 Bom, é um placer para mim apresentar a Mateus, Carlos Mateus, que é meu colega e quando eu falo muitas vezes esse assunto é o qual eu sou um expert, então comecemos. Ok, muito obrigado então aos organizadores e ao comitê científico pelo convite para falar aqui nessa escola no Agra sobre um dos objetos que eu gosto bastante que são as superfícies quadriculadas e então a ideia desse mini curso é basicamente mostrar como esse objeto se situa entre a combinatória e a geometria de espaço e modos. Então a ideia é que eu vou começar lentamente falando o que são as superfícies quadriculadas hoje e amanhã, em seguida o Van Sandercois vai falar na quarta e na sexta e na quinta sobre a relação entre superfícies quadriculadas e espaços de módulos e eu volto no fim para falar um pouco sobre classificação de órbitas de por SL2Z de superfícies quadriculadas. Então isso vai ser o plano geral, mais as aulas de tutorial que serão dadas pelo cantão Jean Andron. Então para hoje a minha ideia é falar um pouco sobre esses três tópicos então bom um exemplo que é uma superfície quadriculada que muitas vezes nos slides eu vou escrever como origami simplesmente o origami mais curto de escrever do que superfície quadriculada. Depois eu vou falar de uma ação especial que existe na conjunto de superfícies quadriculadas se chama a ação de SL2Z nos chamados grupos de VIT que são os estabilizadores de origamis por essa ação e por fim vou falar de um objeto que começa a apontar na direção dos espaços de módulos que são as curvas de tachimula e essa vai ser um pouco a parte avançada do fim da aula. Tudo bem, tinha algumas chat, mas ok. Bom então o que são os superfícies quadriculadas? Uma das várias maneiras de definir esse objeto e de fato a existência de várias definições desse objeto, definição equivalente mostra que esse objeto é bastante rico, mas uma das definições é o seguinte, é simplesmente um par de permutações h e v no grupo simétrico então para mim a CN vai ser o grupo simétrico em N letras e a ideia que eu vou fazer é a seguinte construção, então se você me dá duas permutações h e v, o que eu vou fazer é simplesmente pegar uma cópia do quadrado unitário do plano, eu vou chamar essa, então eu pego as n cópias do quadrado unitário e para j é essa uma cópia que eu vou fazer a seguinte operação esse lado direito, o vertical desse quadrado, eu vou colar por translação com o lado esquerdo do quadrado que tem índice h, j, a minha permutação. Então eu vou simular isso desse jeito com essa flash aqui que eu colo por translação e com a outra permutação o que eu vou fazer é simplesmente identificar um outro quadrado que vai ser o v, j e eu vou colar o lado, talvez seja bom usar cores, deixa eu ver se eu consigo usar, eu vou colar esse lado verde com esse lado verde por translação e eu vou colar esse lado azul com esse lado azul por translação e isso é o suficiente para me definir uma superfície, então a superfície quadriculada o origami é a superfície, por enquanto nessa estágio da discussão é uma superfície topológica que eu obtenho colando esses quadrados fazendo todas essas identificações. Então isso é a versão em figura, a versão em palavras é a seguinte, então a gente toma n cópias do quadrado 0 vezes 0 do plano, então eu chamei de skj simplesmente para square número j e aí eu colo o lado direito do skj com o lado esquerdo do skj, então h para horizontal e v para vertical, tudo bem? Então uma observação simples que segue da definição é que uma superfície quadriculada, a superfície que eu vou obter desse jeito, ela vai ser conexa se somente se a ação das permutações h e v nos símbolos dos quadrados é transitiva, ou seja, se com h e v eu consigo chegar partindo de qualquer quadrado eu consigo chegar em qualquer outro, então isso é um exercício bem fácil de verificar e de fato é uma superfície quadriculada estritamente falando com exatamente o par de permutações, o que eu falei é a superfície gerada pelo par de permutações. Então isso significa o seguinte que eu não vou estar interessado na maneira como a gente vai estar enumerando os quadrados, eu vou estar mais interessado na superfície que resulta com as identificações. Então deixa eu dar um exemplo, deixa eu voltar para a minha cor de base. Então por exemplo, quando eu falo de origami, o superfície quadriculado, um origami que eu posso desenhar o seguinte, eu posso desenhar esse origami aqui, que vai aparecer bastante no escurso origami, que a gente chama origami em h e v, eu tenho três quadrados, eu vou estar identificando esse lado com esse lado, esse aqui eu já identifiquei, então já colei, um e dois, e esse lado de baixo, eu vou ter que ficar aqui em cima, esse aqui com esse e esse com esse. Então isso é uma rota de construção para um origami, então em particular esse origami é dado pelas permutações um, dois e dois vai para um, ou seja, a direita do um eu vejo dois, a direita do dois eu vejo um, e o três, a direita do três eu tenho três, e verticalmente eu tenho um vai para três, três vai para um, dois vai para dois. Então essa é a superfície que eu obtenho a partir dessas permutações, mas de fato o que eu estou falando para vocês é que eu estou interessado apenas na superfície e não na maneira de colocar os números, então por exemplo se eu coloco os números como um, três, dois, mas eu guardo as mesmas identificações, é claro que topologicamente a superfície não mudou, estou colando os quadrados do mesmo jeito, o que a única coisa que mudou foi o nome dos quadrados, então para evitar esse tipo de problema, como eu estou interessado realmente na superfície e não na maneira de colocar números, de indexar os quadrados, a gente vai supor o seguinte, que vai ser sempre um princípio da nossa discussão que qualquer permutação que é deduzida de uma outra, ou seja, qualquer permutação que eu deduzo de HIV fazendo uma conjugação simultânea, ou seja, a conjugação simultânea significa eu troco o alfabeto, conjugar no grupo de permutação significa isso, eu troco o alfabeto, então qualquer troca de alfabeto vai me dar um origami que equivalente, então você já tem que pensar de primeiro origamis, então não é bem o par de permutação, mas é uma superfície gerada por um par, ok, então como eu falei, de fato eu já desenhei o exemplo, então exemplos de origamis, o origami mais básico do mundo é o toro, isso só tem um quadrado e tem duas permutações triviais que correspondem a colar esse lado com esse e esse lado com esse, então tem só um quadrado, a direita desse quadrado encontra ele mesmo, em cima dele encontra ele mesmo, e outra maneira de representar esse quadrado é simplesmente olhar para o plano complexo ou para o plano R2 e fazer o cossinte pela rede inteira, e o outro que eu desenhei no slide anterior, que é o origami um pouco mais tarde, mas basicamente é a história que eu estou falando, de fato do jeito que eu numerei está errado, então desculpa, não está compatível com a, eu desenhei sem, de fato tem que desenhar aqui o 1, aqui o 2 e aqui o 3 vai ter essa permutação, mas em pontações não é muito mais, deixa eu desenhar corretamente, então esses são os exemplos mais básicos, então dei dois exemplos, então vamos ver agora, claro, na figura que tu desenhei eu acho que anteriormente, pode voltar ou apagou a figura já do origami em L, não é porque tu, eu queria clarificar que esses quatro tracinhos que tu marcou como um tracinho com um tracinho são, são lados iguais ou não, são dois pares de lado, e isso, quando eu marco, quando eu marco o mesmo símbolo, eu quero dizer que eles vão ser identificados por translação, tudo bem, mas o um tracinho horizontal não é o mesmo do um tracinho vertical, não, não, não, é outro, é outro, com dois pares, igual, mas não sei, se eu fosse usar letras que seria A, A, B, B, por exemplo, tudo bem, não, só para clarificar que um horizontal... Não, não, é boa pergunta, boa pergunta. De fato, o tracinho vertical não é tracinho horizontal, né? É, cara. É, não, tracinho horizontal e tracinho vertical é. Não há uma boa escolha por que, bom, quando o origami tem muitos quadrados, vai ficar mais complicado, mas você tem razão. E, de fato, os origamis, eles são... Bom, eu dei dois exemplos, mas, de fato, tem uma fábrica inteira para a produção de origamis, que é a teoria combinatória de grupos, porque se você me dá qualquer grupo finito gerado por dois elementos, eu vou chamar eles de RU, para write and type. Então, bom, exemplos desse tipo de grupo tem muito na natureza. Então, um grupo alternado, o próprio grupo simétrico, esse grupo de tipo de li finito, o SL-2FP, ou seja, matrizes, dois por dois determinante um com entradas no corpo Z sobre PZ. Esses grupos gerados por dois elementos RU fornecem um origami simplesmente porque os geradores agem no próprio grupo G por permutações. Então, simplesmente você pega um elemento do grupo e você permuta ele multiplicando pela direita, na direita, um dos geradores. E, bom, como existem muitos grupos, existem muitos origamis. Um exemplo particularmente interessante na teoria é o que o pessoal chama de... Bom, meu alemão não é muito bom, mas a pronúncia seria um bom mix-up, que é o origami que você obtém a partir do grupo quaternionico, o grupo dos quaternius. Então, é o grupo que contém os elementos mais ou menos 1, mais ou menos I, mais ou menos J, mais ou menos K, com a condição de que o quadrado dos números imaginários é menos de que o produto IJ é igual a K. E depois você permuta, simplesmente, a relação. É um grupo bem conhecido e a figura dele... Bom, a figura dele não é essa aqui, não. Essa é uma figura que eu tirei da Wikipedia, que é basicamente a ideia dessa palavra em alemão. Então, basicamente, significa um javalizal que põe ovos, fornece lã e líquido, ou seja, a significação desse animal lendário é que é um animal só que fornece vários sub-produtos da fazenda, leite, lã, ovos, enfim. Então, esse nome é dado a esse origami porque ele é, basicamente, um tipo de contra-exemple universal para muitas conjuguras que foram feitas na teoria. Mas bom, vou... O que seriam