'idée est de voir une proposition comme un type de proche. Donc, si vous avez ces vies, vous pouvez regarder tout en étant représentés par ce produit dépendant et une très forte forme d'existence en étant représentée par ce type de sigmatisme. Et ça a été fait longtemps ago par la mathématicienne de Bruyne. Vous avez remarqué qu'actuellement, il y a une représentation de prouves mathématiques sur un computer. Donc, il n'y a rien à faire avec la vibration à ce point. Et ceci est vraiment bien la description de ce qui se passe. Ce que j'ai trouvé intéressant c'est qu'il y a une présentation logique. Tout ce que vous faites c'est que vous buildez un type d'identité logique. Donc, dans le church, il y a de listes logiques. Là, vous n'avez pas besoin de listes logiques, c'est-à-dire que c'est partie de l'informalisme. Et donc, qu'est-ce qui est la source de différents types réels ? Comment vous introduisez différents types réels ? Donc, il y a deux sources universales et type path. Donc, généralement, c'est un type identitaire. C'est la typologie topologique. Je vais les appeler type path. Donc, ce sont les univers. Il y a aussi été introduit par De Bruyne et par Martin Loffre. Donc, un univers est un type qui représente types. Donc, c'est un type, les éléments sont types, et c'est fermé par la suivante opération. Donc, dans ce genre de formalisme, ce type de paradoxe ne s'applique pas directement. Mais Jean-Yves Girard est capable, en fait, de représenter 40 paradoxes. Oui, donc, c'est ordinateur de tous les ordinateurs. En fait, pour Girard, c'était un type bien fondé, de toutes les relations bien fondées. Et donc, Girard était capable de montrer ce paradoxe si vous avez un type de tous les types. Donc, c'est similaire à cette théorie, vous ne pouvez pas avoir un type de tous les types. Donc, Martin Loffre, en suivant Grotendick explicitement, il m'a mentionné Grotendick explicitement, introduit un hierarchy d'universes. Donc, 0, 1, 2, oui, et external. Et chaque univers est fermé par ces opérations. Mais le UN contente le UN-1. Et... Excuse-moi? Le UN contente le UN-1 n'est pas un élément. Non, non, non, pas un élément. Mais c'est aussi, si vous avez un type, un type de U0, c'est aussi un type de U1. Donc, c'est très naturel, en fait, ma analogie avec cette théorie. Ok, donc avec ça, vous pouvez, vous pouvez représenter une collection de structure, une structure mathématique. Parce que vous pouvez... Vous avez ce type U0, donc vous pouvez introduire une arbitrarie X en U0 et une structure en X. Ce type, pour exemple, représente la collection de types en U0, un petit type, avec une opération binarie. Donc, X times X en X, et une constante en X. Quand vous dites structure, est-ce que vous pouvez introduire des espaces de Hilbert? Oui, vous pouvez, si vous voulez, vous pouvez définir les vrais numéros, pour exemple, Cauchy Sequence, et vous avez un type des espaces de Hilbert. Et c'est ce type de représentation qui est utilisé par Girard pour exprimer les 40 paradoxes. Mais si vous voulez introduire un groupe, pour exemple, vous avez une équalité et vous avez besoin de l'équalité. Et c'était une contribution très importante de Martin Loff, qui a introduit aussi des lois pour l'équalité notionale, mais pas de l'équalité. Il doit être pensé comme un type dépendant. Ce sera un type de équalité entre A et B. Donc, un élément de ce type représente une équalité entre A et B. Donc, c'est naturel de penser qu'on est en train de connecter A et B. Si nous pensons que si nous regardons un type des espaces, l'équalité est type. Oui, l'équalité est type. Oui, c'est vraiment important. Donc, vous n'avez pas une notion globale de l'équalité. Qu'est-ce qu'il s'agit d'un point classique de l'exposition? Oui, parce que de toute façon, nous n'avons pas l'insecturité. Et cette équalité, si vous regardez l'équalité de l'équalité, c'est vraiment similaire à ce que vous avez pour l'équalité. Donc, comme pour l'équalité, vous avez un path constant entre A et A, qui correspond à la puissance de la réflexivité. Et si vous avez un path connectant à A et B, je dis que si A et B sont équals, toute la propriété de A est la propriété de B. Maintenant, vous pouvez regarder un path entre A et B, et vous avez un moyen de transporter un élément de cela. Donc, si vous regardez cette photo, c'est exactement la propriété de l'équalité de l'équalité. Donc, normalement, on dirait que si A est vrai, si C est vrai, c'est vrai. Mais maintenant, vous avez une map qui montre que c'est vrai et que c'est transport. Oui, c'est transport. La map transforme la puissance de C et B. La puissance de C et B. Est-ce que c'est juste un type dépendant sur A ou est-ce que c'est vrai ? C de A n'est pas un type dépendant sur A. Donc, en particulier, c'est une structure, une structure mathématique qui varie avec A. Donc, nous avons vraiment un map transport entre la structure A et la structure B. Et