 اسلام علیکم لیکچر نمبر 2 کل کلس one کے ساتھ میں حاضروں پھر سے امید ہے پہلہ لیکچر انجائبال ہوگا آپ کے لیے You enjoyed that lecture I certainly did تو before we start talking about لیکچر نمبر 2 تھوڑا سر view کرتے ہیں کہ پہلے لیکچر میں ہم نے کیا کچھ دیکھاو کیا باتیں کیا پہلے لیکچر میں ہم نے دیکھا کہ real numbers کیا ہوتے abstractly speaking کے set theoretically what are real numbers یہ بھی دیکھا ہم نے کہ what is the order of a real number اور اس کے لائے ہم نے این equality دیکھیں we also saw what is a what we call an interval تو یہ کچھ چن تھی دیتے ہیں جو ہم نے دیکھیں تھی امید ہے آپ اس سب کو یاد رکھیں گے it's very important stuff introductory lecture تھا basic stuff from algebra تو اس کو سب کو امید ہے آپ سب یاد رکھیں گے اس کو آئیے اب بات کرتے ہیں لیکچر نمبر 2 کی تو اس لیکچر میں دیکھتے ہیں اب ہم کیا باتیں کریں گے تو سب سے پہلہ آپ کو اندوڈکشن دیتا ہوں میں کہ what exactly it is that we'll be talking about in this lecture basic idea جو ہے اس لیکچر کا وہ ہے absolute values what is an absolute value of a number that will be the first thing we'll see اس کے بعد ہم یہ دیکھیں گے کہ absolute value کے ساتھ ساتھ کچھیں ایک quality ذکر کرتی ہیں mathematics میں ان کو کیسے solve کیا جاتا ہے پھر ہم ایک بہتی important theorem دیکھیں گے ایک square root the positive square root of a number کوئی ایک real number کے that absolute value of that number کے ساتھ you want to relate the positive square root of a real number with the absolute value of that real number یہ بھی ایک چیز ہم دیکھیں گے اور اس کے بعد میں آخر میں سب سے ایک بہتی زبردست کہنا چاہیے اور بہتی important theorem mathematics کا ہے اور وہ ہے the triangle inequality that will be the third thing or the last thing we'll see at the end of this lecture تو یہ کچھ introduction تھی سارے لیکچر کی تو شروع کرتے ہیں absolute value سے absolute value of a real number کہ اس کی کیا definition ہے کیا مخصر تھے تو اس کی میں definition آپ کو دیتا ہوں ابھی screen پہا رہی ہے what is the absolute value of a real number definition is the absolute value is defined actually in two ways اور screen پہا بابی دیکھئے گا it's defined as a the absolute value of the real number a is equal to a if a is bigger than equal to 0 یا if a is greater than equal to 0 اور in other words جسے ہم کہتے ہیں کہ it's a positive number یعنی یہا تو 0 ہوگا a یا پھر ایک positive number دوسری اس کی definition ہے وہ ہے the absolute value of a is equal to minus of a or minus of the real number a if a happens to be a number less than 0 یعنی ایک negative number ہے تو یہ definition ہے آپ کی absolute value کی تھوڑی سی ٹیکنیکل لگتی ہے مشکل لگتی ہے لیکن اس کی ایک سامپل ہم کریں گے تو I think it will become very obvious کہ بہتی سمپل سی وہ ہے definition اور بڑے رام سے اس کو سمال کے جا سکتے ہیں تو میتہمیٹکس میں عام طور پہ یہ ہوتا ہے کہ something looks difficult unless you look at one example and things turn out to be very easy تو بجائے درنے کے کسی چیز سے میں ابھی سے بتا رہوں تا کہ ہم سب تیار رہیں کہ بہتی چیزیں ہم دیکھیں گے میتہمیٹکس میں آگے چل کے بلکے جب کالکلس کی بات ہوگی they might look difficult but once you try them you will see that they are very easy تو آگے چلتے ہیں اس کی ایک سامپل دیکھیں کہ what this definition means in terms of evaluating the absolute value of a real number اس سے پہلے ایک سامپل دیکھیں اس کی absolute value کی ایک چھوٹا سا ٹیکنیکل point ہے جو میں کلیر کرنا چاہتا ہوں explicitly I want to define this or stated ایک ترمینولوجی ہے بیسکلی ہم کبھی کبھی دیکھیں گے کہ اگر ہم بات کرتے ہیں کسی real number کی جو zero سے بڑا ہے یہ اس کے برابر ہے in other words if a real number a happens to be greater than or equal to zero تو ہم کہتے ہیں کہ یہ number non-negative ہے یعنی یہ positive بھی ہو سکتا ہے یا zero کی برابر تو اس کو ایک ترمینولوجی ہے کہ ہم کہتے ہیں یہ non-negative number ہے لیکن اگر کوئی number strictly greater than zero ہو یعنی a is greater than zero تو ہم کہتے ہیں کہ یہ number positive number ہے تو یہ صرف ایک distinctions ہے جہاں پہ ان ایک quality میں equality allowed ہوتی zero کے ساتھ تو ہم سے non-negative کہتے ہیں number اور جہاں پہ strictly greater than zero ہم اس کو positive کہتے ہیں یہ ایک چھوٹیسی ترمینولوجی اور ٹیکنیکل بات ہے جو آگے چلکے ہم استعمال کریں گے تو میں نے کہا تھوڑا some mention اس کے بارے کر دیا جائے ضرورا آئی آپ دیکھتے ہیں کیا ہے ایک سامپل ہے جی کہ absolute value of 5 equals 5 absolute value of negative 4 over 7 is equal to the negative of negative 4 over 7 which happens to be 4 over 7 اور تیسریس میں ایک سامپل ہے zero equals absolute value of zero equals zero تو اس میں پہلی والی ایک سامپل ہے آپ دیکھیں کہ absolute value of 5 is equal to 5 اس کا کیا مطلب ہے وہ سمپل سی بات ہے ایک سامپل ہے the absolute value of 5 we should probably work with the definition right which we just stated تو اس کی definition میں آپ دیکھیں تو اس میں آپ نوٹ کیجئے کہ 5 کس کتگری