os quadrados nesse caso? Os quadrados são... Agora eu vou desenhar. Aqui é o seguinte. Os quadrados são... Deixa eu ver se consigo desenhar em tempo real. É algo desse tipo. Você começa com o quadrado 1. Então, como geradores eu vou usar IJ. Então, para achar o cara que está à direita do 1, eu tenho que multiplicar por I na direita. Então, bom, 1 vezes I é I. Para achar na direita do I, eu multiplico de novo por I. Então, é menos 1. E a direita do menos 1, eu vou encontrar o menos I. E aqui eu fechei. Porque se eu multiplicar menos I por I, eu vou encontrar 1, então eu estou de volta. Então, basicamente, eu vou fazer o que o Manel não gosta, botar um tessinho total para ver que eu fechei a volta aqui. Mas ainda tenho a direita de continuar indo para cima. Então, por exemplo, para ir para cima, eu tenho que multiplicar pelo outro gerador na direita. Então, multiplicar menos I por J dá menos K. Então, em cima do I, eu vou desenhar o quadrado menos K. E agora, para ir para a direita do menos K, eu multiplico por I na direita. Então, cada vez I é J. Então, só que o menos J. E aí, bom, agora, como o J é um elemento de... J ao quadrado é menos 1, eu vou ter K e, finalmente, em J. Claro, e aí eu fechei de novo. Mas isso na descrição contrata do origami, porque eu tenho que dizer, por exemplo, se eu for do 1 para cima, eu vou multiplicando esse lado aqui com o J. E assim por diante. Mas isso dá receito de como basicamente conectar todos os quadrados com qualquer outro quadrado. Tá claro? E esse é um origami bem interessante, na teoria, bom. Mas, como vocês veem, qualquer grupo finito gerado por dois elementos vai te dar um origami. Então, exemplo de origami é o que não falta. E, por definição, eu falei para vocês. Os origami são interessantes também porque eles têm conexões com outros pontos de vista na matemática. Um outro ponto de vista simplesmente é o seguinte, é olhar para um origami como um recobrimento finito do toro plano. Então, bom, por definição, o origami é ele que eu sempre estou desenhando. Ele você pode enxergar como sendo um recobrimento triplo do toro padrão. Simplesmente você vai enviar, por exemplo, esse ponto aqui que você desenha no quadrado, no ponto correspondente. E você vê que por definição do origami as identificações vão ser enviadas de maneira coerente em pontos aqui. Tá? Então, por exemplo, o origami é, esse origami em forma de L, ele é um recobrimento triplo, o qual não é ramificado, você não ser ramificado significa nesse caso que todo ponto aqui mesmo os pontos que estão no meio dos lados, como esse ponto verde aqui, por exemplo, vai vir para cá, vai ter três pre imagens bem definidas. Você pode me perguntar e as outras, as outras são identificadas, porque elas vão aparecer aqui e aqui. Mas, de fato, pontos distintos, só tem esses três aqui. O único problema que vai acontecer se você olhar bem é no canto. Esse ponto no canto ele é um ponto só nessa superfície em L que vai ser enviado aqui. Ou seja, não vão ter três pontos correspondendo aí. Vai ter um ponto só. Porque simplesmente porque você olha só, esse ponto amarelo, ele aparece aqui nesse lado que está identificado com isso. Então, esse ponto é igual a esse. Agora, esse ponto amarelo, ele aparece também nesse ponto que está com dois traços. Então, esse ponto é igual a esse. Agora, esse ponto aqui aparece nesse lado vertical, essa é a identificação. Agora, esse aqui aparece nesse lado vertical. Então, esse é igual a esse. Agora, esse aqui aparece nesse horizontal. Então, esse é igual a esse de baixo. Esse de baixo é igual a esse de cima. E esse aqui é igual a esse aqui. E aí você vê que você percorre todos os pontos para a identificação. Então, todos esses caras, quando você toma a identificação, eles vão para um só, não vão para três. Então, isso é o que a gente chama de ramificação no recobreamento. É claro, um origami é um recobreamento finito do toro plano que não é ramificado em lugar nenhum, talvez na origem. Alguns cantos podem se limificar. E por que isso é importante? É porque o toro plano, eu estou assistindo muito em escrever o plano como C, por azar. É porque o plano complexo, quando eu faço o consente por translações, eu acesso a ferramenta da geometriogébrica, por exemplo. De fato, pensar no origami como uma superfície de rima com uma estrutura adicional, que o pessoal se chama de forma beliana, é importante, e o VanSan vai falar disso na quarta, quando ele fala de espaço de módulos. Mas, por enquanto, eu só estou fazendo essa observaçãozinho. Então, vamos seguindo. Por que esses pontos de ramificação são interessantes? São os mais interessantes, em um certo sentido, porque o recobrimento, como a gente viu no outro caso, o recobrimento ele não é ramificado em lugar nenhum, acerto na origem. Então normalmente, como a gente gosta de matemática, olhar para as singularidades é a melhor coisa. Os pontos que são normais não contam muito. São os pontos singulares que tem algo para dizer. E os pontos de ramificação do origami são chamados de