 Je vous emmène dans le monde de la physique. D'ailleurs, cet article est publié dans le journal of physics. Voilà, le suivant sera sans doute un article de mathématiques pure. Alors aujourd'hui, physique statistique, le but de la physique statistique, si vous connaissez, c'est de se dire, bon, j'ai beaucoup de particules, je connais leurs lois, comment elles interagissent, deux à deux, et je voudrais savoir comment marche l'ensemble, le gros bloc. Typiquement, voilà, j'ai un gaz dans une enceinte, où mon exemple préféré, c'est le cyro de grenadine dans un verre d'eau. Voilà, c'est un point de vue de gourmand. Voilà, comment évolue ce système, sachant les lois à l'échelle microscopique, à l'échelle des molécules ? C'est un problème qui en général est extrêmement difficile. Donc, on ne va pas les inner sur la simplification. Voilà cette simplification que j'utilise. Là, c'est la première état de simplification, c'est le gaz de Lorentz. C'est des histoires de dire que, alors, il est où ? Ouais, super. En noir, vous avez ici des obstacles qui sont complètement fixes. Donc, qui sont finalement comme des bords du système, ils ne se passent pas grand-chose dedans. Et des particules qui n'interagissent pas et qui, avec les autres lois, peuvent se traverser. Là, tout de suite, dans un modèle, on peut étudier une seule particule, le mouvement d'une seule particule, et généraliser un ensemble de particules assez facilement. Donc là, on commence à avoir des choses faisables. Et encore, l'étape suivante, c'est de se mettre sur réseau, je vous dirais ça juste après. Moi, ce qui m'intéresse, c'est est-ce que le comportement est diffusif ? C'est-à-dire, justement, qu'est-ce que ça veut dire diffusion ? C'était dans le petit résumé pour ceux qui l'ont lu. Il y a des gens qui disent qu'être diffusif, c'est trop bien, j'ai la souris pour montrer. Ah non, j'ai pas la souris pour montrer, si j'ai la souris pour montrer. Donc cette équation-là, en option, ça, c'est juste la distance parcourue par une particule, la moyenne du carré de la distance, et proportionnée à l'OTAN. Ça, c'est un premier critère qui dit, des fois, on utilise le mot diffusion de ce point de vue-là. Sinon, le deuxième, c'est que chaque particule fait un mouvement bronien. Ça, c'est un critère très fort. Et le troisième, ce qui est vraiment plus un critère de physicien, c'est de dire qu'on a une loi macroscopique qui est respectée par la densité de particules. C'est-à-dire que chaque particule vit un peu sa vie. Elle peut avoir un mouvement qui n'est même pas du tout aléatoire, qui peut être même très régulier à la limite. Mais si l'ensemble des particules suit une équation de diffusion, on dirait que le système est diffusif. Alors on a le 2 qui est quelque chose de très fort, ça implique 1 et 3, mais ce n'est pas facile du tout à montrer. L'idée de ce travail, c'est de dire qu'on va peut-être pouvoir montrer 3 directement sans passer par 2. Donc on va travailler dans un système où les particules ne suivent pas un mouvement bronien. Alors voilà le modèle des miroirs. C'est un vieux modèle qui date des années 70, introduit notamment par Cohen. Donc on est encore sur un gaz de Lorentz, mais on est carrément sur réseau. C'est-à-dire que j'ai un petit diffuseur à chaque point du réseau et des particules qui suivent les arrêtes du réseau. Donc vous voyez tout de suite ce qui va se passer. Donc c'est un modèle déterministe. C'est un modèle déterministe dans un environnement aléatoire. Au début, on choisit un environnement aléatoire. On choisit la position des miroirs selon une loi de Bernoulli. Peut-être plus qu'une loi de Bernoulli parce qu'on va autoriser aussi l'absence de miroirs qui consiste à aller tout droit. Et voilà. Donc là on arrive à un modèle assez simple où on va pouvoir faire des choses. Alors le premier chose qu'on va voir c'est quel est le comportement d'une seule particule. Donc elle fait en fait une particule parce qu'on appelle une boucle auto-évitante. En fait c'est ce qu'on appelle, c'est une marche aléatoire sur les arrêtes, sur les arrêtes de ZD, une marche aléatoire auto-évitante sur les arrêtes de ZD. Alors pour ceux qui ont déjà vu une marche aléatoire auto-évitante, c'est partie des problèmes horribles, des probabilités. Donc on n'est pas encore tiré d'affaires mais on arrive à des choses qu'on peut d'aborder. Donc ces boucles auto-évitantes, on voit que la particule en fait