 Je dois premièrement remercier les organisateurs pour m'inviter à cette grande conférence. C'est un grand honneur. Donc, j'ai pensé qu'il y avait un étudiant de Berger qui a donné la parole, Dominicula, et Gilles Caron était un grand-son de Marcel Berger. C'est un grand-son de Berger. J'ai fait mon étudiant avec Laurent Guiappé, qui était un étudiant de Cologne Verdière, qui était un étudiant de Marcel Berger. Peut-être que je suis plus dans l'analystique de la décennance de Marcel Berger. Et je devrais ajouter que je pense qu'il existe maintenant un grand grand grand grand son, comme une génération après. Donc, cela continue. Et en fait, je vais parler d'un sujet qui est relativement à ce que Berger a travaillé. En particulier, je pense que Roné Michel, qui est probablement ici, qui a travaillé sur ce sujet dans les années 80. Donc, je vais peut-être commencer avec le problème. C'est-à-dire le problème de la pandémie de rigidité. Donc, quel est le problème ? C'est une question géométrique sur la pandémie de rigidité, mais vous pouvez aussi voir cela comme un problème inverse. Donc, on considère un manifold M avec la pandémie, smooth. Et puis, on considère deux métriques, deux métriques restants. Et associé à ces métriques, vous avez une fonction distance, qui est la length de la courbe shorteste entre deux paies de points. Donc, je n'arrête pas par dg1, dg2, une fonction distance pour ces deux métriques. Et ce que nous considérons est la restriction de cette fonction distance pour les paies de points sur le boulot. Donc, défendre bgi, c'est juste la distance restrictée pour le boulot x le boulot. Donc, essentiellement, nous regardons que nous avons notre manifold. Et pour chaque paie de points, nous computons la courbe shorteste, la length de la courbe shorteste. C'est possible que, par exemple, entre ce point et ce point, la courbe shorteste n'est pas nécessairement de géodésique. Donc, la question est de savoir si cette restriction de la fonction distance détermine la métrique, que si beta pour g1 equals beta pour g2, g1 est isométrique pour g2. Donc, le problème est que si beta pour g1 equals beta pour g2, est-ce que c'est vrai qu'il n'y a pas d'informatisation qui repart la première métrique pour la deuxième métrique? On peut aussi voir que c'a dû être l'identité dans le boulot. Donc, c'est le problème de l'identité du boulot. Donc, la question est si c'est facile de voir que c'est non, en général. Donc, il y a beaucoup d'exemples, et tous les exemples sont essentiellement d'exemples où vous avez plusieurs géodésiques entre quelques points de paire. Donc, pour exemple, vous pouvez prendre un disque, mettre une métrique flat ou une métrique basée. Et puis, une autre métrique qui a un grand boulot comme ça. Et c'est facile de voir que typiquement, les géodésiques entre chaque point de paire ne vont jamais rencontrer cette région parce que dans les passages on peut faire comme ça. Donc, vous pouvez changer ici, on ne va pas pouvoir voir la métrique dans cette région. Donc, c'est pour l'exemple. Donc, maintenant, il y a une subclass de métrique qui a été considérée peut-être par Euron et Michel qui était l'un des premiers à regarder ça. Et il y a une conjecture, en fait, à cause de lui. C'est ce simple manifold ou boundary rigid. Donc, je vais vous expliquer ce que ça veut dire. On dit que le manifold est boundary rigid si, c'est une définition, si beta-g equal beta-g prime implique que la g est isométrique pour la g prime. Alors, ça veut dire que c'est tout le même que ce que j'ai écrit avec le psi. Et ce sont ces simples manifolds qui disent que la g est simple. Donc, il y a trois conditions. En fait, je dois dire mg, c'est simple. Si m est une balle, c'est un balle topologique. C'est la première condition. La seconde condition est que la boundary est strictement convex en respect à la métrique romaine. Et la troisième condition est que la métrique n'a pas de conjugate point, pas de conjugate point. Dans ce cas, chaque paire de points est joint par une unique géodésique. Elle a des bonnes propriétés. Donc, la conjecture est toujours en général, mais elle a été installée dans plusieurs cas. Des cas où elle est connue. Donc, premièrement dans dimension 2, sur les surfaces. Puis, en fait, la conjecture a été installée. C'est un terrain. Michel Conjecture s'occupe. Et c'est prouvé par ce qui a été installé par plusieurs mathématiques. D'abord, par un croc et un hôtel. Plus ou moins en même temps. Rien de 90, je pense. Donc, c'était dans la conjecture non positive. Donc, bien