singulares cônicas. Então, parecem um canto de um cônico, mas não cônico que a gente costuma desenhar como foi desenhado no curso anterior, mas é um cônico onde o ângulo, de fato, é maior que 2P, em geral. Vamos ver isso. Então, por que isso é verdade? O que é o seguinte? Vamos olhar, desculpa, deixa eu mudar de curso. Vamos partir do canto do ponto que está no canto e se você quiser dar uma volta em torno desse ponto para ver como é que parece a vizinhança dele, o que você vai fazer é o seguinte, para vir para cá você aplica H inverso I, certo? Para ir para a direita é H I, para trás é H inverso I. Para ir para baixo você aplica V inverso ao pouquinho aqui. Para ir para... Você aplica H, V inverso, H inverso I. E para cima você aplica o comutador. V, H, V, H, V, V, H, V, V, H, V. Isso aqui é igual a I. Ou seja, significa que quando você segue as identificações o ângulo cônico desse cara pode ser maior que 2P. Talvez você tem que seguir todo o comutador, o ciclo do comutador até fechar. Então pode acontecer que em torno de um ponto que esteja no canto o ângulo total seja maior que 2P. E de fato esse é o caso nesse L. Se você fizer a conta do ângulo total o ângulo total é 6P. Então essas são as similares cônicas porque você parece um cônico, mas não cônico a gente pensa. Normalmente o ângulo do cônico é menor que 2P quando ele desenha. Aqui é um ângulo cônico mais mais aberto. E de fato a topologia do origami ou da superfície quadriculada fica determinada pelo conhecimento desse comutador. Então comutador das permutações é algo bem interessante. Por que? A gente acabou de ver que o ciclo não triviar o seu ciclo de tamanho maior que 1 do comutador se eu chamar o tamanho K mais 1, K sigma mais 1 onde K, J pelo menos 1. Então a gente pode usar a chamada forma de o gênero da superfície que a gente obtém fazendo uma triangulação. Então a minha afirmação é que a gente pode aplicar a carreira para os tamanhos dos ciclos com a topologia. Como é que isso é feito? Você toma um quadrado e você vai fazer um triângulo para cada quadrado. Então quando você vai fazer a conta para a forma de olha por carreira você tem que ter a característica de oi do gênero de 2 é vértices menos arestas mais fáceis. Então cada quadrado ele vai contribuir com duas fases três arestas porque três porque duas são redundantes por exemplo preciso só saber esse lado, esse lado e a diagonal porque esse lado aqui é o lado horizontal de um outro quadrado e esse lado aqui é o lado esquerdo de um outro quadrado. Então se eu quero pegar para cada quadrado pegar de maneira única as arestas é melhor pegar só três. Então são três arestas e quantos pontos, bom quantos tem tantos quantos quadrados ah desculpa não troquei a cor tem tantos quantos quadrados mas só que você tem que descontar o fato de que certos pontos são identificados entre si. E quantos pontos são identificados são identificados exatamente para um ciclo de tamanho k mais um você tem uma redundância de tamanho k1 tá porque dentro do ciclo desse cara você pode dar uma aval uma aplicação do ciclo quando você tem uma aval do 2p então se o cara tem tamanho 2 se o ciclo tem tamanho 2 tem que ter um ponto este que eu estou contando aqui esses excessos que foi exatamente o que eu escrevi aqui então o que eu escrevi aqui é a formão de Euler cada quadrado contribui com duas fáceis menos três arestas mais o número total de vértices que é n mais descontando as ambiguidades e se você fizer a conta esse n menos 2n mais 3n desaparece eu fico só com a soma dos kj então eu consigo detectar o gênero a partir do conhecimento dos ciclos do computador em particular se vocês aplicarem essa conta ao origami em L vocês vão ver que o computador tem um único ciclo de tamanho 3 em particular o gênero é 2 então aqui vai ter o computador vai ser um 3 ciclo então vai ser 2 menos 2g igual a soma dos caras dos caís que é 2 ou seja, o gênero é 2 pode não parecer mas essa é uma superfície que tem 2 buracos Matheus, essa conta está correta aí 2g igual 2 menos 2g igual a 2 ah não, menos 2, desculpa porque eu estou somando ao contrário é porque o sinal aqui é menos ah, menos 2 menos aqui o sinal é 2 menos 2g igual a menos 2 então o gênero é 4 ou seja, 2g é 4, então o gênero é 2 está certo, eu estava falando no sinal porque normalmente ele escreve o contrário ele escreve que 2g menos 2 é igual a soma dos os excessos você toma menos em tudo, é a maneira mais natural de escrever essa forma ok então em particular a superfície já tem gênero 2 você vê que, por exemplo, é um bom exercício tentar calcular qual é o gênero desse aéreo lengrand vomixão a partir das permutações bom, a resposta não sei sobre a resposta não vou dar resposta, não é muito difícil e por enquanto, isso vai ser um introduzimento de uma anotação que no momento não faz muito sentido eu acho, mas que vai ser útil depois vai fazer mais sentido depois, que é a noção de chat o que é a seguinte que não vai querer estudar os origamis de maneira aleatória a gente vai querer estudar os origamis