 Bonjour à toutes et à tous. Tout d'abord, je remercie sincèrement le comité d'organisation de m'avoir invité à participer à cette fête du bicentenaire de Galois. Qu'est-ce que l'algèbre au début du XIXe siècle ? Je vous propose de lire la définition qu'en donne Poinceau dans le commentaire qu'il a fait du traité de la résolution des équations numériques de la Grange, dont la deuxième édition parait en cette année 1808. Ce commentaire de Poinceau, d'abord publié dans le magasin encyclopédique, sera repris comme préface dans la troisième édition du traité de la Grange en 1826. L'algèbre se partage naturellement en trois articles principaux. La théorie générale des équations, la résolution générale, la résolution des équations numériques. Les deux premières parties citées par Poinceau comportent évidemment de nombreux aspects algorithmiques. Nous en avons parlé déjà beaucoup depuis le début de la semaine. La résolubilité des équations par radicaux, c'est finalement la recherche d'algorithmes finis permettant d'exprimer les racines à partir des coefficients et en utilisant un certain nombre de fonctions auxiliaires que l'on s'autorise. Ici, les radicaux. Plus tard, ça pourra être les fonctions elliptiques utilisées par Hermite pour l'équation des cinquième degrés. D'autres aspects algorithmiques de la résolution générale seront abordés ultérieurement dans les autres exposés de la matinée. En ce qui me concerne, je voudrais vous parler plus spécifiquement du troisième point de la résolution des équations numériques. En effet, c'est la partie la plus importante pour les applications pour les utilisateurs des mathématiques. Poinceau nous dit, cette dernière recherche est sans contredi la plus utile dans l'application car, routres que la résolution générale ne s'étend pas au-delà du quatrième degré, les formules en sont déjà si compliquées et le seraient tellement pour les degrés supérieurs si l'on venait à les découvrir qu'on ne pourrait jamais s'en servir pour le calcul des racines. Aussi, il faudrait encore recourir au formule d'approximation. Effectivement, même si l'on a des formules paradicaux, le calcul approché des racines nénièmes est tout aussi compliqué algorithmiquement que la résolution directe de l'équation de départ. Alors on pourrait se dire que Galois n'est concerné que par les deux premiers points par la résolution générale, comme on le croit souvent, mais en fait, il s'est également intéressé à la résolution numérique. Il a écrit une courte note sur la résolution des équations numériques publiée en 1830 dans le bulletin de Férussac. Comme Norbert Verdié l'a bien expliqué l'autre jour, ce bulletin était une tribune permettant aux mathématiciens de tous ordres et depuis les mathématiciens de l'académie jusqu'au professeur étudiant des écoles, aux mathématiciens amateurs de province, aux ingénieurs de publier des textes de niveaux très divers, souvent courts, et de se faire ainsi connaître du milieu mathématique. C'est le cas des varistes galois qui, en attendant que ces fameux mémoires soient approuvés et publiés par l'académie, se fait la main en donnant un certain nombre de courte note au bulletin de Férussac, parmi lesquels cette note sur la résolution des équations numériques qui fait à peine une page et demi. Essayons de replacer cette note dans son contexte. Mon exposé essaiera de répondre successivement aux questions suivantes. Tout d'abord, qu'est-ce que résoudre numériquement une équation dans la période 1790-1850, c'est-à-dire autour de 1830 ? Ces dates ne sont pas choisies tout à fait arbitrairement. Elles marquent d'après-moi des étapes importantes dans l'histoire du calcul numérique, de l'analyse numérique. D'un côté, 1790, la décennie 1790-1800, c'est évidemment la révolution française, la création de l'école normale de l'Anthroie, de l'école polytechnique. C'est le moment où les plus grands mathématiciens sont invités à s'occuper d'enseignements et de formation des ingénieurs des cadres de haut niveau, ce qui entraîne inévitablement une réflexion de fonds sur les méthodes numériques et l'approfondissement de leur théorisation. De l'autre côté, la décennie 1840-1850, du point de vue politique, c'est aussi une période de révolution en Europe, mais c'est le moment où l'Europe décide de se couvrir d'un réseau de voie ferrée, de route, de canaux navigables. C'est le moment des révolutions industrielles et tous ces grands travaux entraînent un accroissement considérable des besoins à un calcul numérique et, par voie de conséquences, à nouveau une réflexion de fonds sur les méthodes et les instruments de calcul. On se demandera ensuite qui résout numériquement des équations. Il ne suffit pas pour cela de lire les traités des mathématiciens de l'académie ni même les grands ouvrages d'enseignement. Il faut aussi regarder du côté des utilisateurs finaux, ceux qui, concrètement, rencontrent des équations numériques et ont à calculer approximativement des valeurs de leurs solutions. C'est-à-dire les astronomes, les physiciens, les ingénieurs, les marins, les artilleurs. C'est un autre monde qui est souvent mal connu et dont j'essaierai de parler rapidement. C'est difficile parce qu'on a peu de traces concrètes, peu de témoignages sur la façon dont on calculait effectivement les racines des équations dans la pratique, mais j'essaierai de vous donner un certain nombre d'indices là-dessus. Une fois le contexte mis en place, on examinera plus précisément la note de Galois. Qu'est-ce qu'elle fait dans ce réseau de connaissances et de pratiques, pourquoi Galois s'est-il intéressé à cette question, donc elle bute. Et enfin, bien sûr, la dernière question sera est-ce que cette note a été lue si oui par qui ? Est-ce qu'elle a eu une influence quelconque sur le développement des mathématiques ? Examinons un panorama des grands ouvrages disponibles à l'époque de Galois, que Galois a peut-être probablement lue, et dont il s'est inspiré. Il y a tout d'abord les traités de la croix, des ouvrages très populaires et de véritables best-seller qui étaient recommandées pour l'enseignement dans les lycées ou les écoles. Les éléments d'algebra et les compléments des éléments d'algebra ont connu de très nombreuses éditions. Les dernières éditions sont la 14e en 1825 pour les éléments d'algebra la 5e en 1825 également pour les compléments des éléments d'algebra. Beaucoup d'autres éditions auront lieu par la suite. Je parlerai également d'un petit mémoire de le genre qui est très important parce que c'est le seul que cite Galois, c'est