 Ich darf Sie herzlich zum zweiten Teil der Vorlesung über stochastische Prozesse begrüßen. Ich hoffe, Sie haben im ersten Teil einiges mitgenommen und ich hoffe, Sie haben sich nicht erschlagen lassen von den ganzen mathematischen Konzepten und dem zum Teil doch sehr exotischen oder auch saloppformuliert abgedrehten Dingen, die wir hier lernen. Wenn wir gerade beim Thema sind, ich möchte Ihnen hier nochmal den Inhalt dieser Vorlesung präsentieren. Der ist etwas kürzer. Wir werden uns hier in der Themenübersicht zwei Fraktale und Prozesse mit der fractalen Approximation von stochastischen Zufallsprozessen befassen. Das heißt, wie hängen denn die zeitreien Analysen, die stochastischen Prozesse mit fractalen denn zusammen? Und das machen wir aus dem simplen Grund, Ihnen einen roten Faden durch diese ganze Semesterveranstaltung zu geben, damit Sie auch verstehen können, okay, warum muss ich jetzt stochastische Prozesse lernen und was hat das mit fractalen zu tun und eigentlich will ich hier ja Zeitreienanalyse machen. Das Thema Zeitreienanalyse und autoregressive Prozesse ist Teil der nächsten Vorlesung. Wir befassen uns jetzt hier tatsächlich direkt mit den fractalen Approximationen und im Anschluss mit der fractalen, braunischen Molekularbewegung, also auch mit der gebrochenen braunischen Bewegung, wie sie genannt wird und sehen uns hier die Ergebnisse entsprechend an. Wie ich es bereits schon anklingen habe, lassen dient dieser Abschnitt hier als Brücke zwischen dem Themenkomplex Fraktale, den Sie schon kennengelernt haben, den stochastischen Prozessen und ich beziehe mich hier auf Teil 1 dieser Vorlesung, Finanzen und einigen anderen mathematischen Kuriositäten, die wir noch sehen werden. Und ich möchte, dass Sie nicht nur diese Konzepte alle irgendwie mal gehört haben, ich möchte, dass Sie im Grunde verstehen können, wie diese Dinge zusammenhängen und dass es effektiv in Ihrem Kopf mal Klick macht und Sie ein großes Bild des gesamten Komplexes, den wir hier betrachten sehen können und wir starten hier etwas ungewöhnlich, und zwar beim sogenannten Pascalschen Dreieck. Wir zeigen die Eigenschaften dieses Dreiecks und leiten dann auf fractale und stochastische Prozesse über. Ich beginne mit dem Pascalschen Dreieck, weil ich nicht davon ausgehen kann, dass das eben von Ihnen geläufig ist. Und von diesen fractalen Approximationen und stochastischen Prozessen wandern wir dann auf Finanzmarkt-Applikationen und auf den dritten Teil, wo wir uns mit autoregressiven stochastischen Prozessen befassen werden. Was ist denn jetzt nun Pascalsch Dreieck? Das Pascalsche Dreieck ist eine dreieckige Anordnung von binomialkoeffizienten und ist nach Blais Pascal benannt, ist jedoch schon in Indien, China, Persien und so weiter Jahrhunderte früher bekannt gewesen. Das heißt, das, was wir hier gerade machen, ist schon fast antik und zeugt auch davon, was für Hochkulturen auf diesem Planeten bereits gelebt haben. Und das sollte uns alle noch mal daran erinnern, was die Menschheit eigentlich für eine Entwicklung hinter sich hat und wie wenig wir eigentlich von dem verstehen, eigentlich noch, was unsere Vorgänger vielleicht besser oder anders wahrgenommen haben. Kommen wir allerdings mal zurück zum Thema Pascalsch Dreieck. Trotz Dreiecks Notation stellen wir das Dreieck hier mit rein N und spalten K da, was wir durch N über K darstellen können, wie Sie hier sehen können. Und die Rekorrenz dieser binomialkoeffizienten ist als Pascalsche Regel bekannt und das Dreieck existiert durchaus auch in höheren Dimensionen mit denen befassen wir uns hier allerdings nicht. Ich zeige Ihnen jetzt einfach mal die Realisierung eines Pascalschen Dreiecks. Wie Sie sowas selbst erzeugen können, da habe ich Ihnen ein paar Eintenskripte dazu aufgesetzt, das können Sie dann selbst ausführen. Wir sehen