em relação fazendo uma relação com os espaços de módulos e então a ideia é que a gente vai tentar colocar esses origamis em famílias naturais e uma primeira classificação que a gente pode dar é segunda combinatória da singularidade cônica então a ideia é que a gente vai perder esses origamis e vai olhar os ciclos naturariais vai listar os tamanhos e a gente vai dizer que um origami pertence a um extrato K1, Ks se os ciclos naturariais tem tamanhos exatamente K1 mais 1 Ks mais 1 bom, isso não é muito formal porque vocês podem me perguntar tudo bem, você não tá quando escreve um extrato dessa maneira de fato, como eu não estou dando nomes a singularidades o mesmo origami poderia pertencer a uma permutação desses números mas bom, isso é uma tecnicalidade e vamos esquecer isso por enquanto o VanSan vai explicar melhor que eu como faz essa parte mas digamos que eu vou querer organizar os origamis em extratos dependendo da combinatória do seu comutador então e outra coisa que eu vou querer fazer nesse curso é evitar o uso de quadrado superfluos então o que é um quadrado superfluo? é simplesmente a ideia boba que a gente poderia ter que é a seguinte vocês poderiam argumentar comigo esse origami L que eu gosto muito mas uma coisa que a gente poderia fazer é simplesmente definir um novo origami subdividindo por exemplo, eu fiz uma subdivisão aqui que é 2 por 3 de cada quadrado isso em teoria eu posso agora dar novos nomes e produzir uma nova permutação pra me produzir um origami mas é um origami que é meio que usa quadrado superfluos porque tem muita informação trivial aqui eu simplesmente peguei um quadrado grande e subdividi em pequenos pra ter mais números no ponto de vista da superfície eu não estou mudando muita coisa então a ideia que eu vou querer evitar esse tipo de subdivisão tratando o que a gente chama de superfície quadriculada reduzida reduzida significa que ela não é um recobrimento de um toro de área maior isso que eu escrevi aqui ou informalmente é simplesmente que eu não estou usando quadradinhas que daria pra colocar juntos e fazer um quadradão então sempre que possível eu vou estar fazendo esse post de que por isso teoria menos que eu vou enunciar a serem verdadeiras normalmente você tem que colocar seja S uma superfície quadriculada reduzida mas eu vou esquecer não vou citar isso explicitamente enunciado mas muitas vezes eu vou estar fazendo esse post de que não tem quadradinha repetido bom agora que eu já falei um pouco de superfície quadriculada e de exemplos agora chegou a hora de falar um pouco de uma ação importante que acontece nela que é a ação de SL2Z então tem esse grupo que é o grupo das matrizes 2x2 com entradas inteiras o SL2Z que ele é gerado por duas matrizes então por duas matrizes parabólicas uma que é triângulo superior que é essa aqui 1, 1, 0, 1 e a outra que é triângulo inferior 1, 0, 1, 1 isso vai ser discutido e o cantão já andou nos exercícios se ele tiver tempo é um fato bem interessante isso aqui é bom saber provar isso aqui tem um argumento de divisa e de descida que é bem interessante e a coisa interessante sobre esses caras além de gerarem a SL2Z é que eles estabilizam o toro quadrado o toro plano se você pegar o toro no plano e aplicar a matriz de T o que vai acontecer é o seguinte o 1, 0 é fixo o vetor horizontal é fixo e o vetor vertical enviado na diagonal e as identificações são assim então significa que as identificações no novo origem vai ser assim mas o que eu posso fazer é simplesmente cortar esse lado aqui então vou criar um novo símbolo e agora eu vou aplicar uma translação desse pedaço, desse triângulo para cá e eu vou reconstruir um novo cara que vai ter lados assim, vai ter uma diagonal azul assim e identifica assim que é o próprio toro como antes ou seja, a gente acabou de mostrar aqui aplicando essa transformação essa matriz do plano no toro não muda o toro não muda a estrutura topológica do toro em si, de fato o origem tá e de fato o fato da TIS estabilizarem o toro permite ver que o grupo SL2Z vai transformar origem e origem simplesmente porque qualquer elemento da SL2Z é um produto de TIS em uma certa ordem e cada aplicação de TIS vai transformar origem e origem tá e de fato a ação de TIS do ponto de vista combinatório não é nada misteriosa do ponto de vista combinatório TIS faz o seguinte como eu falei, ele pega o quadrado e transforma em algo assim se você chamar o novo quadrado que você obtém olhando para esse pedaço e antes de aplicar transformação a direita você tinha HI e após a transformação você vai continuar vendo HI certo agora verticalmente a coisa muda verticalmente em cima desse cara pra ir pra cima desse vermelho você tem que cruzar esse lado e ir pra cima, então você tem que ir nessa direção anti-diagonal e a direção anti-diagonal é a direção que você obtém fazendo H inversa V então o origem que você vai ver o quadrado que você vai ver em cima V inversa V tá o que eu escrevi aqui, ou seja o T do ponto de vista combinatório ele pega as permutações do seu origem