میں آتا ہے is it a number greater than equal to zero or less than zero obviously it's greater than equal to zero لحاظہ by definition the absolute value of 5 will be just that number itself 5 that's how we defined it لیکن جب ہم next example دیکھتے ہیں نگریف 4 over 7 کی تو اس میں by definition آپ نوٹ کریں کہ negative 4 over 7 is less than zero تو اس کے حصاب سے absolute value کی definition کہتی ہے کہ we should multiply that number by a negative one that's exactly what the second part of the definition said کہ اگر کوئی number zero سے چھوٹا ہے یا in other words negative ہے you just multiply that number with a negative one تو ہم وہ کرتے ہیں تو we see that negative one is negative 4 over 7 یا negative of negative 4 over 7 turns out to be positive 4 over 7 کیونکہ negative one multiplied by negative is always positive that's how we get the second example or the third example تھی the absolute value of zero اس میں کوئی بڑی بات نہیں کیونکہ اس کے اندر دیات کریں کہ دیکھیں اگر آپ نوٹ کیجے کہ absolute value of a was defined to be a if a was greater than or equal to zero تو یہاں پہ چونکہ ہماری a کی value zero ہے تو we just get absolute value of zero equal zero تو nothing big no big deal basically nothing important or nothing fancy happening just trivial stuff تو اس absolute value کا مخصت کیا ہے یا نہیں ابھی ہم نے example دیکھیں تو نوٹ کیجے کہ definition کو مدنہ زرکتے ہیں if you keep the definition in mind تو نوٹ کیجے کہ اگر آپ کسی بھی number کی absolute value لیں تو result ہمیشہ positive آتا ہے یا نہیں اگر آپ کا original number جس کی آپ تو result اس کا آیا positive five یا نہیں the same number if the number was positive to begin with the result after you take the absolute value will be positive اور اسی طرح سے اگر آپ ایک negative number لیتے ہیں اور اس کی absolute value لیں تو اس absolute value کا مخصد ہوتا ہے کہ وہ ساری جو آپ کا number negative تھا اس کا negative sign جیس کو strip away کر دے the absolute value strips away the negative sign on a negative number so the result is always positive یہ تو ایک basics and understanding کیلئے ایک اس کا explanation تھی کہ absolute value ہی سال میں کرتی کیا ہے ہم نے definition دے کی بڑی اچھی definition ہے kind of complicated لیکن آپ کی examples کریں تو result یہ نکلا کہ just by using the definition an absolute value takes a real number and always outputs a positive number ایک inequality یہاں پر میں لکھ رہا ہوں سکرین کے اوپر اس کو آپ دیکھ لی جے یہ inequality ہے if you take a real number the negative of that real number a is less than equal to the absolute value of a and the absolute value a of a is less than equal to positive a it's a cute statement inequality I'll let you prove it yourself اس کو ہم prove نہیں کرتے لیکن it's pretty simple ہے definition سمال کرتے ہوئے absolute value کی آپ شو کر سکتے ہیں یہ صحیح result ہے ایک چھوٹا سا ایک technical support اور جس کے بارے میں بات کرتے ہیں وہ یہ ہے کہ اگر آپ کے پاس positive number 1 ہے اگر میں کہتا ہوں ایک real number ہے a تو ہمیں معلوم نہیں کہ یہ a تو ہے لیکن کیا یہ negative ہے یہ positive ہے I mean اگر میں کہتا ہوں a is a real number it could be minus 3 it could be positive 3 depends on what the value is لہذا مقصد کہہنے کہ if I say a is a real number don't assume automatically that's a positive number just because there's not a negative sign alongside with that a مثال کے طور پر اگر میں کہتا ہوں کہ 4 تو what I really mean is plus 4 positive 4 لہذا یہ ایک positive number ہوگا لیکن اگر میں کہتا ہوں minus 3 obviously there's a sign alongside with that that will be a negative number so really what I'm saying when I say negative 3 I'm saying positive parentheses minus 3 that's how you basically distinguish between a positive and a real number when you're given an abstract لیکن اگر میں کہتا ہوں a is a real number it could be positive or negative یعنی don't be tempted to say that a is negative if I say a negative a it may be that the final result is positive because if a is negative then minus a will be a positive number and if a was if I gave you just a by itself and a happens to be a negative number then the final result will be a minus a or negative number so just a little technical point we need to keep in mind this is a subtle thing hopefully we'll keep it in mind when we talk about absolute value further کیونکہ یہ چھوٹا سا point یہ کافی problem کرتا ہے کوئی students کے لیے so we'll keep that in mind let's do an example an example کرتے ہیں involving absolute values تو یہ example ہے جی کہ find the or solve the following equation absolute value of x plus 3 is equal to 4 تو ہم نے میرے خال سے ہم سب جانتے ہیں کہ اگر خالی میرے پاس ایک بیشن ہوتی x plus 3 equals 4 میں بڑے رامستی 3 کو دوسری سائٹ پلے جاتا اور I would have subtracted 3 from both sides and the result would have been x equals 