donc sa principale source d'inspiration. Un petit mémoire sur les méthodes nouvelles pour la résolution américain et américaine que le genre a publié dans le supplément à laisser sur la théorie des nombres un supplément à la 2e édition qui a été publié en 1816. La 2e édition était de 1808. Et la théorie des nombres y compris ce supplément connaîtra une 3e édition en 1830. Il y a une coïncidence qui nous interpelle il est tout à fait possible je n'en sais rien mais pourquoi pas que Galois élu cette 3e édition au moment où elle a paru en 1830 et que dans l'affoulée il ait eu l'idée de sa note pour le bulletin de Férusac. Mais de toute façon même s'il avait seulement lu l'édition de 1816, ça ne change aurait rien à notre histoire. Cauchy a écrit également une note sur la résolution numérique des équations jointes à son cours d'analyse algébrique de l'école polytechnique publié en 1821. Une note importante une généralisation du résultat de le gendre dont Galois s'est inspiré. Alors est-ce que Galois a lu cette note de Cochy est-ce qu'elle a joué un rôle dans le développement de sa pensée on n'en sait rien mais on examinera la question. Enfin il y a un monument le traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés de l'agrange avec 3 éditions 1798, 1808, 1826 1826 est l'édition qui contient la préface de Poinceau dont j'ai parlé au début ce traité dit j'ai un monument tous les auteurs de l'époque doivent se situer par rapport à lui c'est le fruit de 30 années de recherche de l'agrange une synthèse de toutes les connaissances de l'époque du 18ème siècle et du début du 19ème siècle. Je citerai enfin deux autres ouvrages qui n'ont pas rues postérieurement à la mort de Galois mais que Galois pouvait connaître à travers des versions préliminaires disponibles avant sa mort. L'analyse des équations indéterminées de fourrier est parue à titre postume après la mort de fourrier, ces naviers qui s'est occupé de l'édition à partir des papiers de fourrier et des premières épreuves qui avaient été imprimés mais le contenu de cet ouvrage était déjà plus ou moins disponible à travers les cours de fourrier à l'école polytechnique et divers mémoires qu'il avait publiés avant 1829. Enfin le fameux mémoire sur la résolution des équations numériques de Sturm qui contient le théorème de Sturm publié par l'académie dans sa version définitive en 1835 mais qui avait connu et lui aussi des versions préliminaires en particulier en 1829 dans le bulletin de Férusac sachant que Sturm était un ami proche de Galois il est tout à fait vraisemblable que Galois connaissait le contenu de ses recherches de Sturm. Que trouvent-on dans ces traités ? Quels sont les problèmes liés à la résolution numérique des équations ? Il y a deux grands types de problèmes que l'on doit résoudre successivement tout d'abord la localisation et la séparation c'est un ensemble de résultats qui comprennent la détermination d'un majorant et d'un minorant de l'ensemble des racines réelles c'est une question classique qui a notamment fait l'objet d'une question de cours au concours d'entrée à l'école préparatoire en 1829 passée et réussie par Galois car Rolinerhardt a étudié la copie de Galois que l'on a retrouvé dans un article d'une problématique assez récente la détection des racines multiples comme vous le savez pour éliminer les problèmes liés aux racines multiples on divise le polinome par le PGCD du polinome et du polinome dérivé ce qui permet de se ramener à une équation n'ayant que des racines simples le comptage des racines sur un intervalle donnée ou globalement il y a-t-il de racines positives, négatives et puis par complément ce qui reste, ce sont les racines imaginaires on connait depuis longtemps la règle de Descartes qui dit que le nombre de racines positives est inférieur au nombre de changements de signes dans la suite des coefficients de l'équation on peut s'appuyer aussi sur les résultats de Rol la méthode des cascades qui repose sur le fait qu'entre deux racines du polinome dérivé il y a au plus une racine du polinome donc en étudiant les dérivés successives on peut obtenir un certain nombre de renseignements sur la répartition des racines et enfin, il y a le problème de la séparation des racines qui est capital pour le calcul numérique pour chacune des racines, il faut trouver un intervalle la séparant des autres c'est-à-dire un intervalle dans lequel elle soit l'unique racine de l'équation parce qu'en effet, lorsqu'on va lancer des méthodes iteratives d'approximation s'il y avait plusieurs racines dans le même intervalle d'équité alors une fois que les racines sont localisées séparées il se pose le problème du calcul numérique effectif de ces racines avec une précision arbitraire on peut regrouper les méthodes imaginées depuis longtemps en deux grands groupes d'une part, les méthodes iteratives issus des anciennes méthodes de fausse position qui consiste à faire un ou deux essais et ensuite à corriger par l'inéarité je vais revenir dessus la plupart des méthodes de concrètement utiliser se ramènent à ce schéma et puis dans l'esprit de l'analyse algébrique du 18e siècle il y a un autre groupe de méthodes qui consiste à exprimer les racines par des développements infinis, par des algorithmes infinis des développements en série ou en fraction continue d'ailleurs souvent les résultats obtenus dans cet ordre d'idée sont plus issus de la volonté d'exprimer exactement les racines par des développements infinis sans trop s'occuper du fait que ces développements soient convergents ou rapidement convergents ce n'est pas toujours la préoccupation des auteurs un petit rappel sur les méthodes iteratives dont on parlera à plusieurs reprises elles sont connues utilisées sous de multiples formes depuis longtemps il s'agit toujours soit en s'inspirant d'une méthode de simple false position ce qui conduit à la méthode de Newton-Raphson on part d'une première position en X1 et on corrige par l'inéarité en remplaçant la courbe par sa tangente et on recommence dans les méthodes de double false position on part de deux essais X1 et X2 et on corrige par l'inéarité dans la méthode d'interpolation linéaire l'une des valeurs initiales est conservée fixe et dans la méthode de la séquente on utilise les deux valeurs précédentes ce qui revient en fait à remplacer la dérivée qui est souvent difficile à calculer par un quotient de différence finie ces méthodes étaient beaucoup pratiquées mais aussi critiquées parce que ça ne marche pas tout le temps on a besoin pour que ça marche bien