e transforma simplesmente a horizontal ele não toca e a vertical ele multiplica por simetria e ver que o S faz o análogo, não toca no V que multiplica o H por V inversa e esse tipo de transformação em teria combinatória de grupos tem um nome que se chama transformações de Nilson porque elas foram introduzidas pelo Nilson para estudar geradores de grupos livres em particular ele provou que qualquer par de elementos que gera o grupo de F2 é deduzido da base canônica do F2 a partir transformações de Nilson tá e uma coisa interessante que direto da fórmula do T e do S você vê que essas operações preservam o comutador você só escreve o comutador V, H, V inversa, H inversa e troca H e V por esse novo par e reescreve a equação você vai ver que vai dar o mesmo valor para o comutador um particular pela minha definição de extrato que consiste a olhar a lista de ciclos não triviais você vê que a ação de SL2Z ela permuta superfícies quadriculadas dentro de um mesmo extrato ela permuta a superfície sem mudar o extrato tá então nesse contexto o que é que é o grupo de VIT o grupo de VIT é simplesmente o estabilizador do origami estabilizador no sentido que lembra origamis não são só pares de permutações que são equivalentes ou seja, às vezes eu posso aplicar uma transformação T obter uma permutação mas que é equivalente a anterior se eu posso fazer uma conjugação simultânea e obter anterior nesse caso eu estou estabilizando tomar só cuidado de lembrar que meus origamis não são diretamente as permutações mas permutações que são modo equivalente com conjugação simultânea então nesse contexto o grupo de VIT é o grupo que estabiliza o origami e o grupo de VIT por definição é um grupo de índice finito da SEL2Z porque se a gente fixa o número de quadrados só existe o número finito de pares de permutações e a ação da SEL2Z está permutando então a SEL2Z está agindo num grupo finito que é o produto de dois grupos centímetros SN e DSSN então o estabilizador é de índice finito e a gente de fato viu que o grupo de VIT do toro plano é SEL2Z porque a gente viu que as transformações básicas que geram preservam o toro isso não será a verdade em geral para qualquer origami por exemplo para o meu origami preferido em L que eu sempre desenho e eu aconselho vocês a tentarem descrever como é que a órbita por SEL2Z desse origami é simplesmente aplicar TES até exauri todos os origami dos três quadrados e agora vem a parte avançada dessa aula você não tem muita preocupação de entender não porque essa parte vai ser um pouco impressionista mas a gente vai detalhar nas aulas seguintes mas por que eu estava falando de extrato e por que eu estava falando dessa ação de SEL2Z é porque de fato os origami eles não são objetos que aparecem isolados eles fazem parte de uma família mais ampla que é a chamada família da superfície de translação então o que é uma superfície de translação em geral é a mesma receita de bolo do origami exceto que você vai trocar quadrados depois quer então você vai pegar uma família finita de polígonos cujos lados são apresentados com pares então digamos eu vou desenhar um polígono que eu não vou completar e eu vou desenhar um outro polígono não sei como mas a ideia é que eu tenha essa família e que os lados são apresentados em pares então o que significa ser apresentado em pares significa que para cada lado ele vai ter um gêmeo que esse gêmeo vai estar anormal apontando para dentro do polígono vai estar em direção à costa a ideia é que eu quero colar esses lados eu quero colar o cara com o seu gêmeo e na hora da colagem o que eu quero ver é uma vizinhança euclideana completa para ter uma superfície para fazer uma carta então a ideia é que tem uma família de polígonos tal que cada lado tem um gêmeo bem determinado e que eu posso colar esse gêmeo de maneira que cada ponto do lado fica com uma vizinhança euclideana inteira quando eu faço a colagem por translação o gêmeo por definição é um cara de mesma direção, mesmo tamanho então, em particular, eu posso colar por translação isso é o que se chama de superfície translação por definição como quadrada um polígono um origami é uma superfície translação e a superfície translação também possui singularidades cônicas ou seja, tem nos cantos dos polígonos vão ter certos pontos onde o ângulo total vai ser maior que o espi e isso permite de organizar essas superfícies de translação dentro dos estratos do mesmo jeito que eu fiz com os origamis simplesmente prescrevendo com essas ângulos nas singularidades e esses estratos eles possuem uma ação de SR2R agora eu estou tocando Z por R e por que esse esse estato por criaçação é simplesmente pelo seguinte se eu tenho uma família de polígonos com lados que vêm com seus gêmeos que são de mesmo tamanho e paralelos e eu aplico uma matriz a ação linear de uma matriz ela preserva o tamanho do vetor e a direção então pares de vetores com um certo tamanho e uma certa direção vão ser enviados em pares de vetores com novos tamanhos e novas direções mais iguais em particular