1 لیکن یہاں پر absolute value involved ہے تو how do we solve this looks intimidating لیکن گفرانے کی بات نہیں as long as you remember the definition of absolute value everything is easy جاں ہوتی آت پڑتا ہے جب میں یہی کورس لیتا تھا algebra car beginning first course in calculus for a long time I could not come to terms with absolute value اور اس کی وجہ صرف یہ تھی کہ میں definition یاد نہیں رکتا تھا یعنی یہ کہنا تو بڑا سان ہے کہ absolute value of a number is always positive but when you solve examples you have to remember the definition تو گو کہ میں آپ کو تھوڑ دیر پہلے کہ بتایا کہ absolute value basically gives a positive number no matter what the input is you should also keep in mind that that's an easy way to work with absolute value sometimes but when you solve equations involving or inequalities involving absolute value we have to work with the definition of absolute value so let's do that تو کسٹن یہ تھا کہ solve x plus 3 absolute value equals 4 so let's start solving that here are some steps definition کو اگر آپ یاد کریں تو remember that x minus 3 will play the role of that real number a in the definition so when we use that definition we get x minus 3 absolute value will equal to just x minus 3 if x minus 3 is greater than equal to 0 and it will equal to minus of the quantity x minus 3 میں نے اس پرانتسیز میں لکھا ہے because the minus is multiplying the whole quantity x minus 3 and that will happen if x minus 3 is less than 0 یہ میں نے کیسے گیا basically by definition of absolute value تو اگر ابھی اس کو اپنے کیا اپنے کیا لکھ لیا ہو جلدی سے یہ ٹیکسپوک میں لکھا گا definition کیا اس کو رفرکل لیجے and note that this is exactly what will happen let's move on just by the definition of absolute value of a real number what can we say now well just by that definition we can say that what we have written down on the screen and now let's try to solve it we have two equations to solve in the first part we have that absolute value of x minus 3 is equal to quantity x minus 3 تو اس کا مطلب یہ ہوا کہ x minus 3 will equal to 4 in the first case or in the second case it will be minus of the quantity x minus 3 will equal 4 کیونکہ یاد ہے آپ کو کہ original problem یہ تھی کہ absolute value of x minus 3 should equal 4 تو working with that let's see if we can solve this لیکن یہ تو بڑا سان ہے it's very easy in the first case we have x minus 3 equals 4 very simple add 3 to both sides and you get x equals 7 in the second case we have minus of the quantity x minus 3 equals 4 تو اس کو سال کرنا بھی بڑا سان ہے you multiply throughout the equation that's given to you by a negative one to simplify things a little bit اور آپ کے پاس results آتا ہے x minus 3 equals minus 4 and now you just add 3 to both sides just like we did before اور آپ کے پاس results آتا جائے گا x equals 4 minus 4 plus 3 which is negative 1 تو آپ کا سلوشن جو آیا اس ایکویشن کا absolute value equation جو آپ کو سال کرنے کو دیتی x equals 7 and x equals minus 1 تو یہ دونوں نمبرز جو ہے 7 اور minus 1 اگر آپ اپنے original inequality میں ڈالیں گے تو آپ کا صحیح result آئے گا you'll get a true statement basically that was a very good example I think let's move on and see if we can do another one here's another example اس کو سکین پہ میں لکتا ہوں آپ دیکھئے example ہے the absolute value of 3x minus 2 is equal to the absolute value of 5x plus 4 یہ بڑی کچھ интересی example ہے کیوں اس لیے کہ اس میں equation تو ہے آپ کے پاس لیکن دونوں سائیڈوں پہ you have absolute values پہلے تو ہم نے دیکھا تھا کہ ایک سائیڈ پہ absolute value تھی this سائیڈ پہ just 4 تھا by itself no absolute value now you have to absolute value quantities equating each other equal to each other how do we tackle this اس کا سیمپل سی بات ہے کہ you can always work with the definition آپ اسے کر سکتے ہیں کہ you take the first part which is 3x minus 2 and take 3x minus 2 and the absolute value and apply the definition of absolute value to this quantity or then expand it and do all the algebra and you'll get it all worked out nicely I will let you do that as an exercise the student should always have something to do so I'll let you do that I'm sure you're enjoying all this extra work I give you لیکن I'll make it easy for you actually I'll show you how to do it in a simpler way کیوںکہ ماثیمیٹکس میں یہ ایک concept ہوتا ہے کہ you want to take shortcuts whenever you can اس کی وجہ یہ میرے ایک ٹیچر تھے when I was in America my differential equations in the course he used to say that a good mathematician is a lazy mathematician سو I hope you take that to heart and use it to good purpose we shouldn't get lazy for for wrong purposes but whenever we can we should be for good purposes یہ تو ایک بڑی سمپل سی باتی کہ we should be lazy mathematicians fine using that let's see if we can