 اسلام علیکم لیکچر نمبر 37 سرٹ کرتے ہیں آج اور آج کا topic ہے جناب surface area اور بات ہی ہے ابھی تک جو ابھی تک ہم کرتے ہیں کہ بیسکلی definite integrals کی applications اور in terms of applications in terms of applied problems جو جس میں بیسکلی میں پہلے بھی کسی ایک لیکچر میں کہا تھا کہ وہ problems جو کافی بیسک ہے real life میں یعنی in terms of finding areas مبھی finding volumes of geometric objects تو یہ وہ چیزیں ہیں جس کے بارے میں اب ہم اس کی لیکچر میں بھی مزید بات کریں گے اور بیسک topic یہ ہوگا کہ ایک solid کا geometric solid آپ کے پاس ہوگا اس کا آپ کو surface area معلوم کرنا ہوگا تو اس سے پہلے کے details میں جائیں تھوڑا سا دیکھ لیتے ہیں کہ یہ کیا ہے ایک ہی agenda ہے بیسکلی آج کا اس کو لکھے دیکھ لیتے ہیں جناب topic ہے آج کا area of surface of revolution اور اس میں بس ایکی چیز جس کی ہم بات کریں گے وہ ہے definition of surface area تو یہ چھوٹا سا agenda تھا بیسکلی آج کی لیکچر کا تو لیکن پھر وہی بات میرے ایک دفعہ پہلے بھی کچھ لیکچرز ایسا ہی تھے جس میں شروع میں جب ہم agenda دیکھتے ہیں تو بہت چھوٹا سا ہوتا ہے لیکن آبیسکلی وہ کہتے ہیں کہ جی experience سے ہمیں پڑا چلتا ہے کہ جتنا چھوٹا agenda ہوتا ہے جتنا چھوٹا topic ہوتا ہے اتنی اس کے اندر details ہوتی ہیں تو میرے خالص آج کا لیکچر بھی کچھ ایسا ہی ہوگا کہ بات چیز میں کافی details میں ہوگی بہت زیادہ نہیں آبیس سے کوئی ایسی detail بات نہیں کریں گے ہم detail جس کے اندر کوئی بہت زیادہ نیا topic ہوگا وہی بیسک concept ہیں ابھی تک جس کی ہم بات کرتے ہیں کہ ڈیریز معلوم کرنے solid objects کے 3 dimensional objects کے volume ہم معلوم کر چکے ہیں پشلے کچھ لیکچرز میں بلکہ کچھ لوگوں نے اس کے بارے میں کافی emails ڈھا بھی بھیجییں تو میرے خالصے لوگوں نے اپریشیٹ کیا ہے اس اس حصے کو کال کلس کے جو ڈیل کرتا ہے application of integration yet definite integral to finding volumes and volumes of 3 dimensional solids تو یہ جہاں ہم نے 3 dimensional solids کا volume جب معلوم کرنا شروع کیا تھا تو اب تک میرے خالصے تھوڑا سا ایک میں تھوڑا سا ایک review کرنا چاہوں گا ڈیل میں بات نہیں کرتے لیکن یہ ہے کہ یہ ساری بات چیت شروع کانسے بھی تھی یعنی ہم نے کال کلس تو اب تک پڑھی لی ہے کافی پورا تقریبا ان کورز ختم ہونے والے تھوڑے دن میں لیکن یہ ہے کہ اس میں سب سے پہلے تو ہم نے differential calculus کی بات کی تھی تھی کیا اس کے اندھر بڑے مزدار بات ایک ہی کچھ بیسٹیک ایک problem تھی tendent line کی a slope معلوم کرنے کی جس کے ذریعے پھر ہم نے دیکھا کہ derivative ایک function کا کیسے define کیا جاتا ہے اور اس کے حوالے سے پھر ہم نے maximum minimum problems اور ان کی سب کی derivative کا concept تھا اس کی applications real life میں دیکھیں apply کیا اور دیکھا کہ جیوا کی ایک بہتی powerful tool ہے یہ جو differential calculus تھا جس کے اندھر ہم نے صرف derivatives اور differential کی یہ differential calculus کی بات کی تھی تو اس کی applications بھی بڑی interesting تھیں اور کافی powerful تھیں اس میں جو خاص طور پہ سب سے powerful جو fact تھا جو section تھا جو ہم نے cover کیا تھا وہ تھا کہ جس میں ہم نے دیکھیں applied maximum and minimum problems تو میرے خال سے اس سے زیادہ بہتر بہتہ لوگ سوال پوچھتے ہیں جی محط کی کیا application ہوتی ہے تو calculus بھی چونکہ mathematics کی حصہ ہے تو ہم نے دیکھا کہ کتنی زبادہ ہے اس کی اور real life میں یعنی کتنی practical issues ہیں جو یہ issues ہیں اور questions ہیں جن کو یہ calculus جو ہے یہ mathematics جو ہے ان کو deal کرتی ہے اور ان questions کے answer دیتی ہے تو یہ تو پھر ہم نے جب derivatives کی بات کر لیے اور differential calculus کی جی اس میں بھی بڑی application seeing interesting stuff ڈیفنٹلی پھر ہم نے integral calculus کے بارے میں بات چیز شروع کی تھی کوئی میرے خال سے 25th lecture کے بعد یہ ایسی رفلی تو وہاں پر ایک totally different ڈیف کا ہم نے ایک طرح سے کہتے ہیں thinking میں ہم نے اپنے ایک thought gear جو ہوتا ہے یعنی گاری میں جس ہم gear shift کرتے ہیں چینج کرتے ہیں تو ظاہر ہے speed بڑا جاتی ہے گاری کی اسی طرح سے ہم نے a gear shift کیا اپنی thinking میں اور ہماری thinking capacity اب تھوڑی سی بہتر ہو گئی ہو گی analytical thinking mathematical thinking کی اور جب ہوا جب ہم نے integral calculus کی بات چیز شروع کی تھی تو integral calculus کیا تھا basically just integration سب سے پہلے تو ہم نے define کیا کہ integral ہوتا کیا اور شروع میں چھوٹے ہی ہم نے یہ دیکھا تھا کہ یہ بہتی interesting چیزوں کی resolution اس سے ملتی ہے کچھ سوالات کی جو integral کا concept ہے integration کا concept جو اس سے تو اس میں ہم نے یہ دیکھا تھا کہ کیسے newton اور live nits جو تھے دو بہت مشہور mathematicians جن کی ہم کافی بات بات چیز کر چکیں تو انہوں نے کیسے resolve کیا ایک area area problem جتی اس کو کہ اگر آپ کے پاس ایک graph ہے اس کے ایک اس کے نیچے اور جو area ہے confined by the x axis اس کو ہم کیسے معلوم کر سکتے ہیں اور وہ عام طور پہ وہی بات تھی کہ simple shapes جو تی ہیں جیسے square ہے square کا area معلوم کرنا بڑا سان ہے square کے اندر جو area ہوتا ہے easily