de certaines conditions sur la fonction continuité, monotonie, convexité et puis surtout on a besoin de prendre une valeur initiale satisfaisant certaines conditions si la valeur initiale est trop loin de la racine ça peut diverger ces méthodes étaient beaucoup critiquées c'est pour cela que la grange les a abandonnées dans son traité je vais essayer de résumer brièvement le contenu du traité de la grange qu'on peut voir comme un gigantesque algorithme complètement établi du point de vue théorique pour détecter toutes les racines d'une équation polynomial chacune d'elles à partir d'un procédé toujours convergent le traité de la grange est donc une réponse définitive du point de vue théorique à tous les problèmes que j'ai énumérés précédemment je résume en caricature un peu parce que le traité est long il y a de multiples méthodes proposées mais je crois que l'essentiel se résume à ces trois étapes d'un grand algorithme d'un minorant delta des valeurs absolues, des différences entre les racines réelles distinctes pour cela on calcule une équation auxiliaire dont les racines sont les différences entre toutes les pères ordonnées de racines distinctes pour calculer cette équation auxiliaire la grange donne quatre méthodes dont l'une est inspirée de la méthode d'élimination de Bezou une autre utilise les fonctions symétriques des racines et les sommes de Newton cette équation auxiliaire est difficile à obtenir elle est de degrés élevés une fois qu'on l'a obtenue trouver un minorant des racines ça revient à utiliser la méthode générale dont j'ai parlé tout à l'heure pour trouver un minorant ou un majorant des racines d'une équation donnée au moyen de ce minorant delta on va pouvoir séparer les racines parce qu'en effet si on progresse avec un pas delta on va découper l'intervalle en sous-intervalle tel que dans chacun d'eux il y aura au plus une racine de l'équation puisque la différence entre deux racines consécutives est plus grande que delta alors en faisant éventuellement un changement d'échelle on se ramène à un pas égal à l'unité ce qui permet de travailler avec des nombres entiers et on arrive à encadrer chaque racine par deux entiers consécutifs p et p plus un une fois qu'on a séparé ainsi les racines avec des nombres entiers sur chaque intervalle p et p plus un on utilise un développement en fraction continue dans la méthode classique de Newton on ferait un changement de variable en posant x égal p plus y où y est destiné à trouver la suite du développement et la grande lui a l'idée de poser x égal p plus 1 sur y avec y plus grand que 1 et vous voyez comment la fraction continue va apparaître à partir de là la grande démontre que ce procédé converge toujours vers la racine et fournir une estimation de l'erreur contrairement à ce qui se passe dans certains cas avec la méthode de Newton en résumé le traité de la grande répond comme je l'ai dit au début de manière définitive à tous les problèmes théoriques qui se posaient bon l'inconvénient c'est que les méthodes de la grande sont extrêmement lourdes à mettre à neuf et entraînent des calculs pour avoir le voie impraticable elle a été immédiatement critiquée et tous les auteurs ultérieurs ont cherché à simplifier les méthodes de la grande c'est le cas de fourrier qui nous dit la grande est warring parce qu'en effet le recours à l'équation auxiliaire aux différences était déjà une idée de warring auparavant la grande est warring ont proposé de rechercher la plus petite différence des racines de l'équation ou une quantité moindre que cette plus petite différence considéré sous le rapport théorique la solution est exacte mais il est facile de juger qu'on ne peut admettre cette méthode de résolution en effet premièrement le calcul qui ferait connaître cette valeur de la limite delta est impraticable pour les équations d'un degré un peu élevés si vous avez une racine vous avez une différence et donc vous imaginez comment le degré augmente fourrier à une position épistémologique très différent d'autres auteurs en ce qui concerne la résolution des équations c'est important de le souligner d'une part pour lui la théorie des équations n'est pas un but en soi c'est quelque chose dont on a besoin au service de la philosophie naturelle de la mécanique céleste de la mécanique des fluides de la théorie de la chaleur et pour étudier la théorie des équations on va se servir de ce que fourrier appelle l'analyse différentielle c'est à dire qui voit la théorie des équations algébriques comme une application du calcul différentiel du calcul infinitésimal c'est pour cela qu'il s'autorise à utiliser à plein les ressources du calcul infinitésimal contrairement à d'autres auteurs comme la grande ou d'autres qui essaient dans la mesure du possible de conserver la pureté de l'algebra et évite de faire appel au méthode infinitésimal fourrier abouti à un théorème qui permet, qui généralise la règle de Descartes et qui permet de compter plus facilement le nombre de racines dans un intervalle donné alors comme je le disais fourrier n'hésite pas à recourir au dérivé c'est pour cela que son critère utilise à plein les valeurs des dérivés successives si on appelle n de x le nombre de changements de signes dans la suite p de x, p prime de x, p n de x n c'est le degré de l'équation le nombre de racines de p entre a et b est inférieur ou égal à n de a moins n de b alors évidemment le résultat n'est pas pleinement satisfaisant puisqu'on n'a pas une égalité on sait seulement qu'il peut différer de n de a moins n de b d'un nombre père fourrier c'est également préoccupé d'améliorer la méthode de Newton-Raphson pour répondre aux critiques qui avaient été formulées à l'égard de cette méthode et bien préciser les conditions de convergence et il s'est penché sur le problème de la rapidité de convergence ça c'était pour répondre au choix de la grange d'utiliser les fractions continues dans le même esprit le théorème de Sturm vise à corriger la lourdeur de la méthode de la grange Sturm nous dit que la méthode de la grange considérée sous un point de vue purement théorique ne laisse rien à désirer du côté de la rigueur mais dans l'application la longueur des calculs nécessaires pour former l'équation au carré des différences et la multitude des substitutions qu'on peut avoir à effectuer la ronde presque impraticable Sturm se place dans le même point de vue philosophique que fourrier lui aussi il n'étudie pas les équations pour elle pour elle-même il les étudie à même temps qu'il étudie les équations différentielles au