actually I can show you a quick way to do this problem you note کی جیے کہ if you have two numbers in the absolute value and they are equal to each other if the absolute value of two numbers is equal to each other then those two numbers inside the absolute value have to differ only in sign or they must be equal for example absolute value of 4 is equal to the absolute value of 4 of course and also notice that absolute value of 4 is equal to the absolute value of negative 4 تو یہ وہی باتے جو میں پہلے گئی تھی کہ اگر دو numbers absolute value میں برابر ہیں تو یہاں تو وہ ایک نمبر ہوگا یہاں دفر کرے گا تو صاین میں کرے گا just by this example also I think it should be clear what I mean تو اس فکت کو ہم استعمال کیسے کر سکتے ہیں اس problem کو اس example کو solve کرنے میں well بڑے سمپل note کی جیے کہ جو origin problem تھی اس میں left hand side quantity جو absolute value میں ہے وہ برابر ہے to the right hand side quantity in the absolute value تو آپ کہ سکتے ہیں کہ جو ایک side سے if you remove absolute value تو it will be equal to the other one or it'll differ by a sign تو بیسکلی what I'm saying is کے on the screen you'll see right now that 3x-2 is equal to 5x plus 4 or 3x-2 is equal to minus of the quantity 5x plus 4 تو this is just the same you know rule that I followed that we just saw earlier with the 4 and negative 4 تو یہاں تو بڑا سان ہوگیا کام we don't have to use the definition of absolute value I'm being a good mathematician being a lazy mathematician تو ان دونوں ایکویشنز کو ہم solve کرتے ہیں تو ہم اپس result آجائے گا جو ہم دوننا چاہ رہے ہیں x کی value اس کا تو آئی اسکین پر دیکھتے ہیں کہ کیسے ہم کرتے ہیں اس کو تو ہم اپس result آگا 3x-5x in the first case جو ہم first equation لیتے ہیں تو result ہم 5x کو move کر سکتے ہیں on the left hand side اور باقی جو constant سے ان کو 1 side پلے آتے ہیں تو we get 3x-5x is equal to 4 plus 2 اس کے بعد do the algebra you get اور the arithmetic you get minus 2x equals 6 اور پھر simply divide both sides by the appropriate numbers to get x equals minus 3 تو یہ بہتی quick way تھی پیرا پارٹ تو at least ہم نے solve کر لیا similarly ہم next part بھی کر سکتے ہیں and I'll leave it up to you as an exercise simple algebra ہے and I think you can do it لیکن point یہ تھا کہ we can appreciate the idea of being a lazy mathematician because مجھے گی بات یہ ہے کہ ہم کہہتا رہے ہیں کہ lazy mathematician لیکن you notice that being lazy you're actually being very ingenious and you have to do a lot of thinking so I hope you keep that in mind when you try to be lazy in terms of doing mathematics آگے اب next topic آتا ہے بڑا important fact ایک fact ہے اس کے بارے میں بات کرتے ہیں اس کے fact کے اندر relationship بتائے جاتی ہے between the absolute value of a real number and the positive square root of a real number اب یہاں پہاں تھا رفیو کرتے ہیں کہ what is a square root and what is a positive square root نوٹ کیجئے کہ if I give you a number say for example یہاں پر میں آپ کو دیکھاتا ہوں بھی کہ a equals b square yes similarly we can say b square equals a for example if we say that a equals 9 then the question is کہ what should b be in order to satisfy this above equation that we just wrote down تو یہ بڑا سمبر سا اس کا جواب ہے کہ b must be equal to 3 کیونکہ اگر تو میں پس a کی value آجاتی ہے 9 لیکن we have to be careful یہاں پہاں ہونے کی وجہ یہاں کہ نوٹ کیجئے b کی call value ہو سکتی ہے which is minus 3 and that also works because if you square minus 3 you also get 9 so basically the point is that every positive real number has 2 square roots تو یہ دو square roots ہم denote کیسے کرتے ہیں we will write it down symbolically we will say square root of a اس کے دو values ہوتی ہیں دو square roots ہوتے ہیں ہر نمر کے اور ان کو ہم ایسے لکھتے ہیں symbol is کا screen پر بھی آپ کے پاس آرہے square root of positive square root of a and the negative square root of a اس میں بس سمپل سی بات یہ ہے لیکن یاد رکھتے ہیں کہ square root جو ہے وہ دو values ہوتی ہیں ایک positive اور ایک negative اب consider کرتے ہیں the square root of a square تو what is that going to be یعنی نوٹ کیجئے کہ اگر میں اسکرین پر جیسے لکھا ہے کہ square root of a square اور میں کہتا ہوں یہ براہ بھر ہے a کے would I be right in saying that would I be correct to say that اس کے بارے میں تھوہا سوچتے ہیں let's look at the screen and see what we are saying اگر میں کہتا ہوں کہ square root of a square is a تو the statement basically is saying that the positive square root of the square of a number is equal to that number but is that correct so let's take an example what happens if a equals negative 4 well if we take that a equals negative 4 and plug it into the original equation we have on the screen we will get square root the positive square root of minus 4 quantity squared is equal to the positive square root of 