 سلام علیکم ڈیوانت، میں وصیمی کرام یہ ایک سیرز of 45 ڈیزٹل لوجیک دیزائن کے 10th لیکٹر کیسے ہیں پاچھ انشاء اللہ اچھے ہوں گے لاغس لیکٹر میں ہم نے کچھ باتیں کی تھی منٹمز کے بارے میں میکشنمز نے پڑھتے تھے سٹینڈرٹ ایکسپیشنز کی ہم نے باتیں کی تھی سٹینڈرٹ فارم جو ہے سام پردک فارم او پردک تف سام فارم پھر ہم نے اس کے دفنے ایکزمپلز بین کی تھی اس میں تو آج انشاء اللہ اسی سے آگے کونٹینو کریں گے آج ہم ایک نیا تریقہ دیکھیں گے کارنوف میپز کا کارنوف میپز ہی سیٹ پروائیڈ جو an alternate way of سیمپلیفائنگ ایکسپیشنز پروائیڈ جو with a systematic way of سیمپلیفائنگ ایکسپیشنز لچھ تاہم ہم نے بات کی تھی جو normal conventional طریقہ ہے بولین ایکسپیشن کو سیمپلیفائے کرنے کا آپ کو سارے رول جاد ہونے چاہیے اگر آپ کافی عرصے سے سیمپلیفائے کرتے آ رہے ہیں تو آپ کے پاس ایکسپیرینس ہے تو بڑی اسانی سے آپ دیکھ سکتے ہیں کہ جو ایکسپیشن ہے اس کو کس طریقے سے سیمپلیفائے کرنے اگر چھوٹی ایکسپیشن ہو تو اس کو تو عرام سے سیمپلیفائے کیا جا سکتے ہیں لیکن لگ ایکسپیشنز تھوڑا سا مشکل ہو جائے گا اس میں ایرر کے چانسنز ہیں تو اُدھر کارنوف میپز کام آتے ہیں اس میں تو اگر سٹینڈڈ کر دیا جائے تو وہ کافی بیتر ہے ہمارے لیے کیوں کیوں کہ یہ جو ایکسپیشنز ہے سٹینڈڈڈڈیسڈ ایکسپیشنز جو ہیں کافی جگہوں پے use ہو رہی ہیں ایک ہم نے بات کی تھی کہ اگر سٹینڈڈ فورم میں ہیں تو آپ بڑی اسانی سے اسوپی ایکسپیشن کو پیویس یا پروٹرٹ اف سم فورم میں کنورڈ کر سکتے ہیں اس میں اس کا فائدہ یہ ہوگا کہ اگر لیت سے کوئی فنکشن ہے کوئی سرکٹ ہے اس کا فنکشن جو ہے اس میں پانچ منٹمز ہیں لہذا تین ویریبل کا فنکشن ہے پانچ منٹمز ہیں تو لہذا سپوز اس کا سرکٹ جو ہے ان پانچ منٹمز کی جو ایکسپیشن ہے اس کو اگر امپلیمٹ کریں گے تو لہذا کمپلیکیٹٹ سرکٹ ایک آئے گا اس کو اگر سیمٹلیفائی کرنے تو ماکسٹمز کی فورم میں یا پروٹرٹ اف سم فورم میں اگر ایکسپیشن لکھیں تو اس کا ہو سکتا ہے سرکٹ آسان ہو اس کے ہو سکتا ہے تین بسکلی تین اس کے ماکسٹمز ہوگے تو ایک تو یہ فائدہ جو سامنی یہ کہتا ہے کہ ابھی جو ہم نے بات کی کارنوف میپ میں اگر ایکسپیشن سپنڈردائیس فورم میں ہے تو اس ایکسپیشن کو آسانی سے میپ کرنا کارنوف میپ میں سیمٹلیفائی ہو جاتا ہے آسان ہو جاتا ہے اس میں تیسا نے یہ بات کی تھی جو جو پرگیمیبر لوجک دیوائیسز ہیں وہ ایک بڑا رگلرسہ سٹرکچر ہے اس میں آنگیٹس کی ارے ہوگی اور گیٹس کی ارے ہوگی تو اگر آپ کی ایکسپیشن ایک سٹنڈردائیس فورم میں ہے تو بڑی آسانی سے آپ پرگیمیبر لوجک دیوائیسز کو پرگیم کر سکتے ہیں اور جو اس کر سکتے ہیں تو یہ تین بڑے فائدہ تھے ایک اور ہم نے فائدہ دیکھا تھا کہ اگر آپ کے پاس ٹو ٹیبل کسی ایکسپیشن کا بنانا ہے تو اگر سٹنڈرڈائیس فورم میں ہے تو آگین آپ بڑی آسانی سے ٹو ٹیبل اب بنا سکتے ہیں اس میں تو ہم ایک ایک سٹنڈرڈیسز سے بڑی آسانی سے توجہ حکم کی جانتے ہیں بڑی سیمپلسی چیز تھی سٹنڈرڈیسسز کے ایکسپیشن کے سٹنڈرڈائیس اس کے جتنوی مینٹمز ہیں ان کو آپ One's کی شورت میں اوٹپٹ پر لکنے تو تین بیری بل کے آپ کی ایکسپیشن ہے تو آپ کا جو ٹوٹ ٹیبل ہے اس میں ایٹھ دفرن انپرٹ کمینیشنز ہوں گی لٹھ سے آپ کی جو سٹنڈرڈیز سمہ پروڈکٹ فرم کے ایک سپیشن ہے اس میں پہلے تین منٹمز ہیں تو ٹوٹ ٹیبل کیا بھنے گا آپ کا پہلے تین جو انپرٹ کمینیشنز ہیں وہ ٹوٹ ٹیبل ہوں گی باقی سارے زیروز ہوں گی اسی طنہ اگر آپ کے پاس سٹنڈرڈیز پروڈکٹ ٹوٹ ٹیبل میں کیسے کنورٹ کریں گے بسکلی لٹھ سپوز کہ آپ کے آخری تین میکسٹنڈز ہیں وہ آپ کی سٹنڈرڈ جو ہے پیویس ایکسپیشن میں آپ کا ٹوٹ ٹیبل کیا ہوگا again تین ویریبل ٹوٹ ٹیبل کی بات کر رہے ہیں تو ایٹھ دفرنٹ انپرٹ کمینیشنز ہوں گے تو آخری تین جو میکسٹنڈز جو آپ کی ایکسپیشن میں ہیں ان کو آپ کیسے لکھیں گے اوٹ پرٹ میں زیروز لکھیں گے ون نہیں لکھیں گے زیروز لکھیں گے باقی میکسٹنڈز جو ہے میسنگ ہے اس ایکسپیشن سے ان کو وانس سے اوٹ پرٹ میں رپزنگ کریں گے تو یہ آپ کا طریقہ ہو گیا کہ آپ سٹنڈرٹ سوپی اور سٹنڈرٹ پیویس کو ٹوٹ ٹیبل کی فور میں لکھیں ٹوٹ ٹیبل سے واپس آپ دیترمین کر سکتے ہیں کہ سٹنڈرٹ ٹوٹ ٹیبل کیا ہے اور سٹنڈرٹ ٹوٹ ٹیبل کیا ہے لیکن آپ کے پاس دو ویریبل کا ٹوٹ ٹیبل ہے چار انپٹس ہیں آپ کا پیلا مینٹم ہے باقی سارے اوٹپٹز جویں ٹوٹ ٹیبل ہیں آپ کی ایکسپیشٹ کیا ہوگی اس میں صرف ایک مینٹم آئے گا وہ پیلا والا اوٹ بی بار جو ہے اس طرح آپ کے پاس دو ویریبل کی ایکسپریشن ہے چار انپٹس کا ٹوٹ ٹیبل ہے اس میں آپ کے پاس لکھا ہوئے ٹوٹ ٹیبل ہے آپ اس کو اگر میکسٹمز کی فرمیں یا پروڈکٹ آف سم فرمیں ایکسپیشن لکھنا ہے تو کون سے آپ کے خال میں دو میکسٹمز ہونے چاہیے جہاں جہاں بھی ٹوٹ ٹیبل لکھا ہوئے بیسکل وہ بتا رہے ہیں کہ وہ میکسٹمز ہونے چاہیے تو اوٹپٹ میں کیونکہ ٹوٹ ٹیبل ہے سو پہلے دو میکسٹمز آپ کے ایکسپریشن میں آ جائے گے اگر آپ کے پاس دو سٹینڈرٹ فورم میں پیویس・سوپ ہو تو آپ بڑی اسانی سے ٹوٹ ٹیبل اس کا بنا سکتے ہیں اگر ٹوٹ ٹیبل ہو بڑی اسانی سے آپ واپس ایکسپریشن کی طور پر ان کو لکھ سکتے ہیں تو دیکھنے باہر کا سکتے ہیں دیکھنے باہر کا سکتے ہیں کارنوف میپ as we said in the last lecture is basically an array of cells کتنے سلس ہوں گے بیسکلی دپینٹ کرتا ہے کتنے ویریبل کی آپ ایکسپریشن کو سمطفائی کرنا چاہرہے ہیں دو ویریبل کی ایکسپریشن ہے ab یا cd ہے ef کوئی سے بھی دو ویریبل ہوں you require a کارنوف میپ of 2 ویریبل سلس کتنے ہوں گے چار سلس ہوں گے اگر دو ویریبل کی ایکسپریشن کو دیکھا جائے کتنے من terms یا مقسم چار من terms ہوگے یا مقسم چار مقسم چار مقسم چار اسی طرح کارنوف میپ جو ہے دو ویریبل کا اوثنے چار ہی سلس ہوں گے جو چارو سلس ہیں وہ اندیو جلی ہر ایک من terms کو رپزن کر رہا ہے یا ہر ایک مقسم کو رپزن کر رہا ہے اسی طرح اگر آپ کی تین ویریبل کی ایکسپریشن ہے in abc جے اگر مقادر ساکی ب Insert let usbits you guys ، یہاں بات میرتاندیکنے아ج لہامنها ، سو کتنے رو چاہ رہا ہ puedes Parce بٹ سوک کر سا لream买 ابRed ایسا بہت本 من mình ان اور اگرمن простیل دو ویریبل کی جو ایکسپیشن ہے اس کو سمطلفائے کرنا جو کنوانشل طریقہ ہے باپلائنگ رول اور باکی تھیورمز وغیرہ اس ویریبل دو ویریبل کی ایکسپیشن اسانی سے ہو جاتی ہے. 3 ویریبل 4 ویریبل 5 ویریبل جو ایکسپیشن ہیں ان کو کنوانشل طریقے سے سولف کرنا مشکل ہے تو ادھر آپ کی مپس اور کارناف مپس use کر رہے ہوتے. 5 ویریبل سے اگر ایکسپیشن بھڑ جائے 6 ویریبل 7 8 9 ویریبل۔ Then of course, کارناف مپس do not work. زیرہ ان کو بھنانا ان کو ان کو use کرنا مشکل ہو جاتا ہے. تو اگن ایک اور طریقہ ہے جو وہ بھی ان شاہل ہم باعد میں دسکل کریں گے. لہن today talk about carnaft maps for expressions of 3 ویریبل 4 ویریبل just know is Happy to return ein just know this well so you map expression onto the kind of map expression to leave aren functionality the after about get a clip get a clip اس کی فرم میں میپنگ کر سکتے ہیں اس میں آپ کے پاس standard form of SOP expression ہے some of product form expression ہے اس کے جو mint terms ہیں وہ درکلی آپ کان off میپ میں پر میپ کر سکتے ہیں اسی طرح آپ کے پاس standard product of some form کی ایک ایک ایک سپرشن ہے اس کے جو max terms ہیں وہ آپ کان off میپ پر میپ کر سکتے ہیں اگر آپ کے پاس standard expressions نہیں ہے non standard SOP expression ہے یا non standard POS product of some expression ہے وہ بھی آپ درکلی کان off میپ پر میپ کر سکتے ہیں لیکن یہ دفنی way of میپنگ the expressions on to the کان off میپ میپنگ کیا ہو رہے بسکلی آپ one's یا zero's کان off میپ پر لکھ رہے ہیں اس کا میں طریقہ پڑھا دوں let's consider a 2 variable expression جس کا ایک ہی mint terms ہے a bar b اس کو کیسے میپ کریں گے کان off میپ پر دو variable کا کان off میپ ہوگا جس کے 4 cells ہوں گے ان میں سے ایک cell جو ہوگا وہ رپزنٹ کر رہا ہوگا mint terms a bar b کو اب اس cell پہ آپ one لکھ دیں گے باقی کیونکہ وہ mint terms presentی نہیں ہے باقی جتنے بھی 3 cells ہوں گے کان off میپ کے وہ zero's آپ اس میں لکھ دیں گے تو یہ آپ کی میپنگ ہو جائے گی now after you have mapped the kind of map you need to go to the second step what is the second step basically آپ گروپنگ کر رہے ہیں so by looking at the kind of map you would see groups of ones and zero's so اگر آپ جو ہے some of product form کی expression extract کرنا جا رہے ہیں then you would form groups of ones اگر آپ product of some form کی طریقے سے a simplified expression extract کرنا جا رہے ہیں then you would be forming groups of zero's گروپس کا سائس کیا ہوگا basically گروپس جو ہے دو cells کا ایک گروپ بن سکتے ہیں چار cells کا گروپ بن سکتے ہیں 8, 16, 32, 64 basically powers of two so چھے cells کا گروپ نہیں بن سکتا ہے اس میں بارہ cells کا گروپ نہیں بن سکتا ہے it's only power of two اچھا next thing is جو گروپ ہے وہ اس کی شکل کیا ہونی جائے basically وہ ایک complete row میں چار cells کا یا دو cells کا یا 8 cells کا گروپ بن سکتا ہے یا ایک column wise دو cells کا چار کا 8 کا گروپ بن سکتا ہے یا ایک square shape میں دو by دو کا گروپ بن سکتا ہے یا چار by دو یعنی دو روز میں چار columns ان کا گروپ بن سکتا ہے so there are different ways to form groups دائگنل گروپس نہیں بن سکتا ہے اس میں اگر دائگنل ones ہیں یا zero ہیں ان کا گروپ نہیں بنے گا وہ adjacent rows یا columns میں ہونے جائیں اگر کارناف میپ ساتھا ہے ہمارے 3 کارناف میپ کو 8 cells کا گروپ بن سکتا ہے 2 rows 4 columns یا 2 columns 4 rows اس کو آپ ایسا ویو کریں کہ یہ ایک 3 دیمینشنل کوئی اوپجیکت ہے that means جو اپس میں کارناف میپ ہیں وہ ایک دوسر کے ساتھ مل رہے ہیں let's consider a 4 variable کارناف میپ جس