 Ok, donc merci beaucoup, je remercie le CHES pour m'inviter à donner ces lectures. Donc mon propose est de présenter un travail joint, par rapport à Yves Benoît et moi-même. Donc tous les nouveaux résultats que je vous mentionne, viennent de la collaboration avec Yves. Donc notre propose est de développer l'extension de Ratner CRM, donc pour commencer, je vais vous expliquer ce que Ratner CRM est. Je vous remercie. Donc Ratner CRM est concerné avec la description d'orbitageurs dans des actions groupes. Donc vous avez un problème général dans le système dynamique, c'est-à-dire que vous avez un groupe gamma qui s'occupe d'un espace X. Donc X vient avec l'autopologie, c'est un espace local compact. En tout cas, dans les exemples, c'est un espace très particulier. Et selon un point X, dans X, je veux avoir une description de l'orbitageurs de X. Donc ça fait déjà le sens quand gamma est z, quand je suis en train de regarder une transformation, j'ai un espace, j'ai un dynamique dans l'espace, donc il y a un orbit. Je dis quand gamma est z, donc j'ai une transformation, et j'ai une puissance, et je veux suivre l'orbitage et savoir dans quel espace le point s'occupe. Donc il se termine, ce genre de dynamique phénomène traite une théorie de groupes, et Ratner's Theorem est un de ces groupes, une très fameuse. Donc il est concerné par Ratner's Theorem, vous êtes concerné par la prochaine situation. Donc X est un groupe quotient. Donc c'est G mod lambda, où G est le groupe, et lambda est la théorie de G. Et en ce cas, vous avez de belles groupes qui actent sur X, ce sont les subgroupes de G. As soon as gamma is any subgroup of G, it acts on X by left transition, that is for gamma if X is a right coset, gamma of X is just a right coset for lambda. You have this action. So this holds as soon as lambda is any closer group in G. And what is a lattice? I will be concerned with the case where lambda is a lattice. So a lattice, so this is the definition. I will say that given G, which is a locally compact group, and lambda, which is a discrete subgroup of G, I will say that lambda is a lattice when G mod lambda admits a finite G invariant measure. By measure, also in all the talk, there will be a lot of measures, and all my measures will be measures on some locally compact space. So for me, measure means Radon measure, that is a Borel measure, that is finite and compact subset. So this is a definition of a lattice and this definition comes with example. So for example, ZD inside RD is a lattice. More generally, any if lambda is co-compact in G, then lambda is a lattice. So in other words, as soon as you have a locally compact group, a discrete subgroup lambda and the co-chant is compact, then it necessarily admits a G invariant measure. This is an exercise, not that easy, maybe if you are not familiar with hard measures, but this is a... Anyway, this is true. And the reason, somehow, the reason why you want to manage cases when the co-chant is not compact is the following, is that when you take SLDZ inside SLDR, this is a lattice, but it is not co-compact. And for arithmetic applications, you want to be able to extend the CRM that you can prove in the co-compact case to this kind of situations. And this is why we really want to manage the case where the co-chant is not compact. And somehow you will see in the sequel of the course if you come back next time, or the time after, that it produces new difficulties in the proof, the fact that you want to manage the case where the lattice is not co-compact. And in the same spirit, there are also interesting co-compact lattice which comes from the following properties that if S is a surface, an orientable, a closed orientable surface, with D-ness, G at least 2, then if you choose choosing a uniformisation of S, amounts to choose a morphism from a fundamental group inside PSL2R which has discrete and co-compact image. So you have a nice examples of lattices which come from the embedding of the fundamental group of a surface inside PSL2R. So now in all these examples I want to study the action so I have a group D, I have a Lantisse-Lamda and I want to study the action of subgroups of D inside G-Mod Lambda. So Gama G is the fundamental group of S. It is not written but this is what I had in mind. So I want to describe the action of subgroups in this sense, in this elementary sense. I want to describe the action of subgroups of G inside G-Mod Lambda. So for example when the quotient is the D-dimensional torus I have actions and I take connected subgroups what I have is minimal actions for which I know that every orbit closure so for example when D is 2 and the subgroup has dimension 1 I know that either every orbit is closed or either every orbit is dense. So this is the case, this is G-Mod Lambda and this is the situation this is very easy to describe the orbit. But if I take for example now my closed surface then if I want to study its geodesic flow so the geodesic flow of this surface can be seen due to this property here as the action on PSL2R mod Gama G c'est un déding of the fundamental group of the lattice co-compact lattice inside PSL2R so I can form the quotient and I can act on the quotient through this one parameter subgroup so I put a one half here just to say that this is the generator has norm 1 for the nature of the metric with curvature minus 1 convention of course you can forget about the one half so I can look at this group then it acts on this quotient and this action is nothing but the geodesic flow on the surface and this flow is an axiom ah it is an another flow so it is known that it is very chaotic there is no description of this form which is possible it is too complicated it is too chaotic but there is a related flow which is a oocyclic flow and if you look this is the action on the quotient not on the diagonal flow but of the unipotent so I mean I take the set of this matrices this is the subgroup and now this flow is known as a oocyclic flow the parametrization of the strong stable flow of this flow here and it is known due to the fact that this flow here is topologically mixing that this oocyclic flow here is minimal so for this flow I have a property which is somehow analogous to the property of the dynamical property of the irrational translation on the tori that is every orbit is dense ok so somehow Radner's theorem is a theorem that contains both these cases it contains the fact that the orbit closures here are sub tori and all the orbit closures are very smooth manifold or the fact that here all the orbit are dense so this is a theorem which in particular contains these two cases which describes precisely for which actions on dimon lambda of connected subgroup gamma you can hope that this behavior this chaotic behavior does not happen but if you take non uniform methods so there are other cases you will have a separation I will mention this case in one minute I will state now Radner's theorem you see you have to state an abstract theorem because somehow these cases are very different so you as a statement of the theorem will necessarily be a little abstract because it has to contain a lot of concrete cases so here is the theorem this is due to Radner in 91 and it says the following so you take g to be a legal group and lambda to be a lattice and so say gamma inside g to be a subgroup which is pad as a group by one parameter unipot non, absolutely not the group means a group whose connected component is a manifold so I will explain the meaning of this in one minute but this is precisely the statement the assumption that allows to deal both with this case here and to to forbid this case then for any x in gmod lambda its orbit closure under gamma is homogenous with finite volume which means what does it mean that is there exists some subgroup L inside g which contains gamma such that the orbit closure of x under gamma is nothing mais subgroup L par here and what's more Lx subgroup L admite an invariance finite major so this conclusion about the fact that it admite an invariant finite major is trivial when lambda is co-compact this is important in the non-compact case because when lambda is co-compact this is a compact subset so the stabilizer of x in L is co-compact subgroup it is discreet since stabilizer are conjugated to subgroups of lambda so necessarily it is a lattice in L I will come back to this in one minute but just for the moment just think don't focus on this property it's less property of admitting it's automatic when it is trivial when lambda is co-compact so let me first explain so what I'm saying what is important is the fact here it's a co-compact case at least that every orbit closure itself is an orbit so when you are an orbit in particular you are a sub-manifold so typical when the acting group is a diagonal subgroup the geodesic flow when the dynamical system is a geodesic flow of a surface with negative curvature there are orbit closures which transverse solide to the flow are counter subset so release for example this cannot happen in this case but in fact it is even much stronger you are totally different non, non, non non, non, non, non c'est un orbit closure c'est un orbit closure donc je vais juste expliquer cette importante assumption qui est une importante assumption ici donc je vais dire que si g est définition je donne une définition importante après le statement de