بڑے رام سے ہم معلوم کر سکتے ہیں simple fact formula ہوتا ہے اور ہزار او سال سے ہمیں پتا ہے کہ جی وہ formula کیا ہے بہتی simple analysis سے ہم معلوم کر سکتے ہیں لیکن یہ سوال تھا کہ جی اگر complicated region ہوں ہم نے دیکھی تھی examples بڑے complicated regions سے جس میں آپ کا graph تھا ایک کسی ایک function کا اور اس کے نیچے پھر ہم نے دیکھنا تھا کہ جو graph کے نیچے area ہے region جو ہے اس کا area کیسے معلوم کر سکیں گے تو وہ پھر ہم نے develop کی تھی ساری اور میرے خال سے وہاں اسی لیکچر سے جب پہلے ہم نے integration کی جہاں سے بات شروع کی تھی میرے خال سے کچھ لوگوں کو hopefully سمجھا گیا ہوگا کہ ساری جو اب ہم دیکھ چکیں ظاہرہ جسے کہتے ہیں کہ now retrospect میں اگر آپ پیچھے دیکھیں پچھلے لیکچرز میں تو ظاہرہ چیزیں اور زیادہ اسانی سے اب کلیر ہو جائیں گی ہمیشہ یہ ہوتا ہے unfortunately میں جب خود سٹوڈن تھا تو یہ ہوتا تھا کہ جی ایک کلاس کرلی finish ہو گئی جب next کلاس میں اس سے آگے والے لیکچر میں اس میں ہم بیٹھے ہوتے تھے سیکشن میں یا کورس میں تو باتے سمجھا جاتی تھے کہ جی پچھلے جو کورس میں باتے ہوئی تھی ان کا کیا مخصد تھا وہ تھی کیا تو یہ ایک process ہے hopefully آپ کے ساتھ ایسا نہ ہو رہا ہوگا لیکن اگر ہو رہا تو گھورانے کی کوئی بات نہیں ہے اس میں this is something that happens naturally یہ ایک انسانیت کا حصہ ہے کم اس کم بہت سارے انسانوں کا حصہ ہے میرا تو ایسے ہی تھا جی اس میں کالکلسی کلاس میں جب انٹگریشن ہم نے پر لی تو پہلے چلا کہ یہ دفرنچل کالکلس کیا ہوتا ہے تو ایسے ہوتا رہتا ہے لیکن کہنے کم حصد یہ کہ اب اگر ہم retrospect میں دیکھیں ابھی تک جو بات کیے میں بلکہ مزید کریں گے اسی کے بارے میں تھوڑی سی اور بات چید تو اس میں یہ ظاہر ہوتا ہے کہ یہ جو انٹگریل کالکلس ہے فلیسافکلی very interesting کہ یہ ایک اور اس میں انٹرسٹنگ بات یہ ایک ظاہر ہے ایک philosophy ہے اس کے پیچھے ایک problem ہے real life کی کہ آپ ایریہ کیسے معلوم کر سکتے ہیں کسی ایک ایسے ریجن کا جو ایک geometric جو ہمارے standard geometric objects ہے یا figures ہیں ان سے ملتا جلتا نہیں ہے یعنی کو irregular see shape ہو تو کیسے معلوم کرتے ہیں تو اس میں کتنا انٹرسٹنگ بات تھی کہ ہم نے اسی ریجن کو simpler regions میں سب divided کر کے پھر ہم نے اپنی analysis اس پر لگائی limits کی جو ہم نے سیکی کی تھی differential calculus میں اور پھر ہم نے دیکھا کہ جی یہ سب اس سوال کا جواب exactly ہم کیسے معلوم کر سکتے ہیں through integration اور اس کے بعد پھر ہم نے definite integral کو ڈیوز کیا تھا کہ وہ کیا چیز ہوتی ہے اور وہ in terms of area finding the area what does definite integral stand for اور پھر اسی کے بعد جو زادہ انٹرسٹنگ بات چیٹو ہی تھی وہ یہی تھی کہ ایریہ سے جب ہم ایک higher dimension میں گئے یعنی ہم نے اب کہا کہ جی اب ہم area ہم پہلے معلوم کر رہے تھے of two dimensional objects flat objects تھے اب ہم نے کہا کہ جی ہم third dimension میں جانا چاہتے ہیں solids جنے کہتے ہیں geometry solids تو پتا ہی ہے کہ cube ہو گیا try a pyramid ہو گیا جو triangle کی ایک طرح کی projection ہوتی third dimension میں تو ان کے volume کیسے معلوم کر جا سکتے ہیں تو یہ ہم نے دیکھے detail میں بات چیٹ کی ان کی پشلے تین چاہا lectures میں کہ ایک two dimensional figure کو لے کہ اگر ہم rotate کرتے ہیں تو ہمارے پاس کیا solid کانسا بنتا ہے کیونکہ بھائے one یہan بھی بھی場dimensional thinking تھی mixture that ج州 Đی کا بات اگر آپ سوچ한� پہلے مثیل پہلے کیا بھی Хорошо وہ نسخ coefficients whom تو in both cases we got solids that were generated three dimensional solids that were generated by two dimensional figures. تو یہ تھوڑا سا preview تھا تو اس میں یہ ہے کہ اب ہم next lecture میں بھی اسی کے بارے میں بات کریں گے کہ اب ہم اس میں دیکھیں گے کہ جی کیسے surface area کو بارے میں بات کریں گے surface area کیا ہوتا ہے اب ہی بات کرتے ہیں تھوڑی دیر میں لیکن اس سے پہلے کہ start کریں کچھ تھوڑی سی diversion میرے خاص انترسٹنگ باتیں کر لیتے ہیں کچھ جو mathematics کے حوالے سے ہیں لیکن وہ ایسی باتیں جو of course اس course میں as such ہم detail میں تو دیسکس نہیں کر سکتے کیونکہ they are actually from a higher level یعنی higher level سے مراد یہ کہ اگر ان باتوں کو آپ mathematically solve کرنا چاہیں گے ان کو دیسکس کریں گے تو they would be way beyond the scope of this whole course لیکن یہ ہے کہ roughly speaking ہم ان کے بارے میں تھوڑی سی باتچی تو کر سکتے ہیں کہ تھوڑی سی introduction آپ کو مل جائے گی اور میرا مقصد ان باتوں کو کرنے کا یہ ہے کہ کچھ دن پہلے بلکہ میں اپنے students سے بات کر رہا تھا تو ان کے ساتھ یہ discussion naturally کچھ I rise کی تو اس میں میں نے دیکھا کہ بڑی اچھی discussion رہی ہماری تو میرے حال سے آپ کو بھی اگر میں یہ تھوڑا سا اس کے بارے میں بات کر لیں تو you will find it very interesting also اور تھوڑی سی کہنا چاہے ہماری بہت ساتھ ہوجائے گی یہ تو کری لیں گے ابھی تھوڑی دیر میں ہم جو نیٹیگریٹی of this you know calculus that we've been doing so far anyway لیکن تھوڑی سی اگر distraction ہو جائے تو کھرج نہیں ہے میرے خالص تو یہ کیا چیز ہے جس کے بارے میں بات کرنی ہے یہ basically جو