sûr, la conjecture non positive implique pas de conjugate point, mais c'est un subclass. Et ça a été installé en général par Pestoff et Riemann. En utilisant aussi un plus tard le travail de Moukomet de 17-18-18-18. Maintenant, dans la dimension haute, il y a aussi des résultats. Donc, ce que nous savons, je ne vais pas aller sur les résultats, mais nous savons par exemple que un domaine flat dans la haine, un domaine simple flat ou un régime de bandes. Donc, c'était prouvé par Gromov. C'est un domaine simple. Donc, un domaine simple de... Je dois ajouter que Michel a prouvé d'abord que un domaine de courant constant c'est simple de manifester avec courant constant ou de bandes de régime. Donc, bien sûr, c'est moins général que un hôtel, mais c'était beaucoup plus tard. C'était dans 81. C'est un domaine simple dans le localisimétrique space. Donc, c'est suivi par Besson-Cortoyero. Borago and Ivanov ont aussi prouvé que... prouvé que un domaine simple close à un domaine flat ou de bandes de régime. Donc, un domaine flat, bien sûr, et peut-être le plus... peut-être le meilleur résultat en tant que prouvé très récentement. Il s'agit d'une conjecture de Michel dans un subclass, qui est déjà une grande chose, c'est en fait la même classe que ce que l'on considère par croque et hôtel. C'est le résultat récent de Stéphane Hoff, et ils prouvent que Michel conjecture hôte pour un domaine simple non positif dans toute la dimension. Littéralement simple et magnifique. Donc, ces prouves sont vraiment géométriques. Ici, ils utilisent l'embaillement du magnifique en utilisant la fonction distance. Cette prouve est vraiment analytique. Et la prouve de Pesto Fulman, ici, c'est la même. Ces prouves sont vraiment géométriques. La prouve de Pesto Fulman est très analytique, en fait. Donc, ça semble que, plus fort que un set non positif, l'analyse est, à peu près, réquivée. Peut-être qu'il y a plus de prouves que ceci. Ce n'est pas le cas. Donc, j'ai mentionné deux résultats sur ce problème. Les deux résultats que je vais considérer ne sont pas dans un set simple, pas pour un magnifique simple, mais dans une classe un peu plus générale. Donc, si vous voulez aller plus loin dans un magnifique simple, il y a trois choses une est l'un est le convexité de l'analyse, l'autre n'est pas le conjugate point, et le dernier est peut-être le topologie. Donc, les cas qu'on considère seraient peut-être le convex de l'analyse, et l'autre sera la topologie, à peu près dans certains résultats. Mais la condition avec aucun conjugate point n'est pas capable de rembourser. Ok, donc, je me souviens peut-être les résultats. Donc, en fait, cela a été prouvé avec le magnifique. Donc, on va montrer que sur M, simplement connecté sur la surface, connectée sur la surface. Si vous avez deux métriques avec aucun conjugate point, donc, vraiment, ça signifie que tout le géodésique dans le manifold n'a aucun conjugate point. Ensuite, beta1 betaG1 equals betaG2 implique que la G1 est isométrique de G2 avec la même condition que ce que j'ai mentionné avant, qu'il existe des morphismes, qui le portent à l'un à l'autre. Donc, vous pouvez penser de cela en suivant le résultat de Pestofullmann, en fait. Donc, ce que nous avons ici, c'est la nouvelle condition que nous avons retiré la convexité de l'abandon. En fait, la convexité de l'abandon pourrait aussi être un peu mal, vous pourriez même avoir des choses oscillant beaucoup. Et en général, la distance comme je l'ai dit, n'est pas nécessairement réalisée par le géodésique. Donc, j'explique un petit peu des idées de preuves. Et en développant l'idée, je vais également mentionner un autre terrain. Des idées de preuves. Donc, le premier étape est un étape géométrique. Donc, étape 1, on va en fait aller de la distance de l'abandon d'une autre date, qui s'appelle la date de l'abandon. Donc, je vais définir la date de l'abandon. Donc, quelle est la date de l'abandon ? Donc, d'abord, je dois introduire un important objet, qui est l'abandon de l'unité de l'abandon. Donc, c'est juste un peu de point et de l'abandon avec la vitesse 1. On a le flow géodésique FIT Le flow géodésique qui acte sur l'abandon de l'unité de l'abandon. Ok. Le flow n'est pas complet, bien sûr, mais c'est défini pour quelque temps. Je vais dénoncer l'axe de l'abandon de l'abandon, de l'abandon de l'abandon FIT. Et je vais définir deux quantités. Donc, l'une est la période de voyage. Et l'autre est appelée la map de scatchering, la map de scatchering, de l'abandon de l'abandon, de l'abandon de l'abandon, de l'abandon de