la CRM ce n'est pas un très pédagogique donc si g est une groupe donc vous savez si vous êtes un peu familial avec les théories de l'équipe que l'un des paramètres subgroupes joue un rôle très important dans la théorie de l'équipe donc g est une groupe et g matchs de gt de r de g donc l'un des paramètres subgroupes est un morphisme continu je vais dire que gt est plus unipotent si et seulement si le dérivé à t il y a le 0 c'est le générateur de l'un des paramètres subgroupes si je prends donc je prends cette, je définis c'est plus inipotent ok non c'est pas très clair c'est ad-x donc la action adjoint de cette matrice c'est un élément de l'algebra de ma groupe ok donc un élément de l'algebra de ma groupe c'est un endomorphisme de l'algebra et je vais demander que cette action adjoint est un inipotent de g c'est à dire que j'ai un l'algebra quand j'ai un l'algebra j'ai un élément de l'algebra je dis que c'est ad-nipotent si la action de l'algebra est un endomorphisme de l'algebra c'est une matrice inipotent et je dis que un paramètre subgroupes est ad-unipotent quand le dérivé est un inipotent c'est un élément ad-nipotent c'est aussi c'est équivalent que quand je prends l'action adjoint donc c'est adjoint donc il y a une différence entre l'algebra et l'algebra entre ad et ad vous voyez la différence c'est qu'il y a un petit casier A et par casier A donc cet ad est l'action de la groupe sur l'algebra et cet ad ici c'est l'action de l'algebra donc c'est j'ai essayé de être précis et de ne pas changer donc cela signifie que quand je prends maintenant c'est un paramètre subgroup mais dans la groupe de l'algebra c'est un groupe de paramètre d'automorphismes et ce que je dis c'est que c'est unipotent un subgroup d'un groupe de l'algebra il dit d'être inipotent si c'est conjugé d'un subgroup de ce groupe c'est-à-dire à des bases de l'algebra l'action adjoint de mes matrices tout prend place dans ce subgroup c'est ce qu'unipotent veut dire donc, bien sûr, je vais revenir au cas des surfaces quand j'ai mon PSL2R constaté par Gamma G si je prends l'action d'un paramètre subgroup vous voyez que c'est absolument inipotent bien sûr, ici c'est pas l'action adjoint mais l'action si tu prends l'action adjoint de ces matrices donc le l'algebra de PSL2R de dimension 3 et ce que vous voyez c'est la matrix de cette forme ok alors si tu prends cette matrix et si tu prends l'action adjoint ce que vous voyez c'est que les matrices de cette forme sont très difficiles je ne me souviens pas de la formula donc vous devez faire la computation c'est l'un c'est un paramètre non singular vous voyez quelque chose de cette forme c'est une simple fonction de PS ok donc en ce cas ce que vous voyez c'est l'unipotent matrix c'est ce qui fait le différent et bien sûr je devrais mentionner le cas trivial où la gamme de Gamma c'est la mode RD la mode ZD l'action adjoint c'est l'action trivial donc toutes les matrices sont unipotentes donc en ce cas en particulier quand la ZD est habillée donc en particulier vous pouvez considérer la ZD parce que quand la ZD est habillée l'ambiance est un groupe donc quand vous avez il contient le fact que quand vous avez un collège d'un groupe de translations dans un groupe compact ce que vous avez est un groupe sub-group c'est ce que ça veut dire donc c'est ce que le CRM dit il dit que de toute façon les actions de ce groupe comportent un petit comme les actions d'un groupe habillé dans la rigidité de leurs collèges donc c'est peut-être pas une très bonne intuition mais de toute façon vous pouvez vous rappeler que ce CRM contient le cas où le groupe est habillé ok donc maintenant laissez-moi donner des exemples donc aussi ce CRM c'est une partie pratique si vous voulez dans des cas concrets grâce à cette conclusion vous pouvez décrire votre collège ce n'est pas un abtract statement si je vous donne un exemple concret quand vous voulez si je vous donne un X maintenant la question est qu'est-ce que c'est L et si je vous donne une situation particulière vous devez pouvoir décrire L parce que vous voyez ce qui se passe en général il y a beaucoup de possibilités pour L c'est-à-dire vous pouvez prendre L pour être connecté parce que depuis que le groupe est connecté l'arbitre collège ici est un sub-group donc si je réplique L que c'est un component connecté depuis que l'arbitre connecté est ouvert dans L donc ce que j'ai obtenu c'est le même arbitre collège donc vous pouvez toujours assumer L pour être connecté ici et maintenant décrire un subgroup connecté dans un groupe élevé c'est déjà donnant un sub l'algebra et l'algebra et vous savez que ce subgroup doit contacter gamma ce qui est en itself un subgroup connecté par les subgroups connectés donc décrire le possible L c'est juste que vous avez la suivante situation vous avez l'algebra de gamma c'est dans l'algebra de G et décrire le groupe c'est juste décrire l'algebra donc vous êtes réduit si vous voulez trouver tous les possibles L vous êtes réduit à un problème en ligne l'algebra c'est décrire tous les subalgebras donc c'est un tasque très facile si je vous donne un exemple petit dimensionnel vous allez trouver la solution donc pour exemple pour décrire ce qui se passe c'est un subgroup un subgroup de SL2R par un non subgroup et en case et gamma c'est un subgroup qui est la seule case intéressante parce que si vous avez un subgroup de SL2R qui est généré par un paramètre unipotent subgroup c'est un subgroup de SL2R ou c'est conjugé pour ce subgroup si vous voulez trouver l'algebra de L vous avez entre l'algebra de l'unipotent subgroup et l'algebra de SL2R et je vous ai traité parce qu'il y a une information ici l'information est que je vais revenir à ça dans une minute L contains la lattice puisque le stabilisateur de l'axe en L est la lattice donc il forge l'algebra unipotent subgroup donc maintenant vous devez trouver l'algebra unipotent subgroup qui est l'unipotent subgroup qui contient l'algebra de gamma de SL2R il n'y a que deux possibilités en ce cas soit l'algebra de gamma ou l'algebra de G c'est la seule possibilité juste deux compétitions dans l'algebra donc ce qu'il dit c'est que chaque orbite est fermée ou dense et c'est parce que c'est 50, quelque chose comme ça donc c'est un old CRM il a 40 ans mais il contient ce n'est pas compact c'est le fact précisément ce que vous avez le picteur c'est le picteur pour l'algebra mais l'algebra n'est rien mais SL2R donc c'est plus ou moins en regardant la géométrie ou la géométrie asymptotique la géométrie de l'algebra de GSO2 c'est plus ou moins la même et le picteur c'est que quand vous allez dans l'algebra ici vous avez cet algebra ce que vous voyez dans l'algebra c'est de l'algebra et de l'algebra précisément vous donnez des orbites qui sont fermées et la présence de la surface disant que ce n'est pas compact précisément disant que ce sont fermées c'est équivalent donc dès que l'algebra de SL2R est compact ce flow est minimal et si ce n'est pas il existe fermées et les orbites qui n'ont pas fermées les orbites sont dents quand vous essayez de faire un point qui n'est pas fermé ce sont les orbites dents ce n'est pas le cas ok donc c'est Ratner CRM et maintenant la question est pour quelles groupes le CRM est vrai pour quelles groupes une chose que ce CRM devrait être vrai dans un setting plus général il n'y a pas d'assentions ou de gammes mais elles n'ont pas besoin pour un CRM donc c'est une question très moderne par exemple il y a une question sur les groupes diagonaux bien sûr si vous avez dit que si vous avez dit que vous avez un groupe diagonaux mais par exemple c'est un conjecteur c'est pas un conjecteur parce qu'il y a des exemples mais il y a encore une question pour avoir une description d'orbitges dans le cas suivant gammes sont les groupes diagonaux avec des intérêts positifs dans le SL3 des nombres positifs et vous regardez l'action sur le SL3R sur le SL3Z donc dans ce cas il y a des exemples pour le conjecteur que tous les nombres positifs doivent être homogéneuses mais pour l'exemple il y a des exemples où vous avez un nombres positif qui n'est pas homogéneuse mais qui est une union finie donc en tout cas c'est très rigide ce n'est pas ce qui se passe quand vous faites l'action sur le SL2R sur le SL2R mod SL2Z dans ce cas il n'y a pas de description c'est très chaotique ici il y a la construction donc c'est la construction de Uri Shapira qui externe des idées par Mocuron il y a un nombres positif donc c'était un conjecteur par Margulis que tous les nombres positifs étaient homogéneuses en fait il y a Mocuron qui a trouvé l'exemple sur le SL6R sur le SL6Z et puis Shapira ou peut-être le SL12R je n'en remercie pas le SL8, quelque chose même Shapira a pu externer sa construction donc c'est toujours pour l'exemple, une bonne question c'est parce que je n'en remercie pas un conjecteur c'est tous les nombres positifs la union finie de l'orbit mais je peux le reddibi, c'est très intéressant et en particulier c'est une question avec tous les nombres positifs donc c'était la question Margulis avec tous les nombres positifs c'était en fait compact et il n'y a pas d'exemple ce qui explique le conjecteur d'un conjecteur d'une certaine théorie ce sont les questions donc en général dans toute cette théorie ce sont les conjecteurs les mêmes questions concernent l'action des groupes diagonaux quand le rang est un quand vous avez un groupe diagonaux avec une