hier, dass wir den binomialkoeffizient 1 über 1 gleich 1 haben und wir sehen, dass die inneren Reihen oder die inneren Zahlen dieses Dreieckes die Summe der Äußeren sind, das heißt 1 plus 1 ist 2, 1 plus 2 ist 3 und 2 plus 1 ist wieder 3 und 1 plus 3 ist 4 und so weiter, das heißt dieses Dreieck ist additiv aufeinander aufgebaut und ich spring jetzt hier direkt mal eine Folie weiter, da sehen wir dann nämlich die binomialkoeffizienten, die hier dazugehören, das heißt die binomialkoeffizienten, so wie sie im Pascalschen Dreieck angeordnet sind, geben additiv einander, ich lasse das mal so 2, 3 Sekunden auf sie wirken. Ok, Finanzen, stochastische Prozesse und jetzt Dreiecke ernsthaft, das werden jetzt wahrscheinlich die meisten denken, was diese durchgeknallte Kehl denn jetzt schon wieder macht. Warum machen wir Pascalsche Dreiecker? Und zwar, das Pascalsche Dreieck hat einige bemerkenswerte Eigenschaften, die ich Ihnen hier erst mal noch vorstellen möchte, bevor wir auf diese obige Aussage mal zurückkommen und man kann die Elemente durch Addition der vorhergehenden Erzeugung, das haben wir gerade schon gesehen, die Eigenschaften, die dieses Pascalsche Dreieck allerdings mitbringt, sind viel manikfaltiger und gehen noch viel, viel weiter. Ich möchte Ihnen diese Eigenschaften erst einmal mitgeben, bevor wir zum Pudelskehren kommen. Ich habe das denke ich schon des öfteren erwähnt, diese Vorlesungen steht unter dem Sternzeichen der geistigen Flexibilität und die werde ich im Moment gerade auch ein bisschen einfordern müssen. Sie sehen, die Spannbreite von Zeitreien, Aktien, Fraktalen, stochastischen Prozessen im Allgemeinen hin zu unserem Pascalsche Dreieck hier ist schon relativ breit und bunt. Was die Themen angeht, die wir hier in diesem Kurs abfrühstücken, nenne ich das jetzt mal Salop, sie werden aber, ich denke in ein paar Folien sehr überrascht sein, was wir denn eigentlich alles anstellen können mit diesen ganzen Konzepten und vor allem mit unserem Pascalsche Dreieck. Wir betrachten uns hier zunächst nur einmal die Hälfte des symmetrischen Dreieckers, wie ich es Ihnen hier in der Ecke dargestellt habe und wir stellen erst einmal fest, dass viele uns bekannte Mengen und Folgen in diesem Dreieck enthalten sind. Ich möchte mich hier jetzt auch gar nicht so lange daran aufhalten, weil das eigentlich nicht der Punkt ist, auf den ich hinaus möchte. Sie sehen hier, dass wir die natürlichen Zahlen hier enthalten haben, wenn wir uns die zweite Spalte hier anschauen. Wir haben Simplex-Nummern und andere Nummern hier mit dabei, das können Sie sich mal in Ruhe in einem Buch ansehen oder weiter sich einlesen, was man hier noch an Folgen und Nummern räumelt, mit denen wir normalerweise arbeiten in diesem Dreieck enthalten haben. Wir haben in diesem Dreieck nicht nur irgendwelche Folgen, sondern wir haben auch Potenzen. Wir haben die Zweierpotenzen und wir haben die Elferpotenzen hier dabei, wenn man sich diese Zahlen entweder zusammenzählt oder einfach nur, als jede Zeile eine ganze Zahl sieht, dann sehen Sie hier, dass wir die Zweierpotenzen abbilden können. Wir können die Elferpotenzen abbilden in diesem Dreieck, was immer noch eine Aggregation vom Binomialkoholizienten darstellt. Wir haben hier, wenn wir die Diagonalsummen zusammenrechnen, so wie Sie es hier in dem linken Bild sehen können, auch die Fibonacci-Folge in diesem paskalschen Dreieck enthalten. Und jetzt wird das Ganze schon wieder spannend. Die Fibonacci-Folge ist in der technischen Finanzmarktanalyse ein Begriff beim goldenen Schnitt und bei anderen Konstrukten. Und Sie kennen sicher die Fibonacci-Spirale und den goldenen Schnitt, welcher für Schönheit und sonstige Dinge steht. Das heißt, dieses Dreieck hier hat eine Inherrenz, die ist schon gewaltig. Das heißt, wir sehen hier sehr viele berühmte Dinge in