service de la philosophie naturelle à la même époque il travaille sur l'équation différentielle issu de l'étude de la répartition de la chaleur dans une barre chauffée et pour étudier cette équation différentielle il est amené à déterminer la répartition des héros de certaines fonctions solutions le fameux problème de Sturm-Newville et au passage donc il trouve un nouveau critère pour compter les racines donc le théorème de Sturm consiste à partir du calcul du PGCD de P et de P prime par l'algorithme de Clid donc pour des raisons techniques on met des moins au lieu de plus mais ça ne change rien à l'idée général on introduit le nombre N2X de changement de signe dans la suite P2X, P1, 2X, P1, 2X et le nombre de racines de P sans tenir compte des multiplicités est exactement égale à N2A moins N2B c'est un résultat pleinement satisfaisant qui ne laisse place à aucune ambiguïté ce théorème de Sturm aura immédiatement une grande popularité il va être incorporé dans les traités d'enseignement il va être extrêmement apprécié des professeurs qui voient un moyen de fabriquer de multiples exercices abordables pour leurs étudiants il jouera aussi un rôle très important dans la constitution de l'algèbre réel qui a été étudié par Uriah Sinasser dans son livre corps et modèle passons maintenant du côté des vrais utilisateurs c'est-à-dire des ingénieurs comment perçoivent-ils ces méthodes théoriques je ferai appel une appréciation de Léon-Louis Lalane un ingénieur des ponts et chaussées qui s'est toujours préoccupé d'imaginer des méthodes et des instruments de calcul efficace et performant c'est lui notamment qui a inventé les abaques à droite concurrentes c'est un des fondateurs de la nomographie il y a eu une science qui a eu une importance considérable dans les applications et Léon-Louis Lalane de manière polyme et ferme nous dit en fait que tout ce qu'on fait ces grands mathématiciens ne sert à rien les applications ont été jusqu'à ce jour la pierre d'achopement de tous les procédés imaginés pour la résolution des équations numériques non pas que ni la rigueur ni la beauté des considérations sur lesquelles ils se fondent à n'est reçu la moindre atteinte mais enfin il faut bien reconnaître que sans cesser de mérité l'admiration des géomètres les découvertes de l'agrange de cochies, de fourriers, de ch'tournes, d'hermites etc non pas fournis toujours des moyens facilement pratiquables dans les applications des racines donc là nous avons un autre monde le monde des ingénieurs qui va créer de toutes pièces ses propres méthodes de solution des équations numériques parce que celles fournies par les mathématiciens de l'académie sont inutilisables bon les ingénieurs n'ont pas besoin d'une grande précision il leur suffit en général d'obtenir 2, 3, 4 chiffres significatifs des valeurs qu'ils cherchent et qu'ils vont plutôt se fonder sur des méthodes graphiques je vais essayer de vous en présenter quelques-unes la grande je lui mets dans ses leçons à l'école normale de l'an 3 propose une méthode géométrique pour calculer les racines je ne vais pas détailler mais il donne une construction géométrique d'un polinome AX3 plus BX2 plus CX plus D c'est en fait une méthode qui avait été proposée par le mathématicien hongrois Seigner en 1759 et qui consiste à construire géométriquement la valeur de F2X en utilisant des parallèles dans une traduction géométrique du schéma de hornaire si vous calculez les coordonnées des points successifs que l'on construit vous retrouvez exactement donc AX plus B AX plus B fois AX etc et vous retrouvez l'expression du polinome par le schéma de hornaire plusieurs dizaines d'années avant que hornaire publie son fameuse article sur cette méthode une fois qu'on sait construire géométriquement F2X pour tout X on peut construire par point la courbe Y-F2X et lire graphiquement ses intersections avec l'axe des absces cette méthode a été mécanisée par le pasteur anglais John Roening qui a construit une machine formée de barres articulées un système articulé qui a été décrit ensuite dans l'encyclopédie d'Hydro et d'Alembert autre exemple un texte de Joseph Balthazar Béra en 1810 au puscule mathématique le sous-titre est intéressant ouvrage principalement utile ce destin à l'école polytechnique Béra c'est un juge au tribunal de brillançon principal et professeur de mathématiques au collège de la même ville membre de la société d'agriculture du département de la Seine c'est un personnage tout à fait représentatif de ces mathématiciens amateurs qui s'intéressaient aux équations qui pouvaient envoyer des mémoires à l'académie etc Béra nous dit on savait qu'on trouve les racines des équations du 4ème degré par intersection d'une parabole et d'un cercle mais j'ai remarqué que cette parabole peut être invariable et servir pour tous les cas en sorte qu'en la construisant en cuivre ou en carton on peut très simplement et très brièvement trouver les racines Béra n'invente rien puisque cette méthode de résolution des équations du 3ème et du 4ème degré par intersection d'une parabole fixe et d'un cercle est donnée dans la géométrie de Descartes Descartes déjà il trouvait que les formules de cardan étaient impraticables dans la construction géométrique et il avait eu recours à cette construction alternative par intersection de deux coniques dans la grande tradition greco-arabe pensée à Al-Rayam qui résout complètement l'équation du 3ème degré par intersection de deux coniques mais ces méthodes géométriques subsistent dans le milieu des utilisateurs voici par exemple un rapport de poissons sur Dubourgais en 1813 qui se trouve dans la thèse de Caroline Erhardt Dubourgais fait partie Dubourgais c'est un marin, un commandant de navire qui est mathématicien amateurs à 16 heures et qui envoie des mémoires à l'académie comme beaucoup d'autres d'ailleurs Caroline dans sa thèse cite un certain nombre de ces mathématiciens qui envoient à l'académie des mémoires sur la résolution des équations en général il s'agit de variantes, de compléments de méthodes spécifiques qui s'appliquent à un type particulier d'équations, c'est un peu comme les mémoires sur la quadrature du cercle il en arrive sans cesse plus ou moins intéressant, mais là ce qui est remarquable c'est que Dubourgais fait appel lui aussi à cette méthode géométrique par intersection de deux courbes qui est finalement le paradigme de la géométrique cartésienne et jusqu'au milieu du 18ème siècle. Il remplace chaque équation par deux autres équations de variables qu'il construit au moyen de courbes