non, donc, c'était remarquable pour une contribution remarquable de Vovovsky. Il était capable d'utiliser ce système formule qui existe déjà. Il était capable de formuler une définition très simple et naturelle, qui correspond à un fact important en topologie. Donc, il définit si A est un type, si A est dans un univers, il définit un type qui signifie que A est contractible. Donc, et qu'est-ce que ça veut dire ? Ça veut dire que tu as un point A, pour que qu'un autre point A soit un pass entre A et X. Ok, mais le proof de ce facteur est une perte que l'espace A est contractible. Ensuite, il définit le fibre. Donc, si F est un map de T à A et A est un point A, le fibre, donc comment tu définiras le fibre ? Tu imagines que l'espace c'est tout un complexe can ? Non, non, non. Tu imagines que les types sont complexes can et un type dépendant correspond à une vibration can ? Oui. Ce n'est pas en général. Oui. Pourquoi la première chose ne peut pas être une perte ? Non, parce qu'elle existe. Oui. Donc, si tu as ceci, tu as la perte donc tu as une perte, tu as la perte A, donc c'est non empty. Si tu as un proof que A est contractible, donc en fait, ça sera un complexe donc tu as un map de T à A. Donc, si tu as un proof que A est contractible, alors tu as un élément. Et c'est simplement la première projection. Donc, et puis, tu définis quand un map, donc... Le deuxième sera appelé l'homotopy fibre. Exactement. Où est la cofibration ? Oui. Donc ça va arriver, c'est un point crucial donc la cofibration, on n'est pas là dans ce système formel. Mais ça va arriver. Et puis, si un map est de T à A, tu peux définir quand un map est en équivalent et c'est simplement que pour tout A en A, le fibre est contractible. Et puis, tu définis le espace de l'équivalent entre T et A, comme ce type sigma. L'équivalent est un paire, donc c'est une fonction de T à A et une preuve que F est un équivalent. Et puis tu définis quand un type est une proposition. Donc un type est une proposition si tous les deux éléments sont equal. Tu peux définir, quand un type est un set, le type espace de l'équivalent est une proposition. Et puis tu peux définir quand un type est un groupe. C'est-à-dire que l'équivalent est décis ? Non, non, non. Et pour être un set, c'est-à-dire que tu es dans un framework d'intuitionnistique, c'est-à-dire que tu as, à la plupart, un paire entre deux points. Et tu as aussi la notion de type décidable. Donc, tu as ce type, une paire XAB plus une paire XAB. Donc, si tu as la preuve de ce type pour tous A, B et A, X, C'est-à-dire X. Et cela est défini d'être l'implication, la paire. Donc c'est-à-dire un espace qui est le espace de cet espace. Où est-ce que c'est le type entier. Donc, ce sera un type décidable et l'une des premières théorèmes de cet formalisme est que si un type est décidable alors c'est un set. Et c'est un théorème remarquable parce qu'il connecte la notion logique et la notion homotopique. Dans le camp, les sets sont essentiellement un espace discrète. Oui. Oui, c'est-à-dire que tu as un pass unique. Oui. Oui. Qu'est-ce que c'est? Pardon? Le premier? Il est contractible. Il est contractible, pardon. Oui. Et en fait, et la convention est quand tu as quelque chose, en fait, ce type est une proposition. Donc, c'est... Donc, pour exemple, tu peux prouver que pour un A, ce type est toujours une proposition. Et pour un F, ce type est une proposition. Qu'est-ce que c'est l'origine de ce type? Oui, donc c'est une proposition, c'est-à-dire ou c'est un type contractible. Oui. Et... Et c'est la convention de Voivovsky. Donc, quand tu as quelque chose comme ça, ce type est une proposition. Et donc, le axiom est formulé, et donc, juste pour donner un exemple, donc en topologie, quand tu as deux vibrations sur un type, un espace, un A, donc, oui, tu as deux... un E et un F. Et puis, tu as un map entre chaque fibre. Il continue dans un A. Et puis tu peux définir un total space. Et puis, c'est un théorème que, je veux dire, ce map en total space est une équivalence. Si tu as une équivalence pour chaque A, tu as une équivalence. Donc, quelque chose est une équivalence, si c'est fabriquement une équivalence. Oui, oui. Et c'est un théorème que tu trouves dans le texte dans l'algebraic topologie. Et Voivovsky est capable de prouver dans ce système formel, par purement une manipulation syntactique. Et donc, quand tu as aussi... Donc, cette notion de équivalence, c'est une très forte notion. Je veux dire, tu peux montrer, bien sûr, ce que tu as dit, c'est que si un map entre un A et un A est une équivalence, alors il y a un inverse. Donc, en particulier, c'est une équivalence logique. Et une équivalence logique ça veut dire que tu as un map dans les deux directions. Mais si tu as deux types et que la notion de équivalence logique coïncide avec la notion d'équivalence. Donc, ici tu as deux types qui sont propositions. Alors, cette équivalence logique est en fait une