einem Dreieck enthalten. Was haben wir noch? Und das ist etwas, das können Sie sich für Ihren Ingenieursalltag vielleicht merken. Wir können aus diesem paskalschen Dreieck Binome auslesen. Das heißt, wenn wir hier binomische Formeln haben, wenn Sie das nächste Mal nicht wissen, was x plus y hoch 5 ist im Kopf, dann malen Sie sich die ersten fünf Zahlen dieses Dreiecks hin und dann haben Sie die Binome, die da dazugehören. Was finde ich persönlich ist auf die schnelle, ohne Taschenrechner ein ganz netter Trick, den man sich mal aus der Hutasche ziehen kann. Und jetzt kommen wir mal zur Überleitung. Wieso paskalsches Dreieck? Was hat das mit stochastischen Prozessen zu tun und mit Fraktalen sowieso? Wir haben ja gerade schon einige faszinierende mathematische Eigenschaften dieses Dreiecks gesehen. Und Sie müssen sich überlegen, dass diese Erkenntnisse, die ich Ihnen gerade präsentiere, seit der Antike eigentlich bekannt sind. Das ist nichts Neues, aber ich finde dieses Konstrukt des paskalschen Dreiecks überaus faszinierend. Und wir werden auch gleich noch sehen, was das mit unserem Themengebiet hier der stochastischen Prozessmodellierung zu tun hat. Und sofern wir nun Schrittweiten statt Variablen betrachten, stellen wir fest, dass das Dreieck ebenfalls die Binomialverteilung enthält. Und bei dem Wort Binomialverteilung und stochastischen Zufallsprozess sollte Ihnen, wenn Sie in der vorherigen Veranstaltung aufgepasst haben, eigentlich etwas auffallen. Fällt Ihnen etwas auf? Wo haben Sie im Kurs bisher die Formulierung der Binomialverteilung schon einmal gesehen? Richtig, bei der Verteilung symmetrischer einfacher Random Walks. Wir haben ganz am Anfang im Teil 1 der stochastischen Prozesse gesagt, wenn wir eine Binomialverteilung unterstellen, bei gleichen Wahrscheinlichkeiten können wir einen einfachen symmetrischen Random Walk aus einer Binomialverteilung erzeugen und ich habe Ihnen gerade gesagt, dass dieses Pascalche Dreieck die Binomialverteilung enthält. Was folgern wir denn jetzt daraus? Wir folgern daraus, dass wir Random Walks innerhalb dieses Pascalchen Dreiecks laufen lassen können. Sie sehen hier oben, ich habe Ihnen mal aus dieser Publikation, die ich unten zitiert habe, einen Zeitstrahl abgetragen, das heißt wir fangen oben an bei x gleich 0. Das ist der Punkt, wo das erste 1 des Pascalchen Dreiecks auftritt. Und ich habe Ihnen hier die Schrittweiten von x mal abgetragen und unten drunter das Pascalche Dreieck. Und wenn wir jetzt nun diesen Random Walk starten, den ersten Schritt gehen wir eins nach hinten, dann gehen wir wieder eins nach vorne, dann gehen wir zwei Schritte nach hinten und so weiter. Und wenn wir hier das in diesen Pascalchen Dreieck laufen lassen, sehen wir, dass wir jede weder Realisierung eines Random Walks innerhalb des Pascalchen Dreiecks abbilden können. Das heißt, das Pascalche Dreieck ist ein mathematisches Objekt, welches, als ich nenne es jetzt mal Hotel oder als Raum für Zufallsprozesse dienlich sein kann, weil wir sehen, dass ein Random Walk mit erhöhter Schrittzahl in eins bis in fünf in diesen Dreieck enthalten ist und das gilt für alle Random Walks, die wir bisher kennengelernt haben. Wir machen jetzt mal weiter mit der Überleitung, weil ich denke, ich muss noch mal zum Punkt kommen, was hat das jetzt mit Fraktalen zu tun und es ist schön, dass wir das tun können, was bringt mir das denn? Alle Realisierungen eines symmetrischen Random Walks, welcher einer Binomialverteilung folgt, lassen sich als Lauf auf den Pascalchen Dreieck visualisieren, das habe ich Ihnen gerade schon erzählt und mathematisch bedeutet dies, dass die Realisierungen in der Menge der Pascalchen Dreieck-Zahlen enthalten sind. Das heißt, wenn wir ein Pascalches Dreieck haben, können wir damit Random Walks darstellen und ich wiederhole mich jetzt, denke