et en discutant le cours de ces lignes dans chaque cas il détermine le nombre de leurs intersections et par conséquent des racines réelles de la proposer. Ça de très nombreux auteurs diront qu'une simple représentation graphique donne beaucoup plus rapidement le nombre et la position des racines que toutes les méthodes analytiques du style de celles de la grange. Autre exemple encore en gravitant toujours autour de l'école polytechnique un traité de géométrie analytique d'Auguste Comte qui comme vous pouvez peut-être le lire c'est tout petit est un ancien élève de l'école polytechnique et répétiteur et examinateur à l'école polytechnique. Lui aussi il se situe encore dans le paradigme du 18ème siècle je lis il s'agit maintenant d'une transformation où la figure doit suppléer l'ensemble total de l'élaboration abstraite soit numérique soit surtout analytique d'une équation qu'on ne saurait résoudre. Cette utile conversion si souvent destinée à compenser coquin complètement l'extrême imperfection nécessaire de la résolution des équations consiste à concevoir ses racines comme les absices propres aux intersections de deux lignes convenablement choisis. A côté des méthodes purement graphiques purement géométriques on a aussi pensé à recourir à la statique le même ouvrage de Bérard que j'ai cité tout à l'heure il propose de considérer une équation algébrique après avoir fait passer dans le second membre les coefficients négatives comme un équilibre de moments de force. Et pour traduire cet équilibre il suffit de fabriquer une balance où on va avoir des rainures tracées selon les formules X, X2, X3 et ensuite une règle pouvant coulisser parallèlement à elle-même et sur cette règle on va placer des poids proportionnelles aux coefficients et ensuite on va déplacer cette règle jusqu'à ce que la balance soit un équilibre et à ce moment là on trouvera une solution de l'équation. Alors la balance a été effectivement construite par Lalanne en 1840 il en a confié la construction au mécanicien parisien Ernst qui était célèbre pour la qualité de ses instruments de mathématiques et d'astronomie. Donc vous voyez comment se passe la balance avec une table horizontale qui pivote autour d'un axe ici les courbes tracées et puis la règle sur laquelle on suspend des poids et ensuite on déplace la règle jusqu'à ce qu'il est équilibre. Et de nombreuses balances statiques de ce type seront construites à la fin du 19e siècle et ensuite on se tournera même vers des balances hydrauliques puis des balances électriques ou électromagnétiques. Encore un exemple Gaspard-Monge, l'un des fondateurs de l'école polytechnique en 1815 publie un petit article dans la correspondance sur l'école royale polytechnique où il donne une méthode pour résoudre l'équation du troisième degré en la considérant comme le résultat de l'élimination d'une variable auxiliaire Y entre deux équations Y égal X3 donc il s'agit à nouveau en fait de faire apparaître les racines comme à l'intersection de deux courbes. Alors ici l'intérêt c'est qu'il suffit de disposer de la cubique Y égal X3 une fois pour toutes et ensuite on n'a plus qu'à tracer une droite Y égal Px plus Q ce qui est très simple à réaliser. L'idée n'est pas nouvelle Newton l'a décrit dans ses papiers mathématiques édité par Wideside Newton déjà critiquait la lourdeur de la méthode des paraboles cartésiennes de Descartes et souhaitait des méthodes plus pratiques. Alors voici comment monge met en œuvre cette méthode il s'agit de graver une planche très précisément avec la courbe Y égal X3 mais comme la fonction X3 est très rapidement croissante on ne peut pas avoir facilement une grande partie de cette courbe sur la feuille de dessin. L'idée c'est de découper la courbe en tranches en prenant 64 ici comme longueur d'une tranche et en décalant les tranches successives de la courbe pour les ramener à partir de zéro donc on fait des translations de 2x64, 3x64, 64x64 ici j'ai tracé avec un logiciel moderne les 64 branches de la courbe ici et ensuite on n'avait plus qu'à chercher l'intersection avec une droite. Ce texte est particulièrement instructif parce que pour une fois nous avons des indications concrètes sur la façon dont tout ceci était fait et utilisé. Monge nous dit la planche de ce dessin a été gravée avec le plus grand soin par les artistes de la commission d'Egypte. Les parallèles ont été tracés avec la machine comptée et la courbe a été dessinée par M. Girard. La distance des abscesse positives et des negatives qui correspondent au point extrême de cette courbe mesurée sur l'accès des Y est réellement de 81, 92 mètres. Cette distance est ramenée sur la planche gravée à une dimension 64 fois plus petite 1,28 mètres. Vous avez une planche de 1,28 mètres et ce dessin gravé se vend à part chez M. Veuf-Courcier qui est des grands Augustins numéro 57. Ils ont consacré tellement d'efforts à la gravure de ce type de planche si ce type de planche était commercialisé chez les libraires c'est sans doute qu'il y avait un public d'utilisateur potentiel qui achetait et utilisé concrètement ces abac. L'ALAN lui-même en 1943 va adopter une méthode du même type pour la résolution de l'équation du troisième degré. Il considère que l'équation Z3 plus PZ plus Q est le résultat de l'élimination de deux variables auxiliaires dans le système Xégalp Yégalq Zx plus Y plus Z3 égal à 0. Il suffit de préparer un abac avec 3 faisceaux de droite le faisceau des verticales Xégalp le faisceau des horizontales Yégalq et les droites Zx plus Y plus Z3 égal à 0 paramétré par le paramètre Z. Et ensuite chaque solution de l'équation correspondra à l'intersection de trois courbes l'une de chaque faisceau. Là par exemple vous avez la zone du plan où par un point il passe une seule droite il y a une seule racine de l'équation et ici vous avez la zone du plan où par un point il passe trois droites c'est la zone où il y a trois racines. La courbe limite c'est la cubique P3 sur 27 plus que 2 sur 4 égal à 0 qui correspond au discriminant de l'équation et qui sépare les deux zones du plan. Ce type de représentation graphique d'une équation qu'on appelle un abac c'est le point de départ de la nomographie qui donnera lieu à des développements considérables dans la seconde moitié du 19e siècle. Le contexte étant ainsi brossé revenons à la note de Galois cette note a attiré jusqu'ici la tension des historiens. Un seul historien a vraiment fait un travail approfondi sur cette note c'est Massimo Galluzzi qui en 2001 a publié un article dans la revue Archive for History