16 which is equal to 4 but that's not equal to a remember a was negative 4 so this is certainly not a true statement I mean there must be something wrong with this statement we just wrote down which is that the positive square root of a square equals a تو اس کو دیکھتے ہیں کہ maybe we can modify it somehow and see if we can get some more information out of it so going back to the screen ہم نے جو original equation لکھتی وہ ایک true mathematical statement بن جائے تو اس کو ہم screen پے لکھتے ہیں theorem 1.2.2 theorem کہتا ہے کہ جی for any real number a the positive square root of a square is equal to not just that number but the absolute value of that number a that is for every real number a the absolute value of a is equal to the positive square root of a square مثال کے طور پہ ہم کہتے ہیں کہ square root of negative 4 the positive square root of negative 4 quantity squared is equal to the positive square root of 16 which is equal to 4 which is also equal to the absolute value of minus 4 by definition of absolute value لہاہتا that's a true statement so یہ کچھ again it's a technical point but which is a very important technical point it's not just something we can ignore تو یہ بہت powerful theorem ہے it actually helps us in proving many things later on in calculus جب ہم derivatives کی بات کریں گے so we'll use this result a lot to find the derivative of some functions and stuff like that اس کو پھر سے دیکھئے اور غور کریں اس کے پر اپنے اپنے آپ کو کننس کریں گے that's a true statement اچھا اب ایک اور تھیورم آپ کے ساملے سکرین پہا رہا ہے اس لیکچر میں تھیورم سواصے and I'll just throw them at you very frequently so I hope you don't mind so here's another one on the screen تھیورم 1.2.3 if a and b are real numbers then first statement the absolute value of negative a is equal to the absolute value of a basically that's saying that a number and it's negative have the same absolute value well obviously that's true just by you know what we know intuitively about absolute value statement number b says the absolute value of the product of two numbers say we have two numbers a times b then we take the absolute value of that it's equal to the product of the individual absolute values of a and b so basically it's saying the absolute value of a product is the product of the absolute value absolute values and statement c says that the if you have two real numbers a and b and you divide them you take their quotient or you take their ratio then the absolute value of that ratio is going to be the ratio of the individual absolute values before we try to prove this thing let's look at a few examples to understand کیا کیا رہا ہے تھیورم so here's an example of the first statement absolute value of negative 4 is the same thing as the absolute value of 4 we use this result remember to prove something else earlier simply to two actually solve the equation we saw earlier so this is a very simple example of this key part b کیلئے let's take the example 2 times minus 3 is the result of that is minus 6 and if I take the absolute value of that I get 6 but that is exactly the same thing as the product of absolute value of 2 multiplied by the absolute value of negative 3 which is 2 times 3 again and the result is 6 and for part number c let's look at the example of the absolute value of 5 over 4 well the absolute value of 5 over 4 is first of all just 5 over 4 but remember 5 is the same thing as absolute value of 5 and 4 is the same thing as absolute value of 4 so we get 5 over 4 equals absolute value of 5 divided by absolute value of 4 which is again just equal to 5 over 4 so that's also a true statement and by example we have seen you've gotten a flavor of what that theorem is saying تو دیکھتے ہیں کچھ پروف کرتے ہیں اس تھیرم کو تھوڑا سا اچھا اسکرین پر اب آپ یہ اس کا تھیرم کا پروف part a کیا دیکھئے براہ سمپل سا پروف ہے کہ the absolute value of negative a is equal to the positive square root of negative a squared which is the same as the positive square root of a squared but that's just equal to the absolute value of a from theorem 1.2.2 جو ہم نے پہلے دیکھا تھا یہ بڑا یہاں پر آپ دیکھلے جے کہ 1.2.2 کتناہمپوردن تھیرم ہے and why we actually use it many times in proving other proofs proof of part b is on the screen and I will let you look at it and convince yourself of that اچھا اس میں دیکھئے part b کا جو پروف ہے اس میں part c کا جو پروف ہے اس میں division involved ہے لیکن ہم implicitly assume کرنے کے b جو denominator ہے وہ 0 کی برابر کبھی نہیں ہوسکتا کیونکہ ظاہر I remember from the first structure کہ division by 0 is not allowed and if b was equal to 0 then we will be in trouble تو we will ignore that case where b equals 0 اور آج کے باس سے ہمیشہ کے لئے ہم کہاں گے جب بھی division کی بات کریں گے