کے 4 rows میں 4 columns ہے اس کو اگر آپ 3 دیمینشنل اوپجیکت کے طور پہ سوچے سمجھیں تو اس کے جو ہے جو columns ہیں دونوں ساید پر وہ اپس میں مل رہے ہیں اسی طرح جو rows اوپر اور نیچے وہ بھی اپس میں مل رہے ہیں now let us discuss how many groups we need to form and what should be the size of each of those groups basically number of groups ڈپین کرے گا کہ وہ کتنے ones ہیں کتنے zero's ہیں جو neighborhood میں یا قریب قریب ہیں اس میں basically so you start with the largest group let's suppose you have ones which are adjacent to each other and you can form a group of eight so you would of course start with the largest group then again you would look at the remaining ones if there is another one which has not been included into that group then you form another group so you could form another group of four or two variables or even a single cell so the number of groups would be determined by the number of ones or zero's in the kind of map now after having formed the groups what is the next step basically a group جب آپ فام کر لیتے آپ نے expression جو solve کر لیتے now if you express those groups in the form of min terms or max terms you have the simplified expression so یہ سارے ہم steps باری باری دیکھیں گے سب سے پہلے ہم دیکھتے کہ جو carnaft maps ہم نے three variable and four variable carnaft maps کی discussion کی وہ کیسے بناتے کیسے ہیں تبحنے کی ہ page نباسا و کجران پر because کسی اس طبح for حی capacitor نباسا tradition because because about because is aık安全 و أي سارو آگھئی آھا آگھئی another group ا Heh، پومانا try tostrings کھنب لئی محلو一下 کھنباٹ کی برئے تیاری کے ساتھ جانتے ہیں جو بیٹانوی پاس جب ایک کھنب ایک پاری پاری سوچہ نمہ اندر ساتھ دیکھنے کی تیاری ساتھ ۔ ھوٹلatures are a job ۔ ۔ پریٹانوی طرح جو بیٹانم are not a job ۔ ۔ planning are not a job ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ جو آzenieے左�ک کا رستہCA ب buoyن معلوم سے محرٌ آنا چھاتا ہی تک告訴ک ہےował جو آناounded محر جنت أو محر جنت جنت جنہ기를 کیپنے کیا تو بعض behind own انہوں پر م Flex حہ میں پہلے ہین بہ ACE بہت کے ساتھر سے جانتا ہے۔ Yearune 1955 Will's ، wolf wolf سیلز 0 to 7 کارسپونٹنگ تو the من terms 0 to 7 or the max terms 0 to 7 in a 3 ویریبل بولین اکشپشن. The cell markt 1 for example represents the من terms 1 or the max terms 1 having binary value of variables ab and c equal to 001. سیملوڈلی cell markt 7 represents the man term 7 or the max term 7 having بنوری ویریبل اکشپشن. The 4 ویریبل کی مپ has a square format with 4 rows and 4 columns of cells. The binary values 00, 01, 11 and 10 in the leftmost column of the k-map represent the بنوری ویریبل اکشپشن. The binary values 00, 01, 11 and 10 in the top row of the k-map represent the binary values of variables c and d. The 16 cells markt with numbers 0 to 15 represent the cells 0 to 15 corresponding to the من terms 0 to 15 or the max terms 0 to 15 in a 4 ویریبل بولین اکشپشن. The cell markt 6 for example represents the من terms 6 or the max terms 6 having binary value of variables ab, c and d equal to 0, 11, 0. سیملوڈلی cell markt 13 represents the من terms 13 or the max term 13 having binary values of variables ab, c and d equal to 11, 01. You've just seen 3 ویریبل and 4 ویریبل جو ایں نبتری سب luck تک式 لیکن جائے ہیں جب اپنے نبترم نبترم باتیں مباشتے ہیں اور ایک کامنے نبترم بھی تکسی تکوش عبرت لگائے ہیں اس میں جانتے ہیں جو ہم ایک شرط سالٹیان ہوں گی؟ How do we map these kind of maps؟ بسکلی استعمالہ مج exactly how do we map these kind of maps؟ بسکلی سبaatے ہمیش کی وئی براح looks و کیا بسکی باتیں مباشتے ہیں؟ اگر ہم ایک بات پرکی سنہ what do you do well in the carnoff map you write once for the appropriate cells representing those mentums باقی جو سلس ہیں ان میں کیا کرنا ہوگا basically you just write zeros So let us have a look at different examples which use the sum of product expression the standard sum of product expression to map the carnoff maps زندگہ کیا نوائدی ہمیشہ پرانفاہ ہے ، آبہ سی بار کی زندگہ اور آبہ سی بار کی زندگہ ہی تھی بار کیا نوائدی ہی جانتے ہیں؟ کٹٹ دیگرلہ مکال کیوس doing to the اспیشن کیا ہے 캐�ادری مہام ہاں وہ軍 کس lonely اصل loop و طرح حالiónبی own دیگرعہ کنتیس expedite اصغرام اصغرام مہامھ بارک میں اصغرام اصغرام ہیì 1970 Lux ہی ایک اپنے 2 کی مپ رہے ہیں کہ اپنے روہ و کالیمپ روہ باہامیٹbalanced او کالیمپ باہامیٹالوں میں باہامیٹالوں میں حقیطی کالیمپ کالیمپ باہامیٹالوں میں میکنے میں کالیمپ 3 کالی پر میکنے کے لئے سل 010 تک میکنے آئے بی کیبار ہے سل 110 تک میکنے آئے بی کیبار ہے اور اٹھے کیوں سلسلوا رے سلسل�ہ با نبیی新ا پہلے سلسل کی فرمان کی بھتے ہیں۔ جو ہمینج سلسل کے کسی بہت جاتا رہاں لے ہیں۔ مبادر انجا ہے گے ، اور اگر طرح سلسل کو خصہ کرتی ہے. مبادر انگرہ نقل four جودیط改یل میں ایک ہمombیت آئی ہی شہ پر کھنیز آپم ا潜یہ اہماری بھی جانتے ہیں۔ انجیس دیتا ہے ، اہماری جانتے ہیں جو دنگگم سیٹتی are a bar b bar c bar d the 2nd term is a bar b c bar d bar the 3rd term is a bar b c bar d the 4th term is a bar b c d bar 5th term is a b bar c bar d bar the 6th term is a b c bar d and the last and the 7th term is a b c d bar. now these are basically the main terms of the standard sum of product expression. انہوں نے کہا کیسے منتم، یہ ٹبات ہے سب سے ١، ٦، ٥، ٦، ٦، ٧، ٨٣ اور ٩٤۔ منتم۔ جو اس بھائیہوں کے مرس어야 ہے کہ کے بھائیہ میں یہے سب سے کیاکہ مپ جاکھکککی کردی ہے۔ وہل پر حالت جو شاند کیاکہ سب سے منتم ہوتا ہے۔ پر سب سے مپ جانب جانب ہے۔ ہم ، اسا میں نے انشان کے ساتھ سے ہی منشاب ددا جانے کیاکھکی ہے۔ جو بڑا سان تریکہ ہے جو بھی مینٹمز ہیں وہ والی مینٹمز جو ہیں آپ ہر سل میں وان کے طور پہ مارک کرنے جو مینٹمز نہیں ہیں ان سل میں آپ زیروز مارک کرنے now let us talk about marking k-maps or rather mapping k-maps using non-standard sum of product expressions آپ کے expression جو ہم standard بھی ہو سکتے ہیں non-standard بھی ہو سکتے ہیں the easy method would be to standardize the non-standard sum of product expression وہ ہم نے تریکہ کیا تھا کہ a plus a bar کے ساتھ آپ منٹپلائے کرنے تو آپ ایک non-standard expression کو standard میں convert کریں but with experience with use you can directly map a non-standard sum of product expression to a k-map تریکہ کیا ہے ابھی تھوڑی دے پہلے ہم نے بات کی تھی جب ہم دیکھ رہے تھے 3 variable k-map کو bottom row جو تھی ہم نے بتایا تھا اس میں اگر 4 cell کا گروپ کر لیا جائے اس میں کسی term common ہے a اوپر والی row میں 4 cells کا گروپ کر لیا جائے اس میں کسی term common ہے a bar now let us suppose that you have a non-standard sum of product expression a plus bc non-standard ہے کیونکہ یہ دومین کتنا ہے اس کا 3 variable کا تو پہلی term جو ہے وہ صرف a ہے 2nd term میں bc ہے a variable یا a literal جو ہے وہ نہیں آ رہا تو اب اس کو اب درکلی map کیسے کریں گے بسکلی 3 دومین کی expression ہے تو آپ کو 3 variable k-map use کرنا ہوگا پہلی term کو دیکھتے ہیں a map آپ کیا کریں گے جو 2nd row ہے اس میں جہاں بھی آپ کو a term نظراری اسی طرح bc کو کیسے map کریں گے اسی 3 variable جو k-map ہے جہاں جہاں آپ کو term bc نظراری وہ در 1's آپ مارک کر دیں باقی جو remaining cells اگر بشتے ہیں وہ در آپ کیا لکھیں گے 0's لکھیں گے now it is possible that some common cells representing the term a and representing the bc the term bc are used so you don't need to mark those common cells twice simply mark them once so let us have a look at several examples using the 3 variable k-map and the 4 variable k-map where non-standard sum of product expressions are used to map these k-maps consider the non-standard sum of product expression a plus bc bar the 3 variable k-map is used as the sum of product expression has a domain of 3 variables any of the 2 k-map representations can be used that is the column or the row representation can both be used the non-standard product term a is mapped first the 3 variable k-map cells having the term a are marked with 1's the cells marked are 4, 5, 6 and 7 all these cells have the term a now having marked all the cells having the common term a with 1's you consider the second term bc bar now using the same k-map the cells 2 and 6 are marked with 1's both the cells have the variable bc bar the remaining cells are marked with 0's it is possible that multiple terms are present in the same cell such as the terms a and bc bar both these terms are present in cell 6 presence of multiple terms in a single cell is marked by a single 1 consider another expression a 4 variable non-standard sum of product expression represented by d plus ac bar plus bc a 4 variable k-map is used to map the expression as the sum of product expression has a domain of 4 variables the non-standard product term d is mapped first the k-map cells having the product term d are marked with 1's the 8 cells 