of Exact Sciences. Galois comme je l'ai déjà dit s'inspire d'une note de le gendre. Je vais essayer de vous résumer brièvement le contenu de ce travail de le gendre en 1816. L'idée d'ensemble c'est de proposer un nouvel algorithme général pour remplacer avantageusement celui de la grange dont on a déjà souligné les défauts du point de vue pratique, pas du point de vue théorique. On souhaite un réseau de l'équation f2x égale 0 ou f est un polinome de degré n. Premièrement on se ramène classiquement au cas où il n'y a que des racines simples en divisant par le PGCD de f et f prime et on peut toujours se ramener à la recherche des racines positives comme le font la plupart des auteurs puisque les racines négatives sont les racines de la nouvelle équation obtenue en remplissant x par –x. On détermine un majorant A des racines positives là aussi c'est tout à fait classique le gendre donne des formules tout à fait usuelles et ensuite commence la nouveauté. On met l'équation sous la forme x puissance n égale phi de x avec phi une fonction croissante. Le gendre de manière assez curieuse utilise le mot homal pour désigner les fonctions croissantes il est le seul à le faire ce mot n'a pas été retenu par la suite. Je donne un exemple pour bien faire comprendre comment ça fonctionne on part d'une équation polinomiale quelconque on fait passer dans le second membre des racines négatives on met en facteur le terme de plus au degré on divise et on arrive bien dans tous les cas A x puissance n égale phi de x où phi est une fonction croissante puisque lorsque x est positif au numérateur vous avez une somme de fonctions croissantes et au dénominateur une somme de fonctions décroissantes donc l'inverse est croissant aussi on arrive toujours à cette situation ce qui finalement va revenir à utiliser la méthode fixe x égale g de x avec g de x égale racinanième de phi de x le genre utilise la méthode d'itération associée à cette équation à point fixe en termes modernes ce ne sont pas les notations de le genre mais c'est plus facile de vous l'expliquer comme ça ça revient à construire la suite définie par u0 égale p'tita p'tita c'est le majorant des racines positives je vous le rappelle c'est plus un égale racinanième de phi de up le genre démontre que dans tous les cas cette suite converge vers la plus grande racine r de l'équation et ainsi comme on a trouvé la plus grande racine r la suite de l'algorithme consiste à diviser f de x par x-r et à recommencer pour trouver la racine suivante etc jusqu'à épuisement des racines l'algorithme s'arrête lorsque à une certaine étape la suite prend des termes négatifs ça veut dire qu'on est allé au-delà de la plus petite racine ce qui est particulièrement intéressant dans ce travail de le genre c'est la figure qui sert de support à la démonstration cette figure est capitale parce que c'est la première fois qu'on trouve un diagramme un escalier dans la littérature vous connaissez la fortune qu'ont eu les diagrammes un escalier au 20e siècle pour la théorie des systèmes dynamiques du chaos c'est le béaba qui apprenne de nos jours les étudiants au lycée dans les premières années d'université mais c'est la première fois qu'on trouve un diagramme un escalier dans la littérature ce n'est pas un diagramme un escalier sous la forme qu'on a l'habitude d'utiliser aujourd'hui avec x égal g de x le genre pour des raisons de commodité conserve l'équation x puissance saine égal phi de x donc il trace la courbe x puissance saine et phi de x et ensuite il construit les valeurs successives de littérations le résultat de le genre a été repris par Cauchy dans son cours d'analyse algébrique en 1821 il généralise le résultat de le genre sous une forme f de x égal phi de x moins x de x bon là j'ai résumé l'énoncé de Cauchy Cauchy rejette tout recours à un langage géométrique et n'utilise aucune figure il adopte un style purement analytique tout est écrit en toutes lettres tout est démontré de manière extrêmement rigoureuse bon il en résulte une certaine lourdeur puisque l'énoncé du théorème lui-même fait plus d'une page la démonstration plusieurs pages là où le genre se contentait d'une figure et de quelques phrases alors est-ce que Galois a lu ce travail de Cauchy ou est-ce qu'il connaissait seulement celui de le genre bon je n'en sais rien bon peu importe alors venons-en maintenant à cette fameuse note de Galois de 1830 je lis l'introduction monsieur le gendre a le premier remarqué que lorsqu'une équation algébrique était mise sous la forme phi x égal x où phi x est une fonction de x qui croit constamment à même temps que x il était facile de trouver la racine de cette équation immédiatement plus petite qu'un nombre donné a si phi a est inférieur à a vous voyez que Galois en quelque sorte est pur le texte de le gendre puisqu'il parle directement de l'équation à point phi x phi x égal x avec la notation minimale phi x sans les parenthèses il résume en une phrase très claire le résultat de le gendre et puis sa démonstration fait également appel à un langage géométrique il n'y a pas de figure pour illustrer le texte mais le texte évoque immédiatement une figure mentale que le lecteur doit imaginer ou qu'il peut construire lui-même sur le papier en lisant l'article pour le démontrer on construit la courbe y égal phi x et la droite y égal x soit prise une absice égal a et supposons pour fixer les idées phi a plus grand que a je dis qu'il sera aisé à venir la racine immédiatement supérieure a les racines de l'équation phi x égal x ne sont que les absices des points d'intersection de la droite et de la courbe et il est clair que l'on s'approchera du point le plus voisin d'intersection en substituant à la absice a la absice phi a on aura une valeur plus approchée encore en prenant phi phi a puis phi phi phi a et ainsi de suite donc pour Galois la démonstration consiste à dire une figure qui est suffisant et ça m'a fait penser à une réflexion de Littlewood dans ces mélanges d'un mathématicien en 1953 qui a des une appréciation un peu analogues sur cet argument graphique il nous dit Bon, Littlewood c'est le compère de Hardy Hardy et Littlewood sont connus pour leurs soucis de délégance de concision de beauté dans la rédaction des mathématiques et c'est intéressant de voir comment Littlewood finalement adopte le même point de vue de Galois en nous disant que une fois qu'on a fait cette figure il n'y a plus rien à dire la démonstration va de soi et pour le professionnel c'est pas la peine d'en écrire plus dans son texte Galois essaie