dimension 1 vous ne pouvez pas avoir une description mais l'un ne sait pas quand vous avez des actions de groupes diagonaux de dimension 2 quand il y a un phénomène rigide il y a des résultats partiaux mais il n'y a pas d'exemple ok, donc c'est le cas de groupe diagonaux et on s'occupe de la question des actions de groupes non connectées c'est ici tous les groupes c'est ce qui est ici les groupes qui sont exprimés par un paramètre de groupes sont les groupes connectés et nous sommes intéressés à l'action des groupes non connectés donc par exemple vous avez un groupe de SL2Z et vous laissez l'acte vous pouvez dire quelque chose sur l'adversaire donc en cas précis ce que nous disons c'est que dès que vous avez un groupe de SL2Z qui n'est pas virtuellement solvable qui n'est pas trop petit alors que les orbites sont either finite ou dense ce sera la conséquence du résultat général que je resterai dans une minute ok, donc notre guess donc nous le mettons maintenant c'est le conjecteur c'est le vrai conjecteur c'est surement le vrai notre guess est que quand l'assumption en gamma est réplacée par donc cette assumption ici tac tac, j'en prends j'ai réplacé par quelque chose d'autre parce que c'est le rôle maintenant si j'en prends donc maintenant j'ai réplacé par n'importe quelle assumption et c'est le suivi de l'image de gamma par l'action joint donc maintenant vous voyez que vous avez l'action joint comme je l'ai dit, c'est le subgroup du groupe de lignière de l'algebra donc je l'avais regardé ce subgroup et je l'ai demandé d'être spané par des matrices unipotentes et tout de suite c'est une assumption qui est plutôt naturelle dans la théorie de l'algebraie donc c'est pourquoi ça risque l'image de l'action joint parce que j'ai envie de faire une assumption sur la théorie de l'algebraie de la théorie de l'algebraie bien sûr, j'ai imaginé mon groupe d'être un groupe d'algebraie c'est juste un groupe d'algebraie un groupe réel de l'algebraie c'est plus ou moins le même mais normalement, ici ce que j'ai fait c'est un groupe d'algebraie donc il n'y a pas d'algebraie et d'algebraie géométrique mais ce que je fais est que je prends l'action joint et maintenant ce que j'ai fait c'est un groupe d'algebraie donc ça fait sens de parler de l'algebraie zarisky topologie c'est juste un subset qui est défini par l'algebraie qui intervient les coefficients de l'algebraie donc ce que j'ai fait c'est que, en particulier, j'ai un groupe d'algebraie je peux prendre l'algebraie zarisky closure c'est le plus petit groupe d'algebraie qui contient la gamme et la assumption est que par un paramètre il n'y a pas d'algebraie c'est, si vous n'oubliez pas cette technologie de remplacer le groupe c'est une action joint ce que j'ai dit c'est que j'ai une action ici en gamme et j'ai une assumption ici en gamme et en fait le CORM devrait être vrai quand je fais la assumption pas en gamme c'est zarisky closure et le CORM devrait être vrai et la assumption est la même conclusion je vais vous donner un exemple de ce que l'algebraie zarisky c'est vous pouvez demander si ça fait une différence par exemple c'est un groupe d'algebraie hardie donc hardie vous pouvez le voir comme un groupe de matrices on va prendre ces matrices ici on va prendre toutes les matrices de cette forme donc c'est à l'intérieur de gl d plus 1 de r et c'est un copier de hardie donc c'est vraiment un groupe qui pourrait arriver ici comme un zarisky closure de mes actions jointes vous pouvez le faire donc maintenant c'est ma assumption donc c'est un groupe d'algebraie zarisky ici un groupe d'algebraie zarisky c'est un army donc en hardie vous savez très bien la façon dont le groupe close d'algebraie zarisky lorsqu'on a une classification de close subgroup, c'est très facile de vérifier que s'il y a un subgroup Une propre subspace, ok ? Donc, en ce cas, l'extension, le réplacement de cette assemblée, cette assemblée est triviole, c'est-à-dire, ce n'est pas triviole, mais c'est très rizzi. Si vous avez la description de l'orbitage de gammas, si vous voulez avoir la description de l'orbitage de gammas, mais vous avez déjà la description de l'orbitage de gammas pour un subgroupe qui contient de gammas à un subgroupe co-compact, ce n'est pas très difficile. C'est différent, c'est un subgroupe compact, et un subgroupe compact ne crée pas une action de groupes compact, ne crée pas une nouvelle phénomène pour l'orbitage de gammas. C'est la philosophie. Si vous avez, si vous pouvez décrire l'action, donc vous avez gammas à l'intérieur de 8, gammas co-compact à l'intérieur de 8, si vous pouvez décrire l'orbitage de gammas à l'intérieur de 8, vous avez l'orbitage de gammas, ce n'est pas très difficile, ok ? Donc, ce cas n'est pas très intéressant. Mais généralement, si n'est un nil potentiel, si n'est un nil potentiel de groupes, donc tous les nil potentiels de groupes admettent un structeur de l'algebraie de groupes, un nil potentiel de groupes, c'est technique, c'est pour les gens qui sont familiales avec ça. Un subgroupe de gammas à l'intérieur de n'est très dangereux, si n'est seulement si c'est co-compact. Donc, si vous n'êtes pas familiales avec les groupes, n'oubliez pas ceci, et si vous êtes familiales avec moi, ce que je dis c'est que pour les nil potentiels de groupes, il n'y a pas de différence. C'est-à-dire, prouver le CRM avec cette assumption, ou prouver-le avec cette assumption, c'est la même chose, quand la gamma est nil potentiel. Donc, je dois regarder si je veux trouver de nouvelles situations, je dois regarder des groupes qui sont loin d'être nil potentiels, et qui vont prendre des groupes très simples. Donc, c'est un cas intéressant, le premier cas intéressant pour les subgroupes qui ne sont pas co-compactes, qui n'ont pas de volet final, c'est un cas de groupe semi-simple. Donc, si D est une groupe semi-simple, donc quand vous avez un groupe semi-simple connecté, donc peut-être que vous ne savez pas ce que c'est de groupe semi-simple, et ce n'est pas très important, parce que je vais vous donner un exemple générique, mais quand vous avez un groupe semi-simple connecté, c'est toujours up to covering an open subgroup dans un groupe subalgebra. Donc, ça fait le sens de parler d'Zariski topology. Donc, si vous ne pouvez pas l'inquiétenir, parce que dans cet exemple, ce sera très dur. Et là, il existe. Donc, vous pouvez prouver que les éléments génériques GH, vous devez prendre une paire, une paire générique dans G8, et que ça spanne un subgroup de Zariski. Donc, exemple, donc ce que c'est de groupe semi-simple comme avec beaucoup de subgroups de Zariski. Donc, exemple, si vous prenez G to be SLDR, donc maintenant, ici, ce que le subgroup de Zariski est évident, c'est un groupe algébé, ce que je dis, c'est qu'il existe. Dans Zariski Open Set, dans G times G, G cross G, il existe Zariski Open Set, comme ça, dès que j'ai pris une paire d'éléments dans vous, le subgroup spined par ces deux éléments est Zariski Dance. Donc, en fait, si vous avez, si vous prenez un groupe semi-simple, donc, exemple, SLDR, ou d'autres groupes semi-simple, focusz sur SLDR si vous n'êtes pas familiar avec Glee Group Theory, alors, dès que vous prenez deux éléments, si vous n'êtes pas très malheureux, ils spandent Zariski Dance subgroup. Donc, pour exemple, encore, si vous prenez G H, je vais vous décrire précisément, un exemple, je vais vous décrire précisément, c'est sub-set U, quand G, quand le groupe est SL2R. Donc, ce que je dis, si je prends G H dans le SL2R, alors, dès que j'ai besoin d'être très attentionnée, donc, n'oubliez pas, j'ai besoin d'être sûr de ne pas l'oublier. Zariski a ouvert non-empti, merci Frédéric, et n'oubliez pas, D2 et H2Q, ou le groupe subgroup spandent par G et H, donc, ce n'est pas facile, parce qu'ils peuvent commuter, vous pouvez prendre deux évolutions, qui, ensemble, génèrent Zariski Dance subgroup. Si G et H2Q ne commute pas, alors, le groupe subgroup spandent par G et H, c'est Zariski Dance. Ce que je dis, c'est que si je prends deux, par exemple, si je prends deux matrices hyperboliques, qui sont fixées comme des choses, alors, ils spandent Zariski Dance subgroup. Donc, c'est très générique, dès qu'ils prennent deux matrices, ils spandent Zariski Dance subgroup. Si vous voulez vraiment un exemple concret, pour un integer K, vous avez à prendre G, pour être la puissance de cette matrice, et H pour être la puissance de cette matrice, ils commutent. Ils ne commutent pas, ils spandent Zariski Dance subgroup. Et pour K large, Zariski Dance subgroup n'est pas dense. C'est discreet, et on voit l'infinite conversion. Peut-être que pour K equal à 1, c'est dense, je ne sais pas. Mais pour K large, ce n'est pas dense, c'est très petit, quand K est plus grande et plus grande, donc pour K large, on peut trouver un explique de K, et peut-être que c'est juste un. Je ne sais pas, ok? Pour lequel vous savez que ce groupe sera un groupe libre, on voit l'infinite conversion. Donc c'est un exemple d'un groupe de chute K. Donc pour ce CORM, Benoît et moi-même disent que, pour exemple, si vous prenez l'action de ce groupe, ici, dans SL2R, mode SL2Z, chaque orbit est dense. Et dans cette case particulière, depuis que vous avez un eigenvalue 2, elle dit que chaque orbit est dense. Il ne peut pas être un eigenvalue. Aucun pouvoir de cette matrice est obligé à un conjugation de SL2Z. Depuis que les eigenvalues, c'est une matrice