ich, öfters einmal, aber wo besteht jetzt der Bezug zu Fraktalen und zu Finanzen, wieso stelle ich Ihnen so faszinierend auch immer dieses Dreieck hier denn vor, um diesen Bezug herstellen zu können, bedienen wir uns einem ganz tollen Trick und zwar wir machen jetzt mal nach Zahlen für Fortgeschrittene und zwar beachten wir erneut unser Pascalisches Dreieck und färben alle ungeraden Zahlen ein und betrachten das Ergebnis. Das werde ich Ihnen gleich zeigen und wenn Sie da ganz genau hinsehen, weil für das ungeübte Auge ist das vielleicht noch nicht ganz so ersichtlich, aber wir erhalten, wenn wir dieses Mal nach Zahlenspiel betreiben und alle ungeraden Zahlen anmalen, ein Fraktal und zwar nicht nur irgendein Fraktal, sondern dass der Pinski-Dreieck, was ein sich, kein normales Fraktal ist, sondern eins mit ganz besonderen Eigenschaften, was wir auch noch sehen werden. Ich springe jetzt hier einfach mal eins weiter und zeige Ihnen das. Sie sehen hier nochmal das Pascalische Dreieck, nur dass hier alle ungeraden Zahlen hier mit blau hinterlegt wurden und vielleicht erkennen Sie so noch nicht ganz so viel. Ich springe noch eins weiter, wo man das mal in die Millionetrationen durchführen kann und dann sehen wir, dass wir aus dem Pascalischen Dreieck das Pinski-Dreieck erzeugen können. Wenn wir jetzt dieses Pinski-Dreieck mit einem Quadrat bilden, dann haben wir den so genannten Pinski-Teppich und dieser Pinski-Teppich, den hat jeder von Ihnen in Ihrem Smartphone enthalten, weil so sehen die Antennen von Smartphones aus, weil hier können verschiedene Frequenzen gleichzeitig bearbeitet und aufgenommen werden. Deswegen sind unsere Smartphones inzwischen auch relativ klein. Zurück zum Thema. Ich springe noch mal eins zurück. Wir haben hier unser Pascalisches Dreieck. Wir malen alle ungeraden Zahlen bunt an und wenn wir das Pascalische Dreieck nicht nur in 10, 15 Ebenen betrachten, sondern in ein paar hunderttausend oder noch mehr Ebenen, dann sehen wir das der Pinski-Dreieck, wie Sie es hier dargestellt haben. Jetzt haben wir auf einmal unseren Bezug zu Fraktalen. Wir haben gelernt, dass in diesem Pascalischen Dreieck eine Manikfaltigkeit an Folgen und Zahlenräumen enthalten sind, dass eine Binomialverteilung enthalten sind und dass wir einen Random Walk in diesem Pascalischen Dreieck laufen lassen können. Und wenn wir nun alle ungeraten Zahlen anmalen, stellen wir einfach fest, dass dieses Pascalische Dreieck auch, dass der Pinski-Dreieck enthält beziehungsweise Mann aus den ungeraden Zahlen dieses Pinski-Dreieck bilden kann. Wir denken doch nochmal kurz darüber nach, was ist denn überhaupt ein Pinski-Dreieck? Das möchte ich Ihnen erst einmal darstellen, bevor ich wirklich zum Punkt komme. Ich möchte, dass Sie einmal verstehen, was ein Pinski-Dreieck überhaupt ist, damit wir sehen können, was diese fraktale Approximation überhaupt bedeutet. Wir beginnen hier doch erst einmal damit, uns zu überlegen, was ist ein Pinski-Dreieck? Das kann analog zur Kochkurve mit Interaktion eines Generators erzeugt werden. Es gibt allerdings noch einige andere Möglichkeiten, wie man das generieren kann. Mit dem Bildungsgesetz unten, das heißt, Sie nehmen ein Dreieck, markieren die Mittelpunkte und nehmen das Dreieck, das sich aus den Mittelpunkten der Seite ergibt heraus und das wiederholen Sie immer und immer wieder. Das heißt, mittleres Dreieck rausstanzen, wieder mittleres Dreieck rausstanzen und so weiter. Mathematisch gesehen ist es so, dass Sie das nicht herausstanzen, sondern Sie schieben diese Punkte quasi, die in diesem mittleren Weisendreieck enthalten sein müssten, in die Äußeren. Aber das ist jetzt auch nur so eine Randnotation. Das heißt, wir haben das unsere Bildungsgesetz, in dem wir dieses Dreieck bilden können. Wir können das durch die ungleichen Zahlen des Pascalischen