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 and 15 all have the d product term therefore they are marked with 1's the non-standard product term ac bar is mapped next using the same k-map the cells marked 8, 9, 12 and 13 are marked with 1's as all 4 cells have the variable ac bar it is possible that multiple terms are present in the same cell such as the terms d and ac bar in cells 9 and 13 presence of multiple terms in a single cell is marked by a single 1 finally the 3rd non-standard product term bc is mapped using the same k-map the cells 6, 7, 14 and 15 are marked with 1's all 4 cells have the variable bc remaining cells are marked with 0's again presence of multiple terms in a single cell is marked by a single 1 we have learned to map standard sum of product expression the non-standard sum of product expression directly on to a k-map now the next and the last step is simplifying the k-map rather the k-maps mapping ہم نے کر لیے now ہم نے groups form کرنے now we talked about forming groups of 2, 4, 8 and 16 consider the 3 variable k-map largest group کتنے سلس کا بنے گا 8 cells now let's suppose you have a group formed of 8 cells output یہاں جو simplified expression ہے آپ کے خیال میں کیا آئے گی basically 8 cells کا group ہے that means all the 8 terms are included جب کسی 3 variable function کے 8 men terms included ہیں basically the output is a 1 for all men terms so basically it doesn't matter what is the input a, b, c کچھ بھی ہو output is always going to be a 1 so a group of 8 cells in a 3 variable k-map is always going to give you a 1 now a group of 4 cells in a 3 variable k-map جو کنسی expression دے گا کتنے لٹرلس کی expression دے گا basically a 4 cell group in a 3 variable k-map is going to give you a single variable term اسی طرح اگر دو گروپس کے سل بنے ہیں what is the product term you get basically it would be made up of 2 variables similarly a single cell group would give you a 3 variable term now let's talk about a 4 variable k-map a 4 variable kind of map میں largest group کتنے سائس کا بن سکتا ہے basically 16 cells 16 cells means that all variables basically all men terms are included in the expression تو جب بھی آپ کے پاس a 4 variable expression میں سارے men terms what is the output it is a 1 so a 4 variable k-map میں 16 cells کی گروپ بنے the output is a 1 let's talk about a group of 8 cells and of course a 4 variable k-map 8 cells کا گروپ جو ہے آپ کو کیا دے گا a single variable term اسی طرح اگر 4 cells کا گروپ بنے گا آپ کو کیا ملے گا 2 terms basically 2 variables کا 1 term ملے گا اسی طرح 2 cells کا 1 group ہو 3 variables کا term ملے گا and lastly اگر ایک گروپ جو ہے اس میں ایک سل ہے تو آپ کو کیا ملے گا basically 4 variables ہوں گے now let us have a look at several examples where you form different size groups 8 کا بھی ہوگا 4 کا بھی 2 کا بھی and 1 کا and let's extract expressions represented by those groups consider 3 variable column based k-map in which the sum of product expression has been mapped the sum of product expression has 5 main terms marked by 1's in the k-map 3 groups of 2 cells each are formed the first group of 1's comprising of cells 2 and 6 forms the product term bc bar now if you view the kind of map these 2 cells have this term bc bar common to both the cells the third group of 1's comprising of cells 5 and 7 forms the product term ac اس طرح اگر ان دونو سلس کو دیکھیں ان دونو سلس میں the product term ac وہ کومن ہے the third group of 1's comprising of cells 1 and 5 forms the product term b bar c having the 3 terms bc bar ac and b bar c consider the 3 variable row based k-map in which the sum of product expression has been mapped the sum of product expression has 4 main terms marked as 1's in the k-map 2 groups of 2 cells each and a third group of single cell are formed the single cell group forms the product term ab bar c bar basically it's a 3 variable k-map we said that a group comprising of a single cell is going to form a product term of 3 variables so it is ab bar c bar the second group of 1's comprising of cells 1 and 3 forms the product term ab bar c we said that a group of 2 cells in a 3 variable k-map to form a product term having 2 variables so it is ab bar c the third group of 1's comprising of cells 2 and 3 forms