équivalence entre les deux types. Et ça va jouer un rôle dans la formulation de l'action univalente. Donc, un autre facte d'équivalent type c'est que, avec cette notation, donc, Martin Loeff pour la région logique introduit cette loi qui signifie que pour une type A donc, tu as une nouvelle loi. C'est vraiment une nouvelle loi logique sur l'équivalence. Il dit que pour une A, ce type est contractible. Et qu'est-ce que ce type est ? Logiquement, il s'exprime que l'espace total de l'équivalence défini par l'espace de la route de l'origine divine est contractible. Donc, ce facte était mentionné en Pierre Cartier. Donc, tu as dit que ce sera introduit en axiom ? Ce sera introduit en loi comme facte qui devrait s'assurer de l'équivalence. Pas comme axiom. Mais comme principe de déduction. Comme principe de déduction, oui. Et ce fait est en fait un rôle important pour tout exemple dans le proof de cette théorème. Donc, tu dois utiliser ce facte. Et ce facte a été introduit pour une raison purellement logique par Martin Love. Et ce qui est remarquable, c'est que ce facte est typologiquement c'est exactement le point de départ de l'équivalence de l'équivalence dans l'algebraique typologie. Qu'est-ce qu'il a déjà dit ? Imaginez-vous, le typologie de l'équivalence dans l'algebraique typologie, il n'est pas correct, il n'est pas correct, il est contractible. Exactement. Donc, c'est formulé en utilisant les notations introduites par Vojvowsky. Donc, en un moment, vous pouvez dire qu'il n'a pas compris ce qu'il avait fait. C'est une autre chose. C'est le même. C'est une autre chose, un autre chose, un autre chose, c'est un autre chose, c'est un autre chose, c'est un autre chose, c'est un autre chose. Ce qui est négatif, c'est l'un des choses qu'on peut le voir, c'est la même chose, c'est la même chose. C'est un autre chose. Et j'espère que vous vous pouvez C'est un type universe U, donc vous avez une vibration sur U, qui est simplement X, donc un point de U est un type, donc vous avez une over U, vous avez une X, donc vous avez une X en U. C'est un espace total de cette vibration. Et donc l'axiom de univalence dit que cette vibration est univalente dans le sens que André described. Et la formulation de Voivovsky était que, si vous avez un parc, donc une équalité entre A et B, vous pouvez prouver que l'A et B sont équivalentes, simplement parce que A est équivalente à A, et l'équalité est une liste réflexive relation. Donc vous avez ça, et la formulation est que ce canonique map est une équivalente. Et je vais utiliser une autre formulation, qui est équivalente, qui a été noticeée d'abord par Martin Escardo, qui est donc un autre statement équivalent, c'est ce facte. Donc si vous regardez, donc nous savons que si nous regardons ce set, donc par le logement de Martin Loft, donc ce type est contractible. Nous savons que ce type est contractible. Donc ce qui s'occupe, si vous réplacez un parc par équivalent, donc vous avez un autre type, qui est celui-ci, Equivalent AX. Et un possible moyen de formuler l'axiom univalent, l'axiom univalent, c'est que ce type est contractible. Et non, si vous regardez ça, donc ça, je veux dire, vous avez ces deux types qui dépendent de A. Donc vous avez des situations où vous avez deux familles de types pour A et B. Donc en fait, si vous avez un parc par parc par équivalent, et un parc par équivalent, qui est générique, donc qui est uniforme à A et AX, une map sera une équivalence par le théorème de l'équivalent du total spatial. Parce que vous avez deux types contractibles, donc une map entre deux types contractibles est une équivalente. Donc si vous avez cet axiom, cette formulation est en fait équivalente de cette façon. C'est-à-dire que si vous fixez un type dans l'univers et regardez tout ce qu'il y a dans l'asomorphisme, je le vois comme une équivalente. Et puis, cette grande star, c'est un genre de star. C'est contractible. Tu peux en dire que c'est contractible. Donc maintenant, c'est la connexion avec l'axiom de la description. Donc, vraiment, vous pouvez voir ce type, qui est une proposition dans le sens formal qu'il y a d'autres éléments de cette équivalente. C'est en fait une génération uniforme de l'existence unique. Donc, quand vous dites que ce type est contractible, vous pouvez définir cela comme ce type. Et comme je l'ai dit, si vous avez une connexion de T, vous avez une connexion de T impliée de T par la première projection. Donc, vous avez, dans une direction directe, vous avez une description d'opérations parce que ce type implique ce type. Donc, si vous avez une connexion de l'existence unique, vous avez une connexion de ce type Sigma. Et par la première projection, vous avez un élément. Donc, une connexion de l'existence unique implique l'existence Effective. Donc, ça semble dire que si vous avez une fabriquation, et vous regardez les fabriques qui sont contractibles, et cette fabriquation va avoir une