répabolique, et les eigenvalues ne sont pas des numéros quadratiques. Elles sont 2 et 1 et demi. Donc que aucun conjugation de cette matrice a le pouvoir qui s'agit de SL2Z. Donc il ne peut pas être un orbit finitiel. Vous me suivez ou vous êtes totalement perdus ? Peut-être que je ne devrais pas expliquer. Je vais commencer par le CORM, et je vais revenir à cet exemple, dans 1 minute. Donc le CORM est ce qu'il faut faire, prendre un groupe, prendre un groupe de lambda, et prendre une gamme d'inside G, pour être un groupe, comme ça. Le clé de la gamme de la gamme de lambda. Donc c'est le groupe sub de la gamme de G, et je prends le clé de la gamme de lambda. Ce que j'ai, c'est un groupe algébrain, c'est moins ou moins un groupe de lignes. Et il parle d'une groupe de lignes, une classe particulière de groupe de lignes. Donc je prends ce clé de la gamme de lambda, et je... Qu'est-ce que je fais ? Assume que c'est... Je vais imaginer que le bégana est compacte et génératrice, c'est un point technique. Et je suppose que ce clé de la gamme de lambda est semi-simple, avec aucun facteur compact. Donc, par exemple, ce clé de la gamme de lambda est l'SLDR, c'est un groupe qui est isomorphique à l'SLDR. Donc j'ai une assumption, et puis, en particulier, l'SLDR est spané par des éléments unipotent. Donc, il est spané par un paramétre unipotent des groupes unipotent. Donc, alors, pour un x dans la gamme de lambda, le clé de lignes x sous la gamme est homogène, avec un volume fin. Donc, avec le même sens. OK ? Donc, ici, qu'est-ce qui se passe ? Et dans des cas concrètes... Quoi ? C'est le même sens. C'est le même sens. C'est un volume fin et homogène, c'est écrit deux fois sur le blackboard, mais ça signifie le même sens. C'est OK, il n'y a pas de subtilité, il signifie le même sens. Je ne dois pas le dire. C'est OK, c'est OK, il n'y a pas de subtilité. C'est le même sens. Ce qui signifie que ce n'est pas une très standard terminologie, ce qui signifie que l'orbitage de l'orbitage est en orbite, et il apparaît une probabilité majeure qui est en variant sous sa stabilisation. Donc, encore une fois, comme sur l'orbitage de l'orbitage, comme sur l'orbitage de l'orbitage, dans une situation concrète, vous pouvez décrire cet orbitage de l'orbitage. C'est... Pour cet exemple, si vous prenez gamma dans la cellule 2R, ce qui est la danse risquée, donc ccg, et vous regardez l'action de gamma sur g et lambda. Ce que je dis est que l'orbitage de l'orbitage, si vous prenez... Je prends un point x, c'est la forme lx, et l est un subgroupe de g qui contient gamma. OK? Donc maintenant, vous devez être careful parce que gamma n'est pas nécessairement connecté anymore. Donc l n'est pas nécessairement connecté. Donc il n'est pas décrit par l'algebra. Mais de toute façon, l contient gamma. Donc l'algebra est stabilisé, est normalisé par l'action adjointe de gamma. Et ici gamma, dans cette situation, gamma est la danse risquée en g. Donc l'algebra de l'al, c'est normalisé par l'action de g, parce que gamma est la danse risquée. Ce que je dis c'est que si je prends l'al pour être l'algebra de l'al dans l'algebra de l'algebra de l'al, gamma, l'action adjointe de gamma normalise l'al, parce que gamma contient l'al. Et l'algebra de normaliser un subgroupe est l'algebra pour partie. Donc quand c'est vrai sur un set, c'est vrai sur la danse risquée. Ce qui veut dire que la danse risquée adjointe d'action de l'al, normalise l'al. Parce que gamma est la danse risquée. Ce qui veut dire que l'al est un idéal en disant que vous avez un subgroupe d'al dans g, normalisé par l'al, s'est dit que l'al est un idéal de g. C'est que l'al et g contiennent l'al. Et ici, cet algebre est simple. Il n'a pas de non trivialité idéale. Donc l'al n'est pas un algebre trivial en s'est dit. Ce qui veut dire que l'al est discrète ou un subgroupe d'al. Mais l'al est fermé. L'al est clagé. Gamma x, c'est lx. Ok. Quand l'al est g, l'al est dans. Quand l'al est discrète, vous avez un subgroupe discrète. Et en ce cas, vous avez un subgroupe discrète et il a un volume finitif. Il traite un major invariant finitif. C'est ici que l'assumption vient de jouer. Depuis que c'est un subgroupe discrète qui traite un major invariant finitif, il est finitif. Ce que je dis ici c'est que, en ce cas, les subgroups finitifs sont ordens finitifs. Et en particulier, vous voyez disant que si vous avez un subgroupe d'al d'al, vous voyez que Gamma x est finitif en disant que, c'est un subgroupe de x. Ok. En disant que ce subgroupe est finitif c'est exactement l'équivalent de dire que l'intersection du subgroupe de x avec Gamma a un subgroupe finitif en Gamma. Vous voyez que chaque orbit est dense. Assumez pour un moment que vous avez un orbit finitif. Si vous avez un orbit finitif le stabilisateur de l'orbit interse Gamma a un subgroupe finitif donc en particulier il contient les powers non triviales de cet élément. Ce que vous avez c'est un matrix, donc ici lambda est lsl2z c'est un matrix c'est facile pour le trace avec le trace si vous voulez, oui il faut prendre le trace ici il n'y a pas de numéros quadratiques il faut prendre les valeurs de lsl2z c'est le pouvoir de lsl2z et les valeurs de lsl2z de lsl2z sont des numéros quadratiques dans lsl2z il n'y a pas de power de lsl2z ce n'est pas possible c'est facile je n'aime pas les traces j'aime diagonaliser les traces et les valeurs de lsl2z ok bien sûr, vous pouvez dire ça parce que le trace dépend de la représentation et si vous avez des valeurs de lsl2z vous pouvez dire ok mais j'aime les valeurs de lsl2z ok de toute façon, c'est ce qu'on dit et vous voyez maintenant peut-être je ne vous ai pas parlé de cette assumption qu'elle a un volume finit mais vous voyez que c'est une très importante assumption c'est la conclusion mais vous voyez que en exemple c'est une très importante conclusion donc ok donc maintenant dans le temps restant nous parlons de la preuve c'est une heure et quelques heures après et je peux je vous donne la stratégie générale la stratégie notre stratégie follow la stratégie de Ratner très close nous mimiquons la preuve de Ratner CRM dans plusieurs étapes et à un moment nous utilisons Ratner CRM ok donc on explique un phénomène qui n'est pas présent dans la preuve de Ratner CRM mais ce phénomène pour le moment il n'est pas suffisant de prouver Ratner CRM ok, parce qu'ici par exemple on prouve un cas de Ratner CRM un cas où cet étapes est equal à l'équilibre et il est panne il y a des paramètres, etc etc mais même pour prouver cela, nous avons besoin de Ratner CRM donc ce n'est pas un nouveau prouve de Ratner CRM ce prouve de CRM qui utilise Ratner CRM mais à un moment nous suivons les mêmes étapes et le premier étapes de Ratner CRM est de réduire le problème pour un problème en théorie ergodique ici vous voyez, quand vous classifiez l'orbite-clogère, chaque orbite-clogère vient avec cette probabilité majeure une très particulière probabilité majeure qui est une probabilité majeure parce que chaque orbite-clogère vient avec une probabilité majeure qui est une probabilité majeure qui est une probabilité majeure et il se termine donc cette majeure en particulier est une probabilité majeure et il se termine que ces sont en fait les mêmes étapes qui sont une probabilité majeure et le premier étapes dans le prouve de Ratner CRM et en fait c'est le premier étapes c'est l'important étapes il s'agit de prouver cela pour donner une classification c'est la même assumption tu prends G, tu prends un lattice et tu classifies toutes les probabilités majeures en G en lambda qui sont invariées par Gamma et puis quand tu as cette classification c'est tellement rigide que ça vous donne même une classification d'orbite-clogère c'est le spirit de Ratner CRM donc je vais être précis en fait c'est le second Ratner CRM et il y a le premier Ratner CRM qui est un CRM sur la théorie ergodique laissez-moi vous dire en général il n'y a pas de prouve de ce résultat sans théorie ergodique dans les casiers particuliers par exemple Helene CRM l'orbite-clogère d'un cycle de recyclage dans les casiers de petite dimension il y a des prouves par exemple quand tu prends l'SF3Z tu prends un paramméterre sa groupe je n'en sais pas de prouves directes les prouves que je sais sont prouves qui utilisent la théorie ergodique la théorie ergodique les assumptions sont les mêmes donc G est le groupe et tu peux légèrement détenir la théorie et la décrite sa groupe tu peux juste prendre lambda pour être de la décrite sa groupe ici c'est crucial pour cette conclusion que l'aclandise la théorie particulièrement c'est ce qui vous donne un volume final tu ne peux pas avoir un grand volume parce que le espace lui-même ne peut pas avoir un grand volume mais dans les casiers de la décrite de mesures de probabilités invoiles tu n'as pas besoin de cette assumption tu prends gamma dans G qui est créé par des subgroupes unies je veux dire des subgroupes 1 paramméterre et maintenant tu prends nu qui est la majorité de probabilité en G et en lambda et tu assume que c'est la variante gamma et la théorie ergodique n'oublie pas ceci pour le moment puis c'est juste pour éviter un trivial qui est un exemple c'est très important donc ici est la conclusion puis il existe des subgroupes L en G il existe un point x en G lambda comme que nu est carré par l'orbitre L de x et est l'invariant donc ça veut dire que nu est totalement