Dreiecks darstellen und es gibt auch noch weitere Bildungen aus anderen Fraktalen. Das heißt, wir können dieses Pinski-Dreieck entweder direkt selbst erzeugen, das Pascalische Dreieck nehmen und die ungeraden Zahlen anmalen oder es gibt auch noch Bildungen aus anderen Fraktalen. Zum Beispiel zeige ich Ihnen hier, wie Sie aus einer Variante der Piano-Kochkurve dieses Pinski-Dreieck bilden können und ich habe Ihnen hier das ganze auch noch in Animiert mitgebracht. Hier bediene ich mich an einer Animation, die von 3Blue1Brown YouTube-Channel zur Verfügung gestellt wird, weil ich finde die einfach unglaublich gut. Dann können Sie sich das ganze Bewegung mal ansehen und wir sehen uns gleich wieder. Wir haben gerade gesehen, wie das Animiert aussieht. Das heißt, wir können dieses Pinski-Dreieck auch aus einer Piano-Kochkurve approximieren und was kann man damit noch alles tun und was bringt uns das denn jetzt? Wir wissen, wir können einen stochastischen Prozess in diesen Pascalischen Dreieck laufen lassen und wir wissen, dass dieses Pascalische Dreieck das der Pinski-Dreieck enthält bzw. man, dass der Pinski-Dreieck daraus erzeugen kann. Wir wissen, dass man mit Koch-Pianokurven Variationen dieses Dreieck erzeugen kann und wir wissen auch schon, dass wir aus einer Koch-Pianokurve auch eine Brownschirmolekular-Bewegung erzeugen können und wir haben irgendwann im Kapitel über Fraktale gelernt, das Fraktale auch was mit Chaos zu tun haben, mit Deterministischem Chaos, mit nicht-linearen Systemen und ich möchte mit Ihnen jetzt mal um den Saw-Film zu zitieren, ich möchte mit Ihnen ein Spiel spielen und zwar das Chaos-Spiel zum Saw-Pinski-Dreieck. Was ist das denn? Sie nehmen sich ein Dreieck, dann nehmen Sie sich in diesem Dreieck einen beliebigen Punkt, gehen zum Eckpunkt, den Sie auch beliebig wählen können, setzen die Linie und Sie nehmen einen neuen Punkt auf der Hälfte dieser Linie und tun so, wie wenn dieser neue Punkt wieder ein neues Startpunkt ist und wiederholen das Ganze immer und immer und immer, falls ich es noch nicht gesagt habe, immer wieder. Das können Sie entweder auf einem Blatt Papier für sich selbst machen, sollten Sie sehr viel Zeit übrig haben. Ansonsten habe ich Ihnen das auch mal als Animation mitgebracht, aber wir schauen uns das zunächst mal hier auf der nächsten Folie an. Das heißt, wenn Sie dieses Chaos-Spiel mit einem Dreieck spielen, erhalten Sie bei sehr hohen Iterationen folgendes Bild und Sie sehen, dass wir mit diesem Chaos-Spiel ein Saw-Pinski-Dreieck erhalten können und um Ihnen das Ganze ein bisschen visueller darzustellen, habe ich Ihnen hier wieder ein YouTube-Video mitgebracht und eine Animation, wo Sie das einmal für das Saw-Pinski-Dreieck sehen können, dann für ein Quadrat und für ein Fünfeck. Also es funktioniert nicht nur für das Saw-Pinski-Dreieck, sondern es gibt auch andere Muster und Konstrukte, mit denen Sie das machen können. Das heißt, Sie können mit einem Stück Papier und einem den Neal quasi Chaos spielen und wir sehen uns hier auch gleich wieder. Ich zeige Ihnen das mal in Animation. Ich hoffe, das hat Ihnen einen angemessenen Einblick in das Chaos-Spiel gegeben und Sie haben auch gesehen, wie man Fraktale aus einem chaotischen Vorgang quasi erzeugen kann. Das ist alles miteinander verwoben, das gehört alles zusammen. Ich möchte jetzt noch mal etwas näher auf das Saw-Pinski-Dreieck eingehen, bevor wir uns den Finanzmerken widmen und ich stelle jetzt einfach die Behauptungen in den Raum, dass der Pinski-Dreieck ist ein Hyperfraktal oder ein Superfraktal, weil wir haben so eben gesehen, dass wir einen simplen, symmetrischen Random Walk auf einem Pascalischen Dreieck laufen lassen können, dass wiederum bei der Vorhebung der ungeraden Zahlen das der Pinski-Dreieck ergibt. Zudem ist das der Pinski-Dreieck selbst ein IFS-Fraktal, was man einfach so erzeugen kann oder man kann es, wie wir gerade gesehen haben, aus anderen Fraktalen approximieren und zudem haben wir durch das Chaos-Spiel gesehen, dass es wie viele andere Fraktale aus chaotischen Prozessen erzeugt werden kann. Die Besonderheit, was das der Pinski-Dreieck tatsächlich zu einem, in meinen Worten, einen Hyperfraktal macht, ist, dass es eben andere Fraktale und andere Prozesse enthält. Wir können formal zeigen, dass das der Pinski-Dreieck viele andere Fraktale unter anderem auch die Kochkurve in unseren Random Walk vollständig enthalten kann. Wir stellen das hier allerdings nicht mathematisch vor. Ich denke, Sie haben das grafisch und visuell wahrgenommen und das finde ich das, was ein Fraktal sehr attraktiv macht, dass ich Ihnen das ohne große Formeln zeigen kann und Sie verstehen, worum es geht. Also die mathematische Vorstellung hiervon ist nicht Teil des Kurses, das klammern wir aus und wir nähern uns jetzt dem Thema Finanzmodellierung. Was hat denn dieses Ganze? Ich nenne es jetzt mal Zeug mit Finanzmodellierung zu tun und wir bewegen uns jetzt von der Kochkurve zur brownischen Molekularbewegung. Wir haben gesehen, dass wir die Kochkurve bei randomisierten Generierungen als eine nicht differenzierbare, zeitdiskrete Kurve darstellen können und diese Eigenschaft hat einen Random Walk ebenfalls. Ändern wir bei der Kochkurve die Generation, können wir eine Pianokurve erhalten, das haben wir in dem Python Video zu Fraktalen bereits gesehen, genauso haben wir diese Approximation im Vorlesungsteil über Fraktale kennengelernt und die Pianokurve selbst, wenn wir randomisieren, ist ebenfalls nicht mehr differenzierbar und füllt irgendwann die Ebene aus. Im Grenzfall ist es nun möglich, diese randomisierte Pianokurve als brownische Molekularbewegung darzustellen. Die brownische Molekularbewegung, wie wir in Teil 1 der stochastischen Prozessvorlesung gesehen haben, ist synonym mit dem Wiener Prozess, welcher mathematisch als die Darstellungsform gewählt wird und somit können wir sagen, dass wir aus einer Kochkurve einen Random Walk sowie eine Pianokurve approximieren können und der Random Walk unter Anwendung des Donska Theorems als brownische Molekularbewegung approximiert werden kann, ebenso wie wir die Pianokurve unter Randomisierung im Grenzfall als brownische Molekularbewegung darstellen können. Und was hat das Ganze jetzt mit unserem Pascalchen-Triac und unserem Serpinski-Triac zu tun? Wir haben zudem den Zusammenhang vom Pascal-Triac, unser Pinski-Triac hergestellt und festgestellt, dass wir Random Walks und fractale Kurven dort finden können. Das bedeutet, dass das Serpinski-Triac sowie das Pascalche-Triac Random Walks, fractale Kurven oder auch Approximation derselben enthalten kann. Und eben diese brownische Molekularbewegung haben wir schon genutzt, um Finanzmarktbewegungen zu modellieren. Das haben wir auch in den Python-Videos zu Teil 1 gesehen. Und daher wenden wir uns jetzt erstmal der Frage zu, gibt es denn eine fractale Darstellung dieser brownischen Molekularbewegung und kann man damit Aktien modellieren? Bevor wir dazu jedoch kommen, möchte ich Ihnen noch zeigen, wie wir mittels unseres Python-Codes zur randomisierten Pianokurve tatsächlich eine brownische Molekularbewegung erhalten können. Hier habe ich Ihnen noch einmal ein Videomitschnitt mitgebracht, der zeigt, wie wir unter Randomisierung der Koch- und Pianokurve tatsächlich eine brownische Molekularbewegung erhalten können, ein Wiener Prozess. Und ich werde Ihnen das jetzt nun erstmal grafisch vorführen. Bevor wir uns der Frage zuwenden, gibt es denn tatsächlich eine fractale brownische Molekularbewegung, wenn wir durch eine fractale Kurve schon eine normale brownische Molekularbewegung erzeugen können und können wir damit Finanzmarktbewegungen