ne peut pas revenir dans un environnement sur une partie de son orbite déjà visitée sauf après être repassé par son point de départ. Et là à ce moment-là son mouvement est fixé. Elle fait toujours la même chose. Et c'est ça qui me permet de vous dire qu'en fait elle ne suit absolument pas un mouvement brunien puisque si je tire un environnement aléatoire, si il vous dit voilà ma loi aléatoire c'est l'environnement, je lance une particule dans un environnement aléatoire une fois qu'elle est revenue à sa position initiale, elle reste dans un espace fini Advitam et Tardam. Donc bien entendu c'est pas jamais le cas du mouvement brunien, le mouvement brunien finit toujours par les lois. Donc petite conclusion. Alors qu'est-ce qu'on va faire maintenant pour essayer d'avoir cette loi macroscopique? On va se mettre dans un tube, c'est-à-dire qu'on va projeter en dimension 1 ce qui se passe. Donc pas projeter complètement, on garde quelque chose là qui se passe en dimension 2 mais on dit voilà, je prends une certaine taille, j'ai pris n égale 6 qui bien entendu 6 va tendre vers la finie et à la verticale je laisse le système ouvert avec finalement des conditions limites périodiques c'est-à-dire que cette particule là, elle va sortir ici et re-rentrer immédiatement là pour continuer son mouvement puis ressortir. Donc voilà, les conditions limites périodiques c'est un truc très classique en physique. On va voir que dans lequel la dimension 2 c'était peut-être pas le bon choix mais en dimension 2 il y a des problèmes de toute manière, quelle que soit les conditions limites. En dimension 3 ça ne posera plus de problème. Donc voilà, qu'est-ce que je fais de ça? Je mets des réservoirs de particules. Alors ça c'est typiquement un truc de physicien aussi. C'est-à-dire que je mets quelque chose où là j'ai des particules vraiment qui sont bien aléatoires, bien posées n'importe comment et qui vont rentrer dans le système de manière aléatoire et sortir du système quand elles sortent, elles sortent. Par contre elles peuvent rentrer par les deux côtés en fait. Et donc évidemment je ne mets pas autant de particules des deux côtés sinon il ne se passe pas grand chose d'intéressant et donc je vais avoir un courant qui va s'installer. Je dis je les fais rentrer selon des lois de Bernoulli c'est-à-dire je les fais rentrer aléatoirement. Et j'ai donc un courant qui va s'installer entre le côté où ça rentre plus, a priori à gauche et le côté où ça rentre moins, a priori à droite. Par convention. Ok donc là on peut avoir, on va bientôt avoir notre loi de physique donc puisqu'on va avoir un courant qui va s'installer. Ah oui, on peut travailler en dimension supérieure. Ça c'est important. Alors donc on avait vu les miroirs en dimension 2. Un miroir c'est soit j'ai un miroir je vais à gauche soit j'ai un miroir qui me fait aller à droite soit s'il n'y avait pas de miroir j'irais tout droit. En dimension 3 c'est pareil. J'arrive de là, je vais soit en haut, soit là-bas, soit là-bas, soit là-bas, soit tout droit. Bon là en l'occurrence j'ai quelque chose qui pourrait être un miroir mais il n'y a pas d'image géométrique d'un vrai miroir qui ici me fait aller quand je pars de, je viens de gauche, je vais en haut, quand je viens de droite, je vais vers l'arrière, etc. Et cette configuration est donnée une bonne fois pour toutes. Et tirer ça fait partie de l'environnement aléatoire. Voilà donc on pourrait lister tous les configurations c'est facile. Des fois on dit que c'est le modèle des tuyaux aussi. C'est comme si j'avais des tuyaux en mets les uns avec les autres. Et donc ça modélise vraiment cette idée que la physique dans le fond a priori est déterministe. Vous pourrez discuter si la physique est déterministe c'est pas le sujet aujourd'hui. Il y a clairement des équations déterministes en physique et c'est celle là que j'étudie. Donc par contre l'environnement il est quelconque a priori. Alors on va définir le courant. Le courant c'est très simple, on se met à un endroit du tube, on compte les particules qui vont vers la droite, on sous-strait les particules qui vont vers la gauche, on fait la moyenne par rapport à la taille du système, d'où le 1 sur 6 ici. Et ça nous donne le courant. Donc là j'ai une particule à droite, une à gauche, une à droite, une à gauche, une à droite, ça en fait une fois qu'on a fait la somme algébrique, ça en fait une vers la droite. Le courant est