discussion میں نے ابھی تھوڑا دن پہلے میرے students کے ساتھ ہو رہی تھی اسلام بعد میں وہ کچھ basically اس سے relate تھی اس topic سے جو کچھ دن پہلے میرے حال سے میرے حال سے جب ہم کر رہے تھے اپنا fundamental theorem of calculus غالبن یا میرے حال سے mean value theorem کر رہے تھے تو اس میں ہم نے میں نے شہد ایک ذکر کیا تھا ایک function کا topology ایک field ہے mathematics کی اس میں ایک theorem ہے functions کے حوالے سے تو اس کے بارے میں میں کہا تھا کہ وہ theorem basically یہ کہتا ہے کہ جی اگر آپ کے پاس ایک sphere ہے اور sphere سے مراد ایک مطلب گیند کہلیں ball تو اس کے اوپر یہ theorem کہتا ہے کہ جی اگر آپ ایک function continuous define کرتے ہیں تو under appropriate ظاہرہ یہ رفلی میں بتا رہوں اس میں کوئی we won't get into all the good details of course mathematical details کافی intricate سی ہوں گی لیکن رفلی اس کا یہ ہے خلاصہ کے جی اور وہ خلاصہ بڑا interesting ہے اس لئے اس کی بات کر رہے ہیں کہ اگر آپ کے پاس ہے گیند ہے ball ہے sphere تو اس کے اوپر کو ایک خاص کسی اسم کا continuous function اگر define کرتے ہیں تو یہ guaranteed property ہوتی اس sphere کی کہ اس پر continuous function under proper conditions guarantee کرتا ہے کہ sphere پر دو opposite points ایسے ہوں گے جہاں پر اس function کی value برابر کی ہوگی تو یعنی اگر میرے پاس ایک ایسے گیند ہوتی ball تو مثال کے طور پر یہ گیند ہے تو اس پر میں ایک point اگر یہاں دھون لوں تو اس کے بلکل opposite سے مراد یہ کہ آپ sphere کے through کا cut across کریں تو third opposite point آئے گا انہیں ٹیکنکلی کہتے ہیں antiportal points انہیں antiportal سے مطلب یہ کہ ایک دوسرے کے opposite ہوتے ہیں آپ کے sphere پر یہاں پر ان دونوں کی value برابر ہوگی تو خیر یہ تو ہوگیا رفلی کے تھیرم کہتا ہے کہ اب آپ سوچ رہے ہیں کہ یہ کیا بات ہوئی تو بات ہوگی انہیں روی اندیس مد کو انٹرسٹنگ بات نہیں یہ کہ ایک sphere ہے ایک ball ہے اس کے اوپر آپ نے function define کیا continuous اور خاص قسم کا function ہے تو گارنٹی کرتا ہے کہ دو antiportal points اس sphere پیاسے ہوں گے جہاں پر function کی value برابر ہوگی تو so what تو so this جیسے ہم کہتے ہیں کہ اس کا مقصد اس طرح سے آپ دیکھیں کہ آپ اگر planet earth کی بات کرتے ہیں اماری جدنیا ہے وہ ایک sphere ہے ظاہر ہے بالکل اس میں خیر کچھ لو کہیں گے کہ نیجی sphere نہیں ہے بلکہ وہ تھوڑی سی چپٹی ہے اوپر سے اور نیچے سے تو تھوڑا سی oblong کسم کی شیف ہے تو اس میں میں جواب یہ ہوگا کہ توپولوجکلی speaking ہمیں پتہ نہیں توپولوجی کیا ہوتی ہے لیکن ایک field اہمائت کی توپولوجکلی speaking a perfectly round ball sphere is equivalent to a slightly elongated sphere تو مطلب کہنا کہ یہ کہ جو تھوڑی سی ہماری چپٹی دنیا یہ بھی ہم sphere کے طور پر ٹریٹ کر سکتے ہیں توپولوجکلی speaking تو یہاں سے اب مزے کی باتی ہے نکلتی ہے کہ جی اگر آپ کے پاس یہ آپ کا planet earth ہے اور یہ sphere ہے تو اس پے کوئی اگر continuous function میں ڈیفائن کرتا ہوں تو اس دنیا پر دو opposite ڈیسے point ڈیسے point ڈیسے point ڈیسے point اس دنیا میں جہاں پہ کوئی وہ function جو ہوگا اس کی value ایک سی ہوں گی تو وہ کون سایسا ڈرسٹنگ function ہے جس سے ہم تھوڑی درکلی جب میں وہ آپ کو بتاؤن گا تو آپ کہیں گے کہ wow یہ کیسی بڑی زبتسی بات ہوگی تو وہ function میں آپ کو ابھی بتاتا ہوں کون سا ہو سکتے اگر ہم کہتے ہیں کہ جی function آپ لے لیں continuous function جو ہم جس کی بات کر دیں let's say that temperature and air pressure we take these two things as continuous functions on the planet earth تو یہ بلکہ صحیح بات ہے کہ واقی یہ دونوں continuous ہی ہوں گے یہ جو air pressure ہوتا ہے at a given point on the planet earth which is our sphere is a continuous function on the sphere اور continuous function on the sphere سے کیا مراد ہے سمرادی ہوتی ہے کہ جو sphere سے لے کے واپس آپ ماب کر رہے ہیں into the sphere یہ وہی باتیں گے جو میں نے کہا تھا کہ detail میں نہیں جائیں گے لیکن یہ ہے کہ continuous function ہمارا air pressure ہو گیا و temperature ہو گیا تو یہاں سے ہم یہ خاص کر سکتے ہیں اس تھیورم سے جو میں نے بھی بولا اور کچھ لیکچھ پہلے بھی کہا تھا کہ at any given moment in time اب ذیرہ function ہے تو it must be a function of some independent variable we will take that independent variable to be time so at any given moment in time on the planet earth there exist two opposite points antiportal points where air temperature and air pressure are the same تو چھوڑا ساگرس پر غور کریں کہ کسی بھی ایک وقت پہ آپ اگر سوچیں کہ ابھی ہم بات کر رہے ہیں تو کوئی دو ایسے point ہیں opposite on this planet earth جہاں پہ temperature اور air pressure برابر ہے اچھا جی تو یہ تو in itself بڑی interesting بات ہے کہ جو ہم نے کہا کہ ایک any given moment پہ time میں دنیا میں دو ایسے جگہ ہیں opposite to each other جہاں پر temperature اور air pressure برابر کا ہوگا تو اس میں ٹھیک ہے یہ میں نے پہلی بات جب یہ بات سنی تو کافی مجھے وہ ہوا کہ واقعی mathematics یہ گارنٹی کر رہے ہیں کہ this has to be the case یعنی کوئی بہت پہلے شہت پوچھتا ہے کہ بھی