the product term ab bar b thus 4 term sop the sum of product expression simplifies to a 3 term sum of product expression consider the next example consider the 3 variable column based k-map 2 groups of 4 cells each are formed respectively the first group of 1's comprising of cells 2 3 6 & 7 forms the product term b again it's a 3 variable k-map a group of 4 cells has been formed so the common term is going to be a single variable the second group of 1's comprising of cells 5 & 7 forms the product term ac the original expression had 5 min terms the simplified expression has 2 product terms b & ac consider the 3 variable row based k-map 3 groups of 2 cells each are formed the first group of 1's comprising of cell 4 & 5 forms the product term ab bar the second group of 1's comprising of cells product term bc and the third group of 1's comprising of cells 2 & 3 forms the product term a bar b now the original sum of product expression had 1 2 3 4 & 5 min terms the expression is simplified you end up with 3 product terms ab bar bc & ab bar now consider an example of a 4 variable of map consider a 12 term standard sum of product expression mapped on the 4 variable k-map 3 groups of 4 cells are formed the first group of 1's comprising of cells 8 9 12 & 13 forms the product term ac bar the second group of 1's comprising of cells 1 3 9 & 11 b bar d the third group of 1's comprising of cells 6 7 14 & 15 forms the product term bc now the original expression had 12 terms the simplified expression has 3 product terms ac bar b bar d & bc now looking at the second group 2 cells are in the first row 2 cells are in the fourth row as we said before the 4 variable k-map to be connected together so the first row is connected to the fourth row similarly the first column is connected to the fourth column so the 2 cells in the first row are assumed to be adjacent to the 2 cells in the fourth row consider another example an 8 term sum of product expression mapped to a 4 variable one group of 2 cells and 2 groups of 4 cells are formed the first group of 1's comprising of cells 8 & 12 forms the product term ac bar d bar the second group of 1's comprising of cells 3 7 11 & 15 forms the product term cd and the third group of 1's comprising of cells 6 7 14 & 15 forms the product term bc the sum of product expression that has been simplified has 3 product terms ac bar d bar cd & bc the original expression of course had 8 terms now looking at the 2 groups of 4 cells 1 of the group is a column based 4 1's are in a column and the other 4 cell group is a square based group it has 2 rows and 2 columns consider the last example consider the 9 term sum of product expression mapped to a 4 variable 2 groups of 2 cells and 2 groups of 4 cells are formed the first group of 1's comprising of corner cells 0 2 8 & 10 forms the product term b bar d bar and the last column and the first row and the last row of the corner of map are connected together therefore the corner cells are assumed to be adjacent the second group of 1's comprising of cells 2 3 10 & 11 forms the product term b bar c similarly the third group of 1's comprising of cells 13 & 15 forms the product term abd the last and the fourth group of 1's comprising of cells 2 & 6 forms the product term abd the SOP expression has simplified to a 4 term SOP expression having terms b bar d bar abd and abd we have looked at several examples of simplifying expressions bullion expressions using the k maps so k maps different groups basically they are giving you product terms now we have discussed 2 methods of mapping expressions on to the k map standard some of product form and non standard some of product form another way is through which we can map on the k map it is through the truth tables now consider that you are designing some circuit or implementing some circuit what do you do when you are designing a circuit basically you first make a function table or a truth table what happens in function table all the input combinations are there and the corresponding output columns now write 1's or 0's consider an example of directly mapping the information provided in a truth table on to the k map let us suppose that we are designing