égal à 1 sur 6 si c'est dans la taille du système. Voilà la loi macroscopique qu'on va essayer de démontrer. J c'est le courant, c'est ce qu'on a défini juste avant. Il est là. Ensuite, CAPA c'est ce qu'on appelle le coefficient de diffusion, c'est un réel tout bêtement. Ça c'est la différence de concentration et ça c'est la taille. Donc en fait la différence de concentration dividée par la taille, c'est le gradient. C'est ce que j'avais au tout début avec un Joïne Abla. C'est donc ça qui nous dit, est-ce que je suis en train de beaucoup forcer sur mon système. Si je mets une grosse différence de potentiel sur un petit système, je suis en train de forcer très fort. Une petite différence de potentiel sur un grand système, je suis en train de forcer très peu. La loi de FIC nous dit que ces deux quantités-là sont proportionnelles. Elles sont équivalentes quand enterre à l'infini. L'avantage d'être mathématicien, c'est qu'on a pu vraiment prendre le temps de définir parfaitement cette loi. Donc là on a en fait, entre autres une des parties intéressantes de ce travail, c'est qu'on a une définition sans équivoque d'une loi physique. Souvent si vous regardez de la physique, ça ne va pas plus loin que ce genre de choses. Donc là on a clairement une définition qui nous dit quoi ? Qui nous dit, ça va, j'ai largement le temps de vous en parler, c'est chouette. Elle nous dit, en fait, imaginez un monde dans lequel, par exemple, un caillou pour eux serait modélisé par ce modèle-là avec des miroirs dedans, avec du fluide qui rentre dedans, qui rentre par les côtés. Ce que vous dit cette loi, qu'est-ce que c'est ? Vous avez une loi de probabilité ici qui gère l'aléatoire sur les entrées de particules et une deuxième loi qui gère l'aléatoire sur les positions des miroirs. Donc ça dit que vous prenez n'importe quel caillou avec des miroirs et vous le mettez dans n'importe quel fluide qui fait rentrer des particules dedans. Si il y a des questions au fur et à mesure, vous n'hésitez pas. Et l'idée, c'est que... Alors ici, j'ai juste tout multiplié par aines. L'idée, c'est qu'une fois le courant, moins cette différence, la capacité ou la différence, a une très faible probabilité d'être plus grande qu'un epsilon arbitraire. Donc autrement dit, si vous prenez n'importe quel caillou et que vous mettez dans n'importe quelle différence de potentiel, vous avez toujours le même comportement. C'est ça que vous dit cette loi, le sens physique, et elle est parfaitement définie. Comme elle est parfaitement définie, on peut espérer la démontrer. C'est clair pour la loi ? Ok. Alors, la première réduction, on va commencer à réduire le problème en considérant des orbites traversantes. Puisqu'en fait, une particule qui arrive ici, elle va faire son trajet là, et sortir. Et si j'en sors, j'en lance une deuxième endroit, on est d'accord qu'elle va faire exactement le même trajet. Donc en fait, l'aléatoire qui concerne l'entreté des particules va pouvoir se gérer assez facilement. C'est-à-dire qu'une fois qu'on a fixé la distribution d'orbites, c'est-à-dire qu'une fois qu'on a fixé les positions des miroirs, on va avoir un nombre d'orbites qui traversent. Ici, deux orbites qui traversent. Celle-là, elle traverse les conditions limites périodiques avant de revenir. Et donc, l'idée, c'est que là, on a des orbites qui ne traversent pas, puis on a des boucles internes. Les orbites qui ne traversent pas et les boucles internes ne contribuent absolument pas au courant. C'est-à-dire que c'est une partie du système qui est fermée. Seules les parties violettes, qui sont les parties ouvertes, peuvent contribuer au courant. Et donc, ce qu'on peut démontrer finalement, très facilement, c'est de la bernouille toute bête, c'est que le courant va être proportionnel au nombre d'orbites traversantes et à la différence de potentiel. Donc, le nombre d'orbites traversantes, on lui donne un joli nom, matcal N. Et donc, ce qu'on va apparaître, ce qu'il va apparaître, c'est une forme, voilà, donc forme épurée de la loi de FIC, c'est une forme réduite, ou la loi P de tout à l'heure n'apparaît plus. C'est-à-dire que ce qu'on a été capable de démontrer, c'est que si l'aléatoire des miroirs génère respect, en fait, si la loi des miroirs respecte cette propriété-là, alors, la loi des particules entrantes, particules sortantes, ne va pas générer la loi de FIC. C'est-à-dire que, voilà, on arrive à pousser la