section, est-ce ça? Non. Non, parce que vous avez une section sur le support, sur le lieu où il est contractible. Oui, il est contractible, oui. Je ne sais pas parce que... Non, je suis conscient. Donc, pouvez-vous le dire encore? Bien, si vous avez une fabriquation. Oui, donc, c'est B. Donc, c'est la place totale de la fabriquation. Vous regardez les points A. Le point A est la base de la fabriquation, où la fabriquation est contractible. Non, non. Donc, ce n'est pas ça. Vous avez dit quelque chose sur la place totale de la fabriquation. Donc, pour dire que la place totale est contractible, ce n'est qu'unique existence. Et puis... Vous avez la union de toutes les fabriques qui sont contractibles. Oui. C'est-à-dire que vous avez... Vous avez réduit la fabriquation, et maintenant, il y a une section. Oui, oui. Oui. Mais, je veux dire, ce que j'ai envie de stresser, c'est que... Donc, cette notion d'équivalence, c'est vraiment généralisé. C'est plus qu'unique existence dans un set. Donc, c'est une existence unique de l'isomorphisme. Une existence unique de l'esprit catégorique, deux niveaux catégoriques, une existence unique de l'esprit catégorique de l'équivalence, etc. Donc, c'est vraiment... Donc, on peut dire qu'on a une explication de description d'opération. Donc, maintenant, qu'est-ce qui est un modèle de cela ? Donc, dans le cinquième, il y avait le développement de la notion combinatérielle de l'espace. Donc, pour exemple, le titre de Daniel Kant-Peper est la définition combinatérielle de l'homotopy groupes. Donc, première avec un set cubique, et puis avec un set simple. C'est une première surprise dans cette notion de l'espace. C'était noté par Moore dans un séminaire en 1955. Et c'est l'espace, en fait, contrairement à l'espace de l'homotopy, qui forment une catégorie de Cartesian. Ils sont fermés par l'exposition. Moore est John Moore, je suppose. John Moore. John Moore. John Moore. Oui. Oui. Oui. Oui. Oui. Pardon ? Oui. Oui. Oui. Et donc, ce résultat est en général, il contient le résultat de Voivovsky, qui est en fait un modèle de type théorie avec une émolante, en fait. Et en fait, c'était le premier résultat que j'ai voulu comprendre. Et donc, en particulier, si vous regardez le proof de cela dans ce quartan séminaire, en fait, Henri Cartan a donné un talk sur ce résultat, et il a présenté une version de Voivovsky par Moore. Vous avez l'exponential. Oui. Et vous avez une version très fine de cela. Mais en fait, il décrive ce proof comme assez technique et délicate. Et si vous regardez le proof, c'est assez, c'est très techniquement évolué. Et si vous voulez ça être un résultat basé sur le logic, vous voulez une justification plus simple de cela. Et puis, vous n'avez pas besoin d'un modèle de type théorie. Vous avez besoin de l'espace local de Cartesian closed, qui correspond à un produit dépendant. Et si vous regardez ce que ça veut dire, vous voyez, si vous regardez ceci, vous voyez qu'il réduit que les vibrations triviales sont stabilisées sur leur pullback, sur la vibration canne. Et ce facteur, qui est considéré comme basé dans les gens qui travaillent avec les complexes cannes, je veux dire, le proof est en fait assez complexe. Si vous regardez, je pense, il y a un proof avec minimum de vibrations. Oui. Merci. Mais, je veux dire, les proofs sont complexes. Et donc, nous aimerons avoir un plus simple argument pour cela. Donc, on peut voir, je pense, peut-être, donc, nous n'avons pas assez de plaisir et peut-être, nous n'avons pas trouvé un plus simple argument pour cela. Mais en fait, donc, il y a un négatif, négatif, je veux dire négatif théorème, que tous ces résultats, donc, sont intrinsiquement non-effectifs. Donc, ce n'est pas une question que vous n'avez pas trouvé le bon proof, c'est que, en fait, ils ne sont pas prouvables d'intuitionnistiquement. Donc, c'est un système très fort d'intuitionnistique, d'intuitionnistique version de Zermolo Frankel. Vous pouvez prouver que les factures basiques ne sont pas prouvables. Donc, ce théorème qui peut être complexe est fermé par l'expérimentation. Ce n'est pas prouvable, probablement pas prouvable. Et, si vous avez une vibration, donc, quelque chose vraiment complètement basique. Donc, si vous avez une vibration et deux points connectés dans la base, alors, vous espérez que les fibres seraient une équivalente d'homotopy. Excusez-moi. Vous avez une vibration canne. Oui, une vibration canne. Si vous avez une vibration canne. Le problème est l'extrusion du milieu ou l'axiom des choses. Oui, oui, exactement. Donc, vous pouvez penser que le problème est parce que, quand vous formulez le complexe canne, vous dites qu'il existe un feeling effectuel. Oui, un feeling effectuel. Donc, vous pouvez penser à ça. Mais en fait, même si vous donnez effectivement le feeling. Donc, ce n'est pas... Donc, même si vous dites que l'art est explicitement... Explicitement donné, ce n'est pas