an electronic circuit a digital circuit detects the input a 2 bit input and finds out if the number is even or odd if odd number the output should be 1 if even number the output should be 0 function table basically 2 bit input so you have a 2 variable function ab the 4 input combinations are there again 0 0, 0 1, 1 0 and 1 1 if you are designing a circuit then 0 0 combination the output should be 0 0 1 combination the output should be 1 1 0 combination basically 1 0 it is an even number the output should be 0 and combination 1 1 which represents decimal 3 since it is an odd number the output should be 1 now we have 1 1 now what will be the expression you could directly write the expression from the truth table but instead you map the output directly to the k map in k map basically you would be using a 2 variable k map having 4 cells so 2 of the cells would have 1's and the remaining 2 cells would have 0's if you are grouping then perhaps you would get a simpler product term which would represent the operation of the circuit this expression you would have a circuit which takes a 2 input or 2 bit input numbers and displays or outputs a 1 or a 0 representing an odd number or an even number let us have a look at a similar circuit which uses a 3 bit input or then output a 1 or 0 دیگا ہم دیکھنےو سرکٹ کو کنسرئے a logic circuit that accepts 4 bit binary numbers representing decimal numbers 0 to 15 now the circuit checks the 4 bit binary equivalent of the decimal number so basically 0 0 0 represents the decimal number 0 0 0 1 represents the decimal number 1 and 1 1 1 1 is the decimal number 15 now if the number is odd if the decimal number represented in 4 bit binary is odd and it is a prime number the function outputs a 1 before designing the logic circuit a function table is implemented with all the input output combinations the function table for the odd prime number checker is shown now considering the inputs so 0 0 0 0 represents a number which is not a odd number nor it is a prime number so the output should be a 0 0 0 0 1 represents the number 1 it is prime and it is odd so the function output is a 1 the input combination 0 0 1 1 again represents an odd prime number the output is represented by a 1 the combination 0 1 0 1 is again representing an odd prime number the output should again be a 1 the input combination 0 1 1 1 again represents the number 7 which is odd and prime therefore the output should be a 1 similarly the input 1 0 1 1 represents 11 which is odd and prime the output should be 1 the number 9 1 0 0 1 is odd but it is not prime therefore the output is 0 next the input combination 11 0 1 which represents the number 13 it is odd and prime therefore the output has a 1 the number 15 11 11 is odd but it is not prime so the output is 0 therefore at the output you have some 1's and some 0's 1's represent all the odd number which are prime numbers the 4 variable function table is directly mapped to a 4 variable k map each of the 16 mentum values in the function table are mapped to the corresponding mentum cells of the k map now simplifying using the k map gives 3 product terms which can be directly implemented using logic gates to form an odd prime number checker circuit now looking at the kind of map 3 گوپs are formed one group is of 4 cells which results in the product term a bar d there are 2 groups of 2 cells each which result in product terms b c bar d and b bar c d we have just looked at an example where we can directly map a function represented by a truth table which is a function table directly onto a k map and from there we can simplify from there so whatever circuit you will make basically you will use this method you will make a function table directly in the k map you will simplify it you will have an expression you are basically making a logic circuit from that now it is possible that the inputs are not existing in that let's suppose the last example we considered how many input combinations are coming basically 4 bit binary 16 input combinations are coming from 0 to 15 let's suppose a restriction is that the input combinations come from 0 to 9 basically you are only interested in decimal numbers so the input combinations