d'améliorer la méthode de le genre en ce sens que la méthode de le genre si vous vous souvenez nécessite, du moins si l'on voulait l'appliquer effectivement, nécessite à chaque étape le calcul numérique d'une racinénième puisque l'iterration c'est Uup plus 1 égal racinénième de fi de Up du point de vue pratique je l'ai déjà dit plus haut à chaque étape le calcul de la racinénième nécessite un algorithme aussi compliqué que pour résoudre directement l'équation mais le genre n'a pas forcément en vue dans ce texte une résolution effective, son but est plutôt de proposer un nouvel algorithme théorique qui prouve que l'on obtient bien toutes les racines par sa méthode un meilleur algorithme théorique que celui de le genre parce que le genre évidemment c'est un des meilleurs calculateurs numériques de l'époque je rappelle qui dans sa jeunesse il a gagné un prix de l'académie de Berlin en calculant des tables balistiques ensuite c'est lui qui a conçu les formules de différence finies qui ont servi à l'équipe de prony pour calculer les tables du cadastre, les nouvelles tables de logarithm et de trigonométrie nécessité par le passage à la division décimale du cadran le passage des degrés au grade de la révolution française en 1816 il était en train de calculer tout seul les tables d'intégrales elliptiques donc c'est un des meilleurs calculateurs du moment il est donc parfaitement conscient que ce qu'il propose là n'est pas adapté à un calcul effectif, ce n'était pas son but de toute évidence mais Galois essaie d'améliorer la méthode donc il nous dit qu'on va se limiter à la recherche des racines plus grandes que un, puisque il suffit donc là c'est x par un sur x pour passer de racines plus petites que un aux racines plus grandes que un et il met l'équation sous la forme x égale x plus f de x sur k x puissance saine et détermine un nombre k tel que le second membre soit croissant pour x plus grand que un donc il cherche une nouvelle équation à point fixe qui soit mieux adapté c'est-à-dire d'une part qui maintienne la convergence d'une autre part soit une expression rationnelle se prétend au calcul numérique on obtient ainsi une forme rationnelle évitant les extractions de racinénium de le gendre bon, la détermination de k n'est pas très difficile je vous invite à lire directement la note de Galois ou l'analyse qu'en a fait Massimo Galuzzi le recours à des diagrammes à n'est-ce qu'à lier n'est pas l'exclusivité de le gendre et de Galois fourrier dans sa théorie analytique de la chaleur en parle aussi en 1822 je ne sais pas du tout si Galois aurait pu lire ce traité de fourrier à un moment fourrier se ramène à la résolution de l'équation epsilon et le lambda tangente epsilon et il a recours lui aussi à un procédé d'approximation successive s'appuyant sur un diagramme à n'est-ce qu'à lier alors dans un premier temps il remarque que si l'on utilise l'équation sous la forme initiale eh bien en fait la suite va diverger parce que comme la pente de la tangente ici au point d'intersection est plus grande que un et on sait que la méthode diverge si vous partez de u si vous partez ici plutôt de epsilon sur l'axe des absces vous voyez que ça va diverger alors en fait fourrier inverse l'équation il se ramène à epsilon égale tangente moins un u donc epsilon égale tangente point 1 epsilon sur lambda et si l'on part de l'axe des ordonnées cette fois ça converge que l'on parte d'un côté ou de l'autre fourrier à recours dans son traité de 1831 à nouveau à ses diagrammes à n'est-ce qu'à lier avec un langage très proche de celui de Galois alors plutôt que de vous montrer les figures je préfère vous donner quelques extraits de textes qui vous montrent à quel point le texte suffit pour imaginer dans sa tête les constructions rendent ces conséquences très sensibles les constructions qui répondent à ce genre d'approximation sont remarquables par exemple elles consistent ici dans une spirale rectangulaire et tout à l'heure on a vu le cas d'une fonction croissante avec un diagramme à n'est-ce qu'à lier dans le cas d'une fonction décroissante on a un diagramme spiral dont le point extrême s'approche continuellement du point d'intersection correspondant à la valeur de la racine cet emploi des fonctions continues doit être dirigé par les propriétés de la figure on pourrait t'issupler par des considérations purement analytiques mais à nos mettant l'examen de la figure on ajouterait beaucoup à la difficulté de la recherche qui au contraire devient très simple au moyen de la construction donc la figure est à la fois un outil heuristique qui permet de deviner ce qui se passe de conjecturer ce qui se passe et c'est aussi une aide à la démonstration puisque la démonstration analytique va simplement consister à écrire traduire ce qu'on voit sur la figure après le genre fourrier galois on ne trouve plus aucune trace de ces diagrammes à n'escalier jusqu'en 1894 c'est assez mystérieux il réapparaît ce soudain dans des travaux de l'Emerée dans une série de publications dans la dernière décennie du XIXe siècle cette dernière décennie du XIXe siècle c'est un moment un grand nombre de mathématiciens se penchent sur les calculs d'iterration qui apparaissent dans tout un tas de problèmes dans la résolution des équations algébriques et transcendantes dans la résolution des équations différentielles, des équations fonctionnelles des équations aux différences finies on a sans arrêt des problèmes de points fixes d'iterration et en 1894 tout d'un coup l'Emerée parmi des dizaines d'auteurs dans une même époque qui s'intéresse à ces problèmes il faut dire aussi qu'à cette époque on a élargi le cadre on étudie les problèmes d'iterration dans le cadre des fonctions de variables complexes et des fonctions holomorphes et le problème crucial entre autres c'est de trouver quelles sont les points du plan qui peuvent servir de valeur initiale pour donner une suite convergente ce sont les travaux qui conduiront ensuite aux travaux de Fatou, de Julia et la théorie moderne de la politique et du chaos donc l'Emerée tout d'un coup en 1894 a recours à nouveau au diagramme un escalier en voici quelques-uns tiré de cette série de publication dans la dizaine d'articles qu'il consacre au sujet il ne donne aucune référence à quiconque sauf dans l'article de 1898 sur le calcul des racines des équations par approximations successives il fait une sorte d'introduction historique et il nous dit cette méthode employée dans certains cas par Euler, le gendre Galois et sans doute beaucoup plus ancienne le nombre