modellieren. Wir sehen uns zu dieser Frage gleich wieder. Ich zeige Ihnen jetzt visuell, wie Sie eine fractale Kurve als brownische Molekularbewegung in der Ebene darstellen können. Ich denke, wir haben gerade ganz eindrucksvoll gesehen, wie diese ganzen Themen komplexe zusammenhängen. Und wir kommen jetzt mal wirklich zum Eingemachten. Kann ich denn eine fractale Darstellung dieser brownischen Molekularbewegung finden und kann ich eine gebrochene Version davon erzeugen? Und kann man damit Aktien modellieren? Und die Antwort auf alle Fragen ist ja, das kann man. Die gebrochene brownische Molekularbewegung oder auch fraktionale brownische Bewegung ist eine klasskonzentrierten Gaussprozessen, welche durch die folgende Kurvarianfunktion charakterisiert sind. Gaussprozesse sind Prozesse, die mit einer Normalverteilung verquickt sind, auf die sind wir hier nicht eingegangen und das werden wir in dem Sinne auch nicht. Sie können hier sich das formal anschauen und wenn Sie sich das hier genau anschauen, sehen Sie, dass wir hier in dieser Formulierung einen Hearstexponenten vorfinden. Und sofern dieser Hearstexponent, welchen wir als Mars für Fractalität in der Vorlesung über fractale schon kennengelernt haben, wenn dieser Hearstexponent gleich ein halb ist, ist die gebrochene brownische Bewegung gleich der eindimensionalen brownischen Bewegung, die wir als Wiener Prozess kennen, die wir hier schon simuliert und gerade eben durch fractale Kurven dargestellt haben. Und die gebrochene brownische Bewegung ist selbst ähnlich. Das heißt, die gebrochene brownische Bewegung hat einen Hearstexponenten, der von ein halb abweicht und eben fractale Eigenschaften besitzt. Was heißt das denn jetzt genau? Ich gehe hier noch mal ganz kurz weiter. In der formalen Definition, die gebrochene brownische Bewegung wurde zunächst mittels Riemann-Louis-Wilchen fraktionierten Integralen dargestellt, um eben diesen Prozess definieren zu können. Doch nach Meinung von Mandelbrot und Van Ness überbetont dieser eben den Ursprung, wie Sie hier formal auch sehen können. Und Mandelbrot hat dann hier einen anderen Vorschlag gemacht. Und zwar die gebrochene brownische Bewegung kann stattdessen lieber durch einen anderen gebrochenen Integral besser dargestellt werden, namentlich den Whale Integral, den habe ich Ihnen hier schon mal dargestellt. Das können Sie sich in Ruhe ansehen, wie sich dieser zusammensetzt. Ich möchte es hier mathematisch jedoch nicht in die Details abtriften. Stattdessen zeige ich Ihnen hier mal eine Realisation einer gebrochenen brownischen Molekularbewegung für unterschiedliche Hearstexponenten. Wie Sie diese selbst erzeugen können, lernen wir in unseren Python-Videos. Ich habe hier die grüne Kurve mit einem Hearstexponenten von 0,35 dargestellt. Und wir haben ja gelernt, dass wenn ein Hearstexponent unter 0,5 fällt, hat er sogenanntes Mean-Reverting, das kann man hier sehr schön sehen. Ich habe hier in Blau eine normale brownische Molekularbewegung dargestellt und in Rot eine fractale brownische Molekularbewegung, dass Sie auch sehen können, dass es hier durchaus Unterschiede gibt, je nachdem, welchen Wert diese Hearstexponent annimmt. Ich habe Ihnen hier nochmal eine andere Realisation aufgezeigt. Das sind die selten Hearstexponenten, das ist die selbe Formel, das ist einfach nur ein anderer Pfad. Dieser Prozessor, wo wir sehen können, dass das grüne immer noch ein Mean-Reverting aufweist, das blau ist immer noch eine geometrische brownische Molekularbewegung und das rote ist hier unsere Molekularbewegung, unsere gebrochene mit einem sehr hohen Hearstexponenten. Und wir können hier natürlich hergehen und genau wie bei der Modellierung, die wir mit dem Wiener Prozess gewählt haben, eine Stör- und Rauschkomponente in unsere Zeitreihenmodellierung einbauen, die dann halt nicht