décrivé si tu as un espace qui est homodynous et qu'il y a un groupe local il existe à la plupart d'unique variante L probability measure et ici depuis que le stabiliser est discret ce que je veux dire est que le stabiliser ici est discret depuis que lambda est un subgroupe discret donc le stabiliser de x en lambda est un subgroupe discret qui est un lattice donc en particulier ce que tu vois c'est ce que je vous ai dit depuis le début il existe la connexion close de l'orbitre L et de l'invariant probability measure c'est facile les mesures qui viennent avec l'orbitre L sont les uniques variantes gamma et ergotiques probability measure donc pour ceux de vous qui ne sont pas habitués à un système dynamique je dois vous rappeler ce que l'ergotique veut dire donc vous voyez la définition si vous avez un groupe gamma qui s'occupe sur un espace majeur x nu pour préserver la probabilité majeure pour préserver la probabilité majeure nu je dis que gamma l'action est ergotique si et seulement si pour n'importe quel subset x qui est gamma invariant le majeur de A est 0 ou 1 donc quand le espace est compact quand le majeur est compact l'invariant probability measure formera un subset convex dans un espace dans un espace dur de fonction équipé avec une topologie weakstar c'est un set compact donc c'est compact et convex dans un set local connex par Crime in mal siorem c'est un hub connex l'extrême point et l'extrême point est exactement l'invariant probability majeure ok donc ce que je dis c'est que si je... bien sûr donc par exemple c'est le cas de SL2R et de SL2Z vous avez quels sont l'invariant probability majeure vous avez le majeur avec support SL2R invariant probability majeure et ensuite vous avez le recyclant et chaque recyclant une invariant probability majeure mais si vous avez une combinaison connex de ces deux invariant probability majeure ce n'est pas homogenous ok donc dans cette classification vous avez besoin de classifier l'extrême point depuis le set de invariant probability majeure est stable sous la combinaison connex donc ce qu'il faut classifier c'est l'extrême point l'extrême point est l'invariant probability majeure donc c'est un fact général et quand vous avez l'invariant probability majeure donc fx n'est pas une grande probabilité pour exemple si c'est la seconde table compagnie de compagnie équipe avec la majeure c'est exactement la situation puis chaque majeure donc je ne vais pas entrer la technologie de la théorie aérienne mais nu si ce n'est pas aérienne a la combinaison a la combinaison avec la combinaison de probability la probability donc quand vous voulez classifier l'invariant probability majeure vous devez classifier l'invariant probability majeure c'est une combinaison connex pas seulement topologically mais dans le sens de théorique c'est la combinaison connex connex de probability la duck donc ce dont vous devez classifier c'est l'invariant probability Le CORM classifie l'ergo-dique invariant de mesures. Comme je l'ai dit, nous sommes des enfants de Marina Ratner, des enfants moraux, donc nous voulons faire la façon dont elle fait. Donc nous devons classifier quelque chose dans l'ergo-dique de la théorie. Mais ici, nous avons une difficulté. Le principal exemple que j'ai donné à vous de la groupe Zariski Densa dans une groupe semi-simple, c'était une groupe libre. Donc, et en général, c'est facile de prouver que sous ces assumptions, Gamma toujours contient une groupe libre. Donc en particulier, ce n'est pas aminable. Donc, ce qui signifie que quand il s'actue sur un set compact, il n'y a pas de raison pour ça, pour le préserver la probabilité majeure sur le set compact. En Ratner-CORM, ce qui se passe, c'est que vous focusse sur un paramètre à un potentiel de subgroupes. C'est-à-dire que vous vouliez interroger les groupes qui sont spanés par ces types de groupes. Mais en fait, le cas principal pour interroger est le cas de un paramètre à un subgroup. Et tout réduit à ce cas. Et aussi, c'est un flow, c'est une action d'art, qui est aminable. Donc, si vous prenez des choses, par exemple, pour le cas où Dimol Lambda est compact, si vous prenez l'arbitre logeur d'un point, ensuite c'est un set stabilisé sous le flow. Donc, il carre une invariant de probabilité majeure. Donc, vous pouvez hopter de récover cette classification, la topologie de la classification, de la majorité de la majorité, parce qu'il existe une invariant de probabilité majeure. Dans notre situation, j'ai dit que Gamma est un groupe libre. Vous pouvez voir dans le cas où Gamma est libre. Donc, quand vous avez un logeur d'arbitre, il n'y a absolument aucune raison pour ça, une raison prioritaire, pour le carrer une invariant de probabilité majeure. Si vous venez de la classification, ce sera le cas. Au final, ce que vous avez, c'est une invariant de probabilité majeure. Mais quand vous commencez et que vous venez de prendre un logeur d'arbitre, et que vous venez de récover de cette classification, et que vous venez de récover de l'OM, de l'arbitre de la classification, vous ne pourrez pas obtenir de quelque chose de la classification ou de la variante majeure. Parce que quand vous classifiez une variante majeure, vous classifiez un object que peut-être n'existe pas. Donc, c'est le point principal où il y a une différence entre notre approche et l'approche de Ratner. Dans l'approche de Ratner, vous serez sûrs que vous aurez beaucoup d'invariants de majeure. Dans notre situation, on n'a priori pas de savoir qu'ils existent. Au final, on va obtenir beaucoup. On va obtenir une classification de variantes de majeure, mais ce n'est pas suffisant. Donc, c'est là que la théorie de probabilité vient de jouer. Donc, le point principal est que nous allons dealer avec des groupes non aminibles. Par exemple, nous voulons dealer avec trois groupes. Donc, je dois détenir la notion d'invariant sur la majeure de probabilité. Donc, comment j'ai fait ça ? C'est une définition abstracte. Je prends un groupe, gamma, et je le laisse actuer sur un espace. Et maintenant, ce que je vais faire, c'est de suivre... Je vais prendre une majeure de probabilité, mu et gamma. Il y aura une première majeure de probabilité, qui sera donné à priori. Donc, mu sera une majeure de probabilité. Et maintenant, c'est... Quand vous avez un groupe, vous avez une majeure de probabilité et le groupe acte sur un espace. Cela signifie que, à l'aide d'un groupe acte, ce que vous pouvez faire, c'est que vous pouvez choisir un élément random. Si vous avez un point ici, vous voulez acter avec gamma à ce point. Ce que je vais faire, quand j'ai choisi la majeure de probabilité, c'est que je vais choisir un élément random qui acte. Je vais choisir un élément random de gamma, qui est distribué avec cette majeure. Et je vais acte par cet élément random. Par exemple, ce gamma, il se spanne par deux éléments. Si c'est un groupe qui se spanne par deux éléments, je peux prendre mu pour être 1,5 de la majeure directe à g plus de la majeure directe à h. Ce qui signifie que, à l'aide d'une majeure de probabilité, je acte dans une majeure de probabilité, c'est-à-dire que j'ai un coin, j'arrête un coin, si j'ai une tête, j'acte par g, si j'ai une tête, j'acte par h. Et j'interrète ce processus. Et c'est ce que je vais étudier. Je vais acte dans un élément random. Et quand j'acte dans un élément random, il y a une notion d'invariance pour la majeure. Donc je vais dire que nu, donc nu sera une majeure de probabilité sur x, une majeure de probabilité sur x, je vais dire que nu est une majeure de probabilité. Si la puissance de convolution de nu avec nu, c'est l'intégrale de la gamme de la puissance de nu avec respect à nu, c'est equal à nu. Ce qui signifie que, quand j'ai, quand j'ai envie de décrire l'invariance, j'ai dit que, quand j'ai poussé la majeure de la puissance de nu, j'ai découvert la même majeure. Je ne peux pas rater pour ça. En général, si un groupe frère s'acte dans un espace compact, il n'y a pas raison pour le carrer une majeure d'invariance. Mais maintenant, je n'ai pas demandé la majeure d'invariance, j'ai demandé pour ça d'invariance en avantage. C'est-à-dire, j'acte dans un élément random, je pique un élément random, je transporte la majeure sous l'élément random. Et maintenant, je prends le résultat d'avantage. Et maintenant, je pique pour ce résultat d'avantage pour être equal à ce résultat d'avantage après l'action de l'action de l'élément random. Et ce que je demande c'est pour cette distribution de l'élément random de l'élément original. Si vous voulez... 