suffisant. Oui, c'est pas... Oui, donc, c'est un résultat très fort, un résultat négatif. Et, mais, quand vous regardez ça, donc, à moins intuitively, pour moi, donc, en regardant la preuve, la raison est que tous ces arguments, en fait, ils utilisent la raison par case, si le complexe est généré ou pas. Et ce que vous voyez déjà, donc, le test de l'Empire Serre, je veux dire, il y a une partie où toutes les raisonnements, si cette cube est générée, vous faites cela, si ce n'est pas généré. Et, si le complexe est généré, comment? Oui, le cube, pour Serre, c'était le cube et le Delta N, je veux dire, c'est un complexe, oui, c'est un complexe. Et, ce n'est pas décidable, en général, je veux dire, donc, et aussi, mathématiquement, donc, cela reflète le fact que les arguments ne sont pas uniformes et ne sont pas élémentaires. Donc, ce que je vais présenter c'est comment faire ces arguments uniformes. Donc, donc, je ne vais pas présenter le possible effectif combinatoriel de la place, qui, j'espère, donne où tous les arguments ne sont pas élémentaires sur cela. Et, ce que je veux est la notion de l'espace, qui est, vraiment, aussi simple que possible, mais pour ce que je veux faire, non, je ne dis pas, ce n'est pas ce que les gens veulent faire dans l'algebraique topologie. Oui, l'homotopie type, l'homotopie type. Et, ce sera simple, pour quoi, pour obtenir un modèle de théorie. Peut-être, pas pour développer l'algebraique topologie, ce n'est probablement pas possible. Ok, donc, je vais travailler avec les cubes, parce que c'est plus convenient pour un modèle de type théorie. Et je vais, donc, ce que je veux, donc, ce que je veux, je veux une représentation combinatorielle de, de cette collection de cubes. Donc, si A est un set final, je veux une représentation formale de cette cube. Et ce que je vais utiliser, c'est, c'est l'algebraique topologie de 01, donc, ce n'est pas Max Plus Algebra, cette fois, mais c'est, je veux dire, quelque chose qui s'appelle D'Homorgans Algebra, mais c'est vraiment très proche de l'algebraique distributif. Donc, l'algebraique d'Homorgans Algebra c'est une distributif de l'algebraique. Vous avez besoin d'un intervier 01. Donc, je veux représenter ça, mais dans une représentation combinatorielle. Donc, plus généralement, ce que je veux, c'est que si A est un set final, j'ai besoin d'une représentation combinatorielle. Donc, la catégorie de la cube sera représentée combinatoriellement. Donc, 01 est la structure de l'algebraique d'Homorgans Algebra. L'algebraique d'Homorgans Algebra est une distributif de l'algebraique avec l'involution d'Homorgans. Donc, quelle est l'involution d'Homorgans? C'est, je vais l'écrire comme ça. Donc, c'est un swap, et un swap. Donc, 1-0 est 1. 1-1 est 0. C'est un swap. Et puis, 1-a et b sont 1-a, 1-b. Et vous avez deux opérations de l'algebraique d'Homorgans. Oui, de l'algebraique d'Homorgans. Oui. Et vous avez cette action. C'est ce que l'algebraique d'Homorgans est. Donc, c'est un c comme un morphisme de l'algebraique d'Homorgans. Oui. C'est l'involution d'Homorgans. C'est involutif. Et c'est involutif. Donc, vous avez 1-a. 1-a. Donc, vous ne mettez pas ce complément d'intersection. Exactement. Donc, en général, je n'ai pas ça. Et je ne vais pas avoir ça. En général. Et donc, ce qui est un exemple d'Homorgans d'algebraique d'Homorgans, c'est actuellement l'intervalle d'Homorgans 0,1 avec un max et une main opération. Donc, c'est un lattice d'abandon distributif. Et cette opération s'est satisfait toute cette action. Donc, c'est ce que je vais utiliser de 0,1 pour représenter formellement ce qu'est cette catégorie de cubes. Donc, je veux dire, c'est un notion de l'algebraique d'algebraique, l'algebraique. Donc, j'ai écrit dm of s c'est un Homorgans d'algebraique d'Homorgans s. Et comme pour l'algebraique distributif, s c'est finite, dm of s c'est finite. Mais comment je sais que c'est 0,1 et ce n'est pas la fin de l'algebraique mais la fin de l'algebraique de 0,2. Oui, ça va arriver. Je ne veux pas comme bien possible, purement combinatorie, représentation d'algebraique. Comment je sais que c'est fin de l'algebraique ? Vous allez... Vous allez sélever combien de éléments fluctuent sur le x, par exemple ? Oui, si vous avez 10 éléments, vous avez ce nombre de canons pour les练es distributifs de finite c'est à la fin de l'algebraique, ce nombre de quatrième. C'est double, c'est bien. Si vous avez seulement 1 épisode, Si vous avez un élément, ce que l'algebra est libre, vous avez i, 1-i, puis vous avez la conjonction, vous avez 0 et vous avez la déjunction et vous avez 1. Donc, en ce cas, vous avez 1, 2, 3, 4, 5, 6 éléments, qui est le dédekind de 2. C'est le nombre d'éléments de la 3-distributive lattice sur 2 éléments. Donc, en fait, pour construire ce 3-distributive lattice, c'est comme construire le 3-distributive lattice et vous avez le copier. Donc, cela définit un monade sur la catégorie 