auf einer normalen brownischen Molekularbewegung basiert, sondern eben auf einer gebrochenen oder fractalen brownischen Molekularbewegung. Und ich möchte jetzt nochmal auf einen ganz wichtigen Punkt eingehen, bevor wir uns im Ende dieser Vorlesungen nähern. Wir haben ja an den Finanzmärkten und in der Modellierung gelernt, dass da sich die Dinge über die Zeit durchaus verändern. Deswegen ist es uns erst einmal vielleicht Ihnen nicht so aufgefallen, mir allerdings schon, dass wir einen konstanten Hearstexponenten unterstellt haben, was allerdings überhaupt keinen Sinn macht, wenn sich ein System über die Zeit verändert. Warum sollte der Hearstexponent dann konstant sein, sofern es sich um ein, ich sage mal, System aus dem echten Leben handelt, deswegen haben wir hier die Möglichkeit zu sagen, wir modellieren eine gebrochene brownische Molekularbewegung und lassen den Hearstexponenten sich über die Zeit verändern. Da kommen wir dann bei der sogenannten multifractalen brownischen Molekularbewegung heraus. Und hier wird unterstellt, dass sich der Hearstexponent über die Zeit verändert und einer spezifizierten Funktion folgt und das resultiert dann in einer Überlagerung der fractalen Prozessausprägungen, so wie Sie das hier sehen können. Das sieht schon wesentlich wilder aus wie das, was wir vorher gesehen haben. Ich werde Ihnen in den Python-Videos dazu auch erklären, wie Sie hier diese Hearstfunktion selbst verändern können, wie Sie sich diese Bilder selbst erzeugen lassen können. Und es ist natürlich sehr rechenintensiv, diese Bilder sich ausgeben zu lassen. Kommen wir doch jetzt tatsächlich mal zu Pudels Kern. Können wir damit Finanzmärkte modellieren? Natürlich können wir das. Ich zeige Ihnen zunächst einmal wieder unsere Lieblingsaktie, unsere Tesla-Aktie und ich habe hier die Tesla-Aktie genommen und habe mithilfe einer einfachen fractalen brownischen Molekularbewegung, welche auf dem Hearstexponenten der gesamten Tesla-Reihe beruht habe ich Ihnen eine Simulation erzeugt, die Sie hier sehen können und Sie sehen im Vergleich zu den Simulationen, die wir mit einer normalen brownischen Molekularbewegung erzeugt haben, sieht das hier schon sehr echt aus. Ich habe außerdem, um die Vorlesung hier abzuschließen, Ihnen einmal eine multifraktale brownische Molekularbewegung auf Basis der Tesla-Daten erzeugt und Sie sehen, das ist das erste Mal, dass wir das tatsächlich in einer unserer Simulation sehen können. Wir sehen Cluster in den Daten, wir sehen extreme Aussprünger, wir sehen wirkliche Sprünge und wilde Zeiten, die auf ruhige Zeiten folgen und das ist etwas, was in der Finanzmodellierung sehr, sehr, sehr wertvoll ist, dass wir hier Krisen modellieren können, wir können abrupte Einbrüche und abrupte Anstiege modellieren und das hier ist schon ein guter Weg dahin, eine Finanzzeitreihe ordentlich darstellen zu können. Wir werden hier in Teil 3 uns zunächst mit den autoregressiven stochastischen Prozessen befassen und wir werden uns auch mehr mit den klassischen Volatilitätsmodellen befassen, die in den Finanzmärkten bisher eine historisch große Rolle gespielt haben und das auch immer noch tun. Das, was Sie hier sehen, auf multifraktaler Basis Zeitreihen zu modellieren, das hat zwar Mandelbrot in den 80ern, 90ern schon vorgeschlagen, ist aber noch nicht wirklich auf den Märkten angekommen und wir werden sehen, so fähren wir uns in die aktuelle Forschung gegeben, dass wir hiermit eine große Varietät an Anwendungen noch erzeugen können und ich hoffe, Sie haben diesen Teil 2 als Brücke verstanden, wo Sie sehen können, dass alles, was wir hier tun in diesem Kurs durchaus einem roten Faden folgt und zielführend ist und ich hoffe, Sie haben hier etwas mitgenommen, ich hoffe, Sie sind offen an die Sache herangegangen und ich wünsche Ihnen bis zum nächsten Mal, alles Gute!