10 ans plus tard, je n'ai jamais fait aucune probabilité dans ma vie. Et puis, j'ai fait ce genre de computations. Et après ça, je parle avec des probabilistes et je découvre qu'ils n'aiment pas ce genre de langue que j'ai juste mentionnée. Ils n'aiment pas le randomness des probabilistes. Donc, c'est quelque chose... j'étais vraiment surpris parce que pour moi, la probabilité c'est que vous piquez à l'élément random et vous actez à l'élément random et puis vous followed etc. Ils n'aiment pas de parler de cette façon. Donc maintenant, je vous présente ok? Ce sera au full. Donc vous avez un espace compact Hex et sur cet espace compact j'ai une chaine marquée. Donc quelle est la chaine marquée? C'est un opérateur. Donc c'est ce qu'ils aiment. En fait, ils aiment l'opérateur théorique. Je suis juste en train de le dire. En fait, ils comprenaient que l'anglais est mieux. Probabilistes, ils aiment les choses qui utilisent l'opérateur théorique. Donc je vais décrire l'opérateur qui est associé avec mon processus random. Donc quelle est la chaine marquée? Donc quand vous avez un espace compact c'est un opérateur d'un espace de fonctions continues à soi-même. Ok? Ce qui est positif qui signifie que si le pi n'est pas négatif le pi n'est pas négatif le pi n'est pas négatif et comme ça, l'image de la fonction de constance avec valeur 1 est la fonction de constance avec valeur 1. Alors, en autres mots ce que vous pouvez dire c'est équivalent or 2 pi est une map de x à un set de mesures de probabilité sur x. Ceux-là ces deux données sont équivalents qui continuent pour la typologie j'équipe le espace de mesures de probabilité sur x avec la topologie et j'ai donné une map continue donc j'ai une map x maps de mesures de probabilité donc c'est ça? J'ai un espace c'est un espace compact ici il est compact x est compact donc ce que je fais j'ai un point et je vous donne une mesure de probabilité donc ce que cela représente représente le fait que j'ai un procès un procès stochastique de ce point va quelque part après une étape donc ma nouvelle mesure de probabilité px c'est la distribution de toutes les images possibles x après une étape et l'opérateur ici l'opérateur il est juste défis par p5x c'est l'intégrale d'un x de pi avec respect à px donc après je prends mon procès j'arrête le procès à une étape et je prends l'adresse de ce que j'ai ok donc qu'est-ce que p star? dans ma situation quand j'ai j'ai gamma qui fait un x une mesure de probabilité mu sur gamma qu'est-ce que p star? qu'est-ce que px? c'est juste la convolution de mu avec respect à x ok c'est juste l'image c'est l'image de mu sous la map g maps to gx qui va de gamma à x c'est j'arrête le procès c'est que j'arrête les éléments en g j'arrête le procès et je regarde ce que j'arrête et c'est la mesure de probabilité c'est px c'est la production de convolution ok donc c'est une façon formale de parler d'une marque de chaine une marque de chaine est un opérateur dans l'espace de fonctions ok et pour une marque de chaine donc c'est pour être plus précis c'est le marque de félère opérateur marque de félère opérateur cette définition c'est la définition de marque de félère opérateur ok et pour une marque de félère un opérateur il existe toujours une proposition qui est la même qu'une qui vous dit que tous les homéomorphismes d'une marque de félère admettent une probabilité invariable majeure alors c'est le groupe zisk c'est amenable si vous avez p marque de félère opérateur sur une marque de félère x puis le joint de p donc p est un opérateur dans l'espace de fonctions continues donc le joint de p est un opérateur dans l'espace de mesures complexes et ce joint préserve une probabilité de majeure et le prouve donc vous savez par le cas particulier où p est l'opérateur de conjugation par une transformation continue c'est ça bien sûr vous pouvez prendre si vous avez une marque de félère de x à x que vous voulez considérer comme un système dynamique vous pouvez toujours mettre px pour être la majeure directe de la majeure à x c'est p de la fonction c'est p composé avec p ok donc cette langue en particulier contient la langue classique dynamique c'est la langue de la dynamique vous avez des transformations sur le set mais en particulier contient des dynamiques deterministes ok donc en particulier cette théorème p star est le joint de p p est l'opérateur entre l'endomorphisme d'un espace donc il induit l'endomorphisme d'un espace qui est un espace de mesures complexes donc la preuve est la même comme en ce cas c'est que vous prenez nu n pour être 1 over n l'autre âge d'images sous les pouvoirs de p d'un given vous commence avec la majeure l'autre âge d'images et vous prends un point limit et ce que vous avez c'est la majeure de probabilité de p et en particulier la corollerie de cette construction c'est le fait que admettre si nu est unique donc c'est la même un marcoff félère qui est une majeure de probabilité unique c'est l'analogue d'une uniquement ergonomique d'un système dynamique parfois vous voyez des transformations qui sont uniquement ergonomiques ce qui signifie que j'ai préserve une unique probabilité majeure donc l'analogue est une uniquement ergonomique marcoff félère opérateur et une uniquement ergonomique marcoff félère opérateur est un opérateur qui admite une unique invariant de probabilité majeure et en ce cas si la majeure est unique juste de la construction ce que vous avez c'est que si vous regardez pour n'importe quelle fonction ce n'est pas la même nu nu n'est pas ok si nu est unique et la notation est invariante ok si nu est unique je suis perdu maintenant ok vous devez prendre n'importe quelle fonction et vous c'est marcoff avec des régies ce qui convertit pour l'intégrale uniformité si ce n'est pas uniformité vous pouvez construire un nouveau point limité ce qui serait une autre invariant majeure ok donc en particulier quand vous avez un marcoff félère donc quand vous avez un système dynamical qui préserve une unique invariant majeure pour freer ce que vous avez est un résultat equidistribution quand vous avez un système dynamical qui préserve une unique invariant majeure vous avez la même sorte d'équidistribution statement ok donc c'est le proof un ordinateur donc je vous l'ai dit en ordinateur vous commencez par prouver un phénomène inergodique de la théorie puis de cela vous deduisez un phénomène topologique donc ici est le cas ce qui est très facile Assumez que vous avez donc par exemple SL2R divisé par le groupe fondamental de la surface et vous regardez le flux de recyclage puis vous appliquez premièrement vous appliquez la classification de majeure de la classification de majeure de la classification vous savez que chaque orbite de la classification de la classification est homogenous mais vous avez la classification donc chaque fois que vous faites ce n'est que la gamma donc je vous l'ai dit par vous ok et maintenant je sais que vous avez une orbite de la classification donc pardon je veux non je veux deduiser ici c'est comment deduiser ce que je veux c'est deduiser la classification de la topologie de la majeure de la théorie de la classification de cette très particularité ok donc je prends une orbite de la classification c'est le set compact non, pardon je veux le faire de cette façon excuse-moi Assumez que vous avez une majeure de probabilité nu que c'est un invariant et ergotique puis ce que vous savez est que il existe une groupe L que nu est un invariant le unique invariant de la majeure L invariant de la majeure est carré par une orbite à nouveau donc nu de lx est un et il est en invariant mais comme je l'ai dit nécessairement à l'arrivée nu est inclus dans L ce qui signifie que L est equal donc N est equal à U ou à SL2R mais ici ma laitise est compact ok donc en ce cas comme je l'ai dit quand vous avez un compact laitise à l'intérieur de la laitise SL2 il ne peut pas contacter une clé de recyclage donc ce cas-ci est exclus ce qui signifie que dans ce cas ce flux est uniquement ergotique bien sûr ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas ce n'est pas c'est le lien entre Ratner-Ciorem, l'ergodique-cioretique Ratner-Ciorem et les mesures et la topologie de Ratner-Ciorem. Il y a tellement de problématiques invariables que nécessairement, vous avez l'équidistribution qui vous dit que vous pouvez discrétiser l'orbite-closure. Donc, nous allons le faire plus précisément. Nous allons utiliser le troisième Ratner-Ciorem. Vous savez que l'orbit, quand je follow l'orbite, donc j'ai mon espace ici, j'ai l'orbite et je sais que l'orbite est equidistribute contre les mesures qui ont un support. En particulier, les mesures sont faites, l'orbite est faite. Le point c'est que l'une des mesures invariables a un support. C'est le fait que si vous avez une dynamique d'ergodique pour qui la meilleure mesure invariable a un support, la dynamique est minimale. C'est ce que j'ai dit, mais ce que j'ai voulu focuser c'est l'équidistribution, car c'est celui qui s'écoute. Donc, ici, c'est le Ratner-Ciorem qui s'écoute g et lambda. C'est le groupe de l'I et le lattice. Et vous avez us dans g qui est un paramètre. Je vous ai dit le casier du Ratner-Ciorem est le casier du paramètre unipotent subgroup. Donc, vous avez... Maintenant, le groupe actif est le paramètre unipotent subgroup. Puis, pour n'importe x dans g et lambda, si vous regardez pour n'importe quelle fonction avec support compact que j'ai envie de faire avec les lattices qui ne sont pas compacts, si je ne veux pas regarder le rôle intérieur sur une pièce de l'orbitage de la fonction, ce qui convertit l'intégrale de la fonction avec respect à une mesure mais maintenant la mesure dépend de x. Et ce qui est de nouveau x, c'est précisément de nouveau x est la mesure homodyneuse sur l'orbitage de l'orbitage de x. C'est-à-dire que vous savez qu'il y a une mesure de la classification de l'orbitage de l'orbitage que vous savez qu'il y a une mesure naturellement associée à un point. Et ce que je vais vous dire c'est que cette mesure vient d'une propriété d'équidétribution. C'est-à-dire que quand vous follow l'orbitage, il sera equidétribué vers cette mesure. Donc, en général, en général, cette mesure dépend de l'orbitage. Donc cette version n'est pas un uniforme. Dans le cas unique