will not exist so you are not concerned about the outputs of these input combinations which never exist or which are never going to occur its consequence on simplification or simplified expression what will happen basically all such inputs which do not occur are considered to be don't care states so we will talk about how we will map them in the k map and how we will use them and what is the benefit now the last 6 inputs 10 to 15 in their outputs we will not put 0 nor 1 don't care states or don't care conditions are represented by x the symbol x at the output after this there are some 0's and 1's and some don't care states represented by x what will you do with them we will map onto the k map because of the map if you consider the same example you had a 4 variable k map some cells will have 1 some cells will have 0 and some cells will have x now what do you do how do you consider those x's are they 0's or 1's basically you can consider x to be 0 or 1 be it depends what is your group so let's suppose by considering 1 2 or 3 cells having that x as 1 that helps you to form a larger group of 1's so what will be the benefit the bigger group you have is the product term it will be simpler if there is a group of 8 cells in the 4 variable in the k map you will have a product term so you can set the x's or the don't care states mentioned or specified in the k map to 1's or 0's to help you form groups larger the groups so again we are going to see the example which we did previously we are going to be considering the input states 10 to 15 as don't care states and let's see what is the benefit what is the simpler expression simpler circuit so let's have a look consider the number checker circuit that only checks for odd prime numbers between 0 and 9 now the input states 11, 12, 13, 14 and 15 do not exist they never occur to represent this new circuit the function table has to be modified the input states 10, 10 1011, 1100 1101, 1110 and 1111 have their outputs set to x the symbol x don't care now the modified function table can be directly mapped to a 4 variable each of the 16 minterm values in the function table are mapped to the corresponding minterm cells of the k map including the don't care states in this particular case all the don't care states are assumed to be 0's the k map simplification leads to the expression a bar d now assume that the circuit checks for odd prime numbers for the first 9 numbers that is ranging from 0 to 8 the remaining combinations never occur to support this new requirement the function table is modified to include a don't care state for the input combination 1001 now if the new function table is mapped to that 4 variable the k map it results in 7 cells having don't care states the cells 1101 1111 1001 and 1011 can be considered to be 1's instead of axis they are considered to be 1's now these 4 cells form a group of 8 cells 001 0011 0101 and 0111 are considered so a group of 8 cells is formed all having 1's what is the simplified expression basically the simplified expression would be d instead of a bar d for the previous case so larger the group the simpler the product term simpler is the circuit we have looked at an example don't care states are used don't care states help us in simplifying expressions don't care states as we said are marked by x's so x you can assume it as 1 depending on other groups of 1's so ultimately a simpler expression you can get don't care states are commonly used with different logic circuits where some input conditions are never going to we are going to stop for today basically today we talked about mapping of different expressions to the k-map some of product form standard non standard we talked about a function table you can directly map it we talked about simplification basically when you map expressions in k-map 1's and 0's groups form so ultimately you have a simple expression which you can ultimately implement using logic gates انشاء اللہ next lecture میں دبارہ ملتے ہیں اسی سے آگے continue کریں گے k-maps کو اور کس طریقے سے مپ کیا جا سکتے اور مزید آگے simplification کی باتنے کریں گے اپنے 5 variable k-map کی باتنی کی وہ بھی انشاء اللہ next lecture میں دیکھتے ہیں دبارہ ملتے ہیں