5-9. Et donc, c, cette catégorie de cube, sera l'opposé de la catégorie classique de DM. Donc, qu'est-ce que je veux dire par cela ? C'est-à-dire, quelle est la map de g à i en c ? C'est une map de set theoretique de l'i à la 3 de Morgan Algebra. Donc, vous avez regardé la catégorie du duo ? Oui. Donc, vous pensez que, comme dans le scheme de l'I, la catégorie d'éléments de la 3-distributive lattice et la catégorie de la 3-distributive lattice, c'est comme dans le ring et vous parlez de l'opposé ? Oui, oui. Donc, ce que cela annonce, c'est que je vais décrire une opération qui est invariée par la paramétrisation. Dans la paramétrisation, tout ce que je peux faire, c'est d'utiliser le max, le min et le 1-x. C'est ce que j'ai envie de capturer. Donc, un set cubique sera préchauffé sur cette base catégorie. Donc, concrètement, c'est un set familial avec des fonctions transitionnées de xi à xj. Pour la composition de la map de l'I, le monaxote ? Oui, j'utilise le... Oui, c'est cela. Ce qui correspond à concrètement ce que vous voulez faire quand la paramétrisation est utilisée par le max et le min et ensuite, vous composez cela. Donc, comme d'habitude, je pense que, au moins, il y a aussi un parleur qui fait cela. Donc, je vais identifier un objet de la base catégorie avec le fonctionnement représentable qui le définit. Donc, si l'I est un set final, je vais également écrire l'I, le fonctionnement représentable qui le définit. Donc, maintenant, je travaille avec cette base catégorie C et je travaille dans la catégorie préchauffée sur C et c'est ce qu'est le set cubique. Donc, maintenant, j'ai cette représentation formale de chaque set final de l'I. Je regarde cet fonctionnement représentable comme représentation formale de la base catégorie C. Donc, sur les maps, pour exemple, un exemple de map que j'ai, c'est cette map face. Donc, depuis que je peux envoyer l'I à 0 et tous les éléments pour eux-mêmes, j'ai donc un map face, comme ceci, en harmonie dans cette catégorie. Et j'ai donc l'usule de la composition et beaucoup de morphismes. C'est la composition uniquement face-map avec un map qui est strict. Toutes ces factures sont purement élémentaires et je pense qu'il n'y a rien. Mais non, ce qu'est le set cubique c'est le set singular. Donc, depuis que 0,1 a la structure d'algebra donc je peux définir le fonctionnement de C à la top, pour que l'I associait 0,1 à l'I. Donc, il n'y a pas d'algebraie, ils trouvent un set singular cubique C à l'I, c'est un set de continuous map de 0,1 à l'I. Je suppose que ce sera Can. Oui, c'est exactement. Mais Can avec la formulation de Can. Donc, si nous utilisons Can avec la définition normale, même avec les filles, ce ne va pas fonctionner constructivement. Je veux avoir plus de structure sur ce set. Donc, un set cubique fondamental. C'est vrai ? En attendant, dans le slide, quand vous dites 0,1 à l'I, est-ce que c'est le vrai intervall 0,1 ? Oui, c'est un intervall réel, un intervall unique. Mais quel est votre I et où est-ce que c'est le réel intervall ? Vous n'avez pas besoin de dire où l'I est. Donc l'I est un set final. Vous avez le petit I dans l'algebra de demergue ? Oui. Vous n'avez pas besoin de spécifier où l'I est ? Non, non, non. J'ai envoyé l'I à chaque objectif de la base catégorie. J'associe ce type d'algebra. Le petit I, l'élément de demergue de demergue de demergue ? Oui. Vous n'avez pas besoin de dire quelle valeur il y a dans le... Non, non, non. Je le define. Je le define à ce point. Je ne vois pas comment vous en avez un, parce que... Ok, donc oui, c'est... Ce point doit être varié, c'est vrai ? Oui, c'est correct. Ce qui est confusant, c'est que vous avez le droit de l'expansation et... Non, non. Ah, ok, oui, c'est vrai. Oui. Oui, oui. Le petit I est le demergue de demergue. Vous êtes en regardant... Comment ça ? Comment ça ? Vous êtes en regardant les maps du demergue de demergue de demergue de demergue. Oui, donc... Donc, ce sont les maps ? Oui. C'est un document covalent du terminateur, comme vous l'avez dit. Donc, si j'ai un map... Donc, je vais probablement être confusé, mais un map de i à j est une map de théoretique de j à demergue de demergue de demergue de demergue de demergue de demergue de demergue. Donc, par contrevariance, je prends un map de ce... à ce... à j. Et puis, parce que c'est l'algebra d'homogon, je veux dire, pour obtenir une map de l'algebra d'homogon 3 sur l'algebra I21, c'est suffisant de donner une map de l'algebra I21. Donc, une map de l'algebra I21 donne une map de l'algebra I21 à l'algebra I5. L'algebra EI est une motion abstracte. C'est un set final, oui. L'algebra EI est un set final, oui. C'est purement symbolique. Donc, j'ai une map de ceci à ceci, et c'est une map qui définit le c au top. Donc, un important cubicle set est l'algebra I object ou l'algebra d'homogon object. Donc, c'est aussi... Ça définit le tréchif, et c'est la représentation de