de l'orbitage, cette convergence est uniforme. Mais, sur l'orbitage, oui, pardon, mes notations ne sont pas très belles. C'est ce que je... J'ai essayé de le faire très petit afin que vous ne le voyez pas. Donc, c'est ux, l'orbitage de l'orbitage de x sous u. Où l'u est ce que je l'ai dénoté par gamma, c'est-à-dire que c'est l'acte de groupe, le set de valeurs de mon paramètre unipotentateur de groupe. Ok, donc chaque point vient avec une mesure. Et en fait, il vient avec une propriété equidistribuée, qui est beaucoup plus forte et qui vient seulement avec une mesure. Ok, donc, dans notre... Donc, c'est le cas déterminant, c'est le cas de Ratner. Dans notre situation, nous allons prouver la propriété de cette forme. Donc, ce que nous allons faire c'est que, à l'aide d'un groupe acteur sur le space, nous allons répliquer le groupe par la probabilité de la mesure. Et le groupe, dans notre spirit, sera le groupe spané par le support de la probabilité de la mesure. Et nous allons prouver la classification de mesures stationnelles. Juste, la classification sera la même que... nous allons regarder la conclusion, nous allons regarder la conclusion de la description de la mesure de Ratner. En utilisant cette classification nous allons prouver une propriété equidistribuée. Mais, à l'aide d'une propriété equidistribuée pour un flow, comme Ratner sur M, ce sera une propriété equidistribuée pour un marque d'opérateur, une propriété equidistribuée. Ok? Et, d'ici, nous allons obtenir la classification d'orbitageurs. C'est la stratégie. Donc, laissez-moi vous constater la classification de mesures stationnelles. Assumez, G est le groupe, lambda est le lattice, et maintenant, je n'oublie pas de gamma, parce que ce qui m'intéresse pour moi n'est pas gamma, mais la probabilité majeure. Ok? Assumez, mu est la probabilité majeure, c'est-à-dire, Borrel, la probabilité majeure, bien sûr, en G, qui est compactement supportée. Et comme ça, si je laisse gamma mu pour être le groupe sub- span d'un support de mu, le plus grand gamma mu, donc je prends l'image par l'action adjoint et je fais la même assumption qu'il y a là-bas. C'est-à-dire, il est span, il est à la clogère de Zariski, il est span par un potentiel unipotent, non, je ne sais pas, ce n'est pas un conjecteur, mais je ne sais pas comment prouver le conjecteur. C'est un semi-simple, ce n'est pas un facteur compact. Puis, par exemple, vous avez une groupe G, et vous avez un copier de SL2 dans G, vous mettez la majeure et vous mettez donc vous avez SL2 qui est embêtée dans la majeure de G et vous avez deux éléments dans SL2 qui spanent le groupe Zariski-Dens et vous avez votre majeure de probabilité pour être 1,5 de la majeure de masse et c'est un exemple canonique c'est réglé l'exemple qu'on veut faire. Vous avez deux éléments qui spannent en SL2 de toute façon vous criticiez la probabilité majeure la probabilité majeure dans toutes les masses. OK C'est un semi-simple avec aucun facteur compact et puis chaque stationnerie une majeure de probabilité pour une majeure de probabilité dans la хотите de l'AMDAA est redormi. Vous avez une majeure de probabilité pour la majeure de probabilité de probabilité. Donc je n'ai pas découvert Donc, dans la classification de Gamma, encore une fois, il y a le même problème. Si je veux classifier les mesures de Gamma invariants, je dois classifier l'ergotique, parce que ce n'est pas une notion de la mesure stationnaire. Non, parce que ça ne fait pas le sens de parler des mesures de Gamma-MU ergotiques, parce que Gamma-MU ne préserve pas la mesure. Donc, je vais définir ça dans une minute. Mais, quand l'espace est compact, quand la Gamma-MU est compact, l'espace de mesures invariants est un set compact, et c'est un point extrême, et ils existent par les mesures de Gamma-MU. Et en général, ils existent pour des raisons abstractes. Quand l'espace est compact, en général, c'est toujours un point extrême. Mais, à cause de Gamma-MU, quand l'espace est compact, c'est clair qu'ils existent, et que pour classifier les mesures invariantes, vous avez elles, et quand l'espace n'est pas compact, ils existent pour des raisons abstractes ergotiques. Vous devez travailler un peu dans une mesure theoretique, mais vous avez des mesures extrêmes. Et vous devez, encore une notion de stationnalité, une combinaison stable par l'espace. Donc, si vous voulez classifier, vous devez classifier un point extrême. C'est juste ce qu'il veut dire. Ok. Tu me répète ce que tu dis avec le homodyneus ? Le homodyneus ici est toujours le même. C'est... Le homodyneus veut dire qu'il existe un L dans le G comme ça. Et il existe un L, il existe un point, par un L, je veux dire un groupe de G, il existe un point G sur l'amda, comme ça, nu de lx est 1 et nu est L invariant. C'est toujours le même. Et en particulier, cela implique que l'orbitage est fermé. Cette assumption, pour moi, assumez que si vous avez un orbit avec un volume de finite, nécessairement, l'orbitage est fermé. C'est le fact général d'un groupe de G. Ok. Donc, en particulier, cette orbite ici, cette mesure, ce sera un invariant de M.M.U. Donc, à la fin du moment, je vous explique que toute la stratégie était pour dealer avec mesures qui ne sont pas invariantes. Et il s'agissait que toutes ces mesures stationnelles sont en fait invariantes par les groupes et par le support de la mesure actuelle. Mais je ne sais pas comment prouver cela directement. Donc, pour ce genre de problèmes, il y avait ce état d'un système dynamométrique sur les spaces homodéniaux. Il était initié par Fürstenberg, de toute façon, d'autres personnes aussi. Mais cette approche en utilisant la théorie ergodique était initiée par Fürstenberg qui introduit une notion de la «stiefness». Et il a dit qu'une action est «stief» quand chaque mesure stationnelle est en fait invariante. Et il a demandé si, pour cette sorte de situation, c'était possible de prouver que la action était «stief». Donc, en particulier, ce que l'on prouve, c'est que la action est «stief». Mais on ne prouve pas directement. C'est à prouver qu'elle est «stief». On classifie la mesure stationnelle et on prouve la liste et on voit qu'elles sont invariantes. Mais nous n'avons pas un argument a priori pour prouver que chaque mesure stationnelle est invariante. Nous sommes obligés de faire la toute classification et puis de vérifier qu'elles sont invariantes. Ok? Donc ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... C'est le seul groupe spanned by the support of new preserve the support of the measure. Ok? So gamma new preserve this space. Ok? And it is easy to prove just from abstract arguments about hard measure that it is easy to preserve the normative, it preserves the hard probability measure. By uniqueness. You can take L to be the connected component. Then it is the connected component of the stabilizer. So it is normalized by gamma new. So the hard measure of L is normalized by gamma new. So necessarily the measure is a unique and invariant measure. So it must be invariant under gamma new. I agree with you that it is not a priori evident. You have to make some to develop an argument using abstract hard measure theory etc. From this situation just by abstract hard measure considerations it is clear that you can prove sorry it is not directly clear but you can prove just not using the geometry just using the fact that you have locally compact groups etc etc that the measure must be gamma invariant. I should have say that you have to use to work a little but it is easy and it is general. It does not use the fact that you have league groups that you have unipotent elements etc. It is just an abstract fact. Ok. Now what is... So again I told you I have my... So this is topological theorem. This is now the major theoretical one. And the link between both theorem again is the phenomenon of equidistribution. So I told you in Ratner's theory you have this property of equidistribution which draws the link between the topological theorem and the major theoretical one. And so here is the statement we look the same in our case. So assume that you have G and lambda as above. Ah, let me just state one thing. I told you it is technical but in Ratner's theorem I told you that for proving the major theoretic classification you don't need the discrete group lambda to be a lattice. The space can have infinite volume. The space on which you act can have infinite volume. In our situation we will use this assumption. Ok. So this is what we prove is slightly weaker in the major theoretic case that we need the group to be a lattice. We need the space to be small. Ok. So we need a control of the geometry of the space in the part of it where the injectivity radius is small. Ok, this is... And for lattices you have a precise description of the cusp. So for example, if you have a group G, a subgroup lambda and the injectivity radius of the quotient is bounded below, we can prove the theorem. Ok. So what we use is the fact that for lattices in particular, in fact we think that this theorem is true without the assumption that lambda is a lattice but at some point we use really the geometry of the cusp in lattices. So this is a technical part. Just to mention that there is a... Ratner's theorem is very general and we are not able to reach this kind of generality. Assume G is a lig group, lambda is a lattice and mu is... So G lambda r is in the