démonstration jusque-là, dans un premier temps. Donc, qu'est-ce que ça veut dire, ça ? Ça veut dire que... Donc, ça, c'est le nombre moyen d'orbites traversantes. Ah oui. Donc, ça, c'est un facteur qui est le insurène qu'on avait tout à l'heure. Et foi le insu... Non, c'est le... Excusez-moi. Il y a un facteur, ça, c'est le nombre moyen d'orbites traversantes, ramené au nombre de points de départ, en fait. Et donc, il faut que ça s'acconverge vers K. Alors, on va voir tout de suite qu'en dimension 2, on a un méga problème. Le méga problème, c'est que ça, ça vaut 1 dimension 2 et que vous avez, en fait, on va demander qu'une variable aléatoire soit en fait une constante. En dimension 2, dans ce modèle-là, ça revient à dire que la variable aléatoire nombre d'orbites traversantes doit être constante. Et on verra que ça peut pas être le cas. C'est pas possible. Donc, par contre, en dimension supérieure, il n'y a pas de problème. On est en droit d'imaginer qu'on va régler cette histoire-là. Et donc, il suffit ensuite de triturer un petit peu ce problème-là, de lui appliquer l'inégalité de Chebyshev. Donc, on contrôle son expérience et on se ramène à dire qu'il faut en fait la probabilité de traverser. Alors ça, c'est la probabilité qu'une orbite soit traversante. O, c'est un point de départ. S, c'est l'ensemble des points de départ qui sont des points de départ d'orbites traversantes. Donc, dire O à partir de S, ça revient à dire l'orbite qui part de O traverse. Donc, en fait, toutes les orbites ont toute la probabilité de traverser. Donc, c'est la probabilité de traverser pour une orbite. Et il faut qu'elle soit équivalente donc N fois cette probabilité tend vers K pas à la limite. Et puis, on a une histoire de corrélation qu'on expliquera tout à l'heure. Alors, j'ai pas trop envie de vous parler de ça. En fait, N, K et grand N ont la même parité. Ce qui fait que N, K va être un coup-perre, un coup-imperre quand on passe à la limite. Et donc, elle peut pas converger vers une constante. C'est juste l'histoire de dire ça. Donc, pas de loi de fiche en dimension de... Je vous poserai une question de suivi. En dimension 3, très bien. En dimension 3, on a recours à la simulation numérique dans la première temps. La preuve est en cours. Ce sera pour l'année prochaine. Alors, qu'est-ce qu'on simule ? On simule ces deux quantités-là. Non, la première, c'est la probabilité de traverser. Alors, la probabilité de traverser, c'est facile. On tire des systèmes aléatoires, on en fait plein. Une fois que vous avez fait 100 millions, vous avez une bonne statistique. C'est cette magnifique courbe-là. Donc, en fonction de elle, la probabilité de traverser, est-ce que je vous dis que cette courbe-là, donc en échelle log-log, est bien une droite. Donc, vous me croyez ou vous me croyez pas. Et on a un CAPA qui est de l'ordre 1,535. Ça, c'est intéressant. J'aurais peut-être le temps de nous en parler un tout petit peu. Donc, voilà. Ça, c'est bien entendu un résultat statistique qui n'a pas valeur de démonstration. Voilà la courbe en échelle linéaire. Donc, ce que je prétends, c'est que cette courbe-là, avec ces intervalles de confiance-là, est envers une constante. Moi, j'y crois. La deuxième chose, c'est les corrélations. En fait, on calcule la variance. Alors là, on s'est placé en dimension 3. Donc là, c'est le N puissance des moins 2 qu'on a vu tout à l'heure. Donc, on peut calculer ça. On peut calculer qu'en fait, la variance de Grand N de Ncal sur Grand N s'exprime de cette manière-là. Et on veut que cette quantité-là, qui est explicité ici, qu'il y ait une corrélation entre les points de départ. Si un point de départ traverse, alors son voisin va avoir plus ou moins de chance de traverser. Si cette somme-là tend vers 0 avec N, alors on aura notre loi. Donc, supposer on, bien sûr. Donc en fait, si on suppose qu'on a bien ça et qu'on a bien ça, ça nous démonte complètement notre loi. C'est la simulation de ce delta X. Et donc, vous avez le premier la qui est positive. Alors ça, il faut voir que c'est en fonction de la distance entre deux points de départ. C'est-à-dire qu'on prend un point de départ, un endroit, un autre à une certaine distance. Et en fonction de cette distance-là, on va avoir une corrélation entre les deux. C'est-à-dire que si le premier point traverse, alors le deuxième va avoir tendance plutôt à traverser ou plutôt à ne pas traverser. Puisqu'on voit qu'en