l'abandon. Donc, la première quantité que je dois définir est l'exit de temps. Donc, l'exit de temps, je vais dénoncer 2G+. Ok. Et il va être le maximum de temps où l'axe de l'abandon FIT, l'axe de l'abandon est défini. Donc, et je vais définir un autre data qui est appelé Sigma G. Donc, pour Y, dans l'abandon de l'abandon de l'abandon de l'abandon de l'abandon, donc, cela pourrait être défini pour que l'abandon de l'abandon de l'abandon de l'abandon de l'abandon de l'abandon juste vous vous avez pris le flow de temps pour éviter et vous évaluatez à Y. Alors, je vais en faire une photo, c'est assez facile de voir ce que cela signifie. Donc, si je prends, par exemple, le point Y ici. Donc, Y est vraiment le point au-delà et la direction. Donc, V est ici. Je vais juste flow. Et je regarde quand je ne peux pas flower plus. Donc, cela me donnera c'est l'exit-time tau et je considère le point ici x' et la direction v' et c'est ce qu'on appelle la map de scattering c'est la map de scattering donc l'un des données de length est la combinaison de ces deux choses c'est l'exit-time restricteur de l'escalier de SM et le sigmaG donc vous considérez le temps que vous avez besoin d'escalier et aussi les angles d'intersection avec l'escalier donc la première chose que l'on fait dans la première étape c'est la proposition si beta g1 est equal à beta g2 donc g1 est equal à g2 dans l'unité c'est la première chose et les données de length agreeent donc tau plus g1 restricteur de l'unité enjeune et sigma g1 est equal à tau g2 plus sigma g2 pourquoi il n'y a pas d'escalier ? pourquoi tout ça ? ceci est de ma assumption ici en général, bien sûr, l'exit-time maximum de l'escalier peut être infinie pour l'escalier de l'escalier donc je peux toujours définir cela d'exception d'un certain nombre d'escaliers qui vont être traités mais sous cette assumption nous pouvons montrer que l'escalier a besoin d'escalier bien sûr, si vous n'auriez pas de congéat point ce n'est pas vrai, mais en ce cas et ici nous n'avons pas d'oppologies c'est un petit terrain, mais ça peut être prouvé ok, je vais essayer je suis désolé, je n'ai pas utilisé mon système donc je ne veux pas donner le détail de cette preuve ce n'est pas vraiment si simple et en fait, on croit que c'est peut-être une erreur dans la dimension supérieure ceci est très bien connu pour des manifestations simples mais en ce cas, c'est plus difficile donc il y a deux choses c'est l'idée de cette proposition ici je définis le temps exigeant ce qui est le maximum de temps de vie de géodésique je peux... et le map de scatchering donc si je prends ce point et cette direction et si je flippe comme ça et je touche la banterie dans une façon tendante, je peux continuer et c'est le sigma g de y mais j'ai une autre map naturelle qui est la première fois de l'intersection avec la banterie et je vais l'aider sgy et je vais l'aider le scatchering du heat et pour l'alimenter la banterie, je vais l'aider le temps de heat on va trouver le temps de heat t plus g de y qui est la première fois d'intersection d'un géodésique avec la banterie peut être 0 et je vais dénoncer sg de y le flux c'est ça cette ligne est t t plus g de y et celui-là je veux dire, c'est plus ça, c'est tout ça il va être t plus g de y donc c'est le temps de heat et c'est le scatchering de heat donc ce que l'on peut montrer c'est et je vais l'aider le temps de heat ce que l'on peut montrer, ce n'est pas si difficile c'est que le temps de heat c'est le même temps de heat plus g1 a la même jette que g2 à la banterie donc c'est toujours up to differentism c'est équivalent d'avoir la même data de l'air plus cette condition donc tout de suite le temps de heat et le point d'intersection de ce qui est équivalent de connaître la dernière intersection avec la banterie et pour cela, on a besoin de cette condition parce que de ces casques où vous avez la banterie qui va s'élater beaucoup ça peut être très mauvais donc je ne vous prie pas mais ce n'est pas si difficile c'est un facteur une autre chose que nous savons c'est que c'est le résultat de Stéphane of Anouman en 2009 je pense c'est que connaître g à la banterie plus la data de l'air permet de déterminer l'infinity jet de g à la banterie donc maintenant oui, donc maintenant la proposition sera prouver si on prouve que la banterie détermine l'infinity jet parce que c'est équivalent pour montrer que la banterie g1 equal à la banterie g2 implique la même banterie de l'infinity jet donc pour cela c'est essentiel l'idée est simple mais pour le faire c'est un peu