l'intervalle. Et ce que j'ai, donc ce framework... C'est convainc pour ce que je veux faire. C'est que j'ai un très simple, en fait, et l'intuitive représentation de l'algebra PAS. Donc, ce que c'est X à l'algebra I. X à l'algebra I object. Je veux dire qu'il doit correspondre à deux cubes de dimension J. Et j'ai une cube d'une dimension à l'algebra I qui les connecte. Et c'est exactement ce que vous avez avec ce pass. Donc, XI à J est essentiellement donné par une cube d'une dimension à l'algebra I. Donc, c'est vraiment... Là, c'est beaucoup mieux. C'est beaucoup mieux pour ce que je veux faire, et c'est un simple set, parce que c'est un simple set, le pass exponentiel avec le delta I est un peu plus complexe pour décrire. Et aussi, ce que j'ai pour freiner, c'est ce fondamental fact que ce pass est contractible. J'ai déjà fait ça au niveau de le set cubique sans la condition canne, parce que ce que c'est, c'est un homotopy entre un pass constant et un pass arbitrage. Et c'est exactement le square. Donc, c'est là où j'ai utilisé cette opération de min. Donc, à chaque pass, je peux associer un homotopy entre le pass constant et le pass arbitrage. Excusez-moi. Oui, pour 3 ans. C'est donné par la structure de l'algebra D'homorgne. Ok. Donc, c'est le premier lattice, qui est important. Et puis, donc maintenant, j'ai un autre, donc il y aura deux objets qui sont importants. Donc, j'ai combien de temps, excusez-moi, 5 minutes, ok. Donc, c'est... Donc, il y a deux objets, j'ai 3 objets qui vont jouer le rôle. Donc, il y a cet intervalle. Et puis, d'ailleurs, il y a un subobjet classif. Et puis, en haut, j'ai deux éléments globales, 0 et 1. Ok. Et puis, j'ai une map, comme d'habitude, j'ai une map qui est... L'intervalle est définie par la valeur de la valeur de l'algebra I est equal à 1. Et je peux regarder l'image de cette map. Ok. Et ça définit... Et cette map est une map de lattice. C'est bon. Donc, et je peux regarder l'image de cette map. Et ce sera un subobjet classif de omega. Et ce sera ce que je disais, la face lattice, parce que c'est... c'est actuellement la lattice, qui est générée. Donc, c'est un set de cibles. Et c'est exactement les cibles qui sont générées par cibles, des cibles uniaux. Ok. Donc, j'ai des cibles uniaux, qui vont jouer un rôle fondamental. Donc, f of I est un set so... Intuitively, so... I... I of J... So, I représente l'intervalle, and this represents... So, the face lattice. So, f of I, actuellement, if I look at it... So, this will be correspond to the lattice of subpolyedron of a cube, of the cube 01 to the I. Ok. And that's what I need in order to state the can condition. Yeah, can condition. So, yes. And this lattice can be defined directly as a free bounded distributive lattice generated by this formal symbol and this relation. And this is where a cofibration will come. So, f will classify cofibrations. Intuitively, at least. So, any map which is classified by f will be a cofibration. Ok. Et constructively, so we cannot hope, like in a simplicial set in the classical framework, so all monos are cofibration. But this is too strong. I mean, this we cannot hope. So, if I have a... So, no. So, I will simply formulate the can condition for this and for this... for relative to this notion of subpolyedron. So, whenever I have a map from i to f, upside, so this define a sub-object, since f is a sub-object of omega. So, I get a sub-object of i. So, intuitive. So, geometrically, so this is the representation of the cube, zero one to the i. And this is the representation of sub-faces of this cube. Ok. So, let's... So, what I will say, I will state that this map is a cofibration. Ok, but not directly. So, I will say... So, I give only the example of what it means to be contractible and I will stop with this. So, what is a usual notion of contractibility? So, the usual notion of contractibility is that if you have... So, you have x, cubical set, and then you want to say that x is contractible. So, what you say usually is that if you have a map from sub-polyhedron of the cube, so you have always inclusion, then you can extend this map to a total map. I mean, you can fill any sub-polyhedron of the cube. Ok, so what I ask is a refinement of this, which is uniform in i. So, what I say is that if I have another object j and a map in the base category from f to i, so I can pull back this. So, I get j psi f. So, I will have another... So, by composition, I will get this map. I will have another extension here. And what I ask is... I don't give only one extension punctually, but I give a uniform collection of extension. So, I ask that for each f, I give... I mean, that's the definition, yeah. So, we have an operation which is uniform, which gives this filling uniformly. Ok, and that will define the notion of contractibility. And similarly, I can define what is a canned vibration. But no, it's a uniform notion of canned vibration. So, that's