we will talk about b or division by 0 not allowed یہاں پہ ایک اور کچھ results میں لکنا چاہوں گا کہ part b جو by the way of theorem 1.2.3 ہے اس کو آپ جنرالیز بھی کر سکتے ہیں یعنی اس میں ہم نے product of 2 real numbers دیکھے تھے اگر میرے پاس product of n real numbers ہے یعنی کوئی میرے پاس n many numbers ہیں a1 سے لے کے a subscript n تک تو ان کا product جو اگر میں لوں under absolute value تو I will get the absolute value of a subscript 1 by a sub 2 all the way to a sub n will equal to the absolute value of all individual numbers اور یہ سکین پہ آپ دیکھ لی جی یہ result اس کا یہاں پہ اس کو prove بھی آپ کر سکتے ہیں of course it's a true fact I'll let you prove it maybe you can use part b of the previous theorem as reference and prove this اور ایک اور result جہاں وہ یہاں ہے کہ جی the absolute value of a raise to the power n again I'll let you have fun with this and prove it yourself اب absolute value کو تھروسا concrete کر لیتے ہیں ابھی تک تو ہم نے اس کو definition دیکھی اس کی theoretical abstract level پہ ہم نے بات کی کہ absolute value ہوتا کیا ہے let's see if you can make it concrete زیرہ we want to look at applications also تو اس میں absolute value جہاں وہ distance fast لے کی جہاں ہم بات کرتے ہیں in real life جہاں ہم fast لا ناپتے ہیں or distance measure کرتے ہیں تو absolute value comes in naturally it plays a very natural role اور وہ کس طرح سے note کیجے کہ absolute value جہاں ہم نے define کی تھی تو ہم نے گا تھا کہ absolute value of a number is always positive really that's what absolute value did تو مخصد absolute value کو استعمال کرنے کا in terms of measuring distance یہ ہے کہ the absolute value of a number is always positive and so is the distance between two points مثال کے طور پر اگر میں اسلام آس الہر جیسے آتا ہوں اگر میں لیکچر دینے کے لیے تو when I travel from سلام آس الہر I travel 300 km approximately اور میرا جو اوڈو میٹر on the car reads 300 km once I get to الہر اب when I start moving back towards سلام آس الہر اگر میں اپنا اوڈو میٹر 00 پر سیٹ کر لیتا ہوں تو again my اوڈو میٹر reads 300 یہاں اگر میں سیٹ نہیں کرتا تو my اوڈو میٹر would have read 600 km by the time I reached سلام آس اس کی وجہ یہ کہ when I move back to سلام آس دسٹنس is measured in positive values always there is no such concept of negative and there is no reference in terms of negative distance کہ پہلے کون ساتھا آتا ہے بعد میں کون ساتھا ہے تو again distance is always positive similarly so is absolute value and we will see how we can define distance in terms of absolute values so let's see how that's done a screen let's define it as say we have two points capital A and capital B let's call it A and B and the coordinates on those two points are the numbers A and B small A and small B because distance is non-negative which is well we said it's positive but really it's non-negative because it may be 0 I mean if the same we measure the distance between the same point and distance could be 0 and so by that keeping that in mind we have that the distance between A and B is defined as or is going to be B minus A if A is less than B it's going to be A minus B if A is greater than B and it's going to be 0 if the two points equal to each other which is exactly what I said a while ago in the first case B minus A is positive so B minus A is equal to the absolute value of B minus A just by definition right we all know that's if you have a positive number the absolute value is always positive similarly in the second case if we have where we have A is greater than B B minus A would be negative because A is greater so A minus B will equal minus of B minus A and that just happens to be the absolute value again of B minus A thus in all cases we have the following result Theorem 1.2.4 and we call it the distance formula we will write it down if A and B are points on a coordinate line with coordinates A and B small A and B respectively then the distance between D between A and B is defined as D equals the absolute value of B minus A this formula all which is actually given to you on the screen provides a useful geometric interpretation of some common mathematical expressions and you have them like this thing you can see common mathematical expressions in the table this will also come in front of you on the screen this is the table in front of you we have put some simple facts in front of you some geometric interpretations of absolute values and distances so you look at this carefully convince yourself of these facts and do some examples that might be helpful in terms of understanding these concepts in this table we see some absolute value inequalities i.e. for example we have absolute value of X minus A is less than K for example or similarly another case opposite case is that X minus A absolute value is