se eu conseguir colar antes de aplicar uma matriz de SR2R eu consigo colar também depois isso prova que SR2R age nesse estrado e as optas de SR2R são bem interessantes porque esse estrato por enquanto eu defino como um conjunto mas uma coisa que é bem conhecida na geometria geológica normalmente quando você faz tudo direitinho é quando você olha para espaços que estão parametrizando objetos os próprios espaços adquirem a mesma estrutura do objeto o que eu quero dizer é o seguinte eu falei para vocês rapidamente que um origami e de fato uma superfície quadrocular ela vai ser uma superfície de rima com uma estrutura extra em particular uma variedade complexa um origami e de fato os estratos que estão parametrizando origamis eles mesmos vão ser um variety mais complexo vai ser quase uma variedade complexa e vão ser várias complexas que vão possuir essa ação de SR2R que é um grupo bem rico um grupo de dimensão 3 real e essas optas de SR2R a órbita típica se comporta de uma maneira bem louca dentro do extrato mas as optas que são fechadas são particularmente interessantes porque elas são isomorfas as superfícies hiperbólicas de área finita e de fato tem um teorema que é bem bacana que é o seguinte que a SR2R opta de um origami de fato é isomorfa ao consciente de SR2R pelo seu grupo de vídeo e isso aqui é uma estrutura interessante porque SR2R de fato o teorema geral é o seguinte aqui se você for para só SR2R optas que são fechadas elas se decompõem dois tipos seja ela é produzida por um origami e nesse caso o pessoal chama de curro de taximula aritmética aritmética por quê? porque o estabilizador vive dentro de SR2Z seja ela não é gerada por um origami e o pessoal chama de maritmética e por que essa nomenclatura de curro de taximula é simplesmente porque tem um teorema famoso do smiley que diz que essas SR2R órbitas é um pouco o princípio clássico que a gente aprende em matemática de que tem essa tricotomia entre grupo ação de grupo, órbita e estabilizador a órbita é o consciente do grupo pelo estabilizador é um pouco isso que está acontecendo aqui mas de maneira bem mais avançada mas a ideia é que essas outras fechadas elas são conscientes do grupo pelo estabilizador de uma superfície quando a superfície é um origami esse estabilizador vive dentro de SR2Z quando não tem origami no cara é uma rede dentro de SR2Z um subgrupo de com volume infinito mas que não é commensurado vai SR2Z ou seja, não divide se você pega esse grupo e interceptar com SR2Z eles não têm o que você vai obter não é um subgrupo de índice finito de SR2Z e por que isso é interessante é simplesmente porque no caso do toro se a gente aplica esse teorema a curva é bem particular entre os números que é a chamada curva modular porque SR2Z modula SR2Z você pode interpretar como sendo fibrado com agente initário a chamada curva modular que é o consciente do plano hiperbólico por SR2Z então a ideia é que SR2Z ou em geral SR2Z se você pega um matrix ABCD ela vai agir no plano hiperbólico que é o conjunto dos pontos que tem parque imaginário positivo vai agir por transformação de medos tá e é isso que eu estou falando então H é um objeto de dimensão 2 se eu fizer o cossino que por SR2Z obtenho ainda um objeto de dimensão 2 e se eu tomar o fibrado de agente initário eu tenho um objeto de dimensão 3 e a minha afirmação é que esse objeto de dimensão 3 é SR2Z SR2Z, desculpe bom, pelo menos as dimensões batem mas tem que fazer um pouco mais exercício do peso para checar mas a ideia é que esse objeto aqui aparece muito entre os números a curva modular é todo um assunto entre os números e a ideia é que os origamis tem curvas testimidas que são os finitos disso porque o grupo de VIT é um subgrupo de índice finito de SR2Z então é aquela dualidade se você pega um subgrupo de índice finito você toma o cossino e está fazendo um recobrimento exatamente isso que eu falei aqui então só para fechar essa aula vamos fazer isso tudo isso que eu falei agora, mas de maneira combinatória eu acho que vocês vão gostar mais a ideia é que essas curvas testimidas do ponto de vista combinatório elas não estão muito longe de grafos então como é que eu construo esse grafo eu vou transformar essa superfície de rima que esse estado não dá então a ideia é que eu vou pegar a órbita do origami por SR2Z eu falei que é um conjunto finito então vou listar todo mundo que está lá então esses vão ser os meus verdes e aí eu vou desenhar arestas sempre que eu consegui obter sempre que um origami for reduzido por outra partir do gerador do gerador de T e S por exemplo tá então digamos aplico T eu venho para esse origami eu aplico T eu venho para o A3, não sei depois eu aplico S talvez eu volto para mim mesmo e assim por diante tá e esse grafo ele tem relação com a curva da estimula porque ele é o que o pessoal chama ele é muito próximo não é exatamente, mas é muito próximo de ser uma espinha de uma superfície uma espinha é algo que você obtém quando você toma uma triangulação e olha para um esqueleto você basicamente é