what I write. So, the usual existence of one extension. So, it's natural, I mean, to get something constructively. I put extra structure on it, so that I get... And with this definition, so I can show that space are closed under exponential in an effective way. And elementary way, I mean, I don't need... So, just an example of... I mean, this definition of uniformity, it's actually quite subtle. So, a nice example, so if... I mean, you can show that this f is contractible with this strong definition. Omega is contractible with this uniform definition. So, i is a very interesting example, because it's... For each i, you can find an extension, but it's impossible to find it in a uniform way. So, that's a really nice observation by Christian Sattler. And then, so, then you define this. And then, I mean, one of the first result that you can check is that, if you have topological space X, the singular... Sorry, topological space, the singular cubical set is fibrant with this strong notion of uniformity. And this is... For this, I mean, you take the usual... How do you do this? How do you prove this usually? So, you prove that box is a retract of the field box. And if you look... If you take the most natural proof of this, I mean, this proof is actually uniform in this. Okay, and I think I should stop. So, yeah. So, that's how you build effectively a model of... So, this will satisfy the univalent section in an effective way. I have a question. Can you show that you get the actions of the quillite model category? Yeah, so that's really interesting. So, I mean, there are people working on this. In Leeds, so Andrew Swan and Christian Sattler and Nicolas Gambino. And I think... So, I'm not sure actually of the status of this, but... I think they are working on getting an algebraic model structure on this. But this is working progress. And then also, you know, it seems to be related to this work of Christian and Gandhi and all that, on direct the motor piece only. But I remind you that you don't have the contractibility of the interval. Okay. So, I mean, it could be that you do it in such a generality that it would fit with this approach. I mean, if you try to do it with simplices, what happens? Yeah, so also Christian Sattler and Nicolas Gambino are trying to do it with simplices, but... Well, so I don't know. I mean, so... I mean, no, they have a version where... So, you do this, but you... What is instead of F? So, you try generalization where instead of F, you take all decidable monos. So, you have... So, you have also propositions that are decidable and you try to use only monos that are decidable. And I think, so they have similar results that they can prove exponential, but I'm not sure about the univalence axiom. And for the univalence axiom, what you use in a crucial way is... Yeah, that actually, on this, I mean, you can look at F to the I and F and you have a kind of elimination of quantifier. So, you have a four... Which geometrically is... If you look at this geometrically, it's trivial. You have a four-hole operation like this and this is used in the proof of univalence. And I'm not sure if you get... I mean, this is also working progress, but I think they hope to get... I mean, you should be able... This should be independent of the notion of space that you start from. So, you expect this. I would like also to mention that there is storm form at Heidelberg's theorem, which is a category of multi-simplicial objects. So, the model has a product of synthesis. A cube, of course, is a product of intervals, one-dimensional synthesis. But you can interpolate it to the general, very general form of Heidelberg's reconstruction, which gives that. And often it is convenient, while if you have a good notion for a cube, you first try to extend it to multi-simplicial and then back to simple. It's one possibility. I have a comment. This interval is not contractible, but it looks like an interval object in the sense of a basket. For a... You know, there is a notion of size with an interval object. And then you can make it contractible in some canonical way, as Augusti showed, in order to contract motifs. So, maybe there is another contract in this situation that you can contract this interval and get some category of spectra, combinatorial spectra, something like that. I just want to know if you think about it. Non, non, non. Thank you. So, what about the dream of running the proofs in homotopic type theory? Yes, so, I mean, the main application for us, the main application of this is the design of a type system where universe is provable and where everything computes. So, you can compute with... So, this dream is real, right? Yeah, I mean... So, we have actually a prototype implementation of this, but, yep. Do you think it's likely to get a test category of these sort of constructive... constructively specific styles? Yes, I don't know, yeah.