greater than K here A and K are real numbers and X is just a variable so these inequalities will show us a lot in the future mathematics so let's do some examples of these let's see if you can solve them so here's some examples of these types which are in front of you let's look at them the first example is solve X minus 3 absolute value less than 4 if you refer this in the table which was on the screen just now note that you can rewrite this inequality as negative 4 is less than X minus 3 quantity and that is less than 4 we solve an inequality like this in the first lecture if you remember we solve this in the same way and the way is if we add 3 throughout the inequality we will be left with X is between negative 1 and 7 or that will be your solution that exactly is going to be your solution to the inequality so the numbers between negative 1 and 7 are the numbers which if you plug into the original inequality will satisfy that inequality or make it true and you can try that actually and the result can also be written as interval notation as parentheses negative 1 comma 7 its figure you can see the geometric interpretation of this result has also been given so this example we just saw so I hope you enjoyed it I know you are enjoying it so far it's all very a lot of fun stuff because you are enjoying it so much so how about another one so let's do another example just to make it you know this whole idea much more clearer examples کرنے کا and the purpose of practice is that in mathematics practice is very essential so the more you do the more you learn and the better you get at math so let's do another example so that you can practice and hopefully you will get a better grasp of the whole idea that we are trying to convey come let's see the next example so this is an example solve the absolute value x plus 4 is greater than or equal to 2 اچھا تو اس کو کیسے solve کریں گے یعنی ہم ایسے سلوشنز جھونڈ رہے ایسی values جھونڈ رہے x کی کہ سچتا جاگر اس کے اندر ہم دالتے ہیں اس absolute value میں تو result true آتا ہے تو اب جو table تھا ہمارے سامنے پہلے ہم نے دیکھا تھا تھوڑی در پہلے اس کو اگر آپ رفر کریں پھر سے تو آپ کی book میں بھی دیا ہے بلکہ تو ابھی helpful ہوگا if you can keep it in front of you right now quality ڈیوی اس کو آپ دو طریق سے لکھ سکتے ہیں first of all x plus 4 is less than or equal to negative 2 or x plus 4 is greater than or equal to 2 یہ دیفنیشن جو table میں دیو اس کے ساب سے ہم نے expand کیا ہے اس کو اب دیکھئے کہ اگر میں subtract کرو 4 ان دونوں میں سے اوپر نیج جو لکھی نہیں ہے so subtract 4 from throughout the inequalities both the top and the bottom one then I will get the result x is less than or equal to negative 6 or x is greater than or equal to minus 2 اس کو اگر ہم انٹرول نوٹیشن میں لکھیں جو ہم دیکھ چکیں پہلے لیکچر میں تو رزلٹ ہم لکھیں گے پہلہ جو ہے کہ x is less than or equal to minus 6 تو وہ بیسکل کہانے کا طریقہ یہ کہ آپ minus infinity سے کیوں سے شروع ہو رہیں اور آپ 6 پجا کے رک جاتے ہیں اس میں equality allowed ہے remember negative infinity to minus 6 bracket because 6 is included اور next والے کا آپ لکھ سکتے ہیں x is greater than or equal to negative 2 کو نوٹیشن میں اس کو اس طرح سے انٹرپریٹ کیجئے کہ آپ minus 2 سے شروع کر رہے ہیں اور positive سائٹ پر یعنی greater than or equal to greater than or equal to تو وہ ہوں گے all the way to positive infinity تو اس کا انٹرول بنے گا bracket negative 2 because quality allowed comma positive infinity parentheses چونکہ آپ کو سلوشن دونوں کا چاہئے اور سٹیٹمنٹی یعنی پہلے کا سلوشن یا دوسرے کا تو آپ اس کو union کے طور پر لکھ سکتے ہیں union of these 2 انٹرولز تو geometrically speaking اس میں یہ نوٹ کیجئے کہ آپ نے جو ابھی solve کین equality اس کا ایک اور طریقے سے geometrically interpret کرنے کا طریقہ یہ ہے کہ اس کین پر اگر آپ پھر سے دیکھیں تو اس کا طریقہ ہے اس کو کہہ سکتے ہیں آپ کہ the solution for this inequality پہلے تو اس کو آپ اسے ریرائٹ کیجئے as absolute value of x minus the quantity minus 4 is greater than equal to 2 تو اس کو اگر آپ سنہیں دیکھیں تو نوٹ کیجئے کہ the solution of this inequality consists of all x whose distance from minus 4 is 2 units or more اور geometrically اگر آپ اس کی دیکھیں ٹیبل میں جاکے رفر کیجئے کیا گیاande آ強تے ہیں تو this is exactly what this inequality اسی پر دیکھیں یہ تو آپ کی اجیمپل ہوگی اچھا میرے حال سے اجیمپل سو کافی ہوگئیں I hope this was also was a good example کچھ thanning احسنہ بہتر ہوئی ہوگیAgain وئی بات ہے کہ جتھنی پر کتنی پر کریں گے when you do the homework for this section it'll be much better so please کوشکیجئے you do the homework and hopefully this will make more sense لیکنما یہ سٹوٹ روک جاتا ہے آخری ٹابک دیکھتے ہیں اس لگ چر کا ترائنگل انقوالتی بہت سوری انقوالتی بہت سوری انقوالتی ہیزین بریگز یہ سوری انقوالتی کرنے کی براہتی پرمان یہاں ہیں کوانٹنم فیزیکس میں اگر آپ کو یاد ہو اس آگی کی سوری انقوالتی درائک ہے تو آئی دیکھ دن یہ کیا ہے آپ کی سرین پر بھی آتا ہے ترائنگل انقوالتی اس کا تھوڑا سا پہلے تو کچھ جنڈل بیگگران لیلی جیے ٹرائنگل انکوالیٹی کی جو موٹیویشن ہے اس کے پیچھے وہ یہ ہے کہ نوٹ کیجئے کہ the absolute value of two real numbers a plus b is the same as the absolute value of the individual numbers added together for example,گر a equals two ہے b equals minus three ہے تو a plus b جو ہوگا minus one ہوگا اور اس کی جبہہ absolute value لیں گے تو minus one absolute value ہو جائے گی which is equal to one اس کے ساتھ اگر آپ اندیوڈیلی دیکھیں کی absolute values یعنی absolute value of a plus the absolute value of b تو result آتا ہے absolute value of two plus the absolute value of minus three which is equal to two plus three which is five اچھا جی تو یہ ایک ساہر ظاہر ہو گیا کہ جو result بھی جو ہم نے statement لکھی تھی کہ absolute value of a plus b is equal to absolute value of the sum individually یعنی absolute value of a plus the absolute value of b in general یہ صحیح نہیں ہے it's not always true some cases it may be but in general it's not true but what is true is the triangle inequality ابھی میں تھوڑے پہلے ذکر کیا اس کا کہہ بہت ایمپورڈنٹ inequality ہے تو آئی دیکھتے ہیں کہ یہ ہے کیا تو یہ سکین پہاپکے ابھی آ رہی اس کا چھوٹا سامک میں بھی proof تو آپ کو میں پورا دوں گا but we'll just look at it superficially and I'll let you work out the details تو سکین پہاپکے تھیورم آ رہے triangle inequality تھیورم 1.2.5 triangle inequality if a and b are any real numbers then the absolute value of a plus b is less than equal to the absolute value of a plus the absolute value of b اس کا پروف کر لیتے ہیں یعنی ان جنول دیکھئے کہ this is not always equal it may be equal sometimes but in general it's less than that تو یہ اس کا پروف دیکھیں اچھا جی تو اس کا پروف کرنے کے لیے ہم استعمال کریں گے یہ ایک فاک جو کافی شروع میں ہم نے دیکھا تھا we saw this lot earlier in this lecture that any given real number a is between the negative of its absolute value and the positive of its absolute value and I hope you convinced yourself of this and you can prove this also if you want to اس کا پروف کسے کریں گے آئی ایک پروف دیکھتے اس کا اس کا پروف کچھ ایسے ہے کہ جو ان کوالتیہ بھی میں نے لکھی تھی let's consider that we know that the negative of the absolute value of a is between is less than equal to a and that is less than equal to the absolute value of a and the negative absolute value of b is less than equal to b and that is less than equal to the absolute value of b positive one if we add these two together we get the following result it's on the screen I will let you work out the details yourself I hope it will make sense یہ آپ اس کو اپنے آپ خود دیکھلی جی اور کننس ہو جائے moving on since a and b were real numbers adding them will also result in a real number obviously right well there are two types of real numbers what are they either they are bigger than equal to zero or they are less than zero so that is why we have that the sum of a and b a plus b is greater than equal to zero or a plus b is less than zero اب اس کی مزید دیٹیلز آپ خود کر لی جائے گا اس کی میں نے لکھ دییں اس کین پے I hope you can do that and convince yourself of this so the result is that in general absolute value of a plus b is less than equal to the absolute value of a plus the absolute value of b so I hope you like this triangle inequality I know you have me a little bit covered لیکن یہ تھا مخصد کے it's a well established result it's an old proof very important thing so it must not be wrong but to convince yourself again this is your part as a student that you see the result the proof and you go over it through it and convince yourself by examples or in general that this is true so اب یہ تھا ہمارا لیکچہ number 2 اس کو تھوڑا سا ختم کرتے ہوئے دیکھ لیتے ہیں ہم نے کیا کیا بات کیا ہم جنرلاج آج ہم نے سب سے پہلے تو absolute values دیکھیں what is defined کیا absolute value کیا ہوتی ہے پھر ہم نے absolute value or distance کے دن میں ان relationship دیکھیں how can we talk about distance in terms of absolute value پھر ہم نے کچھ an equality solve کیا جس میں absolute value involve تھی ساتی میں ہم نے کچھ equalities بھی کیا جس میں absolute values involved تھی تو we saw how to solve them اور سب سے آخر میں ہم نے سب سے important triangle inequality دیکھیں جو کہ ابھی آخر میں دیکھیں ہم نے and I hope you appreciated the nice thing about that maybe you don't do it right now but eventually you will when you see higher and better results in mathematics تو یہ آج کا لیکچہ تھا اس کو یہی ختم کرتے ہیں میری اب روانگی ہے اسلام آباد کی طرف واپس تو دیکھیں ہمیں اوڈو میٹر میں my car reads 300 actually if I set it to zero or 600 total کیونکہ اگر نہیں ہوگا تو پھر I'll probably find myself in Kohakaf see you next time Allah Hafiz