plus compliqué donc ce que vous faites bien, au moins si la banterie se convient à x l'idée est pour un peu de point x et x' en m vous considérez la fonction distance et vous différenciez avec respect à x et x' et si vous différenciez avec respect à x' vous voyez que vous devriez si vous différenciez vous bougez x' ici dans la banterie vous voyez que par dire gosse gosse l'émanon gosse l'émanon alors vous savez que le gradient de la fonction distance avec respect à x' sera le projecteur du map de sketch à l'espace de la banterie et vous devez différencier ici vous vous verrez aussi cela dirai essentiellement la projection de ce vector dans le space de la banterie ici les données. Donc si vous voulez, je peux écrire la relation exacte, mais ce que vous avez c'est que nabla x' of beta g x' of p, donc p va être la projection of sigma g, or actually s here is the same, sg of x and minus, so v where projection of v is going to be minus the gradient respect to x of beta g xx prime and p, px is the projection from sm, from sxm to the tangent space at dm x, it's just the projection here. So from this relation you can see that you determine the heating scattering map, at least in the neighborhood of pair of geodesic which go from one pair, from one point on the right to another one. Now the problem of course is when you have non convex boundary you will only be able to recover this outside, I mean near the geodesics which are tangent to the boundary, there will be some delicate point to consider. So essentially there are several things to do, one thing is that you can determine geodesics which are entirely contained in the domain by looking at the triangular inequality, you see that triangular inequality will be strict unless you have another point on the boundary. So if you know the boundary distance function using the triangular inequality you will be able to detect geodesics which are entirely contained in the domain or those which are going to touch tangentially the boundary. So this allows to determine this set and then you apply this sort of gradient thing to recover the scattering data in this set of geodesic which are entirely contained in the boundary. Now there is a delicate point is when you have a geodesic, the most delicate point is when you have a geodesic which is tangential to the boundary at both points. So for this the trick is to approximate this by some geodesics which are going to be transverse to this piece of the boundary in boosting and that can be proved using some Sardlemma. It's a bit tricky because you can have like clot of oscillation but using Sardlemma one can approximate those geodesic, this tangential geodesic by some that are transverse to the boundary. By approximating this because we know the boundary distance function determining the scattering in this region we can recover actually the scattering on those tangential thing. So that's the idea of course that there is some technique to be done. And I should add that there is an important point in this proof, is that if you have a geodesic between two pair of points, if you know that there exists a geodesic, this geodesic is necessarily the minimizing curve in each homotopy class and here we are simply connected so this is a fact. So it's not possible that a curve which go in the boundary can minimize the distance. And this is actually not so easy to prove, even though it looks very intuitive. And in higher dimension it's not true, they are counter example. So it's really a two dimensional fact. Geodesics between x and x prime on the boundary or the minimizing curve under the assumption that there is no conjugate point, we are in dimension 2 and we are simply connected, minimizing length. So that's an important dilemma that has to be proved. So this can be done by Milmax and so on, but also using a lot dimension 2. So that's a rough idea of how to do, but at least this show that beta g determine the heating scattering map. Then we have this equivalence using the result of Stefan Neffelmann. So we can really show that beta g allows to determine this exit time and exit scattering map. So now we have to work with this length data. So the second result is the result about this length data. And for this, the strategy is to use best of full man, because that's the only way we know how to deal with curvature that is non-negative. That is not non-positives. The double negation is always complicated for French. Okay, so step 2. And I will mention two theorem. So the first theorem is really related to this, in