 Il y a quelques jours, on m'a posé sur Twitter la question suivante. Ce serait-tu répondre à cette question hyper basique et pourtant vraiment pas claire ? Quelle est la différence entre une fonction et une équation ? Cette question vous semble stupide ? Elle est pourtant loin de l'être et je vais tenter de l'expliquer le plus simplement possible. Tout d'abord, les équations. Une équation, c'est une relation d'égalité entre deux expressions algébriques, lesquels s'écrivent avec des inconnus. Généralement des x ou des y, mais des emoji font aussi très bien le travail. Disons ici pour simplifier que les inconnus remplacent des nombres, mais ça peut être d'autres choses. Bref, quand on remplace les inconnus par des nombres, l'égalité sera parfois vérifiée et parfois non. Si l'égalité est toujours vraie, quelle que soient les nombres par lesquelles on les remplace, on ne parle plus d'équation mais plutôt d'identité. C'est par exemple le cas des fameuses identitaires marquables que vous avez appris au collège. Si l'égalité n'est pas toujours vraie quand on remplace par des nombres, alors on est tenté de chercher quelles sont ceux qui rendent l'égalité vraie. On dit alors que l'on résout l'équation. Une équation, c'est donc un énigme posé dans la langue mathématique, par quoi remplacer l'A ou l'Aise inconnue pour que l'égalité soit vérifiée. Ensuite, les fonctions. Une fonction, ou de façon quasi synonyme une application, c'est une machine à transformer un objet mathématique, un nombre, un vecteur, une figure géométrique, en un autre objet mathématique. Prenons cet exemple basique de fonction. Quand je lui donne un polygon, elle ressort son nombre de côté. Autre exemple, avec cette fonction que j'appelle f, quand je lui donne un nombre x, elle ressort son double de x. Quand c'est possible, comme dans ce deuxième cas, on dit que la fonction est définie par l'égalité f de x égale de x. C'est ici que les choses deviennent confusantes puisque cette égalité est appelée équation de la fonction, car il s'agit bien d'une relation d'égalité entre deux expressions algébriques, même si cette équation n'est pas faite pour être résolue. Pour lever cette ambiguïté, on peut utiliser la notation fléchée des fonctions en écrivant que f est définie par x flèche de x. On a aussi la notation plus informatique f de x 2.égal de x. En fait, le problème vient du symbole égal que l'on utilise à toutes les sauces et qui n'a pas toujours la même signification suivant le contexte. Il peut apparaître dans la définition d'une fonction, dans une identité ou dans une équation à résoudre. Si j'écris simplement f de x égale de x, de quoi s'agit-il ? Eh bien, ça dépend. Peut-être parlons de la fonction de tout à l'heure, celle qui a été définie par l'équation f de x égale de x. Le symbole égal sert donc ici à définir une notation, celle de f de x. Peut-être que cette fonction f a été définie autrement avant. Imaginons qu'elle a été définie auparavant par f de x égale x plus x. Dans ce cas, puisqu'on a l'identité x plus x égale de x, on peut affirmer que, dans ce contexte, f de x est égal à 2x. Mon symbole égal prend donc ici son utilité première, exprimer l'égalité. Imaginons à présent que la fonction f a été définie autrement. Disons par f de x égale x plus 1. Dans ce cas, si j'écris f de x égale 2x, c'est que je cherche à résoudre une équation. Pour quel nombre x appliquer la fonction f revient à doubler le nombre x. Le symbole égal sert donc ici à exprimer une équation. Bref, fonctions et équations sont des choses complètement différentes. Si on les mélange, c'est à cause de ce symbole égal qui peut exprimer, suivant le contexte, une affirmation, une définition ou une équation.