کیا ایسا ہوسکتا ہے کہ ایک وقت کے ایک لامح میں دنیا میں دو ایسی جگہ ہوں opposite to each other جہاں پر کوئی چیز برابر کیوں تو یہ تھیورم آپ کو پروائٹ کر رہے کہ ہاں واقعی ایسا ہوتا ہے تو I think it's a very interesting conclusion لیکن what's more interesting is if we actually get a little bit creative اور اس چیز کو تھوڑا سا کہتے ہیں کہ let's let our imagination run wild for a second اور ایسا سوچتے ہیں کہ جی آپ کی جو universe ہے جس کی ہم آج کل دنیا میں پوری خاص طور پر research ہو رہی ہے کہ universe کی شیپ کیا ہے تو اگر میں for a second آپ سے کہتا ہوں کہ جی مثال کے طور پر suppose کہ جو دنیا کی جو universe کی شیپ وہ ایک sphere جیسی ہے universe is a sphere اس پر اگر میں کسی طرح سے continuous function ڈفائن کرنا چاہتا ہوں اور میں کہتا ہوں وہ continuous function میں ڈفائن کرنا چاہتا ہوں وہ ہے a function that defines the existence of life at one particular point in the universe تو اس کے بارے ہم کیا کہہ سکتے ہیں اس کے بارے میں ہم یہ کہہ سکتے ہیں کہ اگر کسی طرح سے given کہ میں suppose کر رہوں کہ کائنات کی شیپ گول دائرے کی طرح کیا ہے third three dimensional ball جیسے بیچ بال ہوتی ہے اے فٹ بال ہوتی ہے تو اس پر میں کہتا ہوں ایک function میں نے ڈفائن کر دی ہے جو کہ continuous بھی ہے اور وہ represent کرتا ہے the existence of life at some point تو کیا ایسا نہیں کہا سکتے کہ یہ function continuous بھی ہے it's defined on the spherical universe تو گارنٹیڑ ہونا چاہیے by this topological theorem that there is an antiportal exact opposite point to this point where life exists as well تو یہ بہتی زبدہ سکی سم کی بات ہے اگر اس کو تھوڑا سا غور کریں کسی نے ابھی تک اس طرح کی کوئی بات پروف نہیں کیے کہ کوئی ایسا نہیں کہا سکا ہے کہ جی واقی کائنات سفیریکل ہے یا یہ کہ جی life life کی existence کو ہم a continuous function کے طور پر ڈفائن کر سکتے آپ کی spherical universe پر لیکن اگر کوئی ایسا کر دے تو ہمیں تو یہ جو آج کل پوری امریکہ میں خاص طور پر پر project چل رہے سیٹی project search for extraterrestrial intelligence تو اس کی تو کوئی ضرورت نہیں دائے گی کیونکہ you mathematically prove کر دیں گے کہ جی بالکل exist کرتی ہے ایک اور جگہ پر life یعنی اگر میں کہتا ہوں میرا ایک point planet earth ہے جہاں پر ہمیں پتا ہے کہ ہم لوگ ہیں life forms ہیں تو اس کے بالکل opposite antiportal point ایک ایسا exist کرتا ہے جہاں پر بھی life forms exist کرتی ہیں کیسی ہیں کون ہے کیا ہے ڈرالیمنٹ لیکن یہ ایک guaranteed ہے کہ وہ exist کرتی ہیں تو something to think about I think it's a very interesting thing کہ اگر اس طرح سے آپ کو اس طرح show کر دیں تو that will be an immense thing to show of course میں یہ نہیں کہا کہ you can show it maybe people have tried it it's not doable who knows but the point is that this is the kind of thinking that is required to be a good mathematician تو یہ تھوڑی سی divergent ہی ڈیگریشن میں نے کی تھوڑی سی کیونکہ میں سمجھ رہا تھا کہ چونکہ لیکچر سو ہوتے ہی ٹیکنکل ہیں اب یہ والا بھی ہوگا لیکن تھوڑی سی different باتے بھی کرنی چاہیں کبھی کبھی تو یہ تھوڑی سی تھیں mathematics کا hopefully آپ کو تھوڑا سا اور زائقہ ملاؤ گا کہ جی آگے چلکے what is there to look forward to when you do different higher level mathematics اچھا جی تو یہ تو ہوگیا digression کی بات تھوڑی سی philosophical باتے آپ ہم ایسا کرتے ہیں کہ شروع کرتے ہیں اپنا لیکچر آج کا تو اس میں کیا کچھ باتے کرنے ہیں وہ ابھی ہم نے دیکھیں تھوڑی در پہلے کہ topic تھا جی surface area کے بارے میں بات کرنی تھی when you look at solids which are solids of revolution solids of revolution کیا ہوتے ہیں یہ وہی solids ہیں جو آپ two dimensional figures کو یا regions کو rotate کرتے ہیں around a certain axis x axis ہوگیا یہ ہو سکتا ہے y axis ہو تو ایک solid generate ہوتا ہے اور solid کا surface area معلوم کرنے تو اصل سوال یہ ہے کہ جی یہ surface area کیا چیز ہے تو اس کے بارے میں بھی تھوڑا سا ڈیفائن کریں گے ایسا کرتے ہیں یہ جو surface area problem ہے جس کو میں ابھی تھوڑا سا رفلی کہا اس کو لکھ لیتے ہیں so we can actually see what we are trying to do تو آئے اس کو دیکھتے ہیں surface area problem جناب آپ کے سامنے ہے let f be a smooth non-negative function on the interval close interval ab find the area of the surface generated by revolving the portion of the curve y equals f of x between x equals a and x equals b about the x axis تو جناب یہ ہے ہماری surface area problem تو surface area کیا definition ہے وہ تو ابھی ہم نے بات نہیں لیکن جو problem ہے at hand جس کے بارے میں ہم بات کریں گے بھی وہ کیا ہے وہ ہم نے دیکھلی کہ یہ ہے کہ اگر آپ کے پاس ایک continuous function ہے on a closed interval وہ ہی ساری باتیں جو پہلے ہم کر چکیں تھوڑی سی variation آجاتی ہے پہلے ہم یہ دیکھ رہے تھے کہ continuous function تو ہر جگہ آتا ہے اور ہم نے پہلے solids ایسا ہی بنائے تھے revolve کر کے ان کا ہم نے volume معلوم کیا تھا کہ ان کے اندر جو solid بنائے اس کے اندر جو وہ ہے capacity imagine کریں کہ اس