the case I've been talking about so far. So if you take two surface, two remaining surface with boundary compact, of course, I never say compact, but everything is compact here. We assume that the boundary are isometric with respect to the two metric. And we assume also that g1 et g2 have no conjugate point. And the last condition, we said that they are non-trapping. So what means non-trapping? It just means that the exit time tau gI plus is finite. So all geodesic has a finite existence time. So there's no closed geodesic or so on, which was the case, by the way, in the first term. So this is a marginal class than the first term, because we don't assume simply connected. So it could be, for instance, if you take a hyperbolic cylinder, if you take an example, if you take a hyperbolic cylinder, like that, with a convex boundary, for instance, you have one tau geodesic here. And if you cut this region, you create concave boundary. And this is non-trapping. All geodesic have finite length, but this is still non-simply connected. And you have self-interfecting geodesic, for instance. This means this is an example. This is concave, convex, and let's say with negative curvature. So if we have this, then the length data, sorry, the scattering map, if the scattering map sigma g1 equals sigma g2, then, in fact, there exists a diffiomorphism between m1 and m2, such that the pullback of g2 is conformal to g1. So rho here is some smooth function on m1, and rho equals 0 on the boundary. So while it says that the scattering map, sigma g2, determine the metric up to conformal factor. That's the first theorem. And the second theorem of the same type, so this is, again, the work with Madzukeli and so, this is in the same paper. And the third theorem is the case with trap set, which I proved before. So the same assumption as before, but remove, add convex boundary, strictly convex boundary, and remove non-trapping. Remove non-trapping, but we will replace the non-trapping condition by another condition about the set of trapped geodesic, those which never, which have an infinite toe plus, the one which are defined for all time. So assume that the trap set, K i, which is a subset of S g i m, is a hyperbolic set for the dynamic, for the flow. So what is K i? K i is just the set of point in S g i m, such that toe g i plus of y is infinite. Ah, sorry. Okay. It has to be infinite in both times, in both directions. So it's infinite. And also, if you reverse the time, it's also infinite. So y is xv. Okay. So that just correspond to geodesic, which are, which have infinite time of existence in forward and backward time. It's an invariant set by the flow. We assume that it's a hyperbolic set, hyperbolic in the sense of anosoph. There is a splitting of the differential of the flow into stable and stable. And flow. And for instance, this condition are satisfied if you have a manifold with strictly convex boundary and negative curvature. That's all this condition are satisfied. Then the same, the same result hold. And then sigma g1 equals sigma g2 implies g1 is conformal to g2, up to d4. So it means that all negatively curved surface with strictly convex boundary have their conformal structure determined by this scattering map. So how to prove this? That's a little bit long to explain, but I will 10 minutes. So I will try to explain a little bit the rough idea. So the strategy we follow is the strategy which was introduced by Pestoff and Neumann. It's an analytic strategy. I should say it's due to Pestoff-Hullmann. So it's an analytic method. And this is why it's been a bit tricky to make it work in other case than simple case. It's because it's analytic. The non convexity of the boundary induce some, really some problem on the geodesic flow. And the trapping is even worse. So somehow the novelty here is to understand like more the disanalytic aspect. So Pestoff-Hullmann, their strategy is to work with the linearized operator, which we call the ray-transform, or x-ray-transform, geodesic-x-transform. So there are two such operators. So one, I will denote I0. Let's say it's taking a function on the base, a C0 function. Two, let's say, an L1 function on the boundary of the incoming boundary of the unitangermal. So what means D minus SM is the set of points on the boundary of SM, such that V is inward the pointing. So nu, nu is the inward pointing normal. So this means you point direction inside, who point inside. So how is defined I0? It's just the integral of the function along the geodesic, which start with