de Galois apparaît Galois a donné pour résoudre les équations algébriques une méthode d'approximation successive par les substitutions uniformes dans laquelle on n'a jamais affaire que des opérations rationnelles en ce qui concerne les équations quelconques on peut dans le même ordre d'idées etc. Dans les dizaines d'articles de Lémeré il y a une seule référence bibliographique c'est celle-là Galois œuvre mathématique on pourrait dire que cette note de Galois finalement n'a pas été inutile puisque apparemment c'est elle qui a donné à Lémeré l'idée de réintroduire l'usage des diagrammes à n'escalier et aussi comme il le dit l'idée de se limiter à des opérations rationnelles évidemment la note de Galois a été transmise parce qu'elle a été publiée dans l'édition des œuvres mathématiques de Galois de Liouville et par les éditions successives et finalement elle a bénéficié indirectement de la célébrité des autres mémoires de Galois donc elle a quand même franchi le temps et elle a été retrouvée par Lémeré après Lémeré je terminerai en citant le mathématicien italien Salvatore et Pinchelle qui lui aussi conduit à des travaux sur l'iterration et à recours à des diagrammes à n'escalier mais là on étudie des situations de plus en plus compliquées de point de vue théorique et c'est lui qui a été chargé de rédiger l'article équation et opération fonctionnelle en 1912 de l'encyclopédie des sciences mathématiques pure et appliquées dans les deux paragraphs qui se rapprochent le plus du problème de l'iterration 33 le calcul d'iterration j'ai repris la liste de tous les noms qu'il cite et Pinchelle cite Newton, Cauchy, Galois Hill etc et Galois figure en bonne place dans l'histoire des systèmes dynamiques selon les mathématiciens de cette époque alors que le genre fourrier sont totalement oubliés donc en définitive qu'est ce qu'on peut dire de cette note de Galois on peut en tirer plusieurs enseignements bon tout d'abord que Galois s'intéressait aussi à la résolution numérique des équations et pas seulement à la résolution abstraite, algébrique, théorique peut-être que s'il avait vécu il aurait donné aussi de grandes contributions dans ce domaine et dans sa note en fait il arrive en une page et demi à extraire l'essence de ce qui est important premièrement pour lui la seule chose importante c'est l'équation à point phi x x égal phi de x la méthode des approximations successives deuxièmement il utilise un langage géométrique très simple et très élégant lié à l'utilisation des diagrammes à n'escalier donc il connaîtra une grande fortune par la suite comme on l'a vu et troisièmement il nous dit qu'une fois qu'on est convaincu que l'importance c'est de trouver une équation à point phi x et de remplacer l'équation f de x égal 0 par une équation à point phi x égal phi de x tout repose dans le choix de la fonction phi, il y a une infinité de façon de mettre une équation sous forme d'une équation à point phi x et parmi cette infinité de choix possible il faut choisir celui qui permet à la fois d'assurer la convergence de la méthode et deuxièmement de faciliter autant que possible le calcul numérique l'idéal étant évidemment d'avoir uniquement des opérations rationnelles si on compare d'un côté le traité de l'agrange un monument un chef d'œuvre mathématique mais qui apparaît aujourd'hui comme un fossile quelque chose dont il ne reste aucune trace ou presque dans les livres modernes d'analyse numérique et puis de l'autre côté la note de Galois, quelque chose de très lucide qui est finalement ce qu'on trouve dans le premier chapitre de tout traité d'analyse numérique d'aujourd'hui c'est pour ça qu'il me semblait important de parler de cette note elle contribue aussi à la gloire de Galois je vous remercie je voulais vous poser la question de savoir chez les calculateurs dont vous avez évoqué les noms s'il y avait aussi un souci des estimations d'erreurs du nombre d'intérations et finalement du temps de calcul si vous voulez parce que pour les mécaniciens c'était absolument important et les mécaniciens utilisaient beaucoup les méthodes graphiques qui leur permettent de gagner du temps pouvez-vous dire quelques mots là-dessus ? oui bien sûr toutes ces questions sont très importantes l'usage principal on simplifiant un peu c'est d'abord d'utiliser les méthodes graphiques pour obtenir une première approximation des racines grâce aux abac, aux instruments on peut arriver à trouver déjà 2-3 chiffres significatifs et puis en cas de besoin ensuite on recourt à des méthodes numériques en général la méthode de Newton-Raphson alors il faut distinguer aussi deux populations d'un côté vous avez la population de ceux qui ont besoin d'une énorme approximation au premier rang desquels les astronomes qui ont besoin souvent par exemple de 12-14 décimales donc eux en général ils utilisent pas du tout des méthodes graphiques, ils utilisent directement des méthodes numériques et puis les ingénieurs de terrain qui doivent résoudre des problèmes de déblée, de remblée ou autre pour qui en général 2-3 chiffres suffisent d'autant plus que souvent dans la pratique les fonctions ne sont pas données par des formules analytiques mais par des tableaux de mesures expérimentales mais pour beaucoup d'utilisateurs pour les ingénieurs d'instances des racines etc elle va de soi parce qu'elle vient de la réalité physique du problème merci j'ai une petite question pour toi aujourd'hui il y a plusieurs logiciels qui utilisent pour soi, pour la approximation soit pour la pour la separation des racines un théorème qui est le terrain de Vincent qui est une généralisation un peu lourde mais très efficace de la méthode de la Grange cette théorème à mon avis ne devait pas être totalement inconnu parce qu'une seconde version de cette théorème est apparue dans le premier numéro du journal de Lyoville mais à ma connaissance dans le temps de Vincent cette théorème n'a pas eu l'importance qu'il a aujourd'hui est-ce que tu as des informations sur je n'ai pas d'informations quand je disais qu'on ne trouvait pas de traces du traité de la Grange plus visuelle d'analyse numérique d'aujourd'hui c'est vrai mais il est possible maintenant qu'avec l'apparition des logiciels de calcul formel un certain nombre de méthodes algorithmiques du passé retrouve un intérêt parce qu'elles étaient impraticables à la main mais lorsqu'on les programme sur un ordinateur puissant elles peuvent peut-être être réhabilité mais là je n'en sais pas plus on peut parler encore peut-être mais maintenant nous avons pause café merci