کے اگر وہ کوئی solid اس کے اندر اگر آپ پانی بھردیں how much water can that solid hold is what we were talking about when we talked about finding the volume of that solid اب ہم یہ کہانا چاہ رہے ہیں کہ جی آپ کے پاس وہ solid تو آگیا revolution کر کے اپنے continuous function کی تو that solid کا surface area کیا ہے so what is exactly is surface area surface area basically imagine کرنے کہ پہلے ایک دفعہ آپ کو یاد ہوگا کہ جو two dimensional figures ہوتے ہیں جو بلکل flat ہوتے ہیں اسے ایک مثال کی طور پہلے کہ square ہے تو square کی درمیان جو جگہ ہوتی ہے بیچ میں یعنے آپ اگر لائن سے ایک square بنائیں لائنوں سے پینسل سے تو بیچ میں اس کے ایک جگہ بنے گی confined by the square اس جگہ کا اس region کا میں area کیسے معلوم کروں گا اس کا simple is a formula ہے کہ آپ اس کی square کی width multiplied by length کریں you get the area of the square یا area confined by the square تو پھر میں نے کہا تھا کہ اس کو اگر آپ square کو extend کریں third dimension میں تو وہ جو region تھا وہ بھی third dimension میں پہل جاتا ہے تو آپ کے پاس ایک volume کا question آ جاتا ہے کہ how do you find this three dimensional area جسے ہم کہتے ہیں which we call volume how do you find that اس کی simple see technique ہے کہ اگر square کی third dimension جو ہوتی ہے extension جو ہوتی ہے وہ cube ہوتا ہے تو اس کا length multiplied by width multiplied by height کریں آپ کے پاس کا volume آ جاتا ہے لیکن جو non geometrical وہ تھیں shapes پشلے لیکچرز میں نے دیکھیں ان کا ہم نے develop کر لیا تھا طریقہ کیا ہے اب سوال یہ کہ جب یہ area کے ساتھ ہم نے جب دیکھا کہ area extend کر کے volume بن جاتا ہے تو اس volume کے ساتھ ساتھ ایک نئا concept بھی اکر کر رہا ہے وہ ہے surface area کا تو اس surface area کیا چیز ہوتی ہے یہ roughly speaking آپ کہ لیں کہ اگر ہم وہی analogy بنائیں کہ two dimensions a third میں آپ آئیں تو what is the analogy between surface area of a solid object and what is the analogy of surface area in two dimensions تو I would say جو آپ کا surface area ہوتا ہے three dimensions ڈے corresponds to the perimeter of a two dimensional figure your object یعنی وہ square ہم نے جو بنایا تھا اس کا area ہم نے معلوم کر لیا simple formula سے ہم نے معلوم کر سکتے ہیں two times the length plus two times the width ہمیں perimeter مل جاتا ہے اس کو اگر آپ third dimension میں لے جائے سالٹ اس کو square کو تو آپ نوٹ کر رہے ہیں جو لائنے تھی represent کر رہے ہیں وہ اب ایک تناکہ surface area کر رہے ہیں کیونکہ square کے spaces بنے میں surface ہے اس کے اوپر تو roughly speaking میں یہی کہوں گا کہ perimeter in two dimensions تو اب surface ڈے کی ہم نے بات کر لی definition ڈے دی کی کیا ہوتا ہے ہمیں understanding ہو گئے ہوگی تو ہمیں یہی کرنا ہے کہ اگر ایک solid ہے مثال کے طور پہ یہ رکھا ہوا ایک solid میرے حال سے یہ ڈیمپل کافی اچھی ہے پہلے دینے چاہی تھی مجھے here is the solid suppose that we got this by revolving it around some certain axis تو اس کے اندر جو جگہ ہے جس کے اندر میں نے heart ڈالا بھی this represents the volume of course we have talked about it یہ جو ڈیمپل کافی جس کے ااپس میں بھی ہاتھ پھر رہا ہوں یہ ڈیمپل کافی this is what we call surface ڈیمپل اور جو میں جس کو میں نے کہا کہ correspond کرتا ہے two dimensions ڈیمپل two perimeter تو یہ ڈیمپل اس کو ہم کیسے معلوم کریں گے یہ سوال ہے تو اس کو پھر ڈرس کرتے ہیں اس کے اندر وہی بات ہے کہ calculous کی بات ہوری ہے we are talking about calculous there must be some kind of calculations involved calculations کیسایب کیوں گی obviously the calculations must involve the definite integrals somehow کیونکہ اسی کی سپرٹ میں ہم بات کر رہے ہیں میں پہلے بھی کہتا تو لہذا ہمیں expect کرنا چاہئے کہ جب ہم surface ڈیمپل کی بات کر رہے ہیں we are looking at the definite integral from a certain point of view اچھا تو اب ہم calculations بھی شروع کرتے ہیں اور ابھی تک surface ڈیمپل کی بات کی میں نے ابھی ڈیمپل دی آپ کو ایک گلدان یہ جو رکھتا ہمارے پاس تو یہ تو ایک رفسی ڈیمپل کہ جی کیا ہوتا ہے surface ڈیمپل ہوتا یہ یہ جس کی میں نے جس سے آپ کو ڈیمپل دی اب ہم جب calculations کریں گے اس کو معلوم کرنے کی تو ایک طرح کیس میں سے definition بھی ایک more technical definition ڈیمپل کر لیں گے surface ڈیمپل کی تو وہ mathematical definition ہو جائے گی اور actually that would be would be the ideal definition for surface ڈیمپل کیونکہ اس definition سے آپ define تو ہوئی گیا surface ڈیمپل ساتھ ساتھ calculations ڈیمپل تو procedure وہی ہے کہ آپ کے پاس اس سے problem ابھی ہم نے دیکھی لکھی بھی کہ ایک continuous function ہے f جو کہ ایک close ڈیمپل پر defined ہے a سے ڈیمپل اس کو آپ نے جناب revolve کرنا ہے may be around the x axis may be around the y axis usually x axis ہم بھی x axis x axis کیا ڈیمپل کریں گے revolve اور اس سے results ڈیمپل آپ کو معلوم کرنے surface ڈیمپل تو ہم شروع کرتے ہیں seek calculations اس میں ہی کرتے ہیں جیسے پہلے کیا کہ آپ کا یہ جو