x, v. So it's just the average of function on geodesic. So I0f of x, v, which is in the inward pointing boundary, is just the integral from 0 to the maximal time of existence, which I call to plus, of the function along the geodesic. That's the thing to consider. And there is another one, which I will call I1, which go from one form to the same thing. So there is a natural measure on the boundary here, which I don't really define here, but it comes from the simplistic structure, somehow, from the Louisville measure. And here, we take a one form and we associate I1 of f at x, v. It's going to be, again, the integral of the one form along the geodesic. So 2g plus of x, v of f of x, x, tv dt x, x, tv dt. And one has to look at the property of this operator. In particular, it's kernel, and it's range, somehow. It's not that this I0f integral over this is finite, because after evaluation of the integral, it is a real value function. I0, I0n2 real value, because you're evaluating. So that should be integral over I0ff. Non, non. It's a definition here. It's a function, which is in L1. No, no, no, it's a function that is L1 on the boundary. It's defined almost everywhere. So we need to, the strategy of best of human is to consider this operator and prove. What they prove of best of human is that if I0 is injective, if the adjoint is surjective, and if the kernel of I1, of course there is a natural kernel for I1, because you integrate a form. So if you integrate an exact form with a primitive, which vanish on the boundary, you get 0. So f is 0 on the boundary. So you have a natural kernel, which are exact form with primitive on the boundary. And if you prove this three property, essentially, I'm cheating a bit, but essentially, you're able to prove that the scattering map determine the conformal structure. It's an interesting approach, because you really reduce a non-linear problem to three linear problem, three linear operators. So this is what we prove in these three theorems, these two theorems 2 and 3. We prove this property. I0 is injective. I0 star is surjective. And the kernel of I1 are exactly exact forms. I cannot go into detail. Of course, it's too long, but I just want to say that proving that, studying the proving, for instance, that kernel of I0 is 0, amounts, at least the way we can do it, amounts to two things, if you want to think to prove. The first thing is a purely dynamical system question. It's a Liffic type theorem. You want to prove that if f, say, C0 function, or actually, let's say, C infinity, the C infinity function on SM, satisfy that it's integral along all geodesic with finite length. So when I mean finite length, it means that it has to touch, to have its pair of points on the boundary. If you have a function which integrates to 0 along all geodesic with finite length, then f is a co-boundary. It's a derivative of a function by the flow, and u is a smooth function which vanish on the boundary. So that's the Liffic type theorem. It's a kind of density of Dirac's Mac on geodesic, if you want, inside the invariant distribution by the flow. And the second aspect is an energy identity. So this is really purely dynamical system. It doesn't have anything to do with geodesic flow. And the second thing is an energy identity, which is due to Mukomettov and Pestov, which I won't write, but which is really particular to geodesic flow. As long as you have no conjugate point, this energy identity works in all cases, so particular to geodesic flow. So somehow this part is already well known, there is nothing to do. Maybe the more difficult part is this Liffic type theorem, for the injectivity. Ok. Ok, maybe just one minute to just explain somehow. Ok, in the non-convex case, it was not done so far. And of course in the trapping case also, in the trapping case already, this part is already quite non trivial. But in the non-convex case, the thing which was not done, for instance, in Pestov-Fullmann, is really proving that this I0 star is subjective. So of course you know that, I mean, you expect that if I0 is injective, the adjoint maybe should be subjective, but there is something to prove. You need stability estimate for I0. So you need to prove that the range is closed for I0 star. And proving this, the usual strategy is to consider what we call the normal operator, which is composing I0 with I0 star. So we get a self-adjoint operator, which is injective. And if this operator is fredolm, you can get subjectivity. And in the simple domain case, this is actually a