fait delta de O et de X est quasiment toujours négatif. Donc là, il y a un truc sympa, c'est qu'en fait ça c'est une variance qui est positive. Et on a vu numériquement qu'en fait quasiment tous les termes sont négatifs. Donc en fait, vous êtes en train de faire évaluer une somme positive dont tous les termes sont négatifs sauf un ou deux. Donc c'est assez facile à majorer. Vous majorer par le terme positif pour conclure, on peut dire qu'on a la boîte FIC a priori en dimension 3. Donc c'est bien, on a défini le modèle. Alors le modèle des miroirs en dimension quelconque, c'était pas encore vu. Donc c'est bien, ça c'est nouveau. En dimension 2, pas de boîte FIC ça, il faudrait y revenir un jour mais en dimension 2, vous savez tout de suite où ce que les marchés éléatoires se comportent différemment qu'en dimension supérieure. Donc en dimension 3, on a une conjecture et puis ça me permet de faire ma thèse sur la démonstration de cette conjecture. La preuve, j'ai 21 minutes pour vous en parler. Bon, l'article est disponible pour parler de ce que je vous ai raconté. 2 minutes sur la preuve ou 1 minute sur la preuve plutôt. Qu'est-ce qu'on peut dire ? On peut écrire la probabilité de traverser, donc le fameux Q de tout à l'heure. Q que le point O soit le point de départ d'une orbite traversante. On peut écrire comme la somme sur les gammas. Gamma ce sera des chemins, des chemins possibles pour traverser de probabilité de gammas. Excusez-moi. Donc cette somme-là elle est difficile, pourquoi ? Ça c'est pas vraiment le problème, enfin c'est pas joli-joli mais ça va. Ça par contre il faut sommer sur les chemins de une marchée éléatoire auto-évitante c'est déjà un truc qui est pas très connu qui on a du mal à l'évaluer. Donc l'idée de la preuve c'est en fait d'aller étendre ici l'espace des chemins disponibles en disant qu'en fait au lieu d'avoir une marchée éléatoire auto-évitante on a une marchée éléatoire non rebroussante. C'est-à-dire que je considère plutôt que de dire ok je repasse jamais par là où je suis pas déjà passé, je dis je m'autorise par là où je suis passé mais pas au premier coup, c'est-à-dire je repasse pas là où je suis allé ou pas précédent je fais le minimum et donc là je peux calculer la probabilité de traverser d'une marchée éléatoire non rebroussante qui comme par hasard est égal à 1,5 exactement 1,5 donc on se dit qu'on est pas loin d'avoir une idée de preuve et ensuite on va rajouter en fait on somme sur trop de chemins disponibles on va réduire la contribution des chemins et essayer de trouver des termes correctifs on avait vaguement l'espoir que le premier terme correctif soit de l'ordre de 0,3 c'est pas le cas donc on espère que le quatrième terme correctif va nous sauver bon ben c'est suite au prochain épisode, merci on a le temps pour une petite question t'aimes bien voir que tu les places un coup comme ça un coup comme ça mais est-ce que si tu en places un là tu les tires sur une Bernoulli est-ce que le paramètre de la Bernoulli ça change la probabilité que tes chemins ils soient traversants alors déjà ça je l'ai pas fait donc déjà il y a 3 possibilités soit je le mets comme ça, soit je peux aussi ne pas en mettre si je si je mets toujours du même côté ça doit quand même favoriser le fait que ça oui attends, je mets toujours du même côté si je mets toujours toujours du même côté ça traverse à tous les coups donc déjà ça c'est pourquoi ? parce qu'il faut imaginer parce qu'il va faire ça, ça, ça, ça, ça et elle va forcément traverser donc ensuite je pense par contre alors il y a des... le modèle des mirror a été pas mal étudié il faut voir que j'ai arrêté de travailler en dimension 2 je pense formule ta question en dimension 3 mais a priori on va rester sur un modèle qui va ou la forte chance d'aller un peu partout dans le modèle le fait de mettre toujours dans le même sens je pense, je suis pas absolument pas sûr bien entendu mais je pense que si tu passes à une limite large tu vas avoir un même comportement limite un peu de choses près mais c'est pas sûr mais en fait tu vas faire typiquement tac, tac, tac, tac, tac et puis le jour où tu vas creuser par hasard un miroir dans l'autre sens, pof, tu vas changer de orientation mais ouais non tu vas peut-être travailler plus loin ou tu vas faire des demi tours ouais c'est pas très clair faut pas qu'on en discute à être reposé bon alors on va finir maintenant désolé merci beaucoup