curve ہے آپ کے سامنے اس کی ایک تصیری بنالتے ہیں تاکہ تھوڑا سا idea ہو جائے کہ ہم کس چیز کی بات کر رہے ہیں یہ جو picture ہے اس میں دیکھیں کہ یہ جو picture ہے basically دو تصویر ہیں first one is basically giving you the surface area problem that we just talked about یہ آپ کا close ڈیمپل ہے اور a continuous graph ہے function کا f of x کا اس کو آپ نے گھوانا ہے x axis کی آس پاس اور اس سے دیکھیں کہ جب آپ گھوائیں گے تو یہ ایک solid create ہوتا ہے اس اس کا نام ہے تو that's the solid of which we want to find the surface area تو یہ solid بن گیا تو وہی بات ہے کہ revolution involved ہے اس میں تو پہلے کی طرح proceed کرتے ہیں آپ کا جو interval ہے a سے لے کے b تک اس کو break up کر لیتے ہیں into sub intervals تو those sub intervals کیا ہوں گے sub intervals basically ہوں گے جناب جیسے پہلے کیا تھا کہ x a سے لے کے بی تک آپ اس کے بیچ میں ایک division subdivision کرنے اور ہر subdivision پہاں آپ point کو نام دے دیں پہلا والا ہو گیا مثال کے طور پہ x1 دوسرا ہو گیا x2 all the way to xn-1 and the point b will be the point x sub n آپ کے پاس subdivision آگئی interval ab کی اب اس subdivision میں ہر جو آپ کا سب interval بناتا ہے اس کو آپ ظاہر ہے ہم نے exact widths تو نہیں دییں دے بھی سکتے ہیں لیکن ہم زیادہ general setting میں بات کر رہے ہیں تو ہر interval کی کوئی width ہوگی تو x1 سے لے کے x2 تک یا a سے لے کے x1 تک اس کو ہم کہتے ہیں delta x1 اس کی width کو x1 سے لے کے x2 تک اس کو ہم کہتے ہیں جیس کی width ہے یا چڑائی this interval کی وہاں delta x2 and so forth تو یہ آپ کے پاس ان کی widths آگئیں اب ان کے ساتھ ہم نے کیا کرنا ہے basically وہی بات ہے کہ یہ جو widths آپ نے سب division کی تھی آپ اس میں interval ab کی تو ان میں جو point رہا ہے x1 سے لے کے xn minus one وغیرہ ان کے corresponding اب ہم ایسا کرتے ہیں لائن نے draw کرتے ہیں جو پہلے بھی ہم نے کئی دفع کی ہے تو اگر لائنز ہم draw کرتے ہیں ایک تچ کرے graph of the function f of x کو تو یہاں پہ ایک point آجائے گا آپ کے پاس f of x1 اسی طرح سے آپ آگے چلیں گے تو آپ کے پاس point آجائے گا f of x2 corresponding to the point x2 on the x axis and so forth یہ بکچر آپ کے سامنے we can see that the original graph that we had has now been actually broken into line segments basically connected by the points f of x1 f of x2 et cetera et cetera اسی کے ساتھ ساتھ یہ جو ہم نے دیکھی کے تصویر بنی ہے جس میں ہمارا جو original graph تھا f of x کا اس کو اب ہم نے ایسا کیا ہے کہ ان points جو ہمارے بنے تھے ان کو اب ہم نے connect جو کیا ہے straight line سے تو original graph کا جو graph ہے آپ کا اس کی ایک طرح کی polygonal representation آگی ہے رفلی سپییکن یعنی کوئی ٹیکنیکل درم تو نہیں ہے لیکن کہانے کا مقصد یہ کہ جس ہم نے پہلے پرشل لیکچر میں معلوم کی تھی length ایک لائن اس کی arc length معلوم کی تھی graph of a function کی اس میں یہی process انوالب تھا کہ آپ نے اپنے graph کو break-up کر لیا تھا into smaller pieces which were straight joined by straight lines تو وہی چیز یہاں بھی ہوئی ہے کہ اب آپ کے وہ جو points آئے تھے f of x1 f of x2 original graph کو آپ نے break کر لیا تھا into a polygonal path basically اور یہ وہی بات ہے کہ جتنے چھوٹے ہم ان کو line segments ہو کریں گے تو ہم بہتر approximate کر سکیں گے arc length of this graph لیکن چونکہ arc length کی بات نہیں ہو رہی ہے پلکہ surface area کی ہو رہی ہے تو آئے دیکھیں کہ اگر ہم نے جو graph ہم نے اس کو اگر break کر لیا تھا into a polygonal path تو اس کو اگر ہم revolve کریں گے تو جو پچلا ہمارا جو solid بنا تھا original graph کو revolve کرنے سے تو اس سے ملتا جلتا کوئی solid بنتا ہے تو وہ کیسا لگتا ہے دیکھ لیتے ہیں یہ آپ کے سامنے solid ہے جناب اس میں جو میں نے break up کیا ہے graph کو into a polygonal representation کیا لیتے ہیں اس کو اگر میں rotate کرتا ہوں around the x axis then I get a solid that looks like this اور یہ solid basically ایک طرح سے دیکھیں تو یہ پیالا سا ہے جو کے اپنی تو پیالے سے مرادی ہے کہ جو پرانے زمانے میں آج کل بھی گلاسز کچھ ہوتے ہیں لیکن وہ ہم نے جب چنگیس خان کے بارے میں کوئی movie دیکھتے ہیں کوئی historical تو اس میں یہ ہوتا ہے کہ جی جو ابھی تصویر دیکھئے آپ نے اس سے ملتا جلتا پیالا چنگیس خان صاحب جو ہوتے ہیں اٹھاکے اور ایسے کر کے اس سے پیتے ہیں تو یہ اسی طیب کی شب بنیے یہاں پہ وہ بات یہ ہے کہ وہ بات یہ ہے کہ جو پیالا نمہ یا گلاس نمہ جو شب بنیے اس کو استعمال کرتے ہوئے سمحاہو ایسی طیب کی شب بنیے جو پیالا نمہ یا گلاس نمہ جو شب بنیے اس کو استعمال کرتے ہوئے سمحاہو ہم پہلے جس طرح بات کر چکئے ہیں کہ ہم کرتے تھے اپنے گراف کو سب دیوائٹ کیا اور رزلٹنگ سولٹ کو بھی سب دیوائٹ کر لیتے تھے عام دور بھی بہت ہی بات ہوا یہاں کہاں پیالا نُمہ شیپ آئی clothes میں پیالا نمہ اس سے فایدہ کیا ہوئی اس سے فایدہ یہو ہے کہ اس کا جو شایدہ بشت سے بنائے اگر آپ نے دیکھی dealیکٹی اس سے منندو تصییر آپ کے سامنے تھی پھر سے دیکھ لیتے ہیں اس تصییر میں دیکھیں کہ یہ جو تصییر ہے its جو اصیاب of this class کے this پیالے کے سکنے کے سب دیوائٹ فرسٹم's of