non-local operator, which is the Laplacian to power minus one-half plus more smoothing term. It's really like the RAD1 inversion formulae, if you want. That's what you get if you do RAD1 inversion formulae in R2. You would get exactly the Laplacian. That's in the simple domain case. In the case with non-convex boundary, this is not true anymore. This is more complicated. The more smoothing, there will be singularities. And with the hyperbolic trap set, if I consider this operator, I prove that this is again true. Of course, if you assume a plus strictly convex boundary. So in the non-convex case, the strategy is really to change, to modify this operator. Try to find a nice operator, which is a bit related to this. And the idea is to separate the glancing trajectory, the trajectory which are going to be tangent to the boundary, to those which are not. We cut the geodesics, if you want, in this operator. The geodesics, which are not tangent, they will have a nice property. They will be a little bit like this. They will have some electricity in certain direction. And those which are glancing, we have to do something else. We have to extend the manifold, put some artificial transverse hyper surface, and introduce some new x-ray transform for dealing with this trajectory. So maybe I don't enter in detail, but it's a little bit technical. But that's the rough idea. I mean, yes, I stop me cleanly. Was there a question? Some stage you make the comment that, at least for surfaces, when you have a pair of points in the boundary, then any geodesic between these two points is misimizing, that's I guess it's okay. But then you made the comment that in higher dimension, that could be false. Could you give the very statement you mean? But there are some counter-examples in the paper of Kroak, for instance, where it's not the case, actually. Could you give an idea? I don't know by heart the example of Kroak, but essentially, if you have two geodesics between a pair of points, which have no conjugate point along the geodesic, and you have one again here, which have conjugate point on this geodesic. And let's say this one is shorter than this one. So the idea is to remove a piece of the manifold, to remove the conjugate point. And if you want, if you change here, if this one was much shorter than that one, if you change here, the minimizing geodesic, which will still be a curve that is close to that geodesic. So it will be longer than that one. And for this, you need to remove a ball. But in two dimensions, if you remove a ball, you lose the simply connected. And here dimension three, for instance, you don't. Okay. Are there questions? Yes. A corner? Yes. I hear everything is smooth. I know, I haven't thought about it. Maybe it's not so bad. I could think about it. Is it possible to get better results in the analytic case? Yes. In the analytic case, basically everything is known because you can, from the distance function, or from the lens data, you can recover the infinity jet. So you can really get, by unique continuation, extend, if it's simply connected, for instance, you can really extend. So yes, in analytic case, there were some results known before. Actually, there is also a generic result. Stefan Hoffmann have a result saying that generically, all simple manifolds are boundary rigid by approximating by analytic or down somehow, so you can get a kind of generic result. Is the conclusion optimal about the conformal equivalence? Is it optimal? I mean, the conclusion about the... No, no, no. Well, actually, I haven't said, but to conclude the first theorem, of course, here we prove that it's conformal. Then you have to prove that when they are conformal, if you add the travel time, you can recover the conformal factor. So that's known when you know that between each pair of points, there is a unique minimizing geodesic. That's an argument by Krog, for instance, which is not so hard. But for instance, for the trapping case, this, I don't know. That's a good question. That's a problem I've been trying to solve, but I'm able only to recover the conformal class if I know the travel time because there are infinitely many possible geodesics between a pair of points. I don't know how to make work that argument that Krog had, for instance. Essentially, what I know how to prove is if I know the boundary distance or the lens data in the universal covering, which means really like the marked lens spectrum, then I can recover the conformal factor. But if I don't know the marking, that's a tricky question.