theorem. So here is the equidistribution property for any x inside G mon lambda. When I look at 1 over n, so I take exactly the Birkhoff-Averages which appear there. Ok. Just the way in Ratner's equidistribution theorem you use the classical Birkhoff-Averages along orbits of a flow. So this means that... So instead of writing them with a Markov operator I write them with probability measures but this is the same. So I look at the probability measure which I obtain by looking at the distribution of the random walk after step 1, step 2, step 3, etc. And I take a Chésarro-Averages. This gives me a probability measure and this converges to new weeks. So converges in this sense that is in the weak-star sense as soon as I hit this probability measure against a compactly supported continuous function I get convergence. This is what I write for... This is the vague convergence of measures. And what is new weeks? New weeks is the unique homogeneous probability measure on the orbit closure of x under the group span by the support of the measure. The topological theorem gives you... You have this orbit closure. You know that it is an orbit and this orbit has finite value so that it comes with the probability measure. And you have an equidistribution property which is really analogous. It is an equidistribution property of the distribution of the Markov chain which is analogous to the equidistribution property which appears in Rappner's theorem. Since I have ten minutes left I will enforce this equidistribution property because I told you you are looking at a Markov chain. So you have a point. So let me stop for a minute. Just as in Rappner's theorem in particular this reproves if you have a property of this kind you know that the gamma mu orbit is dense in the support of mu x. So this is why from an equidistribution, because mu k here this is just an average of the action of elements of the group gamma mu on the point x. So you know that the support of this limit measure is contained in the orbit closure of gamma mu x. So this is how because somehow when you prove theorem you prove the both together in the statement of this equidistribution property I use the topological theorem to tell you to which measure it converges. In fact you prove both theorem together. You get both the description of the orbit closure and the equidistribution property. So I told you you have your space x I want the action I want to look at it as a random process. So I have a space I pick a random element I go to gx and then I want to iterate this. And for the moment I didn't describe you the trajectory of this random process. I gave you the distribution of I describe you the distribution of the trajectories but not the trajectory itself. This is not something that is useful to prove the topological theorem but we can describe the distribution of the trajectory. So we can do a little more. This equidistribution is an equidistribution in law on average but we can in fact prove the same equidistribution phenomenon for trajectories. So this is the nonchal statement. So here is the statement. So this is the same theorem that is part one say for example equidistribution in law but I will give you a stronger statement so again to prove the topological theorem from the major theoretic one you just need this statement. But I will give you a probabilistic statement really a statement which is true for trajectories for random trajectories which implies this one. So here is the statement. So you take g1 a sequence of elements in g or in gamma mu, this is the same which are independent and with low mu. What you do when you have a probability measure on r and you want to study the law of large numbers you pick random elements in r which are independent from each other and you make the sum. So here I am not interested in the sum I am not interested in the product ok and I want to follow I have a point x in my space so at time 1 I am at g1x then I am at type 2 and I am at g1x etc etc and I want to follow this random trajectory ok and then the theorem says that almost surely when I look at this random trajectory it equidistributes that means that I take all the points in my random trajectory and I average I take the uniform measure on the end first point in my random trajectory and this converges in the same meaning towards new x so I state td so this is une equidistribution property which now is closely related to this one that is here I have a deterministic trajectory I have a flow and the trajectory equidistributes towards a measure here in this situation I have a random dynamical system so I apply random transformations and what I prove is that with probability 1 the trajectory equidistributes to a measure exactly as in Birkhoff-Ergodich's theorem almost surely so this converges so what do I mean so I stated this with probabilistic terms the set of sequence d i's inside d n such that this convergence holds as measure I am just specising what almost surely means if you are familiar with probability theories this is a usual meaning but for those who are not familiar with probability theory most surely you take the set of sequences d 1 etc d k for which it holds and it has measure 1 for the product measure this is what it means to converge almost surely but in my spirit I don't want to speak of a set of sequences where something holds but I want to look at my sequence because this holds with probability 1 this is just a formal statement this is a probabilistic statement I stop there do I have something more to say so next time so maybe I will tell you what I will do next time so next time I will I will introduce so to prove this theorem you need to have so you see the key point is to study product of random matrices so in the proof of the key point is to prove the classification of stationary ergodic measures and this relies on an asymptotic properties of this trajectory we will study this trajectory and try to say some things on it etc etc in particular we need to know so we think to you take the adjoint action and you want to know how this matrix looks like if you want to have informations about the trajectory first you need to know who is acting so we need to describe the way first this product of random matrices behave and we don't need to describe it because it is known that is there are very precise limit theorems and the behavior of this product of random matrices so next time I won't speak about thermodynamics I think I won't have time I will just speak about product of random matrices so we will use in our proof of the classification of stationary measures we will use all the power of the theory of product of random matrices so it is due first to Fürstenberg or the first to give a general statement about the behavior of a product of random matrices and there was then a round give-out so give-out and risk also so say give-out le page grogi started proving things like central limit theorem large deviations principle and there was also contribution of Margulis Goldstein surely other people who I forget but the point is that and this is how we can prove this theorem this is the point is that we really know the way this matrix look like we know where it is we know its size, we know the direction to which it contracts etc so next time I will remember all this theory and try to explain you why it works why one can describe ok thank you why is 2 stronger than 1 actually why is 2 stronger than 1 because you just take expectation here and you recover 1 you mean ah, when there is a unique stationary measure yes, there is a general theorem for Markov-Feller operators ok, yes it is under the same assumption you have almost sure distribution of trajectories ok, when in the case of unique argolicity the two theorems follow from an abstract phenomenon ok, and we use this approach that is of course it is not stronger because both are true you understand what I mean but if you have a Markov chain which satisfies the property but where the measure depends on x here, when the measure does not depend on x, as you said when there is a unique invariant measure it is true that both properties hold ok, but there is no reason I don't know examples but when the measure depends on x there is no reason for this property to imply this one whereas this property clearly implies this one just by taking expectations and the other question is something that I missed so in the same of random theorem you say that the parameter is spanned by add unipotence, one parameter subgroups did you claim that sorry that the parameter is a linear one no, no, no, no, no, no, no a semi-simple group satisfies this property SL2R is spanned by unipotence subgroups but what I said maybe I should have said it in Ratner's theorem, the key point is to prove the theorem for one parameter subgroups of course, of course, yes in Ratner's theorem, you deal with SL2 which is not amenable, but in fact you deal with SL2 the conclusion is so strong for one parameter subgroup of SL2 that it gives you SL2, this is the point if you look at the proof of Ratner's theorem she never managed in all the papers, she only managed these measures that are invariant by one parameter subgroups then at the end, she has an argument so by proving that what she gets for one parameter subgroups is so strong that in fact, she recovers all of SL2 etc. thank you thank you very much