cones یہ فرسٹم بیسکلی ہوتا ہے کہ آپ اگر کون لیجئے اور اس کے اوپر سے اس کا سر کارڈ دیں نوکیلہ حصہ تو ایک جو رزلٹنگ سولڈ ہوتا ہے we call that a فرسٹم of a cone اور یہاں پر ایک اور تصحید دیکھ لیں this is basically what a frustum is فرسٹم میں دو چیزیں ہوتی ہیں ایک اس کی لینت ہوتی ہے which is the length of the side And two radii اور اس کو ہم اسٹمال ہم کرتے ہوئے surface area معلوم کریں گے تو جناب یہ جو فرسٹم ہمارے پاس آئے ہیں اس سولڈ میں ان کا اگر میں surface area individually معلوم کر لوں اور پھر add کر دوں تو مینے ہم پاس اس پرس جو نیا جو بہر نمہ لی ہے اس کا مینے پاس surface area آجائے گا سیمبل سی بات ہے individual pieces کا surface area معلوم کریں اور اپنے بہت میں اسی نظر کو اپنے برانکتے ہیں۔ لیکن بات یہ کہ ہمیں ارجنال گراف کی معلوم کرنے ارجنال سولیٹ جو تھا اس اوپس کا سرفیٹ ایرےہ معلوم کرنے تو وہ بڑا سان ہے ہم یہ وہی کریں گے جو پہلے کرتے ہیں کہ یہ جو سب دیویژنٹس تھیں یہ جو ہمارے پاس فرستمز بنے کونس کے in the new solid ان کو اگر ہم انکریس کردیں اتنے زادہ سائز میں اس میں کردیں اموانٹ میں کہ ہم اس کا جو ان کی لینٹ ہے تکنس ہے وہ بلکل باریک ہوتی جائے تو we can see that the glass type object actually starts looking like the original solid S and this we do by taking the limit as the sub divisions on the interval a b go to infinity تو اس سے ہی ہوتا ہے کہ آپ کے جو intervals بنتیں ان کی لینٹ ان کی ورط جو تی ہے وہ کام ہو جاتی ہے and you take the limit you get the definite integral and you get the surface area تو آئی سرفیس ایرے کا فرمولا دیکھتے ہیں پہلے اس فرستم کا تاکہ اس کے بارے میں پھر ہم دیکھیں اینڈالیس کر کے کیا کر سکتے ہیں تو کرنا یہ ہے کہ یہ جو solid ہے جو glass type solid بنائے اس کا ایک کیت جو حصہ ہے وہ انڈالیس کرتے ہیں اس کی شیئر چونکہ ایک aqueon کی ہوگی تو اس پر ہم یہ فرمولا اپلائے کر سکتے ہیں اس کا surface area معلوم کرنے کا فرمولا ہے جناب اس ایکوالس پای ٹائمس آر ون پلس آر ٹو ٹائمس ٹل یعنی بیسکل آپ اس کے دونوں ریڈی آئے جو ہیں ان کو ایٹ کریں ملٹپلائے بہت باہر the length of the فرستم ٹائمس پای and you get the surface area of that کیتھ فرستم تو اب اس کو استعمال کرتے ہیں ہم دیکھتے ہیں کہ ہم کیا کر سکتے ہیں تو آئیے مزید اس کی بات دیٹیلس میں دیکھتے ہیں ایسا کرتے ہیں جناب کے کیتھ جو علمین تھا امارہ کیتھ فرستم جو ہوگا اس گلاس تیپ سولٹ کا اس کو انلائس کرتے ہیں تو اس میں یہ کہ فرمولا ہمارے پاس ہے پای ٹائمس آر ون پلس آر ٹو ٹائمس ٹل will give us the surface area of a فرستم in this case all we have to do we have the general formula for s surface area how do we find it in this case جو امارہ گلاس تیپ شیپ آئیے اس کا جو کیتھ حصہ لیے وہ بھی ایک فرستم ہے کون کا اس میں سوال یہ ہے کہ آر ون آر ٹو اور ٹل جو ہے وہ کیا ہے تو اس میں سمپل سی بات ہے کہ یہ جو آر ون ہوگا اور آر ٹو جو ہوں گے یہ ہائٹ ہوگی آپ کے جو corresponding x values ہیں ان سے جو corresponding y values ہیں those would be your radiuses یا ریڈیائے of this kth فرستم and the length l would be the arc length that you can measure for this فرستم تو تصویر بناکے پھر سے دیکھ لیتے ہیں یہ تصویر میں دیکھ لیں سمپل سی بات ہے کہ جو آپ کی values ہیں x1 مثال کے کتھ انٹرول پر میں لیا ہے تو یہ کتھ انٹرول آپ کے سامنے ہے اس میں جو آپ xk-1 پر height ہوگی وہ چھوٹا ریڈیس ہو جائے گا f of xk-1 xk پر جو height ہے وہ جائے گا بڑا والا ریڈیس f of xk اور جو length ہے l وہ ہم معلوم کر لیں گے بای دی formula of the arc length تو آپ کو یاد ہے کہ formula کیا ہوتا ہے arc length کا پچھلے لیکچر میں میں اس کی بات کی تھی تو اس کو لکھ لیتے ہیں so we can recall it یہ جناf formula ہے بلکہ ایسا کرتے ہیں کہ میں surface area of the kth فرستم لکھ دیتا ہوں آپ کے سامنے تو اس کا formula جو بنے گا وہ ہے جناf pi times f of xk-1 plus f of xk times the square root of 1 plus f prime of xk star quantity squared delta xk یہ جناب اس کتھ فرستم کا surface area ہوگا تو اس میں سیمپل سی بات ہے کہ pi تو formula سے آگیا surface area کا general formula جو ہم نے دیکھا تھا وہاں سے f of xk جو ہے وہ آپ کا جناب ہو گیا f of xk-1 وہ چھوٹا ریڈیس ہو گیا r1 جسے کہلیں f of xk جو ہے وہ بڑا ریڈیس ہو گیا r2 اور لنس جو ہے l وہ ہم نے پشل لیکچر میں جو فرمالا دیکھا تھا اس کے تحت ہم نے اس کو لکھا ہے as the square root of 1 plus f prime of xk star squared delta xk تو یہ ہمارے پاس آگیا formula for the surface area of the کتھ فرستم in this glass type object اب ہم کیا کر سکتے ہیں اب تھوڑی سی ایک دو ٹرکس ہیں الجنہ ہم کرتے ہیں کیا ہیں let's write them down یہ دیکھئے کہ یہ جو ارتمیٹک ابرج ایک چیز ہوتی ہے وہ ایک ایسی چیز ہوتی ہے جو دو نمبرز کے درمیان ملائے کرتی ہے اگر کوئی دو نمبرز ہیں آپ کے پاس تو ان کے ابرج جو ہوگی it'll be the midpoint of these two numbers so we can say basically that the quantity 1 half times f of xk-1 plus f of xk is between f of xk-1 and f of xk so since f is a continuous function on the interval xk-1 and xk ظاہر ایسی بات ہے پورے انٹرول AB پی اگر continue ستا تو اس کے ایک سب انٹرول پے بھی ہے تو