quando você faz uma retração da superfície em cima de um gráfico e esse grafo é o que eu estou tentando fazer é um pouco parecido com isso uma força de uma espinha com a ideia de que a curva modular que eu falei antes ela tem um domínio fundamental então se eu olho no semi plano superior ela tem um domínio fundamental bonitinho que consiste eu olho para o que está no exterior do círculo de raio 1 e entre as retas que passam por menos no meio e o meio então dá para checar o que o pessoal chama de domínio fundamental da S&C2z no sentido de que qualquer ponto que está aqui no meio se você olha para a outra por S&C2z ele é o único cara dentro desse domínio ele é o único cara da S&C2z dentro desse domínio então bastante um domínio fundamental um domínio que captura moralmente módulo, umas ambiguidades aqui nos bordos então basicamente se você quiser desenhar o perfil modular o desenho vai ser esse você vai pegar esse cara e vai fazer as identificações por um origami qualquer a curva deste meio vai ser um recobrimento disso e o gráfico desenha simplesmente o gráfico da adjacência desses domínios esse domínio que eu desenho aqui ele é basicamente um é um ele serve a fazer um ladrilhamento do plano interbólico e o que esse cara está fazendo para mim essa receita ele está simplesmente dizendo quem são os caras que estão quais são os os domínios que estão adjacentes no certo sentido a esse domínio fundamental por T e S então basicamente eu estou trocando a minha curva de testemunas que é um objeto que bom é interessante porque conecta com a geometria hiperbólica e é uma conexão interessante mas se você quiser pensar totalmente de modo combinatório o que está acontecendo é simplesmente isso por exemplo, para os origamis está conectando eles segundo os geradores de ACM2Z que você escolheu e obtendo um grafo e esse grafo basicamente se você engordasse ele um pouquinho iria reproduzir a curva de testemunas no certo sentido acho que eu estorei o tempo, não sei mas acho que é um bom momento para parar da próxima vez eu prometo que eu vou voltar para a terra no sentido de que eu tenho que falar um pouco dessa conexão com objetos mais avançados como a geometria hiperbólica e esses orbitos que aparecem mas na próxima aula eu vou voltar para a terra então vou falar só de combinatória basicamente só de permutações e origamis como permutações e cifricos e bom obrigado por atenção desculpa seu passeio do tempo e bom espero as perguntas de vocês muito muito graças e não tens passado o tempo porque has hablado por 49 minutos acho que exatamente 50 minutos perguntas comentários você pode fazer uma pergunta você pode voltar pode voltar atrás você comentou que tem um espaço de estratos eu acho que e você falou que as órbitas são as surfaces hiperbólicas fechadas as órbitas fechadas são as surfaces hiperbólicas de volume infinito elas podem ser compactas não elas nunca são compactas isso é um resultado do vit de fato a gente viu um exemplo não compacto que é justamente as que são obtidas pelo origami eu acabei de dizer que as que são obtidas por origamis elas são recobrimentos finitos da curva modular e a curva modular não é compacta por causa dessa parte que é para o infinito de fato a curva modular ela é se você for olhar para essa figura você pode ver que isso é um domínio fundamental isso é o que você pode encontrar demonstrado no livro do ser o curso da arithmetic por exemplo mas se isso é um domínio fundamental basicamente as únicas identificações que você tem que fazer são assim a aplicação t como a matriz é 0101 a ação no plano hiperbólico é simplesmente z vai em z mais um sobre 0z mais um então esse lado é identificado com esse e tem uma outra matriz que você pode usar que é 0-1 0 que é uma inversão e aí esse lado vai ser colado com esse lado aqui vai ser colado com esse se você fizer as identificações você vai ver uma esfera vai ter esse ponto aqui que é o I esse ponto aqui que eu vou chamar de J que é exponencial 2 pi sobre 0z então vai ter o I vai ter o J e a superfície para o infinito então essa superfície não é hiperbólica não é compacta qualquer cobrimento não pode ser compacta e de fato isso é geral a ideia é que qualquer superfície fechada ela vai ser a órbita no extrato fechada pelo cociente de SL2ZR por um grupo G que é uma rede não compacta e ele é ah ok, não é compacta não é compacta então não pode ser hiperbólica não, não, não é exatamente isso aqui é, o que me serviu foi o bit e isso é bastamente porque você tem muitos elementos parabólicos nesse car enfim, a resposta é simple não é compacta mas sempre vai ter volume infinito hum obrigado e de fato tem um teorema bem recente que que diz o seguinte, que mesmo que a órbita não seja fechada que vai ser o caso típico se você tomar o fecho da órbita esse fecho vai ser uma subvariedade ao G e isso é um teorema que combina os resultados de ESC em Mizarra, Mohamed e Simeon Felipe mais bom muito obrigado muito obrigado novamente e eu acho que podemos passar diretamente ao quarto e último curso