intermediate value تھیورمک تھا ہم نے جس کی بات کی تھی اس کے تحت ہم یہ کہہ سکتے ہیں کہ there exists a point xk double star in this interval such that 1 half times f of xk-1 plus f of xk is equal to f of xk double star تو یہ بیسکل intermediate value تھیورم آپ کو رکول کرنا پڑے گا what does it say and اس کی جو just conditions ہیں وہ یہاں پہاں ستسفائے ہوریں لہذا I can do what I just did اور آپ پوش رہے ہوں کہ کیوں کر رہے ہیں اس لے کر رہے ہیں کیوں کہ it works out helps us do the calculations that we are trying to get to کہ اس سے رزلٹ کیا نکلا ہے جو ابھی ہم نے کالکلیشن کی اس سے رزلٹ جناب یہ نکلا کہ اس کی جو تھا جو ابھی تھوڑی در پہلے ہم نے ایک اور فارم میں لکھتا اس کو اب میں لکھ سکتا ہوں as تو پای f of xk star double star multiplied by the formula for the arc length square root of 1 plus f prime xk star squared times delta xk and now یہاں پر بیسکل میں نے جو پای کی جگہ تھا پای times f of xk minus 1 plus f of xk کی بجائے اس کی corresponding identity لکھ دیے جو ابھی analysis سے derive کی تھی intermediate value تھیرم کو استعمال کر کے اب میں یہ کہہ سکتا ہوں کہ یہ جو ڈیا ہے یہ تو میرے پاس آگیا ہے surface area of the clath frustum of this glass type object اب اس کو میں سارے frustum اس کے اندر ان کا area معلوم کر سکتا ہوں surface area by adding them together they all have the same formula they all come out of the same formula so basically I can write summation k equals 1 to n of the surface area formula which is equal to the formula that you see on the screen right now summation k equals 1 to n of 2 pi f of xk double star times the formula for the arc length ٹھیک جی کافی لمبی ہمارے پاس سمیشن آگئے اب اس کو exactly جو original solid تھا s جس کے اندر یہ polygonal یہ a chopped up pieces نہیں تھے جو ہم نے بنائے تھے glass type object کے اس سے اب ہم کیسے اس کا surface area معلوم کرتے ہیں میں نے پہلے بھی کہ we take the limit as all the the maximum width of your subdivisions یہ last step بھی کرلیتے ہیں اس کو بھی لکھلیتے ہیں دیکھئے کہ جو surface area ہوگا solid s کا یہاں میں دونوں کیلئے s تمال کر رہا ہوں surface area کیلئے بھی اور solid کیلئے بھی but i think contact سے کلیر ہے کہ کس کی بات ہو رہے لہذا surface area جو ہوگا solid کا وہ ہو جائے گا limit as the maximum delta xk goes to zero of the summation equation we just saw this automatically turns into the definite integral a to b of 2 pi f of x times the square root of 1 plus f prime x quantity square times dx یہ ہو گئی جناب آپ کی surface area of a solid کا formula تو اس کو ہم نے ظاہرے analysis کیا اپنے frustums کا جو بھی تھی تو ان کا individual pieces کا جو formula بنے تھے for finding the surface area وہ ہم نے analysis کیا اور پھر سب کو add کیا اور پھر limit لیا جو ہم کرتے ہیں بھی تک and we see that we get the surface area formula for a solid تو اس کو formula لکھ لے تھے کہ what have we done today what have we achieved let's write this down جناب آپ کے سامنے اور لیکن میں اپنی سیج میں سموذی بھی ناپنے کی سموذی خیلی کا станی کے کلوے سے مننان سیرار سیرار سیرار ہم Жاہرے کیا ہی بیٹن ہم پر ہم کہہیں ہی بیٹن سیرار جوا ہے ہم ہم مطرح سیرار ہم اس طاقہ پرامکس دیکس۔ اور کبھی آپ تلانوںہ کی ضروری پرامکس کی بہت بڑے گا کیا سبanna اور سیٹویشنٹ تاکہ آپیں گرف جہاں بالہ کے ساتھ ہوتا ہے۔ پرامکسی بھائی کورش تلان ، خور کررہا ہے، آج دیدی، بہنرکنھ ہاتھ آج دیکھن کیags وہاں میں ، رھٹ کلنٹ one پس g پرین of y سکویٹ دیوی تو جناب یہ ہوگا ہے آپ کی سرفس اریہ کے формلے یہاں پر ناسے ہم نے یہاں پر کہا ہے کہ جی یہی جو فارملے ہیں یہی دفعین بھی کر رہے ہیں آپ کی سرفس اریہ کو ایک کس یہ سرف آر symmetric کا cost گرف کلیک ایس پر سالیٹ کہتے ہیں کہ آپاں تاکست دیو میں خوانت کریں تو یہاں پر ایک چھوڑی سی دسٹینکشن ہے کہ یہ جو جس طرح سے میں نے سرفیس ایریہ ڈیفائن کیا تھا وہ یہ تھا کہ آپ کے پاس ایک سولیٹ آتا ہے ریولوشن کے بعد اور اس کا آپ کو سرفیس ایریہ معلوم کرنا ہوتا ہے ایک اور طریقہ سوچنے کا یہ بھی یہ کہ جی آپ جب ایک 2 دمیشنل چیز کو کھماتیں میں نے تھوڑی سی بات چیز کی تھی کہ ابھی تک ہم دیکھتے ہیں کہ جی volume تک ہم نے معلوم کر لی ہے اور اب ہم نے surface area بھی کہنا چاہیے کہ definite integral کے کھاتے میں ڈال دیا کہ ٹھیک جی using the definite integral we can calculate surface area also تو یہ ایک اور اچھی جبات ہو گئی اگلے کچھ لیکچر میں ہم تھوڑی سی اور دیکھیں گے اپلیکیشنز to physics اپلیکیشنز of definite integral to physics اور وہ بھی کافی انٹرسٹنگ ہوں گی لیکن this stuff also was very interesting تو اس کی exercise آپ کیجے گا home work exercise وغیرہ اور جو ہم نے تھوڑی سی شروع میں بات چیز کی توپلوڈیکل حوالے سے اس کے بارے میں سوچے گا ضرور اپنے teachers سے یا دوستو وغیرہ سے اس کے بارے میں بات کیجے گا اس کے بارے میں سوچے گا اس کے بارے میں سوچے گا تو جناب اب ہم ختم کرتے ہیں لیکچر آج کا تو ایمیل کر دیجے گا کوئی پرولم ہو اور پھر آپ سے انشاء اللہ next ڈائم ملاقات ہوگی جب تک کیلی جازت اللہ حافظ